Bac matematică M3 tehnologic 2019, sesiunea a II-a varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (32−23):(32+23)⋅135=1\displaystyle \left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right):\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{13}{5}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem fracțiile din prima paranteză la numitorul comun 6\displaystyle 6: 32=96\displaystyle \dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{6} și 23=46\displaystyle \dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}. Atunci diferența este 96−46\displaystyle \dfrac{9}{6}-\dfrac{4}{6}.
    32−23=9−46=56\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{9-4}{6}=\frac{5}{6}
  2. La a doua paranteză folosim același numitor comun: 32+23=96+46\displaystyle \dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{6}+\dfrac{4}{6}.
    32+23=9+46=136\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{2}{3}=\frac{9+4}{6}=\frac{13}{6}
  3. Înlocuim cele două rezultate în expresia din enunț: (32−23):(32+23)⋅135\displaystyle \left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}\right):\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{3}\right)\cdot\dfrac{13}{5} devine o expresie cu fracții simple.
    56:136⋅135\displaystyle \frac{5}{6}:\frac{13}{6}\cdot\frac{13}{5}
  4. Împărțirea la 136\displaystyle \dfrac{13}{6} se transformă în înmulțirea cu inversa sa, 613\displaystyle \dfrac{6}{13}.
    56⋅613⋅135\displaystyle \frac{5}{6}\cdot\frac{6}{13}\cdot\frac{13}{5}
  5. Simplificăm factorii 6\displaystyle 6, 13\displaystyle 13 și 5\displaystyle 5 de la numărători cu cei de la numitori și obținem egalitatea cerută.
    56⋅613⋅135=5⋅6⋅136⋅13⋅5=1\displaystyle \frac{5}{6}\cdot\frac{6}{13}\cdot\frac{13}{5}=\frac{5\cdot 6\cdot 13}{6\cdot 13\cdot 5}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−4\displaystyle f(x)=2x-4. Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că f(m+1)=m\displaystyle f(m+1)=m.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu m+1\displaystyle m+1 în expresia funcției f(x)=2x−4\displaystyle f(x)=2x-4: f(m+1)=2(m+1)−4\displaystyle f(m+1)=2(m+1)-4.
    f(m+1)=2(m+1)−4\displaystyle f(m+1)=2(m+1)-4
  2. Desfacem paranteza: 2(m+1)=2m+2\displaystyle 2(m+1)=2m+2, apoi reducem termenii: 2m+2−4=2m−2\displaystyle 2m+2-4=2m-2.
    f(m+1)=2m−2\displaystyle f(m+1)=2m-2
  3. Din condiția f(m+1)=m\displaystyle f(m+1)=m obținem ecuația 2m−2=m\displaystyle 2m-2=m.
    2m−2=m\displaystyle 2m-2=m
  4. Mutăm m\displaystyle m în membrul stâng și −2\displaystyle -2 în cel drept: 2m−m=2\displaystyle 2m-m=2, deci m=2\displaystyle m=2.
    m=2\displaystyle m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡7(2x+3)=log⁡79\displaystyle \log_7(2x+3)=\log_7 9.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, adică 2x+3>0\displaystyle 2x+3>0, deci x>−32\displaystyle x>-\dfrac{3}{2}.
    x>−32\displaystyle x>-\dfrac{3}{2}
  2. Logaritmii au aceeași bază, 7\displaystyle 7, și funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: 2x+3=9\displaystyle 2x+3=9.
    2x+3=9\displaystyle 2x+3=9
  3. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri și obținem 2x=6\displaystyle 2x=6.
    2x+3=9⇒2x=6\displaystyle 2x+3=9\Rightarrow 2x=6
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=3\displaystyle x=3. Verificăm condiția: 3>−32\displaystyle 3>-\dfrac{3}{2}, iar 2⋅3+3=9>0\displaystyle 2\cdot 3+3=9>0, deci soluția convine.
    x=3, care convine\displaystyle x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={10,20,30,40,50,60,70,80,90}\displaystyle A=\{10,20,30,40,50,60,70,80,90\}, acesta să fie multiplu de 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Cazurile posibile sunt toate elementele mulțimii A\displaystyle A. Numărăm elementele: 10,20,30,40,50,60,70,80,90\displaystyle 10,20,30,40,50,60,70,80,90, adică 9\displaystyle 9 elemente.
    nr. cazuri posibile=9\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=9
  3. Un număr este multiplu de 3\displaystyle 3 dacă suma cifrelor sale se împarte la 3\displaystyle 3. Verificăm elementele: 10\displaystyle 10 are suma cifrelor 1\displaystyle 1, 20\displaystyle 20 are 2\displaystyle 2, 30\displaystyle 30 are 3\displaystyle 3, 40\displaystyle 40 are 4\displaystyle 4, 50\displaystyle 50 are 5\displaystyle 5, 60\displaystyle 60 are 6\displaystyle 6, 70\displaystyle 70 are 7\displaystyle 7, 80\displaystyle 80 are 8\displaystyle 8, 90\displaystyle 90 are 9\displaystyle 9. Suma cifrelor se împarte la 3\displaystyle 3 pentru 30\displaystyle 30, 60\displaystyle 60 și 90\displaystyle 90.
    {30,60,90}\displaystyle \{30,60,90\}
  4. Deci avem 3\displaystyle 3 cazuri favorabile.
    nr. cazuri favorabile=3\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=3
  5. Înlocuim în formulă și simplificăm fracția prin 3\displaystyle 3.
    p=39=13\displaystyle p=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(4,1)\displaystyle M(4,1), N(1,5)\displaystyle N(1,5) și P(4,5)\displaystyle P(4,5). Calculați aria triunghiului MNP\displaystyle MNP.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm coordonatele punctelor: M(4,1)\displaystyle M(4,1) și P(4,5)\displaystyle P(4,5) au aceeași abscisă 4\displaystyle 4, deci segmentul MP\displaystyle MP este vertical. N(1,5)\displaystyle N(1,5) și P(4,5)\displaystyle P(4,5) au aceeași ordonată 5\displaystyle 5, deci segmentul NP\displaystyle NP este orizontal.
    MP⊥NP\displaystyle MP\perp NP
  2. Deoarece MP\displaystyle MP este vertical și NP\displaystyle NP este orizontal, triunghiul MNP\displaystyle MNP este dreptunghic în P\displaystyle P, cu catetele MP\displaystyle MP și NP\displaystyle NP.
    ∠MPN=90∘\displaystyle \angle MPN=90^\circ
  3. Calculăm lungimile catetelor ca diferențe între coordonatele care diferă: MP=∣5−1∣\displaystyle MP=|5-1| este diferența ordonatelor, iar NP=∣4−1∣\displaystyle NP=|4-1| este diferența absciselor.
    MP=4\displaystyle MP=4, NP=3\displaystyle \ NP=3
  4. Aria triunghiului dreptunghic este jumătate din produsul catetelor. Înlocuim MP=4\displaystyle MP=4 și NP=3\displaystyle NP=3 și obținem aria.
    AΔMPN=4⋅32=6\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta MPN}=\frac{4\cdot 3}{2}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 13⋅sin⁡60∘+sin⁡245∘=1\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sin 60^\circ+\sin^2 45^\circ=1.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute ale sinusurilor: sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
  2. Înlocuim valorile în expresia din enunț: 13⋅32+(22)2\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2.
    13⋅32+(22)2\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2
  3. Calculăm primul termen: 13⋅32=12\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{2}, deoarece 3\displaystyle \sqrt{3} se simplifică. Pentru al doilea termen ridicăm la pătrat numărătorul și numitorul: (22)2=24=12\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
    13⋅32=12\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}, (22)2=12\displaystyle \ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{1}{2}
  4. Adunăm cei doi termeni: 12+12=1\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1, deci egalitatea din enunț este adevărată.
    13⋅32+(22)2=12+12=1\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1234)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} și M(a)=(1+a−aa1−a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}1+a&-a\\a&1-a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡A=−2\displaystyle \det A=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, adică determinantul de ordin doi format cu elementele ei: det⁡A=∣1234∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣1234∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula pentru determinantul de ordin doi: produsul elementelor de pe diagonala principală (1\displaystyle 1 și 4\displaystyle 4) minus produsul elementelor de pe diagonala secundară (2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3). Obținem det⁡A=1⋅4−2⋅3\displaystyle \det A=1\cdot 4-2\cdot 3.
    det⁡A=1⋅4−2⋅3\displaystyle \det A=1\cdot 4-2\cdot 3
  3. Calculăm produsele și apoi scădem: 1⋅4=4\displaystyle 1\cdot 4=4, 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6, deci det⁡A=4−6=−2\displaystyle \det A=4-6=-2, ceea ce trebuia demonstrat.
    det⁡A=4−6=−2\displaystyle \det A=4-6=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1234)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} și M(a)=(1+a−aa1−a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}1+a&-a\\a&1-a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că M(a)⋅M(b)=M(a+b)\displaystyle M(a)\cdot M(b)=M(a+b), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul M(a)⋅M(b)\displaystyle M(a)\cdot M(b), înlocuind a\displaystyle a, respectiv b\displaystyle b, în forma lui M\displaystyle M. Vom calcula pe rând cele patru elemente ale matricei produs, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua.
    M(a)⋅M(b)=(1+a−aa1−a)(1+b−bb1−b)\displaystyle M(a)\cdot M(b)=\begin{pmatrix}1+a&-a\\a&1-a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1+b&-b\\b&1-b\end{pmatrix}
  2. Elementul de pe linia 1, coloana 1: înmulțim linia 1 din prima matrice cu coloana 1 din a doua. Termenii ab\displaystyle ab se reduc.
    (1+a)(1+b)+(−a)⋅b=1+a+b+ab−ab=1+a+b\displaystyle (1+a)(1+b)+(-a)\cdot b=1+a+b+ab-ab=1+a+b
  3. Elementul de pe linia 1, coloana 2: înmulțim linia 1 din prima matrice cu coloana 2 din a doua. Termenii ab\displaystyle ab se reduc.
    (1+a)(−b)+(−a)(1−b)=−b−ab−a+ab=−a−b\displaystyle (1+a)(-b)+(-a)(1-b)=-b-ab-a+ab=-a-b
  4. Elementul de pe linia 2, coloana 1: înmulțim linia 2 din prima matrice cu coloana 1 din a doua. Termenii ab\displaystyle ab se reduc.
    a(1+b)+(1−a)⋅b=a+ab+b−ab=a+b\displaystyle a(1+b)+(1-a)\cdot b=a+ab+b-ab=a+b
  5. Elementul de pe linia 2, coloana 2: înmulțim linia 2 din prima matrice cu coloana 2 din a doua. Termenii ab\displaystyle ab se reduc.
    a(−b)+(1−a)(1−b)=−ab+1−b−a+ab=1−a−b\displaystyle a(-b)+(1-a)(1-b)=-ab+1-b-a+ab=1-a-b
  6. Adunăm cele patru elemente calculate într-o singură matrice.
    M(a)⋅M(b)=(1+a+b−b−aa+b1−a−b)\displaystyle M(a)\cdot M(b)=\begin{pmatrix}1+a+b&-b-a\\a+b&1-a-b\end{pmatrix}
  7. Grupăm termenii a+b\displaystyle a+b în fiecare element: 1+a+b\displaystyle 1+a+b este 1+(a+b)\displaystyle 1+(a+b), −b−a\displaystyle -b-a este −(a+b)\displaystyle -(a+b), iar 1−a−b\displaystyle 1-a-b este 1−(a+b)\displaystyle 1-(a+b). Obținem exact forma lui M\displaystyle M, în care în locul lui a\displaystyle a apare a+b\displaystyle a+b. Deci egalitatea are loc pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    (1+(a+b)−(a+b)a+b1−(a+b))=M(a+b), pentru orice numere \displaystyle \begin{pmatrix}1+(a+b)&-(a+b)\\a+b&1-(a+b)\end{pmatrix}=M(a+b)\text{, pentru orice numere }reale a și b\displaystyle \text{reale }a\text{ și }b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1234)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} și M(a)=(1+a−aa1−a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}1+a&-a\\a&1-a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care M(1)⋅X⋅M(2)=A\displaystyle M(1)\cdot X\cdot M(2)=A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul M(a)⋅M(b)\displaystyle M(a)\cdot M(b). Elementul de pe linia 1, coloana 1 este (1+a)(1+b)−ab=1+a+b\displaystyle (1+a)(1+b)-ab=1+a+b, cel de pe linia 1, coloana 2 este −(1+a)b−a(1−b)=−(a+b)\displaystyle -(1+a)b-a(1-b)=-(a+b), cel de pe linia 2, coloana 1 este a(1+b)+(1−a)b=a+b\displaystyle a(1+b)+(1-a)b=a+b, iar cel de pe linia 2, coloana 2 este −ab+(1−a)(1−b)=1−a−b\displaystyle -ab+(1-a)(1-b)=1-a-b. Deci produsul este M(a+b)\displaystyle M(a+b).
    M(a)⋅M(b)=M(a+b)\displaystyle M(a)\cdot M(b)=M(a+b)
  2. Luăm b=−a\displaystyle b=-a și obținem M(a)⋅M(−a)=M(0)=(1001)=I2\displaystyle M(a)\cdot M(-a)=M(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2. Așadar inversa lui M(a)\displaystyle M(a) este M(−a)\displaystyle M(-a), pentru orice a\displaystyle a real.
    M(a)⋅M(−a)=M(0)=I2⇒(M(a))−1=M(−a)\displaystyle M(a)\cdot M(-a)=M(0)=I_2\Rightarrow \left(M(a)\right)^{-1}=M(-a)
  3. Din M(1)⋅X⋅M(2)=A\displaystyle M(1)\cdot X\cdot M(2)=A înmulțim la stânga cu (M(1))−1=M(−1)\displaystyle \left(M(1)\right)^{-1}=M(-1) și la dreapta cu (M(2))−1=M(−2)\displaystyle \left(M(2)\right)^{-1}=M(-2). Obținem X=M(−1)⋅A⋅M(−2)\displaystyle X=M(-1)\cdot A\cdot M(-2).
    X=M(−1)⋅A⋅M(−2)\displaystyle X=M(-1)\cdot A\cdot M(-2)
  4. Înlocuim a=−1\displaystyle a=-1 și a=−2\displaystyle a=-2 în M(a)\displaystyle M(a).
    M(−1)=(01−12) și M(−2)=(−12−23)\displaystyle M(-1)=\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}\text{ și }M(-2)=\begin{pmatrix}-1&2\\-2&3\end{pmatrix}
  5. Calculăm mai întâi M(−1)⋅A\displaystyle M(-1)\cdot A.
    (01−12)(1234)=(3456)\displaystyle \begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\5&6\end{pmatrix}
  6. Înmulțim rezultatul cu M(−2)\displaystyle M(-2) la dreapta: (3456)(−12−23)\displaystyle \begin{pmatrix}3&4\\5&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&2\\-2&3\end{pmatrix}. Elementele sunt −3−8=−11\displaystyle -3-8=-11, 6+12=18\displaystyle 6+12=18, −5−12=−17\displaystyle -5-12=-17, 10+18=28\displaystyle 10+18=28.
    X=(−1118−1728)\displaystyle X=\begin{pmatrix}-11&18\\-17&28\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=2X3−4X2+4X−3\displaystyle f=2X^3-4X^2+4X-3.

Arătați că f(0)=−3\displaystyle f(0)=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 0\displaystyle 0 în expresia polinomului f=2X3−4X2+4X−3\displaystyle f=2X^3-4X^2+4X-3.
    f(0)=2⋅03−4⋅02+4⋅0−3\displaystyle f(0)=2\cdot 0^3-4\cdot 0^2+4\cdot 0-3
  2. Calculăm puterile lui 0\displaystyle 0 și produsele: 03=0\displaystyle 0^3=0 și 02=0\displaystyle 0^2=0, deci fiecare termen care conține pe 0\displaystyle 0 este egal cu 0\displaystyle 0, iar rămâne doar termenul liber.
    f(0)=0−0+0−3\displaystyle f(0)=0-0+0-3
  3. Efectuăm calculul și obținem valoarea cerută: f(0)=−3\displaystyle f(0)=-3.
    f(0)=−3\displaystyle f(0)=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=2X3−4X2+4X−3\displaystyle f=2X^3-4X^2+4X-3.

Demonstrați că numărul a=3x1+3x2+3x3\displaystyle a=\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2}+\frac{3}{x_3} este natural, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile lui f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții polinomului f=2X3−4X2+4X−3\displaystyle f=2X^3-4X^2+4X-3: a3=2\displaystyle a_3=2, a2=−4\displaystyle a_2=-4, a1=4\displaystyle a_1=4, a0=−3\displaystyle a_0=-3.
    a3=2\displaystyle a_3=2, a2=−4\displaystyle \ a_2=-4, a1=4\displaystyle \ a_1=4, a0=−3\displaystyle \ a_0=-3
  2. Scriem relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul 3: x1x2+x2x3+x3x1=a1a3\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{a_1}{a_3} și x1x2x3=−a0a3\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{a_0}{a_3}.
    x1x2+x2x3+x3x1=42=2\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{4}{2}=2,x1x2x3=−−32=32\displaystyle \quad x_1x_2x_3=-\dfrac{-3}{2}=\dfrac{3}{2}
  3. Aducem fracțiile din a\displaystyle a la numitor comun x1x2x3\displaystyle x_1x_2x_3, scoțând factorul 3\displaystyle 3 în față.
    a=3(1x1+1x2+1x3)=3(x2x3+x1x3+x1x2)x1x2x3\displaystyle a=3\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}\right)=\dfrac{3(x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2)}{x_1x_2x_3}
  4. Înlocuim valorile din relațiile lui Viète: numărătorul este 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6, iar numitorul este 32\displaystyle \dfrac{3}{2}. Rezultă a=6:32=6⋅23=4\displaystyle a=6:\dfrac{3}{2}=6\cdot\dfrac{2}{3}=4, deci a\displaystyle a este număr natural.
    a=3⋅232=4, care este numa˘r natural\displaystyle a=\dfrac{3\cdot 2}{\frac{3}{2}}=4\text{, care este număr natural}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=2X3−4X2+4X−3\displaystyle f=2X^3-4X^2+4X-3.

Demonstrați că polinomul f\displaystyle f nu are toate rădăcinile reale.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm rădăcinile polinomului f\displaystyle f cu x1,x2,x3\displaystyle x_1, x_2, x_3 și presupunem, prin reducere la absurd, că sunt toate reale.
    x1\displaystyle x_1,x2\displaystyle x_2,x3∈R\displaystyle x_3\in\mathbb{R}
  2. Scriem relațiile lui Viète pentru f=2X3−4X2+4X−3\displaystyle f=2X^3-4X^2+4X-3: suma rădăcinilor este −−42\displaystyle -\dfrac{-4}{2}, iar suma produselor luate câte două este 42\displaystyle \dfrac{4}{2}.
    x1+x2+x3=2\displaystyle x_1+x_2+x_3=2,x1x2+x2x3+x3x1=2\displaystyle \quad x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=2
  3. Exprimăm suma pătratelor folosind identitatea (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1) și înlocuim valorile din relațiile lui Viète.
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)=22−2⋅2=0\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)=2^2-2\cdot 2=0
  4. Dacă x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 sunt reale, o sumă de pătrate egală cu 0\displaystyle 0 impune ca fiecare pătrat să fie 0\displaystyle 0, deci toate rădăcinile sunt nule.
    x1=x2=x3=0\displaystyle x_1=x_2=x_3=0
  5. Dar 0\displaystyle 0 nu este rădăcină a lui f\displaystyle f, deoarece f(0)=−3≠0\displaystyle f(0)=-3\neq 0. Contradicție, deci presupunerea este falsă și polinomul f\displaystyle f nu are toate rădăcinile reale.
    x1=x2=x3=0, ceea ce nu convine \displaystyle x_1=x_2=x_3=0\text{, ceea ce nu convine }deoarece f(0)=−3\displaystyle \text{deoarece }f(0)=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx6+5\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^6+5}.

Arătați că f′(x)=5(1−x3)(1+x3)(x6+5)2\displaystyle f'(x)=\frac{5\left(1-x^3\right)\left(1+x^3\right)}{\left(x^6+5\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un raport de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece numitorul x6+5\displaystyle x^{6}+5 este strict pozitiv. Folosim formula de derivare a câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x\displaystyle u=x și v=x6+5\displaystyle v=x^{6}+5.
    f′(x)=x′⋅(x6+5)−x⋅(x6+5)′(x6+5)2\displaystyle f'(x)=\frac{x'\cdot\left(x^{6}+5\right)-x\cdot\left(x^{6}+5\right)'}{\left(x^{6}+5\right)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: x′=1\displaystyle x'=1, iar (x6+5)′=6x5\displaystyle \left(x^{6}+5\right)'=6x^{5}. Le înlocuim în formulă.
    f′(x)=x6+5−x⋅6x5(x6+5)2\displaystyle f'(x)=\frac{x^{6}+5-x\cdot 6x^{5}}{\left(x^{6}+5\right)^{2}}
  3. Efectuăm produsul din numărător: x⋅6x5=6x6\displaystyle x\cdot 6x^{5}=6x^{6}. Apoi reducem termenii asemenea: x6−6x6=−5x6\displaystyle x^{6}-6x^{6}=-5x^{6}.
    f′(x)=5−5x6(x6+5)2\displaystyle f'(x)=\frac{5-5x^{6}}{\left(x^{6}+5\right)^{2}}
  4. Dăm factor comun pe 5\displaystyle 5 la numărător.
    f′(x)=5(1−x6)(x6+5)2\displaystyle f'(x)=\frac{5\left(1-x^{6}\right)}{\left(x^{6}+5\right)^{2}}
  5. Scriem x6=(x3)2\displaystyle x^{6}=\left(x^{3}\right)^{2} și aplicăm formula diferenței de pătrate 1−a2=(1−a)(1+a)\displaystyle 1-a^{2}=(1-a)(1+a), cu a=x3\displaystyle a=x^{3}. Obținem forma cerută, pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=5(1−x3)(1+x3)(x6+5)2, x∈R\displaystyle f'(x)=\frac{5\left(1-x^{3}\right)\left(1+x^{3}\right)}{\left(x^{6}+5\right)^{2}}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx6+5\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^6+5}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0 situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0: y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)=006+5=0\displaystyle f(0)=\dfrac{0}{0^{6}+5}=0. Punctul de tangență este (0,0)\displaystyle (0,0).
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0
  3. Derivăm f\displaystyle f cu formula câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=x\displaystyle u=x și v=x6+5\displaystyle v=x^{6}+5. Avem u′=1\displaystyle u'=1 și v′=6x5\displaystyle v'=6x^{5}, deci f′(x)=1⋅(x6+5)−x⋅6x5(x6+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^{6}+5)-x\cdot 6x^{5}}{(x^{6}+5)^{2}}.
    f′(x)=x6+5−6x6(x6+5)2=5−5x6(x6+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{6}+5-6x^{6}}{(x^{6}+5)^{2}}=\dfrac{5-5x^{6}}{(x^{6}+5)^{2}}
  4. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în derivată: f′(0)=5−0(0+5)2=525\displaystyle f'(0)=\dfrac{5-0}{(0+5)^{2}}=\dfrac{5}{25}.
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0, f′(0)=15\displaystyle \ f'(0)=\dfrac{1}{5}
  5. Înlocuim f(0)=0\displaystyle f(0)=0 și f′(0)=15\displaystyle f'(0)=\dfrac{1}{5} în formula tangentei: y−0=15(x−0)\displaystyle y-0=\dfrac{1}{5}(x-0), deci tangenta are ecuația y=15x\displaystyle y=\dfrac{1}{5}x.
    y−f(0)=f′(0)(x−0), adica˘ y=15x\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=\dfrac{1}{5}x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx6+5\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^6+5}.

Determinați mulțimea valorilor funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece x6+5>0\displaystyle x^{6}+5>0. Calculăm derivata cu formula derivatei unui cât: f′(x)=1⋅(x6+5)−x⋅6x5(x6+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^{6}+5)-x\cdot 6x^{5}}{(x^{6}+5)^{2}}.
    f′(x)=5−5x6(x6+5)2=5(1−x6)(x6+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{5-5x^{6}}{(x^{6}+5)^{2}}=\dfrac{5(1-x^{6})}{(x^{6}+5)^{2}}
  2. Numitorul derivatei este pozitiv, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de 1−x6\displaystyle 1-x^{6}. Avem 1−x6>0\displaystyle 1-x^{6}>0 pentru x∈(−1,1)\displaystyle x\in(-1,1) și 1−x6<0\displaystyle 1-x^{6}<0 pentru ∣x∣>1\displaystyle |x|>1. Rezultă monotonia lui f\displaystyle f.
    f este descresca˘toare pe (−∞,−1], cresca˘toare pe [−1,1] și descresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle f\text{ este descrescătoare pe }(-\infty,-1]\text{, crescătoare pe }[-1,1]\text{ și descrescătoare pe }[1,+\infty)
  3. Calculăm valorile funcției în punctele în care se schimbă monotonia: f(−1)=−11+5\displaystyle f(-1)=\dfrac{-1}{1+5} și f(1)=11+5\displaystyle f(1)=\dfrac{1}{1+5}.
    f(−1)=−16\displaystyle f(-1)=-\dfrac{1}{6}, f(1)=16\displaystyle \ f(1)=\dfrac{1}{6}
  4. Calculăm limitele la capete. Numitorul x6+5\displaystyle x^{6}+5 crește mult mai repede decât numărătorul x\displaystyle x, deci fracția tinde la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0, lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0
  5. Funcția este continuă, deci pe fiecare interval de monotonie imaginea este un interval. Pe (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1], f\displaystyle f scade de la 0\displaystyle 0 (limită, neatinsă) la −16\displaystyle -\dfrac{1}{6}. Pe [−1,1]\displaystyle [-1,1], f\displaystyle f crește de la −16\displaystyle -\dfrac{1}{6} la 16\displaystyle \dfrac{1}{6}. Pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), f\displaystyle f scade de la 16\displaystyle \dfrac{1}{6} spre 0\displaystyle 0 (limită, neatinsă).
    f((−∞,−1])=[−16,0)\displaystyle f\left((-\infty,-1]\right)=\left[-\tfrac{1}{6},0\right), f([−1,1])=[−16,16]\displaystyle \ f\left([-1,1]\right)=\left[-\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{6}\right], f([1,+∞))=(0,16]\displaystyle \ f\left([1,+\infty)\right)=\left(0,\tfrac{1}{6}\right]
  6. Reunim cele trei imagini. Imaginea lui [−1,1]\displaystyle [-1,1] le conține pe celelalte două, deci mulțimea valorilor lui f\displaystyle f este intervalul [−16,16]\displaystyle \left[-\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{6}\right].
    lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0, f(−1)=−16\displaystyle \ f(-1)=-\frac{1}{6}, f(1)=16\displaystyle \ f(1)=\frac{1}{6}, lim⁡x→+∞f(x)=0, deci mulțimea valorilor \displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0\text{, deci mulțimea valorilor }este [−16,16]\displaystyle \text{este }\left[-\frac{1}{6},\frac{1}{6}\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^x.

Arătați că ∫01f(x)ex dx=−12\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{e^x}\,dx=-\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^{x} sub integrală: integrandul devine o fracție cu numărătorul (x−1)ex\displaystyle (x-1)e^{x} și numitorul ex\displaystyle e^{x}.
    ∫01f(x)ex dx=∫01(x−1)exex dx\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{e^x}\,dx=\int_0^1\frac{(x-1)e^x}{e^x}\,dx
  2. Simplificăm fracția prin ex\displaystyle e^{x}, care este nenul pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Rămâne de integrat funcția polinomială x−1\displaystyle x-1.
    ∫01(x−1) dx\displaystyle \int_0^1(x-1)\,dx
  3. O primitivă a lui x−1\displaystyle x-1 este x22−x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}-x, deoarece x\displaystyle x are primitiva x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar 1\displaystyle 1 are primitiva x\displaystyle x. Aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01(x−1) dx=(x22−x)∣01\displaystyle \int_0^1(x-1)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\Big|_0^1
  4. Calculăm primitiva în x=1\displaystyle x=1 și în x=0\displaystyle x=0, apoi scădem: în 1\displaystyle 1 obținem 12−1\displaystyle \dfrac{1}{2}-1, iar în 0\displaystyle 0 obținem 0\displaystyle 0.
    (12−1)−0=−12\displaystyle \left(\frac{1}{2}-1\right)-0=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^x.

Demonstrați că F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=(x−2)ex+2019\displaystyle F(x)=(x-2)e^x+2019 este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f, trebuie să verificăm că F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și că F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Calculăm derivata lui F\displaystyle F.
    F′(x)=((x−2)ex+2019)′\displaystyle F'(x)=\left((x-2)e^x+2019\right)'
  2. Aplicăm regula de derivare a produsului (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv' pentru (x−2)ex\displaystyle (x-2)e^x, iar derivata constantei 2019\displaystyle 2019 este 0\displaystyle 0. Folosim că (x−2)′=1\displaystyle (x-2)'=1 și (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x.
    F′(x)=1⋅ex+(x−2)ex+0\displaystyle F'(x)=1\cdot e^x+(x-2)e^x+0
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x și reducem termenii din paranteză: 1+(x−2)=x−1\displaystyle 1+(x-2)=x-1.
    F′(x)=ex(1+x−2)=(x−1)ex\displaystyle F'(x)=e^x\left(1+x-2\right)=(x-1)e^x
  4. Am obținut că F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=(x−1)ex=f(x), x∈R\displaystyle F'(x)=(x-1)e^x=f(x)\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^x.

Calculați ∫01f2(x)f′(x) dx\displaystyle \int_0^1 f^2(x)f'(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că integrandul are forma f2(x)f′(x)\displaystyle f^2(x)f'(x). Derivata funcției f3(x)3\displaystyle \dfrac{f^3(x)}{3} este 3f2(x)f′(x)3=f2(x)f′(x)\displaystyle \dfrac{3f^2(x)f'(x)}{3}=f^2(x)f'(x).
    (f3(x)3)′=f2(x)f′(x)\displaystyle \left(\dfrac{f^3(x)}{3}\right)'=f^2(x)f'(x)
  2. Deoarece f33\displaystyle \dfrac{f^3}{3} este o primitivă a integrandului, aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01f2(x)f′(x) dx=f3(x)3∣01\displaystyle \int_0^1 f^2(x)f'(x)\,dx=\dfrac{f^3(x)}{3}\Big|_0^1
  3. Calculăm f(1)=(1−1)e1=0\displaystyle f(1)=(1-1)e^1=0 și f(0)=(0−1)e0=−1\displaystyle f(0)=(0-1)e^0=-1.
    f(1)=0\displaystyle f(1)=0,f(0)=−1\displaystyle \quad f(0)=-1
  4. Înlocuim limitele: f3(1)=0\displaystyle f^3(1)=0 și f3(0)=(−1)3=−1\displaystyle f^3(0)=(-1)^3=-1. Atunci integrala este f3(1)−f3(0)3=0−(−1)3\displaystyle \dfrac{f^3(1)-f^3(0)}{3}=\dfrac{0-(-1)}{3}.
    f3(1)−f3(0)3=0−(−1)3=13\displaystyle \dfrac{f^3(1)-f^3(0)}{3}=\dfrac{0-(-1)}{3}=\dfrac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.