Bac matematică M3 tehnologic 2022, sesiunea a II-a varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 1+6⋅(12+13)=6\displaystyle 1+6\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=6.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem fracțiile din paranteză la același numitor, 6\displaystyle 6: 12=36\displaystyle \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}, iar 13=26\displaystyle \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}.
    12=36\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{3}{6},13=26\displaystyle \quad \frac{1}{3}=\frac{2}{6}
  2. Adunăm cele două fracții: 36+26=56\displaystyle \dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}. Înlocuind în expresie, obținem 1+6⋅56\displaystyle 1+6\cdot\dfrac{5}{6}.
    1+6⋅56\displaystyle 1+6\cdot\frac{5}{6}
  3. Efectuăm înmulțirea: 6⋅56=5\displaystyle 6\cdot\dfrac{5}{6}=5, deoarece 6\displaystyle 6 se simplifică cu numitorul. Apoi adunăm: 1+5=6\displaystyle 1+5=6, adică exact egalitatea cerută.
    1+5=6\displaystyle 1+5=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2. Arătați că f(3)−f(2)=1\displaystyle f(3)-f(2)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(3)\displaystyle f(3) înlocuind x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în formula funcției: f(3)=3−2\displaystyle f(3)=3-2.
    f(3)=3−2=1\displaystyle f(3)=3-2=1
  2. Calculăm f(2)\displaystyle f(2) înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în formula funcției: f(2)=2−2\displaystyle f(2)=2-2.
    f(2)=2−2=0\displaystyle f(2)=2-2=0
  3. Facem diferența valorilor obținute: f(3)−f(2)=1−0\displaystyle f(3)-f(2)=1-0. Obținem exact valoarea cerută.
    f(3)−f(2)=1−0=1\displaystyle f(3)-f(2)=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+1=2\displaystyle \sqrt{3x+1}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația conține un radical, deci trebuie ca 3x+1≥0\displaystyle 3x+1\ge 0, adică x≥−13\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{3}. Rezolvăm ecuația și apoi verificăm soluția.
    x≥−13\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{3}
  2. Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat. Avem (3x+1)2=3x+1\displaystyle \left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=3x+1, iar 22=4\displaystyle 2^{2}=4.
    3x+1=4\displaystyle 3x+1=4
  3. Scădem 1 din ambii membri: 3x=3\displaystyle 3x=3. Apoi împărțim la 3.
    x=1\displaystyle x=1
  4. Verificăm: 1≥−13\displaystyle 1\ge -\dfrac{1}{3} și 3⋅1+1=4=2\displaystyle \sqrt{3\cdot 1+1}=\sqrt{4}=2, deci soluția convine.
    x=1, care convine\displaystyle x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, numărul 10−n\displaystyle 10-n să fie par.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea A\displaystyle A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile.
    9\displaystyle 9
  2. Numărul 10−n\displaystyle 10-n este par exact când n\displaystyle n este par, deoarece 10\displaystyle 10 este par (diferența a două numere de aceeași paritate este pară).
    10−n par  ⟺  n par\displaystyle 10-n\text{ par}\iff n\text{ par}
  3. Determinăm numerele pare din A\displaystyle A: n∈{2,4,6,8}\displaystyle n\in\{2,4,6,8\}, deci sunt 4 cazuri favorabile. Verificare: pentru aceste valori 10−n\displaystyle 10-n ia valorile 8,6,4,2\displaystyle 8,6,4,2, toate pare.
    n∈{2,4,6,8}\displaystyle n\in\{2,4,6,8\}
  4. Aplicăm formula probabilității: p=cazuri favorabilecazuri posibile=49\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{4}{9}.
    n∈{2,4,6,8}\displaystyle n\in\{2,4,6,8\}, p=49\displaystyle \ p=\frac{4}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(a,0)\displaystyle A(a,0) și B(a,6)\displaystyle B(a,6), unde a\displaystyle a este număr real. Arătați că AB=6\displaystyle AB=6, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula distanței dintre două puncte în plan: pentru A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B) avem AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(a,0)\displaystyle A(a,0) și B(a,6)\displaystyle B(a,6) în formulă.
    AB=(a−a)2+(6−0)2\displaystyle AB=\sqrt{(a-a)^2+(6-0)^2}
  3. Calculăm diferențele: a−a=0\displaystyle a-a=0, iar 6−0=6\displaystyle 6-0=6. Rezultatul nu depinde de a\displaystyle a, deci este valabil pentru orice număr real a\displaystyle a.
    AB=02+62=36\displaystyle AB=\sqrt{0^2+6^2}=\sqrt{36}
  4. Deoarece 62=6\displaystyle \sqrt{6^2}=6, obținem AB=6\displaystyle AB=6 pentru orice număr real a\displaystyle a.
    AB=62=6\displaystyle AB=\sqrt{6^2}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=5\displaystyle AB=5 și AC=2AB\displaystyle AC=2AB. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 25\displaystyle 25.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC. Din enunț, AC=2AB\displaystyle AC=2AB și AB=5\displaystyle AB=5.
    AC=2⋅AB=2⋅5\displaystyle AC=2\cdot AB=2\cdot 5
  2. Calculăm lungimea catetei AC\displaystyle AC: 2⋅5=10\displaystyle 2\cdot 5=10.
    AC=10\displaystyle AC=10
  3. Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor: AΔABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}.
    AΔABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}
  4. Înlocuim AB=5\displaystyle AB=5 și AC=10\displaystyle AC=10 și efectuăm calculul. Obținem aria egală cu 25\displaystyle 25, exact ce trebuia arătat.
    AΔABC=5⋅102=502=25\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{5\cdot 10}{2}=\dfrac{50}{2}=25
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(7331)\displaystyle A=\begin{pmatrix}7&3\\3&1\end{pmatrix}, B=(111−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=−2\displaystyle \det A=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordin 2: pentru o matrice cu elementele a,b\displaystyle a, b pe prima linie și c,d\displaystyle c, d pe a doua linie, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(abcd)=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Înlocuim în formulă elementele matricei A\displaystyle A: pe diagonala principală avem 7\displaystyle 7 și 1\displaystyle 1, iar pe diagonala secundară avem 3\displaystyle 3 și 3\displaystyle 3.
    det⁡A=∣7331∣=7⋅1−3⋅3\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}7&3\\3&1\end{vmatrix}=7\cdot 1-3\cdot 3
  3. Calculăm produsele: 7⋅1=7\displaystyle 7\cdot 1=7, iar 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9. Apoi scădem și obținem −2\displaystyle -2, deci det⁡A=−2\displaystyle \det A=-2, așa cum trebuia arătat.
    7−9=−2\displaystyle 7-9=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(7331)\displaystyle A=\begin{pmatrix}7&3\\3&1\end{pmatrix}, B=(111−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A−4I2=3B\displaystyle A-4I_2=3B.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea 4I2\displaystyle 4I_2 înmulțind fiecare element al lui I2\displaystyle I_2 cu 4\displaystyle 4.
    4I2=(4004)\displaystyle 4I_2=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}
  2. Scădem matricea 4I2\displaystyle 4I_2 din A\displaystyle A, element cu element: 7−4=3\displaystyle 7-4=3, 3−0=3\displaystyle 3-0=3, 3−0=3\displaystyle 3-0=3, 1−4=−3\displaystyle 1-4=-3.
    A−4I2=(7331)−(4004)=(333−3)\displaystyle A-4I_2=\begin{pmatrix}7&3\\3&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3\\3&-3\end{pmatrix}
  3. Scoatem factorul 3\displaystyle 3 din matricea obținută și recunoaștem matricea B\displaystyle B, deci A−4I2=3B\displaystyle A-4I_2=3B.
    A−4I2=3(111−1)=3B\displaystyle A-4I_2=3\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=3B
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(7331)\displaystyle A=\begin{pmatrix}7&3\\3&1\end{pmatrix}, B=(111−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care X+X⋅B=A\displaystyle X+X\cdot B=A.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim faptul că X=X⋅I2\displaystyle X=X\cdot I_2 și dăm factor comun matricea X\displaystyle X la stânga: X+X⋅B=X⋅(I2+B)\displaystyle X+X\cdot B=X\cdot(I_2+B), deci ecuația devine X⋅(I2+B)=A\displaystyle X\cdot(I_2+B)=A.
    X⋅(I2+B)=A\displaystyle X\cdot(I_2+B)=A
  2. Calculăm suma I2+B\displaystyle I_2+B, adunând element cu element.
    I2+B=(1+10+10+11−1)=(2110)\displaystyle I_2+B=\begin{pmatrix}1+1&0+1\\0+1&1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul matricei I2+B\displaystyle I_2+B. Fiind nenul, matricea este inversabilă, deci putem înmulți egalitatea la dreapta cu inversa ei și obținem X=A⋅(I2+B)−1\displaystyle X=A\cdot(I_2+B)^{-1}.
    det⁡(I2+B)=2⋅0−1⋅1=−1≠0\displaystyle \det(I_2+B)=2\cdot 0-1\cdot 1=-1\neq 0,X=A⋅(I2+B)−1\displaystyle \quad X=A\cdot(I_2+B)^{-1}
  4. Aflăm inversa: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} inversa este 1det⁡(d−b−ca)\displaystyle \dfrac{1}{\det}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. Aici determinantul este −1\displaystyle -1.
    (I2+B)−1=1−1(0−1−12)=(011−2)\displaystyle (I_2+B)^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}0&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-2\end{pmatrix}
  5. Înmulțim A\displaystyle A cu inversa, în această ordine, linie cu coloană. Obținem matricea X\displaystyle X cerută.
    X=(7331)(011−2)=(7⋅0+3⋅17⋅1−3⋅23⋅0+1⋅13⋅1−1⋅2)=(3111)\displaystyle X=\begin{pmatrix}7&3\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\cdot0+3\cdot1&7\cdot1-3\cdot2\\3\cdot0+1\cdot1&3\cdot1-1\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\1&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy(x+y−4)\displaystyle x\ast y=xy(x+y-4).

Arătați că 2∗3=6\displaystyle 2\ast 3=6.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∗y=xy(x+y−4)\displaystyle x\ast y=xy(x+y-4).
    x∗y=xy(x+y−4)\displaystyle x\ast y=xy(x+y-4)
  2. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=3\displaystyle y=3 în definiție: 2∗3=2⋅3⋅(2+3−4)\displaystyle 2\ast 3=2\cdot 3\cdot(2+3-4).
    2∗3=2⋅3(2+3−4)\displaystyle 2\ast 3=2\cdot 3(2+3-4)
  3. Calculăm separat produsul 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6 și paranteza 2+3−4=5−4=1\displaystyle 2+3-4=5-4=1.
    2⋅3=6 și 2+3−4=1\displaystyle 2\cdot 3=6\text{ și }2+3-4=1
  4. Înmulțim rezultatele: 2∗3=6⋅1=6\displaystyle 2\ast 3=6\cdot 1=6, deci egalitatea cerută este adevărată.
    2∗3=6⋅1=6\displaystyle 2\ast 3=6\cdot 1=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy(x+y−4)\displaystyle x\ast y=xy(x+y-4).

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care 1∗x=4\displaystyle 1\ast x=4.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=xy(x+y−4)\displaystyle x\ast y=xy(x+y-4) pentru primul termen egal cu 1\displaystyle 1 și al doilea egal cu x\displaystyle x: 1∗x=1⋅x⋅(1+x−4)\displaystyle 1\ast x=1\cdot x\cdot(1+x-4).
    1∗x=x(x−3)\displaystyle 1\ast x=x(x-3)
  2. Desfacem parantezele: x(x−3)=x2−3x\displaystyle x(x-3)=x^2-3x.
    1∗x=x2−3x\displaystyle 1\ast x=x^{2}-3x
  3. Din condiția 1∗x=4\displaystyle 1\ast x=4 obținem x2−3x=4\displaystyle x^2-3x=4, adică x2−3x−4=0\displaystyle x^2-3x-4=0.
    x2−3x−4=0\displaystyle x^{2}-3x-4=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=(−3)2−4⋅1⋅(−4)=9+16=25\displaystyle \Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25.
    Δ=25\displaystyle \Delta=25
  5. Aplicăm formula x=3±252=3±52\displaystyle x=\dfrac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\dfrac{3\pm5}{2}, deci x1=3−52=−1\displaystyle x_1=\dfrac{3-5}{2}=-1 și x2=3+52=4\displaystyle x_2=\dfrac{3+5}{2}=4. Ambele sunt numere reale.
    x=−1 sau x=4\displaystyle x=-1\text{ sau }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy(x+y−4)\displaystyle x\ast y=xy(x+y-4).

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 2x∗2x=23x\displaystyle 2^x\ast 2^x=2^{3x}.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm legea de compoziție x∗y=xy(x+y−4)\displaystyle x\ast y=xy(x+y-4), înlocuind atât pe x\displaystyle x, cât și pe y\displaystyle y cu 2x\displaystyle 2^x.
    2x∗2x=2x⋅2x(2x+2x−4)\displaystyle 2^x\ast 2^x=2^x\cdot 2^x\left(2^x+2^x-4\right)
  2. Folosim regula am⋅an=am+n\displaystyle a^m\cdot a^n=a^{m+n}, deci 2x⋅2x=22x\displaystyle 2^x\cdot 2^x=2^{2x}.
    2x∗2x=22x(2x+2x−4)\displaystyle 2^x\ast 2^x=2^{2x}\left(2^x+2^x-4\right)
  3. Ecuația 2x∗2x=23x\displaystyle 2^x\ast 2^x=2^{3x} devine o ecuație exponențială.
    22x(2x+2x−4)=23x\displaystyle 2^{2x}\left(2^x+2^x-4\right)=2^{3x}
  4. Scriem 23x=22x⋅2x\displaystyle 2^{3x}=2^{2x}\cdot 2^x și simplificăm prin 22x\displaystyle 2^{2x}, care este strict pozitiv, deci nenul.
    2x+2x−4=2x\displaystyle 2^x+2^x-4=2^x
  5. Trecem 2x\displaystyle 2^x din dreapta în stânga și reducem: 2x+2x−2x=4\displaystyle 2^x+2^x-2^x=4, deci 2x=4\displaystyle 2^x=4.
    2x=4\displaystyle 2^x=4
  6. Cum 4=22\displaystyle 4=2^2, din 2x=22\displaystyle 2^x=2^2 rezultă x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−9x2+3\displaystyle f(x)=x^3-9x^2+3.

Arătați că f′(x)=3x(x−6)\displaystyle f'(x)=3x(x-6), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen, folosind regula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}, iar derivata unei constante este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=(x3)′−9(x2)′+(3)′\displaystyle f'(x)=(x^{3})'-9(x^{2})'+(3)'
  2. Calculăm fiecare derivată: (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x și (3)′=0\displaystyle (3)'=0.
    f′(x)=3x2−9⋅2x\displaystyle f'(x)=3x^{2}-9\cdot 2x
  3. Efectuăm înmulțirea din al doilea termen: 9⋅2x=18x\displaystyle 9\cdot 2x=18x.
    f′(x)=3x2−18x\displaystyle f'(x)=3x^{2}-18x
  4. Dăm factor comun pe 3x\displaystyle 3x, deoarece 3x2=3x⋅x\displaystyle 3x^{2}=3x\cdot x și 18x=3x⋅6\displaystyle 18x=3x\cdot 6. Obținem forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    3x2−18x=3x(x−6), deci f′(x)=3x(x−6)\displaystyle 3x^{2}-18x=3x(x-6)\text{, deci }f'(x)=3x(x-6)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−9x2+3\displaystyle f(x)=x^3-9x^2+3.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând fiecare termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, (−9x2)′=−18x\displaystyle (-9x^{2})'=-18x, iar (3)′=0\displaystyle (3)'=0.
    f′(x)=3x2−18x\displaystyle f'(x)=3x^{2}-18x
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Dăm factor comun 3x\displaystyle 3x și obținem un produs egal cu zero, deci fiecare factor poate fi zero.
    3x(x−6)=0⇒x=0 sau x=6\displaystyle 3x(x-6)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x=6
  3. Studiem semnul derivatei. Derivata f′(x)=3x(x−6)\displaystyle f'(x)=3x(x-6) este o funcție de gradul al doilea cu coeficientul dominant pozitiv, deci este pozitivă în afara rădăcinilor și negativă între rădăcini. Verificare: f′(−1)=21>0\displaystyle f'(-1)=21>0, f′(1)=−15<0\displaystyle f'(1)=-15<0, f′(7)=21>0\displaystyle f'(7)=21>0.
    f′(x)>0 pe (−∞,0)∪(6,+∞)\displaystyle f'(x)>0\text{ pe }(-\infty,0)\cup(6,+\infty),f′(x)<0 pe (0,6)\displaystyle \quad f'(x)<0\text{ pe }(0,6)
  4. Concluzionăm: unde derivata este pozitivă funcția crește, iar unde este negativă funcția scade. Punctele 0\displaystyle 0 și 6\displaystyle 6 se includ în intervale, deoarece f\displaystyle f este continuă.
    f cresca˘toare pe (−∞,0]\displaystyle f\text{ crescătoare pe }(-\infty,0], f descresca˘toare pe [0,6]\displaystyle \ f\text{ descrescătoare pe }[0,6], f cresca˘toare pe [6,+∞)\displaystyle \ f\text{ crescătoare pe }[6,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−9x2+3\displaystyle f(x)=x^3-9x^2+3.

Arătați că lim⁡x→1f′(x)−f′(1)3f(x)−xf′(x)=23\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f'(x)-f'(1)}{3f(x)-xf'(x)}=\frac{2}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând fiecare termen al lui f(x)=x3−9x2+3\displaystyle f(x)=x^3-9x^2+3.
    f′(x)=3x2−18x\displaystyle f'(x)=3x^{2}-18x
  2. Calculăm f′(1)=3−18=−15\displaystyle f'(1)=3-18=-15, apoi numărătorul: f′(x)−f′(1)=3x2−18x+15\displaystyle f'(x)-f'(1)=3x^{2}-18x+15, de unde dăm factor comun 3\displaystyle 3.
    f′(x)−f′(1)=3(x2−6x+5)\displaystyle f'(x)-f'(1)=3\left(x^{2}-6x+5\right)
  3. Calculăm numitorul: 3f(x)−xf′(x)=3x3−27x2+9−(3x3−18x2)\displaystyle 3f(x)-xf'(x)=3x^{3}-27x^{2}+9-\left(3x^{3}-18x^{2}\right). Termenii în x3\displaystyle x^{3} se reduc și rămâne −9x2+9\displaystyle -9x^{2}+9.
    3f(x)−xf′(x)=9(1−x2)\displaystyle 3f(x)-xf'(x)=9\left(1-x^{2}\right)
  4. Scriem limita cu numărătorul și numitorul obținuți. Pentru x→1\displaystyle x\to 1 ambii tind la 0\displaystyle 0, deci avem nedeterminarea 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    lim⁡x→1f′(x)−f′(1)3f(x)−xf′(x)=lim⁡x→13(x2−6x+5)9(1−x2)\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f'(x)-f'(1)}{3f(x)-xf'(x)}=\lim_{x\to 1}\frac{3\left(x^{2}-6x+5\right)}{9\left(1-x^{2}\right)}
  5. Descompunem în factori: trinomul x2−6x+5\displaystyle x^{2}-6x+5 are rădăcinile 1\displaystyle 1 și 5\displaystyle 5, deci x2−6x+5=(x−1)(x−5)\displaystyle x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5). Apoi 1−x2=−(x−1)(x+1)\displaystyle 1-x^{2}=-(x-1)(x+1). Ambele expresii conțin factorul x−1\displaystyle x-1.
    lim⁡x→13(x−1)(x−5)−9(x−1)(x+1)\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{3(x-1)(x-5)}{-9(x-1)(x+1)}
  6. Simplificăm prin x−1≠0\displaystyle x-1\neq 0 (pentru x≠1\displaystyle x\neq 1) și prin 3\displaystyle 3. Apoi înlocuim x=1\displaystyle x=1: 1−5−3⋅2=−4−6=23\displaystyle \dfrac{1-5}{-3\cdot 2}=\dfrac{-4}{-6}=\dfrac{2}{3}.
    lim⁡x→13(x−1)(x−5)−9(x−1)(x+1)=lim⁡x→1x−5−3(x+1)=23\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{3(x-1)(x-5)}{-9(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to 1}\frac{x-5}{-3(x+1)}=\frac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^x.

Arătați că ∫02f(x)exdx=0\displaystyle \int_0^2\frac{f(x)}{e^x}dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu (x−1)ex\displaystyle (x-1)e^x în integrala dată: ∫02f(x)exdx=∫02(x−1)exexdx\displaystyle \int_0^2\dfrac{f(x)}{e^x}dx=\int_0^2\dfrac{(x-1)e^x}{e^x}dx.
    ∫02(x−1)exex dx\displaystyle \int_0^2\frac{(x-1)e^x}{e^x}\,dx
  2. Simplificăm fracția prin ex\displaystyle e^x, care este nenul pentru orice x\displaystyle x real. Rămâne integrala unui polinom de gradul întâi: ∫02(x−1) dx\displaystyle \int_0^2(x-1)\,dx.
    ∫02(x−1) dx\displaystyle \int_0^2(x-1)\,dx
  3. Găsim o primitivă a lui x−1\displaystyle x-1: o primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}, iar o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫02(x−1) dx=(x22−x)∣02\displaystyle \int_0^2(x-1)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\Big|_0^2
  4. Calculăm valoarea primitivei în 2\displaystyle 2 și în 0\displaystyle 0 și facem diferența: (222−2)−(022−0)=(2−2)−0\displaystyle \left(\dfrac{2^2}{2}-2\right)-\left(\dfrac{0^2}{2}-0\right)=(2-2)-0.
    (42−2)−0=2−2=0\displaystyle \left(\frac{4}{2}-2\right)-0=2-2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^x.

Arătați că ∫01f(x)dx=2−e\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=2-e.
Vezi rezolvarea
  1. Avem de calculat I=∫01f(x) dx=∫01(x−1)ex dx\displaystyle I=\int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 (x-1)e^x\,dx.
    I=∫01(x−1)ex dx\displaystyle I=\int_0^1 (x-1)e^x\,dx
  2. Alegem u=x−1\displaystyle u=x-1 și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx. Atunci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=x−1\displaystyle u=x-1,  v=ex\displaystyle \; v=e^x,  du=dx\displaystyle \; du=dx
  3. Aplicăm formula ∫abu dv=uv∣ab−∫abv du\displaystyle \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du și obținem rezultatul de mai jos.
    I=(x−1)ex∣01−∫01ex dx=(x−1)ex∣01−ex∣01\displaystyle I=(x-1)e^x\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=(x-1)e^x\Big|_0^1-e^x\Big|_0^1
  4. Primul termen: (x−1)ex∣01=(1−1)e−(0−1)e0=0+1=1\displaystyle (x-1)e^x\Big|_0^1=(1-1)e-(0-1)e^0=0+1=1.
    (x−1)ex∣01=1\displaystyle (x-1)e^x\Big|_0^1=1
  5. Al doilea termen: ex∣01=e1−e0=e−1\displaystyle e^x\Big|_0^1=e^1-e^0=e-1.
    ex∣01=e−1\displaystyle e^x\Big|_0^1=e-1
  6. Deci I=1−(e−1)=1−e+1=2−e\displaystyle I=1-(e-1)=1-e+1=2-e, ceea ce trebuia demonstrat.
    ∫01f(x) dx=1−(e−1)=2−e\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=1-(e-1)=2-e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex\displaystyle f(x)=(x-1)e^x.

Determinați numărul natural n\displaystyle n, n>2\displaystyle n>2, pentru care ∫2nxf(x)⋅f(−x)dx=12ln⁡38\displaystyle \int_2^n\frac{x}{f(x)\cdot f(-x)}dx=\frac{1}{2}\ln\frac{3}{8}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(−x)\displaystyle f(-x). Avem f(−x)=(−x−1)e−x=−(x+1)e−x\displaystyle f(-x)=(-x-1)e^{-x}=-(x+1)e^{-x}.
    f(−x)=−(x+1)e−x\displaystyle f(-x)=-(x+1)e^{-x}
  2. Calculăm produsul f(x)⋅f(−x)\displaystyle f(x)\cdot f(-x). Factorii ex\displaystyle e^{x} și e−x\displaystyle e^{-x} se reduc, iar (x−1)(x+1)=x2−1\displaystyle (x-1)(x+1)=x^{2}-1, cu semnul minus în față.
    f(x)⋅f(−x)=−(x2−1)=1−x2\displaystyle f(x)\cdot f(-x)=-(x^{2}-1)=1-x^{2}
  3. Înlocuim în integrală: integrandul devine x1−x2\displaystyle \dfrac{x}{1-x^{2}}. Pe intervalul [2,n]\displaystyle [2,n] numitorul nu se anulează, deoarece x≥2\displaystyle x\geq 2.
    ∫2nxf(x)⋅f(−x)dx=∫2nx1−x2dx\displaystyle \int_2^n\frac{x}{f(x)\cdot f(-x)}dx=\int_2^n\frac{x}{1-x^{2}}dx
  4. Observăm că (x2−1)′=2x\displaystyle (x^{2}-1)'=2x, deci scriem x1−x2=−12⋅(x2−1)′x2−1\displaystyle \dfrac{x}{1-x^{2}}=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(x^{2}-1)'}{x^{2}-1} și obținem o primitivă de tip logaritm.
    ∫2nx1−x2dx=−12∫2n(x2−1)′x2−1dx=−12ln⁡∣x2−1∣∣2n\displaystyle \int_2^n\frac{x}{1-x^{2}}dx=-\frac{1}{2}\int_2^n\frac{\left(x^{2}-1\right)'}{x^{2}-1}dx=-\frac{1}{2}\ln\left|x^{2}-1\right|\Big|_2^n
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Pentru x=2\displaystyle x=2 avem 22−1=3\displaystyle 2^{2}-1=3, iar diferența de logaritmi devine logaritmul câtului.
    −12(ln⁡(n2−1)−ln⁡3)=12ln⁡3n2−1\displaystyle -\frac{1}{2}\left(\ln\left(n^{2}-1\right)-\ln 3\right)=\frac{1}{2}\ln\frac{3}{n^{2}-1}
  6. Egalăm cu valoarea dată: 12ln⁡3n2−1=12ln⁡38\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{n^{2}-1}=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{8}. Funcția logaritm este injectivă, deci 3n2−1=38\displaystyle \dfrac{3}{n^{2}-1}=\dfrac{3}{8}, adică n2−1=8\displaystyle n^{2}-1=8.
    n2=9\displaystyle n^{2}=9
  7. Rezultă n=3\displaystyle n=3 sau n=−3\displaystyle n=-3, dar n\displaystyle n este număr natural, n>2\displaystyle n>2, deci n=3\displaystyle n=3.
    n=3\displaystyle n=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.