Bac matematică M3 tehnologic 2014, sesiunea a II-a rezervă varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1+2)2−22=3\displaystyle \left(1+\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{2}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula pătratului unei sume, (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, cu a=1\displaystyle a=1 și b=2\displaystyle b=\sqrt{2}.
    (1+2)2=12+2⋅1⋅2+(2)2\displaystyle \left(1+\sqrt{2}\right)^2=1^2+2\cdot 1\cdot\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2
  2. Calculăm: 12=1\displaystyle 1^2=1 și (2)2=2\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^2=2. Deci 1+2=3\displaystyle 1+2=3, iar termenul din mijloc rămâne 22\displaystyle 2\sqrt{2}.
    (1+2)2=3+22\displaystyle \left(1+\sqrt{2}\right)^2=3+2\sqrt{2}
  3. Înlocuim în expresia dată: 3+22−22\displaystyle 3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}. Termenii 22\displaystyle 2\sqrt{2} și −22\displaystyle -2\sqrt{2} se reduc, deci rămâne 3\displaystyle 3, ceea ce trebuia demonstrat.
    3+22−22=3\displaystyle 3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−1\displaystyle f(x)=x-1 cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct de pe axa Ox\displaystyle Ox are ordonata egală cu 0\displaystyle 0. Deci punctul de intersecție cu graficul are ordonata 0\displaystyle 0, adică f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    f(x)=0\displaystyle f(x)=0
  2. Înlocuim expresia funcției f(x)=x−1\displaystyle f(x)=x-1 în ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 și obținem ecuația x−1=0\displaystyle x-1=0.
    x−1=0\displaystyle x-1=0
  3. Rezolvăm ecuația: adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri și obținem x=1\displaystyle x=1. Ordonata punctului este 0\displaystyle 0, deci punctul de intersecție are coordonatele (1,0)\displaystyle (1,0).
    x=1 și y=0\displaystyle x=1\text{ și }y=0, adica˘ (1,0)\displaystyle \text{ adică }(1,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+1=32\displaystyle 3^{x+1}=3^2.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că ambele părți ale ecuației 3x+1=32\displaystyle 3^{x+1}=3^{2} sunt puteri ale lui 3\displaystyle 3. Funcția exponențială cu baza 3\displaystyle 3 este injectivă, deci putem egala exponenții.
    3x+1=32\displaystyle 3^{x+1}=3^{2}
  2. Bazele fiind egale, egalăm exponenții: x+1=2\displaystyle x+1=2.
    x+1=2\displaystyle x+1=2
  3. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri: x=2−1\displaystyle x=2-1, deci x=1\displaystyle x=1, care este număr real.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie divizor al lui 8\displaystyle 8.
Vezi rezolvarea
  1. Probabilitatea se calculează cu formula p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}. Mulțimea numerelor naturale de o cifră este {0,1,2,…,9}\displaystyle \{0,1,2,\ldots,9\}.
    {0,1,2,…,9}\displaystyle \{0,1,2,\ldots,9\}
  2. Divizorii naturali ai lui 8\displaystyle 8 sunt 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2, 4\displaystyle 4 și 8\displaystyle 8. Toți au o singură cifră, deci toți sunt cazuri favorabile. Sunt 4\displaystyle 4 cazuri favorabile.
    4 cazuri favorabile\displaystyle 4\text{ cazuri favorabile}
  3. Numerele naturale de o cifră sunt de la 0\displaystyle 0 la 9\displaystyle 9, deci sunt 10\displaystyle 10 cazuri posibile.
    10 cazuri posibile\displaystyle 10\text{ cazuri posibile}
  4. Aplicăm formula probabilității și simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2.
    p=410=25\displaystyle p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,1)\displaystyle A(1,1), B(3,1)\displaystyle B(3,1) și C(3,3)\displaystyle C(3,3). Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre punctele M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2): MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Pentru A(1,1)\displaystyle A(1,1) și B(3,1)\displaystyle B(3,1) avem AB=(3−1)2+(1−1)2=4+0=2\displaystyle AB=\sqrt{(3-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{4+0}=2.
    AB=(3−1)2+(1−1)2=4=2\displaystyle AB=\sqrt{(3-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{4}=2
  3. Pentru B(3,1)\displaystyle B(3,1) și C(3,3)\displaystyle C(3,3) avem BC=(3−3)2+(3−1)2=0+4=2\displaystyle BC=\sqrt{(3-3)^2+(3-1)^2}=\sqrt{0+4}=2.
    BC=(3−3)2+(3−1)2=4=2\displaystyle BC=\sqrt{(3-3)^2+(3-1)^2}=\sqrt{4}=2
  4. Cum AB=BC=2\displaystyle AB=BC=2, triunghiul ABC\displaystyle ABC are două laturi egale, deci este isoscel, cu vârful în B\displaystyle B.
    BC=2⇒AB=BC, deci ΔABC este isoscel\displaystyle BC=2\Rightarrow AB=BC\text{, deci }\Delta ABC\text{ este isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați lungimea laturii AB\displaystyle AB a triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, știind că BC=10\displaystyle BC=10 și m(∠C)=30∘\displaystyle m(\angle C)=30^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC=10\displaystyle BC=10. Față de unghiul C\displaystyle C, cateta opusă este AB\displaystyle AB.
    BC=10 (ipotenuza)\displaystyle BC=10\text{ (ipotenuza)}, AB (cateta opusa˘ lui C)\displaystyle \ AB\text{ (cateta opusă lui }C\text{)}
  2. Sinusul unghiului C\displaystyle C este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză. Scriem această relație pentru unghiul de 30∘\displaystyle 30^\circ.
    sin⁡30∘=AB10\displaystyle \sin 30^\circ=\frac{AB}{10}
  3. Știm că sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}. Înlocuim în relație și obținem o ecuație în AB\displaystyle AB.
    12=AB10\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{AB}{10}
  4. Înmulțim ambii membri cu 10\displaystyle 10 și aflăm lungimea laturii AB\displaystyle AB.
    AB=102=5\displaystyle AB=\frac{10}{2}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(a183)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a & 1\\ 8 & 3\end{pmatrix} și B=(1183)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 8 & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr întreg.

Arătați că det⁡B=−5\displaystyle \det B=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei B\displaystyle B, cu elementele ei: det⁡B=∣1183∣\displaystyle \det B=\begin{vmatrix}1 & 1\\ 8 & 3\end{vmatrix}.
    det⁡B=∣1183∣\displaystyle \det B=\begin{vmatrix}1 & 1\\ 8 & 3\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula pentru determinantul de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Diagonala principală dă 1⋅3\displaystyle 1\cdot 3, iar cea secundară dă 1⋅8\displaystyle 1\cdot 8.
    det⁡B=1⋅3−1⋅8\displaystyle \det B=1\cdot 3-1\cdot 8
  3. Efectuăm calculele: 3−8=−5\displaystyle 3-8=-5, deci det⁡B=−5\displaystyle \det B=-5, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡B=3−8=−5\displaystyle \det B=3-8=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(a183)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a & 1\\ 8 & 3\end{pmatrix} și B=(1183)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 8 & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr întreg.

Arătați că det⁡A≠0\displaystyle \det A\neq 0 pentru orice număr întreg a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, cu elementele de pe linii: a\displaystyle a și 1\displaystyle 1, respectiv 8\displaystyle 8 și 3\displaystyle 3.
    det⁡A=∣a183∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}a & 1\\ 8 & 3\end{vmatrix}
  2. Calculăm determinantul de ordinul 2\displaystyle 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică a⋅3−1⋅8\displaystyle a\cdot 3-1\cdot 8.
    det⁡A=3a−8\displaystyle \det A=3a-8
  3. Presupunem prin absurd că det⁡A=0\displaystyle \det A=0. Atunci 3a−8=0\displaystyle 3a-8=0, deci 3a=8\displaystyle 3a=8, adică a=83\displaystyle a=\dfrac{8}{3}.
    a=83\displaystyle a=\dfrac{8}{3}
  4. Numărul 83\displaystyle \dfrac{8}{3} nu este întreg, deoarece 8\displaystyle 8 nu se împarte exact la 3\displaystyle 3. Aceasta contrazice faptul că a\displaystyle a este întreg, deci 3a−8\displaystyle 3a-8 nu poate fi zero. Prin urmare det⁡A≠0\displaystyle \det A\neq 0 pentru orice a\displaystyle a întreg.
    a∈Z⇒3a−8≠0, deci det⁡A≠0\displaystyle a\in\mathbb{Z}\Rightarrow 3a-8\neq 0\text{, deci }\det A\neq 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(a183)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a & 1\\ 8 & 3\end{pmatrix} și B=(1183)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 8 & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr întreg.

Determinați numărul întreg a\displaystyle a știind că inversa matricei A\displaystyle A are toate elementele numere întregi.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A\displaystyle A: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡A=a⋅3−1⋅8\displaystyle \det A=a\cdot 3-1\cdot 8.
    det⁡A=3a−8\displaystyle \det A=3a-8
  2. Matricea A\displaystyle A este inversabilă doar dacă det⁡A≠0\displaystyle \det A\neq 0. Aplicăm formula inversei: schimbăm între ele elementele de pe diagonala principală, schimbăm semnul celor de pe diagonala secundară și împărțim la determinant.
    A−1=13a−8(3−1−8a)\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{3a-8}\begin{pmatrix}3 & -1\\ -8 & a\end{pmatrix}
  3. Elementele inversei sunt 33a−8\displaystyle \dfrac{3}{3a-8}, −13a−8\displaystyle -\dfrac{1}{3a-8}, −83a−8\displaystyle -\dfrac{8}{3a-8} și a3a−8\displaystyle \dfrac{a}{3a-8}. Pentru ca −13a−8\displaystyle -\dfrac{1}{3a-8} să fie întreg, numărul întreg 3a−8\displaystyle 3a-8 trebuie să dividă pe 1\displaystyle 1, deci este 1\displaystyle 1 sau −1\displaystyle -1.
    3a−8∈{−1, 1}\displaystyle 3a-8\in\{-1,\,1\}
  4. Cazul 3a−8=−1\displaystyle 3a-8=-1: obținem 3a=7\displaystyle 3a=7, deci a=73\displaystyle a=\dfrac{7}{3}, care nu este număr întreg, așa că acest caz nu convine.
    3a−8=−1⇒a=73 nu este numa˘r ıˆntreg\displaystyle 3a-8=-1\Rightarrow a=\frac{7}{3}\text{ nu este număr întreg}
  5. Cazul 3a−8=1\displaystyle 3a-8=1: obținem 3a=9\displaystyle 3a=9, deci a=3\displaystyle a=3, număr întreg. Atunci A−1=(3−1−83)\displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -1\\ -8 & 3\end{pmatrix}, cu toate elementele întregi. Deci a=3\displaystyle a=3.
    3a−8=1⇒a=3\displaystyle 3a-8=1\Rightarrow a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−5x−5y+30\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30.

Arătați că 1∗5=5\displaystyle 1*5=5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∗y=xy−5x−5y+30\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=xy−5x−5y+30\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=5\displaystyle y=5 în definiție.
    1∗5=1⋅5−5⋅1−5⋅5+30\displaystyle 1*5=1\cdot 5-5\cdot 1-5\cdot 5+30
  3. Calculăm produsele: 1⋅5=5\displaystyle 1\cdot 5=5, 5⋅1=5\displaystyle 5\cdot 1=5 și 5⋅5=25\displaystyle 5\cdot 5=25, deci expresia devine 5−5−25+30\displaystyle 5-5-25+30.
    1∗5=5−5−25+30\displaystyle 1*5=5-5-25+30
  4. Primii doi termeni se reduc (5−5=0\displaystyle 5-5=0), rămâne −25+30\displaystyle -25+30, care este egal cu 5\displaystyle 5. Deci 1∗5=5\displaystyle 1*5=5.
    1∗5=−25+30=5\displaystyle 1*5=-25+30=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−5x−5y+30\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30.

Arătați că x∗y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5 pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∗y=xy−5x−5y+30\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30.
    x∗y=xy−5x−5y+30\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30
  2. Descompunem numărul 30\displaystyle 30 ca 25+5\displaystyle 25+5, pentru a obține termenul 25\displaystyle 25, necesar formării produsului (x−5)(y−5)\displaystyle (x-5)(y-5).
    x∗y=xy−5x−5y+25+5\displaystyle x*y=xy-5x-5y+25+5
  3. Grupăm primii doi termeni cu factorul comun x\displaystyle x, iar următorii doi termeni cu factorul comun −5\displaystyle -5: x(y−5)\displaystyle x(y-5) și −5(y−5)\displaystyle -5(y-5). Termenul 5\displaystyle 5 rămâne neschimbat.
    x∗y=x(y−5)−5(y−5)+5\displaystyle x*y=x(y-5)-5(y-5)+5
  4. Dăm factor comun pe y−5\displaystyle y-5 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=(x−5)(y−5)+5 pentru orice numere reale x și y\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−5x−5y+30\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∗x=x\displaystyle x*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că (x−5)(y−5)=xy−5x−5y+25\displaystyle (x-5)(y-5)=xy-5x-5y+25, deci legea se scrie x∗y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5.
    x∗y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5
  2. Pentru y=x\displaystyle y=x obținem x∗x=(x−5)2+5\displaystyle x*x=(x-5)^2+5, deci ecuația x∗x=x\displaystyle x*x=x devine (x−5)2+5=x\displaystyle (x-5)^2+5=x.
    (x−5)2+5=x\displaystyle (x-5)^2+5=x
  3. Desfacem pătratul: x2−10x+25+5=x\displaystyle x^2-10x+25+5=x. Aducem toți termenii în membrul stâng și obținem x2−11x+30=0\displaystyle x^2-11x+30=0.
    x2−11x+30=0\displaystyle x^2-11x+30=0
  4. Discriminantul este Δ=121−120=1\displaystyle \Delta=121-120=1, deci x=11±12\displaystyle x=\dfrac{11\pm 1}{2}.
    x=11±12\displaystyle x=\dfrac{11\pm 1}{2}
  5. Soluțiile ecuației sunt x1=5\displaystyle x_1=5 și x2=6\displaystyle x_2=6.
    x1=5 și x2=6\displaystyle x_1=5\text{ și }x_2=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x\displaystyle f(x)=x^2-x.

Arătați că f′(x)=2x−1\displaystyle f'(x)=2x-1, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x2−x\displaystyle f(x)=x^2-x este o diferență de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}. Scriem derivata lui f\displaystyle f pornind de la expresia ei.
    f′(x)=(x2−x)′\displaystyle f'(x)=\left(x^{2}-x\right)'
  2. Derivata unei diferențe este diferența derivatelor: (u−v)′=u′−v′\displaystyle (u-v)'=u'-v'. Derivăm fiecare termen separat.
    (x2−x)′=(x2)′−x′\displaystyle \left(x^{2}-x\right)'=\left(x^{2}\right)'-x'
  3. Aplicăm formulele de derivare: (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x și x′=1\displaystyle x'=1. Obținem 2x−1\displaystyle 2x-1, valabil pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=2x−1\displaystyle f'(x)=2x-1, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x\displaystyle f(x)=x^2-x.

Calculați lim⁡x→+∞f(x)x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x^2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim expresia f(x)=x2−x\displaystyle f(x)=x^{2}-x în limita cerută.
    lim⁡x→+∞f(x)x2=lim⁡x→+∞x2−xx2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x^{2}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}-x}{x^{2}}
  2. Limita este de forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, iar termenul de grad maxim este x2\displaystyle x^{2}. Împărțim fiecare termen al numărătorului la x2\displaystyle x^{2} și simplificăm.
    lim⁡x→+∞(x2x2−xx2)=lim⁡x→+∞(1−1x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{x}{x^{2}}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, avem 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0, deci limita este 1−0\displaystyle 1-0.
    lim⁡x→+∞f(x)x2=1−0=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x^{2}}=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x\displaystyle f(x)=x^2-x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0), adică y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm valoarea funcției în x0=1\displaystyle x_0=1: f(1)=12−1=0\displaystyle f(1)=1^2-1=0.
    f(1)=12−1=0\displaystyle f(1)=1^{2}-1=0
  3. Calculăm derivata funcției: f′(x)=(x2−x)′=2x−1\displaystyle f'(x)=(x^2-x)'=2x-1.
    f′(x)=2x−1\displaystyle f'(x)=2x-1
  4. Calculăm valoarea derivatei în x0=1\displaystyle x_0=1: f′(1)=2⋅1−1=1\displaystyle f'(1)=2\cdot 1-1=1.
    f′(1)=2⋅1−1=1\displaystyle f'(1)=2\cdot 1-1=1
  5. Înlocuim f(1)=0\displaystyle f(1)=0 și f′(1)=1\displaystyle f'(1)=1 în formula tangentei: y−0=1⋅(x−1)\displaystyle y-0=1\cdot(x-1), deci ecuația tangentei este y=x−1\displaystyle y=x-1.
    f(1)=0\displaystyle f(1)=0, f′(1)=1, deci ecuația tangentei \displaystyle \ f'(1)=1\text{, deci ecuația tangentei }este y=x−1\displaystyle \text{este }y=x-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1x\displaystyle f(x)=2x+\frac{1}{x}.

Arătați că ∫1e1x dx=1\displaystyle \int_1^e\frac{1}{x}\,dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este continuă pe [1,e]\displaystyle [1,e], deci are primitive. O primitivă a ei pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) este ln⁡x\displaystyle \ln x, pentru că (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}
  2. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫1e1x dx=ln⁡x∣1e\displaystyle \int_1^e\dfrac{1}{x}\,dx=\ln x\Big|_1^e.
    ∫1e1x dx=ln⁡x∣1e\displaystyle \int_1^e\frac{1}{x}\,dx=\ln x\Big|_1^e
  3. Înlocuim limitele: ln⁡x∣1e=ln⁡e−ln⁡1\displaystyle \ln x\Big|_1^e=\ln e-\ln 1. Cum ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem 1−0=1\displaystyle 1-0=1.
    ln⁡e−ln⁡1=1−0=1\displaystyle \ln e-\ln 1=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1x\displaystyle f(x)=2x+\frac{1}{x}.

Arătați că funcția F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x2+ln⁡x+2\displaystyle F(x)=x^2+\ln x+2 este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) dacă F\displaystyle F este derivabilă pe acest interval și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    F′(x)=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle F'(x)=f(x)\text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)
  2. Scriem derivata lui F\displaystyle F ca suma derivatelor termenilor: F′(x)=(x2)′+(ln⁡x)′+(2)′\displaystyle F'(x)=\left(x^2\right)'+\left(\ln x\right)'+\left(2\right)', pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    F′(x)=(x2)′+(ln⁡x)′+(2)′\displaystyle F'(x)=\left(x^2\right)'+\left(\ln x\right)'+(2)'
  3. Folosim formulele de derivare: (x2)′=2x\displaystyle \left(x^2\right)'=2x, (ln⁡x)′=1x\displaystyle \left(\ln x\right)'=\dfrac{1}{x} și (2)′=0\displaystyle (2)'=0. Obținem F′(x)=2x+1x+0\displaystyle F'(x)=2x+\dfrac{1}{x}+0.
    F′(x)=(x2+ln⁡x+2)′=2x+1x\displaystyle F'(x)=\left(x^2+\ln x+2\right)'=2x+\frac{1}{x}
  4. Expresia obținută coincide cu f(x)=2x+1x\displaystyle f(x)=2x+\dfrac{1}{x} pentru orice x>0\displaystyle x>0. Deci F′=f\displaystyle F'=f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), adică F\displaystyle F este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x) pentru orice x∈(0,+∞), deci F este o primitiva˘ a \displaystyle F'(x)=f(x)\text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci }F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1x\displaystyle f(x)=2x+\frac{1}{x}.

Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=2\displaystyle x=2 are aria mai mică strict decât 4\displaystyle 4.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2] avem x>0\displaystyle x>0, deci 2x>0\displaystyle 2x>0 și 1x>0\displaystyle \dfrac{1}{x}>0, iar f(x)>0\displaystyle f(x)>0. Graficul este deasupra axei Ox\displaystyle Ox, deci ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x) și aria este A=∫12f(x) dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^2 f(x)\,dx.
    A=∫12∣f(x)∣ dx=∫12(2x+1x)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^2|f(x)|\,dx=\int_1^2\left(2x+\frac{1}{x}\right)dx
  2. Găsim o primitivă a lui f\displaystyle f: o primitivă a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, iar o primitivă a lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este ln⁡x\displaystyle \ln x pentru x>0\displaystyle x>0.
    F(x)=x2+ln⁡x\displaystyle F(x)=x^{2}+\ln x
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: A=F(2)−F(1)\displaystyle \mathcal{A}=F(2)-F(1). Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem (4+ln⁡2)−(1+0)\displaystyle (4+\ln 2)-(1+0).
    A=(x2+ln⁡x)∣12=(4+ln⁡2)−(1+0)=3+ln⁡2\displaystyle \mathcal{A}=\left(x^{2}+\ln x\right)\Big|_1^2=(4+\ln 2)-(1+0)=3+\ln 2
  4. Estimăm ln⁡2\displaystyle \ln 2: deoarece 2<e\displaystyle 2<e și funcția ln⁡\displaystyle \ln este strict crescătoare, avem ln⁡2<ln⁡e=1\displaystyle \ln 2<\ln e=1.
    2<e⇒ln⁡2<ln⁡e=1\displaystyle 2<e\Rightarrow \ln 2<\ln e=1
  5. Adunăm 3\displaystyle 3 la inegalitatea ln⁡2<1\displaystyle \ln 2<1 și obținem A=3+ln⁡2<3+1=4\displaystyle \mathcal{A}=3+\ln 2<3+1=4.
    A=3+ln⁡2<3+1=4⇒A<4\displaystyle \mathcal{A}=3+\ln 2<3+1=4\Rightarrow \mathcal{A}<4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.