Bac matematică M3 tehnologic 2017, sesiunea a II-a varianta 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (4−14)⋅815=2\displaystyle \left(4-\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{8}{15}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem numărul 4\displaystyle 4 la numitorul 4\displaystyle 4: 4=164\displaystyle 4=\dfrac{16}{4}.
    4=164\displaystyle 4=\dfrac{16}{4}
  2. Calculăm paranteza, scăzând fracțiile cu același numitor: 4−14=164−14=154\displaystyle 4-\dfrac{1}{4}=\dfrac{16}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}.
    4−14=154\displaystyle 4-\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}
  3. Înmulțim cu 815\displaystyle \dfrac{8}{15} și simplificăm numărul 15\displaystyle 15 de la numărător cu cel de la numitor, iar apoi 8\displaystyle 8 cu 4\displaystyle 4: 154⋅815=84=2\displaystyle \dfrac{15}{4}\cdot\dfrac{8}{15}=\dfrac{8}{4}=2.
    154⋅815=84=2\displaystyle \dfrac{15}{4}\cdot\dfrac{8}{15}=\dfrac{8}{4}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul A(1,5)\displaystyle A(1,5) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+m\displaystyle f(x)=x^2+m.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct aparține graficului funcției dacă ordonata lui este egală cu valoarea funcției în abscisa punctului. Pentru punctul A(1,5)\displaystyle A(1,5), condiția este f(1)=5\displaystyle f(1)=5.
    f(1)=5\displaystyle f(1)=5
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în expresia funcției: f(1)=12+m=1+m\displaystyle f(1)=1^{2}+m=1+m. Egalăm cu 5\displaystyle 5 și obținem ecuația 1+m=5\displaystyle 1+m=5.
    12+m=5⇔1+m=5\displaystyle 1^{2}+m=5\Leftrightarrow 1+m=5
  3. Rezolvăm ecuația: scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri, deci m=5−1=4\displaystyle m=5-1=4.
    m=4\displaystyle m=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+x+1=1\displaystyle \sqrt{x^2+x+1}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Expresia x2+x+1\displaystyle x^{2}+x+1 are discriminantul Δ=1−4=−3<0\displaystyle \Delta=1-4=-3<0, deci este pozitivă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, iar membrul drept 1\displaystyle 1 este pozitiv. Ridicăm ecuația la pătrat: (x2+x+1)2=12\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+x+1}\right)^{2}=1^{2}.
    x2+x+1=1\displaystyle x^{2}+x+1=1
  2. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem ecuația echivalentă x2+x=0\displaystyle x^{2}+x=0.
    x2+x=0\displaystyle x^{2}+x=0
  3. Dăm factor comun: x(x+1)=0\displaystyle x(x+1)=0. Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x+1=0\displaystyle x+1=0.
    x(x+1)=0⇒x=0 sau x=−1\displaystyle x(x+1)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x=-1
  4. Verificăm în ecuația inițială. Pentru x=0\displaystyle x=0: 0+0+1=1=1\displaystyle \sqrt{0+0+1}=\sqrt{1}=1. Pentru x=−1\displaystyle x=-1: 1−1+1=1=1\displaystyle \sqrt{1-1+1}=\sqrt{1}=1. Ambele soluții convin.
    x=−1 sau x=0, care convin\displaystyle x=-1\text{ sau }x=0\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, acesta să verifice egalitatea (n−2)(n−4)=0\displaystyle (n-2)(n-4)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: numărul n\displaystyle n se alege dintre elementele mulțimii A\displaystyle A, care are 9 elemente.
    nr. cazuri posibile=9\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=9
  2. Rezolvăm ecuația dată: un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci n−2=0\displaystyle n-2=0 sau n−4=0\displaystyle n-4=0.
    n=2 sau n=4\displaystyle n=2\text{ sau }n=4
  3. Verificăm că ambele valori aparțin mulțimii A\displaystyle A. Așadar avem două cazuri favorabile: n∈{2,4}\displaystyle n\in\{2,4\}.
    nr. cazuri favorabile=2\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=2
  4. Aplicăm definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, adică p=29\displaystyle p=\dfrac{2}{9}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=29\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(0,3)\displaystyle M(0,3), N(4,3)\displaystyle N(4,3) și P(4,0)\displaystyle P(4,0). Calculați perimetrul triunghiului MNP\displaystyle MNP.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm lungimea laturii MN\displaystyle MN cu formula distanței dintre două puncte: MN=(4−0)2+(3−3)2\displaystyle MN=\sqrt{(4-0)^{2}+(3-3)^{2}}. Punctele M\displaystyle M și N\displaystyle N au aceeași ordonată, deci MN\displaystyle MN este diferența absciselor.
    MN=42+02=4\displaystyle MN=\sqrt{4^{2}+0^{2}}=4
  2. Calculăm lungimea laturii NP\displaystyle NP: NP=(4−4)2+(0−3)2\displaystyle NP=\sqrt{(4-4)^{2}+(0-3)^{2}}. Punctele N\displaystyle N și P\displaystyle P au aceeași abscisă, deci NP\displaystyle NP este diferența ordonatelor.
    NP=02+(−3)2=3\displaystyle NP=\sqrt{0^{2}+(-3)^{2}}=3
  3. Calculăm lungimea laturii MP\displaystyle MP cu formula distanței: MP=(4−0)2+(0−3)2=16+9=25\displaystyle MP=\sqrt{(4-0)^{2}+(0-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}. Astfel avem MN=4\displaystyle MN=4, NP=3\displaystyle NP=3, MP=5\displaystyle MP=5.
    MN=4\displaystyle MN=4, NP=3\displaystyle \ NP=3, MP=5\displaystyle \ MP=5
  4. Perimetrul triunghiului este suma lungimilor laturilor: PΔMNP=MN+NP+MP=4+3+5\displaystyle P_{\Delta MNP}=MN+NP+MP=4+3+5.
    PΔMNP=4+3+5=12\displaystyle P_{\Delta MNP}=4+3+5=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡2120∘−cos⁡230∘=0\displaystyle \sin^2 120^\circ-\cos^2 30^\circ=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm sinusul unghiului de 120∘\displaystyle 120^\circ folosind formula de reducere la primul cadran: sin⁡120∘=sin⁡(180∘−60∘)=sin⁡60∘\displaystyle \sin 120^\circ=\sin(180^\circ-60^\circ)=\sin 60^\circ.
    sin⁡120∘=sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. Cosinusul unghiului de 30∘\displaystyle 30^\circ este o valoare cunoscută: cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Deci sin⁡120∘\displaystyle \sin 120^\circ și cos⁡30∘\displaystyle \cos 30^\circ au aceeași valoare.
    sin⁡120∘=32\displaystyle \sin 120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡30∘=32\displaystyle \ \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. Înlocuim valorile în expresie: sin⁡2120∘−cos⁡230∘=(32)2−(32)2\displaystyle \sin^2 120^\circ-\cos^2 30^\circ=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2. Cei doi termeni sunt egali, deci diferența lor este 0\displaystyle 0.
    sin⁡2120∘−cos⁡230∘=(32)2−(32)2=34−34=0\displaystyle \sin^2 120^\circ-\cos^2 30^\circ=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(133−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\3&-4\end{pmatrix} și B=(2222)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=−13\displaystyle \det A=-13.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, adică determinantul de ordinul doi format cu elementele ei: det⁡A=∣133−4∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&3\\3&-4\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣133−4∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&3\\3&-4\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem det⁡A=1⋅(−4)−3⋅3\displaystyle \det A=1\cdot(-4)-3\cdot 3.
    det⁡A=1⋅(−4)−3⋅3\displaystyle \det A=1\cdot(-4)-3\cdot 3
  3. Efectuăm înmulțirile: 1⋅(−4)=−4\displaystyle 1\cdot(-4)=-4 și 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9. Apoi scădem: −4−9=−13\displaystyle -4-9=-13. Deci det⁡A=−13\displaystyle \det A=-13.
    det⁡A=−4−9=−13\displaystyle \det A=-4-9=-13
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(133−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\3&-4\end{pmatrix} și B=(2222)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅B−B⋅A=(010−100)\displaystyle A\cdot B-B\cdot A=\begin{pmatrix}0&10\\-10&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B, înmulțind fiecare linie a lui A\displaystyle A cu fiecare coloană a lui B\displaystyle B. Prima linie: 1⋅2+3⋅2=8\displaystyle 1\cdot 2+3\cdot 2=8 pe ambele coloane. A doua linie: 3⋅2+(−4)⋅2=−2\displaystyle 3\cdot 2+(-4)\cdot 2=-2 pe ambele coloane.
    A⋅B=(88−2−2)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}8&8\\-2&-2\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A. Prima linie a lui B\displaystyle B este (2, 2)\displaystyle (2,\ 2): 2⋅1+2⋅3=8\displaystyle 2\cdot 1+2\cdot 3=8 și 2⋅3+2⋅(−4)=−2\displaystyle 2\cdot 3+2\cdot(-4)=-2. A doua linie a lui B\displaystyle B este tot (2, 2)\displaystyle (2,\ 2), deci obținem aceleași valori.
    B⋅A=(8−28−2)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}8&-2\\8&-2\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element: 8−8=0\displaystyle 8-8=0, 8−(−2)=10\displaystyle 8-(-2)=10, −2−8=−10\displaystyle -2-8=-10, −2−(−2)=0\displaystyle -2-(-2)=0. Obținem matricea cerută.
    A⋅B−B⋅A=(8−88−(−2)−2−8−2−(−2))=(010−100)\displaystyle A\cdot B-B\cdot A=\begin{pmatrix}8-8&8-(-2)\\-2-8&-2-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&10\\-10&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(133−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\3&-4\end{pmatrix} și B=(2222)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(B⋅B−xI2)=0\displaystyle \det(B\cdot B-xI_2)=0, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul B⋅B\displaystyle B\cdot B înmulțind linie cu coloană: fiecare element este 2⋅2+2⋅2=8\displaystyle 2\cdot 2+2\cdot 2=8.
    B⋅B=(8888)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}8&8\\8&8\end{pmatrix}
  2. Scădem xI2=(x00x)\displaystyle xI_2=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix} din B⋅B\displaystyle B\cdot B, adică scădem x\displaystyle x de pe diagonala principală.
    B⋅B−xI2=(8−x888−x)\displaystyle B\cdot B-xI_2=\begin{pmatrix}8-x&8\\8&8-x\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică (8−x)2−8⋅8=64−16x+x2−64\displaystyle (8-x)^2-8\cdot 8=64-16x+x^2-64.
    det⁡(B⋅B−xI2)=(8−x)2−64=x2−16x\displaystyle \det(B\cdot B-xI_2)=(8-x)^2-64=x^2-16x
  4. Egalăm determinantul cu zero: x2−16x=0\displaystyle x^2-16x=0. Dăm x\displaystyle x factor comun: x(x−16)=0\displaystyle x(x-16)=0.
    x(x−16)=0\displaystyle x(x-16)=0
  5. Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x−16=0\displaystyle x-16=0.
    x=0 sau x=16\displaystyle x=0\text{ sau }x=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+3X2−X−3\displaystyle f=X^3+3X^2-X-3.

Arătați că f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului f=X3+3X2−X−3\displaystyle f=X^3+3X^2-X-3.
    f(1)=13+3⋅12−1−3\displaystyle f(1)=1^3+3\cdot 1^2-1-3
  2. Calculăm puterile: 13=1\displaystyle 1^3=1 și 12=1\displaystyle 1^2=1, deci 3⋅12=3\displaystyle 3\cdot 1^2=3.
    f(1)=1+3−1−3\displaystyle f(1)=1+3-1-3
  3. Efectuăm calculele: 1+3=4\displaystyle 1+3=4, 4−1=3\displaystyle 4-1=3, 3−3=0\displaystyle 3-3=0. Deci f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
    1+3−1−3=0\displaystyle 1+3-1-3=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+3X2−X−3\displaystyle f=X^3+3X^2-X-3.

Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul X−2\displaystyle X-2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim schema lui Horner pentru împărțirea la X−2\displaystyle X-2, deci valoarea de referință este 2\displaystyle 2. Coeficienții lui f\displaystyle f sunt 1, 3, −1, −3\displaystyle 1,\ 3,\ -1,\ -3.
    1\displaystyle 1, 3\displaystyle \ 3, −1\displaystyle \ -1, −3 și a=2\displaystyle \ -3\text{ și }a=2
  2. Coborâm primul coeficient: 1\displaystyle 1. Apoi 3+2⋅1=5\displaystyle 3+2\cdot 1=5, iar −1+2⋅5=9\displaystyle -1+2\cdot 5=9.
    1\displaystyle 1, 5\displaystyle \ 5, 9\displaystyle \ 9
  3. Primii trei numere obținute sunt coeficienții câtului, care are gradul 2\displaystyle 2. Deci câtul este X2+5X+9\displaystyle X^2+5X+9.
    q=X2+5X+9\displaystyle q=X^2+5X+9
  4. Ultimul număr din schemă este restul: −3+2⋅9=15\displaystyle -3+2\cdot 9=15. Verificăm cu teorema restului: f(2)=8+12−2−3=15\displaystyle f(2)=8+12-2-3=15.
    r=15\displaystyle r=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+3X2−X−3\displaystyle f=X^3+3X^2-X-3.

Demonstrați că x12+x22+x32=11\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=11, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții polinomului f=X3+3X2−X−3\displaystyle f=X^3+3X^2-X-3: a=1\displaystyle a=1, b=3\displaystyle b=3, c=−1\displaystyle c=-1, d=−3\displaystyle d=-3.
    a=1\displaystyle a=1, b=3\displaystyle \ b=3, c=−1\displaystyle \ c=-1, d=−3\displaystyle \ d=-3
  2. Relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul trei sunt x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a} și x1x2+x2x3+x3x1=ca\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{c}{a}.
    x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a},x1x2+x2x3+x3x1=ca\displaystyle \quad x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{c}{a}
  3. Înlocuim coeficienții și obținem x1+x2+x3=−31=−3\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{3}{1}=-3 și x1x2+x2x3+x3x1=−11=−1\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{-1}{1}=-1.
    x1+x2+x3=−3\displaystyle x_1+x_2+x_3=-3,x1x2+x2x3+x3x1=−1\displaystyle \quad x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-1
  4. Din (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1) rezultă identitatea de mai jos.
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)
  5. Înlocuim valorile obținute: (−3)2−2⋅(−1)=9+2=11\displaystyle (-3)^2-2\cdot(-1)=9+2=11, deci x12+x22+x32=11\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=11, ceea ce trebuia demonstrat.
    x12+x22+x32=(−3)2−2⋅(−1)=9+2=11\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-3)^2-2\cdot(-1)=9+2=11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−6x+4\displaystyle f(x)=2x^3-6x+4.

Arătați că f′(x)=6(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=6(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=2x3−6x+4\displaystyle f(x)=2x^3-6x+4 termen cu termen, folosind regula (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^n)'=n x^{n-1}. Avem (2x3)′=6x2\displaystyle (2x^3)'=6x^2, (−6x)′=−6\displaystyle (-6x)'=-6 și (4)′=0\displaystyle (4)'=0.
    f′(x)=6x2−6\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6
  2. Dăm factor comun pe 6\displaystyle 6 în expresia derivatei: 6x2−6=6(x2−1)\displaystyle 6x^2-6=6(x^2-1).
    f′(x)=6(x2−1)\displaystyle f'(x)=6(x^{2}-1)
  3. Aplicăm formula diferenței de pătrate a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b), cu a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1, deci x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1). Obținem forma cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=6(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=6(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−6x+4\displaystyle f(x)=2x^3-6x+4.

Arătați că lim⁡x→1f(x)x−1=0\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm valoarea funcției în punctul 1\displaystyle 1: f(1)=2⋅13−6⋅1+4=2−6+4\displaystyle f(1)=2\cdot 1^{3}-6\cdot 1+4=2-6+4.
    f(1)=0\displaystyle f(1)=0
  2. Deoarece f(1)=0\displaystyle f(1)=0, putem scrie f(x)=f(x)−f(1)\displaystyle f(x)=f(x)-f(1) la numărătorul fracției. Astfel limita dată devine limita raportului incrementelor, adică definiția derivatei funcției f\displaystyle f în punctul 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→1f(x)x−1=lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)
  3. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: derivata lui 2x3\displaystyle 2x^{3} este 6x2\displaystyle 6x^{2}, derivata lui −6x\displaystyle -6x este −6\displaystyle -6, iar derivata constantei 4\displaystyle 4 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=6x2−6\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6
  4. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în derivată: f′(1)=6⋅12−6=0\displaystyle f'(1)=6\cdot 1^{2}-6=0. Deci limita cerută este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→1f(x)x−1=f′(1)=0\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=f'(1)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−6x+4\displaystyle f(x)=2x^3-6x+4.

Demonstrați că 0≤f(x)≤8\displaystyle 0\le f(x)\le 8, pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: derivata lui 2x3\displaystyle 2x^{3} este 6x2\displaystyle 6x^{2}, derivata lui −6x\displaystyle -6x este −6\displaystyle -6, iar derivata constantei este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=6x2−6\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6
  2. Scriem derivata sub formă de produs, dând factor comun 6\displaystyle 6 și folosind diferența de pătrate.
    f′(x)=6(x2−1)=6(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=6(x^{2}-1)=6(x-1)(x+1)
  3. Pentru x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1] avem x−1≤0\displaystyle x-1\le 0 și x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0, deci produsul lor este ≤0\displaystyle \le 0. Echivalent, x2≤1\displaystyle x^{2}\le 1, deci x2−1≤0\displaystyle x^{2}-1\le 0. Rezultă că f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0, iar f\displaystyle f este descrescătoare pe [−1,1]\displaystyle [-1,1].
    x∈[−1,1]⇒f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe [−1,1]\displaystyle x\in[-1,1]\Rightarrow f'(x)\le 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }[-1,1]
  4. Calculăm valoarea funcției în capătul din stânga al intervalului, x=−1\displaystyle x=-1.
    f(−1)=2⋅(−1)3−6⋅(−1)+4=−2+6+4=8\displaystyle f(-1)=2\cdot(-1)^{3}-6\cdot(-1)+4=-2+6+4=8
  5. Calculăm valoarea funcției în capătul din dreapta al intervalului, x=1\displaystyle x=1.
    f(1)=2⋅13−6⋅1+4=2−6+4=0\displaystyle f(1)=2\cdot 1^{3}-6\cdot 1+4=2-6+4=0
  6. Deoarece f\displaystyle f este descrescătoare pe [−1,1]\displaystyle [-1,1], pentru orice x\displaystyle x din interval avem f(1)≤f(x)≤f(−1)\displaystyle f(1)\le f(x)\le f(-1). Înlocuind valorile calculate, obținem inegalitatea cerută.
    f(−1)=8 și f(1)=0, deci 0≤f(x)≤8\displaystyle f(-1)=8\text{ și }f(1)=0\text{, deci }0\le f(x)\le 8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+5x\displaystyle f(x)=x^2+5x.

Arătați că ∫01(f(x)−5x) dx=13\displaystyle \int_0^1 (f(x)-5x)\,dx=\frac{1}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Din enunț avem f(x)=x2+5x\displaystyle f(x)=x^{2}+5x, deci f(x)−5x=x2+5x−5x\displaystyle f(x)-5x=x^{2}+5x-5x.
    ∫01(f(x)−5x) dx=∫01(x2+5x−5x) dx\displaystyle \int_0^1 (f(x)-5x)\,dx=\int_0^1 (x^{2}+5x-5x)\,dx
  2. Termenii 5x\displaystyle 5x și −5x\displaystyle -5x se reduc, deci în integrand rămâne doar x2\displaystyle x^{2}.
    ∫01(x2+5x−5x) dx=∫01x2 dx\displaystyle \int_0^1 (x^{2}+5x-5x)\,dx=\int_0^1 x^{2}\,dx
  3. O primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}. Aplicăm formula Leibniz-Newton, adică scădem valoarea primitivei în 0\displaystyle 0 din valoarea ei în 1\displaystyle 1.
    ∫01x2 dx=x33∣01\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}\Big|_0^1
  4. Înlocuim limitele: în 1\displaystyle 1 obținem 13\displaystyle \dfrac{1}{3}, iar în 0\displaystyle 0 obținem 0\displaystyle 0. Rezultă valoarea cerută.
    x33∣01=13−0=13\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}\Big|_0^1=\dfrac{1}{3}-0=\dfrac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+5x\displaystyle f(x)=x^2+5x.

Arătați că funcția F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=13x3+52x2+2017\displaystyle F(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2+2017 este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim definiția: F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R} dacă F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Deci trebuie să calculăm F′\displaystyle F' și să o comparăm cu f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm F\displaystyle F termen cu termen, folosind formula (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^n)'=n x^{n-1}, iar derivata constantei 2017\displaystyle 2017 este 0\displaystyle 0.
    F′(x)=13⋅3x2+52⋅2x+0\displaystyle F'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3x^{2}+\frac{5}{2}\cdot 2x+0
  3. Simplificăm coeficienții: 13⋅3=1\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot 3=1, iar 52⋅2=5\displaystyle \dfrac{5}{2}\cdot 2=5.
    F′(x)=x2+5x\displaystyle F'(x)=x^{2}+5x
  4. Observăm că F′(x)=x2+5x=f(x)\displaystyle F'(x)=x^{2}+5x=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=x2+5x=f(x)\displaystyle F'(x)=x^{2}+5x=f(x), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+5x\displaystyle f(x)=x^2+5x.

Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[1,2]→R\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)x\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x} este egal cu 127π3\displaystyle \frac{127\pi}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2] avem x≠0\displaystyle x\neq 0, deci g(x)=x2+5xx=x(x+5)x\displaystyle g(x)=\dfrac{x^{2}+5x}{x}=\dfrac{x(x+5)}{x}, adică g(x)=x+5\displaystyle g(x)=x+5.
    g(x)=x+5\displaystyle g(x)=x+5
  2. Volumul corpului de rotație este V=π∫12g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2} g^{2}(x)\,dx. Înlocuim g(x)=x+5\displaystyle g(x)=x+5 și obținem V=π∫12(x+5)2 dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2}(x+5)^{2}\,dx.
    V=π∫12(x+5)2 dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2}(x+5)^{2}\,dx
  3. Folosim formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, deci (x+5)2=x2+10x+25\displaystyle (x+5)^{2}=x^{2}+10x+25.
    V=π∫12(x2+10x+25) dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2}(x^{2}+10x+25)\,dx
  4. Integrăm termen cu termen: ∫x2 dx=x33\displaystyle \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}, ∫10x dx=5x2\displaystyle \int 10x\,dx=5x^{2}, ∫25 dx=25x\displaystyle \int 25\,dx=25x. O primitivă este x33+5x2+25x\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}+5x^{2}+25x.
    V=π(x33+5x2+25x)∣12\displaystyle V=\pi\left(\dfrac{x^{3}}{3}+5x^{2}+25x\right)\Big|_{1}^{2}
  5. Pentru x=2\displaystyle x=2: 83+20+50=83+70=2183\displaystyle \dfrac{8}{3}+20+50=\dfrac{8}{3}+70=\dfrac{218}{3}. Pentru x=1\displaystyle x=1: 13+5+25=13+30=913\displaystyle \dfrac{1}{3}+5+25=\dfrac{1}{3}+30=\dfrac{91}{3}.
    2183 și 913\displaystyle \dfrac{218}{3}\text{ și }\dfrac{91}{3}
  6. Atunci V=π(2183−913)=127π3\displaystyle V=\pi\left(\dfrac{218}{3}-\dfrac{91}{3}\right)=\dfrac{127\pi}{3}, ceea ce trebuia demonstrat.
    V=π(2183−913)=127π3\displaystyle V=\pi\left(\dfrac{218}{3}-\dfrac{91}{3}\right)=\dfrac{127\pi}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.