Bac matematică M1 mate-info 2014, sesiunea a II-a varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați partea reală a numărului complex z=1+2i+3i2\displaystyle z=1+2i+3i^2.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la numărul complex dat, z=1+2i+3i2\displaystyle z=1+2i+3i^{2}. Ne amintim că unitatea imaginară verifică i2=−1\displaystyle i^{2}=-1.
    z=1+2i+3i2\displaystyle z=1+2i+3i^{2},i2=−1\displaystyle \quad i^{2}=-1
  2. Înlocuim i2\displaystyle i^{2} cu −1\displaystyle -1 în expresia lui z\displaystyle z: z=1+2i+3⋅(−1)\displaystyle z=1+2i+3\cdot(-1).
    z=1+2i+3⋅(−1)=1+2i−3\displaystyle z=1+2i+3\cdot(-1)=1+2i-3
  3. Reducem termenii reali: 1−3=−2\displaystyle 1-3=-2. Obținem forma algebrică z=−2+2i\displaystyle z=-2+2i.
    z=−2+2i\displaystyle z=-2+2i
  4. Partea reală a unui număr complex scris sub forma a+bi\displaystyle a+bi este a\displaystyle a. Aici a=−2\displaystyle a=-2, deci partea reală a lui z\displaystyle z este −2\displaystyle -2.
    Re⁡(z)=−2\displaystyle \operatorname{Re}(z)=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−1\displaystyle f(x)=x-1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=3x−5\displaystyle g(x)=3x-5.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție are coordonatele care verifică ambele ecuații, deci abscisa lui se află din condiția ca valorile celor două funcții să fie egale: f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x).
    x−1=3x−5\displaystyle x-1=3x-5
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x într-o parte și numerele în cealaltă parte: x−3x=−5+1\displaystyle x-3x=-5+1.
    −2x=−4\displaystyle -2x=-4
  3. Împărțim ambii membri la −2\displaystyle -2 și obținem abscisa punctului de intersecție.
    x=2\displaystyle x=2
  4. Aflăm ordonata înlocuind x=2\displaystyle x=2 în expresia lui f\displaystyle f: f(2)=2−1\displaystyle f(2)=2-1. Verificăm cu g\displaystyle g: g(2)=3⋅2−5=1\displaystyle g(2)=3\cdot 2-5=1, același rezultat. Deci punctul de intersecție este (2,1)\displaystyle (2,1).
    x=2 și y=1\displaystyle x=2\text{ și }y=1, adica˘ punctul (2,1)\displaystyle \text{ adică punctul }(2,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x2−x=32x\displaystyle 3^{x^2-x}=3^{2x}.
Vezi rezolvarea
  1. Ambii membri ai ecuației 3x2−x=32x\displaystyle 3^{x^{2}-x}=3^{2x} au aceeași bază, 3>0\displaystyle 3>0 și 3≠1\displaystyle 3\neq 1. Funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci putem egala exponenții.
    x2−x=2x\displaystyle x^{2}-x=2x
  2. Mutăm 2x\displaystyle 2x în membrul stâng și reducem termenii asemenea: x2−x−2x=0\displaystyle x^{2}-x-2x=0, deci obținem o ecuație de gradul al doilea incompletă.
    x2−x=2x⇔x2−3x=0\displaystyle x^{2}-x=2x\Leftrightarrow x^{2}-3x=0
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x în membrul stâng.
    x(x−3)=0\displaystyle x(x-3)=0
  4. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x−3=0\displaystyle x-3=0. Rezultă soluțiile reale 0\displaystyle 0 și 3\displaystyle 3, care convin.
    x1=0 și x2=3\displaystyle x_{1}=0\text{ și }x_{2}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifrele 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr natural este par dacă ultima cifră (cifra unităților) este pară. Dintre cifrele 0,1,2,3\displaystyle 0, 1, 2, 3, cifrele pare sunt 0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2, deci cifra unităților poate fi aleasă în 2\displaystyle 2 moduri.
    cifra unita˘ților: 0 sau 2\displaystyle \text{cifra unităților: }0\text{ sau }2
  2. Numărul are două cifre, deci cifra zecilor nu poate fi 0\displaystyle 0. Rămân cifrele 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3, adică 3\displaystyle 3 alegeri pentru cifra zecilor.
    cifra zecilor: 1\displaystyle \text{cifra zecilor: }1, 2 sau 3 ⇒ 3 alegeri\displaystyle \ 2\text{ sau }3\ \Rightarrow\ 3\text{ alegeri}
  3. Alegerea cifrei zecilor și cea a cifrei unităților sunt independente, deci înmulțim numărul de alegeri: 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6. Numerele sunt 10,12,20,22,30,32\displaystyle 10, 12, 20, 22, 30, 32.
    3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră vectorii AB→=3i⃗+2j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=3\vec{i}+2\vec{j} și AC→=(m+1)i⃗+4j⃗\displaystyle \overrightarrow{AC}=(m+1)\vec{i}+4\vec{j}, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m știind că AC→=2AB→\displaystyle \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}.
Vezi rezolvarea
  1. Din condiția AC→=2AB→\displaystyle \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB} înlocuim expresiile vectorilor și obținem egalitatea de mai jos.
    (m+1)i⃗+4j⃗=2(3i⃗+2j⃗)\displaystyle (m+1)\vec{i}+4\vec{j}=2(3\vec{i}+2\vec{j})
  2. În membrul drept distribuim factorul 2\displaystyle 2: 2(3i⃗+2j⃗)=6i⃗+4j⃗\displaystyle 2(3\vec{i}+2\vec{j})=6\vec{i}+4\vec{j}.
    (m+1)i⃗+4j⃗=6i⃗+4j⃗\displaystyle (m+1)\vec{i}+4\vec{j}=6\vec{i}+4\vec{j}
  3. Doi vectori sunt egali dacă au componentele corespunzătoare egale. Componentele pe j⃗\displaystyle \vec{j} sunt egale (4=4\displaystyle 4=4), deci rămâne egalitatea componentelor pe i⃗\displaystyle \vec{i}.
    m+1=6\displaystyle m+1=6
  4. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri ai ecuației m+1=6\displaystyle m+1=6 și obținem valoarea lui m\displaystyle m.
    m=5\displaystyle m=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=AC=3\displaystyle AB=AC=3 și BC=32\displaystyle BC=3\sqrt{2}. Determinați cos⁡C\displaystyle \cos C.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm pătratele laturilor egale: AB2=32=9\displaystyle AB^{2}=3^{2}=9 și AC2=9\displaystyle AC^{2}=9, deci AB2+AC2=18\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=18.
    AB2+AC2=18\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=18
  2. Calculăm pătratul laturii BC\displaystyle BC: BC2=(32)2=9⋅2=18\displaystyle BC^{2}=\left(3\sqrt{2}\right)^{2}=9\cdot 2=18.
    BC2=18\displaystyle BC^{2}=18
  3. Deoarece AB2+AC2=BC2\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}, din reciproca teoremei lui Pitagora triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A. Cum AB=AC\displaystyle AB=AC, triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic isoscel.
    ΔABC este dreptunghic isoscel\displaystyle \Delta ABC\text{ este dreptunghic isoscel}
  4. În triunghiul dreptunghic isoscel, unghiurile de la baza BC\displaystyle BC sunt egale și suma lor este 90∘\displaystyle 90^\circ, deci ∠C=45∘\displaystyle \angle C=45^\circ.
    ∠C=45∘\displaystyle \angle C=45^\circ
  5. Cosinusul lui C\displaystyle C se poate calcula și ca raport între cateta AC\displaystyle AC și ipotenuza BC\displaystyle BC: cos⁡C=ACBC=332=12=22\displaystyle \cos C=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{3\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. La fel, cos⁡45∘=22\displaystyle \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    cos⁡C=22\displaystyle \cos C=\frac{\sqrt{2}}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(100x102x2−2x4x1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&0&0\\x&1&0\\2x^2-2x&4x&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în fiecare element al matricei: prima linie rămâne (1,0,0)\displaystyle (1,0,0), a doua devine (0,1,0)\displaystyle (0,1,0), iar a treia devine (2⋅02−2⋅0, 4⋅0, 1)=(0,0,1)\displaystyle (2\cdot 0^{2}-2\cdot 0,\ 4\cdot 0,\ 1)=(0,0,1).
    A(0)=(100010001)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0), care este determinantul matricei unitate de ordinul 3\displaystyle 3.
    det⁡(A(0))=∣100010001∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus: produsul elementelor de pe diagonala principală este 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1, iar toți ceilalți termeni conțin cel puțin un element egal cu 0\displaystyle 0, deci sunt nuli. Rezultă că det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
    det⁡(A(0))=1+0+0−0−0−0=1\displaystyle \det(A(0))=1+0+0-0-0-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(100x102x2−2x4x1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&0&0\\x&1&0\\2x^2-2x&4x&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(x+y)=A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x+y)=A(x)\cdot A(y) pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu x+y\displaystyle x+y în definiția matricei A\displaystyle A. Elementele devin x+y\displaystyle x+y, 2(x+y)2−2(x+y)\displaystyle 2(x+y)^{2}-2(x+y), respectiv 4(x+y)\displaystyle 4(x+y).
    A(x+y)=(100x+y102(x+y)2−2(x+y)4(x+y)1)\displaystyle A(x+y)=\begin{pmatrix}1&0&0\\x+y&1&0\\2(x+y)^{2}-2(x+y)&4(x+y)&1\end{pmatrix}
  2. Scriem matricele A(x)\displaystyle A(x) și A(y)\displaystyle A(y) alăturat, pentru a calcula produsul linie cu coloană.
    A(x)⋅A(y)=(100x102x2−2x4x1)⋅(100y102y2−2y4y1)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}1&0&0\\x&1&0\\2x^{2}-2x&4x&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&0\\y&1&0\\2y^{2}-2y&4y&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm liniile produsului. Prima linie rămâne (1,0,0)\displaystyle (1,0,0). A doua linie este x\displaystyle x ori prima linie a lui A(y)\displaystyle A(y) plus a doua linie a lui A(y)\displaystyle A(y), adică (x+y, 1, 0)\displaystyle (x+y,\,1,\,0). A treia linie este (2x2−2x)\displaystyle (2x^{2}-2x) ori prima linie, plus 4x\displaystyle 4x ori a doua linie, plus a treia linie a lui A(y)\displaystyle A(y).
    (100x+y102x2−2x+4xy+2y2−2y4x+4y1)\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\x+y&1&0\\2x^{2}-2x+4xy+2y^{2}-2y&4x+4y&1\end{pmatrix}
  4. Dezvoltăm 2(x+y)2−2(x+y)=2x2+4xy+2y2−2x−2y\displaystyle 2(x+y)^{2}-2(x+y)=2x^{2}+4xy+2y^{2}-2x-2y, iar 4(x+y)=4x+4y\displaystyle 4(x+y)=4x+4y. Elementele coincid cu cele ale produsului, deci A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y).
    A(x)⋅A(y)=(100x+y102x2+4xy+2y2−2x−2y4x+4y1)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}1&0&0\\x+y&1&0\\2x^{2}+4xy+2y^{2}-2x-2y&4x+4y&1\end{pmatrix}=A(x+y)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(100x102x2−2x4x1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&0&0\\x&1&0\\2x^2-2x&4x&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x știind că A(x2+2)=A(x)⋅A(x)⋅A(x)\displaystyle A(x^2+2)=A(x)\cdot A(x)\cdot A(x).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul a două matrice de forma dată, A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x)\cdot A(y). Elementele de pe prima linie sunt 1,0,0\displaystyle 1,0,0. Pe linia a doua se obține x+y, 1, 0\displaystyle x+y,\ 1,\ 0. Pe linia a treia, elementul din prima coloană este 2x2−2x+4xy+2y2−2y=2(x+y)2−2(x+y)\displaystyle 2x^{2}-2x+4xy+2y^{2}-2y=2(x+y)^{2}-2(x+y), iar elementul din a doua coloană este 4x+4y\displaystyle 4x+4y. Deci A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y).
    A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y)
  2. Aplicăm relația de două ori. Mai întâi A(x)⋅A(x)=A(2x)\displaystyle A(x)\cdot A(x)=A(2x), apoi A(2x)⋅A(x)=A(3x)\displaystyle A(2x)\cdot A(x)=A(3x).
    A(x)⋅A(x)⋅A(x)=A(3x)\displaystyle A(x)\cdot A(x)\cdot A(x)=A(3x)
  3. Ecuația devine A(x2+2)=A(3x)\displaystyle A(x^{2}+2)=A(3x). Două matrice de forma A(t)\displaystyle A(t) sunt egale exact când argumentele coincid, de exemplu din egalitatea elementelor de pe linia a doua, prima coloană. Obținem x2+2=3x\displaystyle x^{2}+2=3x.
    x2+2=3x  ⟺  x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}+2=3x\iff x^{2}-3x+2=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=9−8=1\displaystyle \Delta=9-8=1, deci x=3±12\displaystyle x=\dfrac{3\pm 1}{2}. Obținem x1=1\displaystyle x_1=1 și x2=2\displaystyle x_2=2.
    x1=1 și x2=2\displaystyle x_1=1\text{ și }x_2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−3X2+aX−2\displaystyle f=X^3-3X^2+aX-2, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că f(2)=2(a−3)\displaystyle f(2)=2(a-3).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 2\displaystyle 2 în expresia polinomului f=X3−3X2+aX−2\displaystyle f=X^3-3X^2+aX-2.
    f(2)=23−3⋅22+a⋅2−2\displaystyle f(2)=2^3-3\cdot 2^2+a\cdot 2-2
  2. Calculăm puterile: 23=8\displaystyle 2^3=8, iar 22=4\displaystyle 2^2=4, deci 3⋅22=12\displaystyle 3\cdot 2^2=12.
    f(2)=8−12+2a−2\displaystyle f(2)=8-12+2a-2
  3. Reducem termenii constanți: 8−12−2=−6\displaystyle 8-12-2=-6.
    f(2)=2a−6\displaystyle f(2)=2a-6
  4. Dăm factor comun pe 2\displaystyle 2 și obținem egalitatea cerută.
    f(2)=2a−6=2(a−3)\displaystyle f(2)=2a-6=2(a-3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−3X2+aX−2\displaystyle f=X^3-3X^2+aX-2, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a știind că polinomul f\displaystyle f este divizibil prin X2−X+1\displaystyle X^2-X+1.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim f\displaystyle f la X2−X+1\displaystyle X^2-X+1. Primul termen al câtului se obține din X3X2=X\displaystyle \dfrac{X^3}{X^2}=X. Înmulțim X\displaystyle X cu împărțitorul și scădem din f\displaystyle f: X(X2−X+1)=X3−X2+X\displaystyle X(X^2-X+1)=X^3-X^2+X.
    f−X(X2−X+1)=−2X2+(a−1)X−2\displaystyle f-X(X^2-X+1)=-2X^2+(a-1)X-2
  2. Următorul termen al câtului este −2X2X2=−2\displaystyle \dfrac{-2X^2}{X^2}=-2. Avem −2(X2−X+1)=−2X2+2X−2\displaystyle -2(X^2-X+1)=-2X^2+2X-2. Scădem această expresie din restul parțial −2X2+(a−1)X−2\displaystyle -2X^2+(a-1)X-2.
    −2X2+(a−1)X−2−(−2X2+2X−2)=(a−3)X\displaystyle -2X^2+(a-1)X-2-(-2X^2+2X-2)=(a-3)X
  3. Restul (a−3)X\displaystyle (a-3)X are gradul cel mult 1\displaystyle 1, mai mic decât gradul împărțitorului, 2\displaystyle 2, deci împărțirea se oprește. Câtul este X−2\displaystyle X-2, iar restul este (a−3)X\displaystyle (a-3)X, deci avem scrierea de mai jos.
    f=(X−2)(X2−X+1)+(a−3)X\displaystyle f=(X-2)(X^2-X+1)+(a-3)X
  4. Polinomul f\displaystyle f este divizibil cu X2−X+1\displaystyle X^2-X+1 exact când restul este polinomul nul. Polinomul (a−3)X\displaystyle (a-3)X este nul doar dacă a−3=0\displaystyle a-3=0, deci a=3\displaystyle a=3.
    a=3\displaystyle a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−3X2+aX−2\displaystyle f=X^3-3X^2+aX-2, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=3\displaystyle a=3, rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația f(2x)=0\displaystyle f(2^x)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=3\displaystyle a=3, polinomul este f=X3−3X2+3X−2\displaystyle f=X^3-3X^2+3X-2. Căutăm o rădăcină întreagă printre divizorii termenului liber: f(2)=8−12+6−2=0\displaystyle f(2)=8-12+6-2=0, deci X−2\displaystyle X-2 divide polinomul.
    f(2)=0\displaystyle f(2)=0
  2. Împărțim polinomul la X−2\displaystyle X-2 (de exemplu cu schema lui Horner, coeficienții 1,−3,3,−2\displaystyle 1,-3,3,-2 dau câtul cu coeficienții 1,−1,1\displaystyle 1,-1,1 și restul 0\displaystyle 0) și obținem descompunerea în factori.
    f=(X−2)(X2−X+1)\displaystyle f=(X-2)(X^2-X+1)
  3. Înlocuim X\displaystyle X cu 2x\displaystyle 2^x în descompunere. Ecuația f(2x)=0\displaystyle f(2^x)=0 devine (2x−2)(22x−2x+1)=0\displaystyle (2^x-2)(2^{2x}-2^x+1)=0, deci un factor trebuie să fie zero.
    (2x−2)(22x−2x+1)=0\displaystyle (2^x-2)(2^{2x}-2^x+1)=0
  4. Factorul de gradul al doilea nu are rădăcini reale. Notăm t=2x\displaystyle t=2^x și obținem t2−t+1=0\displaystyle t^2-t+1=0, cu discriminantul Δ=1−4=−3<0\displaystyle \Delta=1-4=-3<0. Deci 22x−2x+1\displaystyle 2^{2x}-2^x+1 este mereu nenul (de fapt strict pozitiv).
    Δ=−3<0\displaystyle \Delta=-3<0
  5. Rămâne doar 2x−2=0\displaystyle 2^x-2=0, adică 2x=2=21\displaystyle 2^x=2=2^1. Funcția exponențială este injectivă, deci x=1\displaystyle x=1.
    (2x−2)(22x−2x+1)=0⇔x=1\displaystyle (2^x-2)(2^{2x}-2^x+1)=0\Leftrightarrow x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xexx+2\displaystyle f(x)=\frac{xe^x}{x+2}.

Arătați că f′(x)=(x2+2x+2)ex(x+2)2\displaystyle f'(x)=\frac{(x^2+2x+2)e^x}{(x+2)^2}, x∈(−2,+∞)\displaystyle x\in(-2,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât, deci aplicăm formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=xex\displaystyle u=xe^{x} și v=x+2\displaystyle v=x+2.
    f′(x)=(xex)′⋅(x+2)−xex⋅(x+2)′(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(xe^{x})'\cdot(x+2)-xe^{x}\cdot(x+2)'}{(x+2)^{2}}
  2. Derivăm numărătorul cu formula produsului: (xex)′=x′⋅ex+x⋅(ex)′\displaystyle (xe^{x})'=x'\cdot e^{x}+x\cdot(e^{x})', unde x′=1\displaystyle x'=1 și (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}.
    (xex)′=ex+xex\displaystyle (xe^{x})'=e^{x}+xe^{x}
  3. Derivata numitorului este (x+2)′=1\displaystyle (x+2)'=1. Înlocuim în formula câtului.
    f′(x)=(ex+xex)(x+2)−xex(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(e^{x}+xe^{x})(x+2)-xe^{x}}{(x+2)^{2}}
  4. Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} în numărător și desfacem parantezele: (1+x)(x+2)=x2+3x+2\displaystyle (1+x)(x+2)=x^{2}+3x+2.
    f′(x)=ex[(1+x)(x+2)−x](x+2)2=ex(x2+3x+2−x)(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}\left[(1+x)(x+2)-x\right]}{(x+2)^{2}}=\dfrac{e^{x}\left(x^{2}+3x+2-x\right)}{(x+2)^{2}}
  5. Reducem termenii asemenea: 3x−x=2x\displaystyle 3x-x=2x. Obținem expresia cerută, pentru orice x∈(−2,+∞)\displaystyle x\in(-2,+\infty).
    f′(x)=(x2+2x+2)ex(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2}+2x+2)e^{x}}{(x+2)^{2}}, x∈(−2,+∞)\displaystyle \ x\in(-2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xexx+2\displaystyle f(x)=\frac{xe^x}{x+2}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_0=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_0=0: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0), adică y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)=0⋅e00+2=02=0\displaystyle f(0)=\dfrac{0\cdot e^{0}}{0+2}=\dfrac{0}{2}=0.
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0
  3. Derivăm f\displaystyle f cu formula câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=xex\displaystyle u=xe^{x} și v=x+2\displaystyle v=x+2.
    f′(x)=(xex)′(x+2)−xex⋅1(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(xe^{x})'(x+2)-xe^{x}\cdot 1}{(x+2)^{2}}
  4. Avem (xex)′=ex+xex=ex(x+1)\displaystyle (xe^{x})'=e^{x}+xe^{x}=e^{x}(x+1). Înlocuim și dăm factor comun ex\displaystyle e^{x} la numărător: ex[(x+1)(x+2)−x]=ex(x2+2x+2)\displaystyle e^{x}\left[(x+1)(x+2)-x\right]=e^{x}(x^{2}+2x+2).
    f′(x)=ex(x2+2x+2)(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}(x^{2}+2x+2)}{(x+2)^{2}}
  5. Calculăm f′(0)=e0(0+0+2)(0+2)2=24=12\displaystyle f'(0)=\dfrac{e^{0}(0+0+2)}{(0+2)^{2}}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
    f′(0)=12\displaystyle f'(0)=\dfrac{1}{2}
  6. Înlocuim f(0)=0\displaystyle f(0)=0 și f′(0)=12\displaystyle f'(0)=\dfrac{1}{2} în formula tangentei: y−0=12(x−0)\displaystyle y-0=\dfrac{1}{2}(x-0), deci ecuația tangentei este y=12x\displaystyle y=\dfrac{1}{2}x.
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0, f′(0)=12\displaystyle \ f'(0)=\frac{1}{2}, deci ecuația tangentei \displaystyle \text{ deci ecuația tangentei }este y=12x\displaystyle \text{este }y=\frac{1}{2}x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xexx+2\displaystyle f(x)=\frac{xe^x}{x+2}.

Arătați că ecuația f(x)=1\displaystyle f(x)=1 are cel puțin o soluție în intervalul (1,2)\displaystyle (1,2).
Vezi rezolvarea
  1. Definim funcția auxiliară g:[1,2]→R\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)−1\displaystyle g(x)=f(x)-1. Ecuația f(x)=1\displaystyle f(x)=1 este echivalentă cu g(x)=0\displaystyle g(x)=0, deci căutăm un zero al lui g\displaystyle g în (1,2)\displaystyle (1,2).
    g(x)=xexx+2−1\displaystyle g(x)=\frac{xe^x}{x+2}-1
  2. Funcția g\displaystyle g este continuă pe [1,2]\displaystyle [1,2], fiindcă este diferența dintre un raport de funcții continue (numitorul x+2\displaystyle x+2 este nenul pe [1,2]\displaystyle [1,2]) și o constantă. Deci putem aplica proprietatea lui Darboux.
    g este continua˘ pe [1,2]\displaystyle g\text{ este continuă pe }[1,2]
  3. Calculăm g(1)\displaystyle g(1): f(1)=1⋅e1+2=e3\displaystyle f(1)=\dfrac{1\cdot e}{1+2}=\dfrac{e}{3}, deci g(1)=e3−1\displaystyle g(1)=\dfrac{e}{3}-1.
    g(1)=e−33\displaystyle g(1)=\frac{e-3}{3}
  4. Calculăm g(2)\displaystyle g(2): f(2)=2e22+2=e22\displaystyle f(2)=\dfrac{2e^{2}}{2+2}=\dfrac{e^{2}}{2}, deci g(2)=e22−1\displaystyle g(2)=\dfrac{e^{2}}{2}-1.
    g(2)=e2−22\displaystyle g(2)=\frac{e^{2}-2}{2}
  5. Stabilim semnele. Cum e<3\displaystyle e<3, avem e−3<0\displaystyle e-3<0, deci g(1)<0\displaystyle g(1)<0. Cum e>2\displaystyle e>2, avem e2>4>2\displaystyle e^{2}>4>2, deci g(2)>0\displaystyle g(2)>0. Prin urmare produsul g(1)⋅g(2)\displaystyle g(1)\cdot g(2) este negativ.
    g(1)⋅g(2)=e−33⋅e2−22<0\displaystyle g(1)\cdot g(2)=\frac{e-3}{3}\cdot\frac{e^{2}-2}{2}<0
  6. Funcția g\displaystyle g este continuă pe [1,2]\displaystyle [1,2] și g(1)⋅g(2)<0\displaystyle g(1)\cdot g(2)<0, deci g\displaystyle g are valori de semne opuse la capete. Din proprietatea lui Darboux există c∈(1,2)\displaystyle c\in(1,2) cu g(c)=0\displaystyle g(c)=0, adică f(c)=1\displaystyle f(c)=1. Așadar ecuația f(x)=1\displaystyle f(x)=1 are cel puțin o soluție în intervalul (1,2)\displaystyle (1,2).
    g(1)⋅g(2)<0, deci exista˘ c∈(1,2) astfel ıˆncaˆt g(c)=0, adica˘ f(c)=1\displaystyle g(1)\cdot g(2)<0\text{, deci există }c\in(1,2)\text{ astfel încât }g(c)=0\text{, adică }f(c)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xn1+xn dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x^n}\,dx.

Arătați că I1=1−ln⁡2\displaystyle I_1=1-\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1 avem I1=∫01x1+x dx\displaystyle I_1=\int_0^1\frac{x}{1+x}\,dx.
    I1=∫01x1+x dx\displaystyle I_1=\int_0^1\frac{x}{1+x}\,dx
  2. Scriem x=(1+x)−1\displaystyle x=(1+x)-1, deci x1+x=(1+x)−11+x=1+x1+x−11+x\displaystyle \frac{x}{1+x}=\frac{(1+x)-1}{1+x}=\frac{1+x}{1+x}-\frac{1}{1+x}.
    x1+x=1−11+x\displaystyle \frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}
  3. Înlocuind în integrală, obținem I1=∫01(1−11+x)dx\displaystyle I_1=\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+x}\right)dx.
    I1=∫01(1−11+x)dx\displaystyle I_1=\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+x}\right)dx
  4. Din liniaritatea integralei, I1=∫011 dx−∫0111+x dx\displaystyle I_1=\int_0^1 1\,dx-\int_0^1\frac{1}{1+x}\,dx.
    I1=∫011 dx−∫0111+x dx\displaystyle I_1=\int_0^1 1\,dx-\int_0^1\frac{1}{1+x}\,dx
  5. O primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar o primitivă a lui 11+x\displaystyle \frac{1}{1+x} este ln⁡(1+x)\displaystyle \ln(1+x), deoarece 1+x>0\displaystyle 1+x>0 pe [0,1]\displaystyle [0,1]. Deci I1=x∣01−ln⁡(1+x)∣01\displaystyle I_1=x\Big|_0^1-\ln(1+x)\Big|_0^1.
    I1=x∣01−ln⁡(1+x)∣01\displaystyle I_1=x\Big|_0^1-\ln(1+x)\Big|_0^1
  6. Calculăm: x∣01=1−0=1\displaystyle x\Big|_0^1=1-0=1 și ln⁡(1+x)∣01=ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2\displaystyle \ln(1+x)\Big|_0^1=\ln 2-\ln 1=\ln 2. Rezultă I1=1−ln⁡2\displaystyle I_1=1-\ln 2.
    I1=1−ln⁡2\displaystyle I_1=1-\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xn1+xn dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x^n}\,dx.

Arătați că In+1≤In\displaystyle I_{n+1}\le I_n pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem diferența In+1−In\displaystyle I_{n+1}-I_n sub o singură integrală, folosind liniaritatea integralei, cu In+1=∫01xn+11+xn+1 dx\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1\frac{x^{n+1}}{1+x^{n+1}}\,dx.
    In+1−In=∫01(xn+11+xn+1−xn1+xn)dx\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1\left(\frac{x^{n+1}}{1+x^{n+1}}-\frac{x^{n}}{1+x^{n}}\right)dx
  2. Dăm factor comun xn\displaystyle x^n în integrand, deoarece xn+1=xn⋅x\displaystyle x^{n+1}=x^n\cdot x.
    In+1−In=∫01xn(x1+xn+1−11+xn)dx\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1 x^n\left(\frac{x}{1+x^{n+1}}-\frac{1}{1+x^n}\right)dx
  3. Aducem fracțiile din paranteză la același numitor, (1+xn)(1+xn+1)\displaystyle (1+x^n)(1+x^{n+1}). Numărătorul este x(1+xn)−(1+xn+1)=x+xn+1−1−xn+1=x−1\displaystyle x(1+x^n)-(1+x^{n+1})=x+x^{n+1}-1-x^{n+1}=x-1.
    In+1−In=∫01xn(x−1)(1+xn)(1+xn+1) dx\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1\frac{x^n(x-1)}{(1+x^n)(1+x^{n+1})}\,dx
  4. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x−1≤0\displaystyle x-1\le 0, xn≥0\displaystyle x^n\ge 0, iar numitorii sunt pozitivi: 1+xn>0\displaystyle 1+x^n>0 și 1+xn+1>0\displaystyle 1+x^{n+1}>0.
    x−1≤0\displaystyle x-1\le 0, xn≥0\displaystyle \ x^n\ge 0, 1+xn>0\displaystyle \ 1+x^n>0, 1+xn+1>0\displaystyle \ 1+x^{n+1}>0
  5. Integrandul xn(x−1)(1+xn)(1+xn+1)\displaystyle \frac{x^n(x-1)}{(1+x^n)(1+x^{n+1})} este ≤0\displaystyle \le 0 pe [0,1]\displaystyle [0,1], deci integrala sa este ≤0\displaystyle \le 0. Așadar In+1≤In\displaystyle I_{n+1}\le I_n pentru orice n\displaystyle n natural nenul.
    In+1−In≤0, deci In+1≤In\displaystyle I_{n+1}-I_n\le 0\text{, deci }I_{n+1}\le I_n
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xn1+xn dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x^n}\,dx.

Demonstrați că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem xn≥0\displaystyle x^{n}\ge 0, deci numărătorul este pozitiv sau nul, iar numitorul 1+xn≥1>0\displaystyle 1+x^{n}\ge 1>0. Rezultă că fracția este nenegativă: xn1+xn≥0\displaystyle \dfrac{x^{n}}{1+x^{n}}\ge 0.
    xn1+xn≥0\displaystyle \frac{x^{n}}{1+x^{n}}\ge 0
  2. Deoarece 1+xn≥1\displaystyle 1+x^{n}\ge 1, avem 11+xn≤1\displaystyle \dfrac{1}{1+x^{n}}\le 1. Înmulțind cu xn≥0\displaystyle x^{n}\ge 0 obținem xn1+xn≤xn\displaystyle \dfrac{x^{n}}{1+x^{n}}\le x^{n}. Deci, pentru orice x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1], are loc dubla inegalitate.
    0≤xn1+xn≤xn\displaystyle 0\le\frac{x^{n}}{1+x^{n}}\le x^{n}
  3. Integrăm inegalitatea de la 0\displaystyle 0 la 1\displaystyle 1, folosind monotonia integralei: 0≤∫01xn1+xn dx≤∫01xn dx\displaystyle 0\le\int_0^1\dfrac{x^{n}}{1+x^{n}}\,dx\le\int_0^1 x^{n}\,dx.
    0≤In≤∫01xn dx\displaystyle 0\le I_n\le\int_0^1 x^{n}\,dx
  4. Calculăm integrala din dreapta: ∫01xn dx=xn+1n+1∣01=1n+1\displaystyle \int_0^1 x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1=\dfrac{1}{n+1}.
    ∫01xn dx=1n+1, deci 0≤In≤1n+1\displaystyle \int_0^1 x^{n}\,dx=\frac{1}{n+1}\text{, deci }0\le I_n\le\frac{1}{n+1}
  5. Șirul din stânga este constant 0\displaystyle 0, iar 1n+1→0\displaystyle \dfrac{1}{n+1}\to 0 când n→+∞\displaystyle n\to+\infty. Din criteriul cleștelui rezultă că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0.
    0≤In≤1n+1, deci lim⁡n→+∞In=0\displaystyle 0\le I_n\le\frac{1}{n+1}\text{, deci }\lim_{n\to+\infty}I_n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.