Bac matematică M3 tehnologic 2020, sesiunea a II-a varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (10+12)(10−12)=3994\displaystyle \left(10+\frac{1}{2}\right)\left(10-\frac{1}{2}\right)=\frac{399}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că produsul are forma (a+b)(a−b)\displaystyle (a+b)(a-b), cu a=10\displaystyle a=10 și b=12\displaystyle b=\dfrac{1}{2}. Folosim formula diferenței de pătrate: (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.
    (10+12)(10−12)=102−(12)2\displaystyle \left(10+\frac{1}{2}\right)\left(10-\frac{1}{2}\right)=10^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
  2. Calculăm pătratele: 102=100\displaystyle 10^{2}=100, iar (12)2=14\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}.
    100−14\displaystyle 100-\frac{1}{4}
  3. Aducem la același numitor: scriem 100=4004\displaystyle 100=\dfrac{400}{4}, apoi scădem fracțiile și obținem 3994\displaystyle \dfrac{399}{4}, adică exact valoarea cerută.
    100−14=400−14=3994\displaystyle 100-\frac{1}{4}=\frac{400-1}{4}=\frac{399}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=10−x\displaystyle g(x)=10-x.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție a graficelor are aceeași abscisă și aceeași ordonată pe ambele grafice, deci abscisa lui verifică egalitatea f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x).
    f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x)
  2. Înlocuim expresiile celor două funcții și obținem ecuația 2x+1=10−x\displaystyle 2x+1=10-x.
    2x+1=10−x\displaystyle 2x+1=10-x
  3. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: 2x+x=10−1\displaystyle 2x+x=10-1, deci 3x=9\displaystyle 3x=9.
    3x=9\displaystyle 3x=9
  4. Împărțim ecuația la 3\displaystyle 3 și obținem x=3\displaystyle x=3. Aceasta este abscisa punctului de intersecție.
    x=3\displaystyle x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡7(x2+13)=2\displaystyle \log_7\left(x^2+13\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Expresia x2+13\displaystyle x^{2}+13 este mereu pozitivă, deci ecuația are sens pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    x2+13>0\displaystyle x^{2}+13>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Trecem de la logaritm la forma exponențială: log⁡7A=2\displaystyle \log_7 A=2 înseamnă A=72\displaystyle A=7^{2}, deci x2+13=72\displaystyle x^{2}+13=7^{2}.
    x2+13=72=49\displaystyle x^{2}+13=7^{2}=49
  3. Mutăm toți termenii în partea stângă: x2+13−49=0\displaystyle x^{2}+13-49=0, deci x2−36=0\displaystyle x^{2}-36=0.
    x2+13=72⇒x2−36=0\displaystyle x^{2}+13=7^{2}\Rightarrow x^{2}-36=0
  4. Rezolvăm ecuația: x2=36\displaystyle x^{2}=36, deci x=±6\displaystyle x=\pm 6. Condiția de existență este verificată pentru orice x\displaystyle x real, deci ambele valori convin.
    x=−6 sau x=6, care convin\displaystyle x=-6\text{ sau }x=6\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 20%\displaystyle 20\%, prețul unei tablete este 800\displaystyle 800 de lei. Determinați prețul tabletei înainte de ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu p\displaystyle p prețul tabletei înainte de ieftinire, în lei. Ieftinirea cu 20%\displaystyle 20\% înseamnă că se scade din p\displaystyle p douăzeci la sută din p\displaystyle p, iar rezultatul este 800\displaystyle 800 de lei.
    p−20100⋅p=800\displaystyle p-\frac{20}{100}\cdot p=800
  2. Simplificăm fracția 20100=15\displaystyle \dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}. Ecuația devine p−p5=800\displaystyle p-\dfrac{p}{5}=800.
    p−p5=800\displaystyle p-\frac{p}{5}=800
  3. Reducem termenii asemenea: p−p5=4p5\displaystyle p-\dfrac{p}{5}=\dfrac{4p}{5}. Deci 4p5=800\displaystyle \dfrac{4p}{5}=800.
    4p5=800\displaystyle \frac{4p}{5}=800
  4. Înmulțim ambii membri cu 5\displaystyle 5 și apoi împărțim la 4\displaystyle 4: p=800⋅54=40004=1000\displaystyle p=\dfrac{800\cdot 5}{4}=\dfrac{4000}{4}=1000. Prețul tabletei înainte de ieftinire a fost 1000\displaystyle 1000 de lei.
    p=1000 de lei\displaystyle p=1000\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,1)\displaystyle A(2,1) și B(2,7)\displaystyle B(2,7). Punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Calculați lungimea segmentului AM\displaystyle AM.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula distanței dintre punctele A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B): AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}
  2. Înlocuim coordonatele A(2,1)\displaystyle A(2,1) și B(2,7)\displaystyle B(2,7): AB=(2−2)2+(7−1)2=0+36\displaystyle AB=\sqrt{(2-2)^{2}+(7-1)^{2}}=\sqrt{0+36}. Rezultă AB=6\displaystyle AB=6.
    AB=02+62=6\displaystyle AB=\sqrt{0^{2}+6^{2}}=6
  3. Deoarece M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB, avem AM=AB2=62=3\displaystyle AM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{6}{2}=3.
    AM=AB2=62=3\displaystyle AM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{6}{2}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 2sin⁡230∘−sin⁡245∘=0\displaystyle 2\sin^2 30^\circ-\sin^2 45^\circ=0.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
  2. Înlocuim valorile în expresia 2sin⁡230∘−sin⁡245∘\displaystyle 2\sin^2 30^\circ-\sin^2 45^\circ.
    2⋅(12)2−(22)2\displaystyle 2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2
  3. Ridicăm la pătrat: (12)2=14\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4} și (22)2=24\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4}.
    2⋅14−24\displaystyle 2\cdot\frac{1}{4}-\frac{2}{4}
  4. Calculăm: 2⋅14=24\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4}, deci diferența este 24−24=0\displaystyle \dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4}=0. Egalitatea este demonstrată.
    2⋅14−24=24−24=0\displaystyle 2\cdot\frac{1}{4}-\frac{2}{4}=\frac{2}{4}-\frac{2}{4}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a+111a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1 & 1\\ 1 & a-1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=−2\displaystyle \det(A(0))=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a): pe diagonala principală obținem 0+1=1\displaystyle 0+1=1 și 0−1=−1\displaystyle 0-1=-1, iar celelalte elemente rămân 1\displaystyle 1.
    A(0)=(111−1)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordinul 2\displaystyle 2 ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(0))=∣111−1∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}.
    det⁡(A(0))=∣111−1∣=1⋅(−1)−1⋅1\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot(-1)=-1 și 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1. Apoi −1−1=−2\displaystyle -1-1=-2, deci det⁡(A(0))=−2\displaystyle \det(A(0))=-2, ceea ce trebuia arătat.
    −1−1=−2\displaystyle -1-1=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a+111a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1 & 1\\ 1 & a-1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(a)⋅A(−a)=(2−a2)I2\displaystyle A(a)\cdot A(-a)=\left(2-a^2\right)I_2, pentru orice număr real a\displaystyle a, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu −a\displaystyle -a în matricea A(a)\displaystyle A(a): elementele a+1\displaystyle a+1 și a−1\displaystyle a-1 devin −a+1\displaystyle -a+1 și −a−1\displaystyle -a-1.
    A(−a)=(−a+111−a−1)\displaystyle A(-a)=\begin{pmatrix}-a+1&1\\1&-a-1\end{pmatrix}
  2. Scriem produsul celor două matrice pe care îl vom calcula, element cu element, după regula linie pe coloană.
    A(a)⋅A(−a)=(a+111a−1)⋅(−a+111−a−1)\displaystyle A(a)\cdot A(-a)=\begin{pmatrix}a+1&1\\1&a-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-a+1&1\\1&-a-1\end{pmatrix}
  3. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este (a+1)(−a+1)+1⋅1=1−a2+1=2−a2\displaystyle (a+1)(-a+1)+1\cdot 1=1-a^2+1=2-a^2. Elementul de pe linia 2, coloana 2 este 1⋅1+(a−1)(−a−1)=1+(1−a2)=2−a2\displaystyle 1\cdot 1+(a-1)(-a-1)=1+(1-a^2)=2-a^2.
    c11=(a+1)(1−a)+1=2−a2\displaystyle c_{11}=(a+1)(1-a)+1=2-a^2,c22=1+(a−1)(−a−1)=2−a2\displaystyle \quad c_{22}=1+(a-1)(-a-1)=2-a^2
  4. Elementul de pe linia 1, coloana 2 este (a+1)⋅1+1⋅(−a−1)=a+1−a−1=0\displaystyle (a+1)\cdot 1+1\cdot(-a-1)=a+1-a-1=0. Elementul de pe linia 2, coloana 1 este 1⋅(−a+1)+(a−1)⋅1=−a+1+a−1=0\displaystyle 1\cdot(-a+1)+(a-1)\cdot 1=-a+1+a-1=0.
    c12=(a+1)−(a+1)=0\displaystyle c_{12}=(a+1)-(a+1)=0,c21=(1−a)+(a−1)=0\displaystyle \quad c_{21}=(1-a)+(a-1)=0
  5. Punem laolaltă elementele calculate și obținem matricea produs.
    A(a)⋅A(−a)=(2−a2002−a2)\displaystyle A(a)\cdot A(-a)=\begin{pmatrix}2-a^2&0\\0&2-a^2\end{pmatrix}
  6. Dăm factor comun scalarul 2−a2\displaystyle 2-a^2 din matrice și recunoaștem matricea unitate I2\displaystyle I_2. Calculul nu a depins de valoarea lui a\displaystyle a, deci egalitatea are loc pentru orice număr real a\displaystyle a.
    (2−a2)(1001)=(2−a2)I2, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \left(2-a^2\right)\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\left(2-a^2\right)I_2\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a+111a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1 & 1\\ 1 & a-1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), știind că A(1)⋅X=A(2)\displaystyle A(1)\cdot X=A(2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(2110)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}
  2. Determinantul este det⁡(A(1))=2⋅0−1⋅1=−1\displaystyle \det(A(1))=2\cdot 0-1\cdot 1=-1, deci este nenul și A(1)\displaystyle A(1) este inversabilă.
    det⁡(A(1))=−1≠0\displaystyle \det(A(1))=-1\neq 0
  3. Pentru o matrice (pqrs)\displaystyle \begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix} inversa este 1det⁡(s−q−rp)\displaystyle \dfrac{1}{\det}\begin{pmatrix}s&-q\\-r&p\end{pmatrix}. Aici avem (A(1))−1=1−1(0−1−12)\displaystyle (A(1))^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}0&-1\\-1&2\end{pmatrix}.
    (A(1))−1=(011−2)\displaystyle (A(1))^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-2\end{pmatrix}
  4. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(2)\displaystyle A(2).
    A(2)=(3111)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}3&1\\1&1\end{pmatrix}
  5. Din A(1)⋅X=A(2)\displaystyle A(1)\cdot X=A(2), înmulțind la stânga cu (A(1))−1\displaystyle (A(1))^{-1}, obținem X=(A(1))−1⋅A(2)\displaystyle X=(A(1))^{-1}\cdot A(2).
    X=(A(1))−1⋅A(2)=(011−2)(3111)\displaystyle X=(A(1))^{-1}\cdot A(2)=\begin{pmatrix}0&1\\1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\1&1\end{pmatrix}
  6. Calculăm elementele: 0⋅3+1⋅1=1\displaystyle 0\cdot 3+1\cdot 1=1, 0⋅1+1⋅1=1\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 1=1, 1⋅3+(−2)⋅1=1\displaystyle 1\cdot 3+(-2)\cdot 1=1, 1⋅1+(−2)⋅1=−1\displaystyle 1\cdot 1+(-2)\cdot 1=-1. Deci X=(111−1)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.
    X=(111−1)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+xy−x−y+1\displaystyle x*y=x^2+xy-x-y+1.

Arătați că 3∗2=11\displaystyle 3*2=11.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=x2+xy−x−y+1\displaystyle x*y=x^2+xy-x-y+1, unde x\displaystyle x este primul număr și y\displaystyle y este al doilea. Pentru 3∗2\displaystyle 3*2 avem x=3\displaystyle x=3 și y=2\displaystyle y=2.
    x=3\displaystyle x=3, y=2\displaystyle \ y=2
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 și y\displaystyle y cu 2\displaystyle 2 în formula legii: 3∗2=32+3⋅2−3−2+1\displaystyle 3*2=3^2+3\cdot 2-3-2+1.
    3∗2=32+3⋅2−3−2+1\displaystyle 3*2=3^2+3\cdot 2-3-2+1
  3. Calculăm puterea și produsul: 32=9\displaystyle 3^2=9 și 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6.
    9+6−3−2+1\displaystyle 9+6-3-2+1
  4. Efectuăm adunările și scăderile: 9+6=15\displaystyle 9+6=15, apoi 15−3−2+1=11\displaystyle 15-3-2+1=11. Deci 3∗2=11\displaystyle 3*2=11, ceea ce trebuia demonstrat.
    9+6−3−2+1=11\displaystyle 9+6-3-2+1=11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+xy−x−y+1\displaystyle x*y=x^2+xy-x-y+1. Demonstrați că x∗(−x)=1\displaystyle x*(-x)=1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim peste tot y\displaystyle y cu −x\displaystyle -x în legea de compoziție.
    x∗(−x)=x2+x⋅(−x)−x−(−x)+1\displaystyle x*(-x)=x^2+x\cdot(-x)-x-(-x)+1
  2. Calculăm x⋅(−x)=−x2\displaystyle x\cdot(-x)=-x^2 și −(−x)=+x\displaystyle -(-x)=+x, deci expresia devine o sumă de termeni simpli.
    x2−x2−x+x+1\displaystyle x^2-x^2-x+x+1
  3. Reducem termenii opuși: x2−x2=0\displaystyle x^2-x^2=0 și −x+x=0\displaystyle -x+x=0. Rămâne doar 1\displaystyle 1, oricare ar fi x\displaystyle x real.
    x2−x2−x+x+1=1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x^2-x^2-x+x+1=1\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+xy−x−y+1\displaystyle x*y=x^2+xy-x-y+1.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 2x∗4=1\displaystyle 2^x*4=1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii: pentru a=2x\displaystyle a=2^x și b=4\displaystyle b=4 avem a∗b=a2+ab−a−b+1\displaystyle a*b=a^2+ab-a-b+1. Înlocuim în ecuația 2x∗4=1\displaystyle 2^x*4=1.
    (2x)2+2x⋅4−2x−4+1=1\displaystyle \left(2^x\right)^2+2^x\cdot 4-2^x-4+1=1
  2. Scriem (2x)2=22x\displaystyle \left(2^x\right)^2=2^{2x} și reducem termenii asemenea: 4⋅2x−2x=3⋅2x\displaystyle 4\cdot 2^x-2^x=3\cdot 2^x, iar −4+1=−3\displaystyle -4+1=-3. Apoi scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri.
    22x+3⋅2x−4=0\displaystyle 2^{2x}+3\cdot 2^x-4=0
  3. Notăm t=2x\displaystyle t=2^x, cu t>0\displaystyle t>0. Ecuația devine t2+3t−4=0\displaystyle t^2+3t-4=0. Căutăm două numere cu suma 3\displaystyle 3 și produsul −4\displaystyle -4: acestea sunt 4\displaystyle 4 și −1\displaystyle -1, deci descompunem în factori.
    (2x+4)(2x−1)=0\displaystyle \left(2^x+4\right)\left(2^x-1\right)=0
  4. Un produs este zero când un factor este zero. Factorul 2x+4\displaystyle 2^x+4 este strict pozitiv, deci nu poate fi zero. Rămâne 2x−1=0\displaystyle 2^x-1=0, adică 2x=1=20\displaystyle 2^x=1=2^0, deci x=0\displaystyle x=0.
    2x=1, de unde obținem x=0\displaystyle 2^x=1\text{, de unde obținem }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+3x2+2x+2\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x+3}{x^2+2x+2}.

Arătați că f′(x)=−2(x+1)(x2+2x+2)2\displaystyle f'(x)=\frac{-2(x+1)}{\left(x^2+2x+2\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un raport de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar numitorul x2+2x+2\displaystyle x^2+2x+2 nu se anulează, deoarece Δ=4−8<0\displaystyle \Delta=4-8<0. Folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, cu u=x2+2x+3\displaystyle u=x^2+2x+3 și v=x2+2x+2\displaystyle v=x^2+2x+2.
    u=x2+2x+3\displaystyle u=x^2+2x+3, v=x2+2x+2\displaystyle \ v=x^2+2x+2
  2. Calculăm derivatele: u′(x)=2x+2\displaystyle u'(x)=2x+2 și v′(x)=2x+2\displaystyle v'(x)=2x+2.
    u′(x)=2x+2\displaystyle u'(x)=2x+2, v′(x)=2x+2\displaystyle \ v'(x)=2x+2
  3. Înlocuim în formula câtului:
    f′(x)=(2x+2)(x2+2x+2)−(x2+2x+3)(2x+2)(x2+2x+2)2\displaystyle f'(x)=\frac{(2x+2)\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2+2x+3\right)(2x+2)}{\left(x^2+2x+2\right)^2}
  4. La numărător dăm factor comun 2x+2\displaystyle 2x+2. În paranteză, x2+2x+2−x2−2x−3=−1\displaystyle x^2+2x+2-x^2-2x-3=-1.
    f′(x)=(2x+2)(x2+2x+2−x2−2x−3)(x2+2x+2)2=(2x+2)⋅(−1)(x2+2x+2)2\displaystyle f'(x)=\frac{(2x+2)\left(x^2+2x+2-x^2-2x-3\right)}{\left(x^2+2x+2\right)^2}=\frac{(2x+2)\cdot(-1)}{\left(x^2+2x+2\right)^2}
  5. Scriem 2x+2=2(x+1)\displaystyle 2x+2=2(x+1), deci numărătorul devine −2(x+1)\displaystyle -2(x+1). Astfel, egalitatea cerută este adevărată pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=−2(x+1)(x2+2x+2)2, x∈R\displaystyle f'(x)=\frac{-2(x+1)}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+3x2+2x+2\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x+3}{x^2+2x+2}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty există dacă lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x) este un număr real. Scriem limita: numărătorul și numitorul tind amândoi la +∞\displaystyle +\infty, deci trebuie scos factor comun.
    lim⁡x→+∞x2+2x+3x2+2x+2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+2x+3}{x^2+2x+2}
  2. Scoatem x2\displaystyle x^2 factor comun la numărător și la numitor, apoi simplificăm cu x2≠0\displaystyle x^2\neq 0.
    lim⁡x→+∞x2(1+2x+3x2)x2(1+2x+2x2)=lim⁡x→+∞1+2x+3x21+2x+2x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, termenii 2x\displaystyle \dfrac{2}{x}, 3x2\displaystyle \dfrac{3}{x^2} și 2x2\displaystyle \dfrac{2}{x^2} tind la 0\displaystyle 0. Rămâne raportul 1+0+01+0+0\displaystyle \dfrac{1+0+0}{1+0+0}, deci limita este 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→+∞f(x)=1+0+01+0+0=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1+0+0}{1+0+0}=1
  4. Limita la +∞\displaystyle +\infty este 1\displaystyle 1, număr real, deci graficul are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dreapta de ecuație y=1\displaystyle y=1.
    y=1\displaystyle y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+3x2+2x+2\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x+3}{x^2+2x+2}.

Determinați imaginea funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Numitorul x2+2x+2=(x+1)2+1\displaystyle x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1 este strict pozitiv, deci f\displaystyle f este definită și derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Scriem f(x)=1+1x2+2x+2\displaystyle f(x)=1+\dfrac{1}{x^{2}+2x+2}.
    f(x)=1+1x2+2x+2\displaystyle f(x)=1+\dfrac{1}{x^{2}+2x+2}
  2. Derivăm: f′(x)=−(x2+2x+2)′(x2+2x+2)2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{(x^{2}+2x+2)'}{(x^{2}+2x+2)^{2}}.
    f′(x)=−2x+2(x2+2x+2)2=−2(x+1)(x2+2x+2)2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2x+2}{(x^{2}+2x+2)^{2}}=-\dfrac{2(x+1)}{(x^{2}+2x+2)^{2}}
  3. Numitorul este pozitiv, deci f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 dacă și numai dacă x+1=0\displaystyle x+1=0. Pentru x<−1\displaystyle x<-1 avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, iar pentru x>−1\displaystyle x>-1 avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0.
    f′(x)=0⇔x=−1; f cresca˘toare pe (−∞,−1] și descresca˘toare pe [−1,+∞)\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\text{; }f\text{ crescătoare pe }(-\infty,-1]\text{ și descrescătoare pe }[-1,+\infty)
  4. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1: numitorul este 1−2+2=1\displaystyle 1-2+2=1, iar numărătorul este 1−2+3=2\displaystyle 1-2+3=2.
    f(−1)=21=2\displaystyle f(-1)=\dfrac{2}{1}=2
  5. Împărțim la termenul dominant x2\displaystyle x^{2}: lim⁡x→±∞f(x)=lim⁡x→±∞(1+1x2+2x+2)=1\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{x^{2}+2x+2}\right)=1.
    lim⁡x→−∞f(x)=1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=1, lim⁡x→+∞f(x)=1\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=1
  6. Pe (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1] funcția f\displaystyle f este continuă și crește de la 1\displaystyle 1 (valoare neatinsă) la 2\displaystyle 2, iar pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty) scade de la 2\displaystyle 2 la 1\displaystyle 1. Mai mult, f(x)=1+1x2+2x+2>1\displaystyle f(x)=1+\dfrac{1}{x^{2}+2x+2}>1, deci f(x)≠1\displaystyle f(x)\neq 1. Rezultă că imaginea este (1,2]\displaystyle (1,2].
    lim⁡x→−∞f(x)=1\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=1, f(−1)=2\displaystyle \ f(-1)=2, lim⁡x→+∞f(x)=1, f(x)≠1, deci Im⁡f=(1,2]\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=1\text{, }f(x)\neq 1\text{, deci }\operatorname{Im}f=(1,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x2+4\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4}}.

Arătați că ∫01f(x)x2+4 dx=52\displaystyle \int_0^1 f(x)\sqrt{x^2+4}\,dx=\frac{5}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+2x2+4\displaystyle f(x)=\dfrac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4}} în integrală. Obținem integrandul x+2x2+4⋅x2+4\displaystyle \dfrac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4}}\cdot\sqrt{x^{2}+4}.
    ∫01x+2x2+4⋅x2+4 dx\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4}}\cdot\sqrt{x^{2}+4}\,dx
  2. Radicalul x2+4\displaystyle \sqrt{x^{2}+4} de la numitor se simplifică cu factorul x2+4\displaystyle \sqrt{x^{2}+4}, deoarece x2+4>0\displaystyle x^{2}+4>0 pentru orice x\displaystyle x real. Rămâne integrala funcției x+2\displaystyle x+2.
    ∫01f(x)x2+4 dx=∫01(x+2) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\sqrt{x^{2}+4}\,dx=\int_0^1 (x+2)\,dx
  3. Aflăm o primitivă a funcției x+2\displaystyle x+2. Primitiva lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar primitiva lui 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x.
    ∫(x+2) dx=x22+2x\displaystyle \int (x+2)\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}+2x
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton. În 1\displaystyle 1 primitiva are valoarea 12+2=52\displaystyle \dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}, iar în 0\displaystyle 0 are valoarea 0\displaystyle 0. Deci integrala este 52−0=52\displaystyle \dfrac{5}{2}-0=\dfrac{5}{2}, ceea ce trebuia arătat.
    (x22+2x)∣01=12+2−0=52\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}}{2}+2x\right)\Big|_0^1=\dfrac{1}{2}+2-0=\dfrac{5}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x2+4\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4}}. Arătați că ∫01(f2(x)−1)dx=2ln⁡54\displaystyle \int_0^1\left(f^2(x)-1\right)dx=2\ln\frac{5}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Ridicăm la pătrat funcția f\displaystyle f: pătratul radicalului din numitor este expresia de sub radical, deoarece x2+4>0\displaystyle x^{2}+4>0.
    f2(x)=(x+2)2x2+4\displaystyle f^{2}(x)=\dfrac{(x+2)^{2}}{x^{2}+4}
  2. Dezvoltăm pătratul de la numărător cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
    f2(x)=x2+4x+4x2+4\displaystyle f^{2}(x)=\dfrac{x^{2}+4x+4}{x^{2}+4}
  3. Scădem 1\displaystyle 1 scris ca fracție cu numitorul x2+4\displaystyle x^{2}+4, adică 1=x2+4x2+4\displaystyle 1=\dfrac{x^{2}+4}{x^{2}+4}. La numărător se reduc x2\displaystyle x^{2} cu −x2\displaystyle -x^{2} și 4\displaystyle 4 cu −4\displaystyle -4, rămâne 4x\displaystyle 4x.
    f2(x)−1=x2+4x+4−x2−4x2+4=4xx2+4\displaystyle f^{2}(x)-1=\dfrac{x^{2}+4x+4-x^{2}-4}{x^{2}+4}=\dfrac{4x}{x^{2}+4}
  4. Înlocuim în integrală și obținem integrala de mai jos.
    ∫01(x2+4x+4x2+4−1)dx=∫014xx2+4 dx\displaystyle \int_0^1\left(\dfrac{x^{2}+4x+4}{x^{2}+4}-1\right)dx=\int_0^1\dfrac{4x}{x^{2}+4}\,dx
  5. Observăm că (x2+4)′=2x\displaystyle (x^{2}+4)'=2x, deci 4x=2⋅(x2+4)′\displaystyle 4x=2\cdot(x^{2}+4)'. Fracția are forma u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u}, iar o primitivă este 2ln⁡u\displaystyle 2\ln u, unde u=x2+4>0\displaystyle u=x^{2}+4>0.
    ∫014xx2+4 dx=2ln⁡(x2+4)∣01\displaystyle \int_0^1\dfrac{4x}{x^{2}+4}\,dx=2\ln\left(x^{2}+4\right)\Big|_0^1
  6. Calculăm valorile la capetele 1\displaystyle 1 și 0\displaystyle 0, apoi folosim ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}.
    2ln⁡5−2ln⁡4=2ln⁡54\displaystyle 2\ln 5-2\ln 4=2\ln\dfrac{5}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x2+4\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4}}.

Determinați F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, primitiva lui f\displaystyle f pentru care F(0)=0\displaystyle F(0)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Primitiva F\displaystyle F cu F(0)=0\displaystyle F(0)=0 se scrie ca integrală de la 0\displaystyle 0 la x\displaystyle x din f\displaystyle f. Descompunem fracția în doi termeni.
    F(x)=∫0xtt2+4 dt+∫0x2t2+4 dt\displaystyle F(x)=\int_0^x\frac{t}{\sqrt{t^2+4}}\,dt+\int_0^x\frac{2}{\sqrt{t^2+4}}\,dt
  2. Prima integrală: observăm că derivata lui t2+4\displaystyle \sqrt{t^2+4} este tt2+4\displaystyle \dfrac{t}{\sqrt{t^2+4}}, deci aceasta este primitiva.
    (t2+4)′=tt2+4\displaystyle \left(\sqrt{t^2+4}\right)'=\frac{t}{\sqrt{t^2+4}}
  3. A doua integrală: folosim primitiva uzuală a lui 1t2+a2\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{t^2+a^2}}, cu a=2\displaystyle a=2, adică ln⁡(t+t2+4)\displaystyle \ln\left(t+\sqrt{t^2+4}\right). Constanta 2\displaystyle 2 rămâne factor.
    ∫2t2+4dt=2ln⁡(t+t2+4)\displaystyle \int\frac{2}{\sqrt{t^2+4}}dt=2\ln\left(t+\sqrt{t^2+4}\right)
  4. Adunăm cele două primitive și scriem F(x)\displaystyle F(x) ca diferență a valorilor la limitele x\displaystyle x și 0\displaystyle 0.
    F(x)=(t2+4+2ln⁡(t+t2+4))∣0x\displaystyle F(x)=\left(\sqrt{t^2+4}+2\ln\left(t+\sqrt{t^2+4}\right)\right)\Big|_0^x
  5. Calculăm valoarea la limita 0\displaystyle 0: 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, iar 2ln⁡(0+4)=2ln⁡2\displaystyle 2\ln\left(0+\sqrt{4}\right)=2\ln 2.
    0+4+2ln⁡(0+4)=2+2ln⁡2\displaystyle \sqrt{0+4}+2\ln\left(0+\sqrt{4}\right)=2+2\ln 2
  6. Scădem valoarea de la limita 0\displaystyle 0 din valoarea la limita x\displaystyle x. Expresia x+x2+4\displaystyle x+\sqrt{x^2+4} este pozitivă pentru orice x\displaystyle x real, deci logaritmul are sens.
    F(x)=x2+4+2ln⁡(x+x2+4)−2−2ln⁡2, x∈R\displaystyle F(x)=\sqrt{x^2+4}+2\ln\left(x+\sqrt{x^2+4}\right)-2-2\ln 2\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.