Bac matematică M3 tehnologic 2021, sesiunea a II-a varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul a3\displaystyle a_3 al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, știind că a1=4\displaystyle a_1=4 și rația este r=5\displaystyle r=5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula termenului general al unei progresii aritmetice: an=a1+(n−1)⋅r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)\cdot r.
    an=a1+(n−1)⋅r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)\cdot r
  2. Înlocuim n=3\displaystyle n=3, a1=4\displaystyle a_1=4 și r=5\displaystyle r=5. Cum n−1=2\displaystyle n-1=2, obținem a3=4+2⋅5\displaystyle a_3=4+2\cdot 5.
    a3=4+2⋅5\displaystyle a_3=4+2\cdot 5
  3. Calculăm produsul 2⋅5=10\displaystyle 2\cdot 5=10, apoi adunăm: 4+10=14\displaystyle 4+10=14. Deci a3=14\displaystyle a_3=14.
    a3=4+10=14\displaystyle a_3=4+10=14
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x−1\displaystyle f(x)=x^2-x-1. Arătați că f(0)=f(1)\displaystyle f(0)=f(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în formula funcției: f(0)=02−0−1\displaystyle f(0)=0^{2}-0-1.
    f(0)=02−0−1\displaystyle f(0)=0^{2}-0-1
  2. Calculăm: 02=0\displaystyle 0^{2}=0, deci f(0)=0−0−1=−1\displaystyle f(0)=0-0-1=-1.
    f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1
  3. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției: f(1)=12−1−1\displaystyle f(1)=1^{2}-1-1.
    f(1)=12−1−1\displaystyle f(1)=1^{2}-1-1
  4. Calculăm: f(1)=1−1−1=−1\displaystyle f(1)=1-1-1=-1. Am obținut aceeași valoare ca pentru f(0)\displaystyle f(0), deci f(0)=f(1)\displaystyle f(0)=f(1).
    f(1)=−1, deci f(0)=f(1)\displaystyle f(1)=-1\text{, deci }f(0)=f(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(3x+4)=log⁡416\displaystyle \log_4(3x+4)=\log_4 16.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, adică 3x+4>0\displaystyle 3x+4>0, deci x>−43\displaystyle x>-\dfrac{4}{3}.
    x>−43\displaystyle x>-\dfrac{4}{3}
  2. Logaritmii au aceeași bază 4\displaystyle 4, iar funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: 3x+4=16\displaystyle 3x+4=16.
    3x+4=16\displaystyle 3x+4=16
  3. Scădem 4\displaystyle 4 din ambii membri: 3x=12\displaystyle 3x=12, apoi împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem x=4\displaystyle x=4.
    3x=12⇒x=4\displaystyle 3x=12\Rightarrow x=4
  4. Verificăm condiția de existență: 4>−43\displaystyle 4>-\dfrac{4}{3}, deci soluția convine. Într-adevăr, 3⋅4+4=16>0\displaystyle 3\cdot 4+4=16>0.
    x=4, care convine\displaystyle x=4\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 25%\displaystyle 25\%, un produs costă 350\displaystyle 350 de lei. Determinați prețul produsului înainte de scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul produsului înainte de scumpire. După scumpirea cu 25%\displaystyle 25\%, prețul crește cu 25100⋅x\displaystyle \dfrac{25}{100}\cdot x, iar noul preț este 350\displaystyle 350 de lei. Scriem ecuația.
    x+25100⋅x=350\displaystyle x+\dfrac{25}{100}\cdot x=350
  2. Simplificăm fracția 25100=14\displaystyle \dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}, apoi adunăm termenii cu x\displaystyle x: x+x4=5x4\displaystyle x+\dfrac{x}{4}=\dfrac{5x}{4}.
    5x4=350\displaystyle \dfrac{5x}{4}=350
  3. Înmulțim ambii membri cu 4\displaystyle 4 și apoi împărțim la 5\displaystyle 5, deci x=350⋅45=70⋅4\displaystyle x=\dfrac{350\cdot 4}{5}=70\cdot 4.
    x=280\displaystyle x=280
  4. Prețul produsului înainte de scumpire a fost de 280\displaystyle 280 de lei. Verificare: 25%\displaystyle 25\% din 280\displaystyle 280 este 70\displaystyle 70, iar 280+70=350\displaystyle 280+70=350.
    280 de lei\displaystyle 280\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−4,1)\displaystyle A(-4,1) și B(a,b)\displaystyle B(a,b), unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale. Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că punctul O\displaystyle O este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem formulele pentru mijlocul M\displaystyle M al segmentului AB\displaystyle AB: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}, yM=yA+yB2\displaystyle \ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Punctul O\displaystyle O este originea, deci O(0,0)\displaystyle O(0,0). Cum O\displaystyle O este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB, cu A(−4,1)\displaystyle A(-4,1) și B(a,b)\displaystyle B(a,b), scriem condițiile pentru abscisă și ordonată.
    −4+a2=0 și 1+b2=0\displaystyle \frac{-4+a}{2}=0\text{ și }\frac{1+b}{2}=0
  3. Din prima ecuație, înmulțind cu 2\displaystyle 2, obținem −4+a=0\displaystyle -4+a=0, deci a=4\displaystyle a=4.
    −4+a=0⇒a=4\displaystyle -4+a=0\Rightarrow a=4
  4. Din a doua ecuație, înmulțind cu 2\displaystyle 2, obținem 1+b=0\displaystyle 1+b=0, deci b=−1\displaystyle b=-1. Așadar B(4,−1)\displaystyle B(4,-1).
    a=4\displaystyle a=4, b=−1\displaystyle \ b=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul isoscel ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A. Știind că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 8\displaystyle 8, determinați lungimea laturii AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A, deci catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC. Aria este egală cu semiprodusul catetelor: AΔABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}.
    AΔABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}
  2. Triunghiul este isoscel cu unghiul drept în A\displaystyle A, deci catetele sunt congruente: AC=AB\displaystyle AC=AB. Înlocuim în formula ariei: AΔABC=AB22\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB^{2}}{2}.
    AΔABC=AB22\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB^{2}}{2}
  3. Egalăm aria cu 8\displaystyle 8: AB22=8\displaystyle \dfrac{AB^{2}}{2}=8. Înmulțind ambii membri cu 2\displaystyle 2 obținem AB2=16\displaystyle AB^{2}=16.
    AB22=8⇔AB2=16\displaystyle \frac{AB^{2}}{2}=8\Leftrightarrow AB^{2}=16
  4. Lungimea unei laturi este pozitivă, deci din AB2=16\displaystyle AB^{2}=16 rezultă AB=4\displaystyle AB=4.
    AB=4\displaystyle AB=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5−2−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix} și B(x)=(x−2x1−1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & -2x\\ 1 & -1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=3\displaystyle \det A=3.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordin 2: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}, determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Identificăm elementele matricei A\displaystyle A: a=5\displaystyle a=5, b=−2\displaystyle b=-2, c=−1\displaystyle c=-1, d=1\displaystyle d=1, și le înlocuim în formulă.
    det⁡A=∣5−2−11∣=5⋅1−(−2)⋅(−1)\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}5 & -2\\ -1 & 1\end{vmatrix}=5\cdot 1-(-2)\cdot(-1)
  3. Calculăm produsele: 5⋅1=5\displaystyle 5\cdot 1=5, iar (−2)⋅(−1)=2\displaystyle (-2)\cdot(-1)=2. Apoi scădem și obținem 3\displaystyle 3, deci det⁡A=3\displaystyle \det A=3, așa cum trebuia arătat.
    5−2=3\displaystyle 5-2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5−2−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix} și B(x)=(x−2x1−1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & -2x\\ 1 & -1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că 3B(2)+B(6)=4B(3)\displaystyle 3B(2)+B(6)=4B(3).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în B(x)\displaystyle B(x): prima linie este x\displaystyle x și −2x\displaystyle -2x, adică 2\displaystyle 2 și −4\displaystyle -4, iar a doua linie rămâne 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1.
    B(2)=(2−41−1)\displaystyle B(2)=\begin{pmatrix}2 & -4\\ 1 & -1\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x=6\displaystyle x=6 în B(x)\displaystyle B(x): prima linie este 6\displaystyle 6 și −12\displaystyle -12, iar a doua linie rămâne 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1.
    B(6)=(6−121−1)\displaystyle B(6)=\begin{pmatrix}6 & -12\\ 1 & -1\end{pmatrix}
  3. Înmulțim fiecare element al lui B(2)\displaystyle B(2) cu 3\displaystyle 3.
    3B(2)=(6−123−3)\displaystyle 3B(2)=\begin{pmatrix}6 & -12\\ 3 & -3\end{pmatrix}
  4. Adunăm 3B(2)\displaystyle 3B(2) și B(6)\displaystyle B(6) element cu element: 6+6=12\displaystyle 6+6=12, −12+(−12)=−24\displaystyle -12+(-12)=-24, 3+1=4\displaystyle 3+1=4, −3+(−1)=−4\displaystyle -3+(-1)=-4.
    3B(2)+B(6)=(12−244−4)\displaystyle 3B(2)+B(6)=\begin{pmatrix}12 & -24\\ 4 & -4\end{pmatrix}
  5. Înlocuim x=3\displaystyle x=3 în B(x)\displaystyle B(x): prima linie este 3\displaystyle 3 și −6\displaystyle -6, iar a doua linie rămâne 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1.
    B(3)=(3−61−1)\displaystyle B(3)=\begin{pmatrix}3 & -6\\ 1 & -1\end{pmatrix}
  6. Înmulțim fiecare element al lui B(3)\displaystyle B(3) cu 4\displaystyle 4 și obținem același rezultat ca la membrul stâng, deci 3B(2)+B(6)=4B(3)\displaystyle 3B(2)+B(6)=4B(3).
    4B(3)=4(3−61−1)=(12−244−4)=3B(2)+B(6)\displaystyle 4B(3)=4\begin{pmatrix}3 & -6\\ 1 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12 & -24\\ 4 & -4\end{pmatrix}=3B(2)+B(6)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5−2−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5 & -2\\ -1 & 1\end{pmatrix} și B(x)=(x−2x1−1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & -2x\\ 1 & -1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (B(−x)−B(x))⋅(B(−x)+B(x))=A+B(3)\displaystyle (B(-x)-B(x))\cdot(B(-x)+B(x))=A+B(3).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuind x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în B(x)\displaystyle B(x), obținem matricea B(−x)\displaystyle B(-x).
    B(−x)=(−x2x1−1)\displaystyle B(-x)=\begin{pmatrix}-x & 2x\\ 1 & -1\end{pmatrix}
  2. Calculăm diferența B(−x)−B(x)\displaystyle B(-x)-B(x) element cu element. Pe prima linie avem −x−x=−2x\displaystyle -x-x=-2x și 2x−(−2x)=4x\displaystyle 2x-(-2x)=4x, iar pe a doua linie 1−1=0\displaystyle 1-1=0 și −1−(−1)=0\displaystyle -1-(-1)=0.
    B(−x)−B(x)=(−2x4x00)\displaystyle B(-x)-B(x)=\begin{pmatrix}-2x & 4x\\ 0 & 0\end{pmatrix}
  3. Calculăm suma B(−x)+B(x)\displaystyle B(-x)+B(x) element cu element. Pe prima linie avem −x+x=0\displaystyle -x+x=0 și 2x+(−2x)=0\displaystyle 2x+(-2x)=0, iar pe a doua linie 1+1=2\displaystyle 1+1=2 și −1+(−1)=−2\displaystyle -1+(-1)=-2.
    B(−x)+B(x)=(002−2)\displaystyle B(-x)+B(x)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 2 & -2\end{pmatrix}
  4. Înmulțim matricele, linie cu coloană. Pe prima linie: −2x⋅0+4x⋅2=8x\displaystyle -2x\cdot 0+4x\cdot 2=8x și −2x⋅0+4x⋅(−2)=−8x\displaystyle -2x\cdot 0+4x\cdot(-2)=-8x. A doua linie are doar zerouri, deoarece a doua linie a primei matrice este nulă.
    (−2x4x00)(002−2)=(8x−8x00)\displaystyle \begin{pmatrix}-2x & 4x\\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0\\ 2 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8x & -8x\\ 0 & 0\end{pmatrix}
  5. Pentru x=3\displaystyle x=3 avem B(3)=(3−61−1)\displaystyle B(3)=\begin{pmatrix}3 & -6\\ 1 & -1\end{pmatrix}. Adunăm cu A\displaystyle A element cu element: 5+3=8\displaystyle 5+3=8, −2+(−6)=−8\displaystyle -2+(-6)=-8, −1+1=0\displaystyle -1+1=0, 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0.
    A+B(3)=(8−800)\displaystyle A+B(3)=\begin{pmatrix}8 & -8\\ 0 & 0\end{pmatrix}
  6. Egalăm cele două matrice. Din elementele de pe prima linie obținem 8x=8\displaystyle 8x=8 și −8x=−8\displaystyle -8x=-8, deci x=1\displaystyle x=1. Celelalte elemente sunt nule în ambele matrice.
    (8x−8x00)=(8−800)⇒x=1\displaystyle \begin{pmatrix}8x & -8x\\ 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8 & -8\\ 0 & 0\end{pmatrix}\Rightarrow x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3x+4y−25\displaystyle x\circ y=3x+4y-25.

Arătați că 3∘4=0\displaystyle 3\circ 4=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii de compoziție x∘y=3x+4y−25\displaystyle x\circ y=3x+4y-25, în care x=3\displaystyle x=3 și y=4\displaystyle y=4. Înlocuim în expresie.
    3∘4=3⋅3+4⋅4−25\displaystyle 3\circ 4=3\cdot 3+4\cdot 4-25
  2. Efectuăm înmulțirile: 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9 și 4⋅4=16\displaystyle 4\cdot 4=16, deci expresia devine o sumă de numere.
    3∘4=9+16−25=25−25\displaystyle 3\circ 4=9+16-25=25-25
  3. Scădem: 25−25=0\displaystyle 25-25=0, deci 3∘4=0\displaystyle 3\circ 4=0, ceea ce trebuia arătat.
    3∘4=0\displaystyle 3\circ 4=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3x+4y−25\displaystyle x\circ y=3x+4y-25.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (2x)∘x=5\displaystyle (2x)\circ x=5.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∘y=3x+4y−25\displaystyle x\circ y=3x+4y-25, înlocuind primul termen cu 2x\displaystyle 2x și al doilea cu x\displaystyle x: (2x)∘x=3⋅(2x)+4⋅x−25\displaystyle (2x)\circ x=3\cdot(2x)+4\cdot x-25.
    (2x)∘x=3⋅2x+4x−25\displaystyle (2x)\circ x=3\cdot 2x+4x-25
  2. Efectuăm înmulțirea și reducem termenii asemenea: 6x+4x=10x\displaystyle 6x+4x=10x.
    (2x)∘x=10x−25\displaystyle (2x)\circ x=10x-25
  3. Punem condiția din enunț, (2x)∘x=5\displaystyle (2x)\circ x=5, deci obținem ecuația 10x−25=5\displaystyle 10x-25=5.
    10x−25=5\displaystyle 10x-25=5
  4. Adunăm 25\displaystyle 25 în ambii membri: 10x=30\displaystyle 10x=30. Împărțim la 10\displaystyle 10 și obținem x=3\displaystyle x=3.
    10x−25=5, de unde x=3\displaystyle 10x-25=5\text{, de unde }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3x+4y−25\displaystyle x\circ y=3x+4y-25.

Determinați numerele întregi m\displaystyle m pentru care m2∘1≥1∘m2\displaystyle m^2\circ 1\ge 1\circ m^2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm m2∘1\displaystyle m^{2}\circ 1 înlocuind x=m2\displaystyle x=m^{2} și y=1\displaystyle y=1 în formula 3x+4y−25\displaystyle 3x+4y-25: m2∘1=3m2+4⋅1−25\displaystyle m^{2}\circ 1=3m^{2}+4\cdot 1-25.
    m2∘1=3m2+4−25=3m2−21\displaystyle m^{2}\circ 1=3m^{2}+4-25=3m^{2}-21
  2. Calculăm 1∘m2\displaystyle 1\circ m^{2} înlocuind x=1\displaystyle x=1 și y=m2\displaystyle y=m^{2}: 1∘m2=3⋅1+4m2−25\displaystyle 1\circ m^{2}=3\cdot 1+4m^{2}-25.
    m2∘1=3m2−21 și 1∘m2=4m2−22\displaystyle m^{2}\circ 1=3m^{2}-21\text{ și }1\circ m^{2}=4m^{2}-22
  3. Inegalitatea m2∘1≥1∘m2\displaystyle m^{2}\circ 1\ge 1\circ m^{2} devine 3m2−21≥4m2−22\displaystyle 3m^{2}-21\ge 4m^{2}-22. Trecem toți termenii în stânga și reducem termenii asemenea.
    3m2−21≥4m2−22⇔−m2+1≥0\displaystyle 3m^{2}-21\ge 4m^{2}-22\Leftrightarrow -m^{2}+1\ge 0
  4. Inegalitatea −m2+1≥0\displaystyle -m^{2}+1\ge 0 este echivalentă cu m2≤1\displaystyle m^{2}\le 1, adică (m−1)(m+1)≤0\displaystyle (m-1)(m+1)\le 0, deci m\displaystyle m se află între rădăcinile −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1.
    m∈[−1,1]\displaystyle m\in[-1,1]
  5. Cum m\displaystyle m este număr întreg și m∈[−1,1]\displaystyle m\in[-1,1], reținem doar numerele întregi din acest interval.
    m=−1 sau m=0 sau m=1\displaystyle m=-1\text{ sau }m=0\text{ sau }m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−13,+∞)→R\displaystyle f:\left(-\frac{1}{3},+\infty\right)\to\mathbb{R}, f(x)=2x3x+1\displaystyle f(x)=\frac{2x}{3x+1}.

Arătați că f′(x)=2(3x+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{2}{(3x+1)^2}, x∈(−13,+∞)\displaystyle x\in\left(-\frac{1}{3},+\infty\right).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile, iar numitorul 3x+1\displaystyle 3x+1 este pozitiv pentru x>−13\displaystyle x>-\dfrac{1}{3}. Folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u(x)=2x\displaystyle u(x)=2x și v(x)=3x+1\displaystyle v(x)=3x+1.
    f′(x)=(2x)′(3x+1)−2x⋅(3x+1)′(3x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x)'(3x+1)-2x\cdot(3x+1)'}{(3x+1)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2 și (3x+1)′=3\displaystyle (3x+1)'=3. Le înlocuim în formulă.
    f′(x)=2(3x+1)−2x⋅3(3x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(3x+1)-2x\cdot 3}{(3x+1)^{2}}
  3. Desfacem parantezele de la numărător: 2(3x+1)=6x+2\displaystyle 2(3x+1)=6x+2, iar 2x⋅3=6x\displaystyle 2x\cdot 3=6x. Termenii 6x\displaystyle 6x se reduc și rămâne 2\displaystyle 2 la numărător, deci obținem egalitatea cerută, pentru orice x∈(−13,+∞)\displaystyle x\in\left(-\dfrac{1}{3},+\infty\right).
    f′(x)=6x+2−6x(3x+1)2=2(3x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{6x+2-6x}{(3x+1)^{2}}=\dfrac{2}{(3x+1)^{2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−13,+∞)→R\displaystyle f:\left(-\frac{1}{3},+\infty\right)\to\mathbb{R}, f(x)=2x3x+1\displaystyle f(x)=\frac{2x}{3x+1}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta y=L\displaystyle y=L este asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dacă lim⁡x→+∞f(x)=L\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=L, cu L∈R\displaystyle L\in\mathbb{R}. Calculăm deci limita lui f\displaystyle f la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞2x3x+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{3x+1}
  2. Numărătorul și numitorul tind amândouă la +∞\displaystyle +\infty, deci avem o nedeterminare de tipul ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Dăm factor comun pe x\displaystyle x la numitor: 3x+1=x(3+1x)\displaystyle 3x+1=x\left(3+\dfrac{1}{x}\right).
    lim⁡x→+∞2xx(3+1x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{x\left(3+\frac{1}{x}\right)}
  3. Simplificăm fracția cu x\displaystyle x, care este nenul deoarece x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Apoi folosim faptul că 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty.
    lim⁡x→+∞23+1x=23+0=23\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{3+\frac{1}{x}}=\frac{2}{3+0}=\frac{2}{3}
  4. Limita este un număr real, lim⁡x→+∞f(x)=23\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac{2}{3}, deci graficul lui f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty de ecuație y=23\displaystyle y=\dfrac{2}{3}.
    y=23\displaystyle y=\frac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−13,+∞)→R\displaystyle f:\left(-\frac{1}{3},+\infty\right)\to\mathbb{R}, f(x)=2x3x+1\displaystyle f(x)=\frac{2x}{3x+1}.

Arătați că funcția f\displaystyle f este concavă.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că f\displaystyle f este concavă, studiem semnul derivatei a doua pe intervalul dat. Calculăm mai întâi derivata întâi, folosind formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=2(3x+1)−2x⋅3(3x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(3x+1)-2x\cdot 3}{(3x+1)^{2}}
  2. Simplificăm numărătorul: 2(3x+1)−6x=6x+2−6x=2\displaystyle 2(3x+1)-6x=6x+2-6x=2.
    f′(x)=2(3x+1)2=2(3x+1)−2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{(3x+1)^{2}}=2(3x+1)^{-2}
  3. Derivăm încă o dată, ca putere a lui 3x+1\displaystyle 3x+1, și nu uităm derivata lui 3x+1\displaystyle 3x+1, care este 3\displaystyle 3: f′′(x)=2⋅(−2)(3x+1)−3⋅3\displaystyle f''(x)=2\cdot(-2)(3x+1)^{-3}\cdot 3.
    f′′(x)=−12(3x+1)3\displaystyle f''(x)=-\dfrac{12}{(3x+1)^{3}}, x∈(−13,+∞)\displaystyle \ x\in\left(-\dfrac{1}{3},+\infty\right)
  4. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f''. Pentru x>−13\displaystyle x>-\dfrac{1}{3} avem 3x+1>0\displaystyle 3x+1>0, deci și (3x+1)3>0\displaystyle (3x+1)^{3}>0. Fracția 12(3x+1)3\displaystyle \dfrac{12}{(3x+1)^{3}} este pozitivă, iar cu minusul din față rezultă f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0.
    3x+1>0⇒(3x+1)3>0⇒f′′(x)<0\displaystyle 3x+1>0\Rightarrow (3x+1)^{3}>0\Rightarrow f''(x)<0
  5. Deoarece f′′(x)≤0\displaystyle f''(x)\le 0 pentru orice x∈(−13,+∞)\displaystyle x\in\left(-\dfrac{1}{3},+\infty\right), funcția f\displaystyle f este concavă pe acest interval.
    f′′(x)≤0, deci funcția f este concava˘\displaystyle f''(x)\le 0\text{, deci funcția }f\text{ este concavă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ln⁡x−1\displaystyle f(x)=x^2+\ln x-1.

Arătați că ∫14(f(x)−ln⁡x+1) dx=21\displaystyle \int_1^4 (f(x)-\ln x+1)\,dx=21.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+ln⁡x−1\displaystyle f(x)=x^{2}+\ln x-1 în expresia de sub integrală: f(x)−ln⁡x+1=x2+ln⁡x−1−ln⁡x+1\displaystyle f(x)-\ln x+1=x^{2}+\ln x-1-\ln x+1.
    f(x)−ln⁡x+1=x2+ln⁡x−1−ln⁡x+1\displaystyle f(x)-\ln x+1=x^{2}+\ln x-1-\ln x+1
  2. Termenii ln⁡x\displaystyle \ln x și −ln⁡x\displaystyle -\ln x se reduc, la fel −1\displaystyle -1 și +1\displaystyle +1, deci integrantul este x2\displaystyle x^{2}. O primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, iar formula Leibniz-Newton dă integrala ca diferență a valorilor primitivei în 4\displaystyle 4 și în 1\displaystyle 1.
    ∫14(f(x)−ln⁡x+1) dx=∫14x2 dx=x33∣14\displaystyle \int_1^4 (f(x)-\ln x+1)\,dx=\int_1^4 x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}\Big|_1^4
  3. Calculăm 433=643\displaystyle \dfrac{4^{3}}{3}=\dfrac{64}{3} și 133=13\displaystyle \dfrac{1^{3}}{3}=\dfrac{1}{3}, apoi le scădem.
    433−133=643−13\displaystyle \frac{4^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}=\frac{64}{3}-\frac{1}{3}
  4. Fracțiile au același numitor, deci 643−13=633=21\displaystyle \dfrac{64}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{63}{3}=21. Am arătat că integrala este egală cu 21\displaystyle 21.
    643−13=633=21\displaystyle \frac{64}{3}-\frac{1}{3}=\frac{63}{3}=21
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ln⁡x−1\displaystyle f(x)=x^2+\ln x-1.

Arătați că ∫24xf(x)−ln⁡x dx=12ln⁡5\displaystyle \int_2^4 \frac{x}{f(x)-\ln x}\,dx=\frac{1}{2}\ln 5.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm numitorul: f(x)−ln⁡x=x2+ln⁡x−1−ln⁡x\displaystyle f(x)-\ln x=x^{2}+\ln x-1-\ln x, deci ln x se reduce și rămâne x2−1\displaystyle x^{2}-1.
    f(x)−ln⁡x=x2−1\displaystyle f(x)-\ln x=x^{2}-1
  2. Rescriem integrala cu numitorul simplificat. Pe intervalul [2,4]\displaystyle [2,4] avem x2−1>0\displaystyle x^{2}-1>0, deci integrala are sens.
    ∫24xx2−1 dx\displaystyle \int_2^4\frac{x}{x^{2}-1}\,dx
  3. Observăm că (x2−1)′=2x\displaystyle (x^{2}-1)'=2x, deci x=12(x2−1)′\displaystyle x=\dfrac{1}{2}(x^{2}-1)'. Scoatem factorul 12\displaystyle \dfrac{1}{2} în fața integralei și obținem forma „derivata funcției supra funcția”.
    12∫24(x2−1)′x2−1 dx\displaystyle \frac{1}{2}\int_2^4\frac{(x^{2}-1)'}{x^{2}-1}\,dx
  4. Primitiva lui u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u} este ln⁡∣u∣\displaystyle \ln|u|. Cum x2−1>0\displaystyle x^{2}-1>0 pe [2,4]\displaystyle [2,4], modulul nu mai este necesar, deci obținem evaluarea între limite.
    12ln⁡(x2−1)∣24\displaystyle \frac{1}{2}\ln\left(x^{2}-1\right)\Big|_2^4
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: la limita superioară 42−1=15\displaystyle 4^{2}-1=15, iar la limita inferioară 22−1=3\displaystyle 2^{2}-1=3.
    12ln⁡15−12ln⁡3\displaystyle \frac{1}{2}\ln 15-\frac{1}{2}\ln 3
  6. Folosim ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}. Cum 153=5\displaystyle \dfrac{15}{3}=5, obținem rezultatul cerut.
    12ln⁡153=12ln⁡5\displaystyle \frac{1}{2}\ln\frac{15}{3}=\frac{1}{2}\ln 5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ln⁡x−1\displaystyle f(x)=x^2+\ln x-1.

Determinați a∈(1,+∞)\displaystyle a\in(1,+\infty) pentru care ∫1af(x)x2 dx=a−ln⁡aa\displaystyle \int_1^a \frac{f(x)}{x^2}\,dx=\frac{a-\ln a}{a}.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim fiecare termen din f(x)=x2+ln⁡x−1\displaystyle f(x)=x^2+\ln x-1 la x2\displaystyle x^2 și scriem integrantul ca sumă de trei termeni.
    f(x)x2=1+ln⁡xx2−1x2\displaystyle \frac{f(x)}{x^2}=1+\frac{\ln x}{x^2}-\frac{1}{x^2}
  2. Calculăm integralele termenilor simpli: ∫1a1 dx=x∣1a\displaystyle \int_1^a 1\,dx=\left.x\right|_1^a și ∫1a1x2 dx=−1x∣1a\displaystyle \int_1^a\frac{1}{x^2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_1^a.
    ∫1a1 dx=a−1\displaystyle \int_1^a 1\,dx=a-1,∫1a1x2 dx=1−1a\displaystyle \qquad \int_1^a\frac{1}{x^2}\,dx=1-\frac{1}{a}
  3. Integrăm prin părți termenul cu logaritm. Alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=1x2 dx\displaystyle dv=\frac{1}{x^2}\,dx, deci du=1x dx\displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx și v=−1x\displaystyle v=-\frac{1}{x}. Obținem ∫1aln⁡xx2 dx=−ln⁡xx∣1a+∫1a1x2 dx\displaystyle \int_1^a\frac{\ln x}{x^2}\,dx=\left.-\frac{\ln x}{x}\right|_1^a+\int_1^a\frac{1}{x^2}\,dx.
    ∫1aln⁡xx2 dx=−ln⁡aa+1−1a\displaystyle \int_1^a\frac{\ln x}{x^2}\,dx=-\frac{\ln a}{a}+1-\frac{1}{a}
  4. Adunăm rezultatele: (a−1)+(−ln⁡aa+1−1a)−(1−1a)\displaystyle (a-1)+\left(-\frac{\ln a}{a}+1-\frac{1}{a}\right)-\left(1-\frac{1}{a}\right). Termenii 1−1a\displaystyle 1-\frac{1}{a} se reduc.
    ∫1af(x)x2 dx=a−1−ln⁡aa, pentru orice a∈(1,+∞)\displaystyle \int_1^a\frac{f(x)}{x^2}\,dx=a-1-\frac{\ln a}{a}\text{, pentru orice }a\in(1,+\infty)
  5. Egalăm cu a−ln⁡aa\displaystyle \frac{a-\ln a}{a}, care se scrie 1−ln⁡aa\displaystyle 1-\frac{\ln a}{a}. Ecuația devine a−1−ln⁡aa=1−ln⁡aa\displaystyle a-1-\frac{\ln a}{a}=1-\frac{\ln a}{a}.
    a−1−ln⁡aa=a−ln⁡aa=1−ln⁡aa\displaystyle a-1-\frac{\ln a}{a}=\frac{a-\ln a}{a}=1-\frac{\ln a}{a}
  6. Reducem termenul −ln⁡aa\displaystyle -\frac{\ln a}{a} din ambii membri și obținem a−1=1\displaystyle a-1=1, deci a=2\displaystyle a=2. Cum 2∈(1,+∞)\displaystyle 2\in(1,+\infty), valoarea convine.
    a=2, care convine\displaystyle a=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.