Bac matematică M3 tehnologic 2015, sesiunea a II-a varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 12:0,5−1=0\displaystyle \frac{1}{2}:0{,}5-1=0.
Vezi rezolvarea
  1. Transformăm numărul zecimal 0,5\displaystyle 0{,}5 în fracție ordinară: 0,5=510\displaystyle 0{,}5=\dfrac{5}{10}, iar prin simplificare cu 5\displaystyle 5 obținem 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    0,5=510=12\displaystyle 0{,}5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}
  2. Înlocuim 0,5\displaystyle 0{,}5 cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2} în expresia dată și obținem 12:12−1\displaystyle \dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{2}-1.
    12:12−1\displaystyle \frac{1}{2}:\frac{1}{2}-1
  3. Efectuăm împărțirea înaintea scăderii. Un număr nenul împărțit la el însuși dă 1\displaystyle 1, deci 12:12=12⋅2=1\displaystyle \dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot 2=1. Apoi 1−1=0\displaystyle 1-1=0, deci egalitatea este adevărată.
    12:12−1=1−1=0\displaystyle \frac{1}{2}:\frac{1}{2}-1=1-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați f(−1)+f(0)+f(1)\displaystyle f(-1)+f(0)+f(1), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x\displaystyle f(x)=x^2+x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(−1)\displaystyle f(-1) înlocuind x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1 în f(x)=x2+x\displaystyle f(x)=x^2+x: (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1, deci f(−1)=1+(−1)\displaystyle f(-1)=1+(-1).
    f(−1)=(−1)2+(−1)=1−1=0\displaystyle f(-1)=(-1)^2+(-1)=1-1=0
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0) înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0: 02=0\displaystyle 0^2=0, deci f(0)=0+0\displaystyle f(0)=0+0.
    f(0)=02+0=0\displaystyle f(0)=0^2+0=0
  3. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1: 12=1\displaystyle 1^2=1, deci f(1)=1+1\displaystyle f(1)=1+1. Am obținut astfel toate cele trei valori: f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0, f(0)=0\displaystyle f(0)=0 și f(1)=2\displaystyle f(1)=2.
    f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0, f(0)=0 și f(1)=2\displaystyle \ f(0)=0\text{ și }f(1)=2
  4. Adunăm cele trei valori calculate: 0+0+2\displaystyle 0+0+2.
    f(−1)+f(0)+f(1)=0+0+2=2\displaystyle f(-1)+f(0)+f(1)=0+0+2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+1=5\displaystyle \sqrt{3x+1}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau nulă, adică 3x+1≥0\displaystyle 3x+1\ge 0, deci x≥−13\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{3}.
    x≥−13\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{3}
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației 3x+1=5\displaystyle \sqrt{3x+1}=5. Radicalul dispare și obținem 3x+1=25\displaystyle 3x+1=25.
    3x+1=25\displaystyle 3x+1=25
  3. Scădem 1 din ambii membri: 3x=25−1=24\displaystyle 3x=25-1=24.
    3x=24\displaystyle 3x=24
  4. Împărțim la 3 și obținem x=8\displaystyle x=8. Verificăm: 8≥−13\displaystyle 8\ge -\dfrac{1}{3}, iar 3⋅8+1=25=5\displaystyle \sqrt{3\cdot 8+1}=\sqrt{25}=5, deci soluția convine.
    x=8\displaystyle x=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Un obiect costă 150\displaystyle 150 lei. Calculați prețul obiectului după o scumpire cu 30%\displaystyle 30\%.
Vezi rezolvarea
  1. Scumpirea cu 30%\displaystyle 30\% înseamnă că la prețul inițial se adaugă 30%\displaystyle 30\% din el. Mai întâi aflăm cât reprezintă 30%\displaystyle 30\% din 150\displaystyle 150 lei, adică înmulțim fracția 30100\displaystyle \dfrac{30}{100} cu 150\displaystyle 150.
    30100⋅150\displaystyle \frac{30}{100}\cdot 150
  2. Calculăm: 150:100=1,5\displaystyle 150:100=1{,}5, iar 1,5⋅30=45\displaystyle 1{,}5\cdot 30=45. Deci scumpirea este de 45\displaystyle 45 de lei.
    30100⋅150=45\displaystyle \frac{30}{100}\cdot 150=45
  3. Adunăm scumpirea la prețul inițial: 150+45=195\displaystyle 150+45=195. Prețul după scumpire este 195\displaystyle 195 de lei.
    150+45=195 de lei\displaystyle 150+45=195\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,5)\displaystyle A(1,5) și B(3,5)\displaystyle B(3,5). Determinați distanța de la punctul A\displaystyle A la punctul B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula distanței dintre punctele A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B): AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
  2. Înlocuim coordonatele xA=1\displaystyle x_A=1, yA=5\displaystyle y_A=5, xB=3\displaystyle x_B=3, yB=5\displaystyle y_B=5 în formulă.
    AB=(3−1)2+(5−5)2\displaystyle AB=\sqrt{(3-1)^2+(5-5)^2}
  3. Calculăm diferențele: 3−1=2\displaystyle 3-1=2 și 5−5=0\displaystyle 5-5=0, deci pătratele sunt 22=4\displaystyle 2^2=4 și 02=0\displaystyle 0^2=0.
    AB=4+0=4\displaystyle AB=\sqrt{4+0}=\sqrt{4}
  4. Rădăcina pătrată din 4\displaystyle 4 este 2\displaystyle 2, deci distanța de la A\displaystyle A la B\displaystyle B este 2\displaystyle 2.
    AB=2\displaystyle AB=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea laturii AB\displaystyle AB a triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, știind că AC=5\displaystyle AC=5 și m(∠B)=45∘\displaystyle m(\angle B)=45^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci m(∠B)+m(∠C)=90∘\displaystyle m(\angle B)+m(\angle C)=90^\circ. Cum m(∠B)=45∘\displaystyle m(\angle B)=45^\circ, obținem m(∠C)=90∘−45∘=45∘\displaystyle m(\angle C)=90^\circ-45^\circ=45^\circ.
    m(∠C)=45∘\displaystyle m(\angle C)=45^\circ
  2. Unghiurile ∠B\displaystyle \angle B și ∠C\displaystyle \angle C sunt egale, deci triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel, cu baza BC\displaystyle BC. Laturile opuse unghiurilor egale sunt egale, adică AC=AB\displaystyle AC=AB.
    ΔABC este isoscel, AB=AC\displaystyle \Delta ABC\text{ este isoscel, }AB=AC
  3. Cum AC=5\displaystyle AC=5 și AB=AC\displaystyle AB=AC, rezultă AB=5\displaystyle AB=5.
    AB=5\displaystyle AB=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele M=(−22−1−1)\displaystyle M=\begin{pmatrix}-2&2\\-1&-1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡M=4\displaystyle \det M=4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei M\displaystyle M cu elementele ei: det⁡M=∣−22−1−1∣\displaystyle \det M=\begin{vmatrix}-2&2\\-1&-1\end{vmatrix}.
    det⁡M=∣−22−1−1∣\displaystyle \det M=\begin{vmatrix}-2&2\\-1&-1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula pentru determinantul de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Pe diagonala principală sunt −2\displaystyle -2 și −1\displaystyle -1, iar pe cea secundară 2\displaystyle 2 și −1\displaystyle -1.
    det⁡M=(−2)⋅(−1)−2⋅(−1)\displaystyle \det M=(-2)\cdot(-1)-2\cdot(-1)
  3. Calculăm fiecare produs. Produsul a două numere negative este pozitiv, deci (−2)⋅(−1)=2\displaystyle (-2)\cdot(-1)=2, iar 2⋅(−1)=−2\displaystyle 2\cdot(-1)=-2. Obținem 2−(−2)=2+2=4\displaystyle 2-(-2)=2+2=4, deci det⁡M=4\displaystyle \det M=4.
    det⁡M=2−(−2)=4\displaystyle \det M=2-(-2)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele M=(−22−1−1)\displaystyle M=\begin{pmatrix}-2&2\\-1&-1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. Arătați că M⋅M+3M+4I2=O2\displaystyle M\cdot M+3M+4I_2=O_2, unde O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul M⋅M\displaystyle M\cdot M, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este (−2)(−2)+2⋅(−1)=2\displaystyle (-2)(-2)+2\cdot(-1)=2, pe linia 1, coloana 2 este (−2)⋅2+2⋅(−1)=−6\displaystyle (-2)\cdot 2+2\cdot(-1)=-6, pe linia 2, coloana 1 este (−1)(−2)+(−1)(−1)=3\displaystyle (-1)(-2)+(-1)(-1)=3, iar pe linia 2, coloana 2 este (−1)⋅2+(−1)(−1)=−1\displaystyle (-1)\cdot 2+(-1)(-1)=-1.
    M⋅M=(2−63−1)\displaystyle M\cdot M=\begin{pmatrix}2&-6\\3&-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm 3M\displaystyle 3M, înmulțind fiecare element al lui M\displaystyle M cu 3\displaystyle 3.
    3M=(−66−3−3)\displaystyle 3M=\begin{pmatrix}-6&6\\-3&-3\end{pmatrix}
  3. Calculăm 4I2\displaystyle 4I_2, înmulțind fiecare element al matricei unitate cu 4\displaystyle 4. Avem astfel toți cei trei termeni ai sumei.
    4I2=(4004)\displaystyle 4I_2=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}
  4. Adunăm cele trei matrice element cu element. Pe fiecare poziție obținem 0\displaystyle 0, deci suma este matricea nulă O2\displaystyle O_2.
    M⋅M+3M+4I2=(2−6+4−6+6+03−3+0−1−3+4)=(0000)=O2\displaystyle M\cdot M+3M+4I_2=\begin{pmatrix}2-6+4&-6+6+0\\3-3+0&-1-3+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele M=(−22−1−1)\displaystyle M=\begin{pmatrix}-2&2\\-1&-1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b astfel încât M⋅M⋅M=aM+bI2\displaystyle M\cdot M\cdot M=aM+bI_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm mai întâi M2\displaystyle M^2, înmulțind M\displaystyle M cu ea însăși, linie cu coloană. Prima linie: (−2)(−2)+2⋅(−1)=2\displaystyle (-2)(-2)+2\cdot(-1)=2 și (−2)⋅2+2⋅(−1)=−6\displaystyle (-2)\cdot 2+2\cdot(-1)=-6. A doua linie: (−1)(−2)+(−1)(−1)=3\displaystyle (-1)(-2)+(-1)(-1)=3 și (−1)⋅2+(−1)(−1)=−1\displaystyle (-1)\cdot 2+(-1)(-1)=-1.
    M2=(2−63−1)\displaystyle M^2=\begin{pmatrix}2&-6\\3&-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm M3=M2⋅M\displaystyle M^3=M^2\cdot M. Prima linie: 2⋅(−2)+(−6)(−1)=2\displaystyle 2\cdot(-2)+(-6)(-1)=2 și 2⋅2+(−6)(−1)=10\displaystyle 2\cdot 2+(-6)(-1)=10. A doua linie: 3⋅(−2)+(−1)(−1)=−5\displaystyle 3\cdot(-2)+(-1)(-1)=-5 și 3⋅2+(−1)(−1)=7\displaystyle 3\cdot 2+(-1)(-1)=7.
    M⋅M⋅M=(210−57)\displaystyle M\cdot M\cdot M=\begin{pmatrix}2&10\\-5&7\end{pmatrix}
  3. Scriem și matricea aM+bI2\displaystyle aM+bI_2: înmulțim fiecare element al lui M\displaystyle M cu a\displaystyle a, apoi adăugăm b\displaystyle b pe diagonala principală (din bI2\displaystyle bI_2). Astfel avem M⋅M⋅M=(210−57)\displaystyle M\cdot M\cdot M=\begin{pmatrix}2&10\\-5&7\end{pmatrix} și aM+bI2=(−2a+b2a−a−a+b)\displaystyle aM+bI_2=\begin{pmatrix}-2a+b&2a\\-a&-a+b\end{pmatrix}.
    M⋅M⋅M=(210−57)\displaystyle M\cdot M\cdot M=\begin{pmatrix}2&10\\-5&7\end{pmatrix}, aM+bI2=(−2a+b2a−a−a+b)\displaystyle \ aM+bI_2=\begin{pmatrix}-2a+b&2a\\-a&-a+b\end{pmatrix}
  4. Egalăm cele două matrice element cu element și obținem un sistem de patru ecuații. Din 2a=10\displaystyle 2a=10 rezultă a=5\displaystyle a=5, iar ecuația −a=−5\displaystyle -a=-5 confirmă acest lucru.
    {−2a+b=22a=10−a=−5−a+b=7⇒a=5\displaystyle \begin{cases}-2a+b=2\\2a=10\\-a=-5\\-a+b=7\end{cases}\Rightarrow a=5
  5. Înlocuim a=5\displaystyle a=5 în −2a+b=2\displaystyle -2a+b=2 și obținem −10+b=2\displaystyle -10+b=2, deci b=12\displaystyle b=12. Verificare: în ecuația −a+b=7\displaystyle -a+b=7 avem −5+12=7\displaystyle -5+12=7, adevărat. Prin urmare a=5\displaystyle a=5 și b=12\displaystyle b=12.
    a=5\displaystyle a=5, b=12\displaystyle \ b=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−5X2+5X−1\displaystyle f=X^3-5X^2+5X-1.

Arătați că f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului f=X3−5X2+5X−1\displaystyle f=X^3-5X^2+5X-1.
    f(1)=13−5⋅12+5⋅1−1\displaystyle f(1)=1^3-5\cdot 1^2+5\cdot 1-1
  2. Calculăm puterile și produsele: 13=1\displaystyle 1^3=1, 12=1\displaystyle 1^2=1, iar înmulțirea cu 1\displaystyle 1 nu schimbă numărul.
    f(1)=1−5+5−1\displaystyle f(1)=1-5+5-1
  3. Efectuăm adunările și scăderile: −5+5=0\displaystyle -5+5=0 și 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Deci f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
    f(1)=1−5+5−1=0\displaystyle f(1)=1-5+5-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−5X2+5X−1\displaystyle f=X^3-5X^2+5X-1.

Arătați că f(a)+f(−a)+2≤0\displaystyle f(a)+f(-a)+2\le 0, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu a\displaystyle a în f=X3−5X2+5X−1\displaystyle f=X^3-5X^2+5X-1 și obținem f(a)\displaystyle f(a).
    f(a)=a3−5a2+5a−1\displaystyle f(a)=a^3-5a^2+5a-1
  2. Înlocuim X\displaystyle X cu −a\displaystyle -a, ținând cont că (−a)3=−a3\displaystyle (-a)^3=-a^3 și (−a)2=a2\displaystyle (-a)^2=a^2.
    f(−a)=−a3−5a2−5a−1\displaystyle f(-a)=-a^3-5a^2-5a-1
  3. Adunăm f(a)+f(−a)\displaystyle f(a)+f(-a): termenii a3\displaystyle a^3 și −a3\displaystyle -a^3 se reduc, la fel 5a\displaystyle 5a și −5a\displaystyle -5a, iar rămân −10a2\displaystyle -10a^2 și −2\displaystyle -2.
    f(a)+f(−a)=−10a2−2\displaystyle f(a)+f(-a)=-10a^2-2
  4. Adăugăm 2\displaystyle 2: obținem −10a2\displaystyle -10a^2. Cum a2≥0\displaystyle a^2\ge 0 pentru orice a\displaystyle a real, rezultă −10a2≤0\displaystyle -10a^2\le 0.
    f(a)+f(−a)+2=−10a2≤0, pentru orice numa˘r real a\displaystyle f(a)+f(-a)+2=-10a^2\le 0\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−5X2+5X−1\displaystyle f=X^3-5X^2+5X-1.

Demonstrați că x12+x22+x32=15x1x2x3\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=15x_1x_2x_3, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții polinomului f=X3−5X2+5X−1\displaystyle f=X^3-5X^2+5X-1: a=1\displaystyle a=1, b=−5\displaystyle b=-5, c=5\displaystyle c=5, d=−1\displaystyle d=-1, adică f=aX3+bX2+cX+d\displaystyle f=aX^3+bX^2+cX+d.
    a=1\displaystyle a=1, b=−5\displaystyle \ b=-5, c=5\displaystyle \ c=5, d=−1\displaystyle \ d=-1
  2. Scriem relațiile lui Viète: x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}, x1x2+x1x3+x2x3=ca\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a}, x1x2x3=−da\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}.
    x1+x2+x3=5\displaystyle x_1+x_2+x_3=5, x1x2+x1x3+x2x3=5\displaystyle \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=5, x1x2x3=1\displaystyle \ x_1x_2x_3=1
  3. Folosim identitatea x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3), care rezultă din dezvoltarea pătratului sumei.
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)
  4. Înlocuim suma 5\displaystyle 5 și suma produselor 5\displaystyle 5 în identitate și calculăm: 52−2⋅5=25−10=15\displaystyle 5^2-2\cdot 5=25-10=15.
    x12+x22+x32=52−2⋅5=15\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=5^2-2\cdot 5=15
  5. Deoarece x1x2x3=1\displaystyle x_1x_2x_3=1, avem 15=15⋅1=15x1x2x3\displaystyle 15=15\cdot 1=15x_1x_2x_3. Deci egalitatea cerută este demonstrată.
    x12+x22+x32=52−2⋅5=15⋅1=15x1x2x3\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=5^2-2\cdot 5=15\cdot 1=15x_1x_2x_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−6x+1\displaystyle f(x)=2x^3-6x+1.

Arătați că f′(x)=6(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=6(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen, folosind regula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}: (2x3)′=6x2\displaystyle (2x^{3})'=6x^{2}, (−6x)′=−6\displaystyle (-6x)'=-6, iar (1)′=0\displaystyle (1)'=0.
    f′(x)=6x2−6\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6
  2. Dăm factor comun pe 6\displaystyle 6 în expresia 6x2−6\displaystyle 6x^{2}-6.
    f′(x)=6(x2−1)\displaystyle f'(x)=6\left(x^{2}-1\right)
  3. Descompunem diferența de pătrate x2−1\displaystyle x^{2}-1 cu formula a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b), pentru a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1. Obținem egalitatea cerută, pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=6(x2−1)=6(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=6\left(x^{2}-1\right)=6(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−6x+1\displaystyle f(x)=2x^3-6x+1.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia funcției: f(1)=2⋅13−6⋅1+1=2−6+1\displaystyle f(1)=2\cdot 1^{3}-6\cdot 1+1=2-6+1.
    f(1)=2−6+1=−3\displaystyle f(1)=2-6+1=-3
  3. Derivăm funcția: (2x3)′=6x2\displaystyle (2x^{3})'=6x^{2}, (−6x)′=−6\displaystyle (-6x)'=-6, iar derivata constantei 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0. Deci f′(x)=6x2−6\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6.
    f′(x)=6x2−6\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6
  4. Calculăm f′(1)=6⋅12−6=0\displaystyle f'(1)=6\cdot 1^{2}-6=0. Astfel, f(1)=−3\displaystyle f(1)=-3 și f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0.
    f(1)=−3\displaystyle f(1)=-3, f′(1)=0\displaystyle \ f'(1)=0
  5. Înlocuim valorile în formula tangentei: y−(−3)=0⋅(x−1)\displaystyle y-(-3)=0\cdot(x-1), adică y+3=0\displaystyle y+3=0. Rezultă ecuația tangentei y=−3\displaystyle y=-3 (o dreaptă orizontală).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)⇒y=−3\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\Rightarrow y=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−6x+1\displaystyle f(x)=2x^3-6x+1.

Demonstrați că f(2012)+f(2014)≤f(2013)+f(2015)\displaystyle f(2012)+f(2014)\le f(2013)+f(2015).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=2x3−6x+1\displaystyle f(x)=2x^{3}-6x+1 termen cu termen, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=6x2−6\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6
  2. Scoatem factor comun 6\displaystyle 6 și folosim diferența de pătrate: 6x2−6=6(x2−1)\displaystyle 6x^{2}-6=6(x^{2}-1).
    f′(x)=6(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=6(x-1)(x+1)
  3. Pentru x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty) avem x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0 și x+1>0\displaystyle x+1>0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0. Rezultă că f\displaystyle f este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0, pentru orice x∈[1,+∞), deci f este cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle \ \text{pentru orice }x\in[1,+\infty)\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,+\infty)
  4. Numerele 2012\displaystyle 2012, 2013\displaystyle 2013, 2014\displaystyle 2014, 2015\displaystyle 2015 aparțin lui [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty). Cum 2012<2013\displaystyle 2012<2013 și 2014<2015\displaystyle 2014<2015, iar f\displaystyle f este crescătoare, obținem două inegalități.
    f(2012)≤f(2013) și f(2014)≤f(2015)\displaystyle f(2012)\le f(2013)\text{ și }f(2014)\le f(2015)
  5. Adunăm membru cu membru cele două inegalități de același sens și obținem inegalitatea cerută.
    f(2012)+f(2014)≤f(2013)+f(2015)\displaystyle f(2012)+f(2014)\le f(2013)+f(2015)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^2-4.

Arătați că ∫01(f(x)+4) dx=13\displaystyle \int_0^1 (f(x)+4)\,dx=\frac{1}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^{2}-4 în expresia de sub integrală: f(x)+4=x2−4+4\displaystyle f(x)+4=x^{2}-4+4.
    f(x)+4=x2−4+4\displaystyle f(x)+4=x^{2}-4+4
  2. Reducem termenii −4\displaystyle -4 și +4\displaystyle +4, deci integrandul devine x2\displaystyle x^{2}, iar integrala devine ∫01x2 dx\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx.
    ∫01(f(x)+4) dx=∫01x2 dx\displaystyle \int_0^1 (f(x)+4)\,dx=\int_0^1 x^{2}\,dx
  3. O primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}. Aplicăm formula Leibniz-Newton cu limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01x2 dx=x33∣01\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}\Big|_0^1
  4. Calculăm valorile în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0 și le scădem: 133−033=13\displaystyle \dfrac{1^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}=\dfrac{1}{3}. Egalitatea cerută este demonstrată.
    x33∣01=13−0=13\displaystyle \frac{x^{3}}{3}\Big|_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^2-4.

Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=1f(x)+5\displaystyle g(x)=\frac{1}{f(x)+5}, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția g\displaystyle g explicit, înlocuind f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^2-4. La numitor obținem f(x)+5=x2−4+5\displaystyle f(x)+5=x^2-4+5, adică x2+1\displaystyle x^2+1.
    g(x)=1x2+1\displaystyle g(x)=\frac{1}{x^{2}+1}
  2. Observăm că numitorul x2+1\displaystyle x^2+1 este strict pozitiv pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci g(x)>0\displaystyle g(x)>0. Atunci ∣g(x)∣=g(x)\displaystyle |g(x)|=g(x), iar graficul este deasupra axei Ox\displaystyle Ox. Aria este integrala lui g\displaystyle g pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    A=∫01∣g(x)∣ dx=∫011x2+1 dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1 |g(x)|\,dx=\int_0^1\frac{1}{x^{2}+1}\,dx
  3. Folosim primitiva cunoscută: o primitivă a lui 1x2+1\displaystyle \dfrac{1}{x^2+1} este arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg}x. Aplicăm formula Leibniz-Newton cu limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    A=arctg⁡x∣01\displaystyle \mathcal{A}=\operatorname{arctg}x\Big|_0^1
  4. Calculăm valorile la capete: arctg⁡1=π4\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}, iar arctg⁡0=0\displaystyle \operatorname{arctg}0=0. Scădem și obținem aria.
    A=arctg⁡1−arctg⁡0=π4−0=π4\displaystyle \mathcal{A}=\operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}0=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^2-4.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>1\displaystyle a>1, pentru care ∫1af(x)+4x dx=12\displaystyle \int_1^a\frac{f(x)+4}{x}\,dx=12.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^{2}-4 în expresia de sub integrală: f(x)+4=x2−4+4=x2\displaystyle f(x)+4=x^{2}-4+4=x^{2}.
    f(x)+4=x2\displaystyle f(x)+4=x^{2}
  2. Simplificăm fracția: x2x=x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{x}=x, pentru x≠0\displaystyle x\neq 0 (aici x∈[1,a]\displaystyle x\in[1,a], deci x>0\displaystyle x>0). Integrala devine ∫1ax dx\displaystyle \int_1^a x\,dx.
    ∫1af(x)+4x dx=∫1ax dx\displaystyle \int_1^a\frac{f(x)+4}{x}\,dx=\int_1^a x\,dx
  3. Calculăm integrala cu o primitivă a lui x\displaystyle x, anume x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, și aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în a\displaystyle a minus valoarea ei în 1\displaystyle 1.
    ∫1ax dx=x22∣1a=a22−12\displaystyle \int_1^a x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\Big|_1^a=\frac{a^{2}}{2}-\frac{1}{2}
  4. Egalăm rezultatul cu 12\displaystyle 12 și înmulțim ecuația cu 2\displaystyle 2, ca să eliminăm numitorii.
    a22−12=12⇔a2−1=24\displaystyle \frac{a^{2}}{2}-\frac{1}{2}=12\Leftrightarrow a^{2}-1=24
  5. Aducem ecuația la forma a2−25=0\displaystyle a^{2}-25=0, deci a2=25\displaystyle a^{2}=25 și a=5\displaystyle a=5 sau a=−5\displaystyle a=-5. Cum a>1\displaystyle a>1, păstrăm doar valoarea pozitivă.
    a2−25=0⇔a=±5, iar cum a>1, obținem a=5\displaystyle a^{2}-25=0\Leftrightarrow a=\pm 5\text{, iar cum }a>1\text{, obținem }a=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.