Bac matematică M3 tehnologic 2013, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3(4−3)+33=12\displaystyle 3\left(4-\sqrt{3}\right)+3\sqrt{3}=12.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la membrul stâng al egalității și aplicăm distributivitatea înmulțirii față de scădere: înmulțim pe 3\displaystyle 3 cu fiecare termen din paranteză, adică 3(4−3)=3⋅4−33\displaystyle 3\left(4-\sqrt{3}\right)=3\cdot 4-3\sqrt{3}.
    3(4−3)=3⋅4−33\displaystyle 3\left(4-\sqrt{3}\right)=3\cdot 4-3\sqrt{3}
  2. Calculăm produsul 3⋅4=12\displaystyle 3\cdot 4=12 și obținem că primul termen al sumei este 12−33\displaystyle 12-3\sqrt{3}.
    3(4−3)=12−33\displaystyle 3\left(4-\sqrt{3}\right)=12-3\sqrt{3}
  3. Înlocuim în membrul stâng și adunăm și termenul 33\displaystyle 3\sqrt{3}. Termenii −33\displaystyle -3\sqrt{3} și +33\displaystyle +3\sqrt{3} sunt opuși, deci se reduc, iar rămâne 12\displaystyle 12, adică exact membrul drept.
    12−33+33=12\displaystyle 12-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați f(−4)+f(4)\displaystyle f(-4)+f(4) pentru funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−16\displaystyle f(x)=x^2-16.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu −4\displaystyle -4 în expresia funcției: f(−4)=(−4)2−16\displaystyle f(-4)=(-4)^{2}-16. Cum (−4)2=16\displaystyle (-4)^{2}=16, obținem o diferență între două numere egale.
    f(−4)=(−4)2−16=16−16\displaystyle f(-4)=(-4)^{2}-16=16-16
  2. Efectuăm scăderea: 16−16=0\displaystyle 16-16=0, deci f(−4)=0\displaystyle f(-4)=0.
    f(−4)=0\displaystyle f(-4)=0
  3. Înlocuim x\displaystyle x cu 4\displaystyle 4 în expresia funcției: f(4)=42−16=16−16\displaystyle f(4)=4^{2}-16=16-16. Rezultă f(4)=0\displaystyle f(4)=0.
    f(4)=42−16=0\displaystyle f(4)=4^{2}-16=0
  4. Adunăm cele două valori: f(−4)+f(4)=0+0=0\displaystyle f(-4)+f(4)=0+0=0.
    f(−4)+f(4)=0+0=0\displaystyle f(-4)+f(4)=0+0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (x−2)2−x2+8=0\displaystyle (x-2)^2-x^2+8=0.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm pătratul diferenței folosind formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, cu a=x\displaystyle a=x și b=2\displaystyle b=2.
    (x−2)2=x2−4x+4\displaystyle (x-2)^2=x^2-4x+4
  2. Înlocuim dezvoltarea în ecuație: x2−4x+4−x2+8=0\displaystyle x^2-4x+4-x^2+8=0.
    x2−4x+4−x2+8=0\displaystyle x^2-4x+4-x^2+8=0
  3. Reducem termenii x2\displaystyle x^2 și adunăm termenii liberi 4+8=12\displaystyle 4+8=12. Rezultă o ecuație de gradul I.
    −4x+12=0\displaystyle -4x+12=0
  4. Trecem 12\displaystyle 12 în membrul drept: −4x=−12\displaystyle -4x=-12, apoi împărțim la −4\displaystyle -4.
    x=−12−4=3\displaystyle x=\dfrac{-12}{-4}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este 100\displaystyle 100 de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu 30%\displaystyle 30\%.
Vezi rezolvarea
  1. Ieftinirea cu 30%\displaystyle 30\% înseamnă că prețul scade cu 30%\displaystyle 30\% din prețul inițial. Calculăm mai întâi cât reprezintă 30%\displaystyle 30\% din 100\displaystyle 100 de lei.
    30100⋅100\displaystyle \frac{30}{100}\cdot 100
  2. Simplificăm și obținem valoarea reducerii: 30100⋅100=30\displaystyle \dfrac{30}{100}\cdot 100=30 de lei.
    30100⋅100=30\displaystyle \frac{30}{100}\cdot 100=30
  3. Scădem reducerea din prețul inițial: 100−30=70\displaystyle 100-30=70. Prețul după ieftinire este 70\displaystyle 70 de lei.
    100−30=70 de lei\displaystyle 100-30=70\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,4)\displaystyle A(2,4) și B(2,1)\displaystyle B(2,1). Calculați distanța de la punctul A\displaystyle A la punctul B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula distanței dintre două puncte în plan: pentru A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B) avem AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(2,4)\displaystyle A(2,4) și B(2,1)\displaystyle B(2,1) în formulă: xA=2\displaystyle x_A=2, yA=4\displaystyle y_A=4, xB=2\displaystyle x_B=2, yB=1\displaystyle y_B=1.
    AB=(2−2)2+(1−4)2\displaystyle AB=\sqrt{(2-2)^2+(1-4)^2}
  3. Calculăm diferențele: 2−2=0\displaystyle 2-2=0, iar 1−4=−3\displaystyle 1-4=-3. Atunci 02=0\displaystyle 0^2=0 și (−3)2=9\displaystyle (-3)^2=9, deci AB=0+9=9\displaystyle AB=\sqrt{0+9}=\sqrt{9}, iar 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3.
    AB=0+9=3\displaystyle AB=\sqrt{0+9}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați cos⁡A\displaystyle \cos A, știind că sin⁡A=12\displaystyle \sin A=\frac{1}{2} și unghiul A\displaystyle A este ascuțit.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem identitatea fundamentală a trigonometriei, valabilă pentru orice unghi A\displaystyle A: sin⁡2A+cos⁡2A=1\displaystyle \sin^{2}A+\cos^{2}A=1.
    sin⁡2A+cos⁡2A=1\displaystyle \sin^{2}A+\cos^{2}A=1
  2. Înlocuim sin⁡A=12\displaystyle \sin A=\dfrac{1}{2} și ridicăm la pătrat: sin⁡2A=(12)2=14\displaystyle \sin^{2}A=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}.
    (12)2+cos⁡2A=1\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\cos^{2}A=1
  3. Scădem 14\displaystyle \dfrac{1}{4} din 1\displaystyle 1 și obținem cos⁡2A=1−14\displaystyle \cos^{2}A=1-\dfrac{1}{4}.
    cos⁡2A=1−14=34\displaystyle \cos^{2}A=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}
  4. Extragem radicalul din ambii membri: cos⁡A=±34=±32\displaystyle \cos A=\pm\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    cos⁡A=±32\displaystyle \cos A=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  5. Unghiul A\displaystyle A este ascuțit, deci cos⁡A>0\displaystyle \cos A>0. Alegem valoarea pozitivă: cos⁡A=32\displaystyle \cos A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    cos⁡A=32\displaystyle \cos A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2−202)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-2\\0&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B=(b10b)\displaystyle B=\begin{pmatrix}b&1\\0&b\end{pmatrix}, unde b\displaystyle b este număr real.

Calculați det⁡A\displaystyle \det A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, folosind elementele ei: det⁡A=∣2−202∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&-2\\0&2\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣2−202∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&-2\\0&2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula determinantului de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Diagonala principală are elementele 2\displaystyle 2 și 2\displaystyle 2, iar cea secundară are elementele −2\displaystyle -2 și 0\displaystyle 0. Obținem det⁡A=2⋅2−(−2)⋅0\displaystyle \det A=2\cdot 2-(-2)\cdot 0.
    det⁡A=2⋅2−(−2)⋅0=4−0\displaystyle \det A=2\cdot 2-(-2)\cdot 0=4-0
  3. Efectuăm scăderea și obținem valoarea determinantului: 4−0=4\displaystyle 4-0=4.
    det⁡A=4\displaystyle \det A=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2−202)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-2\\0&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B=(b10b)\displaystyle B=\begin{pmatrix}b&1\\0&b\end{pmatrix}, unde b\displaystyle b este număr real.

Determinați numărul real b\displaystyle b pentru care A⋅B=2I2\displaystyle A\cdot B=2I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B, înmulțind linie cu coloană. Elementul din linia 1, coloana 1 este 2⋅b+(−2)⋅0=2b\displaystyle 2\cdot b+(-2)\cdot 0=2b. Elementul din linia 1, coloana 2 este 2⋅1+(−2)⋅b=2−2b\displaystyle 2\cdot 1+(-2)\cdot b=2-2b. Linia a doua: 0⋅b+2⋅0=0\displaystyle 0\cdot b+2\cdot 0=0, iar 0⋅1+2⋅b=2b\displaystyle 0\cdot 1+2\cdot b=2b.
    A⋅B=(2b2−2b02b)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}2b&2-2b\\0&2b\end{pmatrix}
  2. Scriem matricea 2I2\displaystyle 2I_2, adică fiecare element al lui I2\displaystyle I_2 înmulțit cu 2\displaystyle 2.
    2I2=(2002)\displaystyle 2I_2=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice. Din elementele de pe diagonală rezultă 2b=2\displaystyle 2b=2, deci b=1\displaystyle b=1. Din elementul din linia 1, coloana 2 rezultă 2−2b=0\displaystyle 2-2b=0, deci tot b=1\displaystyle b=1. Cele două condiții sunt compatibile, iar elementele 0\displaystyle 0 coincid.
    {2b=22−2b=0⇒b=1\displaystyle \begin{cases}2b=2\\2-2b=0\end{cases}\Rightarrow b=1
  4. Concluzie: egalitatea A⋅B=2I2\displaystyle A\cdot B=2I_2 are loc exact pentru b=1\displaystyle b=1.
    b=1\displaystyle b=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2−202)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-2\\0&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B=(b10b)\displaystyle B=\begin{pmatrix}b&1\\0&b\end{pmatrix}, unde b\displaystyle b este număr real.

Determinați numărul real b\displaystyle b pentru care det⁡(A+B)=0\displaystyle \det(A+B)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele A\displaystyle A și B\displaystyle B element cu element: A+B=(2+b−2+102+b)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}2+b&-2+1\\0&2+b\end{pmatrix}, deci −2+1=−1\displaystyle -2+1=-1.
    A+B=(2+b−102+b)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}2+b&-1\\0&2+b\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară, adică det⁡(A+B)=(2+b)(2+b)−(−1)⋅0\displaystyle \det(A+B)=(2+b)(2+b)-(-1)\cdot 0.
    det⁡(A+B)=(2+b)2\displaystyle \det(A+B)=(2+b)^2
  3. Impunem condiția det⁡(A+B)=0\displaystyle \det(A+B)=0, adică (2+b)2=0\displaystyle (2+b)^2=0. Un pătrat este nul doar dacă baza este nulă, deci 2+b=0\displaystyle 2+b=0.
    (2+b)2=0⇔b=−2\displaystyle (2+b)^2=0\Leftrightarrow b=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−3X2+2X\displaystyle f=X^3-3X^2+2X.

Calculați f(1)\displaystyle f(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim variabila X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului f=X3−3X2+2X\displaystyle f=X^3-3X^2+2X.
    f(1)=13−3⋅12+2⋅1\displaystyle f(1)=1^3-3\cdot 1^2+2\cdot 1
  2. Calculăm puterile: 13=1\displaystyle 1^3=1 și 12=1\displaystyle 1^2=1, iar produsele devin 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3 și 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2.
    f(1)=1−3+2\displaystyle f(1)=1-3+2
  3. Efectuăm adunările și scăderile: 1−3=−2\displaystyle 1-3=-2, apoi −2+2=0\displaystyle -2+2=0. Deci f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
    f(1)=0\displaystyle f(1)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−3X2+2X\displaystyle f=X^3-3X^2+2X.

Determinați restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la X−2\displaystyle X-2.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim polinomul f=X3−3X2+2X\displaystyle f=X^3-3X^2+2X la X−2\displaystyle X-2. Primul termen al câtului este X3X=X2\displaystyle \dfrac{X^3}{X}=X^2.
    X2\displaystyle X^2
  2. Calculăm X2(X−2)=X3−2X2\displaystyle X^2(X-2)=X^3-2X^2 și scădem din f\displaystyle f: (X3−3X2+2X)−(X3−2X2)=−X2+2X\displaystyle (X^3-3X^2+2X)-(X^3-2X^2)=-X^2+2X.
    −X2+2X\displaystyle -X^2+2X
  3. Al doilea termen al câtului este −X2X=−X\displaystyle \dfrac{-X^2}{X}=-X. Calculăm −X(X−2)=−X2+2X\displaystyle -X(X-2)=-X^2+2X și scădem: (−X2+2X)−(−X2+2X)=0\displaystyle (-X^2+2X)-(-X^2+2X)=0.
    (−X2+2X)−(−X2+2X)=0\displaystyle (-X^2+2X)-(-X^2+2X)=0
  4. Adunăm termenii câtului găsiți: X2+(−X)\displaystyle X^2+(-X).
    q=X2−X\displaystyle q=X^2-X
  5. După ultima scădere s-a obținut 0\displaystyle 0, deci restul este 0\displaystyle 0. Verificare: f(2)=8−12+4=0\displaystyle f(2)=8-12+4=0, deci X−2\displaystyle X-2 divide f\displaystyle f. Așadar f=(X−2)(X2−X)\displaystyle f=(X-2)(X^2-X).
    r=0\displaystyle r=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−3X2+2X\displaystyle f=X^3-3X^2+2X.

Calculați x12+x22+x32\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2, unde x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f=X3−3X2+2X\displaystyle f=X^3-3X^2+2X are gradul 3, cu coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle b=-3, c=2\displaystyle c=2, d=0\displaystyle d=0. Scriem relațiile lui Viète pentru rădăcinile x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3: suma rădăcinilor este −ba\displaystyle -\dfrac{b}{a}.
    x1+x2+x3=−−31=3\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-3}{1}=3
  2. Suma produselor rădăcinilor luate câte două este ca\displaystyle \dfrac{c}{a}.
    x1x2+x2x3+x3x1=21=2\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{2}{1}=2
  3. Folosim identitatea (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1). De aici scoatem suma pătratelor.
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)
  4. Înlocuim valorile găsite: suma este 3\displaystyle 3, iar suma produselor este 2\displaystyle 2. Calculăm 9−4=5\displaystyle 9-4=5.
    x12+x22+x32=32−2⋅2=5\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=3^2-2\cdot 2=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+2)3\displaystyle f(x)=(x+2)^3.

Verificați dacă f′(x)=3x2+12x+12\displaystyle f'(x)=3x^2+12x+12, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm cubul sumei folosind formula (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3\displaystyle (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3, cu a=x\displaystyle a=x și b=2\displaystyle b=2.
    (x+2)3=x3+3⋅x2⋅2+3⋅x⋅22+23\displaystyle (x+2)^3=x^3+3\cdot x^2\cdot 2+3\cdot x\cdot 2^2+2^3
  2. Efectuăm calculele și obținem forma dezvoltată a lui f(x)\displaystyle f(x). Apoi scriem derivata funcției, derivând forma dezvoltată.
    f′(x)=(x3+6x2+12x+8)′\displaystyle f'(x)=(x^3+6x^2+12x+8)'
  3. Derivăm termen cu termen: derivata lui x3\displaystyle x^3 este 3x2\displaystyle 3x^2, a lui 6x2\displaystyle 6x^2 este 12x\displaystyle 12x, a lui 12x\displaystyle 12x este 12\displaystyle 12, iar a constantei 8\displaystyle 8 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=3x2+12x+12+0\displaystyle f'(x)=3x^2+12x+12+0
  4. Rezultă că egalitatea din enunț este adevărată pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=3x2+12x+12\displaystyle f'(x)=3x^2+12x+12, pentru orice x∈R\displaystyle \text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+2)3\displaystyle f(x)=(x+2)^3.

Arătați că funcția f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că funcția este crescătoare, studiem semnul derivatei. Funcția f(x)=(x+2)3\displaystyle f(x)=(x+2)^{3} este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}, fiind o funcție polinomială.
    f(x)=(x+2)3, derivabila˘ pe R\displaystyle f(x)=(x+2)^{3}\text{, derivabilă pe }\mathbb{R}
  2. Derivăm folosind formula (u3)′=3u2⋅u′\displaystyle (u^{3})'=3u^{2}\cdot u', cu u=x+2\displaystyle u=x+2 și u′=1\displaystyle u'=1.
    f′(x)=3(x+2)2⋅(x+2)′=3(x+2)2⋅1\displaystyle f'(x)=3(x+2)^{2}\cdot (x+2)'=3(x+2)^{2}\cdot 1
  3. Obținem expresia derivatei, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=3(x+2)2\displaystyle f'(x)=3(x+2)^{2}, pentru orice x∈R\displaystyle \text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}
  4. Un pătrat perfect este mereu pozitiv sau nul, deci (x+2)2≥0\displaystyle (x+2)^{2}\ge 0. Înmulțind cu 3>0\displaystyle 3>0, semnul se păstrează.
    (x+2)2≥0⇒3(x+2)2≥0\displaystyle (x+2)^{2}\ge 0\Rightarrow 3(x+2)^{2}\ge 0
  5. Derivata este pozitivă sau nulă pe tot R\displaystyle \mathbb{R} (se anulează doar în x=−2\displaystyle x=-2), deci funcția f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0, pentru orice x∈R⇒f este cresca˘toare pe R\displaystyle \text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x+2)3\displaystyle f(x)=(x+2)^3.

Calculați lim⁡x→+∞f′(x)x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{x^2}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=(x+2)3\displaystyle f(x)=(x+2)^3. Folosim formula (u3)′=3u2⋅u′\displaystyle \left(u^{3}\right)'=3u^{2}\cdot u' pentru u=x+2\displaystyle u=x+2, unde u′=1\displaystyle u'=1.
    f′(x)=3(x+2)2\displaystyle f'(x)=3(x+2)^2
  2. Dezvoltăm pătratul: (x+2)2=x2+4x+4\displaystyle (x+2)^2=x^2+4x+4. Înmulțind cu 3\displaystyle 3 obținem f′(x)=3x2+12x+12\displaystyle f'(x)=3x^2+12x+12.
    f′(x)=3x2+12x+12\displaystyle f'(x)=3x^2+12x+12
  3. Înlocuim f′(x)\displaystyle f'(x) în limită și dăm factor comun x2\displaystyle x^2 la numărător: 3x2+12x+12=x2(3+12x+12x2)\displaystyle 3x^2+12x+12=x^2\left(3+\dfrac{12}{x}+\dfrac{12}{x^2}\right).
    lim⁡x→+∞3x2+12x+12x2=lim⁡x→+∞x2(3+12x+12x2)x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+12x+12}{x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(3+\frac{12}{x}+\frac{12}{x^2}\right)}{x^2}
  4. Simplificăm fracția prin x2\displaystyle x^2. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, termenii 12x\displaystyle \dfrac{12}{x} și 12x2\displaystyle \dfrac{12}{x^2} tind la 0\displaystyle 0, deci limita este 3\displaystyle 3.
    lim⁡x→+∞(3+12x+12x2)=3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(3+\frac{12}{x}+\frac{12}{x^2}\right)=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1.

Verificați dacă funcția F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=x33+x\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+x este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R} dacă F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Deci derivăm F\displaystyle F și comparăm cu f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm F\displaystyle F termen cu termen: (x33)′=3x23=x2\displaystyle \left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)'=\dfrac{3x^{2}}{3}=x^{2}, iar (x)′=1\displaystyle (x)'=1.
    (x33)′=x2\displaystyle \left(\frac{x^{3}}{3}\right)'=x^{2},(x)′=1\displaystyle \quad (x)'=1
  3. Adunăm derivatele celor doi termeni și obținem derivata lui F\displaystyle F.
    F′(x)=(x33+x)′=x2+1\displaystyle F'(x)=\left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)'=x^{2}+1
  4. Comparăm cu f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^{2}+1: cele două expresii coincid pentru orice x\displaystyle x real, deci F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), oricare ar fi x∈R⇒F este o primitiva˘ a \displaystyle \text{ oricare ar fi }x\in\mathbb{R}\Rightarrow F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1.

Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuație x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Aria suprafeței delimitate de graficul lui f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1 este integrala modulului funcției pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1]: A=∫01∣f(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1 |f(x)|\,dx.
    A=∫01∣f(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1 |f(x)|\,dx
  2. Funcția f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1 este strict pozitivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece x2≥0\displaystyle x^2\ge 0. Deci ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x) și avem A=∫01(x2+1) dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1 (x^2+1)\,dx.
    A=∫01(x2+1) dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1 (x^2+1)\,dx
  3. Determinăm o primitivă a funcției: primitiva lui x2\displaystyle x^2 este x33\displaystyle \dfrac{x^3}{3}, iar primitiva lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Aplicăm formula Leibniz-Newton: A=(x33+x)∣01\displaystyle \mathcal{A}=\left(\dfrac{x^3}{3}+x\right)\Big|_0^1.
    A=(x33+x)∣01\displaystyle \mathcal{A}=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Big|_0^1
  4. Înlocuim limitele: în 1\displaystyle 1 obținem 13+1\displaystyle \dfrac{1}{3}+1, iar în 0\displaystyle 0 obținem 0\displaystyle 0. Scădem și aducem la același numitor: 13+1=43\displaystyle \dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}.
    A=(13+1)−0=43\displaystyle \mathcal{A}=\left(\frac{1}{3}+1\right)-0=\frac{4}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^2+1.

Arătați că ∫12f(x)x dx=32+ln⁡2\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x}\,dx=\frac{3}{2}+\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=x^{2}+1 în integrala dată.
    ∫12f(x)x dx=∫12x2+1x dx\displaystyle \int_1^2\frac{f(x)}{x}\,dx=\int_1^2\frac{x^{2}+1}{x}\,dx
  2. Împărțim fiecare termen de la numărător la x\displaystyle x: x2x=x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{x}=x și 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} rămâne neschimbat.
    ∫12x2+1x dx=∫12(x+1x)dx\displaystyle \int_1^2\frac{x^{2}+1}{x}\,dx=\int_1^2\left(x+\frac{1}{x}\right)dx
  3. Folosim liniaritatea integralei. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar o primitivă a lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este ln⁡x\displaystyle \ln x pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2], unde x>0\displaystyle x>0.
    ∫12(x+1x)dx=(x22+ln⁡x)∣12\displaystyle \int_1^2\left(x+\frac{1}{x}\right)dx=\left(\frac{x^{2}}{2}+\ln x\right)\Big|_1^2
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în 2\displaystyle 2 și în 1\displaystyle 1 și scădem. Folosim ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    (222+ln⁡2)−(122+ln⁡1)=2+ln⁡2−12\displaystyle \left(\frac{2^{2}}{2}+\ln 2\right)-\left(\frac{1^{2}}{2}+\ln 1\right)=2+\ln 2-\frac{1}{2}
  5. Calculăm 2−12=32\displaystyle 2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}, deci obținem rezultatul cerut.
    32+ln⁡2\displaystyle \frac{3}{2}+\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.