Bac matematică M3 tehnologic 2014, sesiunea a II-a varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Pentru a=3\displaystyle a=3 arătați că a2−2a=56\displaystyle \frac{a}{2}-\frac{2}{a}=\frac{5}{6}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=3\displaystyle a=3 în expresia a2−2a\displaystyle \dfrac{a}{2}-\dfrac{2}{a} și obținem o diferență de două fracții.
    a2−2a=32−23\displaystyle \frac{a}{2}-\frac{2}{a}=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}
  2. Cel mai mic numitor comun al lui 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3 este 6\displaystyle 6. Amplificăm prima fracție cu 3\displaystyle 3 și a doua cu 2\displaystyle 2.
    32−23=3⋅36−2⋅26\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{3\cdot 3}{6}-\frac{2\cdot 2}{6}
  3. Scădem fracțiile cu același numitor: 9−4=5\displaystyle 9-4=5. Obținem rezultatul cerut, adică egalitatea este adevărată.
    9−46=56\displaystyle \frac{9-4}{6}=\frac{5}{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−3\displaystyle f(x)=2x-3 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x+1\displaystyle g(x)=x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție a graficelor are aceeași abscisă și aceeași ordonată pe ambele grafice, deci abscisa lui verifică egalitatea f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x).
    f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x)
  2. Înlocuim expresiile celor două funcții și obținem ecuația 2x−3=x+1\displaystyle 2x-3=x+1.
    2x−3=x+1\displaystyle 2x-3=x+1
  3. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: 2x−x=1+3\displaystyle 2x-x=1+3.
    2x−x=1+3\displaystyle 2x-x=1+3
  4. Reducem termenii asemenea și obținem x=4\displaystyle x=4. Aceasta este abscisa punctului de intersecție.
    x=4\displaystyle x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+5=3\displaystyle \sqrt{x^2+5}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Expresia de sub radical x2+5\displaystyle x^{2}+5 este strict pozitivă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci radicalul există. Membrul drept 3\displaystyle 3 este pozitiv, deci putem ridica la pătrat ambii membri.
    x2+5>0\displaystyle x^{2}+5>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației x2+5=3\displaystyle \sqrt{x^{2}+5}=3 și obținem (x2+5)2=32\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+5}\right)^{2}=3^{2}, adică:
    x2+5=9\displaystyle x^{2}+5=9
  3. Scădem 5\displaystyle 5 din ambii membri și obținem x2=4\displaystyle x^{2}=4, de unde x=±2\displaystyle x=\pm 2.
    x2=4⇒x=±2\displaystyle x^{2}=4\Rightarrow x=\pm 2
  4. Verificăm: pentru x=2\displaystyle x=2 și pentru x=−2\displaystyle x=-2 avem x2+5=9\displaystyle x^{2}+5=9, deci 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3, adevărat. Ambele valori convin.
    (±2)2+5=9=3\displaystyle \sqrt{(\pm 2)^{2}+5}=\sqrt{9}=3
  5. Soluțiile ecuației în mulțimea numerelor reale sunt:
    x1=−2 și x2=2\displaystyle x_1=-2\text{ și }x_2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unei imprimante este 120\displaystyle 120 de lei. Determinați prețul imprimantei după o scumpire cu 10%\displaystyle 10\%.
Vezi rezolvarea
  1. Scumpirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă că prețul crește cu 10%\displaystyle 10\% din prețul inițial. Scriem 10%\displaystyle 10\% ca fracția 10100\displaystyle \dfrac{10}{100} și o înmulțim cu 120\displaystyle 120.
    10100⋅120\displaystyle \frac{10}{100}\cdot 120
  2. Calculăm cât reprezintă scumpirea: 10100⋅120=1200100=12\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot 120=\dfrac{1200}{100}=12 lei.
    10100⋅120=12\displaystyle \frac{10}{100}\cdot 120=12
  3. Adăugăm scumpirea la prețul inițial: 120+12=132\displaystyle 120+12=132. Prețul imprimantei după scumpire este 132\displaystyle 132 de lei.
    120+12=132 de lei\displaystyle 120+12=132\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În sistemul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,2)\displaystyle A(2,2), B(2,5)\displaystyle B(2,5) și C(6,5)\displaystyle C(6,5). Determinați perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Perimetrul triunghiului este suma lungimilor laturilor, deci calculăm distanțele dintre puncte cu formula d(M,N)=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle d(M,N)=\sqrt{(x_N-x_M)^{2}+(y_N-y_M)^{2}}.
    P=AB+BC+AC\displaystyle P=AB+BC+AC
  2. Punctele A(2,2)\displaystyle A(2,2) și B(2,5)\displaystyle B(2,5) au aceeași abscisă, deci AB=(2−2)2+(5−2)2\displaystyle AB=\sqrt{(2-2)^{2}+(5-2)^{2}}.
    AB=0+9=3\displaystyle AB=\sqrt{0+9}=3
  3. Punctele B(2,5)\displaystyle B(2,5) și C(6,5)\displaystyle C(6,5) au aceeași ordonată, deci BC=(6−2)2+(5−5)2\displaystyle BC=\sqrt{(6-2)^{2}+(5-5)^{2}}.
    BC=16+0=4\displaystyle BC=\sqrt{16+0}=4
  4. Pentru A(2,2)\displaystyle A(2,2) și C(6,5)\displaystyle C(6,5) avem AC=(6−2)2+(5−2)2=16+9\displaystyle AC=\sqrt{(6-2)^{2}+(5-2)^{2}}=\sqrt{16+9}.
    AC=25=5\displaystyle AC=\sqrt{25}=5
  5. Am obținut lungimile laturilor: AB=3\displaystyle AB=3, BC=4\displaystyle BC=4 și AC=5\displaystyle AC=5.
    AB=3\displaystyle AB=3, BC=4 și AC=5\displaystyle \ BC=4\text{ și }AC=5
  6. Adunăm lungimile laturilor: PΔABC=AB+BC+AC=3+4+5\displaystyle P_{\Delta ABC}=AB+BC+AC=3+4+5.
    PΔABC=3+4+5=12\displaystyle P_{\Delta ABC}=3+4+5=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați cos⁡A\displaystyle \cos A știind că sin⁡A=32\displaystyle \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2} și unghiul A\displaystyle A este ascuțit.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim identitatea fundamentală a trigonometriei: sin⁡2A+cos⁡2A=1\displaystyle \sin^{2}A+\cos^{2}A=1. Deci cos⁡2A=1−sin⁡2A\displaystyle \cos^{2}A=1-\sin^{2}A.
    cos⁡2A=1−sin⁡2A\displaystyle \cos^{2}A=1-\sin^{2}A
  2. Calculăm sin⁡2A\displaystyle \sin^{2}A, ridicând la pătrat valoarea dată: sin⁡2A=(32)2=34\displaystyle \sin^{2}A=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\dfrac{3}{4}.
    sin⁡2A=34\displaystyle \sin^{2}A=\dfrac{3}{4}
  3. Unghiul A\displaystyle A este ascuțit, deci cos⁡A>0\displaystyle \cos A>0. Prin urmare cos⁡A=1−34\displaystyle \cos A=\sqrt{1-\dfrac{3}{4}}.
    cos⁡A=1−34\displaystyle \cos A=\sqrt{1-\dfrac{3}{4}}
  4. Efectuăm scăderea de sub radical: 1−34=14\displaystyle 1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}. Atunci cos⁡A=14=12\displaystyle \cos A=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}.
    cos⁡A=12\displaystyle \cos A=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1210)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}, B=(bb01)\displaystyle B=\begin{pmatrix}b&b\\0&1\end{pmatrix} și C=(1000)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, unde b\displaystyle b este număr real.

Arătați că det⁡A=−2\displaystyle \det A=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A=(1210)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}, luând elementele ei în aceeași ordine.
    det⁡A=∣1210∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}
  2. Pentru un determinant de ordin 2 avem ∣abcd∣=a⋅d−c⋅b\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-c\cdot b, adică produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară.
    ∣1210∣=1⋅0−1⋅2\displaystyle \begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}=1\cdot 0-1\cdot 2
  3. Calculăm: 1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0=0 și 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2, deci det⁡A=0−2=−2\displaystyle \det A=0-2=-2, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡A=1⋅0−1⋅2=−2\displaystyle \det A=1\cdot 0-1\cdot 2=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1210)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}, B=(bb01)\displaystyle B=\begin{pmatrix}b&b\\0&1\end{pmatrix} și C=(1000)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, unde b\displaystyle b este număr real.

Determinați numărul real b\displaystyle b pentru care A+B=AB+C\displaystyle A+B=AB+C.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma A+B\displaystyle A+B adunând elementele de pe aceleași poziții: A+B=(1+b2+b1+00+1)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}1+b&2+b\\1+0&0+1\end{pmatrix}.
    A+B=(b+1b+211)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}b+1&b+2\\1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul AB\displaystyle AB, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B\displaystyle B. Prima linie: 1⋅b+2⋅0=b\displaystyle 1\cdot b+2\cdot 0=b și 1⋅b+2⋅1=b+2\displaystyle 1\cdot b+2\cdot 1=b+2. A doua linie: 1⋅b+0⋅0=b\displaystyle 1\cdot b+0\cdot 0=b și 1⋅b+0⋅1=b\displaystyle 1\cdot b+0\cdot 1=b.
    AB=(bb+2bb)\displaystyle AB=\begin{pmatrix}b&b+2\\b&b\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricea C\displaystyle C la AB\displaystyle AB. Matricea C\displaystyle C modifică doar elementul din stânga sus, la care se adaugă 1\displaystyle 1.
    AB+C=(b+1b+2bb)\displaystyle AB+C=\begin{pmatrix}b+1&b+2\\b&b\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele corespunzătoare ale matricelor A+B\displaystyle A+B și AB+C\displaystyle AB+C. Egalitățile b+1=b+1\displaystyle b+1=b+1 și b+2=b+2\displaystyle b+2=b+2 sunt adevărate pentru orice b\displaystyle b. Din elementele de pe linia a doua obținem 1=b\displaystyle 1=b și 1=b\displaystyle 1=b.
    1=b\displaystyle 1=b
  5. Singura valoare care face adevărate toate egalitățile este b=1\displaystyle b=1.
    b=1\displaystyle b=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1210)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}, B=(bb01)\displaystyle B=\begin{pmatrix}b&b\\0&1\end{pmatrix} și C=(1000)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, unde b\displaystyle b este număr real.

Arătați că det⁡(B+2C)=det⁡B−det⁡A\displaystyle \det(B+2C)=\det B-\det A pentru orice număr real b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea 2C\displaystyle 2C, înmulțind fiecare element al lui C\displaystyle C cu 2\displaystyle 2.
    2C=(2000)\displaystyle 2C=\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele B\displaystyle B și 2C\displaystyle 2C element cu element.
    B+2C=(b+2b01)\displaystyle B+2C=\begin{pmatrix}b+2&b\\0&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul matricei B+2C\displaystyle B+2C: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Deoarece sub diagonală avem 0\displaystyle 0, al doilea produs este 0\displaystyle 0.
    det⁡(B+2C)=∣b+2b01∣=(b+2)⋅1−b⋅0=b+2\displaystyle \det(B+2C)=\begin{vmatrix}b+2&b\\0&1\end{vmatrix}=(b+2)\cdot 1-b\cdot 0=b+2
  4. Calculăm determinanții lui B\displaystyle B și A\displaystyle A.
    det⁡B=b⋅1−b⋅0=b\displaystyle \det B=b\cdot 1-b\cdot 0=b,det⁡A=1⋅0−2⋅1=−2\displaystyle \quad \det A=1\cdot 0-2\cdot 1=-2
  5. Calculăm diferența det⁡B−det⁡A\displaystyle \det B-\det A și o comparăm cu det⁡(B+2C)\displaystyle \det(B+2C). Cele două expresii sunt egale pentru orice număr real b\displaystyle b.
    det⁡B−det⁡A=b−(−2)=b+2=det⁡(B+2C)\displaystyle \det B-\det A=b-(-2)=b+2=\det(B+2C)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−4X2+X+2\displaystyle f=X^3-4X^2+X+2.

Arătați că f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului f=X3−4X2+X+2\displaystyle f=X^3-4X^2+X+2.
    f(1)=13−4⋅12+1+2\displaystyle f(1)=1^3-4\cdot 1^2+1+2
  2. Calculăm puterile lui 1\displaystyle 1: 13=1\displaystyle 1^3=1 și 12=1\displaystyle 1^2=1, deci expresia devine o sumă de numere simple.
    f(1)=1−4+1+2\displaystyle f(1)=1-4+1+2
  3. Grupăm termenii: 1+1+2=4\displaystyle 1+1+2=4, apoi 4−4=0\displaystyle 4-4=0. Astfel f(1)=0\displaystyle f(1)=0, ceea ce trebuia arătat.
    f(1)=1−4+3=0\displaystyle f(1)=1-4+3=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−4X2+X+2\displaystyle f=X^3-4X^2+X+2. Determinați restul împărțirii polinomului f\displaystyle f prin X−1\displaystyle X-1.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim polinomul f\displaystyle f la X−1\displaystyle X-1 cu schema lui Horner. Rădăcina lui X−1\displaystyle X-1 este 1\displaystyle 1, iar coeficienții lui f\displaystyle f sunt 1, −4, 1, 2\displaystyle 1,\ -4,\ 1,\ 2.
    a=1; coeficienți: 1\displaystyle a=1;\ \text{coeficienți: }1, −4\displaystyle \,-4, 1\displaystyle \,1, 2\displaystyle \,2
  2. Coborâm primul coeficient: 1\displaystyle 1. Apoi calculăm −4+1⋅1=−3\displaystyle -4+1\cdot 1=-3.
    1\displaystyle 1, −3\displaystyle \ -3
  3. Următorul coeficient al câtului este 1+1⋅(−3)=−2\displaystyle 1+1\cdot(-3)=-2.
    1\displaystyle 1, −3\displaystyle \ -3, −2\displaystyle \ -2
  4. Coeficienții 1, −3, −2\displaystyle 1,\ -3,\ -2 dau câtul, un polinom de gradul 2\displaystyle 2, deoarece f\displaystyle f are gradul 3\displaystyle 3.
    q=X2−3X−2\displaystyle q=X^{2}-3X-2
  5. Restul este ultimul număr din schemă: 2+1⋅(−2)=0\displaystyle 2+1\cdot(-2)=0. Verificăm: f(1)=1−4+1+2=0\displaystyle f(1)=1-4+1+2=0, deci restul este 0\displaystyle 0 și X−1\displaystyle X-1 divide f\displaystyle f.
    r=0\displaystyle r=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−4X2+X+2\displaystyle f=X^3-4X^2+X+2.

Arătați că (x1+x2+x3)(1x1+1x2+1x3)=−2\displaystyle (x_1+x_2+x_3)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=-2, știind că x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem relațiile lui Viète pentru f=X3−4X2+X+2\displaystyle f=X^3-4X^2+X+2, cu coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle b=-4, c=1\displaystyle c=1, d=2\displaystyle d=2. Suma rădăcinilor este x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}.
    x1+x2+x3=−−41=4\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-4}{1}=4
  2. Suma produselor luate câte două este x1x2+x2x3+x1x3=ca\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\dfrac{c}{a}.
    x1x2+x2x3+x1x3=11=1\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\dfrac{1}{1}=1
  3. Produsul rădăcinilor este x1x2x3=−da\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}. Astfel avem toate cele trei relații ale lui Viète.
    x1+x2+x3=4\displaystyle x_1+x_2+x_3=4, x1x2+x2x3+x1x3=1\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=1, x1x2x3=−2\displaystyle \ x_1x_2x_3=-2
  4. Aducem la numitor comun suma inverselor. Rădăcinile sunt nenule, deoarece x1x2x3=−2≠0\displaystyle x_1x_2x_3=-2\neq 0, deci expresia are sens.
    1x1+1x2+1x3=x2x3+x1x3+x1x2x1x2x3\displaystyle \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2}{x_1x_2x_3}
  5. Înlocuim în expresia dată și obținem raportul dintre produsul sumelor și produsul rădăcinilor.
    (x1+x2+x3)(1x1+1x2+1x3)=(x1+x2+x3)(x1x2+x2x3+x1x3)x1x2x3\displaystyle (x_1+x_2+x_3)\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}\right)=\dfrac{(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)}{x_1x_2x_3}
  6. Înlocuim valorile din relațiile lui Viète și calculăm. Se obține valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.
    4⋅1−2=−2\displaystyle \dfrac{4\cdot 1}{-2}=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2-\ln x.

Arătați că lim⁡x→1f(x)=1\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem limita cerută înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia sa: lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1(x2−ln⁡x)\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\left(x^{2}-\ln x\right).
    lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1(x2−ln⁡x)\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\left(x^{2}-\ln x\right)
  2. Funcțiile x2\displaystyle x^{2} și ln⁡x\displaystyle \ln x sunt continue pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci diferența lor este continuă pe acest interval. Cum 1∈(0,+∞)\displaystyle 1\in(0,+\infty), limita în 1\displaystyle 1 se obține înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→1(x2−ln⁡x)=12−ln⁡1\displaystyle \lim_{x\to 1}\left(x^{2}-\ln x\right)=1^{2}-\ln 1
  3. Calculăm: 12=1\displaystyle 1^{2}=1, iar ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. Deci 12−ln⁡1=1−0=1\displaystyle 1^{2}-\ln 1=1-0=1, adică lim⁡x→1f(x)=1\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=1.
    12−ln⁡1=1−0=1\displaystyle 1^{2}-\ln 1=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2-\ln x.

Arătați că f′(x)=2x−1x\displaystyle f'(x)=2x-\frac{1}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem derivata funcției f\displaystyle f, pornind de la f(x)=x2−ln⁡x\displaystyle f(x)=x^{2}-\ln x, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=(x2−ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=\left(x^{2}-\ln x\right)'
  2. Aplicăm regula de derivare a diferenței: (u−v)′=u′−v′\displaystyle (u-v)'=u'-v'. Obținem derivata lui x2\displaystyle x^{2} minus derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x.
    f′(x)=(x2)′−(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=\left(x^{2}\right)'-(\ln x)'
  3. Folosim formulele (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle \left(x^{n}\right)'=n\cdot x^{n-1}, deci (x2)′=2x\displaystyle \left(x^{2}\right)'=2x, și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}. Astfel, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), obținem egalitatea cerută.
    (x2)′−(ln⁡x)′=2x−1x\displaystyle \left(x^{2}\right)'-(\ln x)'=2x-\frac{1}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2-\ln x.

Arătați că funcția f\displaystyle f este convexă pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima derivată a funcției f\displaystyle f, folosind (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=2x−1x\displaystyle f'(x)=2x-\frac{1}{x}
  2. Derivăm încă o dată, termen cu termen: (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2, iar (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}. Obținem f′′(x)=(2x)′−(1x)′\displaystyle f''(x)=(2x)'-\left(\dfrac{1}{x}\right)'.
    f′′(x)=(2x)′−(1x)′=2+1x2\displaystyle f''(x)=(2x)'-\left(\frac{1}{x}\right)'=2+\frac{1}{x^{2}}
  3. Pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) avem 1x2>0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}>0, deci 2+1x2>0\displaystyle 2+\dfrac{1}{x^{2}}>0. Cum f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0 pe tot intervalul, funcția f\displaystyle f este convexă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    2+1x2>0 pentru orice x∈(0,+∞)⇒f este convexa˘\displaystyle 2+\frac{1}{x^{2}}>0\text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)\Rightarrow f\text{ este convexă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x+1}.

Arătați că ∫01x2 dx=13\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția x↦x2\displaystyle x\mapsto x^{2} este continuă pe [0,1]\displaystyle [0,1], deci are primitive și putem aplica formula Leibniz-Newton: ∫01x2 dx=F(1)−F(0)\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx=F(1)-F(0), unde F\displaystyle F este o primitivă a lui x2\displaystyle x^2.
    ∫01x2 dx=F(1)−F(0)\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx=F(1)-F(0)
  2. Folosim formula ∫xn dx=xn+1n+1+C\displaystyle \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C. Pentru n=2\displaystyle n=2 obținem primitiva x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, deci scriem integrala cu bara de evaluare între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01x2 dx=x33∣01\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1
  3. Înlocuim limitele: în x=1\displaystyle x=1 primitiva are valoarea 133=13\displaystyle \dfrac{1^{3}}{3}=\dfrac{1}{3}, iar în x=0\displaystyle x=0 are valoarea 033=0\displaystyle \dfrac{0^{3}}{3}=0. Făcând diferența, obținem rezultatul cerut.
    13−0=13\displaystyle \frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x+1}.

Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Aria cerută este A=∫01∣f(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1|f(x)|\,dx. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x2≥0\displaystyle x^2\ge 0 și x+1>0\displaystyle x+1>0, deci f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge 0 și modulul dispare.
    A=∫01x2x+1 dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1\frac{x^2}{x+1}\,dx
  2. Scriem x2=(x2−1)+1=(x−1)(x+1)+1\displaystyle x^2=(x^2-1)+1=(x-1)(x+1)+1. Atunci x2x+1=x−1+1x+1\displaystyle \dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}.
    A=∫01(x−1+1x+1)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^1\left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx
  3. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}, a lui −1\displaystyle -1 este −x\displaystyle -x, iar a lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0.
    F(x)=x22−x+ln⁡(x+1)\displaystyle F(x)=\frac{x^2}{2}-x+\ln(x+1)
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: F(1)=12−1+ln⁡2=ln⁡2−12\displaystyle F(1)=\dfrac{1}{2}-1+\ln 2=\ln 2-\dfrac{1}{2}, iar F(0)=0−0+ln⁡1=0\displaystyle F(0)=0-0+\ln 1=0. Deci A=F(1)−F(0)\displaystyle \mathcal{A}=F(1)-F(0).
    A=(x22−x+ln⁡(x+1))∣01=ln⁡2−12\displaystyle \mathcal{A}=\left.\left(\frac{x^2}{2}-x+\ln(x+1)\right)\right|_0^1=\ln 2-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x+1}. Arătați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este funcție crescătoare pe intervalul (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f pe intervalul (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty). Prin definiția primitivei, derivata lui F\displaystyle F este egală cu f\displaystyle f pe acest interval, deci F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
    F′(x)=f(x)=x2x+1\displaystyle F'(x)=f(x)=\frac{x^{2}}{x+1},x∈(−1,+∞)\displaystyle \quad x\in(-1,+\infty)
  2. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia sa și analizăm semnul fracției. Pe intervalul (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty) avem x+1>0\displaystyle x+1>0, deci numitorul este strict pozitiv. Numărătorul x2\displaystyle x^{2} este mereu nenegativ, deci fracția este nenegativă.
    F′(x)=x2x+1≥0 pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle F'(x)=\frac{x^{2}}{x+1}\ge 0\text{ pentru orice }x\in(-1,+\infty)
  3. Deoarece derivata F′\displaystyle F' este nenegativă pe intervalul (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty), din teorema de monotonie rezultă că F\displaystyle F este crescătoare pe acest interval. Cum F\displaystyle F era o primitivă oarecare, concluzia este valabilă pentru orice primitivă a lui f\displaystyle f.
    F este cresca˘toare pe (−1,+∞)\displaystyle F\text{ este crescătoare pe }(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.