Bac matematică M3 tehnologic 2019, sesiunea a II-a rezervă varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 63+2(1−27)=2\displaystyle 6\sqrt{3}+2\left(1-\sqrt{27}\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem 27=9⋅3\displaystyle 27=9\cdot 3, deci 27=9⋅3=33\displaystyle \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}.
    27=33\displaystyle \sqrt{27}=3\sqrt{3}
  2. Înlocuim 27\displaystyle \sqrt{27} cu 33\displaystyle 3\sqrt{3} în expresie.
    63+2(1−27)=63+2(1−33)\displaystyle 6\sqrt{3}+2\left(1-\sqrt{27}\right)=6\sqrt{3}+2\left(1-3\sqrt{3}\right)
  3. Distribuim factorul 2\displaystyle 2: 2(1−33)=2−63\displaystyle 2\left(1-3\sqrt{3}\right)=2-6\sqrt{3}.
    63+2−63\displaystyle 6\sqrt{3}+2-6\sqrt{3}
  4. Termenii 63\displaystyle 6\sqrt{3} și −63\displaystyle -6\sqrt{3} se reduc, deci rămâne 2\displaystyle 2, adică egalitatea cerută.
    63+2−63=2\displaystyle 6\sqrt{3}+2-6\sqrt{3}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^2-4. Calculați f(0)⋅f(1)⋅f(2)\displaystyle f(0)\cdot f(1)\cdot f(2).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(0)\displaystyle f(0) înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în formula funcției: f(0)=02−4=−4\displaystyle f(0)=0^{2}-4=-4.
    f(0)=−4\displaystyle f(0)=-4
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1: f(1)=12−4=−3\displaystyle f(1)=1^{2}-4=-3.
    f(1)=−3\displaystyle f(1)=-3
  3. Calculăm f(2)\displaystyle f(2) înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2: f(2)=22−4=4−4=0\displaystyle f(2)=2^{2}-4=4-4=0.
    f(2)=0\displaystyle f(2)=0
  4. Înmulțim cele trei valori. Deoarece unul dintre factori este 0\displaystyle 0, produsul este 0\displaystyle 0, indiferent de ceilalți doi factori: f(0)⋅f(1)⋅f(2)=(−4)⋅(−3)⋅0=0\displaystyle f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)=(-4)\cdot(-3)\cdot 0=0.
    f(0)⋅f(1)⋅f(2)=(−4)⋅(−3)⋅0=0\displaystyle f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)=(-4)\cdot(-3)\cdot 0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(20x−6)=log⁡514\displaystyle \log_5(20x-6)=\log_5 14.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, adică 20x−6>0\displaystyle 20x-6>0, deci x>310\displaystyle x>\dfrac{3}{10}. Argumentul din dreapta, 14\displaystyle 14, este pozitiv.
    x>310\displaystyle x>\dfrac{3}{10}
  2. Logaritmul în baza 5\displaystyle 5 este injectiv, deci din egalitatea logaritmilor rezultă egalitatea argumentelor: 20x−6=14\displaystyle 20x-6=14.
    20x−6=14\displaystyle 20x-6=14
  3. Rezolvăm ecuația de gradul I: adunăm 6\displaystyle 6 la ambii membri, obținem 20x=20\displaystyle 20x=20, apoi împărțim la 20\displaystyle 20.
    20x=20⇒x=1\displaystyle 20x=20\Rightarrow x=1
  4. Verificăm condiția de existență: 1>310\displaystyle 1>\dfrac{3}{10}, deci soluția convine. Pentru x=1\displaystyle x=1, argumentul este 20⋅1−6=14>0\displaystyle 20\cdot 1-6=14>0.
    x=1, care convine\displaystyle x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 10%\displaystyle 10\%, un obiect costă 440\displaystyle 440 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al obiectului, în lei. Scumpirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă că prețul crește cu 10100⋅x\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot x.
    scumpirea=10100⋅x\displaystyle \text{scumpirea}=\dfrac{10}{100}\cdot x
  2. Prețul nou este prețul inițial plus scumpirea și este egal cu 440\displaystyle 440 de lei. Obținem ecuația procentuală.
    x+10100⋅x=440\displaystyle x+\dfrac{10}{100}\cdot x=440
  3. Reducem fracția și dăm factor comun pe x\displaystyle x: x+x10=11x10\displaystyle x+\dfrac{x}{10}=\dfrac{11x}{10}.
    11x10=440\displaystyle \dfrac{11x}{10}=440
  4. Înmulțim ambii membri cu 10\displaystyle 10 și apoi împărțim la 11\displaystyle 11: x=440011\displaystyle x=\dfrac{4400}{11}. Prețul inițial este 400\displaystyle 400 de lei.
    x=400 de lei\displaystyle x=400\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,4)\displaystyle A(3,4), B(0,6)\displaystyle B(0,6) și C(6,0)\displaystyle C(6,0). Calculați distanța de la punctul A\displaystyle A la mijlocul segmentului BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului BC\displaystyle BC. Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xB+xC2=0+62\displaystyle x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{0+6}{2} și yM=yB+yC2=6+02\displaystyle y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{6+0}{2}.
    xM=3\displaystyle x_M=3, yM=3\displaystyle \ y_M=3
  2. Rezultă că mijlocul segmentului BC\displaystyle BC este punctul M(3,3)\displaystyle M(3,3).
    M(3,3)\displaystyle M(3,3)
  3. Aplicăm formula distanței dintre punctele A(3,4)\displaystyle A(3,4) și M(3,3)\displaystyle M(3,3): AM=(xA−xM)2+(yA−yM)2=(3−3)2+(4−3)2\displaystyle AM=\sqrt{(x_A-x_M)^{2}+(y_A-y_M)^{2}}=\sqrt{(3-3)^{2}+(4-3)^{2}}.
    AM=02+12=1\displaystyle AM=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=\sqrt{1}
  4. Calculăm rădăcina: distanța de la A\displaystyle A la mijlocul segmentului BC\displaystyle BC este AM=1\displaystyle AM=1.
    AM=1\displaystyle AM=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că cos⁡30∘1+sin⁡30∘=tg⁡30∘\displaystyle \frac{\cos 30^\circ}{1+\sin 30^\circ}=\operatorname{tg}30^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem valorile unghiului remarcabil de 30∘\displaystyle 30^\circ: cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, iar tg⁡30∘=33\displaystyle \operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
    cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \ \sin 30^\circ=\frac{1}{2}, tg⁡30∘=33\displaystyle \ \operatorname{tg}30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}
  2. Înlocuim valorile în fracția din membrul stâng: cos⁡30∘1+sin⁡30∘\displaystyle \dfrac{\cos 30^\circ}{1+\sin 30^\circ}.
    cos⁡30∘1+sin⁡30∘=321+12\displaystyle \frac{\cos 30^\circ}{1+\sin 30^\circ}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{1}{2}}
  3. Calculăm numitorul: 1+12=32\displaystyle 1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}.
    1+12=32\displaystyle 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}
  4. Împărțirea la 32\displaystyle \dfrac{3}{2} înseamnă înmulțire cu inversul, adică 23\displaystyle \dfrac{2}{3}. Simplificăm cu 2\displaystyle 2 și obținem 33\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{3}, adică exact tg⁡30∘\displaystyle \operatorname{tg}30^\circ.
    32⋅23=33=tg⁡30∘\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\operatorname{tg}30^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele M=(−12−6−9)\displaystyle M=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ -6 & -9\end{pmatrix} și A(a)=(a+1a+2a−2a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1 & a+2\\ a-2 & a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡M=21\displaystyle \det M=21.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordin doi: ∣abcd∣=a⋅d−c⋅b\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=a\cdot d-c\cdot b. Matricea M\displaystyle M are pe prima linie −1\displaystyle -1 și 2\displaystyle 2, iar pe a doua linie −6\displaystyle -6 și −9\displaystyle -9.
    det⁡M=∣−12−6−9∣\displaystyle \det M=\begin{vmatrix}-1 & 2\\ -6 & -9\end{vmatrix}
  2. Înlocuim elementele matricei M\displaystyle M în formulă: produsul elementelor de pe diagonala principală, (−1)⋅(−9)\displaystyle (-1)\cdot(-9), minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală, (−6)⋅2\displaystyle (-6)\cdot 2.
    det⁡M=(−1)⋅(−9)−(−6)⋅2\displaystyle \det M=(-1)\cdot(-9)-(-6)\cdot 2
  3. Calculăm produsele: (−1)⋅(−9)=9\displaystyle (-1)\cdot(-9)=9, iar (−6)⋅2=−12\displaystyle (-6)\cdot 2=-12. Scăzând un număr negativ, obținem 9−(−12)=9+12=21\displaystyle 9-(-12)=9+12=21.
    det⁡M=9+12=21\displaystyle \det M=9+12=21
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele M=(−12−6−9)\displaystyle M=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ -6 & -9\end{pmatrix} și A(a)=(a+1a+2a−2a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1 & a+2\\ a-2 & a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(−a)+A(a)=2A(0)\displaystyle A(-a)+A(a)=2A(0), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Avem A(a)=(a+1a+2a−2a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1 & a+2\\ a-2 & a+1\end{pmatrix}. Înlocuim a\displaystyle a cu −a\displaystyle -a în fiecare element.
    A(−a)=(−a+1−a+2−a−2−a+1)\displaystyle A(-a)=\begin{pmatrix}-a+1 & -a+2\\ -a-2 & -a+1\end{pmatrix}
  2. Adunăm A(−a)\displaystyle A(-a) și A(a)\displaystyle A(a) element cu element: A(−a)+A(a)=(−a+1−a+2−a−2−a+1)+(a+1a+2a−2a+1)\displaystyle A(-a)+A(a)=\begin{pmatrix}-a+1 & -a+2\\ -a-2 & -a+1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a+1 & a+2\\ a-2 & a+1\end{pmatrix}.
    ((−a+1)+(a+1)(−a+2)+(a+2)(−a−2)+(a−2)(−a+1)+(a+1))\displaystyle \begin{pmatrix}(-a+1)+(a+1) & (-a+2)+(a+2)\\ (-a-2)+(a-2) & (-a+1)+(a+1)\end{pmatrix}
  3. Termenii cu a\displaystyle a se reduc: −a+a=0\displaystyle -a+a=0. Rămân doar termenii liberi: 1+1=2\displaystyle 1+1=2, 2+2=4\displaystyle 2+2=4, −2−2=−4\displaystyle -2-2=-4.
    A(−a)+A(a)=(24−42)\displaystyle A(-a)+A(a)=\begin{pmatrix}2 & 4\\ -4 & 2\end{pmatrix}
  4. Pentru a=0\displaystyle a=0 obținem A(0)=(0+10+20−20+1)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0+1 & 0+2\\ 0-2 & 0+1\end{pmatrix}.
    A(0)=(12−21)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 1\end{pmatrix}
  5. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 din fiecare element: (24−42)=2(12−21)=2A(0)\displaystyle \begin{pmatrix}2 & 4\\ -4 & 2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 1\end{pmatrix}=2A(0). Rezultatul nu depinde de a\displaystyle a, deci egalitatea este adevărată pentru orice a\displaystyle a real.
    A(−a)+A(a)=2(12−21)=2A(0), pentru orice numa˘r real a\displaystyle A(-a)+A(a)=2\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 1\end{pmatrix}=2A(0)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele M=(−12−6−9)\displaystyle M=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ -6 & -9\end{pmatrix} și A(a)=(a+1a+2a−2a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1 & a+2\\ a-2 & a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b pentru care A(a)⋅A(b)=M\displaystyle A(a)\cdot A(b)=M.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b), element cu element, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Elementul din stânga sus este (a+1)(b+1)+(a+2)(b−2)=2ab−a+3b−3\displaystyle (a+1)(b+1)+(a+2)(b-2)=2ab-a+3b-3, iar cel din dreapta sus este (a+1)(b+2)+(a+2)(b+1)=2ab+3a+3b+4\displaystyle (a+1)(b+2)+(a+2)(b+1)=2ab+3a+3b+4.
    (2ab−a+3b−32ab+3a+3b+4)\displaystyle \begin{pmatrix}2ab-a+3b-3 & 2ab+3a+3b+4\end{pmatrix}
  2. Analog, elementul din stânga jos este (a−2)(b+1)+(a+1)(b−2)=2ab−a−b−4\displaystyle (a-2)(b+1)+(a+1)(b-2)=2ab-a-b-4, iar cel din dreapta jos este (a−2)(b+2)+(a+1)(b+1)=2ab+3a−b−3\displaystyle (a-2)(b+2)+(a+1)(b+1)=2ab+3a-b-3. Egalăm matricea produs cu M\displaystyle M.
    (2ab−a+3b−32ab+3a+3b+42ab−a−b−42ab−b+3a−3)=(−12−6−9)\displaystyle \begin{pmatrix}2ab-a+3b-3 & 2ab+3a+3b+4\\ 2ab-a-b-4 & 2ab-b+3a-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ -6 & -9\end{pmatrix}
  3. Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Obținem un sistem de patru ecuații, în care mutăm numerele în membrul drept.
    {2ab−a+3b=22ab+3a+3b=−22ab−a−b=−22ab+3a−b=−6\displaystyle \begin{cases}2ab-a+3b=2\\ 2ab+3a+3b=-2\\ 2ab-a-b=-2\\ 2ab+3a-b=-6\end{cases}
  4. Scădem prima ecuație din a doua: termenii 2ab\displaystyle 2ab și 3b\displaystyle 3b se reduc, rămâne 4a=−4\displaystyle 4a=-4, deci a=−1\displaystyle a=-1. (Scăderea ecuației a treia din a patra dă același rezultat.)
    4a=−4⇒a=−1\displaystyle 4a=-4\Rightarrow a=-1
  5. Scădem a treia ecuație din prima: termenii 2ab\displaystyle 2ab și −a\displaystyle -a se reduc, rămâne 4b=4\displaystyle 4b=4, deci b=1\displaystyle b=1.
    4b=4⇒b=1\displaystyle 4b=4\Rightarrow b=1
  6. Verificăm în sistem: pentru a=−1\displaystyle a=-1 și b=1\displaystyle b=1 avem 2ab=−2\displaystyle 2ab=-2. Prima ecuație: −2+1+3=2\displaystyle -2+1+3=2. A doua: −2−3+3=−2\displaystyle -2-3+3=-2. A treia: −2+1−1=−2\displaystyle -2+1-1=-2. A patra: −2−3−1=−6\displaystyle -2-3-1=-6. Toate se verifică, deci a=−1\displaystyle a=-1 și b=1\displaystyle b=1.
    a=−1\displaystyle a=-1, b=1\displaystyle \ b=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2(x+y)−xy2\displaystyle x\circ y=2(x+y)-\frac{xy}{2}.

Arătați că 2∘(−2)=2\displaystyle 2\circ(-2)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∘y=2(x+y)−xy2\displaystyle x\circ y=2(x+y)-\dfrac{xy}{2}. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=−2\displaystyle y=-2.
    2∘(−2)=2(2+(−2))−2⋅(−2)2\displaystyle 2\circ(-2)=2\bigl(2+(-2)\bigr)-\dfrac{2\cdot(-2)}{2}
  2. Calculăm suma din paranteză: 2+(−2)=0\displaystyle 2+(-2)=0, deci primul termen este 2⋅0=0\displaystyle 2\cdot 0=0.
    2⋅0=0\displaystyle 2\cdot 0=0
  3. Calculăm fracția: 2⋅(−2)=−4\displaystyle 2\cdot(-2)=-4, iar −42=−2\displaystyle \dfrac{-4}{2}=-2.
    2⋅(−2)2=−2\displaystyle \dfrac{2\cdot(-2)}{2}=-2
  4. Scădem: 0−(−2)=2\displaystyle 0-(-2)=2. Deci 2∘(−2)=2\displaystyle 2\circ(-2)=2, ceea ce trebuia arătat.
    2∘(−2)=0−(−2)=2\displaystyle 2\circ(-2)=0-(-2)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2(x+y)−xy2\displaystyle x\circ y=2(x+y)-\frac{xy}{2}.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n pentru care n∘1n=92\displaystyle n\circ\frac{1}{n}=\frac{9}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru x=n\displaystyle x=n și y=1n\displaystyle y=\dfrac{1}{n}. Obținem n∘1n=2(n+1n)−n⋅1n2\displaystyle n\circ\dfrac{1}{n}=2\left(n+\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{n\cdot\frac{1}{n}}{2}.
    n∘1n=2(n+1n)−n⋅1n2\displaystyle n\circ\frac{1}{n}=2\left(n+\frac{1}{n}\right)-\frac{n\cdot\frac{1}{n}}{2}
  2. Simplificăm produsul n⋅1n=1\displaystyle n\cdot\dfrac{1}{n}=1, deci al doilea termen devine 12\displaystyle \dfrac{1}{2}. Ecuația este 2(n+1n)−12=92\displaystyle 2\left(n+\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{2}.
    2(n+1n)−12=92\displaystyle 2\left(n+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}
  3. Adunăm 12\displaystyle \dfrac{1}{2} în ambii membri: 2(n+1n)=5\displaystyle 2\left(n+\dfrac{1}{n}\right)=5. Împărțim la 2 și obținem n+1n=52\displaystyle n+\dfrac{1}{n}=\dfrac{5}{2}.
    n+1n=52\displaystyle n+\frac{1}{n}=\frac{5}{2}
  4. Înmulțim cu 2n\displaystyle 2n (n este nenul) și aducem la forma ecuației de gradul al doilea: 2n2+2=5n\displaystyle 2n^{2}+2=5n, adică 2n2−5n+2=0\displaystyle 2n^{2}-5n+2=0.
    2n2−5n+2=0\displaystyle 2n^{2}-5n+2=0
  5. Calculăm discriminantul: Δ=25−16=9\displaystyle \Delta=25-16=9, deci n=5±34\displaystyle n=\dfrac{5\pm 3}{4}. Rezultă n=2\displaystyle n=2 sau n=12\displaystyle n=\dfrac{1}{2}.
    n=2 sau n=12\displaystyle n=2\text{ sau }n=\frac{1}{2}
  6. Numărul n\displaystyle n trebuie să fie natural nenul, deci 12\displaystyle \dfrac{1}{2} nu convine. Rămâne n=2\displaystyle n=2.
    n=2\displaystyle n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2(x+y)−xy2\displaystyle x\circ y=2(x+y)-\frac{xy}{2}.

Determinați numărul real y\displaystyle y astfel încât x∘y=8\displaystyle x\circ y=8, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția cerută: egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Înlocuim legea de compoziție în x∘y=8\displaystyle x\circ y=8.
    2(x+y)−xy2=8\displaystyle 2(x+y)-\frac{xy}{2}=8
  2. Înmulțim ecuația cu 2\displaystyle 2 ca să scăpăm de numitor: 4(x+y)−xy=16\displaystyle 4(x+y)-xy=16. Mutăm toți termenii în partea stângă.
    4x+4y−xy−16=0\displaystyle 4x+4y-xy-16=0
  3. Grupăm termenii: 4x−xy=x(4−y)\displaystyle 4x-xy=x(4-y) și 4y−16=−4(4−y)\displaystyle 4y-16=-4(4-y). Scoatem factorul comun 4−y\displaystyle 4-y.
    (x−4)(4−y)=0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle (x-4)(4-y)=0\text{, pentru orice număr real }x
  4. Produsul trebuie să fie nul pentru orice x\displaystyle x real. Factorul x−4\displaystyle x-4 nu este nul pentru orice x\displaystyle x (de exemplu, pentru x=0\displaystyle x=0 este −4≠0\displaystyle -4\neq 0), deci factorul care nu depinde de x\displaystyle x trebuie să fie nul: 4−y=0\displaystyle 4-y=0.
    4−y=0\displaystyle 4-y=0
  5. Din 4−y=0\displaystyle 4-y=0 obținem valoarea lui y\displaystyle y.
    y=4\displaystyle y=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+4\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+4}.

Arătați că f′(x)=(2−x)(2+x)(x2+4)2\displaystyle f'(x)=\frac{(2-x)(2+x)}{\left(x^2+4\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, cu u(x)=x\displaystyle u(x)=x și v(x)=x2+4\displaystyle v(x)=x^{2}+4. Folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=x′⋅(x2+4)−x⋅(x2+4)′(x2+4)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x'\cdot\left(x^{2}+4\right)-x\cdot\left(x^{2}+4\right)'}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: x′=1\displaystyle x'=1 și (x2+4)′=2x\displaystyle \left(x^{2}+4\right)'=2x. Le înlocuim în formulă.
    f′(x)=x2+4−x⋅2x(x2+4)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+4-x\cdot 2x}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}
  3. Reducem termenii de la numărător: x2+4−2x2=4−x2\displaystyle x^{2}+4-2x^{2}=4-x^{2}.
    f′(x)=4−x2(x2+4)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{4-x^{2}}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}
  4. Scriem 4−x2=22−x2=(2−x)(2+x)\displaystyle 4-x^{2}=2^{2}-x^{2}=(2-x)(2+x), diferență de pătrate. Egalitatea are loc pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deoarece x2+4>0\displaystyle x^{2}+4>0.
    f′(x)=(2−x)(2+x)(x2+4)2, x∈R\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2-x)(2+x)}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+4\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+4}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞\displaystyle -\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre −∞\displaystyle -\infty are ecuația y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to-\infty}f(x), dacă această limită există și este finită. Scriem limita de calculat: lim⁡x→−∞xx2+4\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{x^{2}+4}.
    L=lim⁡x→−∞xx2+4\displaystyle L=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{x^{2}+4}
  2. Limita are forma −∞∞\displaystyle \dfrac{-\infty}{\infty}. La numitor dăm factor comun x2\displaystyle x^{2}: x2+4=x2(1+4x2)\displaystyle x^{2}+4=x^{2}\left(1+\dfrac{4}{x^{2}}\right). Simplificăm fracția prin x\displaystyle x, care este nenul când x→−∞\displaystyle x\to-\infty.
    lim⁡x→−∞xx2(1+4x2)=lim⁡x→−∞1x(1+4x2)\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x}{x^{2}\left(1+\frac{4}{x^{2}}\right)}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x\left(1+\frac{4}{x^{2}}\right)}
  3. Când x→−∞\displaystyle x\to-\infty, avem 4x2→0\displaystyle \dfrac{4}{x^{2}}\to 0, deci paranteza tinde la 1\displaystyle 1, iar x→−∞\displaystyle x\to-\infty. Numitorul are modulul tot mai mare, deci fracția tinde la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞1x(1+4x2)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x\left(1+\frac{4}{x^{2}}\right)}=0
  4. Limita la −∞\displaystyle -\infty este finită și egală cu 0\displaystyle 0, deci graficul funcției f\displaystyle f are spre −∞\displaystyle -\infty asimptota orizontală de ecuație y=0\displaystyle y=0.
    y=0\displaystyle y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+4\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+4}.

Determinați mulțimea valorilor funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este definită pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece x2+4>0\displaystyle x^{2}+4>0 pentru orice x\displaystyle x. Calculăm derivata cu formula derivatei unui cât.
    f′(x)=1⋅(x2+4)−x⋅2x(x2+4)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^{2}+4)-x\cdot 2x}{(x^{2}+4)^{2}}
  2. Simplificăm numărătorul derivatei: x2+4−2x2=4−x2\displaystyle x^{2}+4-2x^{2}=4-x^{2}.
    f′(x)=4−x2(x2+4)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{4-x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}}
  3. Numitorul este mereu pozitiv, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de 4−x2\displaystyle 4-x^{2}, cu rădăcinile −2\displaystyle -2 și 2\displaystyle 2. Avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pe (−∞,−2)\displaystyle (-\infty,-2), f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pe (−2,2)\displaystyle (-2,2) și f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty). Rezultă monotonia funcției f\displaystyle f.
    f descresca˘toare pe (−∞,−2]\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,-2], f cresca˘toare pe [−2,2]\displaystyle \ f\text{ crescătoare pe }[-2,2], f descresca˘toare pe [2,+∞)\displaystyle \ f\text{ descrescătoare pe }[2,+\infty)
  4. Calculăm valorile funcției în punctele de extrem: f(−2)=−24+4\displaystyle f(-2)=\dfrac{-2}{4+4} și f(2)=24+4\displaystyle f(2)=\dfrac{2}{4+4}.
    f(−2)=−14\displaystyle f(-2)=-\dfrac{1}{4},f(2)=14\displaystyle \quad f(2)=\dfrac{1}{4}
  5. Calculăm limitele la ±∞\displaystyle \pm\infty. Gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului, deci ambele limite sunt 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0,lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle \quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0
  6. Pe (−∞,−2]\displaystyle (-\infty,-2] funcția ia valori între −14\displaystyle -\dfrac{1}{4} și 0\displaystyle 0. Pe [−2,2]\displaystyle [-2,2] crește continuu de la −14\displaystyle -\dfrac{1}{4} la 14\displaystyle \dfrac{1}{4} și ia toate valorile dintre ele. Pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty) scade de la 14\displaystyle \dfrac{1}{4} spre 0\displaystyle 0. Reunind, minimul este −14\displaystyle -\dfrac{1}{4}, maximul este 14\displaystyle \dfrac{1}{4}, iar mulțimea valorilor este un interval.
    f(R)=[−14,14]\displaystyle f(\mathbb{R})=\left[-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+1−1x+2\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}.

Arătați că ∫02x(x+1)(f(x)+1x+2)dx=2\displaystyle \int_0^2 x(x+1)\left(f(x)+\frac{1}{x+2}\right)dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia dată și observăm că în paranteză termenii 1x+2\displaystyle \dfrac{1}{x+2} se reduc: f(x)+1x+2=1x+1−1x+2+1x+2=1x+1\displaystyle f(x)+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{x+1}.
    f(x)+1x+2=1x+1\displaystyle f(x)+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{x+1}
  2. Înlocuim în integrală și simplificăm factorul x+1\displaystyle x+1, care este nenul pe intervalul [0,2]\displaystyle [0,2]. Rămâne integrala lui x\displaystyle x de la 0\displaystyle 0 la 2\displaystyle 2.
    ∫02x(x+1)(f(x)+1x+2)dx=∫02x(x+1)⋅1x+1 dx=∫02x dx\displaystyle \int_0^2 x(x+1)\left(f(x)+\frac{1}{x+2}\right)dx=\int_0^2 x(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}\,dx=\int_0^2 x\,dx
  3. Calculăm integrala folosind primitiva x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2} a funcției x\displaystyle x, apoi aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea la 2\displaystyle 2 minus valoarea la 0\displaystyle 0.
    ∫02x dx=x22∣02=222−022=2−0=2\displaystyle \int_0^2 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_0^2=\frac{2^2}{2}-\frac{0^2}{2}=2-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+1−1x+2\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}.

Arătați că ∫01x f(x) dx=ln⁡98\displaystyle \int_0^1 x\,f(x)\,dx=\ln\frac{9}{8}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1x+1−1x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2} în integrală și înmulțim cu x\displaystyle x fiecare fracție.
    ∫01xf(x) dx=∫01(xx+1−xx+2)dx\displaystyle \int_0^1 x f(x)\,dx=\int_0^1\left(\frac{x}{x+1}-\frac{x}{x+2}\right)dx
  2. Scriem xx+1=(x+1)−1x+1=1−1x+1\displaystyle \dfrac{x}{x+1}=\dfrac{(x+1)-1}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1} și xx+2=(x+2)−2x+2=1−2x+2\displaystyle \dfrac{x}{x+2}=\dfrac{(x+2)-2}{x+2}=1-\dfrac{2}{x+2}.
    xx+1=1−1x+1\displaystyle \frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1},xx+2=1−2x+2\displaystyle \quad \frac{x}{x+2}=1-\frac{2}{x+2}
  3. Înlocuim în integrală; termenii 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1 se reduc, iar −(−2x+2)=+2x+2\displaystyle -\left(-\dfrac{2}{x+2}\right)=+\dfrac{2}{x+2}.
    ∫01(1−1x+1−1+2x+2)dx=∫01(−1x+1+2x+2)dx\displaystyle \int_0^1\left(1-\frac{1}{x+1}-1+\frac{2}{x+2}\right)dx=\int_0^1\left(-\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}\right)dx
  4. O primitivă a lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), iar a lui 1x+2\displaystyle \dfrac{1}{x+2} este ln⁡(x+2)\displaystyle \ln(x+2), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 și x+2>0\displaystyle x+2>0 pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    F(x)=−ln⁡(x+1)+2ln⁡(x+2)\displaystyle F(x)=-\ln(x+1)+2\ln(x+2)
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: F(1)−F(0)=(−ln⁡2+2ln⁡3)−(−ln⁡1+2ln⁡2)\displaystyle F(1)-F(0)=\left(-\ln 2+2\ln 3\right)-\left(-\ln 1+2\ln 2\right), iar ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    (−ln⁡2+2ln⁡3)−2ln⁡2=2ln⁡3−3ln⁡2\displaystyle \left(-\ln 2+2\ln 3\right)-2\ln 2=2\ln 3-3\ln 2
  6. Folosim 2ln⁡3=ln⁡9\displaystyle 2\ln 3=\ln 9 și 3ln⁡2=ln⁡8\displaystyle 3\ln 2=\ln 8, deci diferența devine ln⁡9−ln⁡8=ln⁡98\displaystyle \ln 9-\ln 8=\ln\dfrac{9}{8}, ceea ce trebuia arătat.
    (−ln⁡(x+1)+2ln⁡(x+2))∣01=2ln⁡3−3ln⁡2=ln⁡98\displaystyle \left(-\ln(x+1)+2\ln(x+2)\right)\Big|_0^1=2\ln 3-3\ln 2=\ln\frac{9}{8}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+1−1x+2\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}.

Determinați numărul natural p\displaystyle p, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1 are aria egală cu ln⁡(p2+13)\displaystyle \ln\left(p^2+\frac{1}{3}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Aducem fracțiile la același numitor: f(x)=(x+2)−(x+1)(x+1)(x+2)=1(x+1)(x+2)\displaystyle f(x)=\dfrac{(x+2)-(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] numitorul este pozitiv, deci f(x)>0\displaystyle f(x)>0 și ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x).
    f(x)=1(x+1)(x+2)>0 pe [0,1]\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}>0\text{ pe }[0,1]
  2. Aria suprafeței delimitate de grafic, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele x=0\displaystyle x=0, x=1\displaystyle x=1 este integrala lui ∣f∣\displaystyle |f|, adică a lui f\displaystyle f.
    A=∫01(1x+1−1x+2)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1\left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}\right)dx
  3. O primitivă a lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), iar a lui 1x+2\displaystyle \dfrac{1}{x+2} este ln⁡(x+2)\displaystyle \ln(x+2), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 și x+2>0\displaystyle x+2>0. Aplicăm formula Leibniz-Newton: A=(ln⁡(x+1)−ln⁡(x+2))∣01=(ln⁡2−ln⁡3)−(ln⁡1−ln⁡2)\displaystyle \mathcal{A}=\left(\ln(x+1)-\ln(x+2)\right)\Big|_0^1=(\ln 2-\ln 3)-(\ln 1-\ln 2).
    A=(ln⁡2−ln⁡3)−(0−ln⁡2)=2ln⁡2−ln⁡3\displaystyle \mathcal{A}=(\ln 2-\ln 3)-(0-\ln 2)=2\ln 2-\ln 3
  4. Folosim 2ln⁡2=ln⁡4\displaystyle 2\ln 2=\ln 4 și ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}, deci aria este ln⁡4−ln⁡3\displaystyle \ln 4-\ln 3.
    A=ln⁡43\displaystyle \mathcal{A}=\ln\dfrac{4}{3}
  5. Din enunț, aria este ln⁡(p2+13)\displaystyle \ln\left(p^2+\dfrac{1}{3}\right). Deoarece funcția ln⁡\displaystyle \ln este injectivă, egalitatea logaritmilor implică egalitatea argumentelor.
    ln⁡(p2+13)=ln⁡43⇔p2+13=43\displaystyle \ln\left(p^2+\dfrac{1}{3}\right)=\ln\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow p^2+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}
  6. Scădem 13\displaystyle \dfrac{1}{3} din ambii membri și obținem p2=1\displaystyle p^2=1, deci p=±1\displaystyle p=\pm 1. Cum p\displaystyle p este număr natural, rămâne p=1\displaystyle p=1.
    p2−1=0, deci p=1\displaystyle p^2-1=0\text{, deci }p=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.