Bac matematică M3 tehnologic 2025, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 5⋅(0,7−0,2)+0,5=3\displaystyle 5\cdot(0,7-0,2)+0,5=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează mai întâi valoarea din paranteză, conform ordinii operațiilor.
    0\displaystyle 0,7−0\displaystyle 7-0,2=0\displaystyle 2=0,5\displaystyle 5
  2. Se înlocuiește rezultatul parantezei în expresia inițială.
    5⋅(0,7−0,2)+0\displaystyle 5\cdot(0,7-0,2)+0,5=5⋅0\displaystyle 5=5\cdot 0,5+0\displaystyle 5+0,5=\displaystyle 5=
  3. Se efectuează înmulțirea rămasă.
    5⋅0\displaystyle 5\cdot 0,5=2\displaystyle 5=2,5\displaystyle 5
  4. Se adună rezultatul înmulțirii cu 0,5\displaystyle 0,5 pentru a obține rezultatul final.
    =2\displaystyle =2,5+0\displaystyle 5+0,5=3\displaystyle 5=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=6x−2\displaystyle f(x)=6x-2. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(m)=10\displaystyle f(m)=10.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f\displaystyle f pentru argumentul m\displaystyle m, înlocuind x\displaystyle x cu m\displaystyle m în formula f(x)=6x−2\displaystyle f(x)=6x-2.
    f(m)=6m−2, pentru orice numa˘r real m\displaystyle f(m)=6m-2\text{, pentru orice număr real }m
  2. Se pune condiția din enunț, f(m)=10\displaystyle f(m)=10, folosind expresia obținută anterior pentru f(m)\displaystyle f(m).
    6m−2=10\displaystyle 6m-2=10
  3. Se rezolvă ecuația liniară obținută: se adună 2\displaystyle 2 în ambii membri, apoi se împarte la 6\displaystyle 6.
    6m=10+2⇒6m=12⇒m=126\displaystyle 6m=10+2\Rightarrow6m=12\Rightarrow m=\dfrac{12}{6}
  4. Se simplifică fracția obținută și se scrie soluția finală a ecuației.
    m=126=2\displaystyle m=\dfrac{12}{6}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 16−3x=1\displaystyle \sqrt{16-3x}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie ecuația dată și se observă că, pentru ca radicalul să aibă sens, trebuie ca expresia de sub radical să fie nenegativă: 16−3x≥0\displaystyle 16-3x\geq 0. Totuși, deoarece membrul drept este 1 (pozitiv), ridicarea la pătrat este permisă direct.
    16−3x=1\displaystyle \sqrt{16-3x}=1
  2. Se ridică la pătrat ambii membri ai ecuației pentru a elimina radicalul.
    16−3x=1\displaystyle 16-3x=1
  3. Se rezolvă ecuația liniară obținută: se trece 16 în membrul drept, obținându-se −3x=1−16\displaystyle -3x=1-16, adică −3x=−15\displaystyle -3x=-15.
    −3x=−15\displaystyle -3x=-15
  4. Se împarte ecuația prin −3\displaystyle -3 pentru a afla valoarea lui x.
    x=5\displaystyle x=5
  5. Se verifică soluția obținută în ecuația inițială: se înlocuiește x=5\displaystyle x=5 în 16−3x\displaystyle \sqrt{16-3x} și se obține 16−15=1=1\displaystyle \sqrt{16-15}=\sqrt{1}=1, egal cu membrul drept, deci soluția convine.
    x=5, care convine\displaystyle x=5\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 60%\displaystyle 60\%, un obiect costă 320\displaystyle 320 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Se notează cu x prețul obiectului înainte de scumpire.
    x=prețul ıˆnainte de \displaystyle x=\text{prețul înainte de }scumpire\displaystyle \text{scumpire}
  2. Se scrie ecuația care exprimă faptul că, după o scumpire cu 60%, prețul devine 320 de lei: la prețul inițial x se adaugă 60% din x.
    x+60100⋅x=320, unde x este prețul obiectului \displaystyle x+\dfrac{60}{100}\cdot x=320\text{, unde }x\text{ este prețul obiectului }ıˆnainte de scumpire\displaystyle \text{înainte de scumpire}
  3. Se aduc termenii din stânga la același numitor, obținând o ecuație mai simplă în x.
    100x+60x100=320⇔160x100=320\displaystyle \dfrac{100x+60x}{100}=320\Leftrightarrow \dfrac{160x}{100}=320
  4. Se elimină numitorul înmulțind ambele părți cu 100, apoi se rezolvă ecuația pentru x.
    160x=32000⇔x=32000160\displaystyle 160x=32000\Leftrightarrow x=\dfrac{32000}{160}
  5. Se efectuează calculul final și se obține prețul inițial al obiectului.
    x=200 de lei\displaystyle x=200\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,0)\displaystyle A(3,0), B(3,2)\displaystyle B(3,2) și C(a,b)\displaystyle C(a,b), unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale. Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că punctul B\displaystyle B este mijlocul segmentului AC\displaystyle AC.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu formulele coordonatelor mijlocului unui segment, aplicate pentru punctele A(3,0)\displaystyle A(3,0) și C(a,b)\displaystyle C(a,b), știind că B\displaystyle B este mijlocul segmentului AC\displaystyle AC
    xB=xA+xC2, yB=yA+yC2\displaystyle x_B=\dfrac{x_A+x_C}{2}\text{, }y_B=\dfrac{y_A+y_C}{2}
  2. Se înlocuiesc coordonatele cunoscute în formula abscisei mijlocului: xA=3\displaystyle x_A=3, xB=3\displaystyle x_B=3, xC=a\displaystyle x_C=a
    3=3+a2\displaystyle 3=\dfrac{3+a}{2}
  3. Se rezolvă ecuația obținută pentru a determina valoarea lui a\displaystyle a
    6=3+a⇒a=3\displaystyle 6=3+a\Rightarrow a=3
  4. Se înlocuiesc coordonatele cunoscute în formula ordonatei mijlocului: yA=0\displaystyle y_A=0, yB=2\displaystyle y_B=2, yC=b\displaystyle y_C=b, apoi se rezolvă ecuația pentru a determina valoarea lui b\displaystyle b
    2=0+b2, de unde obținem b=4\displaystyle 2=\dfrac{0+b}{2}\text{, de unde obținem }b=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 5cos⁡60∘−sin⁡30∘+4(sin⁡60∘)2=5\displaystyle 5\cos 60^\circ - \sin 30^\circ + 4(\sin 60^\circ)^2 = 5.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia de demonstrat, pornind de la enunț.
    5cos⁡60∘−sin⁡30∘+4(sin⁡60∘)2\displaystyle 5\cos 60^\circ - \sin 30^\circ + 4(\sin 60^\circ)^2
  2. Se identifică din tabelul valorilor trigonometrice pentru unghiuri notabile valorile lui cos⁡60°\displaystyle \cos 60°, sin⁡30°\displaystyle \sin 30° și sin⁡60°\displaystyle \sin 60°.
    cos⁡60∘=12, sin⁡30∘=12, sin⁡60∘=32\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}\text{, }\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}\text{, }\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. Se înlocuiesc aceste valori în expresia inițială.
    5⋅12−12+4⋅(32)2\displaystyle 5\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+4\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2
  4. Se calculează pătratul lui sin⁡60°\displaystyle \sin 60°, adică se ridică la pătrat fracția obținută.
    (32)2=34\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}
  5. Se efectuează înmulțirile din expresie, obținând fracțiile 52\displaystyle \dfrac{5}{2} și 3\displaystyle 3 (din 4\displaystyle 4 înmulțit cu 34\displaystyle \dfrac{3}{4}).
    5⋅12=52, 4⋅34=3\displaystyle 5\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}\text{, }4\cdot\dfrac{3}{4}=3
  6. Se adună și se scad termenii obținuți, ajungând la rezultatul final, confirmând astfel egalitatea cerută.
    5cos⁡60∘−sin⁡30∘+4(sin⁡60∘)2=5⋅12−12+4⋅(32)2=52−12+4⋅34=5\displaystyle 5\cos 60^\circ - \sin 30^\circ + 4(\sin 60^\circ)^2 = 5\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+4\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}+4\cdot\dfrac{3}{4}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(2x−x−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2 & x\\-x & -2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(5))=21\displaystyle \det(A(5))=21.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x=5\displaystyle x=5 în matricea A(x)\displaystyle A(x) pentru a obține matricea numerică A(5)\displaystyle A(5).
    A(5)=(25−5−2)\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}2 & 5\\-5 & -2\end{pmatrix}
  2. Se aplică formula determinantului pentru o matrice 2×2\displaystyle 2\times 2, det⁡(abcd)=ad−bc\displaystyle \det\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}=ad-bc, pentru matricea A(5)\displaystyle A(5).
    det⁡(A(5))=∣25−5−2∣=2⋅(−2)−5⋅(−5)=\displaystyle \det(A(5))=\begin{vmatrix}2 & 5\\-5 & -2\end{vmatrix}=2\cdot(-2)-5\cdot(-5)=
  3. Se efectuează calculele: se înmulțesc termenii și se adună rezultatele pentru a obține valoarea finală a determinantului.
    =−4+25=21\displaystyle =-4+25=21
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(2x−x−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2 & x\\-x & -2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că 2A(−1)+A(5)=3A(1)\displaystyle 2A(-1)+A(5)=3A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 în A(x)=(2x−x−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2 & x\\-x & -2\end{pmatrix}.
    A(−1)=(2−11−2)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}2 & -1\\1 & -2\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x=5\displaystyle x=5 în A(x)\displaystyle A(x).
    A(5)=(25−5−2)\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}2 & 5\\-5 & -2\end{pmatrix}
  3. Calculăm 2A(−1)\displaystyle 2A(-1), înmulțind fiecare element al matricei cu 2\displaystyle 2.
    2A(−1)=(4−22−4)\displaystyle 2A(-1)=\begin{pmatrix}4 & -2\\2 & -4\end{pmatrix}
  4. Adunăm element cu element: 2A(−1)+A(5)\displaystyle 2A(-1)+A(5).
    2A(−1)+A(5)=(4+2−2+52−5−4−2)=(63−3−6)\displaystyle 2A(-1)+A(5)=\begin{pmatrix}4+2 & -2+5\\2-5 & -4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 3\\-3 & -6\end{pmatrix}
  5. Dăm factor comun 3\displaystyle 3 din fiecare element al matricei. Matricea rămasă este chiar A(1)=(21−1−2)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2 & 1\\-1 & -2\end{pmatrix}, deci 2A(−1)+A(5)=3A(1)\displaystyle 2A(-1)+A(5)=3A(1).
    (63−3−6)=3(21−1−2)=3A(1)\displaystyle \begin{pmatrix}6 & 3\\-3 & -6\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2 & 1\\-1 & -2\end{pmatrix}=3A(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(2x−x−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2 & x\\-x & -2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați mulțimea numerelor reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A(x)⋅A(−x)−x2I2)≥0\displaystyle \det\left(A(x)\cdot A(-x)-x^2 I_2\right)\ge 0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în A(x)\displaystyle A(x): A(−x)=(2−xx−2)\displaystyle A(-x)=\begin{pmatrix}2 & -x\\ x & -2\end{pmatrix}.
    A(−x)=(2−xx−2)\displaystyle A(-x)=\begin{pmatrix}2 & -x\\ x & -2\end{pmatrix}
  2. Calculăm A(x)⋅A(−x)\displaystyle A(x)\cdot A(-x) înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Elementele sunt: 2⋅2+x⋅x=4+x2\displaystyle 2\cdot 2+x\cdot x=4+x^{2}, 2⋅(−x)+x⋅(−2)=−4x\displaystyle 2\cdot(-x)+x\cdot(-2)=-4x, (−x)⋅2+(−2)⋅x=−4x\displaystyle (-x)\cdot 2+(-2)\cdot x=-4x și (−x)(−x)+(−2)(−2)=x2+4\displaystyle (-x)(-x)+(-2)(-2)=x^{2}+4.
    A(x)⋅A(−x)=(4+x2−4x−4x4+x2)\displaystyle A(x)\cdot A(-x)=\begin{pmatrix}4+x^{2} & -4x\\ -4x & 4+x^{2}\end{pmatrix}
  3. Scădem x2I2=(x200x2)\displaystyle x^{2}I_2=\begin{pmatrix}x^{2} & 0\\ 0 & x^{2}\end{pmatrix}. Se scade x2\displaystyle x^{2} doar de pe diagonala principală, iar 4+x2−x2=4\displaystyle 4+x^{2}-x^{2}=4.
    A(x)⋅A(−x)−x2I2=(4−4x−4x4)\displaystyle A(x)\cdot A(-x)-x^{2}I_2=\begin{pmatrix}4 & -4x\\ -4x & 4\end{pmatrix}
  4. Determinantul este 4⋅4−(−4x)(−4x)=16−16x2\displaystyle 4\cdot 4-(-4x)(-4x)=16-16x^{2}, deci det⁡(A(x)⋅A(−x)−x2I2)=16(1−x2)\displaystyle \det\left(A(x)\cdot A(-x)-x^{2}I_2\right)=16(1-x^{2}), pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(A(x)⋅A(−x)−x2I2)=16(1−x2)\displaystyle \det\left(A(x)\cdot A(-x)-x^{2}I_2\right)=16(1-x^{2})
  5. Inecuația 16(1−x2)≥0\displaystyle 16(1-x^{2})\ge 0 se împarte la 16>0\displaystyle 16>0 și devine 1−x2≥0\displaystyle 1-x^{2}\ge 0, deci x2≤1\displaystyle x^{2}\le 1. Aceasta înseamnă ∣x∣≤1\displaystyle |x|\le 1, adică −1≤x≤1\displaystyle -1\le x\le 1.
    16(1−x2)≥0  ⟺  x2≤1, de unde x∈[−1,1]\displaystyle 16(1-x^{2})\ge 0\iff x^{2}\le 1\text{, de unde }x\in[-1,1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2−X−m\displaystyle f=X^3+mX^2-X-m, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că f(1)=0\displaystyle f(1)=0, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la polinomul dat și se observă că trebuie calculată valoarea sa în X=1\displaystyle X=1, pentru a verifica dacă 1\displaystyle 1 este rădăcină, indiferent de valoarea lui m\displaystyle m.
    f=X3+mX2−X−m\displaystyle f=X^3+mX^2-X-m
  2. Se înlocuiește X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului, scriind explicit fiecare termen.
    f(1)=13+m⋅12−1−m=\displaystyle f(1)=1^3+m\cdot 1^2-1-m=
  3. Se calculează puterile lui 1\displaystyle 1, obținând 13=1\displaystyle 1^{3}=1 și 12=1\displaystyle 1^{2}=1, iar expresia devine.
    f(1)=1+m−1−m\displaystyle f(1)=1+m-1-m
  4. Se grupează termenii asemenea: termenii constanți 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1 se anulează, iar termenii cu m\displaystyle m, adică m\displaystyle m și −m\displaystyle -m, se anulează de asemenea.
    =1+m−1−m=0, pentru orice numa˘r real m\displaystyle =1+m-1-m=0\text{, pentru orice număr real }m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2−X−m\displaystyle f=X^3+mX^2-X-m, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=−3\displaystyle m=-3, arătați că 3\displaystyle 3 este rădăcină a polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește valoarea m=−3\displaystyle m=-3 în expresia polinomului f=X3+mX2−X−m\displaystyle f=X^{3}+mX^{2}-X-m.
    f=X3+(−3)X2−X−(−3)=X3−3X2−X+3\displaystyle f=X^3+(-3)X^2-X-(-3)=X^3-3X^2-X+3
  2. Se calculează valoarea polinomului obținut în x=3\displaystyle x=3, înlocuind X\displaystyle X cu 3.
    f=X3−3X2−X+3⇒f(3)=33−3⋅32−3+3=\displaystyle f=X^3-3X^2-X+3\Rightarrow f(3)=3^3-3\cdot 3^2-3+3=
  3. Se calculează puterile și produsele: 3 la puterea a treia și 3 înmulțit cu 3 la puterea a doua.
    33=27 și 3⋅32=3⋅9=27\displaystyle 3^3=27\text{ și }3\cdot 3^2=3\cdot 9=27
  4. Se înlocuiesc valorile calculate în expresia lui f(3)\displaystyle f(3) și se efectuează adunările și scăderile.
    =27−27−3+3=0, deci 3 este ra˘da˘cina˘ a \displaystyle =27-27-3+3=0\text{, deci 3 este rădăcină a }polinomului f\displaystyle \text{polinomului }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2−X−m\displaystyle f=X^3+mX^2-X-m, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care (x1x2+x1x3+x2x3)2+x1x2x3(x1+x2+x3)=1\displaystyle (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^2+x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)=1, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică coeficienții polinomului f=X3+mX2−X−m\displaystyle f=X^{3}+mX^{2}-X-m, scris sub forma aX3+bX2+cX+d\displaystyle aX^{3}+bX^{2}+cX+d, pentru a putea aplica relațiile lui Viète.
    a=1, b=m, c=−1, d=−m\displaystyle a=1\text{, }b=m\text{, }c=-1\text{, }d=-m
  2. Se aplică relațiile lui Viète pentru un polinom de gradul 3, obținând suma rădăcinilor, suma produselor de câte două și produsul rădăcinilor, în funcție de m\displaystyle m.
    x1+x2+x3=−ba=−m, x1x2+x1x3+x2x3=ca=−1, x1x2x3=−da=m, pentru orice numa˘r real m\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}=-m\text{, }x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a}=-1\text{, }x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}=m\text{, pentru orice număr real }m
  3. Se înlocuiesc aceste valori în expresia dată din enunț: (x1x2+x1x3+x2x3)2+x1x2x3(x1+x2+x3)\displaystyle (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^{2}+x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3).
    (−1)2+m⋅(−m)=1−m2\displaystyle (-1)^{2}+m\cdot(-m)=1-m^{2}
  4. Se scrie ecuația obținută prin egalarea expresiei calculate cu 1, conform enunțului, și se rezolvă în m\displaystyle m, obținând soluția finală.
    1−m2=1, de unde obținem m2=0, deci m=0\displaystyle 1-m^{2}=1\text{, de unde obținem }m^{2}=0\text{, deci }m=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=2x2−1+4x\displaystyle f(x)=2x^2-1+\dfrac{4}{x}.

Arătați că f′(x)=4(x3−1)x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{4(x^3-1)}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția dată și se identifică termenii care trebuie derivați: 2x2\displaystyle 2x^2, constanta −1\displaystyle -1 și 4x=4x−1\displaystyle \dfrac{4}{x}=4x^{-1}.
    f(x)=2x2−1+4x−1\displaystyle f(x)=2x^2-1+4x^{-1}
  2. Se derivează fiecare termen folosind regulile de derivare: (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1} și faptul că derivata unei constante este 0\displaystyle 0.
    (2x2)′=4x, (−1)′=0, (4x−1)′=−4x−2=−4x2\displaystyle (2x^2)'=4x\text{, }(-1)'=0\text{, }(4x^{-1})'=-4x^{-2}=-\dfrac{4}{x^2}
  3. Se însumează derivatele obținute pentru a scrie derivata funcției f\displaystyle f.
    f′(x)=4x−4x2=\displaystyle f'(x)=4x-\dfrac{4}{x^2}=
  4. Se aduce expresia la un numitor comun, scriind 4x\displaystyle 4x ca fracție cu numitorul x2\displaystyle x^2: 4x=4x3x2\displaystyle 4x=\dfrac{4x^3}{x^2}.
    f′(x)=4x3x2−4x2=4x3−4x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^3}{x^2}-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{4x^3-4}{x^2}
  5. Se factorizează numărătorul, dând factor comun 4, și se precizează domeniul de valabilitate.
    =4x3−4x2=4(x3−1)x2, x∈(0,+∞)\displaystyle =\dfrac{4x^3-4}{x^2}=\dfrac{4(x^3-1)}{x^2}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=2x2−1+4x\displaystyle f(x)=2x^2-1+\dfrac{4}{x}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=2, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției și se calculează valoarea ei în punctul x=2\displaystyle x=2.
    f(2)=2⋅22−1+42=8−1+2=9\displaystyle f(2)=2\cdot2^2-1+\dfrac{4}{2}=8-1+2=9
  2. Se determină derivata funcției f\displaystyle f, folosind regulile de derivare pentru 2x2\displaystyle 2x^{2}, constanta −1\displaystyle -1 și 4x=4x−1\displaystyle \dfrac{4}{x}=4x^{-1}.
    f′(x)=4x−4x2\displaystyle f'(x)=4x-\dfrac{4}{x^2}
  3. Se calculează valoarea derivatei în punctul x=2\displaystyle x=2.
    f′(2)=4⋅2−422=8−1=7\displaystyle f'(2)=4\cdot2-\dfrac{4}{2^2}=8-1=7
  4. Se centralizează cele două valori obținute, necesare pentru scrierea ecuației tangentei.
    f(2)=9, f′(2)=7\displaystyle f(2)=9\text{, }f'(2)=7
  5. Se scrie ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=2, folosind formula y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0}).
    y−9=7(x−2)\displaystyle y-9=7(x-2)
  6. Se efectuează calculele și se aduce ecuația tangentei la forma finală.
    y−f(2)=f′(2)(x−2), adica˘ y=7x−5\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)\text{, adică }y=7x-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=2x2−1+4x\displaystyle f(x)=2x^2-1+\dfrac{4}{x}.

Arătați că 6≤2x2+4x≤33\displaystyle 6\le 2x^2+\dfrac{4}{x}\le 33, pentru orice x∈[14,4]\displaystyle x\in\left[\dfrac{1}{4},4\right].
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), aducând-o la o formă convenabilă pentru studiul semnului.
    f′(x)=4x−4x2=4x3−4x2=4(x3−1)x2\displaystyle f'(x)=4x-\dfrac{4}{x^{2}}=\dfrac{4x^{3}-4}{x^{2}}=\dfrac{4\left(x^{3}-1\right)}{x^{2}}
  2. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0, observând că x2>0\displaystyle x^{2}>0 pentru orice x\displaystyle x din domeniu, deci semnul lui f′\displaystyle f' este dat de semnul lui x3−1\displaystyle x^{3}-1.
    f′(x)=0⇔x3−1=0⇔x3=1⇔x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x^{3}-1=0\Leftrightarrow x^{3}=1\Leftrightarrow x=1
  3. Se analizează semnul lui f′\displaystyle f' pe fiecare subinterval determinat de rădăcina x=1\displaystyle x=1, folosind faptul că funcția x3−1\displaystyle x^{3}-1 este crescătoare.
    x∈[14,1)⇒x3<1⇒x3−1<0⇒f′(x)≤0;x∈(1,4]⇒x3>1⇒x3−1>0⇒f′(x)≥0\displaystyle x\in\left[\dfrac{1}{4},1\right)\Rightarrow x^{3}<1\Rightarrow x^{3}-1<0\Rightarrow f'(x)\le 0;\quad x\in(1,4]\Rightarrow x^{3}>1\Rightarrow x^{3}-1>0\Rightarrow f'(x)\ge 0
  4. Se trag concluziile de monotonie: f\displaystyle f este descrescătoare pe [14,1]\displaystyle [\tfrac{1}{4},1] și crescătoare pe [1,4]\displaystyle [1,4], deoarece semnul derivatei este negativ, respectiv pozitiv pe aceste subintervale.
    f′(x)=0⇔x=1; pentru orice x∈[14,1], f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe [14,1] și, pentru orice x∈[1,4], f′(x)≥0, deci f este cresca˘toare pe [1,4]\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\text{; pentru orice }x\in\left[\dfrac{1}{4},1\right]\text{, }f'(x)\le 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }\left[\dfrac{1}{4},1\right]\text{ și, pentru orice }x\in[1,4]\text{, }f'(x)\ge 0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,4]
  5. Se calculează valorile lui f\displaystyle f în punctele relevante: capetele intervalului și punctul de minim x=1\displaystyle x=1.
    f(14)=2⋅116−1+4⋅4=18−1+16=1218;f(1)=2−1+4=5;f(4)=2⋅16−1+1=32\displaystyle f\left(\dfrac{1}{4}\right)=2\cdot\dfrac{1}{16}-1+4\cdot 4=\dfrac{1}{8}-1+16=\dfrac{121}{8};\quad f(1)=2-1+4=5;\quad f(4)=2\cdot 16-1+1=32
  6. Deoarece f\displaystyle f este descrescătoare pe [14,1]\displaystyle [\tfrac{1}{4},1] și crescătoare pe [1,4]\displaystyle [1,4], x=1\displaystyle x=1 este punct de minim pe [14,4]\displaystyle [\tfrac{1}{4},4], iar maximul se atinge la unul dintre capete; cum f(14)=1218<32=f(4)\displaystyle f(\tfrac{1}{4})=\dfrac{121}{8}<32=f(4), maximul este f(4)\displaystyle f(4).
    f(1)≤f(x)≤f(4), pentru orice x∈[14,4]\displaystyle f(1)\le f(x)\le f(4)\text{, pentru orice }x\in\left[\dfrac{1}{4},4\right]
  7. Se scriu valorile numerice ale marginilor și se transformă inegalitatea f(1)≤f(x)≤f(4)\displaystyle f(1)\leq f(x)\leq f(4) în inegalitatea cerută pentru expresia 2x2+4x\displaystyle 2x^{2}+\dfrac{4}{x}, adunând 1\displaystyle 1 în fiecare membru (deoarece f(x)=2x2+4x−1\displaystyle f(x)=2x^{2}+\dfrac{4}{x}-1).
    f(14)=1218, f(1)=5, f(4)=32, obținem f(1)≤f(x)≤f(4), pentru orice x∈[14,4], deci 6≤2x2+4x≤33, pentru orice x∈[14,4]\displaystyle f\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{121}{8}\text{, }f(1)=5\text{, }f(4)=32\text{, obținem }f(1)\le f(x)\le f(4)\text{, pentru orice }x\in\left[\dfrac{1}{4},4\right]\text{, deci }6\le 2x^2+\dfrac{4}{x}\le 33\text{, pentru orice }x\in\left[\dfrac{1}{4},4\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x−1+2ln⁡x\displaystyle f(x)=x-1+2\ln x.

Arătați că ∫13(f(x)−2ln⁡x)dx=2\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{3}\left(f(x)-2\ln x\right)dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se simplifică expresia de sub integrală, folosind forma funcției f(x)=x−1+2ln⁡x\displaystyle f(x)=x-1+2\ln x: se scade 2ln⁡x\displaystyle 2\ln x, rămânând doar termenul x−1\displaystyle x-1.
    f(x)−2ln⁡x=(x−1+2ln⁡x)−2ln⁡x=x−1\displaystyle f(x)-2\ln x=(x-1+2\ln x)-2\ln x=x-1
  2. Se scrie integrala cu expresia simplificată, se calculează primitiva funcției x−1\displaystyle x-1 (adică x22−x\displaystyle \dfrac{x^2}{2}-x) și se pregătește aplicarea formulei Leibniz-Newton pe intervalul [1,3]\displaystyle [1,3].
    ∫13(f(x)−2ln⁡x)dx=∫13(x−1)dx=x22∣13−x∣13=\displaystyle \int_{1}^{3}(f(x)-2\ln x)dx=\int_{1}^{3}(x-1)dx=\dfrac{x^2}{2}\Big|_{1}^{3}-x\Big|_{1}^{3}=
  3. Se calculează valoarea primitivei x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2} la capetele intervalului [1,3]\displaystyle [1,3].
    x22∣13=92−12=4\displaystyle \dfrac{x^2}{2}\Big|_{1}^{3}=\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}=4
  4. Se calculează valoarea primitivei x\displaystyle x la capetele intervalului [1,3]\displaystyle [1,3].
    x∣13=3−1=2\displaystyle x\Big|_{1}^{3}=3-1=2
  5. Se scade rezultatul celei de-a doua primitive din prima pentru a obține valoarea finală a integralei.
    =4−2=2\displaystyle =4-2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x−1+2ln⁡x\displaystyle f(x)=x-1+2\ln x.

Arătați că ∫1ef(x)−x+1xdx=1\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{f(x)-x+1}{x}dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la expresia lui f(x)=x−1+2ln⁡x\displaystyle f(x)=x-1+2\ln x și se observă că f(x)−x+1=2ln⁡x\displaystyle f(x)-x+1=2\ln x, expresie care apare simplificată în integrand.
    f(x)−x+1=2ln⁡x\displaystyle f(x)-x+1=2\ln x
  2. Se scrie integrala de calculat, folosind simplificarea de mai sus, obținându-se integrandul 2ln⁡xx\displaystyle \dfrac{2\ln x}{x}.
    ∫1ef(x)−x+1xdx=∫1e2ln⁡xxdx\displaystyle \int_{1}^{e}\dfrac{f(x)-x+1}{x}dx=\int_{1}^{e}\dfrac{2\ln x}{x}dx
  3. Se observă că (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, deci integrandul se poate scrie ca produsul dintre 2ln⁡x\displaystyle 2\ln x și derivata sa, adică o formă de tip funcție compusă cu derivata ei.
    2ln⁡xx=2ln⁡x⋅(ln⁡x)′\displaystyle \dfrac{2\ln x}{x}=2\ln x\cdot(\ln x)'
  4. Se recunoaște că 2ln⁡x⋅(ln⁡x)′\displaystyle 2\ln x\cdot(\ln x)' este derivata funcției ln⁡2x\displaystyle \ln^{2} x, deoarece (ln⁡2x)′=2ln⁡x⋅(ln⁡x)′\displaystyle (\ln^{2} x)'=2\ln x\cdot(\ln x)'.
    (ln⁡2x)′=2ln⁡x⋅(ln⁡x)′\displaystyle (\ln^2 x)'=2\ln x\cdot(\ln x)'
  5. Se aplică formula Leibniz-Newton, integrala fiind egală cu primitiva evaluată între limitele de integrare.
    ∫1e2ln⁡xxdx=∫1e2ln⁡x⋅(ln⁡x)′dx=ln⁡2x∣1e=\displaystyle \int_{1}^{e}\dfrac{2\ln x}{x}dx=\int_{1}^{e}2\ln x\cdot(\ln x)'dx=\ln^2 x\Big|_{1}^{e}=
  6. Se calculează valorile primitivei la capetele intervalului: ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, deci ln⁡2e=1\displaystyle \ln^{2} e=1, iar ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci ln⁡21=0\displaystyle \ln^{2} 1=0.
    ln⁡2e=1, ln⁡21=0\displaystyle \ln^2 e=1\text{, }\ln^2 1=0
  7. Se efectuează scăderea și se obține rezultatul final al integralei.
    =ln⁡2e−ln⁡21=1\displaystyle =\ln^2 e-\ln^2 1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x−1+2ln⁡x\displaystyle f(x)=x-1+2\ln x.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=3x(f(x)+1)\displaystyle g(x)=3x\left(f(x)+1\right), axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=3\displaystyle x=3 este egală cu a+27ln⁡3\displaystyle a+27\ln 3.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină expresia funcției g\displaystyle g pornind de la relația dintre g\displaystyle g și f\displaystyle f dată în enunț: g(x)=3xf(x)+3x\displaystyle g(x)=3xf(x)+3x. Înlocuind f(x)=x−1+2ln⁡x\displaystyle f(x)=x-1+2\ln x, se obține forma simplificată a lui g\displaystyle g.
    g(x)=3x(f(x)+1)=3x(x−1+2ln⁡x+1)=3x(x+2ln⁡x)\displaystyle g(x)=3x\big(f(x)+1\big)=3x(x-1+2\ln x+1)=3x(x+2\ln x)
  2. Se observă că pentru x∈[1,3]\displaystyle x\in[1,3] avem x>0\displaystyle x>0 și x+2ln⁡x≥1>0\displaystyle x+2\ln x\geq 1>0 (deoarece ln⁡x≥0\displaystyle \ln x\geq 0), deci g(x)≥0\displaystyle g(x)\geq 0 pe [1,3]\displaystyle [1,3]. Astfel ∣g(x)∣=g(x)\displaystyle |g(x)|=g(x), iar aria cerută se calculează ca integrala definită a lui g\displaystyle g pe [1,3]\displaystyle [1,3].
    A=∫13∣g(x)∣dx=∫13g(x)dx=∫13(3x2+6xln⁡x)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_{1}^{3}|g(x)|dx=\int_{1}^{3}g(x)dx=\int_{1}^{3}\big(3x^2+6x\ln x\big)dx
  3. Se scrie integrandul ca sumă a două funcții recunoscând derivate uzuale: 3x2=(x3)′\displaystyle 3x^{2}=(x^{3})' și 6x=(3x2)′\displaystyle 6x=(3x^{2})', pentru a pregăti separarea integralei în două integrale mai simple.
    ∫13(3x2+6xln⁡x)dx=∫13(x3)′dx+∫13(3x2)′⋅ln⁡x dx\displaystyle \int_{1}^{3}\big(3x^2+6x\ln x\big)dx=\int_{1}^{3}(x^3)'dx+\int_{1}^{3}(3x^2)'\cdot\ln x\,dx
  4. Se calculează prima integrală, care este imediată, folosind formula Leibniz-Newton, obținându-se astfel forma cerută de barem pentru arie.
    A=∫13∣g(x)∣dx=x3∣13+∫13(3x2)′⋅ln⁡x dx=\displaystyle \mathcal{A}=\int_{1}^{3}|g(x)|dx=x^3\Big|_{1}^{3}+\int_{1}^{3}(3x^2)'\cdot\ln x\,dx=
  5. Pentru a doua integrală se aplică metoda integrării prin părți, alegând u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=(3x2)′dx=6x dx\displaystyle dv=(3x^{2})'dx=6x\,dx, deci v=3x2\displaystyle v=3x^{2} și du=1xdx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}dx.
    ∫13(3x2)′⋅ln⁡x dx=3x2ln⁡x∣13−∫133x2⋅1xdx=3x2ln⁡x∣13−∫133x dx\displaystyle \int_{1}^{3}(3x^2)'\cdot\ln x\,dx=3x^2\ln x\Big|_{1}^{3}-\int_{1}^{3}3x^2\cdot\dfrac{1}{x}dx=3x^2\ln x\Big|_{1}^{3}-\int_{1}^{3}3x\,dx
  6. Se calculează cea de-a doua integrală rămasă, care este imediată, obținându-se termenul 3x22\displaystyle \dfrac{3x^{2}}{2} evaluat între 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3.
    ∫133x dx=3x22∣13\displaystyle \int_{1}^{3}3x\,dx=\dfrac{3x^2}{2}\Big|_{1}^{3}
  7. Se înlocuiesc toate rezultatele obținute: x3∣13=27−1=26\displaystyle x^{3}|_{1}^{3}=27-1=26, se scrie forma finală a ariei ca sumă/diferență de termeni evaluați între 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3, urmând exact structura din barem.
    A=26+3x2ln⁡x∣13−3x22∣13\displaystyle \mathcal{A}=26+3x^2\ln x\Big|_{1}^{3}-\dfrac{3x^2}{2}\Big|_{1}^{3}
  8. Se evaluează efectiv cele două paranteze: 3x2ln⁡x∣13=3⋅9⋅ln⁡3−3⋅1⋅ln⁡1=27ln⁡3\displaystyle 3x^{2}\ln x|_{1}^{3}=3\cdot 9\cdot \ln 3-3\cdot 1\cdot \ln 1=27\ln 3, iar 3x22∣13=272−32=12\displaystyle \dfrac{3x^{2}}{2}|_{1}^{3}=\dfrac{27}{2}-\dfrac{3}{2}=12. Se obține valoarea numerică a ariei, apoi se identifică a\displaystyle a din egalitatea cu forma dată a+27ln⁡3\displaystyle a+27\ln 3.
    =26+27ln⁡3−12=14+27ln⁡3, deci a+27ln⁡3=14+27ln⁡3, de unde obținem a=14\displaystyle =26+27\ln 3-12=14+27\ln 3\text{, deci }a+27\ln 3=14+27\ln 3\text{, de unde obținem }a=14
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.