Bac matematică M1 mate-info 2018, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul n=∣1−2∣+∣2−2∣\displaystyle n=\left|1-\sqrt{2}\right|+\left|2-\sqrt{2}\right| este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Comparăm 1\displaystyle 1 cu 2\displaystyle \sqrt{2}. Cum 1<2\displaystyle 1<2, rezultă că 1<2\displaystyle \sqrt{1}<\sqrt{2}, adică 1<2\displaystyle 1<\sqrt{2}. Deci diferența 1−2\displaystyle 1-\sqrt{2} este negativă.
    1−2<0\displaystyle 1-\sqrt{2}<0
  2. Modulul unui număr negativ este opusul numărului, deci ∣1−2∣=−(1−2)=2−1\displaystyle \left|1-\sqrt{2}\right|=-(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1.
    ∣1−2∣=2−1\displaystyle \left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1
  3. Comparăm 2\displaystyle \sqrt{2} cu 2\displaystyle 2. Cum 2<4\displaystyle 2<4, avem 2<4=2\displaystyle \sqrt{2}<\sqrt{4}=2. Deci 2−2>0\displaystyle 2-\sqrt{2}>0, iar modulul ei este chiar numărul însuși: ∣2−2∣=2−2\displaystyle \left|2-\sqrt{2}\right|=2-\sqrt{2}.
    ∣1−2∣=2−1\displaystyle \left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1, ∣2−2∣=2−2\displaystyle \ \left|2-\sqrt{2}\right|=2-\sqrt{2}
  4. Înlocuim cele două module în expresia lui n\displaystyle n și reducem termenii cu radical: 2−2=0\displaystyle \sqrt{2}-\sqrt{2}=0, iar 2−1=1\displaystyle 2-1=1. Deci n=1\displaystyle n=1, care este număr natural.
    n=2−1+2−2=1∈N\displaystyle n=\sqrt{2}-1+2-\sqrt{2}=1\in\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=11−x\displaystyle f(x)=11-x și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=1−11x\displaystyle g(x)=1-11x. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația f(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\geq g(x).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=11−x\displaystyle f(x)=11-x și g(x)=1−11x\displaystyle g(x)=1-11x în inecuația f(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\geq g(x).
    11−x≥1−11x\displaystyle 11-x\geq 1-11x
  2. Adunăm 11x\displaystyle 11x la ambele părți și scădem 11\displaystyle 11 din ambele părți: −x+11x≥1−11\displaystyle -x+11x\geq 1-11.
    −x+11x≥1−11\displaystyle -x+11x\geq 1-11
  3. Reducem termenii asemenea: 10x≥−10\displaystyle 10x\geq -10.
    10x≥−10\displaystyle 10x\geq -10
  4. Împărțim ambele părți la 10>0\displaystyle 10>0, deci sensul inegalității se păstrează: x≥−1\displaystyle x\geq -1. Mulțimea soluțiilor este un interval închis la stânga în −1\displaystyle -1.
    x∈[−1,+∞)\displaystyle x\in[-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x⋅2x+1=72\displaystyle 3^{x}\cdot 2^{x+1}=72.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea puterilor: 2x+1=2x⋅2\displaystyle 2^{x+1}=2^{x}\cdot 2. Ecuația devine 3x⋅2x⋅2=72\displaystyle 3^{x}\cdot 2^{x}\cdot 2=72.
    3x⋅2x⋅2=72\displaystyle 3^{x}\cdot 2^{x}\cdot 2=72
  2. Deoarece 3x⋅2x=(3⋅2)x\displaystyle 3^{x}\cdot 2^{x}=(3\cdot 2)^{x}, obținem (3⋅2)x⋅2=72\displaystyle (3\cdot 2)^{x}\cdot 2=72.
    (3⋅2)x⋅2=72\displaystyle (3\cdot 2)^{x}\cdot 2=72
  3. Cum 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6, avem 6x⋅2=72\displaystyle 6^{x}\cdot 2=72. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem 6x=36\displaystyle 6^{x}=36.
    6x=36\displaystyle 6^{x}=36
  4. Scriem 36=62\displaystyle 36=6^{2}, deci 6x=62\displaystyle 6^{x}=6^{2}. Baza fiind aceeași, egalăm exponenții: x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma folosind doar cifre impare.
Vezi rezolvarea
  1. Cifrele impare sunt 1,3,5,7,9\displaystyle 1, 3, 5, 7, 9, deci avem 5\displaystyle 5 cifre impare disponibile. Numărul are trei cifre distincte: sute, zeci și unități, toate alese dintre aceste cinci cifre.
    {1,3,5,7,9}\displaystyle \{1,3,5,7,9\}
  2. Cifra sutelor poate fi oricare dintre cele 5\displaystyle 5 cifre impare (nu apare problema cifrei 0\displaystyle 0, deoarece 0\displaystyle 0 nu este impar). Pentru cifra zecilor rămân 4\displaystyle 4 cifre, pentru că trebuie să fie diferită de cifra sutelor.
    5 moduri pentru sute\displaystyle 5\text{ moduri pentru sute}, 4 moduri pentru zeci\displaystyle \ 4\text{ moduri pentru zeci}
  3. Pentru cifra unităților rămân 3\displaystyle 3 cifre, diferite de cele două deja alese. Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de alegeri la fiecare etapă.
    5⋅4⋅3=60\displaystyle 5\cdot 4\cdot 3=60
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−3,3)\displaystyle A(-3,3), B(1,3)\displaystyle B(1,3) și C(1,5)\displaystyle C(1,5). Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm coordonatele punctelor: A(−3,3)\displaystyle A(-3,3) și B(1,3)\displaystyle B(1,3) au aceeași ordonată, 3\displaystyle 3, deci segmentul AB\displaystyle AB este orizontal. Punctele B(1,3)\displaystyle B(1,3) și C(1,5)\displaystyle C(1,5) au aceeași abscisă, 1\displaystyle 1, deci segmentul BC\displaystyle BC este vertical.
    AB∥Ox\displaystyle AB\parallel Ox, BC∥Oy\displaystyle \ BC\parallel Oy
  2. Un segment orizontal este perpendicular pe unul vertical, deci triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în B\displaystyle B, cu catetele AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC.
    AB⊥BC\displaystyle AB\perp BC, ∠B=90∘\displaystyle \ \angle B=90^\circ
  3. Calculăm lungimile catetelor: AB=∣1−(−3)∣=4\displaystyle AB=|1-(-3)|=4 și BC=∣5−3∣=2\displaystyle BC=|5-3|=2.
    AB=4\displaystyle AB=4, BC=2\displaystyle \ BC=2
  4. Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor: A=AB⋅BC2=4⋅22\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot BC}{2}=\dfrac{4\cdot 2}{2}. Rezultă aria egală cu 4\displaystyle 4.
    AΔABC=2⋅42=4\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{2\cdot 4}{2}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea razei cercului circumscris ΔABC\displaystyle \Delta ABC, știind că BC=4\displaystyle BC=4, B=π3\displaystyle B=\frac{\pi}{3} și C=π6\displaystyle C=\frac{\pi}{6}.
Vezi rezolvarea
  1. Suma unghiurilor unui triunghi este π\displaystyle \pi, deci A=π−(B+C)=π−(π3+π6)\displaystyle A=\pi-(B+C)=\pi-\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}\right).
    A=π−(π3+π6)\displaystyle A=\pi-\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)
  2. Avem π3+π6=2π6+π6=π2\displaystyle \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}, deci A=π−π2=π2\displaystyle A=\pi-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}.
    A=π2\displaystyle A=\frac{\pi}{2}
  3. Deoarece A=π2\displaystyle A=\dfrac{\pi}{2}, triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, iar ipotenuza este BC\displaystyle BC. Centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci R=BC2\displaystyle R=\dfrac{BC}{2}.
    R=BC2\displaystyle R=\frac{BC}{2}
  4. Înlocuind BC=4\displaystyle BC=4, obținem R=42=2\displaystyle R=\dfrac{4}{2}=2.
    R=42=2\displaystyle R=\frac{4}{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1x−2001000ex−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x-2 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & e^{x-2}\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=1\displaystyle \det(A(2))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în matricea A(x)\displaystyle A(x). Elementul de pe prima linie, a doua coloană devine x−2=2−2=0\displaystyle x-2=2-2=0, iar elementul din colțul din dreapta jos devine ex−2=e0\displaystyle e^{x-2}=e^{0}.
    A(2)=(10001000e0)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&e^{0}\end{pmatrix}
  2. Folosim faptul că e0=1\displaystyle e^{0}=1, deci A(2)\displaystyle A(2) este matricea unitate de ordin 3\displaystyle 3, iar determinantul ei este determinantul acestei matrice.
    det⁡(A(2))=∣100010001∣\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus: suma produselor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, minus suma produselor de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Singurul produs nenul este 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1, deci determinantul este 1\displaystyle 1.
    det⁡(A(2))=1+0+0−0−0−0=1\displaystyle \det(A(2))=1+0+0-0-0-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1x−2001000ex−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x-2 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & e^{x-2}\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real. Demonstrați că A(x)A(y)=A(x+y−2)\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y-2), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricile A(x)\displaystyle A(x) și A(y)\displaystyle A(y) conform definiției, înlocuind pe rând x\displaystyle x și y\displaystyle y în formula lui A\displaystyle A.
    (1x−2001000ex−2)⋅(1y−2001000ey−2)\displaystyle \begin{pmatrix}1&x-2&0\\0&1&0\\0&0&e^{x-2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&y-2&0\\0&1&0\\0&0&e^{y-2}\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(x)A(y)\displaystyle A(x)A(y) element cu element, prin înmulțirea liniilor primei matrici cu coloanele celei de-a doua. Pe prima linie obținem 1\displaystyle 1, apoi 1⋅(y−2)+(x−2)⋅1\displaystyle 1\cdot(y-2)+(x-2)\cdot 1, apoi 0\displaystyle 0. A doua linie rămâne (0, 1, 0)\displaystyle (0,\ 1,\ 0). Pe a treia linie, singurul element nenul este ex−2⋅ey−2\displaystyle e^{x-2}\cdot e^{y-2}.
    A(x)A(y)=(1y−2+x−2001000ex−2⋅ey−2)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1&y-2+x-2&0\\0&1&0\\0&0&e^{x-2}\cdot e^{y-2}\end{pmatrix}
  3. Reducem termenii: la poziția (1,2)\displaystyle (1,2), x−2+y−2=x+y−4\displaystyle x-2+y-2=x+y-4. La poziția (3,3)\displaystyle (3,3), folosim regula de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, adică exponenții se adună: ex−2⋅ey−2=ex+y−4\displaystyle e^{x-2}\cdot e^{y-2}=e^{x+y-4}.
    A(x)A(y)=(1x+y−4001000ex+y−4)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1&x+y-4&0\\0&1&0\\0&0&e^{x+y-4}\end{pmatrix}
  4. Calculăm A(x+y−2)\displaystyle A(x+y-2), înlocuind x\displaystyle x cu x+y−2\displaystyle x+y-2 în definiție: (x+y−2)−2=x+y−4\displaystyle (x+y-2)-2=x+y-4, deci obținem exact aceeași matrice. Rezultă A(x)A(y)=A(x+y−2)\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y-2), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    A(x)A(y)=(1x+y−4001000ex+y−4)=A(x+y−2), pentru orice numere \displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1&x+y-4&0\\0&1&0\\0&0&e^{x+y-4}\end{pmatrix}=A(x+y-2)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1x−2001000ex−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x-2 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & e^{x-2}\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care A(1)A(2)A(3)⋅…⋅A(10)=A(m2+m+17)\displaystyle A(1)A(2)A(3)\cdot\ldots\cdot A(10)=A\left(m^2+m+17\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(x)A(y)\displaystyle A(x)A(y). Elementul de pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2) este (x−2)+(y−2)=(x+y−2)−2\displaystyle (x-2)+(y-2)=(x+y-2)-2, iar ultimul element diagonal este ex−2⋅ey−2=e(x+y−2)−2\displaystyle e^{x-2}\cdot e^{y-2}=e^{(x+y-2)-2}. Deci A(x)A(y)=A(x+y−2)\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y-2).
    A(x)A(y)=A(x+y−2)\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y-2)
  2. Aplicăm proprietatea de 9\displaystyle 9 ori, pentru cele 10\displaystyle 10 matrice, iar la fiecare înmulțire se scade 2\displaystyle 2. Obținem A(1)A(2)⋅…⋅A(10)=A(1+2+…+10−2⋅9)\displaystyle A(1)A(2)\cdot\ldots\cdot A(10)=A(1+2+\ldots+10-2\cdot 9). Cum 1+2+…+10=55\displaystyle 1+2+\ldots+10=55, rezultă A(55−18)=A(37)\displaystyle A(55-18)=A(37).
    A(1)A(2)⋯A(10)=A(1+2+…+10−2⋅9)=A(37)\displaystyle A(1)A(2)\cdots A(10)=A(1+2+\ldots+10-2\cdot 9)=A(37)
  3. Egalăm cu A(m2+m+17)\displaystyle A\left(m^2+m+17\right). Elementul de pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2) este x−2\displaystyle x-2, deci matricele sunt egale doar dacă argumentele coincid: 37=m2+m+17\displaystyle 37=m^2+m+17. De aici m2+m−20=0\displaystyle m^2+m-20=0.
    A(37)=A(m2+m+17)⇔m2+m−20=0\displaystyle A(37)=A\left(m^2+m+17\right)\Leftrightarrow m^2+m-20=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=1+80=81\displaystyle \Delta=1+80=81, deci m=−1±92\displaystyle m=\dfrac{-1\pm 9}{2}. Obținem soluțiile m=−5\displaystyle m=-5 și m=4\displaystyle m=4.
    m=−5 sau m=4\displaystyle m=-5\text{ sau }m=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−4X2+5X+a\displaystyle f=X^3-4X^2+5X+a, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că f(1)−f(−1)=12\displaystyle f(1)-f(-1)=12.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în polinom: f(1)=13−4⋅12+5⋅1+a\displaystyle f(1)=1^3-4\cdot 1^2+5\cdot 1+a.
    f(1)=1−4+5+a\displaystyle f(1)=1-4+5+a
  2. Efectuăm calculul numeric: 1−4+5=2\displaystyle 1-4+5=2, deci f(1)=a+2\displaystyle f(1)=a+2.
    f(1)=a+2\displaystyle f(1)=a+2
  3. Înlocuim X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1 în polinom: f(−1)=(−1)3−4⋅(−1)2+5⋅(−1)+a\displaystyle f(-1)=(-1)^3-4\cdot(-1)^2+5\cdot(-1)+a.
    f(−1)=−1−4−5+a\displaystyle f(-1)=-1-4-5+a
  4. Calculăm: −1−4−5=−10\displaystyle -1-4-5=-10, deci f(−1)=a−10\displaystyle f(-1)=a-10.
    f(−1)=a−10\displaystyle f(-1)=a-10
  5. Facem diferența: f(1)−f(−1)=(a+2)−(a−10)=a+2−a+10\displaystyle f(1)-f(-1)=(a+2)-(a-10)=a+2-a+10. Termenii cu a\displaystyle a se reduc și rămâne 2+10=12\displaystyle 2+10=12, deci egalitatea este demonstrată.
    f(1)−f(−1)=a+2−a+10=12\displaystyle f(1)-f(-1)=a+2-a+10=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−4X2+5X+a\displaystyle f=X^3-4X^2+5X+a, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că polinomul f\displaystyle f este divizibil cu polinomul X−2\displaystyle X-2.
Vezi rezolvarea
  1. Un polinom este divizibil cu X−2\displaystyle X-2 exact când 2\displaystyle 2 este rădăcină a polinomului, adică f(2)=0\displaystyle f(2)=0 (teorema lui Bézout).
    f(2)=0\displaystyle f(2)=0
  2. Înlocuim X\displaystyle X cu 2\displaystyle 2 în expresia lui f\displaystyle f: f(2)=23−4⋅22+5⋅2+a\displaystyle f(2)=2^{3}-4\cdot 2^{2}+5\cdot 2+a.
    f(2)=23−4⋅22+5⋅2+a\displaystyle f(2)=2^{3}-4\cdot 2^{2}+5\cdot 2+a
  3. Calculăm puterile și produsele: f(2)=8−16+10+a\displaystyle f(2)=8-16+10+a, deci f(2)=a+2\displaystyle f(2)=a+2.
    f(2)=8−16+10+a=a+2\displaystyle f(2)=8-16+10+a=a+2
  4. Punem condiția f(2)=0\displaystyle f(2)=0, adică a+2=0\displaystyle a+2=0, de unde a=−2\displaystyle a=-2.
    a+2=0⇒a=−2\displaystyle a+2=0\Rightarrow a=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−4X2+5X+a\displaystyle f=X^3-4X^2+5X+a, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că toate rădăcinile polinomului f\displaystyle f sunt numere întregi.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm rădăcinile polinomului cu x1,x2,x3\displaystyle x_1, x_2, x_3 și scriem relațiile lui Viète pentru f=X3−4X2+5X+a\displaystyle f=X^3-4X^2+5X+a: suma rădăcinilor este 4\displaystyle 4, suma produselor a câte două rădăcini este 5\displaystyle 5, iar produsul rădăcinilor este −a\displaystyle -a.
    x1+x2+x3=4\displaystyle x_1+x_2+x_3=4, x1x2+x1x3+x2x3=5\displaystyle \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=5, x1x2x3=−a\displaystyle \ x_1x_2x_3=-a
  2. Calculăm suma pătratelor rădăcinilor cu identitatea x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3). Înlocuind, obținem 42−2⋅5\displaystyle 4^2-2\cdot 5.
    x12+x22+x32=42−2⋅5=6\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=4^2-2\cdot 5=6
  3. Rădăcinile sunt întregi, iar x12+x22+x32=6\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=6. Pătratele perfecte care nu depășesc 6\displaystyle 6 sunt 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 4\displaystyle 4. Singura descompunere a lui 6\displaystyle 6 în trei astfel de pătrate este 6=1+1+4\displaystyle 6=1+1+4. Deci rădăcinile au modulele 1\displaystyle 1, 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    {∣x1∣,∣x2∣,∣x3∣}={1,1,2}\displaystyle \{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}=\{1,1,2\}
  4. Alegem semnele astfel încât suma rădăcinilor să fie 4\displaystyle 4. Cum 1+1+2=4\displaystyle 1+1+2=4, iar orice semn minus ar micșora suma, rădăcinile sunt 1\displaystyle 1, 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2. Verificăm și suma produselor: 1⋅1+1⋅2+1⋅2=5\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 2=5.
    x1=x2=1\displaystyle x_1=x_2=1, x3=2\displaystyle \ x_3=2
  5. Din x1x2x3=−a\displaystyle x_1x_2x_3=-a obținem −a=1⋅1⋅2=2\displaystyle -a=1\cdot 1\cdot 2=2, deci a=−2\displaystyle a=-2. Verificăm: f=X3−4X2+5X−2=(X−1)2(X−2)\displaystyle f=X^3-4X^2+5X-2=(X-1)^2(X-2), deci rădăcinile sunt 1\displaystyle 1, 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2, toate întregi, iar valoarea convine.
    a=−2, care convine\displaystyle a=-2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1xln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\ln x.

Arătați că f′(x)=2−ln⁡x2xx\displaystyle f'(x)=\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția ca produs: f(x)=x−12⋅ln⁡x\displaystyle f(x)=x^{-\frac{1}{2}}\cdot\ln x. Vom aplica formula de derivare a produsului (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f(x)=x−12⋅ln⁡x\displaystyle f(x)=x^{-\frac{1}{2}}\cdot\ln x
  2. Pentru u(x)=x−12\displaystyle u(x)=x^{-\frac{1}{2}} avem u′(x)=−12x−32=−12⋅1xx\displaystyle u'(x)=-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x\sqrt{x}}, deoarece x32=xx\displaystyle x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}. Pentru v(x)=ln⁡x\displaystyle v(x)=\ln x avem v′(x)=1x\displaystyle v'(x)=\dfrac{1}{x}.
    u′(x)=−12⋅1xx\displaystyle u'(x)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x\sqrt{x}},v′(x)=1x\displaystyle \quad v'(x)=\frac{1}{x}
  3. Înlocuim în f′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)\displaystyle f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x) și obținem derivata funcției f\displaystyle f.
    f′(x)=−12⋅1xx⋅ln⁡x+1x⋅1x\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x\sqrt{x}}\cdot\ln x+\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{x}
  4. Efectuăm înmulțirile: primul termen devine −ln⁡x2xx\displaystyle -\dfrac{\ln x}{2x\sqrt{x}}, iar al doilea termen devine 1xx\displaystyle \dfrac{1}{x\sqrt{x}}.
    f′(x)=−ln⁡x2xx+1xx\displaystyle f'(x)=-\frac{\ln x}{2x\sqrt{x}}+\frac{1}{x\sqrt{x}}
  5. Aducem la numitorul comun 2xx\displaystyle 2x\sqrt{x}, amplificând al doilea termen cu 2\displaystyle 2. Obținem −ln⁡x+22xx\displaystyle \dfrac{-\ln x+2}{2x\sqrt{x}}, adică formula cerută, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=2−ln⁡x2xx\displaystyle f'(x)=\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1xln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\ln x.

Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f\displaystyle f, în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este perpendiculară pe axa Oy\displaystyle Oy.
Vezi rezolvarea
  1. O tangentă perpendiculară pe axa Oy\displaystyle Oy este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox, deci este orizontală și are panta zero. Panta tangentei în punctul de abscisă a\displaystyle a este f′(a)\displaystyle f'(a), deci condiția este f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0, cu a>0\displaystyle a>0.
    f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0
  2. Calculăm derivata cu regula de derivare a produsului, scriind 1x\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x}} ca x−12\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}. Derivata lui x−12\displaystyle x^{-\frac{1}{2}} este −12x−32\displaystyle -\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    f′(x)=−12x−32ln⁡x+x−12⋅1x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\ln x+x^{-\frac{1}{2}}\cdot\dfrac{1}{x}
  3. Scoatem factor comun pe x−32\displaystyle x^{-\frac{3}{2}}, deoarece x−12⋅1x=x−32\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}\cdot\dfrac{1}{x}=x^{-\frac{3}{2}}. Obținem o formă în care se vede numărătorul 2−ln⁡x\displaystyle 2-\ln x.
    f′(x)=x−32(1−12ln⁡x)=2−ln⁡x2xx\displaystyle f'(x)=x^{-\frac{3}{2}}\left(1-\dfrac{1}{2}\ln x\right)=\dfrac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}
  4. Punem condiția f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0. Fracția este zero când numărătorul este zero, iar numitorul 2aa\displaystyle 2a\sqrt{a} este nenul pentru a>0\displaystyle a>0. Rezultă ln⁡a=2\displaystyle \ln a=2, deci a=e2\displaystyle a=e^{2}, care este pozitiv și convine. Abscisa punctului este e2\displaystyle e^{2}.
    2−ln⁡a=0⇔a=e2\displaystyle 2-\ln a=0\Leftrightarrow a=e^{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1xln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\ln x.

Demonstrați că 23<32\displaystyle 2^{\sqrt{3}}<3^{\sqrt{2}}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem f(x)=x−12ln⁡x\displaystyle f(x)=x^{-\frac{1}{2}}\ln x și derivăm ca produs: f′(x)=−12x−32ln⁡x+x−12⋅1x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\ln x+x^{-\frac{1}{2}}\cdot\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=−12xxln⁡x+1xx\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}\ln x+\dfrac{1}{x\sqrt{x}}
  2. Dăm factor comun 12xx\displaystyle \dfrac{1}{2x\sqrt{x}}: f′(x)=12xx(2−ln⁡x)\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}\left(2-\ln x\right).
    f′(x)=2−ln⁡x2xx\displaystyle f'(x)=\dfrac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}
  3. Pentru x∈(0,e2)\displaystyle x\in(0,e^{2}) avem 2xx>0\displaystyle 2x\sqrt{x}>0 și ln⁡x<2\displaystyle \ln x<2, deci 2−ln⁡x>0\displaystyle 2-\ln x>0. Rezultă f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, deci f\displaystyle f este strict crescătoare pe (0,e2)\displaystyle (0,e^{2}).
    f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, ∀x∈(0,e2)⇒f strict cresca˘toare pe (0,e2)\displaystyle \ \forall x\in\left(0,e^{2}\right)\Rightarrow f\text{ strict crescătoare pe }\left(0,e^{2}\right)
  4. Avem e>2\displaystyle e>2, deci e2>4>3\displaystyle e^{2}>4>3. Prin urmare 0<2<3<e2\displaystyle 0<2<3<e^{2}.
    0<2<3<e2\displaystyle 0<2<3<e^{2}
  5. Din monotonie, f(2)<f(3)\displaystyle f(2)<f(3), adică 12ln⁡2<13ln⁡3\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}}\ln 2<\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ln 3.
    12ln⁡2<13ln⁡3\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}}\ln 2<\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ln 3
  6. Înmulțim cu 2⋅3>0\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}>0: 3ln⁡2<2ln⁡3\displaystyle \sqrt{3}\ln 2<\sqrt{2}\ln 3. Folosind aln⁡b=ln⁡ba\displaystyle a\ln b=\ln b^{a}, obținem ln⁡23<ln⁡32\displaystyle \ln 2^{\sqrt{3}}<\ln 3^{\sqrt{2}}.
    3ln⁡2<2ln⁡3⇒ln⁡23<ln⁡32\displaystyle \sqrt{3}\ln 2<\sqrt{2}\ln 3\Rightarrow \ln 2^{\sqrt{3}}<\ln 3^{\sqrt{2}}
  7. Cum ln⁡\displaystyle \ln este strict crescătoare, rezultă 23<32\displaystyle 2^{\sqrt{3}}<3^{\sqrt{2}}, ceea ce trebuia demonstrat.
    0<2<3<e2⇒f(2)<f(3)⇒12ln⁡2<13ln⁡3⇒3ln⁡2<2ln⁡3, deci 23<32\displaystyle 0<2<3<e^{2}\Rightarrow f(2)<f(3)\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\ln 2<\frac{1}{\sqrt{3}}\ln 3\Rightarrow\sqrt{3}\ln 2<\sqrt{2}\ln 3\text{, deci }2^{\sqrt{3}}<3^{\sqrt{2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−x2\displaystyle f(x)=4x-x^2.

Arătați că ∫03f(x) dx=9\displaystyle \int_{0}^{3}f(x)\,dx=9.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=4x−x2\displaystyle f(x)=4x-x^{2} în integrala cerută: ∫03f(x) dx=∫03(4x−x2)dx\displaystyle \int_{0}^{3}f(x)\,dx=\int_{0}^{3}\left(4x-x^{2}\right)dx.
    ∫03(4x−x2)dx\displaystyle \int_{0}^{3}\left(4x-x^{2}\right)dx
  2. Folosim ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Primitiva lui 4x\displaystyle 4x este 4⋅x22=2x2\displaystyle 4\cdot\dfrac{x^{2}}{2}=2x^{2}, iar primitiva lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}. Obținem ∫03(4x−x2)dx=(2x2−x33)∣03\displaystyle \int_{0}^{3}\left(4x-x^{2}\right)dx=\left(2x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right)\Big|_{0}^{3}.
    ∫03(4x−x2)dx=(2x2−x33)∣03\displaystyle \int_{0}^{3}\left(4x-x^{2}\right)dx=\left(2x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right)\Big|_{0}^{3}
  3. Calculăm diferența dintre valoarea primitivei în 3\displaystyle 3 și valoarea ei în 0\displaystyle 0: (2⋅32−333)−(2⋅02−033)\displaystyle \left(2\cdot 3^{2}-\dfrac{3^{3}}{3}\right)-\left(2\cdot 0^{2}-\dfrac{0^{3}}{3}\right).
    (2⋅32−333)−(2⋅02−033)=(18−9)−0\displaystyle \left(2\cdot 3^{2}-\frac{3^{3}}{3}\right)-\left(2\cdot 0^{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)=\left(18-9\right)-0
  4. Deoarece 2⋅32=18\displaystyle 2\cdot 3^{2}=18 și 333=9\displaystyle \dfrac{3^{3}}{3}=9, rezultă 18−9=9\displaystyle 18-9=9. Deci ∫03f(x) dx=9\displaystyle \int_{0}^{3}f(x)\,dx=9.
    18−9=9\displaystyle 18-9=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−x2\displaystyle f(x)=4x-x^2.

Arătați că ∫122−xf(x) dx=12ln⁡43\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{2-x}{f(x)}\,dx=\frac{1}{2}\ln\frac{4}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu 4x−x2\displaystyle 4x-x^2 în integrală. Pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2] numitorul este strict pozitiv, deoarece x(4−x)>0\displaystyle x(4-x)>0.
    ∫122−xf(x) dx=∫122−x4x−x2 dx\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{2-x}{f(x)}\,dx=\int_{1}^{2}\frac{2-x}{4x-x^2}\,dx
  2. Calculăm derivata numitorului: (4x−x2)′=4−2x=2(2−x)\displaystyle (4x-x^2)'=4-2x=2(2-x). Deci numărătorul este jumătate din derivata numitorului: 2−x=12(4x−x2)′\displaystyle 2-x=\dfrac{1}{2}(4x-x^2)'.
    2−x=12(4x−x2)′\displaystyle 2-x=\frac{1}{2}\left(4x-x^2\right)'
  3. Scoatem factorul 12\displaystyle \dfrac{1}{2} în fața integralei și folosim ∫u′u dx=ln⁡u\displaystyle \int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln u pentru u=4x−x2>0\displaystyle u=4x-x^2>0. Primitiva este 12ln⁡(4x−x2)\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln(4x-x^2).
    ∫122−x4x−x2 dx=12∫12(4x−x2)′4x−x2 dx=12ln⁡(4x−x2)∣12\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{2-x}{4x-x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{\left(4x-x^2\right)'}{4x-x^2}\,dx=\frac{1}{2}\ln\left(4x-x^2\right)\Big|_{1}^{2}
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Pentru x=2\displaystyle x=2 avem 4⋅2−22=4\displaystyle 4\cdot 2-2^2=4, iar pentru x=1\displaystyle x=1 avem 4⋅1−12=3\displaystyle 4\cdot 1-1^2=3.
    12ln⁡4−12ln⁡3\displaystyle \frac{1}{2}\ln 4-\frac{1}{2}\ln 3
  5. Folosim proprietatea ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b} și scoatem factorul comun 12\displaystyle \dfrac{1}{2}. Obținem rezultatul cerut.
    12ln⁡4−12ln⁡3=12ln⁡43\displaystyle \frac{1}{2}\ln 4-\frac{1}{2}\ln 3=\frac{1}{2}\ln\frac{4}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−x2\displaystyle f(x)=4x-x^2.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫04fn(x) dx\displaystyle I_n=\int_{0}^{4}f^{n}(x)\,dx. Demonstrați că In+1≤4In\displaystyle I_{n+1}\leq 4I_n, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem diferența In+1−4In\displaystyle I_{n+1}-4I_n folosind definiția: In+1=∫04fn+1(x) dx\displaystyle I_{n+1}=\int_{0}^{4}f^{n+1}(x)\,dx și In=∫04fn(x) dx\displaystyle I_n=\int_{0}^{4}f^{n}(x)\,dx.
    In+1−4In=∫04fn+1(x) dx−4∫04fn(x) dx\displaystyle I_{n+1}-4I_n=\int_{0}^{4}f^{n+1}(x)\,dx-4\int_{0}^{4}f^{n}(x)\,dx
  2. Folosim fn+1(x)=fn(x)⋅f(x)\displaystyle f^{n+1}(x)=f^{n}(x)\cdot f(x) și, deoarece cele două integrale au aceleași limite, le unim și dăm factor comun pe fn(x)\displaystyle f^{n}(x). Înlocuim f(x)=4x−x2\displaystyle f(x)=4x-x^2.
    In+1−4In=∫04fn(x)(4x−x2−4)dx\displaystyle I_{n+1}-4I_n=\int_{0}^{4}f^{n}(x)\left(4x-x^2-4\right)dx
  3. Observăm că 4x−x2−4=−(x2−4x+4)=−(x−2)2\displaystyle 4x-x^2-4=-(x^2-4x+4)=-(x-2)^2. Deci diferența devine minus o integrală.
    In+1−4In=−∫04fn(x)(x−2)2 dx\displaystyle I_{n+1}-4I_n=-\int_{0}^{4}f^{n}(x)(x-2)^2\,dx
  4. Studiem semnul lui f\displaystyle f pe [0,4]\displaystyle [0,4]: f(x)=x(4−x)\displaystyle f(x)=x(4-x), iar pentru x∈[0,4]\displaystyle x\in[0,4] avem x≥0\displaystyle x\geq 0 și 4−x≥0\displaystyle 4-x\geq 0, deci f(x)≥0\displaystyle f(x)\geq 0.
    f(x)≥0, pentru orice x∈[0,4]\displaystyle f(x)\geq 0\text{, pentru orice }x\in[0,4]
  5. Deoarece f(x)≥0\displaystyle f(x)\geq 0, rezultă fn(x)≥0\displaystyle f^{n}(x)\geq 0, iar (x−2)2≥0\displaystyle (x-2)^2\geq 0. Produsul este pozitiv sau nul pe [0,4]\displaystyle [0,4], deci integrala lui este ≥0\displaystyle \geq 0, iar diferența, care are semnul minus în față, este ≤0\displaystyle \leq 0.
    fn(x)(x−2)2≥0⇒In+1−4In≤0\displaystyle f^{n}(x)(x-2)^2\geq 0\Rightarrow I_{n+1}-4I_n\leq 0
  6. Din In+1−4In≤0\displaystyle I_{n+1}-4I_n\leq 0 obținem inegalitatea cerută, pentru orice n\displaystyle n natural nenul.
    In+1≤4In\displaystyle I_{n+1}\leq 4I_n
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.