Bac matematică M3 tehnologic 2024, sesiunea a II-a rezervă varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (12+14)⋅43=1\displaystyle \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{4}{3}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică numitorii fracțiilor din paranteză: 2\displaystyle 2 și 4\displaystyle 4. Numitorul comun este 4\displaystyle 4, deci se aduce fracția 12\displaystyle \dfrac{1}{2} la numitorul 4\displaystyle 4 prin amplificare cu 2\displaystyle 2.
    12=1⋅22⋅2=24\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 2}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}
  2. Se rescrie expresia inițială înlocuind 12\displaystyle \dfrac{1}{2} cu 24\displaystyle \dfrac{2}{4}, pregătind adunarea fracțiilor cu același numitor, apoi se pastreaza inmultirea cu 43\displaystyle \dfrac{4}{3}.
    (12+14)⋅43=(24+14)⋅43=\displaystyle \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{4}{3}=\left(\frac{2}{4}+\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{4}{3}=
  3. Se adună numărătorii fracțiilor cu același numitor: 24+14=34\displaystyle \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}.
    24+14=34\displaystyle \frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}
  4. Se înmulțește rezultatul 34\displaystyle \dfrac{3}{4} cu 43\displaystyle \dfrac{4}{3}, simplificând factorii comuni (4 cu 4 și 3 cu 3), obținând rezultatul final 1\displaystyle 1.
    =34⋅43=1\displaystyle =\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−8\displaystyle f(x)=2x-8. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=0\displaystyle f(a)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f calculată în punctul a, înlocuind x cu a în formula dată
    f(a)=2a−8, pentru orice numa˘r real a\displaystyle f(a)=2a-8\text{, pentru orice număr real }a
  2. Se impune condiția din enunț, ca valoarea funcției în a să fie egală cu 0\displaystyle 0
    f(a)=0⇒2a−8=0\displaystyle f(a)=0\Rightarrow 2a-8=0
  3. Se trece termenul liber în membrul drept al ecuației
    2a=8\displaystyle 2a=8
  4. Se împarte ecuația prin coeficientul lui a, adică prin 2\displaystyle 2, pentru a obține valoarea lui a
    a=82\displaystyle a=\dfrac{8}{2}
  5. Se efectuează împărțirea și se obține soluția ecuației, adică valoarea căutată a numărului real a
    2a−8=0, de unde obținem a=4\displaystyle 2a-8=0\text{, de unde obținem }a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x−2=1\displaystyle \sqrt{3x-2}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă.
    3x−2≥0, adica˘ x≥23\displaystyle 3x-2\geq 0\text{, adică }x\geq \frac{2}{3}
  2. Se ridică la pătrat ambii membri ai ecuației pentru a elimina radicalul.
    (3x−2)2=12\displaystyle \left(\sqrt{3x-2}\right)^2=1^2
  3. Se obține ecuația de gradul întâi și se aduce la forma simplificată.
    3x−2=1, de unde obținem 3x=3\displaystyle 3x-2=1\text{, de unde obținem }3x=3
  4. Se rezolvă ecuația de gradul întâi, împărțind ambii membri prin 3\displaystyle 3.
    x=33=1\displaystyle x=\frac{3}{3}=1
  5. Se verifică soluția obținută atât în condiția de existență, cât și în ecuația inițială.
    x=1≥23, iar 3⋅1−2=1=1\displaystyle x=1\geq\frac{2}{3}\text{, iar }\sqrt{3\cdot1-2}=\sqrt{1}=1
  6. Se confirmă soluția finală, care satisface ecuația și condiția de existență.
    x=1, care convine\displaystyle x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}\displaystyle A=\{11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\}, acesta să aibă suma cifrelor egală cu 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie mulțimea A și se identifică elementele acesteia.
    A={11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}\displaystyle A=\{11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\}
  2. Se numără câte elemente are mulțimea A, adică numărul cazurilor posibile.
    Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile\displaystyle \text{Mulțimea }A\text{ are }10\text{ elemente, deci sunt }10\text{ cazuri posibile}
  3. Se calculează suma cifrelor pentru fiecare număr din A, pentru a găsi cazurile favorabile.
    1+1=2\displaystyle 1+1=2, 1+2=3\displaystyle \ 1+2=3, 1+3=4\displaystyle \ 1+3=4, 1+4=5\displaystyle \ 1+4=5, 1+5=6\displaystyle \ 1+5=6, 1+6=7\displaystyle \ 1+6=7, 1+7=8\displaystyle \ 1+7=8, 1+8=9\displaystyle \ 1+8=9, 1+9=10\displaystyle \ 1+9=10, 2+0=2\displaystyle \ 2+0=2
  4. Se identifică numerele din A a căror sumă a cifrelor este egală cu 2\displaystyle 2.
    Numerele favorabile sunt 11 și 20\displaystyle \text{Numerele favorabile sunt }11\text{ și }20, deci sunt 2 cazuri favorabile\displaystyle \text{ deci sunt }2\text{ cazuri favorabile}
  5. Se aplică formula probabilității ca raport între numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi se simplifică fracția.
    p=210=15\displaystyle p=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,4)\displaystyle A(3,4) și B(6,8)\displaystyle B(6,8). Arătați că OA=AB\displaystyle OA=AB.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula distanței dintre două puncte în plan, care va fi aplicată atât pentru segmentul OA\displaystyle OA, cât și pentru segmentul AB\displaystyle AB.
    d(P,Q)=(xQ−xP)2+(yQ−yP)2\displaystyle d(P,Q)=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}
  2. Se calculează lungimea segmentului OA\displaystyle OA, folosind coordonatele O(0,0)\displaystyle O(0,0) și A(3,4)\displaystyle A(3,4).
    OA=(3−0)2+(4−0)2\displaystyle OA=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}
  3. Se efectuează calculele sub radical și se obține valoarea lui OA\displaystyle OA.
    OA=32+42=9+16=25=5\displaystyle OA=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
  4. Se calculează lungimea segmentului AB\displaystyle AB, folosind coordonatele A(3,4)\displaystyle A(3,4) și B(6,8)\displaystyle B(6,8), scriind mai întâi diferențele coordonatelor.
    AB=(6−3)2+(8−4)2\displaystyle AB=\sqrt{(6-3)^2+(8-4)^2}
  5. Se efectuează calculele sub radical pentru AB\displaystyle AB și se compară cu valoarea obținută pentru OA\displaystyle OA, obținându-se concluzia cerută.
    AB=32+42=5, deci OA=AB\displaystyle AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{, deci }OA=AB
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=12\displaystyle AB=12, AC=8\displaystyle AC=8 și punctul M\displaystyle M mijlocul laturii AB\displaystyle AB. Arătați că CM=10\displaystyle CM=10.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică datele problemei: triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=12\displaystyle AB=12 și AC=8\displaystyle AC=8, iar M\displaystyle M este mijlocul laturii AB\displaystyle AB, deci AM=BM=AB2\displaystyle AM=BM=\dfrac{AB}{2}.
    AM=AB2\displaystyle AM=\dfrac{AB}{2}
  2. Se calculează lungimea segmentului AM\displaystyle AM, înlocuind AB=12\displaystyle AB=12.
    AM=6\displaystyle AM=6
  3. Deoarece M\displaystyle M se află pe latura AB\displaystyle AB, iar unghiul din A\displaystyle A al triunghiului ABC\displaystyle ABC este de 90°\displaystyle 90°, rezultă că unghiul CAM\displaystyle CAM este tot de 90°\displaystyle 90°, deci triunghiul ACM\displaystyle ACM este dreptunghic în A\displaystyle A.
    ∠CAM=90∘\displaystyle \angle CAM=90^\circ
  4. Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ACM\displaystyle ACM, scriind relația dintre ipotenuză (CM\displaystyle CM) și catete (AC\displaystyle AC și AM\displaystyle AM).
    CM2=AC2+AM2\displaystyle CM^2=AC^2+AM^2
  5. Se înlocuiesc valorile AC=8\displaystyle AC=8 și AM=6\displaystyle AM=6, se calculează suma pătratelor și se extrage radical pentru a obține lungimea CM\displaystyle CM.
    CM=AC2+AM2=82+62=64+36=100=10\displaystyle CM=\sqrt{AC^2+AM^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(x−121x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x-1 & 2\\1 & x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=0\displaystyle \det(A(2))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x=2\displaystyle x=2 în matricea A(x)\displaystyle A(x), calculând fiecare element în parte: x−1=2−1=1\displaystyle x-1=2-1=1, elementul din stânga sus rămâne 2\displaystyle 2, elementul de jos stânga rămâne 1\displaystyle 1, iar x=2\displaystyle x=2 pe poziția din dreapta jos.
    A(2)=(2−1212)=(1212)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2-1 & 2\\1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\1 & 2\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei A(2)\displaystyle A(2) folosind formula determinantului de ordin doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(2))=∣1212∣=1⋅2−1⋅2=\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}1 & 2\\1 & 2\end{vmatrix}=1\cdot2-1\cdot2=
  3. Se efectuează calculele numerice: produsul de pe diagonala principală este 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2, iar produsul de pe diagonala secundară este 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2.
    1⋅2=2 și 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot2=2\text{ și }1\cdot2=2
  4. Se scade produsul diagonalei secundare din produsul diagonalei principale, obținând valoarea finală a determinantului.
    det⁡(A(2))=2−2=0\displaystyle \det(A(2))=2-2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(x−121x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x-1 & 2\\1 & x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(3)+2I2=A(5)\displaystyle A(3)+2I_2=A(5).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează A(3)\displaystyle A(3) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în matricea A(x)\displaystyle A(x)
    A(3)=(3−1213)=(2213)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}3-1 & 2\\1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\1 & 3\end{pmatrix}
  2. Se scrie matricea 2I2\displaystyle 2I_{2}, obținută prin înmulțirea matricei identitate cu scalarul 2\displaystyle 2
    2I2=2(1001)=(2002)\displaystyle 2I_2=2\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}
  3. Se adună cele două matrice, element cu element, pentru a obține A(3)+2I2\displaystyle A(3)+2I_{2}
    A(3)+2I2=(2213)+(2002)=(4215)=\displaystyle A(3)+2I_2=\begin{pmatrix}2 & 2\\1 & 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 2\\1 & 5\end{pmatrix}=
  4. Se calculează A(5)\displaystyle A(5) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 5\displaystyle 5 în matricea A(x)\displaystyle A(x), pentru a compara cu rezultatul obținut anterior
    A(5)=(5−1215)=(4215)\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}5-1 & 2\\1 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 2\\1 & 5\end{pmatrix}
  5. Se observă că matricea obținută la pasul anterior, scrisă sub forma (5−1215)\displaystyle \begin{pmatrix}5-1 & 2\\1 & 5\end{pmatrix}, coincide cu A(5)\displaystyle A(5), deci concluzia este demonstrată
    =(5−1215)=A(5)\displaystyle =\begin{pmatrix}5-1 & 2\\1 & 5\end{pmatrix}=A(5)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(x−121x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x-1 & 2\\1 & x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A(x)+xI2)=0\displaystyle \det(A(x)+xI_2)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea xI2\displaystyle xI_{2}, obținută prin înmulțirea matricei unitate cu scalarul x\displaystyle x.
    xI2=(x00x)\displaystyle xI_2=\begin{pmatrix}x & 0\\0 & x\end{pmatrix}
  2. Se adună matricea A(x)\displaystyle A(x) cu matricea xI2\displaystyle xI_{2}, element cu element.
    A(x)+xI2=(x−121x)+(x00x)=((x−1)+x2+01+0x+x)=(2x−1212x)\displaystyle A(x)+xI_2=\begin{pmatrix}x-1 & 2\\1 & x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x & 0\\0 & x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(x-1)+x & 2+0\\1+0 & x+x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x-1 & 2\\1 & 2x\end{pmatrix}
  3. Se calculează determinantul matricei obținute, folosind formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(x)+xI2)=(2x−1)⋅(2x)−2⋅1\displaystyle \det(A(x)+xI_2)=(2x-1)\cdot(2x)-2\cdot 1
  4. Se efectuează calculele și se aduce expresia la forma de trinom de gradul al doilea în x\displaystyle x.
    det⁡(A(x)+xI2)=4x2−2x−2\displaystyle \det(A(x)+xI_2)=4x^2-2x-2
  5. Se pune condiția ca determinantul să fie egal cu zero, obținând o ecuație de gradul al doilea.
    4x2−2x−2=0\displaystyle 4x^2-2x-2=0
  6. Se simplifică ecuația prin împărțire cu 2\displaystyle 2, apoi se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea.
    2x2−x−1=0, Δ=(−1)2−4⋅2⋅(−1)=1+8=9\displaystyle 2x^2-x-1=0\text{, }\Delta=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9
  7. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea folosind formula rădăcinilor, obținând soluțiile finale.
    x1,2=1±94=1±34, deci x=1 sau x=−12\displaystyle x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{9}}{4}=\frac{1\pm 3}{4}\text{, deci }x=1\text{ sau }x=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2x+2y−1\displaystyle x\circ y=2x+2y-1.

Arătați că 2∘1=5\displaystyle 2\circ1=5.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată în enunț, cu x\displaystyle x și y\displaystyle y variabile generale.
    x∘y=2x+2y−1\displaystyle x\circ y=2x+2y-1
  2. Se înlocuiește x=2\displaystyle x=2 și y=1\displaystyle y=1 în formula legii de compoziție.
    2∘1=2⋅2+2⋅1−1=\displaystyle 2\circ1=2\cdot2+2\cdot1-1=
  3. Se efectuează înmulțirile din expresie.
    2⋅2+2⋅1−1=4+2−1\displaystyle 2\cdot2+2\cdot1-1=4+2-1
  4. Se adună și se scad numerele obținute pentru a afla rezultatul final.
    =4+2−1=5\displaystyle =4+2-1=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2x+2y−1\displaystyle x\circ y=2x+2y-1.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∘(x+1)=5\displaystyle x\circ(x+1)=5.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică elementele care trebuie substituite: x\displaystyle x și x+1\displaystyle x+1.
    x∘y=2x+2y−1, unde ıˆnlocuim y=x+1\displaystyle x\circ y=2x+2y-1\text{, unde înlocuim }y=x+1
  2. Se înlocuiește y\displaystyle y cu x+1\displaystyle x+1 în expresia legii de compoziție.
    x∘(x+1)=2x+2(x+1)−1\displaystyle x\circ(x+1)=2x+2(x+1)-1
  3. Se desface paranteza și se reduc termenii asemenea pentru a obține forma finală a expresiei, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    x∘(x+1)=2x+2(x+1)−1=4x+1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\circ(x+1)=2x+2(x+1)-1=4x+1\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se pune condiția ca expresia obținută să fie egală cu 5\displaystyle 5, conform cerinței problemei.
    4x+1=5\displaystyle 4x+1=5
  5. Se rezolvă ecuația liniară obținută: se trece 1\displaystyle 1 în membrul drept, apoi se împarte prin 4\displaystyle 4 pentru a afla valoarea lui x\displaystyle x.
    4x+1=5, de unde obținem x=1\displaystyle 4x+1=5\text{, de unde obținem }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2x+2y−1\displaystyle x\circ y=2x+2y-1.

Arătați că x∘x≤4x2\displaystyle x\circ x\le 4x^2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se particularizează pentru y=x\displaystyle y=x, pentru a calcula x∘x\displaystyle x\circ x.
    x∘x=2x+2x−1\displaystyle x\circ x=2x+2x-1
  2. Se efectuează calculele și se obține expresia lui x∘x\displaystyle x\circ x în funcție de x\displaystyle x, valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∘x=4x−1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\circ x=4x-1\text{, pentru orice număr real }x
  3. Pentru a demonstra inegalitatea cerută, se studiază diferența dintre 4x2\displaystyle 4x^{2} și x∘x\displaystyle x\circ x, adică se scrie 4x2−(x∘x)=4x2−(4x−1)=4x2−4x+1\displaystyle 4x^{2}-(x\circ x)=4x^{2}-(4x-1)=4x^{2}-4x+1.
    4x2−(x∘x)=4x2−4x+1\displaystyle 4x^2-(x\circ x)=4x^2-4x+1
  4. Se observă că expresia 4x2−4x+1\displaystyle 4x^{2}-4x+1 este un pătrat perfect, fiind egală cu (2x−1)2\displaystyle (2x-1)^{2}, deci este întotdeauna nenegativă.
    4x2−4x+1=(2x−1)2≥0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 4x^2-4x+1=(2x-1)^2\ge 0\text{, pentru orice număr real }x
  5. Rescriem relația de la pasul anterior astfel încât să evidențiem direct forma cerută de barem, exprimând 4x−1\displaystyle 4x-1 în funcție de (2x−1)2\displaystyle (2x-1)^{2} și 4x2\displaystyle 4x^{2}, obținând astfel inegalitatea x∘x≤4x2\displaystyle x\circ x \leq 4x^{2}, adevărată pentru orice x\displaystyle x real.
    4x−1=−4x2+4x−1+4x2=−(2x−1)2+4x2≤4x2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 4x-1=-4x^2+4x-1+4x^2=-(2x-1)^2+4x^2\le 4x^2\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−2ln⁡x\displaystyle f(x)=x-2\ln x.

Arătați că f′(x)=x−2x\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se reamintesc formulele de derivare necesare: derivata funcției identice x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata funcției logaritm natural ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}, valabile pentru x>0\displaystyle x>0.
    (x)′=1, (ln⁡x)′=1x, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle (x)'=1\text{, }(\ln x)'=\frac{1}{x}\text{, pentru }x\in(0,+\infty)
  2. Se aplică regula de derivare a unei sume/diferențe de funcții, derivând termen cu termen expresia lui f(x)\displaystyle f(x).
    f′(x)=x′−2⋅(ln⁡x)′=\displaystyle f'(x)=x'-2\cdot(\ln x)'=
  3. Se înlocuiesc derivatele calculate anterior în expresia obținută.
    f′(x)=1−2⋅1x\displaystyle f'(x)=1-2\cdot\frac{1}{x}
  4. Se aduce expresia la același numitor pentru a obține forma finală simplificată a derivatei, precizând și domeniul de valabilitate.
    =1−2⋅1x=x−2x, x∈(0,+∞)\displaystyle =1-2\cdot\frac{1}{x}=\frac{x-2}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−2ln⁡x\displaystyle f(x)=x-2\ln x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1 situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției în punctul x=1\displaystyle x=1, prin înlocuirea directă în expresia lui f\displaystyle f.
    f(1)=1−2ln⁡1=1−0=1\displaystyle f(1)=1-2\ln 1=1-0=1
  2. Se determină derivata funcției f\displaystyle f, folosind regulile de derivare pentru x\displaystyle x și pentru ln⁡x\displaystyle \ln x.
    f′(x)=1−2x\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{2}{x}
  3. Se calculează valoarea derivatei în punctul x=1\displaystyle x=1, înlocuind x=1\displaystyle x=1 în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(1)=1−21=1−2=−1\displaystyle f'(1)=1-\dfrac{2}{1}=1-2=-1
  4. Se scrie ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, folosind formula y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0), cu x0=1\displaystyle x_0=1.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y−1=−1⋅(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y-1=-1\cdot(x-1)
  5. Se prelucrează algebric relația obținută pentru a scrie ecuația tangentei în forma explicită.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y=−x+2\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=-x+2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−2ln⁡x\displaystyle f(x)=x-2\ln x.

Demonstrați că ln⁡(x2)≤x−22\displaystyle \ln\left(\frac{x}{2}\right)\le\frac{x-2}{2}, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f pe domeniul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′(x)=1−2x=x−2x\displaystyle f'(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  2. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 pentru a găsi punctul critic și se stabilește semnul derivatei pe cele două intervale, deducând monotonia funcției.
    f′(x)=0⇔x=2; f′(x)≤0, pentru orice x∈(0,2]⇒f este descresca˘toare pe (0,2]; f′(x)≥0, pentru orice x∈[2,+∞)⇒f este cresca˘toare pe [2,+∞)\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=2;\ f'(x)\le0\text{, pentru orice }x\in(0,2]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }(0,2];\ f'(x)\ge0\text{, pentru orice }x\in[2,+\infty)\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }[2,+\infty)
  3. Din monotonia stabilită rezultă că x=2\displaystyle x=2 este punct de minim global al funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci f(x)≥f(2)\displaystyle f(x)\geq f(2) pentru orice x\displaystyle x din domeniu.
    x=2 este punct de minim, deci f(x)≥f(2), pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x=2\text{ este punct de minim, deci }f(x)\ge f(2)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  4. Se calculează valoarea minimă f(2)\displaystyle f(2) și se scrie inegalitatea f(2)≤f(x)\displaystyle f(2)\leq f(x).
    f(2)=2−2ln⁡2, deci 2−2ln⁡2≤f(x)\displaystyle f(2)=2-2\ln2\text{, deci }2-2\ln2\le f(x)
  5. Se înlocuiește f(x)=x−2ln⁡x\displaystyle f(x)=x-2\ln x și se rearanjează termenii, grupând logaritmii, apoi se folosește proprietatea ln⁡x−ln⁡2=ln⁡(x/2)\displaystyle \ln x - \ln 2 = \ln(x/2) și se împarte inegalitatea prin 2\displaystyle 2 pentru a obține forma cerută.
    2−2ln⁡2≤x−2ln⁡x⇒2ln⁡x−2ln⁡2≤x−2⇒2ln⁡(x2)≤x−2⇒ln⁡(x2)≤x−22\displaystyle 2-2\ln2\le x-2\ln x\Rightarrow 2\ln x-2\ln2\le x-2\Rightarrow 2\ln\left(\frac{x}{2}\right)\le x-2\Rightarrow \ln\left(\frac{x}{2}\right)\le\frac{x-2}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}.

Arătați că ∫031f(x) dx=12\displaystyle \int_{0}^{3}\frac{1}{f(x)}\,dx=12.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției date și se determină inversul valorii ei, adică 1f(x)\displaystyle \dfrac{1}{f(x)}.
    f(x)=1x2+1⇒1f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}\Rightarrow\frac{1}{f(x)}=x^2+1
  2. Se scrie integrala definită a expresiei 1f(x)\displaystyle \dfrac{1}{f(x)} pe intervalul [0,3]\displaystyle [0,3], folosind rezultatul de mai sus.
    ∫031f(x) dx=∫03(x2+1) dx\displaystyle \int_{0}^{3}\frac{1}{f(x)}\,dx=\int_{0}^{3}(x^2+1)\,dx
  3. Se determină o primitivă a funcției x2+1\displaystyle x^{2}+1, folosind formula de integrare a puterilor.
    ∫(x2+1) dx=x33+x+C\displaystyle \int (x^2+1)\,dx=\frac{x^3}{3}+x+C
  4. Se aplică formula Leibniz-Newton, scriind primitiva evaluată între limitele de integrare 0\displaystyle 0 și 3\displaystyle 3.
    ∫03(x2+1) dx=(x33+x)∣03=\displaystyle \int_{0}^{3}(x^2+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Big|_{0}^{3}=
  5. Se calculează valoarea primitivei în x=3\displaystyle x=3, obținând x33+x=273+3\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}+x=\dfrac{27}{3}+3.
    (333+3)−(033+0)=273+3\displaystyle \left(\frac{3^3}{3}+3\right)-\left(\frac{0^3}{3}+0\right)=\frac{27}{3}+3
  6. Se efectuează calculele finale: 273=9\displaystyle \dfrac{27}{3}=9, iar 9+3=12\displaystyle 9+3=12, obținându-se valoarea integralei.
    =273+3=12\displaystyle =\frac{27}{3}+3=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}.

Arătați că ∫232x f(x) dx=ln⁡2\displaystyle \int_{2}^{3}2x\,f(x)\,dx=\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem explicit integrala de calculat, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia sa.
    ∫232x f(x) dx=∫232x⋅1x2+1 dx=∫232xx2+1 dx\displaystyle \int_{2}^{3}2x\,f(x)\,dx=\int_{2}^{3}2x\cdot\frac{1}{x^2+1}\,dx=\int_{2}^{3}\frac{2x}{x^2+1}\,dx
  2. Observăm că derivata numitorului x2+1\displaystyle x^{2}+1 este exact 2x\displaystyle 2x, deci integrandul are forma u′(x)u(x)\displaystyle \dfrac{u'(x)}{u(x)}, unde u(x)=x2+1\displaystyle u(x)=x^{2}+1.
    (x2+1)′=2x⇒2xx2+1=(x2+1)′x2+1\displaystyle (x^2+1)'=2x\Rightarrow\frac{2x}{x^2+1}=\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}
  3. Folosim formula ∫u′(x)u(x)dx=ln⁡∣u(x)∣+C\displaystyle \int \dfrac{u'(x)}{u(x)}dx=\ln|u(x)|+C, aplicată aici cu u(x)=x2+1>0\displaystyle u(x)=x^{2}+1>0, pentru a obține o primitivă, apoi aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [2,3]\displaystyle [2,3].
    ∫232xx2+1 dx=ln⁡(x2+1)∣23\displaystyle \int_{2}^{3}\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)\Big|_{2}^{3}
  4. Calculăm valorile funcției ln⁡(x2+1)\displaystyle \ln(x^{2}+1) la capetele intervalului, adică pentru x=3\displaystyle x=3 și x=2\displaystyle x=2.
    ln⁡(32+1)−ln⁡(22+1)=ln⁡10−ln⁡5\displaystyle \ln(3^2+1)-\ln(2^2+1)=\ln10-\ln5
  5. Simplificăm diferența de logaritmi folosind proprietatea ln⁡a−ln⁡b=ln⁡(ab)\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\left(\dfrac{a}{b}\right).
    ln⁡10−ln⁡5=ln⁡105=ln⁡2\displaystyle \ln10-\ln5=\ln\frac{10}{5}=\ln2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫12exf(x) dx=e(ae−a+1)\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{e^x}{f(x)}\,dx=e(ae-a+1).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem expresia exf(x)\displaystyle \dfrac{e^{x}}{f(x)} folosind definiția funcției f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}: împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversul ei.
    exf(x)=ex⋅(x2+1)\displaystyle \frac{e^x}{f(x)}=e^x\cdot(x^2+1)
  2. Scriem integrala cerută și pregătim aplicarea metodei de integrare prin părți, alegând u=x2+1\displaystyle u=x^{2}+1 (se derivează) și dv=exdx\displaystyle dv=e^{x} dx (se integrează).
    ∫12exf(x) dx=∫12ex(x2+1) dx, unde u=x2+1\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{e^x}{f(x)}\,dx=\int_{1}^{2}e^x(x^2+1)\,dx\text{, unde }u=x^2+1,  du=2x dx\displaystyle \;du=2x\,dx,  dv=exdx\displaystyle \;dv=e^x dx,  v=ex\displaystyle \;v=e^x
  3. Aplicăm formula de integrare prin părți: ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du.
    ∫12ex(x2+1) dx=ex(x2+1)∣12−∫122xex dx\displaystyle \int_{1}^{2}e^x(x^2+1)\,dx=e^x(x^2+1)\Big|_{1}^{2}-\int_{1}^{2}2xe^x\,dx
  4. Calculăm termenul de frontieră ex(x2+1)\displaystyle e^{x}(x^{2}+1) la capetele intervalului: la x=2\displaystyle x=2 obținem e2⋅5=5e2\displaystyle e^{2}\cdot 5=5e^{2}, iar la x=1\displaystyle x=1 obținem e⋅2=2e\displaystyle e\cdot 2=2e.
    ex(x2+1)∣12=5e2−2e\displaystyle e^x(x^2+1)\Big|_{1}^{2}=5e^2-2e
  5. Pentru integrala rămasă ∫2xexdx\displaystyle \int 2xe^{x} dx aplicăm din nou integrarea prin părți, cu u=2x\displaystyle u=2x și dv=exdx\displaystyle dv=e^{x} dx, deci du=2dx\displaystyle du=2dx și v=ex\displaystyle v=e^{x}.
    ∫2xex dx=2xex−∫2ex dx=2xex−2ex\displaystyle \int 2xe^x\,dx=2xe^x-\int 2e^x\,dx=2xe^x-2e^x
  6. Evaluăm expresia 2xex−2ex\displaystyle 2xe^{x}-2e^{x} la limitele 1 și 2: la x=2\displaystyle x=2 obținem 4e2−2e2=2e2\displaystyle 4e^{2}-2e^{2}=2e^{2}, iar la x=1\displaystyle x=1 obținem 2e−2e=0\displaystyle 2e-2e=0.
    (2xex−2ex)∣12=2e2−0=2e2\displaystyle \left(2xe^x-2e^x\right)\Big|_{1}^{2}=2e^2-0=2e^2
  7. Substituim rezultatele obținute pentru cele două termene în formula integrării prin părți și simplificăm, obținând valoarea integralei date.
    ∫12exf(x) dx=5e2−2e−(2xex−2ex)∣12=5e2−2e−2e2=3e2−2e\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{e^x}{f(x)}\,dx=5e^2-2e-\left(2xe^x-2e^x\right)\Big|_{1}^{2}=5e^2-2e-2e^2=3e^2-2e
  8. Scriem rezultatul integralei sub forma e(3e−2)\displaystyle e(3e-2) și îl egalăm cu expresia dată e(ae−a+1)\displaystyle e(ae-a+1), apoi rezolvăm ecuația pentru a, simplificând cu e2−e\displaystyle e^{2}-e (care este nenul).
    e(3e−2)=e(ae−a+1), de unde obținem a=3\displaystyle e(3e-2)=e(ae-a+1)\text{, de unde obținem }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.