Bac matematică M3 tehnologic 2018, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (2−12)(3−13)(4−14)⋅15=3\displaystyle \left(2-\frac{1}{2}\right)\left(3-\frac{1}{3}\right)\left(4-\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{1}{5}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem fiecare paranteză la același numitor: 2−12=42−12\displaystyle 2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2}, 3−13=93−13\displaystyle 3-\dfrac{1}{3}=\dfrac{9}{3}-\dfrac{1}{3} și 4−14=164−14\displaystyle 4-\dfrac{1}{4}=\dfrac{16}{4}-\dfrac{1}{4}.
    4−12⋅9−13⋅16−14⋅15\displaystyle \frac{4-1}{2}\cdot\frac{9-1}{3}\cdot\frac{16-1}{4}\cdot\frac{1}{5}
  2. Efectuăm scăderile de la numărători: 4−1=3\displaystyle 4-1=3, 9−1=8\displaystyle 9-1=8 și 16−1=15\displaystyle 16-1=15.
    32⋅83⋅154⋅15\displaystyle \frac{3}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdot\frac{15}{4}\cdot\frac{1}{5}
  3. Înmulțim fracțiile și simplificăm: 3\displaystyle 3 cu 3\displaystyle 3, 8\displaystyle 8 cu 2⋅4\displaystyle 2\cdot 4, iar 15\displaystyle 15 cu 5\displaystyle 5 dă 3\displaystyle 3. Obținem 3⋅8⋅152⋅3⋅4⋅5=360120=3\displaystyle \dfrac{3\cdot 8\cdot 15}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\dfrac{360}{120}=3.
    32⋅83⋅154⋅15=360120=3\displaystyle \frac{3}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdot\frac{15}{4}\cdot\frac{1}{5}=\frac{360}{120}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2\displaystyle f(x)=x^2+2. Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care f(a)+f(a+1)=5\displaystyle f(a)+f(a+1)=5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în f(x)=x2+2\displaystyle f(x)=x^2+2 și obținem f(a)=a2+2\displaystyle f(a)=a^2+2.
    f(a)=a2+2\displaystyle f(a)=a^{2}+2
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu a+1\displaystyle a+1 în f(x)=x2+2\displaystyle f(x)=x^2+2 și obținem f(a+1)=(a+1)2+2\displaystyle f(a+1)=(a+1)^2+2.
    f(a+1)=(a+1)2+2\displaystyle f(a+1)=(a+1)^{2}+2
  3. Scriem ecuația a2+2+(a+1)2+2=5\displaystyle a^2+2+(a+1)^2+2=5. Dezvoltăm (a+1)2=a2+2a+1\displaystyle (a+1)^2=a^2+2a+1, deci 2a2+2a+5=5\displaystyle 2a^2+2a+5=5, adică 2a2+2a=0\displaystyle 2a^2+2a=0.
    a2+2+(a+1)2+2=5⇔2a2+2a=0\displaystyle a^{2}+2+(a+1)^{2}+2=5\Leftrightarrow 2a^{2}+2a=0
  4. Dăm factor comun: 2a(a+1)=0\displaystyle 2a(a+1)=0. Un produs este zero când unul dintre factori este zero, deci a=0\displaystyle a=0 sau a+1=0\displaystyle a+1=0.
    2a(a+1)=0\displaystyle 2a(a+1)=0
  5. Din a=0\displaystyle a=0 obținem a=0\displaystyle a=0, iar din a+1=0\displaystyle a+1=0 obținem a=−1\displaystyle a=-1. Numerele căutate sunt −1\displaystyle -1 și 0\displaystyle 0.
    a=−1 sau a=0\displaystyle a=-1\text{ sau }a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 52x−4=25\displaystyle 5^{2x-4}=25.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul drept ca putere a lui 5\displaystyle 5: 25=52\displaystyle 25=5^{2}. Ecuația devine 52x−4=52\displaystyle 5^{2x-4}=5^{2}.
    52x−4=52\displaystyle 5^{2x-4}=5^{2}
  2. Funcția exponențială cu baza 5\displaystyle 5 este injectivă, deci două puteri ale lui 5\displaystyle 5 sunt egale doar dacă exponenții sunt egali. Obținem 2x−4=2\displaystyle 2x-4=2.
    52x−4=52⇔2x−4=2\displaystyle 5^{2x-4}=5^{2}\Leftrightarrow 2x-4=2
  3. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: adunăm 4\displaystyle 4 în ambii membri și obținem 2x=6\displaystyle 2x=6, apoi împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=3\displaystyle x=3.
    2x=6⇒x=3\displaystyle 2x=6\Rightarrow x=3
  4. Răspuns final: soluția ecuației este x=3\displaystyle x=3.
    x=3\displaystyle x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={10,15,20,25,30,35,40,45,50}\displaystyle M=\{10,15,20,25,30,35,40,45,50\}, acesta să fie un număr divizibil cu 10\displaystyle 10.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Cazurile posibile sunt toate elementele mulțimii M={10,15,20,25,30,35,40,45,50}\displaystyle M=\{10,15,20,25,30,35,40,45,50\}. Numărăm elementele: sunt 9, deci numărul cazurilor posibile este 9\displaystyle 9.
    nr. cazuri posibile=9\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=9
  3. Căutăm elementele din M\displaystyle M divizibile cu 10\displaystyle 10, adică cele care se termină cu cifra 0\displaystyle 0: 10,20,30,40,50\displaystyle 10, 20, 30, 40, 50. Numerele 15,25,35,45\displaystyle 15, 25, 35, 45 se termină cu 5\displaystyle 5, deci nu sunt divizibile cu 10\displaystyle 10.
    {10,20,30,40,50}\displaystyle \{10,20,30,40,50\}
  4. Numărul cazurilor favorabile este numărul elementelor găsite: 5\displaystyle 5.
    nr. cazuri favorabile=5\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=5
  5. Înlocuim în formulă: p=59\displaystyle p=\dfrac{5}{9}. Fracția este ireductibilă, deci acesta este răspunsul final.
    p=59\displaystyle p=\dfrac{5}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(6,1)\displaystyle A(6,1) și B(2,5)\displaystyle B(2,5). Calculați lungimea segmentului OM\displaystyle OM, unde M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula mijlocului: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2},yM=yA+yB2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Înlocuim: xM=6+22=4\displaystyle x_M=\dfrac{6+2}{2}=4 și yM=1+52=3\displaystyle y_M=\dfrac{1+5}{2}=3, deci M(4,3)\displaystyle M(4,3).
    M(4,3)\displaystyle M(4,3)
  3. Cu O(0,0)\displaystyle O(0,0) și M(4,3)\displaystyle M(4,3) avem OM=(4−0)2+(3−0)2=16+9=25\displaystyle OM=\sqrt{(4-0)^{2}+(3-0)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}.
    OM=42+32=25\displaystyle OM=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}
  4. Deoarece 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5, obținem OM=5\displaystyle OM=5.
    OM=5\displaystyle OM=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 2sin⁡45∘⋅cos⁡45∘−sin⁡245∘−cos⁡260∘=14\displaystyle 2\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ-\sin^2 45^\circ-\cos^2 60^\circ=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 45∘\displaystyle 45^\circ și 60∘\displaystyle 60^\circ: sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡45∘=22\displaystyle \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, iar cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡45∘=22\displaystyle \ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡60∘=12\displaystyle \ \cos 60^\circ=\frac{1}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în expresia 2sin⁡45∘⋅cos⁡45∘−sin⁡245∘−cos⁡260∘\displaystyle 2\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ-\sin^2 45^\circ-\cos^2 60^\circ.
    2⋅22⋅22−(22)2−(12)2\displaystyle 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2
  3. Calculăm primul termen: 22⋅22=24=12\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}, iar înmulțit cu 2\displaystyle 2 dă 1\displaystyle 1.
    2⋅22⋅22=2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2\cdot\frac{1}{2}=1
  4. Calculăm următorii doi termeni: (22)2=24=12\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} și (12)2=14\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}.
    (22)2=12\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{1}{2}, (12)2=14\displaystyle \ \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}
  5. Efectuăm calculul: 1−12−14=4−2−14=14\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4-2-1}{4}=\dfrac{1}{4}, deci egalitatea este demonstrată.
    1−12−14=4−2−14=14\displaystyle 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{4-2-1}{4}=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5148)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&1\\4&8\end{pmatrix} și M(a)=(a−214a+1)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a-2&1\\4&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡A=36\displaystyle \det A=36.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A=(5148)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&1\\4&8\end{pmatrix} și amintim formula determinantului de ordin 2: ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡A=∣5148∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}5&1\\4&8\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula: diagonala principală are elementele 5\displaystyle 5 și 8\displaystyle 8, iar diagonala secundară are elementele 1\displaystyle 1 și 4\displaystyle 4.
    det⁡A=5⋅8−4⋅1\displaystyle \det A=5\cdot 8-4\cdot 1
  3. Efectuăm înmulțirile: 5⋅8=40\displaystyle 5\cdot 8=40 și 4⋅1=4\displaystyle 4\cdot 1=4, apoi scăderea, obținând valoarea cerută.
    det⁡A=40−4=36\displaystyle \det A=40-4=36
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5148)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&1\\4&8\end{pmatrix} și M(a)=(a−214a+1)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a-2&1\\4&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care matricea M(a)\displaystyle M(a) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea M(a)\displaystyle M(a) este inversabilă dacă și numai dacă det⁡(M(a))≠0\displaystyle \det(M(a))\neq 0. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(M(a))=(a−2)(a+1)−1⋅4\displaystyle \det(M(a))=(a-2)(a+1)-1\cdot 4
  2. Efectuăm înmulțirea: (a−2)(a+1)=a2+a−2a−2=a2−a−2\displaystyle (a-2)(a+1)=a^{2}+a-2a-2=a^{2}-a-2. Apoi scădem 4 și obținem determinantul.
    det⁡(M(a))=a2−a−2−4=a2−a−6\displaystyle \det(M(a))=a^{2}-a-2-4=a^{2}-a-6
  3. Impunem condiția a2−a−6≠0\displaystyle a^{2}-a-6\neq 0. Căutăm mai întâi valorile pentru care determinantul se anulează, adică rezolvăm ecuația a2−a−6=0\displaystyle a^{2}-a-6=0.
    Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−6)=25\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-6)=25
  4. Rădăcinile sunt a=1±52\displaystyle a=\dfrac{1\pm 5}{2}.
    a1=1−52=−2, a2=1+52=3\displaystyle a_{1}=\dfrac{1-5}{2}=-2\text{, }a_{2}=\dfrac{1+5}{2}=3
  5. Determinantul este nul doar pentru a=−2\displaystyle a=-2 sau a=3\displaystyle a=3, deci M(a)\displaystyle M(a) este inversabilă pentru toate celelalte valori reale ale lui a\displaystyle a.
    a∈R∖{−2,3}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,3\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5148)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&1\\4&8\end{pmatrix} și M(a)=(a−214a+1)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a-2&1\\4&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care M(x)⋅M(y)=A\displaystyle M(x)\cdot M(y)=A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul M(x)⋅M(y)\displaystyle M(x)\cdot M(y), element cu element, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua.
    M(x)M(y)=((x−2)(y−2)+4x+y−14(y−2)+4(x+1)4+(x+1)(y+1))\displaystyle M(x)M(y)=\begin{pmatrix}(x-2)(y-2)+4 & x+y-1\\ 4(y-2)+4(x+1) & 4+(x+1)(y+1)\end{pmatrix}
  2. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea în fiecare element al produsului.
    M(x)M(y)=(xy−2x−2y+8x+y−14x+4y−4xy+x+y+5)\displaystyle M(x)M(y)=\begin{pmatrix}xy-2x-2y+8 & x+y-1\\ 4x+4y-4 & xy+x+y+5\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele de pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2) și (2,1)\displaystyle (2,1) cu cele ale lui A\displaystyle A. Din elementul (1,2)\displaystyle (1,2) obținem x+y−1=1\displaystyle x+y-1=1, iar elementul (2,1)\displaystyle (2,1), adică 4x+4y−4=4\displaystyle 4x+4y-4=4, dă aceeași relație.
    x+y=2\displaystyle x+y=2
  4. Egalăm elementul de pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1) cu 5\displaystyle 5 și folosim x+y=2\displaystyle x+y=2. Obținem xy−2(x+y)+8=5\displaystyle xy-2(x+y)+8=5, deci xy−4+8=5\displaystyle xy-4+8=5. Elementul (2,2)\displaystyle (2,2) conduce la aceeași concluzie: xy+2+5=8\displaystyle xy+2+5=8.
    xy=1 și x+y=2\displaystyle xy=1\text{ și }x+y=2
  5. Din x+y=2\displaystyle x+y=2 și xy=1\displaystyle xy=1, numerele x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt rădăcinile ecuației t2−2t+1=0\displaystyle t^{2}-2t+1=0, adică (t−1)2=0\displaystyle (t-1)^{2}=0. Singura rădăcină este t=1\displaystyle t=1, deci x=y=1\displaystyle x=y=1.
    x=1\displaystyle x=1, y=1\displaystyle \ y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX−6\displaystyle f=X^3+mX-6, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că f(1)=m−5\displaystyle f(1)=m-5, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului f=X3+mX−6\displaystyle f=X^3+mX-6.
    f(1)=13+m⋅1−6\displaystyle f(1)=1^3+m\cdot 1-6
  2. Calculăm puterea și produsul: 13=1\displaystyle 1^3=1, iar m⋅1=m\displaystyle m\cdot 1=m.
    f(1)=1+m−6\displaystyle f(1)=1+m-6
  3. Reducem termenii constanți: 1−6=−5\displaystyle 1-6=-5. Obținem f(1)=m−5\displaystyle f(1)=m-5, pentru orice număr real m\displaystyle m.
    f(1)=m−5\displaystyle f(1)=m-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX−6\displaystyle f=X^3+mX-6, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care x12+x22+x32=4\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=4, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul are forma X3+0⋅X2+mX−6\displaystyle X^3+0\cdot X^2+mX-6, deci coeficienții sunt a=1\displaystyle a=1, b=0\displaystyle b=0, c=m\displaystyle c=m, d=−6\displaystyle d=-6. Scriem relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul al treilea.
    a=1\displaystyle a=1, b=0\displaystyle \ b=0, c=m\displaystyle \ c=m, d=−6\displaystyle \ d=-6
  2. Suma rădăcinilor este −ba\displaystyle -\dfrac{b}{a}, iar suma produselor luate câte două este ca\displaystyle \dfrac{c}{a}.
    x1+x2+x3=0\displaystyle x_1+x_2+x_3=0,x1x2+x1x3+x2x3=m\displaystyle \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m
  3. Folosim identitatea (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3), din care exprimăm suma pătratelor.
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)
  4. Înlocuim valorile din relațiile lui Viète: suma rădăcinilor este 0\displaystyle 0, iar suma produselor este m\displaystyle m.
    x12+x22+x32=02−2m=−2m\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=0^2-2m=-2m
  5. Impunem condiția din enunț, suma pătratelor egală cu 4\displaystyle 4, și rezolvăm ecuația în m\displaystyle m.
    −2m=4⇔m=−2\displaystyle -2m=4\Leftrightarrow m=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX−6\displaystyle f=X^3+mX-6, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=−7\displaystyle m=-7, determinați numerele reale p\displaystyle p și q\displaystyle q, pentru care f=(X+1)(X2+pX+q)\displaystyle f=(X+1)(X^2+pX+q).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=−7\displaystyle m=-7 polinomul devine f=X3−7X−6\displaystyle f=X^3-7X-6.
    f=X3−7X−6\displaystyle f=X^3-7X-6
  2. Dezvoltăm produsul (X+1)(X2+pX+q)\displaystyle (X+1)(X^2+pX+q): X⋅(X2+pX+q)+1⋅(X2+pX+q)=X3+pX2+qX+X2+pX+q\displaystyle X\cdot(X^2+pX+q)+1\cdot(X^2+pX+q)=X^3+pX^2+qX+X^2+pX+q.
    X3+pX2+qX+X2+pX+q\displaystyle X^3+pX^2+qX+X^2+pX+q
  3. Grupăm termenii după puterile lui X\displaystyle X și egalăm cu f\displaystyle f.
    X3−7X−6=X3+(p+1)X2+(p+q)X+q\displaystyle X^3-7X-6=X^3+(p+1)X^2+(p+q)X+q
  4. Două polinoame sunt egale dacă au coeficienții egali. Coeficientul lui X2\displaystyle X^2 din stânga este 0\displaystyle 0, deci p+1=0\displaystyle p+1=0. Coeficientul lui X\displaystyle X dă p+q=−7\displaystyle p+q=-7, iar termenul liber dă q=−6\displaystyle q=-6.
    {p+1=0p+q=−7q=−6\displaystyle \begin{cases}p+1=0\\ p+q=-7\\ q=-6\end{cases}
  5. Din prima ecuație p=−1\displaystyle p=-1, iar q=−6\displaystyle q=-6. Verificăm în a doua ecuație: −1+(−6)=−7\displaystyle -1+(-6)=-7, adevărat.
    p=−1\displaystyle p=-1, q=−6\displaystyle \ q=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+3\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+3.

Arătați că f′(x)=3x(x−2)\displaystyle f'(x)=3x(x-2), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x3−3x2+3\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}+3 este o sumă de termeni, deci o derivăm termen cu termen. Folosim (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}: (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, (3x2)′=3⋅2x\displaystyle (3x^{2})'=3\cdot 2x, iar derivata constantei este (3)′=0\displaystyle (3)'=0.
    f′(x)=3x2−3⋅2x+0\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3\cdot 2x+0
  2. Eliminăm termenul nul și efectuăm înmulțirea 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6, deci f′(x)=3x2−3⋅2x=3x2−6x\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3\cdot 2x=3x^{2}-6x.
    f′(x)=3x2−3⋅2x=3x2−6x\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3\cdot 2x=3x^{2}-6x
  3. Dăm factor comun pe 3x\displaystyle 3x: 3x2=3x⋅x\displaystyle 3x^{2}=3x\cdot x și 6x=3x⋅2\displaystyle 6x=3x\cdot 2. Obținem forma cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    3x2−6x=3x(x−2)\displaystyle 3x^{2}-6x=3x(x-2), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+3\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+3.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă a\displaystyle a: y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a). Aici a=1\displaystyle a=1.
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în expresia funcției: f(1)=13−3⋅12+3=1−3+3\displaystyle f(1)=1^3-3\cdot 1^2+3=1-3+3.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1
  3. Derivăm funcția: f′(x)=(x3−3x2+3)′=3x2−6x\displaystyle f'(x)=\left(x^3-3x^2+3\right)'=3x^2-6x.
    f′(x)=3x2−6x\displaystyle f'(x)=3x^2-6x
  4. Calculăm f′(1)=3⋅12−6⋅1=3−6\displaystyle f'(1)=3\cdot 1^2-6\cdot 1=3-6.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1, f′(1)=−3\displaystyle \ f'(1)=-3
  5. Înlocuim în formula tangentei: y−1=−3(x−1)\displaystyle y-1=-3(x-1).
    y−1=−3(x−1)\displaystyle y-1=-3(x-1)
  6. Desfacem parantezele: y−1=−3x+3\displaystyle y-1=-3x+3, deci y=−3x+4\displaystyle y=-3x+4. Aceasta este ecuația tangentei.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y=−3x+4\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=-3x+4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+3\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+3.

Demonstrați că f(x)≥−1\displaystyle f(x)\ge -1, pentru orice x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând termen cu termen: f′(x)=(x3−3x2+3)′\displaystyle f'(x)=\left(x^{3}-3x^{2}+3\right)'.
    f′(x)=3x2−6x\displaystyle f'(x)=3x^{2}-6x
  2. Dăm factor comun 3x\displaystyle 3x în expresia derivatei, pentru a studia mai ușor semnul ei.
    f′(x)=3x(x−2)\displaystyle f'(x)=3x(x-2)
  3. Derivata se anulează pentru x=0\displaystyle x=0 și x=2\displaystyle x=2. Cum x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty), studiem semnul lui f′\displaystyle f' pe [0,2]\displaystyle [0,2] și pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty).
    f′(x)=0⇔x=0 sau x=2\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=0\text{ sau }x=2
  4. Pe [0,2]\displaystyle [0,2] avem 3x≥0\displaystyle 3x\ge 0 și x−2≤0\displaystyle x-2\le 0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 și f\displaystyle f este descrescătoare. Pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty) avem 3x≥0\displaystyle 3x\ge 0 și x−2≥0\displaystyle x-2\ge 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0 și f\displaystyle f este crescătoare.
    f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0, x∈[0,2]⇒f descresca˘toare pe [0,2]; f′(x)≥0\displaystyle \ x\in[0,2]\Rightarrow f\text{ descrescătoare pe }[0,2];\ f'(x)\ge 0, x∈[2,+∞)⇒f cresca˘toare pe [2,+∞)\displaystyle \ x\in[2,+\infty)\Rightarrow f\text{ crescătoare pe }[2,+\infty)
  5. Deoarece f\displaystyle f scade până în x=2\displaystyle x=2 și crește după aceea, valoarea minimă pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty) este f(2)\displaystyle f(2), deci f(x)≥f(2)\displaystyle f(x)\ge f(2) pentru orice x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty).
    f(x)≥f(2)\displaystyle f(x)\ge f(2), x∈[0,+∞)\displaystyle \ x\in[0,+\infty)
  6. Calculăm f(2)=23−3⋅22+3=8−12+3=−1\displaystyle f(2)=2^{3}-3\cdot 2^{2}+3=8-12+3=-1. Rezultă f(x)≥−1\displaystyle f(x)\ge -1 pentru orice x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty).
    f(2)=−1, deci f(x)≥−1\displaystyle f(2)=-1\text{, deci }f(x)\ge -1, x∈[0,+∞)\displaystyle \ x\in[0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={3x2−x,x∈(−∞,1]2+1x⋅ln⁡x,x∈(1,+∞)f(x)=\begin{cases}3x^2-x,& x\in(-\infty,1]\\ 2+\frac{1}{x}\cdot\ln x,& x\in(1,+\infty)\end{cases}

Arătați că ∫−11f(x) dx=2\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)\,dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Intervalul [−1,1]\displaystyle [-1,1] este inclus în (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1], deci pe el f(x)=3x2−x\displaystyle f(x)=3x^{2}-x. Integrala devine o integrală de polinom.
    ∫−11f(x) dx=∫−11(3x2−x)dx\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)\,dx=\int_{-1}^{1}\left(3x^{2}-x\right)dx
  2. O primitivă a lui 3x2\displaystyle 3x^{2} este x3\displaystyle x^{3}, iar o primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton cu primitiva x3−x22\displaystyle x^{3}-\dfrac{x^{2}}{2}.
    ∫−11(3x2−x)dx=(x3−x22)∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(3x^{2}-x\right)dx=\left(x^{3}-\frac{x^{2}}{2}\right)\Big|_{-1}^{1}
  3. Pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 1−12=12\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}. Pentru x=−1\displaystyle x=-1 obținem −1−12=−32\displaystyle -1-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}.
    F(1)=12\displaystyle F(1)=\frac{1}{2},F(−1)=−32\displaystyle \quad F(-1)=-\frac{3}{2}
  4. Scădem: F(1)−F(−1)=12+32=2\displaystyle F(1)-F(-1)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=2. Am arătat astfel că integrala este egală cu 2\displaystyle 2.
    (1−12)−(−1−12)=2\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)-\left(-1-\frac{1}{2}\right)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={3x2−x,x∈(−∞,1]2+1x⋅ln⁡x,x∈(1,+∞)f(x)=\begin{cases}3x^2-x,& x\in(-\infty,1]\\ 2+\frac{1}{x}\cdot\ln x,& x\in(1,+\infty)\end{cases}

Arătați că funcția f\displaystyle f admite primitive pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Pe fiecare dintre intervalele (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1) și (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) funcția f\displaystyle f este continuă, fiind dată de funcții elementare: o funcție polinomială pe prima ramură, respectiv 2+1x⋅ln⁡x\displaystyle 2+\dfrac{1}{x}\cdot\ln x pe a doua ramură. Singurul punct în care trebuie verificată continuitatea este x=1\displaystyle x=1.
    se verifica˘ continuitatea \displaystyle \text{se verifică continuitatea }ıˆn x=1\displaystyle \text{în }x=1
  2. Calculăm limita la stânga în x=1\displaystyle x=1, folosind expresia 3x2−x\displaystyle 3x^2-x, valabilă pentru x≤1\displaystyle x\le 1: lim⁡x→1, x<1f(x)=3⋅12−1\displaystyle \lim_{x\to1,\,x<1}f(x)=3\cdot1^2-1.
    lim⁡x→1, x<1f(x)=3⋅12−1=2\displaystyle \lim_{x\to1,\,x<1}f(x)=3\cdot1^{2}-1=2
  3. Calculăm limita la dreapta în x=1\displaystyle x=1, folosind expresia 2+1x⋅ln⁡x\displaystyle 2+\dfrac{1}{x}\cdot\ln x. Deoarece ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem 2+1⋅0\displaystyle 2+1\cdot 0.
    lim⁡x→1, x>1f(x)=2+11⋅ln⁡1=2\displaystyle \lim_{x\to1,\,x>1}f(x)=2+\dfrac{1}{1}\cdot\ln 1=2
  4. Valoarea funcției în x=1\displaystyle x=1 se calculează cu prima ramură, deoarece 1∈(−∞,1]\displaystyle 1\in(-\infty,1]: f(1)=3⋅12−1\displaystyle f(1)=3\cdot1^2-1. Limitele laterale și valoarea funcției sunt egale, deci lim⁡x→1f(x)=f(1)\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=f(1).
    lim⁡x→1, x<1f(x)=lim⁡x→1, x>1f(x)=f(1)=2⇒lim⁡x→1f(x)=f(1)\displaystyle \lim_{x\to1,\,x<1}f(x)=\lim_{x\to1,\,x>1}f(x)=f(1)=2\Rightarrow\lim_{x\to1}f(x)=f(1)
  5. Deci f\displaystyle f este continuă în x=1\displaystyle x=1, iar împreună cu continuitatea pe celelalte intervale rezultă că f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval, deci f\displaystyle f admite primitive pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f continua˘ pe R⇒f admite primitive pe R\displaystyle f\text{ continuă pe }\mathbb{R}\Rightarrow f\text{ admite primitive pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={3x2−x,x∈(−∞,1]2+1x⋅ln⁡x,x∈(1,+∞)f(x)=\begin{cases}3x^2-x,& x\in(-\infty,1]\\ 2+\frac{1}{x}\cdot\ln x,& x\in(1,+\infty)\end{cases}

Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care ∫02f(x) dx=n2−4+ln⁡222\displaystyle \int_{0}^{2}f(x)\,dx=\frac{n^2-4+\ln^2 2}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția are două ramuri, cu punctul de separare x=1\displaystyle x=1. Împărțim integrala de la 0\displaystyle 0 la 2\displaystyle 2 în două integrale: una pe [0,1]\displaystyle [0,1], unde f(x)=3x2−x\displaystyle f(x)=3x^2-x, și una pe [1,2]\displaystyle [1,2], unde f(x)=2+1xln⁡x\displaystyle f(x)=2+\dfrac{1}{x}\ln x.
    ∫02f(x) dx=∫01(3x2−x) dx+∫12(2+ln⁡xx)dx\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx=\int_0^1 (3x^2-x)\,dx+\int_1^2\left(2+\dfrac{\ln x}{x}\right)dx
  2. Calculăm prima integrală cu o primitivă a lui 3x2−x\displaystyle 3x^2-x, adică x3−x22\displaystyle x^3-\dfrac{x^2}{2}.
    ∫01(3x2−x) dx=(x3−x22)∣01=1−12=12\displaystyle \int_0^1 (3x^2-x)\,dx=\left(x^3-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}
  3. Pentru a doua integrală, primitiva lui 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x, iar primitiva lui ln⁡xx\displaystyle \dfrac{\ln x}{x} este ln⁡2x2\displaystyle \dfrac{\ln^2 x}{2}, deoarece derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    ∫12(2+ln⁡xx)dx=(2x+ln⁡2x2)∣12\displaystyle \int_1^2\left(2+\dfrac{\ln x}{x}\right)dx=\left(2x+\dfrac{\ln^2 x}{2}\right)\Big|_1^2
  4. Evaluăm între 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2, folosind ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, apoi adunăm cu rezultatul primei integrale.
    ∫02f(x) dx=12+(4+ln⁡222−2)=5+ln⁡222\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx=\dfrac{1}{2}+\left(4+\dfrac{\ln^2 2}{2}-2\right)=\dfrac{5+\ln^2 2}{2}
  5. Egalăm valoarea obținută cu expresia dată în enunț: 5+ln⁡222=n2−4+ln⁡222\displaystyle \dfrac{5+\ln^2 2}{2}=\dfrac{n^2-4+\ln^2 2}{2}. După simplificarea termenilor comuni obținem 5=n2−4\displaystyle 5=n^2-4.
    5+ln⁡222=n2−4+ln⁡222⇔n2−9=0\displaystyle \dfrac{5+\ln^2 2}{2}=\dfrac{n^2-4+\ln^2 2}{2}\Leftrightarrow n^2-9=0
  6. Ecuația n2=9\displaystyle n^2=9 are soluțiile 3\displaystyle 3 și −3\displaystyle -3, dar n\displaystyle n este număr natural, deci n=3\displaystyle n=3.
    n=3\displaystyle n=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.