Bac matematică M3 tehnologic 2016, sesiunea a II-a varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 1−12:0,5=0\displaystyle 1-\frac{1}{2}:0,5=0.
Vezi rezolvarea
  1. Ordinea operațiilor: se face mai întâi împărțirea, apoi scăderea. Scriem 0,5\displaystyle 0,5 ca fracție: 0,5=510=12\displaystyle 0,5=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}.
    0\displaystyle 0,5=12\displaystyle 5=\dfrac{1}{2}
  2. Efectuăm împărțirea: 12:0,5=12:12=12⋅2=1\displaystyle \dfrac{1}{2}:0,5=\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot 2=1.
    12:0\displaystyle \dfrac{1}{2}:0,5=1\displaystyle 5=1
  3. Înlocuim rezultatul împărțirii în expresie și efectuăm scăderea: 1−12:0,5=1−1=0\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}:0,5=1-1=0, deci egalitatea este adevărată.
    1−12:0\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}:0,5=1−1=0\displaystyle 5=1-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Arătați că 2(x1+x2)−x1x2=1\displaystyle 2(x_1+x_2)-x_1x_2=1, unde x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 sunt soluțiile ecuației x2−8x+15=0\displaystyle x^2-8x+15=0.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2−8x+15=0\displaystyle x^2-8x+15=0 este de forma ax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0, cu a=1\displaystyle a=1, b=−8\displaystyle b=-8, c=15\displaystyle c=15.
    a=1\displaystyle a=1, b=−8\displaystyle \ b=-8, c=15\displaystyle \ c=15
  2. Relațiile lui Viète sunt x1+x2=−ba\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} și x1x2=ca\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}.
    x1+x2=−ba\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}, x1x2=ca\displaystyle \ x_1x_2=\dfrac{c}{a}
  3. Înlocuim: x1+x2=−−81=8\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{-8}{1}=8 și x1x2=151=15\displaystyle x_1x_2=\dfrac{15}{1}=15.
    x1+x2=8\displaystyle x_1+x_2=8, x1x2=15\displaystyle \ x_1x_2=15
  4. Înlocuim în expresie: 2(x1+x2)−x1x2=2⋅8−15\displaystyle 2(x_1+x_2)-x_1x_2=2\cdot 8-15.
    2⋅8−15=16−15\displaystyle 2\cdot 8-15=16-15
  5. Obținem 16−15=1\displaystyle 16-15=1, deci 2(x1+x2)−x1x2=1\displaystyle 2(x_1+x_2)-x_1x_2=1, ceea ce trebuia arătat.
    2(x1+x2)−x1x2=2⋅8−15=1\displaystyle 2(x_1+x_2)-x_1x_2=2\cdot 8-15=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x+1=6\displaystyle \sqrt{5x+1}=6.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau nulă, adică 5x+1≥0\displaystyle 5x+1\ge 0, deci x≥−15\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{5}.
    x≥−15\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{5}
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației: (5x+1)2=62\displaystyle \left(\sqrt{5x+1}\right)^{2}=6^{2}, deci 5x+1=36\displaystyle 5x+1=36.
    5x+1=36\displaystyle 5x+1=36
  3. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem 5x=35\displaystyle 5x=35.
    5x=35\displaystyle 5x=35
  4. Împărțim la 5\displaystyle 5 și obținem x=7\displaystyle x=7. Verificăm: 7≥−15\displaystyle 7\ge -\dfrac{1}{5}, iar 5⋅7+1=36=6\displaystyle \sqrt{5\cdot 7+1}=\sqrt{36}=6, deci soluția convine.
    x=7, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=7\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}, acesta să fie divizibil cu 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}. Mulțimea A\displaystyle A are 8\displaystyle 8 elemente, deci sunt 8\displaystyle 8 cazuri posibile.
    cazuri posibile=8\displaystyle \text{cazuri posibile}=8
  2. Cazurile favorabile sunt numerele din A\displaystyle A divizibile cu 2\displaystyle 2, adică numerele pare: 2,4,6,8\displaystyle 2,4,6,8. Sunt 4\displaystyle 4 cazuri favorabile.
    2\displaystyle 2,4\displaystyle 4,6\displaystyle 6,8, deci 4 cazuri favorabile\displaystyle 8\text{, deci }4\text{ cazuri favorabile}
  3. Înlocuim în formulă: p=48\displaystyle p=\dfrac{4}{8}. Simplificăm fracția prin 4\displaystyle 4 și obținem p=12\displaystyle p=\dfrac{1}{2}.
    p=48=12\displaystyle p=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(6,0)\displaystyle A(6,0) și B(0,8)\displaystyle B(0,8). Calculați lungimea segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte: pentru A(x1,y1)\displaystyle A(x_1,y_1) și B(x2,y2)\displaystyle B(x_2,y_2) avem AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(6,0)\displaystyle A(6,0) și B(0,8)\displaystyle B(0,8) în formulă.
    AB=(0−6)2+(8−0)2\displaystyle AB=\sqrt{(0-6)^2+(8-0)^2}
  3. Calculăm diferențele și pătratele lor: (−6)2=36\displaystyle (-6)^2=36, iar 82=64\displaystyle 8^2=64.
    AB=36+64=100\displaystyle AB=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}
  4. Cum 100=10\displaystyle \sqrt{100}=10, lungimea segmentului AB\displaystyle AB este 10\displaystyle 10.
    AB=10\displaystyle AB=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea laturii AB\displaystyle AB a triunghiului ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, știind că BC=32\displaystyle BC=3\sqrt{2} și m(∡B)=45∘\displaystyle m(\measuredangle B)=45^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC, iar AB\displaystyle AB este cateta alăturată unghiului B\displaystyle B. Cosinusul unghiului B\displaystyle B este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză.
    cos⁡B=ABBC\displaystyle \cos B=\frac{AB}{BC}
  2. Înlocuim cos⁡45∘=22\displaystyle \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} și BC=32\displaystyle BC=3\sqrt{2} în relația cos⁡B=ABBC\displaystyle \cos B=\dfrac{AB}{BC}.
    22=AB32\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AB}{3\sqrt{2}}
  3. Izolăm AB\displaystyle AB: înmulțim ambii membri cu 32\displaystyle 3\sqrt{2}.
    AB=22⋅32\displaystyle AB=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 3\sqrt{2}
  4. Calculăm produsul: 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, deci AB=3⋅22\displaystyle AB=\dfrac{3\cdot 2}{2}. Lungimea laturii este AB=3\displaystyle AB=3.
    AB=3⋅22=3\displaystyle AB=\frac{3\cdot 2}{2}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(10−21)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordin doi: pentru o matrice cu liniile (a, b)\displaystyle (a,\ b) și (c, d)\displaystyle (c,\ d), determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Identificăm elementele matricei A\displaystyle A: a=1\displaystyle a=1, b=0\displaystyle b=0, c=−2\displaystyle c=-2, d=1\displaystyle d=1, și le înlocuim în formulă.
    det⁡A=∣10−21∣=1⋅1−0⋅(−2)\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&0\\-2&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-0\cdot(-2)
  3. Calculăm produsele: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, iar 0⋅(−2)=0\displaystyle 0\cdot(-2)=0. Scădem și obținem 1−0=1\displaystyle 1-0=1, deci determinantul este egal cu 1\displaystyle 1, ceea ce trebuia arătat.
    1−0=1, deci det⁡A=1\displaystyle 1-0=1\text{, deci }\det A=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(10−21)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅A+I2=2A\displaystyle A\cdot A+I_2=2A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană. Primul rând: 1⋅1+0⋅(−2)=1\displaystyle 1\cdot 1+0\cdot(-2)=1 și 1⋅0+0⋅1=0\displaystyle 1\cdot 0+0\cdot 1=0. Al doilea rând: (−2)⋅1+1⋅(−2)=−4\displaystyle (-2)\cdot 1+1\cdot(-2)=-4 și (−2)⋅0+1⋅1=1\displaystyle (-2)\cdot 0+1\cdot 1=1.
    A⋅A=(10−41)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\-4&1\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricea I2\displaystyle I_2, element cu element, la A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    A⋅A+I2=(10−41)+(1001)=(20−42)\displaystyle A\cdot A+I_2=\begin{pmatrix}1&0\\-4&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\-4&2\end{pmatrix}
  3. Calculăm 2A\displaystyle 2A înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu 2\displaystyle 2 și observăm că obținem aceeași matrice. Deci A⋅A+I2=2A\displaystyle A\cdot A+I_2=2A.
    (20−42)=2(10−21)=2A\displaystyle \begin{pmatrix}2&0\\-4&2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}=2A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(10−21)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c, pentru care A⋅(a−2bc+11)=I2\displaystyle A\cdot\begin{pmatrix}a-2&b\\c+1&1\end{pmatrix}=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Efectuăm produsul dintre matricea A\displaystyle A și matricea dată, linie cu coloană. Prima linie a lui A\displaystyle A este (1, 0)\displaystyle (1,\ 0), deci prima linie a produsului coincide cu prima linie a matricei date. A doua linie a lui A\displaystyle A este (−2, 1)\displaystyle (-2,\ 1), deci obținem −2\displaystyle -2 înmulțit cu prima linie, plus a doua linie.
    A⋅(a−2bc+11)=(a−2b−2(a−2)+c+1−2b+1)\displaystyle A\cdot\begin{pmatrix}a-2&b\\c+1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-2&b\\-2(a-2)+c+1&-2b+1\end{pmatrix}
  2. Egalăm produsul cu matricea unitate I2\displaystyle I_2. Rezultatul este exact egalitatea de matrice din barem.
    (a−2b−2(a−2)+c+1−2b+1)=(1001)\displaystyle \begin{pmatrix}a-2&b\\-2(a-2)+c+1&-2b+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  3. Două matrice sunt egale dacă elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Obținem un sistem de patru ecuații.
    {a−2=1b=0−2(a−2)+c+1=0−2b+1=1\displaystyle \begin{cases}a-2=1\\b=0\\-2(a-2)+c+1=0\\-2b+1=1\end{cases}
  4. Din prima ecuație obținem a=3\displaystyle a=3. Din a doua ecuație obținem b=0\displaystyle b=0, iar a patra ecuație, −2⋅0+1=1\displaystyle -2\cdot 0+1=1, este verificată de această valoare.
    a=3\displaystyle a=3, b=0\displaystyle \ b=0
  5. Înlocuim a−2=1\displaystyle a-2=1 în a treia ecuație: −2⋅1+c+1=0\displaystyle -2\cdot 1+c+1=0, deci c−1=0\displaystyle c-1=0, adică c=1\displaystyle c=1.
    c=1\displaystyle c=1
  6. Răspuns final: numerele căutate sunt a=3\displaystyle a=3, b=0\displaystyle b=0 și c=1\displaystyle c=1.
    a=3\displaystyle a=3, b=0\displaystyle \ b=0, c=1\displaystyle \ c=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.

Arătați că 1∘(−3)=−3\displaystyle 1\circ(-3)=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=−3\displaystyle y=-3.
    1∘(−3)=1⋅(−3)+3⋅1+3⋅(−3)+6\displaystyle 1\circ(-3)=1\cdot(-3)+3\cdot 1+3\cdot(-3)+6
  2. Calculăm produsele: 1⋅(−3)=−3\displaystyle 1\cdot(-3)=-3, 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3, 3⋅(−3)=−9\displaystyle 3\cdot(-3)=-9.
    −3+3+(−9)+6\displaystyle -3+3+(-9)+6
  3. Adunăm termenii: −3+3=0\displaystyle -3+3=0, iar −9+6=−3\displaystyle -9+6=-3. Deci 1∘(−3)=−3\displaystyle 1\circ(-3)=-3, ceea ce trebuia arătat.
    −3+3−9+6=−3\displaystyle -3+3-9+6=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.

Demonstrați că x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6, pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6
  2. Scriem termenul liber 6\displaystyle 6 ca 9−3\displaystyle 9-3, pentru a obține 9=3⋅3\displaystyle 9=3\cdot 3, necesar pentru factorul comun.
    x∘y=xy+3x+3y+9−3\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+9-3
  3. Grupăm primii doi termeni, xy\displaystyle xy și 3x\displaystyle 3x, și dăm factor comun pe x\displaystyle x. Apoi grupăm 3y\displaystyle 3y cu 9\displaystyle 9 și dăm factor comun pe 3\displaystyle 3. Ambele grupuri conțin factorul y+3\displaystyle y+3.
    x∘y=x(y+3)+3(y+3)−3\displaystyle x\circ y=x(y+3)+3(y+3)-3
  4. Dăm factor comun pe y+3\displaystyle y+3 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.

Determinați valorile reale ale lui x\displaystyle x, pentru care x∘x≤x\displaystyle x\circ x\le x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în forma factorizată: xy+3x+3y+6=(x+3)(y+3)−3\displaystyle xy+3x+3y+6=(x+3)(y+3)-3, deoarece (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9\displaystyle (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9.
    x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3
  2. Pentru y=x\displaystyle y=x obținem x∘x=(x+3)(x+3)−3=(x+3)2−3\displaystyle x\circ x=(x+3)(x+3)-3=(x+3)^{2}-3, iar inegalitatea devine (x+3)2−3≤x\displaystyle (x+3)^{2}-3\le x.
    (x+3)2−3≤x\displaystyle (x+3)^{2}-3\le x
  3. Scădem x\displaystyle x din ambii membri și observăm că −3−x=−(x+3)\displaystyle -3-x=-(x+3), deci putem da factor comun x+3\displaystyle x+3.
    (x+3)2−(x+3)≤0\displaystyle (x+3)^{2}-(x+3)\le 0
  4. Dăm factor comun x+3\displaystyle x+3: (x+3)(x+3−1)≤0\displaystyle (x+3)(x+3-1)\le 0, adică (x+3)(x+2)≤0\displaystyle (x+3)(x+2)\le 0.
    (x+3)(x+2)≤0\displaystyle (x+3)(x+2)\le 0
  5. Produsul este negativ sau nul când x\displaystyle x se află între rădăcinile −3\displaystyle -3 și −2\displaystyle -2 (coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, deci parabola e sub axă între rădăcini), inclusiv capetele.
    x∈[−3,−2]\displaystyle x\in[-3,-2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−3x2+7\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2+7.

Arătați că f′(x)=6x(x−1)\displaystyle f'(x)=6x(x-1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=2x3−3x2+7\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2+7 este un polinom, deci derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Derivăm termen cu termen: f′(x)=(2x3)′−(3x2)′+7′\displaystyle f'(x)=(2x^3)'-(3x^2)'+7'.
    f′(x)=(2x3)′−(3x2)′+7′\displaystyle f'(x)=(2x^3)'-(3x^2)'+7'
  2. Aplicăm formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^n)'=n\cdot x^{n-1} și faptul că derivata unei constante este 0\displaystyle 0: (2x3)′=2⋅3x2=6x2\displaystyle (2x^3)'=2\cdot 3x^2=6x^2, (3x2)′=3⋅2x=6x\displaystyle (3x^2)'=3\cdot 2x=6x, 7′=0\displaystyle 7'=0.
    (2x3)′=6x2\displaystyle (2x^3)'=6x^2, (3x2)′=6x\displaystyle \ (3x^2)'=6x, 7′=0\displaystyle \ 7'=0
  3. Înlocuim în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x): f′(x)=6x2−6x+0\displaystyle f'(x)=6x^2-6x+0.
    f′(x)=6x2−6x\displaystyle f'(x)=6x^2-6x
  4. Dăm factor comun pe 6x\displaystyle 6x: 6x2−6x=6x(x−1)\displaystyle 6x^2-6x=6x(x-1), pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Deci f′(x)=6x(x−1)\displaystyle f'(x)=6x(x-1).
    f′(x)=6x2−6x=6x(x−1)\displaystyle f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−3x2+7\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2+7.

Arătați că lim⁡x→2f(x)−11x−2=12\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-11}{x-2}=12.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(2)=2⋅23−3⋅22+7=16−12+7\displaystyle f(2)=2\cdot 2^{3}-3\cdot 2^{2}+7=16-12+7, deci f(2)=11\displaystyle f(2)=11.
    f(2)=16−12+7=11\displaystyle f(2)=16-12+7=11
  2. Cum 11=f(2)\displaystyle 11=f(2), avem lim⁡x→2f(x)−11x−2=lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)-11}{x-2}=\lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}, adică exact definiția derivatei f′(2)\displaystyle f'(2).
    lim⁡x→2f(x)−11x−2=lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-11}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)
  3. Derivăm: f′(x)=(2x3−3x2+7)′=6x2−6x\displaystyle f'(x)=\left(2x^{3}-3x^{2}+7\right)'=6x^{2}-6x, deoarece derivata constantei 7\displaystyle 7 este 0\displaystyle 0. Putem scrie și f′(x)=6x(x−1)\displaystyle f'(x)=6x(x-1).
    f′(x)=6x2−6x=6x(x−1)\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6x=6x(x-1)
  4. Calculăm f′(2)=6⋅2⋅(2−1)=6⋅2⋅1=12\displaystyle f'(2)=6\cdot 2\cdot(2-1)=6\cdot 2\cdot 1=12. Prin urmare, lim⁡x→2f(x)−11x−2=12\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)-11}{x-2}=12.
    f′(2)=6⋅2⋅1=12\displaystyle f'(2)=6\cdot 2\cdot 1=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−3x2+7\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2+7.

Demonstrați că f(x)≥6\displaystyle f(x)\ge 6, pentru orice x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând fiecare termen: (2x3)′=6x2\displaystyle (2x^{3})'=6x^{2}, (−3x2)′=−6x\displaystyle (-3x^{2})'=-6x, (7)′=0\displaystyle (7)'=0.
    f′(x)=6x2−6x\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6x
  2. Scoatem factor comun 6x\displaystyle 6x și rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Produsul este nul când un factor este nul: f′(x)=6x(x−1)\displaystyle f'(x)=6x(x-1).
    f′(x)=6x(x−1)=0⇔x=0 sau x=1\displaystyle f'(x)=6x(x-1)=0\Leftrightarrow x=0\text{ sau }x=1
  3. Studiem semnul derivatei pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1]. Aici x≥0\displaystyle x\ge 0 și x−1≤0\displaystyle x-1\le 0, deci produsul 6x(x−1)≤0\displaystyle 6x(x-1)\le 0. Rezultă că f\displaystyle f este descrescătoare pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    x∈[0,1]⇒f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe [0,1]\displaystyle x\in[0,1]\Rightarrow f'(x)\le 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }[0,1]
  4. Studiem semnul derivatei pe intervalul [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty). Aici x>0\displaystyle x>0 și x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0, deci produsul 6x(x−1)≥0\displaystyle 6x(x-1)\ge 0. Rezultă că f\displaystyle f este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    x∈[1,+∞)⇒f′(x)≥0, deci f este cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty)\Rightarrow f'(x)\ge 0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,+\infty)
  5. Funcția scade pe [0,1]\displaystyle [0,1] și crește pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), deci cea mai mică valoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty) este atinsă în x=1\displaystyle x=1. Calculăm f(1)=2−3+7=6\displaystyle f(1)=2-3+7=6. Prin urmare f(x)≥6\displaystyle f(x)\ge 6 pentru orice x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty).
    f(1)=6, obținem f(x)≥6, pentru orice x∈[0,+∞)\displaystyle f(1)=6\text{, obținem }f(x)\ge 6\text{, pentru orice }x\in[0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3x\displaystyle f(x)=x^2+3x.

Arătați că ∫−11(f(x)−3x)dx=23\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-3x\right)dx=\frac{2}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+3x\displaystyle f(x)=x^{2}+3x în integrală: f(x)−3x=x2+3x−3x\displaystyle f(x)-3x=x^{2}+3x-3x.
    ∫−11(f(x)−3x)dx=∫−11(x2+3x−3x)dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-3x\right)dx=\int_{-1}^{1}\left(x^{2}+3x-3x\right)dx
  2. Termenii 3x\displaystyle 3x și −3x\displaystyle -3x se reduc, deci integrandul devine x2\displaystyle x^{2}.
    ∫−11(x2+3x−3x)dx=∫−11x2 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(x^{2}+3x-3x\right)dx=\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx
  3. O primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton între limitele −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1.
    ∫−11x2 dx=x33∣−11=133−(−1)33\displaystyle \int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=\left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{-1}^{1}=\dfrac{1^{3}}{3}-\dfrac{(-1)^{3}}{3}
  4. Cum (−1)3=−1\displaystyle (-1)^{3}=-1, obținem 13+13=23\displaystyle \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    13+13=23\displaystyle \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3x\displaystyle f(x)=x^2+3x.

Arătați că ∫01(f(x)−x2)exdx=3\displaystyle \int_{0}^{1}\left(f(x)-x^2\right)e^x dx=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+3x\displaystyle f(x)=x^2+3x în integrală: f(x)−x2=3x\displaystyle f(x)-x^2=3x. Integrala devine o integrală cu integrandul 3xex\displaystyle 3xe^x.
    ∫01(x2+3x−x2)ex dx=3∫01xex dx\displaystyle \int_0^1\left(x^2+3x-x^2\right)e^x\,dx=3\int_0^1 xe^x\,dx
  2. Pentru ∫01xex dx\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx alegem u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx. Atunci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=x\displaystyle u=x, dv=ex dx ⇒ du=dx\displaystyle \ dv=e^x\,dx\ \Rightarrow\ du=dx, v=ex\displaystyle \ v=e^x
  3. Aplicăm formula ∫abu dv=uv∣ab−∫abv du\displaystyle \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du și obținem expresia de mai jos.
    3∫01xex dx=3(xex∣01−∫01ex dx)\displaystyle 3\int_0^1 xe^x\,dx=3\left(xe^x\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx\right)
  4. Deoarece ∫ex dx=ex\displaystyle \int e^x\,dx=e^x, avem xex−ex=(x−1)ex\displaystyle xe^x-e^x=(x-1)e^x. Expresia devine 3(x−1)ex\displaystyle 3(x-1)e^x evaluată între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    3(xex−ex)∣01=3(x−1)ex∣01\displaystyle 3\left(xe^x-e^x\right)\Big|_0^1=3(x-1)e^x\Big|_0^1
  5. Pentru x=1\displaystyle x=1 obținem (1−1)e1=0\displaystyle (1-1)e^1=0, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem (0−1)e0=−1\displaystyle (0-1)e^0=-1. Deci rezultatul este 3⋅(0−(−1))=3\displaystyle 3\cdot(0-(-1))=3.
    3[(1−1)e−(0−1)e0]=3⋅(0+1)=3\displaystyle 3\left[(1-1)e-(0-1)e^0\right]=3\cdot\left(0+1\right)=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3x\displaystyle f(x)=x^2+3x.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[1,2]→R\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=3f(x)x\displaystyle g(x)=\frac{3f(x)}{x}.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la g(x)=3f(x)x\displaystyle g(x)=\dfrac{3f(x)}{x} și înlocuim f(x)=x2+3x\displaystyle f(x)=x^{2}+3x, deci g(x)=3(x2+3x)x\displaystyle g(x)=\dfrac{3(x^{2}+3x)}{x}.
    g(x)=3(x2+3x)x\displaystyle g(x)=\dfrac{3(x^{2}+3x)}{x}
  2. Dăm factor comun x\displaystyle x la numărător: x2+3x=x(x+3)\displaystyle x^{2}+3x=x(x+3). Pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2] avem x≠0\displaystyle x\neq 0, deci putem simplifica prin x\displaystyle x și obținem g(x)=3(x+3)\displaystyle g(x)=3(x+3).
    g(x)=3(x+3)\displaystyle g(x)=3(x+3)
  3. Volumul corpului de rotație în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫12g2(x) dx\displaystyle V=\pi\displaystyle\int_{1}^{2}g^{2}(x)\,dx. Înlocuim g(x)=3(x+3)\displaystyle g(x)=3(x+3), deci g2(x)=9(x+3)2\displaystyle g^{2}(x)=9(x+3)^{2}.
    V=π∫129(x+3)2 dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2}9(x+3)^{2}\,dx
  4. Scoatem constanta 9\displaystyle 9 în fața integralei. O primitivă a lui (x+3)2\displaystyle (x+3)^{2} este (x+3)33\displaystyle \dfrac{(x+3)^{3}}{3}, deci V=9π⋅(x+3)33∣12\displaystyle V=9\pi\cdot\dfrac{(x+3)^{3}}{3}\Big|_{1}^{2}.
    V=9π⋅(x+3)33∣12\displaystyle V=9\pi\cdot\dfrac{(x+3)^{3}}{3}\Big|_{1}^{2}
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: V=3π((2+3)3−(1+3)3)=3π(125−64)=3π⋅61\displaystyle V=3\pi\left((2+3)^{3}-(1+3)^{3}\right)=3\pi(125-64)=3\pi\cdot 61. Am simplificat 9π⋅13=3π\displaystyle 9\pi\cdot\dfrac{1}{3}=3\pi.
    V=3π(125−64)=3π⋅61\displaystyle V=3\pi(125-64)=3\pi\cdot 61
  6. Calculăm 3⋅61=183\displaystyle 3\cdot 61=183, deci volumul căutat este V=183π\displaystyle V=183\pi.
    V=183π\displaystyle V=183\pi
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.