Bac matematică M3 tehnologic 2026, sesiunea a II-a varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 15⋅(3+13)+43=2\displaystyle \frac{1}{5}\cdot\left(3+\frac{1}{3}\right)+\frac{4}{3}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm mai întâi suma din paranteză, aducând la numitor comun 3\displaystyle 3: 3=93\displaystyle 3=\dfrac{9}{3}, deci 3+13=93+13=103\displaystyle 3+\dfrac{1}{3}=\dfrac{9}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}.
    3+13=103\displaystyle 3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}
  2. Înlocuim rezultatul în expresie și obținem 15⋅103+43\displaystyle \dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{10}{3}+\dfrac{4}{3}.
    15⋅103+43\displaystyle \frac{1}{5}\cdot\frac{10}{3}+\frac{4}{3}
  3. Efectuăm înmulțirea: simplificăm 10\displaystyle 10 cu 5\displaystyle 5 și obținem 15⋅103=23\displaystyle \dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{10}{3}=\dfrac{2}{3}.
    15⋅103=23\displaystyle \frac{1}{5}\cdot\frac{10}{3}=\frac{2}{3}
  4. Adunăm fracțiile cu același numitor: 23+43=63=2\displaystyle \dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{6}{3}=2. Deci egalitatea este adevărată.
    23+43=63=2\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\frac{6}{3}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−3\displaystyle f(x)=2x-3. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)−f(4)=4\displaystyle f(a)-f(4)=4.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(4)\displaystyle f(4) înlocuind x\displaystyle x cu 4\displaystyle 4 în formula funcției: f(4)=2⋅4−3\displaystyle f(4)=2\cdot 4-3.
    f(4)=8−3=5\displaystyle f(4)=8-3=5
  2. Scriem f(a)\displaystyle f(a) înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formula funcției.
    f(4)=5\displaystyle f(4)=5, f(a)=2a−3\displaystyle \ f(a)=2a-3
  3. Înlocuim f(a)\displaystyle f(a) și f(4)\displaystyle f(4) în egalitatea f(a)−f(4)=4\displaystyle f(a)-f(4)=4.
    2a−3−5=4\displaystyle 2a-3-5=4
  4. Reducem termenii constanți din membrul stâng: −3−5=−8\displaystyle -3-5=-8, deci obținem ecuația 2a−8=4\displaystyle 2a-8=4.
    2a−8=4\displaystyle 2a-8=4
  5. Trecem pe 8\displaystyle 8 în membrul drept: 2a=4+8=12\displaystyle 2a=4+8=12. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem a=6\displaystyle a=6.
    2a−3−5=4, de unde obținem a=6\displaystyle 2a-3-5=4\text{, de unde obținem }a=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 21−x=23+x\displaystyle 2^{1-x}=2^{3+x}.
Vezi rezolvarea
  1. Cele două părți ale ecuației sunt puteri ale aceluiași număr, 2\displaystyle 2, care este pozitiv și diferit de 1\displaystyle 1. Funcția exponențială de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, deci puterile sunt egale doar dacă exponenții sunt egali.
    21−x=23+x⇒1−x=3+x\displaystyle 2^{1-x}=2^{3+x}\Rightarrow 1-x=3+x
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x într-o parte și numerele în cealaltă: scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri și adunăm x\displaystyle x la ambii membri.
    1−3=x+x⇒−2=2x\displaystyle 1-3=x+x\Rightarrow -2=2x
  3. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem soluția ecuației.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 20%\displaystyle 20\%, un obiect costă 48 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul obiectului înainte de scumpire, în lei.
    x = prețul inițial\displaystyle x\text{ = prețul inițial}
  2. Scumpirea cu 20%\displaystyle 20\% înseamnă că la prețul inițial se adaugă 20%\displaystyle 20\% din el. Prețul după scumpire este 48 de lei, deci scriem ecuația: x+20100⋅x=48\displaystyle x+\dfrac{20}{100}\cdot x=48.
    x+20100⋅x=48\displaystyle x+\frac{20}{100}\cdot x=48
  3. Dăm x\displaystyle x factor comun și simplificăm fracția 20100=15\displaystyle \dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}, deci x(1+15)=48\displaystyle x\left(1+\dfrac{1}{5}\right)=48, adică 65x=48\displaystyle \dfrac{6}{5}x=48.
    65x=48\displaystyle \frac{6}{5}x=48
  4. Înmulțim ambii membri cu 56\displaystyle \dfrac{5}{6} și obținem x=48⋅56=8⋅5=40\displaystyle x=48\cdot\dfrac{5}{6}=8\cdot 5=40. Prețul înainte de scumpire a fost de 40 de lei.
    x=40 de lei\displaystyle x=40\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,5)\displaystyle A(2,5) și B(6,8)\displaystyle B(6,8). Arătați că OB=2AB\displaystyle OB=2AB.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte: pentru M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2) avem MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. Pentru OB\displaystyle OB, originea este O(0,0)\displaystyle O(0,0) și avem B(6,8)\displaystyle B(6,8).
    OB=(6−0)2+(8−0)2\displaystyle OB=\sqrt{(6-0)^2+(8-0)^2}
  2. Calculăm pătratele și adunăm: 36+64=100\displaystyle 36+64=100, iar 100=10\displaystyle \sqrt{100}=10.
    OB=36+64=100=10\displaystyle OB=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10
  3. Calculăm acum distanța AB\displaystyle AB, cu A(2,5)\displaystyle A(2,5) și B(6,8)\displaystyle B(6,8): diferențele coordonatelor sunt 6−2=4\displaystyle 6-2=4 și 8−5=3\displaystyle 8-5=3.
    AB=(6−2)2+(8−5)2=42+32\displaystyle AB=\sqrt{(6-2)^2+(8-5)^2}=\sqrt{4^2+3^2}
  4. Obținem AB=16+9=25=5\displaystyle AB=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5. Deoarece OB=10\displaystyle OB=10 și 10=2⋅5\displaystyle 10=2\cdot 5, rezultă OB=2AB\displaystyle OB=2AB.
    AB=5, de unde obținem OB=2⋅5=2AB\displaystyle AB=5\text{, de unde obținem }OB=2\cdot 5=2AB
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=4\displaystyle AB=4 și BC=6\displaystyle BC=6. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 45\displaystyle 4\sqrt{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC, iar AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC sunt catetele. Scriem teorema lui Pitagora: BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}.
    BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
  2. Înlocuim AB=4\displaystyle AB=4 și BC=6\displaystyle BC=6: 62=42+AC2\displaystyle 6^{2}=4^{2}+AC^{2}, deci AC2=36−16=20\displaystyle AC^{2}=36-16=20.
    AC2=36−16=20\displaystyle AC^{2}=36-16=20
  3. Cum AC>0\displaystyle AC>0, obținem AC=20=4⋅5=25\displaystyle AC=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}.
    AC=25\displaystyle AC=2\sqrt{5}
  4. Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor: AΔABC=AB⋅AC2=4⋅252=45\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{4\cdot 2\sqrt{5}}{2}=4\sqrt{5}, adică exact ce trebuia arătat.
    AΔABC=AB⋅AC2=4⋅252=45\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 2\sqrt{5}}{2}=4\sqrt{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a−13a−33a−2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a-1\\ 3a-3 & 3a-2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=1\displaystyle \det(A(2))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în fiecare element al matricei: a−1=2−1=1\displaystyle a-1=2-1=1, 3a−3=3⋅2−3=3\displaystyle 3a-3=3\cdot 2-3=3, iar 3a−2=3⋅2−2=4\displaystyle 3a-2=3\cdot 2-2=4.
    A(2)=(1134)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 3 & 4\end{pmatrix}
  2. Scriem det⁡(A(2))\displaystyle \det(A(2)) și aplicăm formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(2))=∣1134∣=1⋅4−1⋅3\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}1 & 1\\ 3 & 4\end{vmatrix}=1\cdot 4-1\cdot 3
  3. Efectuăm calculul: 4−3=1\displaystyle 4-3=1, deci det⁡(A(2))=1\displaystyle \det(A(2))=1, așa cum trebuia arătat.
    4−3=1\displaystyle 4-3=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a−13a−33a−2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a-1\\ 3a-3 & 3a-2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că 2A(2)+A(5)=3A(3)\displaystyle 2A(2)+A(5)=3A(3).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A(2)\displaystyle A(2): înlocuim a\displaystyle a cu 2\displaystyle 2 în matricea A(a)\displaystyle A(a). Elementele sunt 1\displaystyle 1, a−1=1\displaystyle a-1=1, 3a−3=3\displaystyle 3a-3=3 și 3a−2=4\displaystyle 3a-2=4.
    A(2)=(1134)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 3 & 4\end{pmatrix}
  2. Înmulțim matricea A(2)\displaystyle A(2) cu 2\displaystyle 2, adică fiecare element se înmulțește cu 2\displaystyle 2.
    2A(2)=(2268)\displaystyle 2A(2)=\begin{pmatrix}2 & 2\\ 6 & 8\end{pmatrix}
  3. Calculăm A(5)\displaystyle A(5): pentru a=5\displaystyle a=5 avem a−1=4\displaystyle a-1=4, 3a−3=12\displaystyle 3a-3=12 și 3a−2=13\displaystyle 3a-2=13.
    A(5)=(141213)\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}1 & 4\\ 12 & 13\end{pmatrix}
  4. Adunăm matricele 2A(2)\displaystyle 2A(2) și A(5)\displaystyle A(5), element cu element.
    2A(2)+A(5)=(2+12+46+128+13)=(361821)\displaystyle 2A(2)+A(5)=\begin{pmatrix}2+1 & 2+4\\ 6+12 & 8+13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 6\\ 18 & 21\end{pmatrix}
  5. Calculăm A(3)\displaystyle A(3): pentru a=3\displaystyle a=3 avem a−1=2\displaystyle a-1=2, 3a−3=6\displaystyle 3a-3=6 și 3a−2=7\displaystyle 3a-2=7. Apoi înmulțim cu 3\displaystyle 3 și observăm că obținem aceeași matrice ca la pasul anterior, deci egalitatea este demonstrată.
    3A(3)=3(1267)=(361821)=2A(2)+A(5)\displaystyle 3A(3)=3\begin{pmatrix}1 & 2\\ 6 & 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 6\\ 18 & 21\end{pmatrix}=2A(2)+A(5)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a−13a−33a−2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a-1\\ 3a-3 & 3a-2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care 2X⋅A(2)−A(2)=A(6)\displaystyle 2X\cdot A(2)-A(2)=A(6).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricele A(2)\displaystyle A(2) și A(6)\displaystyle A(6) înlocuind a\displaystyle a cu 2\displaystyle 2, respectiv cu 6\displaystyle 6, în formula matricei A(a)\displaystyle A(a).
    A(2)=(1134)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 3 & 4\end{pmatrix}, A(6)=(151516)\displaystyle \ A(6)=\begin{pmatrix}1 & 5\\ 15 & 16\end{pmatrix}
  2. Mutăm A(2)\displaystyle A(2) în membrul drept: 2X⋅A(2)=A(6)+A(2)\displaystyle 2X\cdot A(2)=A(6)+A(2). Înmulțim la dreapta cu (A(2))−1\displaystyle \left(A(2)\right)^{-1} și împărțim la 2\displaystyle 2.
    2X⋅A(2)=A(6)+A(2), X=12(A(6)+A(2))⋅(A(2))−1\displaystyle 2X\cdot A(2)=A(6)+A(2)\text{, }X=\frac{1}{2}\left(A(6)+A(2)\right)\cdot\left(A(2)\right)^{-1}
  3. Determinantul lui A(2)\displaystyle A(2) este 1⋅4−1⋅3=1≠0\displaystyle 1\cdot 4-1\cdot 3=1\neq 0, deci matricea este inversabilă. Inversa se obține schimbând între ele elementele de pe diagonala principală, schimbând semnul celor de pe diagonala secundară și împărțind la determinant.
    (A(2))−1=(4−1−31)\displaystyle \left(A(2)\right)^{-1}=\begin{pmatrix}4 & -1\\ -3 & 1\end{pmatrix}
  4. Adunăm matricele A(6)\displaystyle A(6) și A(2)\displaystyle A(2) element cu element, apoi înmulțim cu 12\displaystyle \frac{1}{2}.
    A(6)+A(2)=(261820)\displaystyle A(6)+A(2)=\begin{pmatrix}2 & 6\\ 18 & 20\end{pmatrix}, 12(A(6)+A(2))=(13910)\displaystyle \ \frac{1}{2}\left(A(6)+A(2)\right)=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 9 & 10\end{pmatrix}
  5. Înmulțim matricea (13910)\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 3\\ 9 & 10\end{pmatrix} cu (A(2))−1\displaystyle \left(A(2)\right)^{-1}, linie cu coloană, și obținem matricea X\displaystyle X.
    X=(13910)(4−1−31)=(4−9−1+336−30−9+10)=(−5261)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 9 & 10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & -1\\ -3 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-9 & -1+3\\ 36-30 & -9+10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 & 2\\ 6 & 1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−3X2−2X+m\displaystyle f=X^3-3X^2-2X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=9\displaystyle m=9, arătați că f(−1)=7\displaystyle f(-1)=7.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=9\displaystyle m=9 polinomul devine f=X3−3X2−2X+9\displaystyle f=X^3-3X^2-2X+9.
    f=X3−3X2−2X+9\displaystyle f=X^3-3X^2-2X+9
  2. Calculăm f(−1)\displaystyle f(-1) înlocuind X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1, scris între paranteze: f(−1)=(−1)3−3⋅(−1)2−2⋅(−1)+9\displaystyle f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)^2-2\cdot(-1)+9.
    f(−1)=(−1)3−3⋅(−1)2−2⋅(−1)+9\displaystyle f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)^2-2\cdot(-1)+9
  3. Calculăm puterile: (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1 și (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1. Apoi produsele: −3⋅1=−3\displaystyle -3\cdot 1=-3 și −2⋅(−1)=2\displaystyle -2\cdot(-1)=2.
    f(−1)=−1−3+2+9\displaystyle f(-1)=-1-3+2+9
  4. Adunăm termenii: −1−3=−4\displaystyle -1-3=-4, apoi −4+2=−2\displaystyle -4+2=-2, apoi −2+9=7\displaystyle -2+9=7. Deci f(−1)=7\displaystyle f(-1)=7.
    f(−1)=−1−3+2+9=7\displaystyle f(-1)=-1-3+2+9=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−3X2−2X+m\displaystyle f=X^3-3X^2-2X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care 2\displaystyle 2 este rădăcină a polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Dacă 2\displaystyle 2 este rădăcină a polinomului f\displaystyle f, atunci valoarea polinomului în 2\displaystyle 2 este zero, adică f(2)=0\displaystyle f(2)=0.
    f(2)=0\displaystyle f(2)=0
  2. Înlocuim X\displaystyle X cu 2\displaystyle 2 în f\displaystyle f: f(2)=23−3⋅22−2⋅2+m\displaystyle f(2)=2^{3}-3\cdot 2^{2}-2\cdot 2+m.
    f(2)=23−3⋅22−2⋅2+m\displaystyle f(2)=2^{3}-3\cdot 2^{2}-2\cdot 2+m
  3. Calculăm: 23=8\displaystyle 2^{3}=8, 3⋅22=12\displaystyle 3\cdot 2^{2}=12, 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, deci f(2)=8−12−4+m=−8+m\displaystyle f(2)=8-12-4+m=-8+m.
    f(2)=8−12−4+m=−8+m\displaystyle f(2)=8-12-4+m=-8+m
  4. Punem condiția f(2)=0\displaystyle f(2)=0, adică −8+m=0\displaystyle -8+m=0, de unde m=8\displaystyle m=8.
    −8+m=0, de unde obținem m=8\displaystyle -8+m=0\text{, de unde obținem }m=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−3X2−2X+m\displaystyle f=X^3-3X^2-2X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Știind că restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul g=X−4\displaystyle g=X-4 este egal cu 14\displaystyle 14, determinați rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Restul împărțirii lui f\displaystyle f la X−4\displaystyle X-4 este f(4)\displaystyle f(4), conform teoremei restului. Calculăm f(4)=43−3⋅42−2⋅4+m=64−48−8+m\displaystyle f(4)=4^3-3\cdot 4^2-2\cdot 4+m=64-48-8+m, deci f(4)=8+m\displaystyle f(4)=8+m.
    f(4)=8+m\displaystyle f(4)=8+m
  2. Din condiția că restul este 14\displaystyle 14 avem 8+m=14\displaystyle 8+m=14, deci m=6\displaystyle m=6 și f=X3−3X2−2X+6\displaystyle f=X^3-3X^2-2X+6.
    f(4)=14, de unde m=6, deci f=X3−3X2−2X+6\displaystyle f(4)=14\text{, de unde }m=6\text{, deci }f=X^3-3X^2-2X+6
  3. Factorizăm prin grupare: X3−3X2−2X+6=X2(X−3)−2(X−3)\displaystyle X^3-3X^2-2X+6=X^2(X-3)-2(X-3), iar apoi dăm factor comun pe X−3\displaystyle X-3.
    f=(X−3)(X2−2)\displaystyle f=(X-3)\left(X^2-2\right)
  4. Rădăcinile se află din f(x)=0\displaystyle f(x)=0, adică (x−3)(x2−2)=0\displaystyle (x-3)\left(x^2-2\right)=0. Din x−3=0\displaystyle x-3=0 obținem x=3\displaystyle x=3, iar din x2−2=0\displaystyle x^2-2=0 obținem x=±2\displaystyle x=\pm\sqrt{2}.
    x1=3\displaystyle x_1=3, x2=−2\displaystyle \ x_2=-\sqrt{2}, x3=2\displaystyle \ x_3=\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−5x+3\displaystyle f(x)=\frac{x^2-5}{x+3}. Arătați că f′(x)=x2+6x+5(x+3)2\displaystyle f'(x)=\frac{x^2+6x+5}{(x+3)^2}, x∈(−3,+∞)\displaystyle x\in(-3,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un raport de două funcții derivabile pe (−3,+∞)\displaystyle (-3,+\infty), deoarece numitorul x+3\displaystyle x+3 este nenul acolo. Folosim formula (uv)′=u′⋅v−u⋅v′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}, cu u=x2−5\displaystyle u=x^{2}-5 și v=x+3\displaystyle v=x+3.
    f′(x)=(x2−5)′⋅(x+3)−(x2−5)⋅(x+3)′(x+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\left(x^{2}-5\right)'\cdot(x+3)-\left(x^{2}-5\right)\cdot(x+3)'}{(x+3)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: (x2−5)′=2x\displaystyle \left(x^{2}-5\right)'=2x și (x+3)′=1\displaystyle (x+3)'=1.
    (x2−5)′=2x\displaystyle \left(x^{2}-5\right)'=2x
  3. Înlocuim derivatele în formula câtului.
    f′(x)=2x(x+3)−(x2−5)⋅1(x+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x+3)-\left(x^{2}-5\right)\cdot 1}{(x+3)^{2}}
  4. Desfacem parantezele de la numărător: 2x(x+3)=2x2+6x\displaystyle 2x(x+3)=2x^{2}+6x, iar −(x2−5)=−x2+5\displaystyle -\left(x^{2}-5\right)=-x^{2}+5.
    2x2+6x−x2+5\displaystyle 2x^{2}+6x-x^{2}+5
  5. Reducem termenii asemenea: 2x2−x2=x2\displaystyle 2x^{2}-x^{2}=x^{2}. Numărătorul devine x2+6x+5\displaystyle x^{2}+6x+5, deci obținem expresia cerută pentru x∈(−3,+∞)\displaystyle x\in(-3,+\infty).
    f′(x)=x2+6x+5(x+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+6x+5}{(x+3)^{2}}, x∈(−3,+∞)\displaystyle \ x\in(-3,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−5x+3\displaystyle f(x)=\frac{x^2-5}{x+3}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=−1\displaystyle x=-1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=−1\displaystyle x_0=-1 este y−f(−1)=f′(−1)(x+1)\displaystyle y-f(-1)=f'(-1)(x+1). Trebuie deci să calculăm f(−1)\displaystyle f(-1) și f′(−1)\displaystyle f'(-1).
    y−f(−1)=f′(−1)(x+1)\displaystyle y-f(-1)=f'(-1)(x+1)
  2. Calculăm f(−1)\displaystyle f(-1), înlocuind x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1 în expresia funcției. Punctul −1\displaystyle -1 aparține domeniului (−3,+∞)\displaystyle (-3,+\infty).
    f(−1)=(−1)2−5−1+3=−42=−2\displaystyle f(-1)=\dfrac{(-1)^{2}-5}{-1+3}=\dfrac{-4}{2}=-2
  3. Derivăm funcția cu formula derivatei unui cât: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x2−5\displaystyle u=x^{2}-5 și v=x+3\displaystyle v=x+3.
    f′(x)=2x(x+3)−(x2−5)⋅1(x+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x+3)-(x^{2}-5)\cdot 1}{(x+3)^{2}}
  4. Efectuăm calculele de la numărător: 2x2+6x−x2+5=x2+6x+5\displaystyle 2x^{2}+6x-x^{2}+5=x^{2}+6x+5.
    f′(x)=x2+6x+5(x+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+6x+5}{(x+3)^{2}}
  5. Calculăm f′(−1)\displaystyle f'(-1): numărătorul este 1−6+5=0\displaystyle 1-6+5=0, iar numitorul este 22=4\displaystyle 2^{2}=4. Astfel, f(−1)=−2\displaystyle f(-1)=-2 și f′(−1)=0\displaystyle f'(-1)=0.
    f(−1)=−2, f′(−1)=1−6+54=0\displaystyle f(-1)=-2\text{, }f'(-1)=\dfrac{1-6+5}{4}=0
  6. Înlocuim în formula tangentei: y−(−2)=0⋅(x+1)\displaystyle y-(-2)=0\cdot(x+1), deci y+2=0\displaystyle y+2=0. Tangenta este dreapta orizontală y=−2\displaystyle y=-2.
    y−f(−1)=f′(−1)(x+1), adica˘ y=−2\displaystyle y-f(-1)=f'(-1)(x+1)\text{, adică }y=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−5x+3\displaystyle f(x)=\frac{x^2-5}{x+3}.

Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Domeniul funcției este (−3,+∞)\displaystyle (-3,+\infty), deci putem studia comportarea la +∞\displaystyle +\infty. Căutăm asimptota oblică de forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} și n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right).
    y=mx+n\displaystyle y=mx+n,m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle \quad m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x},n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle \quad n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)
  2. Scriem f(x)x=x2−5x(x+3)\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x^2-5}{x(x+3)} și împărțim numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^2. Termenii 5x2\displaystyle \dfrac{5}{x^2} și 3x\displaystyle \dfrac{3}{x} tind la 0\displaystyle 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty.
    m=lim⁡x→+∞x2−5x(x+3)=lim⁡x→+∞1−5x21+3x=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-5}{x(x+3)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{5}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}=1
  3. Pentru m=1\displaystyle m=1 calculăm f(x)−x=x2−5x+3−x=x2−5−x(x+3)x+3\displaystyle f(x)-x=\dfrac{x^2-5}{x+3}-x=\dfrac{x^2-5-x(x+3)}{x+3}. Numărătorul devine x2−5−x2−3x=−3x−5\displaystyle x^2-5-x^2-3x=-3x-5.
    f(x)−x=−3x−5x+3\displaystyle f(x)-x=\frac{-3x-5}{x+3}
  4. Împărțim numărătorul și numitorul la x\displaystyle x. Fracțiile 5x\displaystyle \dfrac{5}{x} și 3x\displaystyle \dfrac{3}{x} tind la 0\displaystyle 0, deci n=−3\displaystyle n=-3. Asimptota oblică la +∞\displaystyle +\infty este y=x−3\displaystyle y=x-3.
    n=lim⁡x→+∞−5x−31+3x=−3, deci y=x−3\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{-\frac{5}{x}-3}{1+\frac{3}{x}}=-3\text{, deci }y=x-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx+2\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x+2}.

Arătați că ∫01(x+2)⋅f(x) dx=e−1\displaystyle \int_0^1 (x+2)\cdot f(x)\,dx=e-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=exx+2\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x}{x+2} în produsul (x+2)⋅f(x)\displaystyle (x+2)\cdot f(x). Pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1] avem x+2>0\displaystyle x+2>0, deci putem simplifica prin x+2\displaystyle x+2.
    (x+2)⋅f(x)=(x+2)⋅exx+2=ex\displaystyle (x+2)\cdot f(x)=(x+2)\cdot\dfrac{e^x}{x+2}=e^x
  2. Integrala devine integrala lui ex\displaystyle e^x, iar o primitivă a funcției ex\displaystyle e^x este chiar ex\displaystyle e^x.
    ∫01(x+2)⋅f(x) dx=∫01ex dx=ex∣01\displaystyle \int_0^1 (x+2)\cdot f(x)\,dx=\int_0^1 e^x\,dx=e^x\Big|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 1\displaystyle 1 minus valoarea ei în 0\displaystyle 0, apoi folosim e0=1\displaystyle e^0=1.
    e1−e0=e−1\displaystyle e^1-e^0=e-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx+2\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x+2}.

Arătați că ∫06f(x)ex dx=2ln⁡2\displaystyle \int_0^6 \frac{f(x)}{e^x}\,dx=2\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Avem f(x)ex=1ex⋅exx+2\displaystyle \dfrac{f(x)}{e^{x}}=\dfrac{1}{e^{x}}\cdot\dfrac{e^{x}}{x+2}, deci integrala devine o integrală din această expresie.
    ∫06f(x)ex dx=∫061ex⋅exx+2 dx\displaystyle \int_0^6\frac{f(x)}{e^x}\,dx=\int_0^6\frac{1}{e^x}\cdot\frac{e^x}{x+2}\,dx
  2. Simplificăm cu ex≠0\displaystyle e^{x}\neq 0 și obținem 1x+2\displaystyle \dfrac{1}{x+2}. Cum (x+2)′=1\displaystyle (x+2)'=1, putem scrie fracția ca (x+2)′x+2\displaystyle \dfrac{(x+2)'}{x+2}.
    ∫061x+2 dx=∫06(x+2)′x+2 dx\displaystyle \int_0^6\frac{1}{x+2}\,dx=\int_0^6\frac{(x+2)'}{x+2}\,dx
  3. Primitiva lui (x+2)′x+2\displaystyle \dfrac{(x+2)'}{x+2} este ln⁡(x+2)\displaystyle \ln(x+2), deoarece x+2>0\displaystyle x+2>0 pe [0,6]\displaystyle [0,6]. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫06(x+2)′x+2 dx=ln⁡(x+2)∣06\displaystyle \int_0^6\frac{(x+2)'}{x+2}\,dx=\ln(x+2)\Big|_0^6
  4. Calculăm ln⁡(6+2)−ln⁡(0+2)=ln⁡8−ln⁡2\displaystyle \ln(6+2)-\ln(0+2)=\ln 8-\ln 2. Cum 8=23\displaystyle 8=2^{3}, avem ln⁡8=3ln⁡2\displaystyle \ln 8=3\ln 2, deci diferența este 3ln⁡2−ln⁡2\displaystyle 3\ln 2-\ln 2.
    ln⁡8−ln⁡2=3ln⁡2−ln⁡2=2ln⁡2\displaystyle \ln 8-\ln 2=3\ln 2-\ln 2=2\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx+2\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x+2}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫01(a−1f(x))dx=4e\displaystyle \int_0^1\left(a-\frac{1}{f(x)}\right)dx=\frac{4}{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem inversul funcției: 1f(x)=x+2ex=(x+2)e−x\displaystyle \dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{x+2}{e^{x}}=(x+2)e^{-x}. Integrala se desparte în doi termeni, iar constanta a\displaystyle a se integrează direct.
    ∫01(a−1f(x))dx=a−∫01(x+2)e−xdx\displaystyle \int_0^1\left(a-\frac{1}{f(x)}\right)dx=a-\int_0^1(x+2)e^{-x}dx
  2. Pentru ∫01(x+2)e−xdx\displaystyle \int_0^1(x+2)e^{-x}dx folosim integrarea prin părți, cu u=x+2\displaystyle u=x+2 și dv=e−xdx\displaystyle dv=e^{-x}dx. Deoarece (−e−x)′=e−x\displaystyle \left(-e^{-x}\right)'=e^{-x}, avem v=−e−x\displaystyle v=-e^{-x}.
    ∫01(x+2)e−xdx=∫01(x+2)(−e−x)′dx\displaystyle \int_0^1(x+2)e^{-x}dx=\int_0^1(x+2)\left(-e^{-x}\right)'dx
  3. Aplicăm formula ∫uv′ dx=uv−∫u′v dx\displaystyle \int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx, cu u′=1\displaystyle u'=1. Avem ∫01(x+2)e−xdx=−(x+2)e−x∣01+∫01e−xdx\displaystyle \int_0^1(x+2)e^{-x}dx=-(x+2)e^{-x}\Big|_0^1+\int_0^1e^{-x}dx, deci integrala inițială devine a\displaystyle a plus (x+2)e−x∣01\displaystyle (x+2)e^{-x}\Big|_0^1 plus e−x∣01\displaystyle e^{-x}\Big|_0^1, pentru că ∫01e−xdx=−e−x∣01\displaystyle \int_0^1 e^{-x}dx=-e^{-x}\Big|_0^1.
    a+(x+2)e−x∣01+e−x∣01\displaystyle a+(x+2)e^{-x}\Big|_0^1+e^{-x}\Big|_0^1
  4. Calculăm (x+2)e−x∣01=3e−2\displaystyle (x+2)e^{-x}\Big|_0^1=\dfrac{3}{e}-2 și e−x∣01=1e−1\displaystyle e^{-x}\Big|_0^1=\dfrac{1}{e}-1.
    a+(3e−2)+(1e−1)\displaystyle a+\left(\frac{3}{e}-2\right)+\left(\frac{1}{e}-1\right)
  5. Reducem termenii: integrala este a−3+4e\displaystyle a-3+\dfrac{4}{e}. Din egalitatea cu 4e\displaystyle \dfrac{4}{e} rezultă a−3=0\displaystyle a-3=0, deci a=3\displaystyle a=3.
    a−3+4e=4e, de unde a=3\displaystyle a-3+\frac{4}{e}=\frac{4}{e}\text{, de unde }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.