Bac matematică M1 mate-info 2021, sesiunea a II-a varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați media aritmetică a numerelor reale a=2021−2\displaystyle a=2021-\sqrt{2} și b=2021+2\displaystyle b=2021+\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Media aritmetică a două numere a\displaystyle a și b\displaystyle b este suma lor împărțită la 2\displaystyle 2: ma=a+b2\displaystyle m_a=\dfrac{a+b}{2}.
    ma=a+b2\displaystyle m_a=\frac{a+b}{2}
  2. Înlocuim a=2021−2\displaystyle a=2021-\sqrt{2} și b=2021+2\displaystyle b=2021+\sqrt{2} în formulă.
    ma=2021−2+2021+22\displaystyle m_a=\frac{2021-\sqrt{2}+2021+\sqrt{2}}{2}
  3. Termenii −2\displaystyle -\sqrt{2} și +2\displaystyle +\sqrt{2} se reduc, iar la numărător rămâne 2021+2021=2⋅2021\displaystyle 2021+2021=2\cdot 2021.
    ma=2⋅20212\displaystyle m_a=\frac{2\cdot 2021}{2}
  4. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2 și obținem media aritmetică.
    ma=2021\displaystyle m_a=2021
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+1\displaystyle f(x)=x^2-3x+1. Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul A(1,m)\displaystyle A(1,m) aparține graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(1,m)\displaystyle A(1,m) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(1)=m\displaystyle f(1)=m, adică ordonata punctului este valoarea funcției în abscisa 1\displaystyle 1.
    f(1)=m\displaystyle f(1)=m
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia f(x)=x2−3x+1\displaystyle f(x)=x^2-3x+1 și obținem egalitatea 12−3⋅1+1=m\displaystyle 1^2-3\cdot 1+1=m, adică 1−3+1=m\displaystyle 1-3+1=m.
    f(1)=m⇔1−3+1=m\displaystyle f(1)=m\Leftrightarrow 1-3+1=m
  3. Calculăm suma din membrul stâng: 1−3+1=−1\displaystyle 1-3+1=-1, deci m=−1\displaystyle m=-1.
    m=−1\displaystyle m=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x+3)+log⁡3(x−3)=2\displaystyle \log_3\left(\sqrt{x}+3\right)+\log_3\left(\sqrt{x}-3\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență: x≥0\displaystyle x\ge 0, x+3>0\displaystyle \sqrt{x}+3>0 și x−3>0\displaystyle \sqrt{x}-3>0. Din ultima condiție obținem x>3\displaystyle \sqrt{x}>3, deci x>9\displaystyle x>9.
    x∈(9,+∞)\displaystyle x\in(9,+\infty)
  2. Aplicăm formula log⁡au+log⁡av=log⁡a(uv)\displaystyle \log_a u+\log_a v=\log_a(uv) și ecuația devine o egalitate cu un singur logaritm.
    log⁡3((x+3)(x−3))=2\displaystyle \log_3\left(\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)\right)=2
  3. Din definiția logaritmului, log⁡3A=2\displaystyle \log_3 A=2 înseamnă A=32\displaystyle A=3^2. Produsul este o diferență de pătrate: (x+3)(x−3)=(x)2−9\displaystyle \left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)=\left(\sqrt{x}\right)^2-9.
    (x)2−9=32\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)^2-9=3^2
  4. Cum (x)2=x\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)^2=x și 32=9\displaystyle 3^2=9, obținem x−9=9\displaystyle x-9=9, deci x=18\displaystyle x=18.
    x−9=9⇒x=18\displaystyle x-9=9\Rightarrow x=18
  5. Verificăm condiția de existență: 18>9\displaystyle 18>9, deci soluția convine. Răspuns: x=18\displaystyle x=18.
    x=18, care convine\displaystyle x=18\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 16\displaystyle 16 submulțimi.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu n\displaystyle n numărul de elemente al mulțimii. Fiecare element poate fi ales sau nu într-o submulțime, deci are două posibilități. Pentru n\displaystyle n elemente, numărul de submulțimi este 2n\displaystyle 2^{n}.
    2n\displaystyle 2^{n}
  2. Egalăm numărul de submulțimi cu 16\displaystyle 16 și scriem 16\displaystyle 16 ca putere a lui 2\displaystyle 2: 2n=16=24\displaystyle 2^{n}=16=2^{4}.
    2n=24\displaystyle 2^{n}=2^{4}
  3. Bazele fiind egale, exponenții sunt egali, deci n=4\displaystyle n=4. Mulțimea are 4\displaystyle 4 elemente.
    2n=16, deci n=4\displaystyle 2^{n}=16\text{, deci }n=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(3,0)\displaystyle M(3,0), N(8,3)\displaystyle N(8,3) și P(6,3)\displaystyle P(6,3). Determinați coordonatele punctului Q\displaystyle Q, știind că MN→+MP→=MQ→\displaystyle \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MQ}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm coordonatele vectorului MN→\displaystyle \overrightarrow{MN}, scăzând coordonatele lui M\displaystyle M din cele ale lui N\displaystyle N: MN→=(8−3, 3−0)\displaystyle \overrightarrow{MN}=(8-3,\,3-0).
    MN→=(5,3)\displaystyle \overrightarrow{MN}=(5,3)
  2. Calculăm coordonatele vectorului MP→\displaystyle \overrightarrow{MP} în același mod: MP→=(6−3, 3−0)\displaystyle \overrightarrow{MP}=(6-3,\,3-0).
    MP→=(3,3)\displaystyle \overrightarrow{MP}=(3,3)
  3. Egalitatea MN→+MP→=MQ→\displaystyle \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MQ} înseamnă, prin regula paralelogramului, că MNQP\displaystyle MNQP este paralelogram, cu diagonalele MQ\displaystyle MQ și PN\displaystyle PN. Diagonalele au același mijloc, deci mijlocul lui [MQ]\displaystyle [MQ] coincide cu mijlocul lui [PN]\displaystyle [PN].
    xM+xQ2=xP+xN2\displaystyle \dfrac{x_M+x_Q}{2}=\dfrac{x_P+x_N}{2},yM+yQ2=yP+yN2\displaystyle \quad \dfrac{y_M+y_Q}{2}=\dfrac{y_P+y_N}{2}
  4. Mijlocul lui [PN]\displaystyle [PN] are coordonatele (6+82, 3+32)\displaystyle \left(\dfrac{6+8}{2},\,\dfrac{3+3}{2}\right), iar mijlocul lui [MQ]\displaystyle [MQ], cu Q(x,y)\displaystyle Q(x,y), are coordonatele (3+x2, 0+y2)\displaystyle \left(\dfrac{3+x}{2},\,\dfrac{0+y}{2}\right).
    3+x2=7\displaystyle \dfrac{3+x}{2}=7,y2=3\displaystyle \quad \dfrac{y}{2}=3
  5. Rezolvăm cele două ecuații: 3+x=14\displaystyle 3+x=14, deci x=11\displaystyle x=11, și y=6\displaystyle y=6. Verificare: MQ→=MN→+MP→=(8,6)\displaystyle \overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}=(8,6), deci Q(3+8, 0+6)=(11,6)\displaystyle Q(3+8,\,0+6)=(11,6).
    x=11 și y=6\displaystyle x=11\text{ și }y=6,Q(11,6)\displaystyle \quad Q(11,6)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC\displaystyle ABC în care sin⁡2A⋅cos⁡A=sin⁡A\displaystyle \sin 2A\cdot\cos A=\sin A. Arătați că A=π4\displaystyle A=\frac{\pi}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula sinusului unghiului dublu, sin⁡2A=2sin⁡Acos⁡A\displaystyle \sin 2A=2\sin A\cos A, și o înlocuim în relația dată sin⁡2A⋅cos⁡A=sin⁡A\displaystyle \sin 2A\cdot\cos A=\sin A.
    2sin⁡A⋅cos⁡A⋅cos⁡A=sin⁡A\displaystyle 2\sin A\cdot\cos A\cdot\cos A=\sin A
  2. Triunghiul este ascuțitunghic, deci A∈(0,π2)\displaystyle A\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), iar sin⁡A≠0\displaystyle \sin A\neq 0. Putem împărți relația la sin⁡A\displaystyle \sin A.
    2cos⁡2A=1\displaystyle 2\cos^2 A=1
  3. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem valoarea lui cos⁡2A\displaystyle \cos^2 A.
    cos⁡2A=12\displaystyle \cos^2 A=\frac{1}{2}
  4. Unghiul A\displaystyle A este ascuțit, deci cos⁡A>0\displaystyle \cos A>0. Extragem rădăcina pătrată și păstrăm valoarea pozitivă: cos⁡A=12=22\displaystyle \cos A=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    cos⁡A=12=22\displaystyle \cos A=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
  5. Singurul unghi din intervalul (0,π2)\displaystyle \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) cu cosinusul egal cu 22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2} este π4\displaystyle \dfrac{\pi}{4}, deci A=π4\displaystyle A=\dfrac{\pi}{4}.
    A=π4\displaystyle A=\frac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1000a01+log⁡2a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&a&0\\1+\log_2 a&0&1\end{pmatrix}, unde a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty).

Arătați că det⁡(A(1))=1\displaystyle \det(A(1))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a). Deoarece log⁡21=0\displaystyle \log_2 1=0, elementul din colțul stânga-jos devine 1+log⁡21=1+0=1\displaystyle 1+\log_2 1=1+0=1.
    1+log⁡21=1\displaystyle 1+\log_2 1=1
  2. Scriem matricea A(1)\displaystyle A(1) și determinantul ei de ordin 3.
    A(1)=(100010101)⇒det⁡(A(1))=∣100010101∣\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(1))=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula triunghiului: adunăm produsele de pe diagonala principală și cele din cele două triunghiuri paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și din triunghiurile paralele cu ea. Singurul produs nenul este 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1 de pe diagonala principală, celelalte conțin cel puțin un factor 0\displaystyle 0. Rezultă det⁡(A(1))=1\displaystyle \det(A(1))=1.
    det⁡(A(1))=1⋅1⋅1+0+0−0−0−0=1\displaystyle \det(A(1))=1\cdot1\cdot1+0+0-0-0-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1000a01+log⁡2a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&a&0\\1+\log_2 a&0&1\end{pmatrix}, unde a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty).

Demonstrați că, pentru orice a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty), matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim criteriul: o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Deci calculăm det⁡(A(a))\displaystyle \det(A(a)).
    A(a) inversabila˘  ⟺  det⁡(A(a))≠0\displaystyle A(a)\text{ inversabilă}\iff\det(A(a))\neq 0
  2. Observăm că prima linie are un singur element nenul, 1\displaystyle 1, pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1). Dezvoltăm determinantul după prima linie. Rămâne minorul format din liniile 2 și 3 și coloanele 2 și 3: ∣a001∣\displaystyle \begin{vmatrix}a&0\\0&1\end{vmatrix}.
    det⁡(A(a))=1⋅∣a001∣\displaystyle \det(A(a))=1\cdot\begin{vmatrix}a&0\\0&1\end{vmatrix}
  3. Calculăm minorul: a⋅1−0⋅0=a\displaystyle a\cdot 1-0\cdot 0=a. Termenul 1+log⁡2a\displaystyle 1+\log_2 a nu influențează determinantul, deoarece se află pe o poziție înmulțită cu zerouri. Obținem det⁡(A(a))=a\displaystyle \det(A(a))=a, pentru orice a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty).
    det⁡(A(a))=∣1000a01+log⁡2a01∣=a, pentru orice a∈(0,+∞)\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&a&0\\1+\log_2 a&0&1\end{vmatrix}=a\text{, pentru orice }a\in(0,+\infty)
  4. Deoarece a>0\displaystyle a>0, avem det⁡(A(a))=a≠0\displaystyle \det(A(a))=a\neq 0 pentru orice a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty). Deci matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă.
    det⁡(A(a))≠0, pentru orice a∈(0,+∞), deci matricea A(a) este inversabila˘\displaystyle \det(A(a))\neq 0\text{, pentru orice }a\in(0,+\infty)\text{, deci matricea }A(a)\text{ este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1000a01+log⁡2a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&a&0\\1+\log_2 a&0&1\end{pmatrix}, unde a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty).

Demonstrați că, pentru orice a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty), det⁡(A(a)+(A(a))−1)≥8\displaystyle \det\left(A(a)+(A(a))^{-1}\right)\geq 8, unde (A(a))−1\displaystyle (A(a))^{-1} este inversa matricei A(a)\displaystyle A(a).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a). Matricea este inferior triunghiulară, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonală: 1⋅a⋅1\displaystyle 1\cdot a\cdot 1. Cum a>0\displaystyle a>0, determinantul este nenul și matricea este inversabilă.
    det⁡A(a)=a≠0\displaystyle \det A(a)=a\neq 0
  2. Aflăm inversa. Matricea A(a)\displaystyle A(a) are pe diagonală 1,a,1\displaystyle 1,a,1, iar elementul din colțul stânga jos este 1+log⁡2a\displaystyle 1+\log_2 a. Inversa are pe diagonală 1,1a,1\displaystyle 1,\dfrac{1}{a},1, iar elementul din colțul stânga jos devine −1−log⁡2a\displaystyle -1-\log_2 a. Verificăm: pe linia a treia a lui A(a)\displaystyle A(a) înmulțită cu prima coloană a inversei obținem (1+log⁡2a)⋅1+1⋅(−1−log⁡2a)=0\displaystyle (1+\log_2 a)\cdot 1+1\cdot(-1-\log_2 a)=0, deci produsul este matricea unitate I3\displaystyle I_3.
    (A(a))−1=(10001a0−1−log⁡2a01)\displaystyle (A(a))^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{a}&0\\-1-\log_2 a&0&1\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele element cu element. Pe diagonală obținem 1+1=2\displaystyle 1+1=2, a+1a\displaystyle a+\dfrac{1}{a} și 1+1=2\displaystyle 1+1=2. În colțul stânga jos obținem (1+log⁡2a)+(−1−log⁡2a)=0\displaystyle (1+\log_2 a)+(-1-\log_2 a)=0. Deci suma este o matrice diagonală.
    A(a)+(A(a))−1=(2000a+1a0002)\displaystyle A(a)+(A(a))^{-1}=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&a+\frac{1}{a}&0\\0&0&2\end{pmatrix}
  4. Determinantul unei matrice diagonale este produsul elementelor de pe diagonală: 2⋅(a+1a)⋅2\displaystyle 2\cdot\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\cdot 2.
    det⁡(A(a)+(A(a))−1)=4(a+1a)\displaystyle \det\left(A(a)+(A(a))^{-1}\right)=4\left(a+\frac{1}{a}\right)
  5. Pentru a>0\displaystyle a>0, inegalitatea a+1a≥2\displaystyle a+\dfrac{1}{a}\geq 2 este echivalentă, după înmulțirea cu a\displaystyle a, cu a2−2a+1≥0\displaystyle a^{2}-2a+1\geq 0, adică (a−1)2≥0\displaystyle (a-1)^{2}\geq 0, ceea ce este adevărat. Înmulțind cu 4\displaystyle 4, obținem det⁡(A(a)+(A(a))−1)≥8\displaystyle \det\left(A(a)+(A(a))^{-1}\right)\geq 8 pentru orice a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty). Egalitatea are loc pentru a=1\displaystyle a=1.
    det⁡(A(a)+(A(a))−1)=4(a+1a)≥4⋅2=8\displaystyle \det\left(A(a)+(A(a))^{-1}\right)=4\left(a+\frac{1}{a}\right)\geq 4\cdot 2=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−m(x+y)+m(m+1)\displaystyle x\circ y=xy-m(x+y)+m(m+1), unde m∈(0,+∞)\displaystyle m\in(0,+\infty).

Pentru m=1\displaystyle m=1, arătați că 2∘2=2\displaystyle 2\circ 2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=1\displaystyle m=1 în definiția legii: m(x+y)\displaystyle m(x+y) devine x+y\displaystyle x+y, iar m(m+1)=1⋅2=2\displaystyle m(m+1)=1\cdot 2=2.
    x∘y=xy−(x+y)+2\displaystyle x\circ y=xy-(x+y)+2
  2. Aplicăm legea pentru x=2\displaystyle x=2 și y=2\displaystyle y=2.
    2∘2=2⋅2−(2+2)+2\displaystyle 2\circ 2=2\cdot 2-(2+2)+2
  3. Calculăm: 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4 și 2+2=4\displaystyle 2+2=4, deci obținem 4−4+2=2\displaystyle 4-4+2=2. Astfel 2∘2=2\displaystyle 2\circ 2=2, ceea ce trebuia demonstrat.
    4−4+2=2\displaystyle 4-4+2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−m(x+y)+m(m+1)\displaystyle x\circ y=xy-m(x+y)+m(m+1), unde m∈(0,+∞)\displaystyle m\in(0,+\infty).

Demonstrați că, dacă 2∘1=5\displaystyle 2\circ 1=5, atunci 2∘5=1\displaystyle 2\circ 5=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=1\displaystyle y=1 în definiția legii: 2∘1=2⋅1−m(2+1)+m(m+1)\displaystyle 2\circ 1=2\cdot 1-m(2+1)+m(m+1). Condiția 2∘1=5\displaystyle 2\circ 1=5 devine o ecuație în m\displaystyle m.
    2⋅1−m(2+1)+m(m+1)=5\displaystyle 2\cdot 1-m(2+1)+m(m+1)=5
  2. Desfacem parantezele: 2−3m+m2+m=5\displaystyle 2-3m+m^{2}+m=5. Reducem termenii asemenea și mutăm totul în stânga: m2−2m−3=0\displaystyle m^{2}-2m-3=0.
    m2−2m−3=0\displaystyle m^{2}-2m-3=0
  3. Descompunem: m2−2m−3=(m−3)(m+1)\displaystyle m^{2}-2m-3=(m-3)(m+1), deci m=3\displaystyle m=3 sau m=−1\displaystyle m=-1. Deoarece m∈(0,+∞)\displaystyle m\in(0,+\infty), rădăcina m=−1\displaystyle m=-1 nu convine, deci rămâne m=3\displaystyle m=3.
    m=3\displaystyle m=3
  4. Cu m=3\displaystyle m=3 legea este x∘y=xy−3(x+y)+12\displaystyle x\circ y=xy-3(x+y)+12, pentru că m(m+1)=3⋅4=12\displaystyle m(m+1)=3\cdot 4=12. Atunci 2∘5=2⋅5−3(2+5)+3⋅4\displaystyle 2\circ 5=2\cdot 5-3(2+5)+3\cdot 4.
    2∘5=2⋅5−3(2+5)+3⋅4=10−21+12\displaystyle 2\circ 5=2\cdot 5-3(2+5)+3\cdot 4=10-21+12
  5. Calculăm: 10−21+12=1\displaystyle 10-21+12=1. Deci, dacă 2∘1=5\displaystyle 2\circ 1=5, atunci 2∘5=1\displaystyle 2\circ 5=1, ceea ce trebuia demonstrat.
    2∘5=10−21+12=1\displaystyle 2\circ 5=10-21+12=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−m(x+y)+m(m+1)\displaystyle x\circ y=xy-m(x+y)+m(m+1), unde m∈(0,+∞)\displaystyle m\in(0,+\infty).

Determinați numărul real x\displaystyle x, știind că (mx3)∘(−mx2)=m\displaystyle \left(mx^3\right)\circ\left(-mx^2\right)=m, pentru orice m∈(0,+∞)\displaystyle m\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Notăm a=mx3\displaystyle a=mx^{3} și b=−mx2\displaystyle b=-mx^{2}. Calculăm ab=−m2x5\displaystyle ab=-m^{2}x^{5} și a+b=mx3−mx2\displaystyle a+b=mx^{3}-mx^{2}, apoi le înlocuim în a∘b=ab−m(a+b)+m(m+1)\displaystyle a\circ b=ab-m(a+b)+m(m+1).
    a∘b=−m2x5−m(mx3−mx2)+m(m+1)\displaystyle a\circ b=-m^{2}x^{5}-m\left(mx^{3}-mx^{2}\right)+m(m+1)
  2. Egalăm cu m\displaystyle m: −m2x5−m2x3+m2x2+m2+m=m\displaystyle -m^{2}x^{5}-m^{2}x^{3}+m^{2}x^{2}+m^{2}+m=m. Reducem m\displaystyle m din ambele părți, mutăm totul în același membru, schimbăm semnul și dăm factor comun m2\displaystyle m^{2}.
    −m2x5−m(mx3−mx2)+m2+m=m⇔m2(x5+x3−x2−1)=0\displaystyle -m^{2}x^{5}-m\left(mx^{3}-mx^{2}\right)+m^{2}+m=m\Leftrightarrow m^{2}\left(x^{5}+x^{3}-x^{2}-1\right)=0
  3. Cum m>0\displaystyle m>0, avem m2≠0\displaystyle m^{2}\neq 0, deci putem împărți ecuația prin m2\displaystyle m^{2}.
    x5+x3−x2−1=0\displaystyle x^{5}+x^{3}-x^{2}-1=0
  4. Grupăm termenii: x5+x3=x3(x2+1)\displaystyle x^{5}+x^{3}=x^{3}\left(x^{2}+1\right), iar −x2−1=−(x2+1)\displaystyle -x^{2}-1=-\left(x^{2}+1\right). Dăm factor comun x2+1\displaystyle x^{2}+1.
    x3(x2+1)−x2−1=0⇔(x2+1)(x3−1)=0\displaystyle x^{3}\left(x^{2}+1\right)-x^{2}-1=0\Leftrightarrow\left(x^{2}+1\right)\left(x^{3}-1\right)=0
  5. Pentru x\displaystyle x real, x2+1≥1>0\displaystyle x^{2}+1\geq 1>0, deci factorul x2+1\displaystyle x^{2}+1 nu se anulează. Rămâne x3−1=0\displaystyle x^{3}-1=0, adică x3=1\displaystyle x^{3}=1, deci x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x4−2−4ln⁡x\displaystyle f(x)=x^4-2-4\ln x.

Arătați că f′(x)=4(x2+1)(x+1)(x−1)x\displaystyle f'(x)=\frac{4\left(x^2+1\right)(x+1)(x-1)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen: (x4)′=4x3\displaystyle \left(x^4\right)'=4x^3, (−2)′=0\displaystyle (-2)'=0 și (−4ln⁡x)′=−4x\displaystyle (-4\ln x)'=-\dfrac{4}{x}.
    f′(x)=4x3−4x\displaystyle f'(x)=4x^3-\frac{4}{x}
  2. Aducem la același numitor, x\displaystyle x, amplificând primul termen cu x\displaystyle x: 4x3=4x4x\displaystyle 4x^3=\dfrac{4x^4}{x}.
    f′(x)=4x4x−4x=4x4−4x\displaystyle f'(x)=\frac{4x^4}{x}-\frac{4}{x}=\frac{4x^4-4}{x}
  3. Dăm factor comun 4\displaystyle 4 la numărător.
    f′(x)=4(x4−1)x\displaystyle f'(x)=\frac{4\left(x^4-1\right)}{x}
  4. Descompunem x4−1=(x2)2−12=(x2−1)(x2+1)\displaystyle x^4-1=\left(x^2\right)^2-1^2=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right), apoi x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1). Rezultă formula cerută, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=4(x2+1)(x+1)(x−1)x, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\frac{4\left(x^2+1\right)(x+1)(x-1)}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x4−2−4ln⁡x\displaystyle f(x)=x^4-2-4\ln x.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Calculăm derivata: f′(x)=(x4)′−(2)′−4(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=\left(x^{4}\right)'-(2)'-4(\ln x)', deci f′(x)=4x3−4x\displaystyle f'(x)=4x^{3}-\dfrac{4}{x}.
    f′(x)=4x3−4x\displaystyle f'(x)=4x^{3}-\dfrac{4}{x}
  2. Aducem derivata la numitor comun: f′(x)=4x4−4x=4(x4−1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^{4}-4}{x}=\dfrac{4\left(x^{4}-1\right)}{x}. Descompunem x4−1=(x−1)(x+1)(x2+1)\displaystyle x^{4}-1=(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right).
    f′(x)=4(x−1)(x+1)(x2+1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{4(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right)}{x}
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 pentru x>0\displaystyle x>0. Numitorul x\displaystyle x este pozitiv, deci numărătorul trebuie să fie 0\displaystyle 0. Factorii x+1\displaystyle x+1 și x2+1\displaystyle x^{2}+1 sunt strict pozitivi pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci rămâne x−1=0\displaystyle x-1=0.
    f′(x)=0⇔x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1
  4. Studiem semnul derivatei. Pentru x>0\displaystyle x>0, factorii 4\displaystyle 4, x+1\displaystyle x+1, x2+1\displaystyle x^{2}+1 și numitorul x\displaystyle x sunt pozitivi, deci f′(x)\displaystyle f'(x) are semnul lui x−1\displaystyle x-1. Pentru x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1) avem x−1<0\displaystyle x-1<0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0; pentru x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty) avem x−1>0\displaystyle x-1>0, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0.
    f′(x)≤0 pe (0,1] și f′(x)≥0 pe [1,+∞)\displaystyle f'(x)\leq 0\text{ pe }(0,1]\text{ și }f'(x)\geq 0\text{ pe }[1,+\infty)
  5. Concluzie: pe (0,1]\displaystyle (0,1] avem f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0, deci f\displaystyle f este descrescătoare; pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) avem f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\geq 0, deci f\displaystyle f este crescătoare.
    f descresca˘toare pe (0,1] și cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(0,1]\text{ și crescătoare pe }[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x4−2−4ln⁡x\displaystyle f(x)=x^4-2-4\ln x. Demonstrați că ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are exact două soluții distincte în intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm limita în 0\displaystyle 0, din dreapta: x4→0\displaystyle x^{4}\to 0, iar ln⁡x→−∞\displaystyle \ln x\to-\infty, deci −4ln⁡x→+∞\displaystyle -4\ln x\to+\infty.
    lim⁡x→0, x>0f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x>0}f(x)=+\infty
  2. Calculăm limita la +∞\displaystyle +\infty. Dăm factor comun x4\displaystyle x^{4}: f(x)=x4(1−2x4−4ln⁡xx4)\displaystyle f(x)=x^{4}\left(1-\dfrac{2}{x^{4}}-\dfrac{4\ln x}{x^{4}}\right). Cum ln⁡xx4→0\displaystyle \dfrac{\ln x}{x^{4}}\to 0, paranteza tinde la 1\displaystyle 1, iar x4→+∞\displaystyle x^{4}\to+\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  3. Calculăm derivata pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): f′(x)=4x3−4x=4(x4−1)x\displaystyle f'(x)=4x^{3}-\dfrac{4}{x}=\dfrac{4\left(x^{4}-1\right)}{x}.
    f′(x)=4(x4−1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{4\left(x^{4}-1\right)}{x}
  4. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x>0\displaystyle x>0, deci semnul lui f′\displaystyle f' este cel al lui x4−1\displaystyle x^{4}-1. Derivata se anulează doar pentru x=1\displaystyle x=1. Pentru x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1) avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, iar pentru x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty) avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0.
    f strict descresca˘toare pe (0,1) și strict cresca˘toare pe (1,+∞)\displaystyle f\text{ strict descrescătoare pe }(0,1)\text{ și strict crescătoare pe }(1,+\infty)
  5. Calculăm valoarea în x=1\displaystyle x=1: f(1)=14−2−4ln⁡1=1−2−0\displaystyle f(1)=1^{4}-2-4\ln 1=1-2-0.
    f(1)=−1\displaystyle f(1)=-1
  6. Pe (0,1)\displaystyle (0,1) funcția f\displaystyle f este continuă și strict descrescătoare, de la +∞\displaystyle +\infty la f(1)=−1<0\displaystyle f(1)=-1<0, deci există exact o soluție a ecuației f(x)=0\displaystyle f(x)=0. Pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) funcția este continuă și strict crescătoare, de la −1\displaystyle -1 la +∞\displaystyle +\infty, deci există exact o soluție. Cum f(1)=−1≠0\displaystyle f(1)=-1\neq 0, cele două soluții sunt distincte și nu există altele.
    f(1)=−1, f continua˘, strict \displaystyle f(1)=-1\text{, }f\text{ continuă, strict }descresca˘toare pe (0,1) și strict cresca˘toare pe (1,+∞), deci f(x)=0 are exact doua˘ soluții \displaystyle \text{descrescătoare pe }(0,1)\text{ și strict crescătoare pe }(1,+\infty)\text{, deci }f(x)=0\text{ are exact două soluții }distincte ıˆn (0,+∞)\displaystyle \text{distincte în }(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1+2xx4+1\displaystyle f(x)=1+\frac{2x}{x^4+1}.

Arătați că ∫01(x4+1)f(x) dx=115\displaystyle \int_0^1\left(x^4+1\right)f(x)\,dx=\frac{11}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1+2xx4+1\displaystyle f(x)=1+\dfrac{2x}{x^{4}+1} în produsul (x4+1)f(x)\displaystyle \left(x^{4}+1\right)f(x).
    (x4+1)f(x)=(x4+1)(1+2xx4+1)\displaystyle \left(x^{4}+1\right)f(x)=\left(x^{4}+1\right)\left(1+\frac{2x}{x^{4}+1}\right)
  2. Distribuim factorul x4+1\displaystyle x^{4}+1: primul termen dă x4+1\displaystyle x^{4}+1, iar în al doilea simplificăm x4+1\displaystyle x^{4}+1 cu numitorul și rămâne 2x\displaystyle 2x.
    (x4+1)f(x)=x4+1+2x\displaystyle \left(x^{4}+1\right)f(x)=x^{4}+1+2x
  3. Integrala devine ∫01(x4+1+2x)dx\displaystyle \int_0^1\left(x^{4}+1+2x\right)dx. Primitivele termenilor sunt: x55\displaystyle \dfrac{x^{5}}{5} pentru x4\displaystyle x^{4}, x\displaystyle x pentru 1\displaystyle 1 și x2\displaystyle x^{2} pentru 2x\displaystyle 2x.
    ∫01(x4+1)f(x) dx=(x55+x+x2)∣01\displaystyle \int_0^1\left(x^{4}+1\right)f(x)\,dx=\left.\left(\frac{x^{5}}{5}+x+x^{2}\right)\right|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton. În x=1\displaystyle x=1 primitiva are valoarea 15+1+1\displaystyle \dfrac{1}{5}+1+1, iar în x=0\displaystyle x=0 are valoarea 0\displaystyle 0. Deci integrala este 15+2=115\displaystyle \dfrac{1}{5}+2=\dfrac{11}{5}.
    15+1+1=115\displaystyle \frac{1}{5}+1+1=\frac{11}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1+2xx4+1\displaystyle f(x)=1+\frac{2x}{x^4+1}.

Se consideră F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} o primitivă a funcției f\displaystyle f. Știind că graficul funcției F\displaystyle F are asimptotă oblică spre +∞\displaystyle +\infty, determinați panta acestei asimptote.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n, iar panta se calculează cu formula m=lim⁡x→+∞F(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{F(x)}{x}.
    m=lim⁡x→+∞F(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}{x}
  2. Numitorul x→+∞\displaystyle x\to+\infty, iar F(x)→±∞\displaystyle F(x)\to\pm\infty (graficul are asimptotă oblică), deci avem cazul ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Aplicăm regula lui L'Hôpital, folosind F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) și x′=1\displaystyle x'=1.
    lim⁡x→+∞F(x)x=lim⁡x→+∞F′(x)x′=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{F'(x)}{x'}=\lim_{x\to+\infty}f(x)
  3. Înlocuim f(x)=1+2xx4+1\displaystyle f(x)=1+\dfrac{2x}{x^4+1}. Fracția 2xx4+1\displaystyle \dfrac{2x}{x^4+1} tinde la 0\displaystyle 0, deoarece gradul numitorului (4\displaystyle 4) este mai mare decât gradul numărătorului (1\displaystyle 1). Deci limita este 1+0=1\displaystyle 1+0=1.
    lim⁡x→+∞(1+2xx4+1)=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2x}{x^4+1}\right)=1
  4. Panta asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty a graficului lui F\displaystyle F este m=1\displaystyle m=1.
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1+2xx4+1\displaystyle f(x)=1+\frac{2x}{x^4+1}.

Se consideră funcția G:R→R\displaystyle G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, primitiva funcției f\displaystyle f pentru care G(0)=0\displaystyle G(0)=0. Arătați că ∫01xG(x) dx=13+π8−14ln⁡2\displaystyle \int_0^1 xG(x)\,dx=\frac{1}{3}+\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece G\displaystyle G este primitiva lui f\displaystyle f cu G(0)=0\displaystyle G(0)=0, avem G(x)=∫0xf(t) dt\displaystyle G(x)=\int_0^x f(t)\,dt. Împărțim integrala în două: integrala lui 1\displaystyle 1 și integrala lui 2tt4+1\displaystyle \dfrac{2t}{t^4+1}. Pentru a doua folosim substituția u=t2\displaystyle u=t^2, deci du=2t dt\displaystyle du=2t\,dt, iar t4+1\displaystyle t^4+1 devine u2+1\displaystyle u^2+1. Obținem arctg⁡(u)=arctg⁡(t2)\displaystyle \operatorname{arctg}(u)=\operatorname{arctg}(t^2).
    ∫2tt4+1 dt=arctg⁡(t2)+C\displaystyle \int \frac{2t}{t^4+1}\,dt=\operatorname{arctg}\left(t^2\right)+C
  2. Calculăm G(x)\displaystyle G(x) cu formula Leibniz-Newton, între 0\displaystyle 0 și x\displaystyle x. Pentru t=0\displaystyle t=0 expresia t+arctg⁡(t2)\displaystyle t+\operatorname{arctg}(t^2) este 0\displaystyle 0.
    G(x)=(t+arctg⁡(t2))∣0x=x+arctg⁡(x2)\displaystyle G(x)=\left.\left(t+\operatorname{arctg}\left(t^2\right)\right)\right|_0^x=x+\operatorname{arctg}\left(x^2\right), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Înmulțim G(x)\displaystyle G(x) cu x\displaystyle x și integrăm de la 0\displaystyle 0 la 1\displaystyle 1, separând cei doi termeni.
    ∫01xG(x) dx=∫01x2 dx+∫01xarctg⁡(x2)dx\displaystyle \int_0^1 xG(x)\,dx=\int_0^1 x^2\,dx+\int_0^1 x\operatorname{arctg}\left(x^2\right)dx
  4. Prima integrală este o integrală de putere.
    ∫01x2 dx=x33∣01=13\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\frac{1}{3}
  5. Pentru a doua integrală folosim substituția u=x2\displaystyle u=x^2, deci du=2x dx\displaystyle du=2x\,dx, adică x dx=du2\displaystyle x\,dx=\dfrac{du}{2}. Limitele rămân 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1. Integrăm arctg⁡u\displaystyle \operatorname{arctg} u prin părți: alegem f(u)=arctg⁡u\displaystyle f(u)=\operatorname{arctg} u și g′(u)=1\displaystyle g'(u)=1, iar integrala lui u1+u2\displaystyle \dfrac{u}{1+u^2} este 12ln⁡(1+u2)\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln(1+u^2). Evaluăm între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1 și înmulțim cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    ∫01xarctg⁡(x2)dx=12∫01arctg⁡u du=12(uarctg⁡u−12ln⁡(1+u2))∣01=12(π4−12ln⁡2)=π8−14ln⁡2\displaystyle \int_0^1 x\operatorname{arctg}\left(x^2\right)dx=\frac{1}{2}\int_0^1\operatorname{arctg}u\,du=\frac{1}{2}\left.\left(u\operatorname{arctg}u-\frac{1}{2}\ln\left(1+u^2\right)\right)\right|_0^1=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2\right)=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\ln 2
  6. Adunăm cele două rezultate și obținem valoarea cerută.
    ∫01xG(x) dx=13+π8−14ln⁡2\displaystyle \int_0^1 xG(x)\,dx=\frac{1}{3}+\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.