Bac matematică M3 tehnologic 2013, sesiunea a II-a rezervă varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2(2+3)−23=4\displaystyle 2\left(2+\sqrt{3}\right)-2\sqrt{3}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la expresia din enunț, pe care o notăm cu E\displaystyle E. Trebuie să arătăm că ea este egală cu 4\displaystyle 4.
    E=2(2+3)−23\displaystyle E=2\left(2+\sqrt{3}\right)-2\sqrt{3}
  2. Desfacem paranteza prin distributivitate: înmulțim pe 2\displaystyle 2 cu fiecare termen din paranteză, adică cu 2\displaystyle 2 și cu 3\displaystyle \sqrt{3}. Obținem 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4 și 2⋅3=23\displaystyle 2\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}.
    2(2+3)=2⋅2+2⋅3=4+23\displaystyle 2\left(2+\sqrt{3}\right)=2\cdot 2+2\cdot\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}
  3. Înlocuim rezultatul în expresie și scădem 23\displaystyle 2\sqrt{3}. Termenii 23\displaystyle 2\sqrt{3} și −23\displaystyle -2\sqrt{3} sunt opuși, deci se reduc, iar rămâne 4\displaystyle 4. Așadar egalitatea din enunț este adevărată.
    E=4+23−23=4\displaystyle E=4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați f(4)+f(−4)\displaystyle f(4)+f(-4) pentru funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+4\displaystyle f(x)=x+4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 4\displaystyle 4 în expresia funcției: f(4)=4+4\displaystyle f(4)=4+4, deci f(4)=8\displaystyle f(4)=8.
    f(4)=4+4=8\displaystyle f(4)=4+4=8
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu −4\displaystyle -4 în expresia funcției: f(−4)=−4+4\displaystyle f(-4)=-4+4, deci f(−4)=0\displaystyle f(-4)=0.
    f(−4)=−4+4=0\displaystyle f(-4)=-4+4=0
  3. Adunăm cele două valori obținute: f(4)+f(−4)=8+0=8\displaystyle f(4)+f(-4)=8+0=8.
    f(4)+f(−4)=8\displaystyle f(4)+f(-4)=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 72x=49\displaystyle 7^{2x}=49.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 49=72\displaystyle 49=7^{2}, deci ecuația devine 72x=72\displaystyle 7^{2x}=7^{2}.
    72x=72\displaystyle 7^{2x}=7^{2}
  2. Cum baza 7\displaystyle 7 este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, din 72x=72\displaystyle 7^{2x}=7^{2} rezultă egalitatea exponenților: 2x=2\displaystyle 2x=2.
    2x=2\displaystyle 2x=2
  3. Împărțind la 2\displaystyle 2, obținem x=22=1\displaystyle x=\dfrac{2}{2}=1. Soluția aparține lui R\displaystyle \mathbb{R}, deci este valabilă.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este 1000\displaystyle 1000 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 10%\displaystyle 10\%.
Vezi rezolvarea
  1. Scumpirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă că prețul crește cu 10%\displaystyle 10\% din prețul inițial, adică din 1000\displaystyle 1000 de lei.
    10% din 1000\displaystyle 10\%\text{ din }1000
  2. Calculăm 10%\displaystyle 10\% din 1000\displaystyle 1000: înmulțim fracția 10100\displaystyle \dfrac{10}{100} cu 1000\displaystyle 1000. Obținem creșterea de preț, 100\displaystyle 100 de lei.
    10100⋅1000=100\displaystyle \frac{10}{100}\cdot 1000=100
  3. Adunăm creșterea la prețul inițial: 1000+100\displaystyle 1000+100. Prețul obiectului după scumpire este 1100\displaystyle 1100 de lei.
    1000+100=1100 de lei\displaystyle 1000+100=1100\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,3)\displaystyle A(4,3) și B(4,1)\displaystyle B(4,1). Calculați distanța de la punctul A\displaystyle A la punctul B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte din plan: dacă A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B), atunci AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(4,3)\displaystyle A(4,3) și B(4,1)\displaystyle B(4,1) în formulă: xA=4\displaystyle x_A=4, yA=3\displaystyle y_A=3, xB=4\displaystyle x_B=4, yB=1\displaystyle y_B=1.
    AB=(4−4)2+(1−3)2\displaystyle AB=\sqrt{(4-4)^2+(1-3)^2}
  3. Calculăm diferențele: 4−4=0\displaystyle 4-4=0, iar 1−3=−2\displaystyle 1-3=-2. Pătratele lor sunt 02=0\displaystyle 0^2=0 și (−2)2=4\displaystyle (-2)^2=4.
    AB=0+4=4\displaystyle AB=\sqrt{0+4}=\sqrt{4}
  4. Cum 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, distanța de la A\displaystyle A la B\displaystyle B este 2\displaystyle 2. Verificare: punctele au aceeași abscisă, deci AB=∣3−1∣=2\displaystyle AB=|3-1|=2.
    AB=2\displaystyle AB=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați sin⁡45∘−sin⁡135∘\displaystyle \sin 45^\circ-\sin 135^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Avem de calculat sin⁡45∘−sin⁡135∘\displaystyle \sin 45^\circ-\sin 135^\circ. Calculăm pe rând cei doi termeni.
    sin⁡45∘−sin⁡135∘\displaystyle \sin 45^\circ-\sin 135^\circ
  2. Valoarea remarcabilă a sinusului pentru unghiul de 45∘\displaystyle 45^\circ este sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. Scriem 135∘=180∘−45∘\displaystyle 135^\circ=180^\circ-45^\circ și folosim formula sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(180^\circ-x)=\sin x, adică sin⁡135∘=sin⁡45∘\displaystyle \sin 135^\circ=\sin 45^\circ.
    sin⁡135∘=sin⁡(180∘−45∘)=sin⁡45∘\displaystyle \sin 135^\circ=\sin(180^\circ-45^\circ)=\sin 45^\circ
  4. Folosind valoarea de la pasul anterior, obținem sin⁡135∘=22\displaystyle \sin 135^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡135∘=22\displaystyle \sin 135^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
  5. Înlocuim cele două valori în expresie: sin⁡45∘−sin⁡135∘=22−22=0\displaystyle \sin 45^\circ-\sin 135^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0.
    sin⁡45∘−sin⁡135∘=22−22=0\displaystyle \sin 45^\circ-\sin 135^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} și B=(1mmm+1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & m\\ m & m+1\end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Calculați det⁡A\displaystyle \det A.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem formula determinantului de ordin 2: pentru o matrice cu elementele a,b\displaystyle a, b pe prima linie și c,d\displaystyle c, d pe a doua, determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Identificăm elementele matricei A\displaystyle A: a=−1\displaystyle a=-1, b=2\displaystyle b=2, c=2\displaystyle c=2, d=1\displaystyle d=1, apoi înlocuim în formulă. Produsul de pe diagonala principală este (−1)⋅1\displaystyle (-1)\cdot 1, iar produsul de pe diagonala secundară este 2⋅2\displaystyle 2\cdot 2.
    det⁡A=∣−1221∣=(−1)⋅1−2⋅2=−1−4\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{vmatrix}=(-1)\cdot 1-2\cdot 2=-1-4
  3. Efectuăm scăderea și obținem valoarea determinantului: −1−4=−5\displaystyle -1-4=-5.
    det⁡A=−5\displaystyle \det A=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} și B=(1mmm+1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & m\\ m & m+1\end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=−2\displaystyle m=-2, arătați că A+B=O2\displaystyle A+B=O_2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=−2\displaystyle m=-2 în matricea B\displaystyle B: elementele m\displaystyle m devin −2\displaystyle -2, iar m+1\displaystyle m+1 devine −2+1=−1\displaystyle -2+1=-1.
    B=(1−2−2−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & -2\\ -2 & -1\end{pmatrix}
  2. Scriem suma A+B\displaystyle A+B cu matricea B\displaystyle B obținută mai sus.
    A+B=(−1221)+(1−2−2−1)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & -2\\ -2 & -1\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele element cu element, adică fiecare element din A\displaystyle A cu elementul de pe aceeași poziție din B\displaystyle B.
    (−1+12+(−2)2+(−2)1+(−1))\displaystyle \begin{pmatrix}-1+1 & 2+(-2)\\ 2+(-2) & 1+(-1)\end{pmatrix}
  4. Toate sumele sunt egale cu 0\displaystyle 0, deci rezultatul este matricea nulă O2\displaystyle O_2, ceea ce trebuia arătat.
    A+B=(0000)=O2\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} și B=(1mmm+1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & m\\ m & m+1\end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care A⋅B=(97716)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}9 & 7\\ 7 & 16\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm elementul de pe linia 1, coloana 1 al produsului A⋅B\displaystyle A\cdot B: înmulțim linia 1 din A\displaystyle A cu coloana 1 din B\displaystyle B. Obținem (−1)⋅1+2⋅m=2m−1\displaystyle (-1)\cdot 1+2\cdot m=2m-1.
    (−1)⋅1+2⋅m=2m−1\displaystyle (-1)\cdot 1+2\cdot m=2m-1
  2. Calculăm elementul de pe linia 1, coloana 2: linia 1 din A\displaystyle A cu coloana 2 din B\displaystyle B. Obținem (−1)⋅m+2⋅(m+1)=m+2\displaystyle (-1)\cdot m+2\cdot(m+1)=m+2.
    (−1)⋅m+2(m+1)=m+2\displaystyle (-1)\cdot m+2(m+1)=m+2
  3. Calculăm elementele de pe linia 2: 2⋅1+1⋅m=m+2\displaystyle 2\cdot 1+1\cdot m=m+2, iar 2⋅m+1⋅(m+1)=3m+1\displaystyle 2\cdot m+1\cdot(m+1)=3m+1.
    2⋅1+m=m+2\displaystyle 2\cdot 1+m=m+2,2m+(m+1)=3m+1\displaystyle \quad 2m+(m+1)=3m+1
  4. Scriem matricea produs cu elementele obținute.
    A⋅B=(2m−1m+2m+23m+1)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}2m-1 & m+2\\ m+2 & 3m+1\end{pmatrix}
  5. Egalăm elementele corespunzătoare cu cele din matricea dată: 2m−1=9\displaystyle 2m-1=9, m+2=7\displaystyle m+2=7, 3m+1=16\displaystyle 3m+1=16.
    2m−1=9\displaystyle 2m-1=9,m+2=7\displaystyle \quad m+2=7,3m+1=16\displaystyle \quad 3m+1=16
  6. Rezolvăm ecuațiile: din prima, 2m=10\displaystyle 2m=10, deci m=5\displaystyle m=5; din a doua, m=5\displaystyle m=5; din a treia, 3m=15\displaystyle 3m=15, deci m=5\displaystyle m=5. Toate dau aceeași valoare, deci egalitatea de matrice se verifică.
    m=5\displaystyle m=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+2X2+X\displaystyle f=X^3+2X^2+X.

Arătați că f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1 în expresia polinomului f=X3+2X2+X\displaystyle f=X^3+2X^2+X.
    f(−1)=(−1)3+2⋅(−1)2+(−1)\displaystyle f(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)^2+(-1)
  2. Calculăm puterile: (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1, iar (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1.
    f(−1)=−1+2⋅1−1\displaystyle f(-1)=-1+2\cdot 1-1
  3. Efectuăm adunările și scăderile: −1+2=1\displaystyle -1+2=1, iar 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Deci f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0.
    −1+2−1=0\displaystyle -1+2-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+2X2+X\displaystyle f=X^3+2X^2+X.

Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul g=X2+X\displaystyle g=X^2+X.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem împărțirea lui f\displaystyle f la g\displaystyle g: f\displaystyle f are gradul 3, iar g\displaystyle g are gradul 2, deci câtul are gradul 1. Împărțim termenii de grad maxim: X3X2=X\displaystyle \dfrac{X^{3}}{X^{2}}=X.
    X3X2=X\displaystyle \dfrac{X^{3}}{X^{2}}=X
  2. Înmulțim X\displaystyle X cu g\displaystyle g: X⋅(X2+X)=X3+X2\displaystyle X\cdot(X^{2}+X)=X^{3}+X^{2}. Scădem din f\displaystyle f: (X3+2X2+X)−(X3+X2)=X2+X\displaystyle (X^{3}+2X^{2}+X)-(X^{3}+X^{2})=X^{2}+X.
    X2+X\displaystyle X^{2}+X
  3. Împărțim din nou termenii de grad maxim: X2X2=1\displaystyle \dfrac{X^{2}}{X^{2}}=1. Deci câtul este X+1\displaystyle X+1.
    q=X+1\displaystyle q=X+1
  4. Înmulțim 1\displaystyle 1 cu g\displaystyle g și scădem: (X2+X)−(X2+X)=0\displaystyle (X^{2}+X)-(X^{2}+X)=0. Restul este polinomul nul, deci are gradul mai mic decât al lui g\displaystyle g. Verificare: (X+1)(X2+X)=X3+2X2+X=f\displaystyle (X+1)(X^{2}+X)=X^{3}+2X^{2}+X=f.
    r=0\displaystyle r=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+2X2+X\displaystyle f=X^3+2X^2+X.

Calculați x12+x22+x32\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2, știind că x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții polinomului f=X3+2X2+X+0\displaystyle f=X^3+2X^2+X+0: a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=1\displaystyle c=1, d=0\displaystyle d=0.
    a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle \ b=2, c=1\displaystyle \ c=1, d=0\displaystyle \ d=0
  2. Relațiile lui Viète pentru aX3+bX2+cX+d\displaystyle aX^3+bX^2+cX+d sunt x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a} și x1x2+x2x3+x1x3=ca\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\dfrac{c}{a}.
    x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}, x1x2+x2x3+x1x3=ca\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\dfrac{c}{a}
  3. Înlocuim a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=1\displaystyle c=1 și obținem valorile cerute pentru cele două sume.
    x1+x2+x3=−2\displaystyle x_1+x_2+x_3=-2, x1x2+x2x3+x1x3=1\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=1
  4. Din (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x2x3+x1x3)\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3) rezultă identitatea pentru suma pătratelor.
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x1x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)
  5. Înlocuim x1+x2+x3=−2\displaystyle x_1+x_2+x_3=-2 și x1x2+x2x3+x1x3=1\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=1 și calculăm: (−2)2−2⋅1=4−2=2\displaystyle (-2)^2-2\cdot 1=4-2=2.
    x12+x22+x32=(−2)2−2⋅1=2\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-2)^2-2\cdot 1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+10−11x\displaystyle f(x)=x+10-\frac{11}{x}.

Verificați dacă f′(x)=x2+11x2\displaystyle f'(x)=\frac{x^2+11}{x^2}, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=x+10−11x\displaystyle f(x)=x+10-\dfrac{11}{x} termen cu termen: f′(x)=x′+10′−(11x)′\displaystyle f'(x)=x'+10'-\left(\dfrac{11}{x}\right)'.
    f′(x)=x′+10′−(11x)′\displaystyle f'(x)=x'+10'-\left(\dfrac{11}{x}\right)'
  2. Avem x′=1\displaystyle x'=1, 10′=0\displaystyle 10'=0 și (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}, iar constanta 11\displaystyle 11 iese în fața derivatei: (11x)′=11⋅(−1x2)\displaystyle \left(\dfrac{11}{x}\right)'=11\cdot\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right).
    f′(x)=1−11⋅(−1x2)\displaystyle f'(x)=1-11\cdot\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)
  3. Semnele −\displaystyle - și −\displaystyle - dau +\displaystyle +, deci f′(x)=1+11x2\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{11}{x^{2}}.
    f′(x)=1+11x2\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{11}{x^{2}}
  4. Aducem la același numitor x2\displaystyle x^{2}, scriind 1=x2x2\displaystyle 1=\dfrac{x^{2}}{x^{2}}: 1+11x2=x2+11x2\displaystyle 1+\dfrac{11}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}+11}{x^{2}}. Deci egalitatea este adevărată pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=1+11x2=x2+11x2\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{11}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}+11}{x^{2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+10−11x\displaystyle f(x)=x+10-\frac{11}{x}.

Arătați că funcția f\displaystyle f este crescătoare pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a studia monotonia, calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Derivăm termen cu termen: (x)′=1\displaystyle (x)'=1, (10)′=0\displaystyle (10)'=0, iar (−11x)′=11x2\displaystyle \left(-\dfrac{11}{x}\right)'=\dfrac{11}{x^{2}}.
    f′(x)=1+11x2\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{11}{x^{2}}
  2. Aducem derivata la numitor comun x2\displaystyle x^{2}, ca să putem studia ușor semnul ei.
    f′(x)=x2+11x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+11}{x^{2}}
  3. Pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) avem x2>0\displaystyle x^{2}>0, deci x2+11>0\displaystyle x^{2}+11>0, iar numitorul x2\displaystyle x^{2} este și el strict pozitiv.
    x∈(0,+∞)⇒x2+11>0 și x2>0\displaystyle x\in(0,+\infty)\Rightarrow x^{2}+11>0\text{ și }x^{2}>0
  4. Fracția are numărătorul și numitorul strict pozitivi, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pe tot intervalul. Prin urmare, f\displaystyle f este crescătoare pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, ∀x∈(0,+∞)⇒f este cresca˘toare pe (0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+10−11x\displaystyle f(x)=x+10-\frac{11}{x}.

Arătați că funcția f\displaystyle f este concavă pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem funcția folosind puteri ale lui x\displaystyle x, ca să putem deriva ușor: 11x=11x−1\displaystyle \dfrac{11}{x}=11x^{-1}, deci f(x)=x+10−11x−1\displaystyle f(x)=x+10-11x^{-1}.
    f(x)=x+10−11x−1\displaystyle f(x)=x+10-11x^{-1}
  2. Calculăm prima derivată: (x)′=1\displaystyle (x)'=1, (10)′=0\displaystyle (10)'=0, iar (−11x−1)′=11x−2\displaystyle \left(-11x^{-1}\right)'=11x^{-2}. Deci f′(x)=1+11x2\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{11}{x^{2}}.
    f′(x)=1+11x2\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{11}{x^{2}}
  3. Derivăm încă o dată: (1)′=0\displaystyle (1)'=0, iar (11x−2)′=−22x−3\displaystyle \left(11x^{-2}\right)'=-22x^{-3}. Obținem f′′(x)=−22x3\displaystyle f''(x)=-\dfrac{22}{x^{3}}, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′′(x)=−22x3\displaystyle f''(x)=-\dfrac{22}{x^{3}}
  4. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f'': pentru x>0\displaystyle x>0 avem x3>0\displaystyle x^{3}>0 și 22>0\displaystyle 22>0, deci 22x3>0\displaystyle \dfrac{22}{x^{3}}>0, iar f′′(x)=−22x3<0\displaystyle f''(x)=-\dfrac{22}{x^{3}}<0.
    f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0, ∀x∈(0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)
  5. Deoarece f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0 pe tot intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), funcția f\displaystyle f este concavă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′′(x)<0⇒f este concava˘ pe (0,+∞)\displaystyle f''(x)<0\Rightarrow f\text{ este concavă pe }(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+9\displaystyle f(x)=x^2+9.

Calculați ∫12f′(x) dx\displaystyle \int_1^2 f'(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f. Derivata lui x2\displaystyle x^{2} este 2x\displaystyle 2x, iar derivata constantei 9\displaystyle 9 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=2x\displaystyle f'(x)=2x
  2. Observăm că f\displaystyle f este o primitivă a lui f′\displaystyle f', deci putem aplica formula Leibniz-Newton: integrala lui f′\displaystyle f' de la 1\displaystyle 1 la 2\displaystyle 2 este diferența valorilor primitivei f\displaystyle f în capetele intervalului.
    ∫12f′(x) dx=f(x)∣12\displaystyle \int_1^2 f'(x)\,dx=f(x)\Big|_1^2
  3. Calculăm valorile funcției f\displaystyle f în 2\displaystyle 2 și în 1\displaystyle 1.
    f(2)=22+9=13\displaystyle f(2)=2^2+9=13,f(1)=12+9=10\displaystyle \quad f(1)=1^2+9=10
  4. Scădem cele două valori și obținem valoarea integralei.
    f(2)−f(1)=13−10=3\displaystyle f(2)-f(1)=13-10=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+9\displaystyle f(x)=x^2+9.

Arătați că ∫12f(x)x dx=32+9ln⁡2\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x}\,dx=\frac{3}{2}+9\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+9\displaystyle f(x)=x^{2}+9 în expresia de sub integrală.
    ∫12f(x)x dx=∫12x2+9x dx\displaystyle \int_1^2\frac{f(x)}{x}\,dx=\int_1^2\frac{x^{2}+9}{x}\,dx
  2. Împărțim fracția termen cu termen: x2+9x=x2x+9x\displaystyle \dfrac{x^{2}+9}{x}=\dfrac{x^{2}}{x}+\dfrac{9}{x}, iar x2x=x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{x}=x.
    ∫12f(x)x dx=∫12(x+9x)dx\displaystyle \int_1^2\frac{f(x)}{x}\,dx=\int_1^2\left(x+\frac{9}{x}\right)dx
  3. Aflăm o primitivă: pentru x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar pentru 9x\displaystyle \dfrac{9}{x} este 9ln⁡x\displaystyle 9\ln x, deoarece x>0\displaystyle x>0 pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2].
    ∫12(x+9x)dx=(x22+9ln⁡x)∣12\displaystyle \int_1^2\left(x+\frac{9}{x}\right)dx=\left(\frac{x^{2}}{2}+9\ln x\right)\Big|_1^2
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în 2\displaystyle 2 minus valoarea în 1\displaystyle 1, cu ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    (222+9ln⁡2)−(12+9ln⁡1)=2+9ln⁡2−12\displaystyle \left(\frac{2^{2}}{2}+9\ln 2\right)-\left(\frac{1}{2}+9\ln 1\right)=2+9\ln 2-\frac{1}{2}
  5. Calculăm 2−12=32\displaystyle 2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2} și obținem rezultatul cerut.
    32+9ln⁡2\displaystyle \frac{3}{2}+9\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+9\displaystyle f(x)=x^2+9.

Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[0,1]→R\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)−x2\displaystyle g(x)=f(x)-x^2 este egal cu 81π\displaystyle 81\pi.
Vezi rezolvarea
  1. Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui g:[0,1]→R\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R} în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 g^2(x)\,dx.
    V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 g^2(x)\,dx
  2. Avem g(x)=f(x)−x2=x2+9−x2\displaystyle g(x)=f(x)-x^2=x^2+9-x^2, deci V=π∫01(x2+9−x2)2dx\displaystyle V=\pi\int_0^1\left(x^2+9-x^2\right)^2dx.
    V=π∫01(x2+9−x2)2dx\displaystyle V=\pi\int_0^1\left(x^2+9-x^2\right)^2dx
  3. Termenii x2\displaystyle x^2 se reduc, deci g(x)=9\displaystyle g(x)=9 pentru orice x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1], iar g2(x)=81\displaystyle g^2(x)=81. Rămâne V=π∫0181 dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 81\,dx.
    V=π∫0181 dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 81\,dx
  4. O primitivă a lui 81\displaystyle 81 este 81x\displaystyle 81x, deci V=π⋅81x∣01=π(81⋅1−81⋅0)=81π\displaystyle V=\pi\cdot 81x\Big|_0^1=\pi\left(81\cdot 1-81\cdot 0\right)=81\pi.
    V=π⋅81x∣01=81π\displaystyle V=\pi\cdot 81x\Big|_0^1=81\pi
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.