Bac matematică M3 tehnologic 2026, sesiunea a II-a rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1+15):2+25=1\displaystyle \left(1+\frac{1}{5}\right):2+\frac{2}{5}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm mai întâi paranteza, aducând numărul 1\displaystyle 1 la numitorul 5\displaystyle 5: 1=55\displaystyle 1=\dfrac{5}{5}, deci 1+15=55+15=65\displaystyle 1+\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{6}{5}.
    1+15=65\displaystyle 1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}
  2. Înlocuim rezultatul parantezei în expresie și obținem 65:2+25\displaystyle \dfrac{6}{5}:2+\dfrac{2}{5}.
    65:2+25\displaystyle \frac{6}{5}:2+\frac{2}{5}
  3. Efectuăm împărțirea: a împărți la 2\displaystyle 2 înseamnă a înmulți cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2}. Avem 65:2=65⋅12=610=35\displaystyle \dfrac{6}{5}:2=\dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}.
    65:2=65⋅12=35\displaystyle \frac{6}{5}:2=\frac{6}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{5}
  4. Adunăm fracțiile care au același numitor: adunăm numărătorii și păstrăm numitorul. Avem 35+25=55=1\displaystyle \dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{5}{5}=1, ceea ce trebuia arătat.
    35+25=55=1\displaystyle \frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{5}{5}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4−2x\displaystyle f(x)=4-2x. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=2⋅f(1)\displaystyle f(a)=2\cdot f(1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției: f(1)=4−2⋅1\displaystyle f(1)=4-2\cdot 1.
    f(1)=4−2=2\displaystyle f(1)=4-2=2
  2. Scriem f(a)\displaystyle f(a) înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formula funcției.
    f(a)=4−2a\displaystyle f(a)=4-2a
  3. Folosim condiția f(a)=2⋅f(1)\displaystyle f(a)=2\cdot f(1) și înlocuim valorile găsite: 4−2a=2⋅2\displaystyle 4-2a=2\cdot 2.
    4−2a=4\displaystyle 4-2a=4
  4. Scădem 4\displaystyle 4 din ambii membri: −2a=0\displaystyle -2a=0. Împărțim la −2\displaystyle -2 și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    a=0\displaystyle a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 6x+7=5\displaystyle \sqrt{6x+7}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația conține un radical, deci trebuie ca 6x+7≥0\displaystyle 6x+7\geq 0. Pentru a elimina radicalul, ridicăm ambii membri la pătrat, deoarece membrul drept, 5\displaystyle 5, este pozitiv: (6x+7)2=52\displaystyle \left(\sqrt{6x+7}\right)^{2}=5^{2}.
    (6x+7)2=52\displaystyle \left(\sqrt{6x+7}\right)^{2}=5^{2}
  2. Calculăm pătratele: (6x+7)2=6x+7\displaystyle \left(\sqrt{6x+7}\right)^{2}=6x+7 și 52=25\displaystyle 5^{2}=25. Obținem ecuația liniară 6x+7=25\displaystyle 6x+7=25.
    6x+7=25\displaystyle 6x+7=25
  3. Scădem 7\displaystyle 7 din ambii membri: 6x=18\displaystyle 6x=18. Împărțim la 6\displaystyle 6: x=186=3\displaystyle x=\dfrac{18}{6}=3.
    x=3\displaystyle x=3
  4. Verificăm soluția în ecuația inițială, deoarece ridicarea la pătrat poate introduce soluții false. Pentru x=3\displaystyle x=3 avem 6⋅3+7=25≥0\displaystyle 6\cdot 3+7=25\geq 0 și 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5, deci egalitatea este adevărată. Soluția convine.
    x=3, care convine\displaystyle x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A={11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}\displaystyle A=\{11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A\displaystyle A, acesta să fie multiplu de 4\displaystyle 4.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea A\displaystyle A are 10\displaystyle 10 elemente, de la 11\displaystyle 11 la 20\displaystyle 20, deci sunt 10\displaystyle 10 cazuri posibile.
    10\displaystyle 10
  2. Identificăm multiplii lui 4\displaystyle 4 din mulțime. Ținem cont că multiplii lui 4\displaystyle 4 sunt 4\displaystyle 4 ori un număr natural: 12=4⋅3\displaystyle 12=4\cdot 3, 16=4⋅4\displaystyle 16=4\cdot 4 și 20=4⋅5\displaystyle 20=4\cdot 5 se află în A\displaystyle A, iar numerele 11,13,14,15,17,18,19\displaystyle 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19 nu se împart exact la 4\displaystyle 4.
    {12,16,20}\displaystyle \{12,16,20\}
  3. Numărul cazurilor favorabile este 3\displaystyle 3. Aplicăm formula probabilității: p=cazuri favorabilecazuri posibile=310\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{3}{10}.
    p=310\displaystyle p=\frac{3}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,0)\displaystyle A(4,0), B(2,6)\displaystyle B(2,6) și C\displaystyle C, mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Arătați că OC=32\displaystyle OC=3\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula mijlocului unui segment: xC=xA+xB2\displaystyle x_C=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yC=yA+yB2\displaystyle y_C=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xC=4+22\displaystyle x_C=\dfrac{4+2}{2},yC=0+62\displaystyle \quad y_C=\dfrac{0+6}{2}
  2. Calculăm: xC=62=3\displaystyle x_C=\dfrac{6}{2}=3 și yC=62=3\displaystyle y_C=\dfrac{6}{2}=3, deci mijlocul este C(3,3)\displaystyle C(3,3).
    C(3,3)\displaystyle C(3,3)
  3. Distanța de la O(0,0)\displaystyle O(0,0) la C(3,3)\displaystyle C(3,3) este OC=(xC−0)2+(yC−0)2=32+32\displaystyle OC=\sqrt{(x_C-0)^2+(y_C-0)^2}=\sqrt{3^2+3^2}.
    OC=32+32=9+9=18\displaystyle OC=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}
  4. Scriem 18=9⋅2\displaystyle 18=9\cdot 2, deci 18=9⋅2=32\displaystyle \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}. Am arătat că OC=32\displaystyle OC=3\sqrt{2}.
    OC=18=32\displaystyle OC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 2(sin⁡60∘)2+sin⁡45∘⋅cos⁡45∘=2\displaystyle 2\left(\sin 60^\circ\right)^2+\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem valorile cunoscute: sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, iar sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡45∘=22\displaystyle \ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
  2. Înlocuim valorile în expresia 2(sin⁡60∘)2+sin⁡45∘⋅cos⁡45∘\displaystyle 2\left(\sin 60^\circ\right)^2+\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ.
    2⋅(32)2+22⋅22\displaystyle 2\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. Calculăm primul termen: (32)2=34\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}, deci 2⋅34=32\displaystyle 2\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}.
    2⋅34=32\displaystyle 2\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{2}
  4. Calculăm al doilea termen: 22⋅22=24=12\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
    22⋅22=12\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}
  5. Adunăm termenii: 32+12=42=2\displaystyle \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2}=2, deci egalitatea din enunț este adevărată.
    2⋅(32)2+22⋅22=32+12=2\displaystyle 2\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea M(a)=(2aa−1a+1a+3)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2a & a-1\\ a+1 & a+3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(M(2))=17\displaystyle \det(M(2))=17.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu 2\displaystyle 2 în fiecare element al matricei: 2a=4\displaystyle 2a=4, a−1=1\displaystyle a-1=1, a+1=3\displaystyle a+1=3, a+3=5\displaystyle a+3=5.
    M(2)=(4135)\displaystyle M(2)=\begin{pmatrix}4 & 1\\ 3 & 5\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordin 2 și aplicăm formula: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡(M(2))=4⋅5−3⋅1\displaystyle \det(M(2))=4\cdot 5-3\cdot 1.
    det⁡(M(2))=∣4135∣=4⋅5−3⋅1\displaystyle \det(M(2))=\begin{vmatrix}4 & 1\\ 3 & 5\end{vmatrix}=4\cdot 5-3\cdot 1
  3. Efectuăm înmulțirile: 4⋅5=20\displaystyle 4\cdot 5=20, iar 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3. Scădem și obținem 20−3=17\displaystyle 20-3=17, deci egalitatea cerută este adevărată.
    20−3=17\displaystyle 20-3=17
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea M(a)=(2aa−1a+1a+3)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2a & a-1\\ a+1 & a+3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că 4M(2)−M(5)=3M(1)\displaystyle 4M(2)-M(5)=3M(1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm M(2)\displaystyle M(2): înlocuim a\displaystyle a cu 2\displaystyle 2 în fiecare element al matricei M(a)\displaystyle M(a).
    M(2)=(4135)\displaystyle M(2)=\begin{pmatrix}4 & 1\\ 3 & 5\end{pmatrix}
  2. Calculăm M(5)\displaystyle M(5): înlocuim a\displaystyle a cu 5\displaystyle 5 în fiecare element al matricei M(a)\displaystyle M(a).
    M(5)=(10468)\displaystyle M(5)=\begin{pmatrix}10 & 4\\ 6 & 8\end{pmatrix}
  3. Înmulțim matricea M(2)\displaystyle M(2) cu 4\displaystyle 4, adică fiecare element al ei se înmulțește cu 4\displaystyle 4.
    4M(2)=(1641220)\displaystyle 4M(2)=\begin{pmatrix}16 & 4\\ 12 & 20\end{pmatrix}
  4. Scădem M(5)\displaystyle M(5) din 4M(2)\displaystyle 4M(2), element cu element.
    4M(2)−M(5)=(16−104−412−620−8)=(60612)\displaystyle 4M(2)-M(5)=\begin{pmatrix}16-10 & 4-4\\ 12-6 & 20-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 0\\ 6 & 12\end{pmatrix}
  5. Calculăm M(1)\displaystyle M(1), înlocuind a\displaystyle a cu 1\displaystyle 1 în matricea M(a)\displaystyle M(a).
    M(1)=(2024)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 2 & 4\end{pmatrix}
  6. Înmulțim M(1)\displaystyle M(1) cu 3\displaystyle 3 și obținem exact matricea găsită pentru 4M(2)−M(5)\displaystyle 4M(2)-M(5), deci egalitatea este demonstrată.
    4M(2)−M(5)=(60612)=3(2024)=3M(1)\displaystyle 4M(2)-M(5)=\begin{pmatrix}6 & 0\\ 6 & 12\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2 & 0\\ 2 & 4\end{pmatrix}=3M(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea M(a)=(2aa−1a+1a+3)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2a & a-1\\ a+1 & a+3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că numărul N=det⁡(M(0)⋅M(n)−M(1)⋅M(0))\displaystyle N=\det(M(0)\cdot M(n)-M(1)\cdot M(0)) este pătratul unui număr natural, pentru orice număr natural n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele necesare înlocuind a\displaystyle a cu 0\displaystyle 0, cu 1\displaystyle 1 și cu n\displaystyle n în M(a)\displaystyle M(a).
    M(0)=(0−113)\displaystyle M(0)=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 3\end{pmatrix}, M(1)=(2024)\displaystyle \ M(1)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 2 & 4\end{pmatrix}, M(n)=(2nn−1n+1n+3)\displaystyle \ M(n)=\begin{pmatrix}2n & n-1\\ n+1 & n+3\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul M(0)⋅M(n)\displaystyle M(0)\cdot M(n), înmulțind linie cu coloană.
    M(0)⋅M(n)=(−n−1−n−35n+34n+8)\displaystyle M(0)\cdot M(n)=\begin{pmatrix}-n-1 & -n-3\\ 5n+3 & 4n+8\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul M(1)⋅M(0)\displaystyle M(1)\cdot M(0).
    M(1)⋅M(0)=(0−2410)\displaystyle M(1)\cdot M(0)=\begin{pmatrix}0 & -2\\ 4 & 10\end{pmatrix}
  4. Facem diferența celor două produse, element cu element.
    M(0)⋅M(n)−M(1)⋅M(0)=(−n−1−n−15n−14n−2)\displaystyle M(0)\cdot M(n)-M(1)\cdot M(0)=\begin{pmatrix}-n-1 & -n-1\\ 5n-1 & 4n-2\end{pmatrix}
  5. Calculăm determinantul matricei obținute și dăm factor comun pe −n−1\displaystyle -n-1.
    N=(−n−1)(4n−2)−(−n−1)(5n−1)=(−n−1)[(4n−2)−(5n−1)]=(−n−1)(−n−1)\displaystyle N=(-n-1)(4n-2)-(-n-1)(5n-1)=(-n-1)\big[(4n-2)-(5n-1)\big]=(-n-1)(-n-1)
  6. Rezultă că N\displaystyle N este pătratul numărului natural n+1\displaystyle n+1, pentru orice n\displaystyle n natural.
    N=(n+1)2\displaystyle N=(n+1)^{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3x−2y+xy\displaystyle x\circ y=3x-2y+xy.

Arătați că 2∘2=6\displaystyle 2\circ 2=6.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∘y=3x−2y+xy\displaystyle x\circ y=3x-2y+xy, pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∘y=3x−2y+xy\displaystyle x\circ y=3x-2y+xy
  2. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=2\displaystyle y=2 în definiție, adică punem 2\displaystyle 2 peste tot unde apare x\displaystyle x sau y\displaystyle y.
    2∘2=3⋅2−2⋅2+2⋅2\displaystyle 2\circ 2=3\cdot 2-2\cdot 2+2\cdot 2
  3. Efectuăm înmulțirile: 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6, 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4 și 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4.
    2∘2=6−4+4\displaystyle 2\circ 2=6-4+4
  4. Efectuăm adunarea și scăderea: 6−4=2\displaystyle 6-4=2, apoi 2+4=6\displaystyle 2+4=6. Am obținut exact valoarea cerută.
    2∘2=6−4+4=6\displaystyle 2\circ 2=6-4+4=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3x−2y+xy\displaystyle x\circ y=3x-2y+xy.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 3∘x=3\displaystyle 3\circ x=3.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∘y=3x−2y+xy\displaystyle x\circ y=3x-2y+xy pentru primul număr 3\displaystyle 3 și al doilea număr x\displaystyle x: 3∘x=3⋅3−2x+3x\displaystyle 3\circ x=3\cdot 3-2x+3x.
    3∘x=3⋅3−2x+3x\displaystyle 3\circ x=3\cdot 3-2x+3x
  2. Calculăm 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9 și reducem termenii asemenea: −2x+3x=x\displaystyle -2x+3x=x. Obținem 3∘x=9+x\displaystyle 3\circ x=9+x.
    3∘x=9+x\displaystyle 3\circ x=9+x
  3. Condiția 3∘x=3\displaystyle 3\circ x=3 devine 9+x=3\displaystyle 9+x=3. Scădem 9\displaystyle 9 din ambii membri și obținem x=3−9\displaystyle x=3-9.
    9+x=3⇒x=3−9\displaystyle 9+x=3\Rightarrow x=3-9
  4. Calculăm 3−9=−6\displaystyle 3-9=-6, deci numărul căutat este x=−6\displaystyle x=-6.
    x=−6\displaystyle x=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3x−2y+xy\displaystyle x\circ y=3x-2y+xy.

Determinați numerele întregi m\displaystyle m pentru care (−m)∘m>m∘m\displaystyle (-m)\circ m>m\circ m.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm (−m)∘m\displaystyle (-m)\circ m înlocuind în x∘y=3x−2y+xy\displaystyle x\circ y=3x-2y+xy pe x\displaystyle x cu −m\displaystyle -m și pe y\displaystyle y cu m\displaystyle m: (−m)∘m=3(−m)−2m+(−m)m\displaystyle (-m)\circ m=3(-m)-2m+(-m)m.
    (−m)∘m=−3m−2m−m2=−5m−m2\displaystyle (-m)\circ m=-3m-2m-m^{2}=-5m-m^{2}
  2. Calculăm m∘m=3m−2m+m⋅m\displaystyle m\circ m=3m-2m+m\cdot m.
    m∘m=m+m2\displaystyle m\circ m=m+m^{2}
  3. Inegalitatea (−m)∘m>m∘m\displaystyle (-m)\circ m>m\circ m devine −5m−m2>m+m2\displaystyle -5m-m^{2}>m+m^{2}.
    −5m−m2>m+m2\displaystyle -5m-m^{2}>m+m^{2}
  4. Mutăm toți termenii în partea dreaptă: 0>2m2+6m\displaystyle 0>2m^{2}+6m. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem m2+3m<0\displaystyle m^{2}+3m<0.
    m2+3m<0\displaystyle m^{2}+3m<0
  5. Descompunem: m(m+3)<0\displaystyle m(m+3)<0. Rădăcinile sunt 0\displaystyle 0 și −3\displaystyle -3, iar parabola are ramurile în sus, deci inegalitatea are loc pentru m∈(−3,0)\displaystyle m\in(-3,0).
    m∈(−3,0)\displaystyle m\in(-3,0)
  6. Numerele întregi din intervalul (−3,0)\displaystyle (-3,0) sunt −2\displaystyle -2 și −1\displaystyle -1.
    m=−2 și m=−1\displaystyle m=-2\text{ și }m=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x2−24x+21\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-24x+21.

Arătați că f′(x)=3(x−2)(x+4)\displaystyle f'(x)=3(x-2)(x+4), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=x3+3x2−24x+21\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-24x+21 termen cu termen, folosind derivata unei sume și scoaterea constantelor în fața derivatei: f′(x)=(x3)′+3⋅(x2)′−24⋅x′+21′\displaystyle f'(x)=(x^3)'+3\cdot(x^2)'-24\cdot x'+21'.
    f′(x)=(x3)′+3⋅(x2)′−24⋅x′+21′\displaystyle f'(x)=(x^3)'+3\cdot(x^2)'-24\cdot x'+21'
  2. Aplicăm formulele (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^n)'=n\cdot x^{n-1}, x′=1\displaystyle x'=1 și c′=0\displaystyle c'=0 pentru orice constantă c\displaystyle c: (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x, x′=1\displaystyle x'=1, 21′=0\displaystyle 21'=0.
    f′(x)=3x2+3⋅2x−24⋅1+0=3x2+6x−24\displaystyle f'(x)=3x^2+3\cdot 2x-24\cdot 1+0=3x^2+6x-24
  3. Scoatem factor comun 3\displaystyle 3: 3x2+6x−24=3(x2+2x−8)\displaystyle 3x^2+6x-24=3(x^2+2x-8). Descompunem trinomul: căutăm două numere cu produsul −8\displaystyle -8 și suma 2\displaystyle 2, adică 4\displaystyle 4 și −2\displaystyle -2, deci x2+2x−8=(x−2)(x+4)\displaystyle x^2+2x-8=(x-2)(x+4).
    3x2+6x−24=3(x2+2x−8)=3(x−2)(x+4)\displaystyle 3x^2+6x-24=3(x^2+2x-8)=3(x-2)(x+4)
  4. Verificăm: (x−2)(x+4)=x2+4x−2x−8=x2+2x−8\displaystyle (x-2)(x+4)=x^2+4x-2x-8=x^2+2x-8, deci egalitatea este adevărată pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=3x2+6x−24=3(x−2)(x+4)\displaystyle f'(x)=3x^2+6x-24=3(x-2)(x+4), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x2−24x+21\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-24x+21.

Arătați că lim⁡x→1x3−f(x)x2−x=18\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^3-f(x)}{x^2-x}=18.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm numărătorul: x3−f(x)=x3−(x3+3x2−24x+21)\displaystyle x^3-f(x)=x^3-(x^3+3x^2-24x+21). Termenii x3\displaystyle x^3 se reduc.
    x3−f(x)=−3x2+24x−21\displaystyle x^3-f(x)=-3x^2+24x-21
  2. Scriem limita sub forma lim⁡x→1−3x2+24x−21x2−x\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{-3x^2+24x-21}{x^2-x}. Pentru x=1\displaystyle x=1 numărătorul este −3+24−21=0\displaystyle -3+24-21=0, iar numitorul este 1−1=0\displaystyle 1-1=0, deci avem nedeterminarea 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    lim⁡x→1x3−f(x)x2−x=lim⁡x→1−3x2+24x−21x2−x\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^3-f(x)}{x^2-x}=\lim_{x\to 1}\frac{-3x^2+24x-21}{x^2-x}
  3. Dăm factor comun −3\displaystyle -3 la numărător: −3x2+24x−21=−3(x2−8x+7)\displaystyle -3x^2+24x-21=-3(x^2-8x+7). Trinomul x2−8x+7\displaystyle x^2-8x+7 are rădăcinile 1\displaystyle 1 și 7\displaystyle 7, deci x2−8x+7=(x−1)(x−7)\displaystyle x^2-8x+7=(x-1)(x-7). La numitor avem x2−x=x(x−1)\displaystyle x^2-x=x(x-1).
    lim⁡x→1−3(x−1)(x−7)x(x−1)\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{-3(x-1)(x-7)}{x(x-1)}
  4. Simplificăm prin x−1\displaystyle x-1, care este nenul deoarece x≠1\displaystyle x\neq 1 când x→1\displaystyle x\to 1. Obținem lim⁡x→1−3(x−7)x\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{-3(x-7)}{x}. Înlocuim x=1\displaystyle x=1: −3(1−7)1=−3⋅(−6)1=18\displaystyle \dfrac{-3(1-7)}{1}=\dfrac{-3\cdot(-6)}{1}=18.
    lim⁡x→1−3(x−7)x=−3⋅(−6)1=18\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{-3(x-7)}{x}=\frac{-3\cdot(-6)}{1}=18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x2−24x+21\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-24x+21.

Demonstrați că −28≤x3+3x2−24x≤80\displaystyle -28\le x^3+3x^2-24x\le 80, pentru orice x∈[−4,3]\displaystyle x\in[-4,3].
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x3+3x2−24x=f(x)−21\displaystyle x^3+3x^2-24x=f(x)-21. Inegalitatea cerută este deci echivalentă cu −7≤f(x)≤101\displaystyle -7\le f(x)\le 101 pe intervalul [−4,3]\displaystyle [-4,3]. Studiem monotonia lui f\displaystyle f pe acest interval.
    x3+3x2−24x=f(x)−21\displaystyle x^3+3x^2-24x=f(x)-21
  2. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f și o scriem ca produs de factori: f′(x)=3x2+6x−24=3(x2+2x−8)\displaystyle f'(x)=3x^2+6x-24=3(x^2+2x-8), iar x2+2x−8=(x+4)(x−2)\displaystyle x^2+2x-8=(x+4)(x-2).
    f′(x)=3(x+4)(x−2)\displaystyle f'(x)=3(x+4)(x-2)
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Produsul este nul când un factor este nul, deci x+4=0\displaystyle x+4=0 sau x−2=0\displaystyle x-2=0.
    f′(x)=0⇔x=−4 sau x=2\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-4\text{ sau }x=2
  4. Stabilim semnul derivatei pe interval. Pentru x∈[−4,2]\displaystyle x\in[-4,2], factorul x+4\displaystyle x+4 este pozitiv, iar x−2\displaystyle x-2 este negativ, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0. Pentru x∈[2,3]\displaystyle x\in[2,3], ambii factori sunt pozitivi, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0. Rezultă că f\displaystyle f este descrescătoare pe [−4,2]\displaystyle [-4,2] și crescătoare pe [2,3]\displaystyle [2,3].
    f′(x)≤0 pe [−4,2]\displaystyle f'(x)\le 0\text{ pe }[-4,2], f′(x)≥0 pe [2,3]\displaystyle \ f'(x)\ge 0\text{ pe }[2,3]
  5. Minimul lui f\displaystyle f pe [−4,3]\displaystyle [-4,3] se atinge în x=2\displaystyle x=2, iar maximul se află printre valorile din capetele intervalului. Calculăm: f(−4)=−64+48+96+21=101\displaystyle f(-4)=-64+48+96+21=101, f(2)=8+12−48+21=−7\displaystyle f(2)=8+12-48+21=-7, f(3)=27+27−72+21=3\displaystyle f(3)=27+27-72+21=3.
    f(−4)=101\displaystyle f(-4)=101, f(2)=−7\displaystyle \ f(2)=-7, f(3)=3\displaystyle \ f(3)=3
  6. Cea mai mică valoare este −7\displaystyle -7, iar cea mai mare este 101\displaystyle 101, deci −7≤f(x)≤101\displaystyle -7\le f(x)\le 101 pentru orice x∈[−4,3]\displaystyle x\in[-4,3]. Scădem 21\displaystyle 21 din toți membrii inegalității și obținem inegalitatea cerută.
    −7≤f(x)≤101⇒−28≤x3+3x2−24x≤80\displaystyle -7\le f(x)\le 101\Rightarrow -28\le x^3+3x^2-24x\le 80
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x−4\displaystyle f(x)=5x-4.

Arătați că ∫−11(f(x)+4)dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)+4\right)dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=5x−4\displaystyle f(x)=5x-4 în integrand: f(x)+4=5x−4+4\displaystyle f(x)+4=5x-4+4. Termenii −4\displaystyle -4 și +4\displaystyle +4 se reduc, deci rămâne 5x\displaystyle 5x.
    f(x)+4=5x\displaystyle f(x)+4=5x
  2. Integrala devine ∫−115x dx\displaystyle \int_{-1}^{1}5x\,dx. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, deci o primitivă a lui 5x\displaystyle 5x este 5x22\displaystyle \dfrac{5x^{2}}{2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫−11(f(x)+4)dx=∫−115x dx=5x22∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)+4\right)dx=\int_{-1}^{1}5x\,dx=\frac{5x^{2}}{2}\Big|_{-1}^{1}
  3. Calculăm primitiva în x=1\displaystyle x=1 și în x=−1\displaystyle x=-1 și scădem: 5⋅122−5⋅(−1)22\displaystyle \dfrac{5\cdot 1^{2}}{2}-\dfrac{5\cdot(-1)^{2}}{2}. Cum (−1)2=1\displaystyle (-1)^{2}=1, obținem 52−52\displaystyle \dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2}.
    5⋅122−5⋅(−1)22=52−52\displaystyle \frac{5\cdot 1^{2}}{2}-\frac{5\cdot(-1)^{2}}{2}=\frac{5}{2}-\frac{5}{2}
  4. Diferența a două numere egale este 0\displaystyle 0, deci ∫−11(f(x)+4)dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)+4\right)dx=0.
    52−52=0\displaystyle \frac{5}{2}-\frac{5}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x−4\displaystyle f(x)=5x-4.

Arătați că ∫141f(x)dx=65\displaystyle \int_{1}^{4}\frac{1}{\sqrt{f(x)}}dx=\frac{6}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=5x−4\displaystyle f(x)=5x-4 în integrală. Pe intervalul [1,4]\displaystyle [1,4] avem 5x−4∈[1,16]\displaystyle 5x-4\in[1,16], deci expresia este strict pozitivă și radicalul este bine definit.
    I=∫1415x−4 dx\displaystyle I=\int_{1}^{4}\frac{1}{\sqrt{5x-4}}\,dx
  2. Observăm că (5x−4)′=(5x−4)′25x−4=525x−4\displaystyle \left(\sqrt{5x-4}\right)'=\dfrac{(5x-4)'}{2\sqrt{5x-4}}=\dfrac{5}{2\sqrt{5x-4}}. Ca să apară această derivată sub integrală, scriem 15x−4=25⋅525x−4\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{5x-4}}=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{5}{2\sqrt{5x-4}} și scoatem constanta în fața integralei.
    I=25∫14(5x−4)′25x−4 dx\displaystyle I=\frac{2}{5}\int_{1}^{4}\frac{(5x-4)'}{2\sqrt{5x-4}}\,dx
  3. Integrandul este derivata funcției 5x−4\displaystyle \sqrt{5x-4}, deci aceasta este o primitivă. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    I=255x−4 ∣14\displaystyle I=\frac{2}{5}\sqrt{5x-4}\,\Big|_{1}^{4}
  4. Calculăm valorile la capete: pentru x=4\displaystyle x=4 avem 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4, iar pentru x=1\displaystyle x=1 avem 1=1\displaystyle \sqrt{1}=1.
    I=25(4−1)=85−25\displaystyle I=\frac{2}{5}\left(4-1\right)=\frac{8}{5}-\frac{2}{5}
  5. Efectuăm scăderea și obținem valoarea cerută.
    85−25=65\displaystyle \frac{8}{5}-\frac{2}{5}=\frac{6}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x−4\displaystyle f(x)=5x-4.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫1ef(ax)x⋅ln⁡x dx=8\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{f(ax)}{x}\cdot\ln x\,dx=8.
Vezi rezolvarea
  1. Avem f(ax)=5ax−4\displaystyle f(ax)=5ax-4, deci f(ax)x=5ax−4x=5a−4x\displaystyle \dfrac{f(ax)}{x}=\dfrac{5ax-4}{x}=5a-\dfrac{4}{x}. Integrala se desparte în două integrale.
    ∫1e5ax−4x⋅ln⁡x dx=5a∫1eln⁡x dx−4∫1e1x⋅ln⁡x dx\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{5ax-4}{x}\cdot\ln x\,dx=5a\int_{1}^{e}\ln x\,dx-4\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\cdot\ln x\,dx
  2. Pentru ∫1eln⁡x dx\displaystyle \int_{1}^{e}\ln x\,dx scriem 1=x′\displaystyle 1=x' și integrăm prin părți: u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x, dv=dx\displaystyle dv=dx, deci du=1xdx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}dx și v=x\displaystyle v=x.
    ∫1eln⁡x dx=xln⁡x∣1e−∫1e1 dx=xln⁡x∣1e−x∣1e\displaystyle \int_{1}^{e}\ln x\,dx=x\ln x\Big|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}1\,dx=x\ln x\Big|_{1}^{e}-x\Big|_{1}^{e}
  3. Avem xln⁡x∣1e=e⋅1−1⋅0=e\displaystyle x\ln x\Big|_{1}^{e}=e\cdot 1-1\cdot 0=e și x∣1e=e−1\displaystyle x\Big|_{1}^{e}=e-1.
    ∫1eln⁡x dx=e−(e−1)=1\displaystyle \int_{1}^{e}\ln x\,dx=e-(e-1)=1
  4. Deoarece (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, avem ∫1e(ln⁡x)′⋅ln⁡x dx=ln⁡2x2∣1e=12−0\displaystyle \int_{1}^{e}(\ln x)'\cdot\ln x\,dx=\dfrac{\ln^{2}x}{2}\Big|_{1}^{e}=\dfrac{1}{2}-0.
    4∫1eln⁡xx dx=4⋅ln⁡2x2∣1e=2ln⁡2x∣1e=2\displaystyle 4\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx=4\cdot\frac{\ln^{2}x}{2}\Big|_{1}^{e}=2\ln^{2}x\Big|_{1}^{e}=2
  5. Integrala devine 5a⋅1−2=5a−2\displaystyle 5a\cdot 1-2=5a-2. Din condiția din enunț, 5a−2=8\displaystyle 5a-2=8, deci 5a=10\displaystyle 5a=10.
    5a−2=8⇒a=2\displaystyle 5a-2=8\Rightarrow a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.