Bac matematică M3 tehnologic 2015, sesiunea a II-a rezervă varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că media geometrică a numerelor a=16\displaystyle a=16 și b=9\displaystyle b=9 este egală cu 12\displaystyle 12.
Vezi rezolvarea
  1. Media geometrică a două numere pozitive a\displaystyle a și b\displaystyle b este mg=a⋅b\displaystyle m_g=\sqrt{a\cdot b}.
    mg=a⋅b\displaystyle m_g=\sqrt{a\cdot b}
  2. Înlocuim a=16\displaystyle a=16 și b=9\displaystyle b=9 în formulă.
    mg=16⋅9\displaystyle m_g=\sqrt{16\cdot 9}
  3. Deoarece 16=42\displaystyle 16=4^{2} și 9=32\displaystyle 9=3^{2}, putem scrie 16⋅9=16⋅9\displaystyle \sqrt{16\cdot 9}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{9}.
    16⋅9=4⋅3\displaystyle \sqrt{16}\cdot\sqrt{9}=4\cdot 3
  4. Efectuăm înmulțirea: 4⋅3=12\displaystyle 4\cdot 3=12, deci media geometrică este egală cu 12\displaystyle 12.
    mg=4⋅3=12\displaystyle m_g=4\cdot 3=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(2)=0\displaystyle f(2)=0, unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+m\displaystyle f(x)=x+m.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia funcției f(x)=x+m\displaystyle f(x)=x+m și obținem f(2)=2+m\displaystyle f(2)=2+m.
    f(2)=2+m\displaystyle f(2)=2+m
  2. Condiția din enunț este f(2)=0\displaystyle f(2)=0, deci egalăm expresia obținută cu zero: 2+m=0\displaystyle 2+m=0.
    2+m=0\displaystyle 2+m=0
  3. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri ai ecuației și obținem m=−2\displaystyle m=-2.
    2+m=0⇔m=−2\displaystyle 2+m=0\Leftrightarrow m=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32x+1=35\displaystyle 3^{2x+1}=3^5.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că ecuația 32x+1=35\displaystyle 3^{2x+1}=3^{5} are aceeași bază, 3\displaystyle 3, în ambii membri. Funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci putem egala exponenții.
    32x+1=35⇒2x+1=5\displaystyle 3^{2x+1}=3^{5}\Rightarrow 2x+1=5
  2. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri ai ecuației 2x+1=5\displaystyle 2x+1=5.
    2x=5−1=4\displaystyle 2x=5-1=4
  3. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem soluția ecuației, care este un număr real: x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, acesta să fie multiplu de 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}. Cazurile posibile sunt toate elementele mulțimii A\displaystyle A, deci numărăm elementele ei: 1,2,3,4,5,6,7,8,9\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
    nr. cazuri posibile=9\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=9
  2. Cazurile favorabile sunt numerele din A\displaystyle A care sunt multipli de 2\displaystyle 2, adică numerele pare: 2,4,6,8\displaystyle 2,4,6,8. Le numărăm.
    nr. cazuri favorabile=4\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=4
  3. Înlocuim în formulă: p=49\displaystyle p=\dfrac{4}{9}. Fracția este deja ireductibilă, deci aceasta este probabilitatea cerută.
    p=49\displaystyle p=\frac{4}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,3)\displaystyle A(-1,3) și B(5,3)\displaystyle B(5,3). Determinați coordonatele mijlocului segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2},yM=yA+yB2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Înlocuim abscisele punctelor A\displaystyle A și B\displaystyle B: xA=−1\displaystyle x_A=-1 și xB=5\displaystyle x_B=5. Obținem xM=−1+52=42=2\displaystyle x_M=\dfrac{-1+5}{2}=\dfrac{4}{2}=2.
    xM=−1+52=2\displaystyle x_M=\dfrac{-1+5}{2}=2
  3. Înlocuim ordonatele punctelor A\displaystyle A și B\displaystyle B: yA=3\displaystyle y_A=3 și yB=3\displaystyle y_B=3. Obținem yM=3+32=62=3\displaystyle y_M=\dfrac{3+3}{2}=\dfrac{6}{2}=3. Deci mijlocul segmentului AB\displaystyle AB este punctul M(2,3)\displaystyle M(2,3).
    yM=3+32=3\displaystyle y_M=\dfrac{3+3}{2}=3,M(2,3)\displaystyle \quad M(2,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡x=12\displaystyle \sin x=\frac{1}{2}, știind că x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=32\displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem identitatea fundamentală a trigonometriei, sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, și exprimăm din ea sin⁡2x\displaystyle \sin^{2}x.
    sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x
  2. Înlocuim cos⁡x=32\displaystyle \cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și ridicăm la pătrat: (32)2=34\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\dfrac{3}{4}.
    sin⁡2x=1−(32)2=1−34\displaystyle \sin^{2}x=1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=1-\frac{3}{4}
  3. Calculăm diferența: 1−34=14\displaystyle 1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}.
    sin⁡2x=14\displaystyle \sin^{2}x=\frac{1}{4}
  4. Din sin⁡2x=14\displaystyle \sin^{2}x=\dfrac{1}{4} rezultă sin⁡x=12\displaystyle \sin x=\dfrac{1}{2} sau sin⁡x=−12\displaystyle \sin x=-\dfrac{1}{2}. Deoarece x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), adică x este în primul cadran, sinusul este pozitiv, deci alegem valoarea pozitivă.
    sin⁡x=12, deoarece sin⁡x>0\displaystyle \sin x=\frac{1}{2}\text{, deoarece }\sin x>0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\2&1\end{pmatrix}, B=(−4004)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-4&0\\0&4\end{pmatrix} și C(x)=(x123)\displaystyle C(x)=\begin{pmatrix}x&1\\2&3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=−5\displaystyle \det A=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A: det⁡A=∣1321∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&3\\2&1\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣1321∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&3\\2&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Pe diagonala principală sunt 1\displaystyle 1 și 1\displaystyle 1, iar pe cea secundară 3\displaystyle 3 și 2\displaystyle 2, deci det⁡A=1⋅1−2⋅3\displaystyle \det A=1\cdot 1-2\cdot 3.
    det⁡A=1⋅1−2⋅3\displaystyle \det A=1\cdot 1-2\cdot 3
  3. Efectuăm înmulțirile și scăderea: 1−6=−5\displaystyle 1-6=-5. Deci det⁡A=−5\displaystyle \det A=-5, așa cum trebuia arătat.
    det⁡A=1−6=−5\displaystyle \det A=1-6=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\2&1\end{pmatrix}, B=(−4004)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-4&0\\0&4\end{pmatrix} și C(x)=(x123)\displaystyle C(x)=\begin{pmatrix}x&1\\2&3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A+C(−1))=det⁡B\displaystyle \det(A+C(-1))=\det B.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 în matricea C(x)\displaystyle C(x) și obținem matricea C(−1)\displaystyle C(-1).
    C(−1)=(−1123)\displaystyle C(-1)=\begin{pmatrix}-1&1\\2&3\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele A\displaystyle A și C(−1)\displaystyle C(-1) element cu element: 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0, 3+1=4\displaystyle 3+1=4, 2+2=4\displaystyle 2+2=4, 1+3=4\displaystyle 1+3=4.
    A+C(−1)=(0444)\displaystyle A+C(-1)=\begin{pmatrix}0&4\\4&4\end{pmatrix}
  3. Calculăm det⁡(A+C(−1))\displaystyle \det(A+C(-1)) ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A+C(−1))=0⋅4−4⋅4=−16\displaystyle \det(A+C(-1))=0\cdot 4-4\cdot 4=-16
  4. Calculăm det⁡B\displaystyle \det B după aceeași regulă: (−4)⋅4−0⋅0\displaystyle (-4)\cdot 4-0\cdot 0.
    det⁡B=∣−4004∣=−16−0=−16\displaystyle \det B=\begin{vmatrix}-4&0\\0&4\end{vmatrix}=-16-0=-16
  5. Comparăm cele două valori: ambii determinanți sunt egali cu −16\displaystyle -16, deci egalitatea cerută este adevărată.
    det⁡(A+C(−1))=−16=det⁡B\displaystyle \det(A+C(-1))=-16=\det B
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\2&1\end{pmatrix}, B=(−4004)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-4&0\\0&4\end{pmatrix} și C(x)=(x123)\displaystyle C(x)=\begin{pmatrix}x&1\\2&3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care C(x)⋅A−A⋅C(x)=B\displaystyle C(x)\cdot A-A\cdot C(x)=B.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul C(x)⋅A\displaystyle C(x)\cdot A, înmulțind liniile lui C(x)\displaystyle C(x) cu coloanele lui A\displaystyle A. Prima linie: x⋅1+1⋅2=x+2\displaystyle x\cdot 1+1\cdot 2=x+2 și x⋅3+1⋅1=3x+1\displaystyle x\cdot 3+1\cdot 1=3x+1. A doua linie: 2⋅1+3⋅2=8\displaystyle 2\cdot 1+3\cdot 2=8 și 2⋅3+3⋅1=9\displaystyle 2\cdot 3+3\cdot 1=9.
    C(x)⋅A=(x+23x+189)\displaystyle C(x)\cdot A=\begin{pmatrix}x+2&3x+1\\8&9\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A⋅C(x)\displaystyle A\cdot C(x). Prima linie: 1⋅x+3⋅2=x+6\displaystyle 1\cdot x+3\cdot 2=x+6 și 1⋅1+3⋅3=10\displaystyle 1\cdot 1+3\cdot 3=10. A doua linie: 2⋅x+1⋅2=2x+2\displaystyle 2\cdot x+1\cdot 2=2x+2 și 2⋅1+1⋅3=5\displaystyle 2\cdot 1+1\cdot 3=5.
    A⋅C(x)=(x+6102x+25)\displaystyle A\cdot C(x)=\begin{pmatrix}x+6&10\\2x+2&5\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrici element cu element: x+2−(x+6)=−4\displaystyle x+2-(x+6)=-4, 3x+1−10=3x−9\displaystyle 3x+1-10=3x-9, 8−(2x+2)=6−2x\displaystyle 8-(2x+2)=6-2x, 9−5=4\displaystyle 9-5=4.
    C(x)⋅A−A⋅C(x)=(−43x−96−2x4)\displaystyle C(x)\cdot A-A\cdot C(x)=\begin{pmatrix}-4&3x-9\\6-2x&4\end{pmatrix}
  4. Egalăm cu B\displaystyle B element cu element. Elementele de pe diagonală coincid deja (−4\displaystyle -4 și 4\displaystyle 4). Din celelalte două obținem 3x−9=0\displaystyle 3x-9=0 și 6−2x=0\displaystyle 6-2x=0, deci x=3\displaystyle x=3 în ambele cazuri.
    (−43x−96−2x4)=(−4004)⇔x=3\displaystyle \begin{pmatrix}-4&3x-9\\6-2x&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&0\\0&4\end{pmatrix}\Leftrightarrow x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+2X2−6X+3\displaystyle f=X^3+2X^2-6X+3.

Arătați că f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a calcula f(1)\displaystyle f(1), înlocuim pe X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului f=X3+2X2−6X+3\displaystyle f=X^3+2X^2-6X+3.
    f(1)=13+2⋅12−6⋅1+3\displaystyle f(1)=1^3+2\cdot 1^2-6\cdot 1+3
  2. Calculăm puterile și produsele: 13=1\displaystyle 1^3=1, 2⋅12=2\displaystyle 2\cdot 1^2=2 și 6⋅1=6\displaystyle 6\cdot 1=6.
    f(1)=1+2−6+3\displaystyle f(1)=1+2-6+3
  3. Adunăm și scădem termenii: 1+2=3\displaystyle 1+2=3, 3−6=−3\displaystyle 3-6=-3, iar −3+3=0\displaystyle -3+3=0. Deci f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
    f(1)=1+2−6+3=0\displaystyle f(1)=1+2-6+3=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+2X2−6X+3\displaystyle f=X^3+2X^2-6X+3.

Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul X2+3X−3\displaystyle X^2+3X-3.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim primul termen al lui f\displaystyle f, adică X3\displaystyle X^3, la primul termen al împărțitorului, adică X2\displaystyle X^2. Obținem primul termen al câtului: X\displaystyle X.
    X3X2=X\displaystyle \dfrac{X^3}{X^2}=X
  2. Înmulțim X\displaystyle X cu împărțitorul X2+3X−3\displaystyle X^2+3X-3 și scădem rezultatul din f\displaystyle f.
    X3+2X2−6X+3−(X3+3X2−3X)=−X2−3X+3\displaystyle X^3+2X^2-6X+3-(X^3+3X^2-3X)=-X^2-3X+3
  3. Împărțim primul termen al noului polinom, −X2\displaystyle -X^2, la X2\displaystyle X^2. Obținem al doilea termen al câtului: −1\displaystyle -1.
    −X2X2=−1\displaystyle \dfrac{-X^2}{X^2}=-1
  4. Înmulțim −1\displaystyle -1 cu împărțitorul și scădem rezultatul din −X2−3X+3\displaystyle -X^2-3X+3. Diferența este 0\displaystyle 0, deci împărțirea se oprește.
    −X2−3X+3−(−X2−3X+3)=0\displaystyle -X^2-3X+3-(-X^2-3X+3)=0
  5. Câtul este suma termenilor obținuți: X\displaystyle X și −1\displaystyle -1.
    q=X−1\displaystyle q=X-1
  6. Ultima diferență obținută este 0\displaystyle 0, deci restul împărțirii este 0\displaystyle 0. Verificare: (X2+3X−3)(X−1)=X3+2X2−6X+3=f\displaystyle (X^2+3X-3)(X-1)=X^3+2X^2-6X+3=f.
    r=0\displaystyle r=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+2X2−6X+3\displaystyle f=X^3+2X^2-6X+3.

Demonstrați că x1+x2+x3+1x1+1x2+1x3=0\displaystyle x_1+x_2+x_3+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=0, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f=X3+2X2−6X+3\displaystyle f=X^3+2X^2-6X+3 are coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=−6\displaystyle c=-6, d=3\displaystyle d=3. Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}.
    x1+x2+x3=−21=−2\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\frac{2}{1}=-2
  2. Suma produselor luate câte două este x1x2+x1x3+x2x3=ca\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a}, iar produsul rădăcinilor este x1x2x3=−da\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}.
    x1x2+x1x3+x2x3=−6\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-6, x1x2x3=−3\displaystyle \ x_1x_2x_3=-3
  3. Aducem fracțiile la același numitor x1x2x3\displaystyle x_1x_2x_3, care este nenul deoarece este egal cu −3\displaystyle -3. Obținem 1x1+1x2+1x3=x2x3+x1x3+x1x2x1x2x3\displaystyle \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2}{x_1x_2x_3}.
    x1+x2+x3+1x1+1x2+1x3=(x1+x2+x3)+x2x3+x1x3+x1x2x1x2x3\displaystyle x_1+x_2+x_3+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=(x_1+x_2+x_3)+\frac{x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2}{x_1x_2x_3}
  4. Înlocuim valorile obținute: x1+x2+x3=−2\displaystyle x_1+x_2+x_3=-2, numărătorul este −6\displaystyle -6, iar numitorul este −3\displaystyle -3. Rezultă −2+−6−3=−2+2=0\displaystyle -2+\dfrac{-6}{-3}=-2+2=0, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    −2+−6−3=−2+2=0\displaystyle -2+\frac{-6}{-3}=-2+2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x+1\displaystyle f(x)=x^3-3x+1.

Arătați că f′(x)=3(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=x3−3x+1\displaystyle f(x)=x^3-3x+1 termen cu termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, (−3x)′=−3\displaystyle (-3x)'=-3, (1)′=0\displaystyle (1)'=0.
    (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, (−3x)′=−3\displaystyle \ (-3x)'=-3, (1)′=0\displaystyle \ (1)'=0
  2. Adunăm derivatele obținute: f′(x)=3x2−3+0\displaystyle f'(x)=3x^2-3+0.
    f′(x)=3x2−3\displaystyle f'(x)=3x^2-3
  3. Dăm factor comun pe 3\displaystyle 3: 3x2−3=3(x2−1)\displaystyle 3x^2-3=3(x^2-1).
    f′(x)=3(x2−1)\displaystyle f'(x)=3(x^2-1)
  4. Descompunem diferența de pătrate cu formula a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b), pentru a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1: x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1). Deci derivata are forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=3(x2−1)=3(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x+1\displaystyle f(x)=x^3-3x+1.

Calculați lim⁡x→+∞f(x)−x3x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-x^3}{x}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3−3x+1\displaystyle f(x)=x^{3}-3x+1 în numărătorul limitei: f(x)−x3=x3−3x+1−x3\displaystyle f(x)-x^{3}=x^{3}-3x+1-x^{3}.
    f(x)−x3x=x3−3x+1−x3x\displaystyle \frac{f(x)-x^{3}}{x}=\frac{x^{3}-3x+1-x^{3}}{x}
  2. Termenii x3\displaystyle x^{3} se reduc, deci numărătorul devine −3x+1\displaystyle -3x+1, iar limita cerută este lim⁡x→+∞−3x+1x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{-3x+1}{x}.
    lim⁡x→+∞f(x)−x3x=lim⁡x→+∞−3x+1x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-x^{3}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x+1}{x}
  3. Împărțim fiecare termen din numărător la x\displaystyle x: −3x+1x=−3+1x\displaystyle \dfrac{-3x+1}{x}=-3+\dfrac{1}{x}. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, avem 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0.
    lim⁡x→+∞(−3+1x)=−3+0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(-3+\frac{1}{x}\right)=-3+0
  4. Deci limita cerută este −3\displaystyle -3.
    −3\displaystyle -3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x+1\displaystyle f(x)=x^3-3x+1.

Arătați că −1≤f(x)≤3\displaystyle -1\le f(x)\le 3, pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f(x)=x3−3x+1\displaystyle f(x)=x^3-3x+1: f′(x)=3x2−3\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3.
    f′(x)=3x2−3\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3
  2. Scoatem factor comun 3\displaystyle 3 și descompunem diferența de pătrate: f′(x)=3(x2−1)=3(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=3(x^{2}-1)=3(x-1)(x+1).
    f′(x)=3(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)
  3. Pentru x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1] avem x−1≤0\displaystyle x-1\le 0 și x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0, deci (x−1)(x+1)≤0\displaystyle (x-1)(x+1)\le 0. Rezultă că f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1].
    f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0, pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle \ \text{pentru orice }x\in[-1,1]
  4. Deoarece f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 pe [−1,1]\displaystyle [-1,1], funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe [−1,1]\displaystyle [-1,1]. Pentru −1≤x≤1\displaystyle -1\le x\le 1 obținem f(1)≤f(x)≤f(−1)\displaystyle f(1)\le f(x)\le f(-1).
    f(1)≤f(x)≤f(−1)\displaystyle f(1)\le f(x)\le f(-1)
  5. Calculăm valorile în capetele intervalului: f(1)=1−3+1=−1\displaystyle f(1)=1-3+1=-1 și f(−1)=−1+3+1=3\displaystyle f(-1)=-1+3+1=3.
    f(1)=−1\displaystyle f(1)=-1, f(−1)=3\displaystyle \ f(-1)=3
  6. Înlocuind în f(1)≤f(x)≤f(−1)\displaystyle f(1)\le f(x)\le f(-1), obținem −1≤f(x)≤3\displaystyle -1\le f(x)\le 3, pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1].
    f(1)≤f(x)≤f(−1), deci −1≤f(x)≤3, pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle f(1)\le f(x)\le f(-1)\text{, deci }-1\le f(x)\le 3\text{, pentru orice }x\in[-1,1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1x\displaystyle f(x)=2x+\frac{1}{x}.

Arătați că ∫23(f(x)−1x)dx=5\displaystyle \int_2^3\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x+1x\displaystyle f(x)=2x+\dfrac{1}{x} în integrandul f(x)−1x\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{x}.
    f(x)−1x=2x+1x−1x\displaystyle f(x)-\frac{1}{x}=2x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x}
  2. Termenii 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} se reduc și rămâne 2x\displaystyle 2x, deci integrala devine integrala lui 2x\displaystyle 2x pe intervalul [2,3]\displaystyle [2,3].
    ∫23(f(x)−1x)dx=∫232x dx\displaystyle \int_2^3\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=\int_2^3 2x\,dx
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton. O primitivă a funcției 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, deci integrala este x2\displaystyle x^{2} evaluat între limitele 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3.
    ∫232x dx=x2∣23\displaystyle \int_2^3 2x\,dx=x^2\Big|_2^3
  4. Calculăm x2∣23=32−22=9−4=5\displaystyle x^{2}\Big|_2^3=3^{2}-2^{2}=9-4=5, ceea ce trebuia arătat.
    32−22=9−4=5\displaystyle 3^2-2^2=9-4=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1x\displaystyle f(x)=2x+\frac{1}{x}.

Demonstrați că funcția F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x2+ln⁡x+2015\displaystyle F(x)=x^2+\ln x+2015 este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) dacă F\displaystyle F este derivabilă și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Deci calculăm derivata lui F\displaystyle F.
    F′(x)=(x2+ln⁡x+2015)′\displaystyle F'(x)=(x^{2}+\ln x+2015)'
  2. Derivăm termen cu termen: (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, iar derivata constantei este (2015)′=0\displaystyle (2015)'=0.
    F′(x)=2x+1x+0=2x+1x\displaystyle F'(x)=2x+\dfrac{1}{x}+0=2x+\dfrac{1}{x}
  3. Comparăm cu f(x)=2x+1x\displaystyle f(x)=2x+\dfrac{1}{x}: obținem F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x>0\displaystyle x>0, deci F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    2x+1x=f(x), pentru orice x∈(0,+∞), deci F este o primitiva˘ a \displaystyle 2x+\dfrac{1}{x}=f(x)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci }F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1x\displaystyle f(x)=2x+\frac{1}{x}.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[1,2]→R\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)−2x\displaystyle g(x)=f(x)-2x.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm funcția g\displaystyle g: g(x)=f(x)−2x=2x+1x−2x\displaystyle g(x)=f(x)-2x=2x+\dfrac{1}{x}-2x. Rămâne g(x)=1x\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{x}.
    g(x)=1x\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{x}
  2. Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui g\displaystyle g în jurul axei Ox\displaystyle Ox pe [1,2]\displaystyle [1,2] este V=π∫12g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2}g^{2}(x)\,dx.
    V=π∫12g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2}g^{2}(x)\,dx
  3. Înlocuim g(x)=1x\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{x}, adică (f(x)−2x)2=(1x)2=1x2\displaystyle \left(f(x)-2x\right)^2=\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=\dfrac{1}{x^{2}}. Deci V=π∫121x2 dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx.
    V=π∫12(f(x)−2x)2dx=π∫121x2 dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2}\left(f(x)-2x\right)^2dx=\pi\int_{1}^{2}\dfrac{1}{x^{2}}\,dx
  4. Derivata funcției −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x} este 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}, deci o primitivă a lui 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}} este −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x}.
    ∫1x2 dx=−1x+C\displaystyle \int\dfrac{1}{x^{2}}\,dx=-\dfrac{1}{x}+C
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: V=π(−1x)∣12=π(−12+1)=π2\displaystyle V=\pi\left(-\dfrac{1}{x}\right)\Big|_{1}^{2}=\pi\left(-\dfrac{1}{2}+1\right)=\dfrac{\pi}{2}.
    V=π(−1x)∣12=π(−12+1)=π2\displaystyle V=\pi\left(-\dfrac{1}{x}\right)\Big|_{1}^{2}=\pi\left(-\dfrac{1}{2}+1\right)=\dfrac{\pi}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.