Bac matematică M3 tehnologic 2016, sesiunea a II-a rezervă varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1−34):14=1\displaystyle \left(1-\frac{3}{4}\right):\frac{1}{4}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem numărul 1\displaystyle 1 la numitorul 4\displaystyle 4, ca să putem scădea fracțiile din paranteză: 1=44\displaystyle 1=\dfrac{4}{4}.
    1=44\displaystyle 1=\dfrac{4}{4}
  2. Calculăm paranteza: 44−34=14\displaystyle \dfrac{4}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}.
    1−34=44−34=14\displaystyle 1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{4}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}
  3. Înlocuim paranteza cu rezultatul obținut, deci expresia devine 14:14\displaystyle \dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{4}. Un număr nenul împărțit la el însuși dă 1\displaystyle 1; la fel, împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei: 14⋅41=44=1\displaystyle \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{4}{1}=\dfrac{4}{4}=1.
    14:14=14⋅4=1\displaystyle \dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\cdot 4=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−1\displaystyle f(x)=x^2-1. Calculați f(−1)+f(1)\displaystyle f(-1)+f(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1 în formula funcției: f(−1)=(−1)2−1\displaystyle f(-1)=(-1)^{2}-1.
    f(−1)=(−1)2−1\displaystyle f(-1)=(-1)^{2}-1
  2. Calculăm: (−1)2=1\displaystyle (-1)^{2}=1, deci f(−1)=1−1=0\displaystyle f(-1)=1-1=0.
    f(−1)=1−1=0\displaystyle f(-1)=1-1=0
  3. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției: f(1)=12−1=1−1=0\displaystyle f(1)=1^{2}-1=1-1=0.
    f(1)=12−1=0\displaystyle f(1)=1^{2}-1=0
  4. Adunăm cele două valori: f(−1)+f(1)=0+0=0\displaystyle f(-1)+f(1)=0+0=0.
    f(−1)+f(1)=0+0=0\displaystyle f(-1)+f(1)=0+0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+4=4\displaystyle \sqrt{3x+4}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau zero, adică 3x+4≥0\displaystyle 3x+4\ge 0, deci x≥−43\displaystyle x\ge -\dfrac{4}{3}. Cum membrul drept, 4\displaystyle 4, este pozitiv, ridicarea la pătrat nu introduce probleme majore, dar vom verifica oricum soluția.
    x≥−43\displaystyle x\ge -\dfrac{4}{3}
  2. Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat. Pătratul radicalului este expresia de sub radical, iar 42=16\displaystyle 4^{2}=16: (3x+4)2=42\displaystyle \left(\sqrt{3x+4}\right)^{2}=4^{2}.
    3x+4=16\displaystyle 3x+4=16
  3. Rezolvăm ecuația liniară: scădem 4\displaystyle 4 din ambii membri și obținem 3x=12\displaystyle 3x=12, apoi împărțim la 3\displaystyle 3.
    x=4\displaystyle x=4
  4. Verificăm soluția: pentru x=4\displaystyle x=4, expresia de sub radical este 3⋅4+4=16\displaystyle 3\cdot 4+4=16, iar 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4, deci egalitatea este adevărată. De asemenea, 4>−43\displaystyle 4>-\dfrac{4}{3}, deci condiția de existență este îndeplinită. Soluția ecuației este x=4\displaystyle x=4.
    x=4, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=4\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}, acesta să fie multiplu de 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Mulțimea A\displaystyle A are 10\displaystyle 10 elemente, deci putem alege oricare dintre cele 10\displaystyle 10 numere. Avem 10\displaystyle 10 cazuri posibile.
    10 cazuri posibile\displaystyle 10\text{ cazuri posibile}
  3. Căutăm multiplii lui 3\displaystyle 3 din mulțime: 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3, 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6, 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9. Următorul multiplu, 12\displaystyle 12, nu mai face parte din A\displaystyle A. Deci sunt 3\displaystyle 3 cazuri favorabile.
    3\displaystyle 3, 6\displaystyle \ 6, 9, deci 3 cazuri favorabile\displaystyle \ 9\text{, deci }3\text{ cazuri favorabile}
  4. Înlocuim în formulă: p=310\displaystyle p=\dfrac{3}{10}. Fracția este ireductibilă, deci aceasta este probabilitatea cerută.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=310\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{3}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(0,5)\displaystyle A(0,5) și B(5,0)\displaystyle B(5,0). Arătați că triunghiul AOB\displaystyle AOB este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că triunghiul este isoscel, calculăm lungimile laturilor care pornesc din O\displaystyle O. Folosim formula distanței dintre două puncte: AO=(xA−xO)2+(yA−yO)2\displaystyle AO=\sqrt{(x_A-x_O)^{2}+(y_A-y_O)^{2}}.
    AO=(xA−xO)2+(yA−yO)2\displaystyle AO=\sqrt{(x_A-x_O)^{2}+(y_A-y_O)^{2}}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(0,5)\displaystyle A(0,5) și O(0,0)\displaystyle O(0,0) și calculăm lungimea laturii AO\displaystyle AO: AO=(0−0)2+(5−0)2=25=5\displaystyle AO=\sqrt{(0-0)^{2}+(5-0)^{2}}=\sqrt{25}=5.
    AO=(0−0)2+(5−0)2=25=5\displaystyle AO=\sqrt{(0-0)^{2}+(5-0)^{2}}=\sqrt{25}=5
  3. Calculăm în același mod lungimea laturii BO\displaystyle BO, cu B(5,0)\displaystyle B(5,0) și O(0,0)\displaystyle O(0,0): BO=(5−0)2+(0−0)2=25=5\displaystyle BO=\sqrt{(5-0)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{25}=5.
    BO=(5−0)2+(0−0)2=25=5\displaystyle BO=\sqrt{(5-0)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{25}=5
  4. Cum AO=BO=5\displaystyle AO=BO=5, triunghiul AOB\displaystyle AOB are două laturi congruente, deci este isoscel, cu baza AB\displaystyle AB.
    AO=BO=5⇒ΔAOB este isoscel\displaystyle AO=BO=5\Rightarrow \Delta AOB\text{ este isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A cu AB=4\displaystyle AB=4 și AC=3\displaystyle AC=3.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC. Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor: AΔABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}.
    AΔABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}
  2. Înlocuim lungimile catetelor, AB=4\displaystyle AB=4 și AC=3\displaystyle AC=3, în formula ariei: AΔABC=4⋅32\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{4\cdot 3}{2}.
    AΔABC=4⋅32\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{4\cdot 3}{2}
  3. Calculăm produsul de la numărător, 4⋅3=12\displaystyle 4\cdot 3=12, apoi împărțim la 2\displaystyle 2: 122=6\displaystyle \dfrac{12}{2}=6. Aria triunghiului este 6\displaystyle 6.
    AΔABC=122=6\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{12}{2}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1211)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A=(1211)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix} ca determinant de ordin 2: det⁡A=∣1211∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣1211∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Diagonala principală are elementele 1\displaystyle 1 și 1\displaystyle 1, iar cea secundară 2\displaystyle 2 și 1\displaystyle 1, deci det⁡A=1⋅1−2⋅1\displaystyle \det A=1\cdot 1-2\cdot 1.
    det⁡A=1⋅1−2⋅1\displaystyle \det A=1\cdot 1-2\cdot 1
  3. Efectuăm înmulțirile: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1 și 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2. Apoi scădem: 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, deci det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡A=1−2=−1\displaystyle \det A=1-2=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1211)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅A−2A=I2\displaystyle A\cdot A-2A=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind matricea A\displaystyle A cu ea însăși, linie cu coloană.
    A⋅A=(1211)⋅(1211)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este 1⋅1+2⋅1=3\displaystyle 1\cdot1+2\cdot1=3; linia 1, coloana 2 este 1⋅2+2⋅1=4\displaystyle 1\cdot2+2\cdot1=4; linia 2, coloana 1 este 1⋅1+1⋅1=2\displaystyle 1\cdot1+1\cdot1=2; linia 2, coloana 2 este 1⋅2+1⋅1=3\displaystyle 1\cdot2+1\cdot1=3.
    A⋅A=(3423)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&4\\2&3\end{pmatrix}
  3. Calculăm 2A\displaystyle 2A, înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu 2\displaystyle 2.
    2A=(2422)\displaystyle 2A=\begin{pmatrix}2&4\\2&2\end{pmatrix}
  4. Scădem 2A\displaystyle 2A din A⋅A\displaystyle A\cdot A, element cu element, și obținem matricea unitate I2\displaystyle I_2.
    A⋅A−2A=(3423)−(2422)=(1001)=I2\displaystyle A\cdot A-2A=\begin{pmatrix}3&4\\2&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&4\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1211)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x, pentru care A⋅B=I2\displaystyle A\cdot B=I_2, unde B=(−1xx−1−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&x\\x-1&-1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B, cu A\displaystyle A și B\displaystyle B date în enunț. Elementul de pe linia i\displaystyle i, coloana j\displaystyle j se obține înmulțind linia i\displaystyle i din A\displaystyle A cu coloana j\displaystyle j din B\displaystyle B.
    A⋅B=(1211)⋅(−1xx−1−1)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&x\\x-1&-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele de pe prima linie a produsului: prima linie din A\displaystyle A, (1, 2)\displaystyle (1,\ 2), se înmulțește pe rând cu cele două coloane din B\displaystyle B.
    1⋅(−1)+2(x−1)=2x−3\displaystyle 1\cdot(-1)+2(x-1)=2x-3,1⋅x+2⋅(−1)=x−2\displaystyle \quad 1\cdot x+2\cdot(-1)=x-2
  3. Calculăm elementele de pe a doua linie a produsului: a doua linie din A\displaystyle A, (1, 1)\displaystyle (1,\ 1), se înmulțește pe rând cu cele două coloane din B\displaystyle B.
    1⋅(−1)+1⋅(x−1)=x−2\displaystyle 1\cdot(-1)+1\cdot(x-1)=x-2,1⋅x+1⋅(−1)=x−1\displaystyle \quad 1\cdot x+1\cdot(-1)=x-1
  4. Adunăm cele patru elemente calculate și obținem matricea produs A⋅B\displaystyle A\cdot B.
    A⋅B=(2x−3x−2x−2x−1)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}2x-3&x-2\\x-2&x-1\end{pmatrix}
  5. Egalăm produsul cu matricea unitate I2\displaystyle I_2. Două matrice sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale, deci obținem patru ecuații.
    (2x−3x−2x−2x−1)=(1001)\displaystyle \begin{pmatrix}2x-3&x-2\\x-2&x-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  6. Rezolvăm ecuațiile: 2x−3=1\displaystyle 2x-3=1 dă x=2\displaystyle x=2, x−2=0\displaystyle x-2=0 dă x=2\displaystyle x=2, iar x−1=1\displaystyle x-1=1 dă x=2\displaystyle x=2. Toate ecuațiile dau aceeași valoare, deci x=2\displaystyle x=2 convine.
    2x−3=1⇒x=2\displaystyle 2x-3=1\Rightarrow x=2,x−2=0⇒x=2\displaystyle \quad x-2=0\Rightarrow x=2,x−1=1⇒x=2, deci x=2\displaystyle \quad x-1=1\Rightarrow x=2\text{, deci }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+5X2−4\displaystyle f=X^3+5X^2-4.

Arătați că f(1)=2\displaystyle f(1)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a calcula f(1)\displaystyle f(1), înlocuim pe X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului f=X3+5X2−4\displaystyle f=X^3+5X^2-4.
    f(1)=13+5⋅12−4\displaystyle f(1)=1^3+5\cdot 1^2-4
  2. Calculăm puterile lui 1\displaystyle 1: 13=1\displaystyle 1^3=1 și 12=1\displaystyle 1^2=1. Rămâne o sumă de numere întregi.
    f(1)=1+5⋅1−4=1+5−4\displaystyle f(1)=1+5\cdot 1-4=1+5-4
  3. Efectuăm adunarea și scăderea: 1+5=6\displaystyle 1+5=6, apoi 6−4=2\displaystyle 6-4=2. Deci f(1)=2\displaystyle f(1)=2, ceea ce trebuia arătat.
    f(1)=1+5−4=2\displaystyle f(1)=1+5-4=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+5X2−4\displaystyle f=X^3+5X^2-4. Determinați restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul X+1\displaystyle X+1.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim polinomul f\displaystyle f la X+1\displaystyle X+1 cu schema lui Horner. Rădăcina lui X+1\displaystyle X+1 este −1\displaystyle -1, iar coeficienții lui f\displaystyle f sunt 1, 5, 0, −4\displaystyle 1,\ 5,\ 0,\ -4 (lipsește termenul în X\displaystyle X, deci coeficientul său este 0\displaystyle 0).
    a3=1\displaystyle a_3=1, a2=5\displaystyle \ a_2=5, a1=0\displaystyle \ a_1=0, a0=−4\displaystyle \ a_0=-4, x0=−1\displaystyle \ x_0=-1
  2. Primul coeficient al câtului se copiază: 1\displaystyle 1. Apoi 5+(−1)⋅1=4\displaystyle 5+(-1)\cdot 1=4.
    b2=1\displaystyle b_2=1,b1=5+(−1)⋅1=4\displaystyle \quad b_1=5+(-1)\cdot 1=4
  3. Următorul coeficient: 0+(−1)⋅4=−4\displaystyle 0+(-1)\cdot 4=-4. Acesta este ultimul coeficient al câtului, care are gradul 2\displaystyle 2.
    b0=0+(−1)⋅4=−4\displaystyle b_0=0+(-1)\cdot 4=-4
  4. Câtul are coeficienții 1, 4, −4\displaystyle 1,\ 4,\ -4, deci câtul este X2+4X−4\displaystyle X^2+4X-4.
    q=X2+4X−4\displaystyle q=X^2+4X-4
  5. Restul este ultimul număr din schemă: −4+(−1)⋅(−4)=0\displaystyle -4+(-1)\cdot(-4)=0. Verificăm: f(−1)=−1+5−4=0\displaystyle f(-1)=-1+5-4=0, deci X+1\displaystyle X+1 divide f\displaystyle f.
    r=−4+(−1)⋅(−4)=0\displaystyle r=-4+(-1)\cdot(-4)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+5X2−4\displaystyle f=X^3+5X^2-4.

Demonstrați că x2+x3x1+x3+x1x2+x1+x2x3=−3\displaystyle \frac{x_2+x_3}{x_1}+\frac{x_3+x_1}{x_2}+\frac{x_1+x_2}{x_3}=-3, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f=X3+5X2+0⋅X−4\displaystyle f=X^3+5X^2+0\cdot X-4 are coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=5\displaystyle b=5, c=0\displaystyle c=0, d=−4\displaystyle d=-4.
    a=1\displaystyle a=1, b=5\displaystyle \ b=5, c=0\displaystyle \ c=0, d=−4\displaystyle \ d=-4
  2. Relațiile lui Viète sunt x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}, x1x2+x1x3+x2x3=ca\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a} și x1x2x3=−da\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}.
    x1+x2+x3=−5\displaystyle x_1+x_2+x_3=-5
  3. Înlocuim coeficienții: x1x2+x1x3+x2x3=01=0\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{0}{1}=0 și x1x2x3=−−41=4\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{-4}{1}=4.
    x1x2+x1x3+x2x3=0\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=0, x1x2x3=4\displaystyle \ x_1x_2x_3=4
  4. Din x1+x2+x3=−5\displaystyle x_1+x_2+x_3=-5 rezultă x2+x3=−5−x1\displaystyle x_2+x_3=-5-x_1, x3+x1=−5−x2\displaystyle x_3+x_1=-5-x_2, x1+x2=−5−x3\displaystyle x_1+x_2=-5-x_3. Expresia devine suma de mai jos.
    −5−x1x1+−5−x2x2+−5−x3x3\displaystyle \frac{-5-x_1}{x_1}+\frac{-5-x_2}{x_2}+\frac{-5-x_3}{x_3}
  5. Fiecare fracție se scrie −5−xixi=−5xi−1\displaystyle \dfrac{-5-x_i}{x_i}=-\dfrac{5}{x_i}-1. Adunând și dând factor comun pe −5\displaystyle -5 obținem expresia de mai jos.
    −5(1x1+1x2+1x3)−3\displaystyle -5\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)-3
  6. Avem 1x1+1x2+1x3=x1x2+x1x3+x2x3x1x2x3\displaystyle \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}, deci expresia este egală cu cea de mai jos.
    −5⋅x1x2+x1x3+x2x3x1x2x3−3\displaystyle -5\cdot\frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}-3
  7. Înlocuim x1x2+x1x3+x2x3=0\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=0 și x1x2x3=4\displaystyle x_1x_2x_3=4: obținem −5⋅04−3=−3\displaystyle -5\cdot\dfrac{0}{4}-3=-3, deci egalitatea este demonstrată.
    −5⋅04−3=−3\displaystyle -5\cdot\frac{0}{4}-3=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−x3\displaystyle f(x)=3x-x^3.

Arătați că f′(x)=3(1−x2)\displaystyle f'(x)=3\left(1-x^2\right), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=3x−x3\displaystyle f(x)=3x-x^{3} este o diferență de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci derivăm termen cu termen: f′(x)=(3x)′−(x3)′\displaystyle f'(x)=(3x)'-\left(x^{3}\right)'.
    f′(x)=(3x)′−(x3)′\displaystyle f'(x)=(3x)'-\left(x^{3}\right)'
  2. Folosim formulele (ax)′=a\displaystyle (ax)'=a și (xn)′=n xn−1\displaystyle \left(x^{n}\right)'=n\,x^{n-1}. Obținem (3x)′=3\displaystyle (3x)'=3 și (x3)′=3x2\displaystyle \left(x^{3}\right)'=3x^{2}.
    (3x)′=3\displaystyle (3x)'=3,(x3)′=3x2\displaystyle \quad \left(x^{3}\right)'=3x^{2}
  3. Înlocuim în f′(x)\displaystyle f'(x): f′(x)=3−3x2\displaystyle f'(x)=3-3x^{2}. Dăm factor comun 3\displaystyle 3 și obținem f′(x)=3(1−x2)\displaystyle f'(x)=3\left(1-x^{2}\right), pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=3−3x2=3(1−x2)\displaystyle f'(x)=3-3x^{2}=3\left(1-x^{2}\right), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−x3\displaystyle f(x)=3x-x^3.

Arătați că lim⁡x→+∞ln⁡xf(x)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{f(x)}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=3x−x3\displaystyle f(x)=3x-x^{3} în limita dată: lim⁡x→+∞ln⁡xf(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{f(x)}.
    lim⁡x→+∞ln⁡x3x−x3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{3x-x^{3}}
  2. Verificăm cazul de nedeterminare: pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem ln⁡x→+∞\displaystyle \ln x\to+\infty, iar 3x−x3→−∞\displaystyle 3x-x^{3}\to-\infty. Avem forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deci putem aplica regula lui L'Hospital.
    ∞∞\displaystyle \frac{\infty}{\infty}
  3. Aplicăm regula lui L'Hospital: derivăm separat numărătorul și numitorul, adică (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} și (3x−x3)′=3−3x2\displaystyle \left(3x-x^{3}\right)'=3-3x^{2}.
    lim⁡x→+∞ln⁡x3x−x3=lim⁡x→+∞(ln⁡x)′(3x−x3)′\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{3x-x^{3}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)'}{\left(3x-x^{3}\right)'}
  4. Scriem limita cu derivatele calculate: raportul devine 1x3−3x2\displaystyle \dfrac{\frac{1}{x}}{3-3x^{2}}.
    lim⁡x→+∞1x3−3x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{3-3x^{2}}
  5. Calculăm limita: numărătorul 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} tinde la 0\displaystyle 0, iar numitorul 3−3x2\displaystyle 3-3x^{2} tinde la −∞\displaystyle -\infty, deci raportul tinde la 0\displaystyle 0. Am arătat că limita inițială este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞1x3−3x2=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{3-3x^{2}}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−x3\displaystyle f(x)=3x-x^3.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1 este y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)=3⋅1−13=3−1\displaystyle f(1)=3\cdot 1-1^{3}=3-1.
    f(1)=3−1=2\displaystyle f(1)=3-1=2
  3. Derivata este f′(x)=3−3x2\displaystyle f'(x)=3-3x^{2}, deci f′(1)=3−3⋅12=0\displaystyle f'(1)=3-3\cdot 1^{2}=0.
    f(1)=2\displaystyle f(1)=2, f′(1)=0\displaystyle \ f'(1)=0
  4. Înlocuim în formulă: y−2=0⋅(x−1)\displaystyle y-2=0\cdot(x-1), deci y−2=0\displaystyle y-2=0.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y=2\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−x2+x−1\displaystyle f(x)=x^3-x^2+x-1.

Arătați că ∫−11(f(x)+x2−x+1)dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)+x^2-x+1\right)dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3−x2+x−1\displaystyle f(x)=x^3-x^2+x-1 în integrală.
    ∫−11(x3−x2+x−1+x2−x+1)dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(x^3-x^2+x-1+x^2-x+1\right)dx
  2. Reducem termenii asemenea: −x2+x2=0\displaystyle -x^2+x^2=0, x−x=0\displaystyle x-x=0, −1+1=0\displaystyle -1+1=0. Rămâne doar x3\displaystyle x^3.
    ∫−11x3 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}x^3\,dx
  3. O primitivă a lui x3\displaystyle x^3 este x44\displaystyle \dfrac{x^4}{4}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫−11x3 dx=x44∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}x^3\,dx=\frac{x^4}{4}\Big|_{-1}^{1}
  4. Evaluăm în limitele 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1: 144−(−1)44\displaystyle \dfrac{1^4}{4}-\dfrac{(-1)^4}{4}. Cum (−1)4=1\displaystyle (-1)^4=1, diferența este zero.
    14−14=0\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−x2+x−1\displaystyle f(x)=x^3-x^2+x-1.

Arătați că funcția F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=x44−x33+x22−x\displaystyle F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-x este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R} dacă F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Funcția F\displaystyle F este polinomială, deci derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Rămâne să calculăm F′\displaystyle F'.
    F′(x)=(x44−x33+x22−x)′\displaystyle F'(x)=\left(\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-x\right)'
  2. Derivăm fiecare termen separat, cu formula (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}. Avem (x4)′=4x3\displaystyle (x^4)'=4x^3, (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x și (x)′=1\displaystyle (x)'=1.
    F′(x)=4x34−3x23+2x2−1\displaystyle F'(x)=\frac{4x^3}{4}-\frac{3x^2}{3}+\frac{2x}{2}-1
  3. Simplificăm fracțiile: fiecare coeficient de la numărător se reduce cu numitorul. Obținem x3−x2+x−1\displaystyle x^3-x^2+x-1, adică exact f(x)\displaystyle f(x), pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Deci F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=x3−x2+x−1=f(x)\displaystyle F'(x)=x^3-x^2+x-1=f(x), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−x2+x−1\displaystyle f(x)=x^3-x^2+x-1.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[1,2]→R\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)x2+1\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x^2+1}.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem pe f(x)\displaystyle f(x) prin gruparea termenilor: x3−x2+x−1=x2(x−1)+(x−1)=(x−1)(x2+1)\displaystyle x^3-x^2+x-1=x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x^2+1).
    f(x)=(x−1)(x2+1)\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{2}+1)
  2. Simplificăm fracția cu x2+1\displaystyle x^2+1, care este nenul pentru orice x\displaystyle x real, și obținem g(x)=(x−1)(x2+1)x2+1=x−1\displaystyle g(x)=\dfrac{(x-1)(x^2+1)}{x^2+1}=x-1.
    g(x)=x−1\displaystyle g(x)=x-1
  3. Scriem formula volumului corpului de rotație în jurul axei Ox\displaystyle Ox și înlocuim g(x)=x−1\displaystyle g(x)=x-1 pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2].
    V=π∫12g2(x) dx=π∫12(x−1)2 dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2}g^{2}(x)\,dx=\pi\int_{1}^{2}(x-1)^{2}\,dx
  4. Calculăm integrala: o primitivă a lui (x−1)2\displaystyle (x-1)^2 este (x−1)33\displaystyle \dfrac{(x-1)^3}{3}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    V=π⋅(x−1)33∣12\displaystyle V=\pi\cdot\frac{(x-1)^{3}}{3}\Big|_{1}^{2}
  5. Înlocuim limitele: la x=2\displaystyle x=2 obținem 13\displaystyle \dfrac{1}{3}, iar la x=1\displaystyle x=1 obținem 0\displaystyle 0. Deci volumul este π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3}.
    V=π(13−0)=π3\displaystyle V=\pi\left(\frac{1}{3}-0\right)=\frac{\pi}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.