Bac matematică M3 tehnologic 2024, sesiunea a II-a varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (0,3+0,4)⋅10+2⋅0,5=8\displaystyle (0,3+0,4)\cdot 10 + 2\cdot 0,5 = 8.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează mai întâi suma din paranteză: 0,3+0,4\displaystyle 0,3 + 0,4.
    0\displaystyle 0,3+0\displaystyle 3+0,4=0\displaystyle 4=0,7\displaystyle 7
  2. Se calculează produsul 2⋅0,5\displaystyle 2 \cdot 0,5, respectând ordinea operațiilor (înmulțirea înainte de adunare).
    2⋅0\displaystyle 2\cdot 0,5=1\displaystyle 5=1
  3. Se înlocuiesc rezultatele obținute în expresia inițială, obținând forma simplificată cu înmulțirea rămasă de efectuat.
    (0,3+0,4)⋅10+2⋅0\displaystyle (0,3+0,4)\cdot 10 + 2\cdot 0,5=0\displaystyle 5 = 0,7⋅10+1=\displaystyle 7\cdot 10 + 1 =
  4. Se efectuează înmulțirea 0,7⋅10\displaystyle 0,7 \cdot 10, apoi se adună rezultatul cu 1\displaystyle 1 pentru a obține valoarea finală.
    =7+1=8\displaystyle =7+1=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1. Arătați că f(1)+f(2)=4\displaystyle f(1)+f(2)=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x=1\displaystyle x=1 în expresia funcției f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1.
    f(1)=2⋅1−1\displaystyle f(1)=2\cdot 1-1
  2. Se efectuează calculul pentru f(1)\displaystyle f(1).
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1
  3. Se înlocuiește x=2\displaystyle x=2 în expresia funcției f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1.
    f(2)=2⋅2−1\displaystyle f(2)=2\cdot 2-1
  4. Se efectuează calculul pentru f(2)\displaystyle f(2), apoi se adună cele două valori obținute pentru a obține rezultatul final.
    f(2)=3, de unde obținem f(1)+f(2)=1+3=4\displaystyle f(2)=3\text{, de unde obținem }f(1)+f(2)=1+3=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(2x+1)=log⁡55\displaystyle \log_5(2x+1)=\log_5 5.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv.
    2x+1>0⇒x>−12\displaystyle 2x+1>0\Rightarrow x>-\dfrac{1}{2}
  2. Deoarece funcția logaritmică (în baza 5\displaystyle 5) este injectivă, din egalitatea logaritmilor rezultă egalitatea argumentelor. Se obține astfel o ecuație liniară, care se rezolvă parțial.
    2x+1=5, de unde obținem 2x=4\displaystyle 2x+1=5\text{, de unde obținem }2x=4
  3. Se împarte ecuația prin 2\displaystyle 2 pentru a afla valoarea lui x\displaystyle x.
    x=42=2\displaystyle x=\dfrac{4}{2}=2
  4. Se verifică dacă valoarea obținută respectă condiția de existență stabilită la început.
    2>−12, condiție ıˆndeplinita˘\displaystyle 2>-\dfrac{1}{2}\text{, condiție îndeplinită}
  5. Se formulează concluzia finală, precizând că soluția obținută satisface condiția de existență.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={11,21,31,41,51,61,71,81,91}\displaystyle A=\{11,21,31,41,51,61,71,81,91\}, acesta să fie divizibil cu 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie mulțimea A\displaystyle A și se numără elementele sale.
    A={11,21,31,41,51,61,71,81,91}\displaystyle A=\{11,21,31,41,51,61,71,81,91\}
  2. Se stabilește numărul de cazuri posibile, adică numărul total de elemente din mulțimea A\displaystyle A.
    Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile\displaystyle \text{Mulțimea }A\text{ are }9\text{ elemente, deci sunt }9\text{ cazuri posibile}
  3. Se verifică fiecare element al mulțimii pentru divizibilitate cu 3\displaystyle 3, folosind criteriul sumei cifrelor.
    11→1+1=2, nu21→2+1=3, da31→3+1=4, nu41→4+1=5, nu51→5+1=6, da61→6+1=7, nu71→7+1=8, nu81→8+1=9, da91→9+1=10, nu\displaystyle 11\to1+1=2\text{, nu}\quad21\to2+1=3\text{, da}\quad31\to3+1=4\text{, nu}\quad41\to4+1=5\text{, nu}\quad51\to5+1=6\text{, da}\quad61\to6+1=7\text{, nu}\quad71\to7+1=8\text{, nu}\quad81\to8+1=9\text{, da}\quad91\to9+1=10\text{, nu}
  4. Se identifică numerele divizibile cu 3\displaystyle 3 și se numără cazurile favorabile.
    {21,51,81}⇒3 cazuri favorabile\displaystyle \{21,51,81\}\Rightarrow3\text{ cazuri favorabile}
  5. Se aplică formula probabilității, raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, și se simplifică fracția.
    p=39=13\displaystyle p=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,1)\displaystyle A(3,1), B(m,2)\displaystyle B(m,2) și C(5,3)\displaystyle C(5,3), unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul B\displaystyle B este mijlocul segmentului AC\displaystyle AC.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula coordonatelor mijlocului unui segment: dacă B\displaystyle B este mijlocul segmentului AC\displaystyle AC, atunci abscisa lui B\displaystyle B este media aritmetică a absciselor punctelor A\displaystyle A și C\displaystyle C, iar ordonata lui B\displaystyle B este media aritmetică a ordonatelor punctelor A\displaystyle A și C\displaystyle C.
    xB=xA+xC2, yB=yA+yC2\displaystyle x_B=\frac{x_A+x_C}{2}\text{, }y_B=\frac{y_A+y_C}{2}
  2. Se identifică din enunț coordonatele punctelor A\displaystyle A, B\displaystyle B și C\displaystyle C.
    A(3,1), B(m,2), C(5,3)\displaystyle A(3,1)\text{, }B(m,2)\text{, }C(5,3)
  3. Se înlocuiește în formula abscisei mijlocului valorile abscisei lui A\displaystyle A și abscisei lui C\displaystyle C, egalând rezultatul cu abscisa lui B\displaystyle B, adică m\displaystyle m.
    m=3+52=\displaystyle m=\frac{3+5}{2}=
  4. Se efectuează calculul din membrul drept al egalității pentru a obține valoarea lui m\displaystyle m.
    =4\displaystyle =4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu BC=20\displaystyle BC=20 și AC=16\displaystyle AC=16. Arătați că perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC este egal cu 48\displaystyle 48.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică triunghiul dreptunghic în A\displaystyle A, deci BC\displaystyle BC este ipotenuză, iar AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC sunt catete. Se scrie relația din teorema lui Pitagora.
    BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^2=AB^2+AC^2
  2. Se înlocuiesc valorile cunoscute BC=20\displaystyle BC=20 și AC=16\displaystyle AC=16 în relația de mai sus.
    202=AB2+162\displaystyle 20^2=AB^2+16^2
  3. Se calculează pătratele numerelor și se izolează AB2\displaystyle AB^{2}.
    400=AB2+256⇒AB2=400−256=144\displaystyle 400=AB^2+256\Rightarrow AB^2=400-256=144
  4. Se extrage radical din AB2\displaystyle AB^{2} pentru a afla lungimea catetei AB\displaystyle AB.
    AB=144=12\displaystyle AB=\sqrt{144}=12
  5. Se calculează perimetrul triunghiului ABC însumând cele trei laturi găsite.
    P△ABC=AB+AC+BC=12+16+20=48\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+AC+BC=12+16+20=48
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(2x+111x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2x+1 & 1 \\ 1 & x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=2\displaystyle \det(A(1))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x=1\displaystyle x = 1 în matricea A(x)\displaystyle A(x) pentru a obține matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(2⋅1+1111)=(3111)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2\cdot 1+1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1) folosind notația cu bare verticale și se aplică formula determinantului de ordin doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(1))=∣3111∣=3⋅1−1⋅1=\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}3 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix}=3\cdot 1 - 1\cdot 1 =
  3. Se efectuează calculele: 3\displaystyle 3 înmulțit cu 1\displaystyle 1 este 3\displaystyle 3, iar 1\displaystyle 1 înmulțit cu 1\displaystyle 1 este 1\displaystyle 1.
    3⋅1−1⋅1=3−1\displaystyle 3\cdot 1 - 1\cdot 1 = 3-1
  4. Se scade și se obține rezultatul final al determinantului.
    =3−1=2\displaystyle =3-1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(2x+111x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2x+1 & 1 \\ 1 & x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(1)+A(5)=2A(3)\displaystyle A(1)+A(5)=2A(3).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricea A(1)\displaystyle A(1) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în A(x)=(2x+111x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2x+1 & 1 \\ 1 & x\end{pmatrix}.
    A(1)=(2⋅1+1111)=(3111)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2\cdot1+1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}
  2. Se calculează matricea A(5)\displaystyle A(5) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 5\displaystyle 5 în A(x)\displaystyle A(x)
    A(5)=(2⋅5+1115)=(11115)\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}2\cdot5+1 & 1 \\ 1 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11 & 1 \\ 1 & 5\end{pmatrix}
  3. Se adună cele două matrice A(1)\displaystyle A(1) și A(5)\displaystyle A(5), adunând elementele corespunzătoare
    A(1)+A(5)=(3111)+(11115)=(14226)=\displaystyle A(1)+A(5)=\begin{pmatrix}3 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}11 & 1 \\ 1 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14 & 2 \\ 2 & 6\end{pmatrix}=
  4. Se calculează matricea A(3)\displaystyle A(3) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în A(x)\displaystyle A(x), pentru a verifica legătura cu suma obținută
    A(3)=(2⋅3+1113)=(7113)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}2\cdot3+1 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}
  5. Se scoate factor comun 2\displaystyle 2 din matricea sumă și se compară cu 2A(3)\displaystyle 2A(3), obținându-se egalitatea cerută
    =2(7113)=2A(3)\displaystyle =2\begin{pmatrix}7 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}=2A(3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(2x+111x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}2x+1 & 1 \\ 1 & x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care X⋅A(1)=A(3)\displaystyle X\cdot A(1)=A(3).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit matricea A(1)\displaystyle A(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în A(x)\displaystyle A(x).
    A(1)=(2⋅1+1111)=(3111)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2\cdot1+1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}
  2. Se calculează determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1), necesar pentru determinarea inversei.
    det⁡(A(1))=3⋅1−1⋅1=2\displaystyle \det(A(1))=3\cdot1-1\cdot1=2
  3. Se determină matricea adjunctă (transpusa matricei cofactorilor) a lui A(1)\displaystyle A(1), pas necesar pentru formula inversei.
    adj(A(1))=(1−1−13)\displaystyle \text{adj}(A(1))=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 3\end{pmatrix}
  4. Se aplică formula inversei, A(1)−1=1det⁡(A(1))⋅adj(A(1))\displaystyle A(1)^{-1}=\dfrac{1}{\det(A(1))}\cdot\text{adj}(A(1)), obținând inversa matricei A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)−1=12(1−1−13)=(12−12−1232)\displaystyle A(1)^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\end{pmatrix}
  5. Se scrie explicit matricea A(3)\displaystyle A(3), înlocuind x=3\displaystyle x=3 în A(x)\displaystyle A(x), matrice necesară pentru calculul lui X\displaystyle X.
    A(3)=(2⋅3+1113)=(7113)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}2\cdot3+1 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}
  6. Se calculează X\displaystyle X ca produsul dintre A(3)\displaystyle A(3) și A(1)−1\displaystyle A(1)^{-1}, efectuând înmulțirea matricelor element cu element.
    X=A(3)⋅A(1)−1=(7113)(12−12−1232)=(7⋅12+1⋅(−12)7⋅(−12)+1⋅321⋅12+3⋅(−12)1⋅(−12)+3⋅32)=(3−2−14)\displaystyle X=A(3)\cdot A(1)^{-1}=\begin{pmatrix}7 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\cdot\frac{1}{2}+1\cdot(-\frac{1}{2}) & 7\cdot(-\frac{1}{2})+1\cdot\frac{3}{2} \\ 1\cdot\frac{1}{2}+3\cdot(-\frac{1}{2}) & 1\cdot(-\frac{1}{2})+3\cdot\frac{3}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -2 \\ -1 & 4\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2+2X−5\displaystyle f=X^3+mX^2+2X-5, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că f(0)=−5\displaystyle f(0)=-5, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că valoarea polinomului în 0\displaystyle 0 nu depinde de parametrul m\displaystyle m, se calculează f(0)\displaystyle f(0), înlocuind X\displaystyle X cu 0\displaystyle 0 în expresia lui f\displaystyle f.
    f(0)=03+m⋅02+2⋅0−5=\displaystyle f(0)=0^3+m\cdot 0^2+2\cdot 0-5=
  2. Se calculează fiecare termen: puterile lui 0\displaystyle 0 sunt 0\displaystyle 0, iar produsul lui m\displaystyle m cu 0\displaystyle 0 este tot 0\displaystyle 0, indiferent de valoarea lui m\displaystyle m.
    03=0\displaystyle 0^3=0,m⋅02=0\displaystyle \quad m\cdot 0^2=0,2⋅0=0\displaystyle \quad 2\cdot 0=0
  3. Se înlocuiesc aceste valori în expresia lui f(0)\displaystyle f(0) și se observă că termenii care conțin m\displaystyle m dispar.
    f(0)=0+0+0−5\displaystyle f(0)=0+0+0-5
  4. Se efectuează adunările și scăderea rămase, obținând rezultatul final, valabil pentru orice număr real m\displaystyle m.
    =0+0+0−5=−5, pentru orice numa˘r real m\displaystyle =0+0+0-5=-5\text{, pentru orice număr real }m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2+2X−5\displaystyle f=X^3+mX^2+2X-5, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că 1\displaystyle 1 este rădăcină a polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la enunț: polinomul dat este f=X3+mX2+2X−5\displaystyle f=X^{3}+mX^{2}+2X-5, unde m este un număr real, și se folosește condiția ca x=1\displaystyle x=1 să fie rădăcină a lui f, adică f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
    f=X3+mX2+2X−5\displaystyle f=X^3+mX^2+2X-5, f(1)=0\displaystyle \ f(1)=0
  2. Se scrie explicit condiția f(1)=0\displaystyle f(1)=0, înlocuind X cu 1 în expresia polinomului.
    f(1)=0 ⇒ 13+m⋅12+2⋅1−5=0\displaystyle f(1)=0\ \Rightarrow\ 1^3+m\cdot 1^2+2\cdot 1-5=0
  3. Se calculează puterile și produsele numerice din ecuație: 13=1\displaystyle 1^{3}=1, 12=1\displaystyle 1^{2}=1, deci termenul cu m devine m⋅1=m\displaystyle m\cdot 1=m, iar 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2.
    1+m+2−5=0\displaystyle 1+m+2-5=0
  4. Se adună termenii numerici cunoscuți (1+2−5\displaystyle 1+2-5) pentru a simplifica ecuația.
    m+(1+2−5)=0 ⇒ m−2=0\displaystyle m+(1+2-5)=0\ \Rightarrow\ m-2=0
  5. Se rezolvă ecuația obținută în m, izolând necunoscuta.
    m−2=0, de unde obținem m=2\displaystyle m-2=0\text{, de unde obținem }m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2+2X−5\displaystyle f=X^3+mX^2+2X-5, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul natural m\displaystyle m pentru care x12+x22+x32=5\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=5, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică coeficienții polinomului f=X3+mX2+2X−5\displaystyle f=X^{3}+mX^{2}+2X-5 (grad 3\displaystyle 3, coeficient dominant 1\displaystyle 1) și se notează cele trei rădăcini ale sale cu x1\displaystyle x_{1}, x2\displaystyle x_{2}, x3\displaystyle x_{3}, pentru a aplica relațiile lui Viète.
    f=X3+mX2+2X−5\displaystyle f=X^3+mX^2+2X-5, x1\displaystyle \ x_1,x2\displaystyle x_2,x3 ra˘da˘cinile lui f\displaystyle x_3\text{ rădăcinile lui }f
  2. Se scriu relațiile lui Viète pentru polinomul de gradul al treilea, folosind coeficienții m\displaystyle m, 2\displaystyle 2 și −5\displaystyle -5.
    x1+x2+x3=−m\displaystyle x_1+x_2+x_3=-m, x1x2+x1x3+x2x3=2\displaystyle \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2
  3. Se folosește identitatea algebrică ce leagă suma pătratelor de suma și de suma produselor rădăcinilor, pentru a exprima x12+x22+x32\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} în funcție de m\displaystyle m.
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)
  4. Se înlocuiesc relațiile lui Viète în formula obținută, rezultând expresia sumei pătratelor rădăcinilor în funcție de m\displaystyle m.
    x12+x22+x32=(−m)2−2⋅2=m2−4\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-m)^2-2\cdot 2=m^2-4
  5. Se impune condiția din enunț ca suma pătratelor rădăcinilor să fie egală cu 5\displaystyle 5, se obține o ecuație în m\displaystyle m, se rezolvă și, deoarece m\displaystyle m trebuie să fie număr natural, se alege soluția corespunzătoare.
    m2−4=5⇒m2=9⇒m=±3, iar cum m∈N, rezulta˘ m=3\displaystyle m^2-4=5\Rightarrow m^2=9\Rightarrow m=\pm 3\text{, iar cum }m\in\mathbb{N}\text{, rezultă }m=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}.

Arătați că f′(x)=2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcția și se stabilește regula de derivare ce va fi aplicată: derivata unui cât de două funcții derivabile, (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u(x)=x2\displaystyle u(x)=x^{2} și v(x)=x2+1\displaystyle v(x)=x^{2}+1.
    f(x)=x2x2+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}, u(x)=x2\displaystyle \ u(x)=x^2, v(x)=x2+1\displaystyle \ v(x)=x^2+1
  2. Se calculează derivatele funcțiilor u\displaystyle u și v\displaystyle v: derivata lui x2\displaystyle x^{2} este 2x\displaystyle 2x, iar derivata lui x2+1\displaystyle x^{2}+1 este tot 2x\displaystyle 2x (derivata constantei fiind 0\displaystyle 0).
    (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x, (x2+1)′=2x\displaystyle \ (x^2+1)'=2x
  3. Se scrie formula derivatei câtului aplicată funcției f\displaystyle f, înlocuind u\displaystyle u și v\displaystyle v cu expresiile date.
    f′(x)=(x2)′⋅(x2+1)−x2⋅(x2+1)′(x2+1)2=\displaystyle f'(x)=\frac{(x^2)'\cdot(x^2+1)-x^2\cdot(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}=
  4. Se înlocuiesc derivatele calculate anterior, (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x și (x2+1)′=2x\displaystyle (x^2+1)'=2x, în expresia obținută.
    f′(x)=2x⋅(x2+1)−x2⋅2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{2x\cdot(x^2+1)-x^2\cdot 2x}{(x^2+1)^2}
  5. Se desface paranteza de la numărător: 2x(x2+1)=2x3+2x\displaystyle 2x(x^2+1)=2x^3+2x, iar x2⋅2x=2x3\displaystyle x^2\cdot 2x=2x^3.
    f′(x)=2x3+2x−2x3(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{2x^3+2x-2x^3}{(x^2+1)^2}
  6. Se reduc termenii asemenea 2x3\displaystyle 2x^3 și −2x3\displaystyle -2x^3 de la numărător, obținându-se forma finală, simplificată, a derivatei, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=2x3+2x−2x3(x2+1)2=2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{2x^3+2x-2x^3}{(x^2+1)^2}=\frac{2x}{(x^2+1)^2}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că funcția f\displaystyle f este definită pe tot R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece numitorul x2+1\displaystyle x^{2}+1 nu se anulează niciodată. Pentru a determina asimptotele orizontale, se calculează limita funcției când x\displaystyle x tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    f(x)=x2x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}, deoarece x2+1>0\displaystyle \text{ deoarece }x^2+1>0
  2. Se scrie limita funcției la +∞\displaystyle +\infty și se pregătește calculul prin factor comun forțat, împărțind atât numărătorul cât și numitorul la cea mai mare putere a lui x\displaystyle x, adică x2\displaystyle x^{2}.
    lim⁡x→+∞x2x2+1=lim⁡x→+∞x2x2(1+1x2)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{x^2+1}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}
  3. Se simplifică fracția prin x2\displaystyle x^{2} și se folosește faptul că 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}} tinde la 0\displaystyle 0 când x\displaystyle x tinde la infinit, obținând valoarea limitei.
    lim⁡x→+∞11+1x2=11+0=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{1+0}=1
  4. Deoarece limita funcției la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu 1\displaystyle 1, rezultă că graficul funcției admite o asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, de ecuație y=1\displaystyle y=1.
    Dreapta de ecuație y=1 este asimptota orizontala˘ \displaystyle \text{Dreapta de ecuație }y=1\text{ este asimptota orizontală }spre +∞ la graficul funcției f\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se precizează domeniul de definiție și faptul că funcția este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}, fiind un raport de funcții polinomiale cu numitorul nenul (x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0 pentru orice x\displaystyle x real).
    f este derivabila˘ pe R, deoarece x2+1>0\displaystyle f\text{ este derivabilă pe }\mathbb{R}\text{, deoarece }x^2+1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Se calculează derivata funcției folosind regula de derivare a unui raport: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=(x2)′(x2+1)−x2(x2+1)′(x2+1)2=2x(x2+1)−x2⋅2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^2)'(x^2+1)-x^2(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2x(x^2+1)-x^2\cdot 2x}{(x^2+1)^2}
  3. Se simplifică expresia obținută, reducând termenii asemenea de la numărător.
    f′(x)=2x3+2x−2x3(x2+1)2=2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^3+2x-2x^3}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}
  4. Se determină semnul derivatei observând că numitorul (x2+1)2\displaystyle (x^{2}+1)^{2} este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de semnul lui 2x\displaystyle 2x, adică de semnul lui x\displaystyle x.
    (x2+1)2>0\displaystyle (x^2+1)^2>0, ∀x∈R⇒semnul lui f′(x) este semnul lui x\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow \text{semnul lui }f'(x)\text{ este semnul lui }x
  5. Se analizează semnul derivatei pentru x\displaystyle x aparținând intervalului (−∞,0]\displaystyle (-\infty, 0]: se identifică punctul critic x=0\displaystyle x=0 și se stabilește că derivata este negativă sau nulă pe acest interval, deci funcția este descrescătoare.
    f′(x)=0⇔x=0\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=0, f′(x)≤0, pentru orice x∈(−∞,0]⇒f este descresca˘toare pe (−∞,0]\displaystyle \ f'(x)\le 0\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }(-\infty,0]
  6. Se analizează semnul derivatei pentru x\displaystyle x aparținând intervalului [0,+∞)\displaystyle [0, +\infty), stabilind că derivata este pozitivă sau nulă pe acest interval, deci funcția este crescătoare.
    f′(x)≥0, pentru orice x∈[0,+∞)⇒f este cresca˘toare pe [0,+∞)\displaystyle f'(x)\ge 0\text{, pentru orice }x\in[0,+\infty)\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }[0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x+1)\displaystyle f(x)=e^x(x+1).

Arătați că ∫01f(x)x+1 dx=e−1\displaystyle \displaystyle\int_0^1 \frac{f(x)}{x+1}\,dx = e-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie integrala cerută, înlocuind expresia funcției f(x)=ex(x+1)\displaystyle f(x) = e^x(x+1) în raportul f(x)x+1\displaystyle \dfrac{f(x)}{x+1}.
    ∫01f(x)x+1 dx=∫01ex(x+1)x+1 dx\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x+1}\,dx=\int_0^1 \frac{e^x(x+1)}{x+1}\,dx
  2. Se simplifică factorul (x+1)\displaystyle (x+1) de la numărător cu (x+1)\displaystyle (x+1) de la numitor, deoarece x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0 pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1].
    ∫01ex(x+1)x+1 dx=∫01ex dx\displaystyle \int_0^1 \frac{e^x(x+1)}{x+1}\,dx=\int_0^1 e^x\,dx
  3. Se integrează funcția exponențială ex\displaystyle e^x, a cărei primitivă este tot ex\displaystyle e^x, și se aplică formula Leibniz-Newton pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01ex dx=ex∣01=\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx=e^x\Big|_0^1=
  4. Se calculează valorile funcției ex\displaystyle e^x la capetele intervalului: e1\displaystyle e^1 și e0\displaystyle e^0.
    e1−e0=e−1\displaystyle e^1-e^0=e-1
  5. Se obține rezultatul final al integralei.
    =e−1\displaystyle =e-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x+1)\displaystyle f(x)=e^x(x+1).

Arătați că ∫01f(x) dx=e\displaystyle \displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = e.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică integrala de calculat, provenită din funcția dată.
    ∫01f(x) dx=∫01ex(x+1) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 e^x(x+1)\,dx
  2. Se alege metoda de integrare prin părți: se notează u=x+1\displaystyle u=x+1 și dv=ex dx\displaystyle dv=e^{x}\,dx, de unde du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^{x}.
    u=x+1\displaystyle u=x+1, dv=ex dx ⇒ du=dx\displaystyle \ dv=e^x\,dx\ \Rightarrow\ du=dx, v=ex\displaystyle \ v=e^x
  3. Se aplică formula de integrare prin părți ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01ex(x+1) dx=ex(x+1)∣01−∫01ex dx\displaystyle \int_0^1 e^x(x+1)\,dx=e^x(x+1)\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx
  4. Se calculează primitiva rămasă ∫ex dx=ex\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}, obținându-se expresia finală înainte de evaluarea limitelor.
    ∫01f(x) dx=∫01ex(x+1) dx=ex(x+1)∣01−∫01ex dx=ex(x+1)∣01−ex∣01=\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 e^x(x+1)\,dx=e^x(x+1)\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=e^x(x+1)\Big|_0^1-e^x\Big|_0^1=
  5. Se evaluează termenul ex(x+1)\displaystyle e^{x}(x+1) la limitele 1\displaystyle 1 și 0\displaystyle 0.
    ex(x+1)∣01=e1(1+1)−e0(0+1)=2e−1\displaystyle e^x(x+1)\Big|_0^1=e^1(1+1)-e^0(0+1)=2e-1
  6. Se evaluează termenul ex\displaystyle e^{x} la limitele 1\displaystyle 1 și 0\displaystyle 0.
    ex∣01=e1−e0=e−1\displaystyle e^x\Big|_0^1=e^1-e^0=e-1
  7. Se combină rezultatele obținute și se simplifică pentru a obține valoarea integralei.
    =2e−1−e+1=e\displaystyle =2e-1-e+1=e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x+1)\displaystyle f(x)=e^x(x+1).

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>1\displaystyle a>1, pentru care ∫1a2x f(x2)x2+1 dx=e(e3−1)\displaystyle \displaystyle\int_1^a \frac{2x\,f(x^2)}{x^2+1}\,dx = e(e^3-1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(x2)\displaystyle f(x^2) înlocuind x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^2 în expresia funcției date.
    f(x2)=ex2(x2+1)\displaystyle f(x^2)=e^{x^2}(x^2+1)
  2. Înlocuim f(x2)\displaystyle f(x^2) în integrand și simplificăm fracția, observând că factorul (x2+1)\displaystyle (x^2+1) se reduce.
    2x f(x2)x2+1=2x ex2(x2+1)x2+1=2x ex2\displaystyle \frac{2x\,f(x^2)}{x^2+1}=\frac{2x\,e^{x^2}(x^2+1)}{x^2+1}=2x\,e^{x^2}
  3. Recunoaștem că expresia obținută este derivata funcției compuse ex2\displaystyle e^{x^2}, deoarece (ex2)′=2x⋅ex2\displaystyle (e^{x^2})' = 2x\cdot e^{x^2}.
    (ex2)′=2x ex2⇒∫1a2x ex2 dx=∫1a(ex2)′ dx\displaystyle (e^{x^2})'=2x\,e^{x^2}\Rightarrow \int_1^a 2x\,e^{x^2}\,dx=\int_1^a (e^{x^2})'\,dx
  4. Calculăm integrala folosind formula Leibniz-Newton, aplicând primitiva ex2\displaystyle e^{x^2} la capetele intervalului [1,a]\displaystyle [1,a].
    ∫1a2x f(x2)x2+1 dx=∫1a2xex2 dx=∫1aex2(x2)′ dx=ex2∣1a=ea2−e\displaystyle \int_1^a \frac{2x\,f(x^2)}{x^2+1}\,dx=\int_1^a 2xe^{x^2}\,dx=\int_1^a e^{x^2}(x^2)'\,dx=e^{x^2}\Big|_1^a=e^{a^2}-e
  5. Conform cerinței problemei, valoarea integralei calculate trebuie să fie egală cu e(e3−1)\displaystyle e(e^3-1); scriem ecuația corespunzătoare.
    ea2−e=e(e3−1)\displaystyle e^{a^2}-e=e(e^3-1)
  6. Desfacem paranteza din membrul drept al ecuației.
    e(e3−1)=e4−e\displaystyle e(e^3-1)=e^4-e
  7. Înlocuim și simplificăm ecuația, eliminând termenul −e\displaystyle -e din ambii membri.
    ea2−e=e4−e⇒ea2=e4\displaystyle e^{a^2}-e=e^4-e\Rightarrow e^{a^2}=e^4
  8. Din egalitatea exponențialelor, obținem a2=4\displaystyle a^2=4, deci a=2\displaystyle a=2 sau a=−2\displaystyle a=-2; cum se cere a>1\displaystyle a>1, reținem doar soluția pozitivă.
    ea2−e=e(e3−1)⇒ea2=e4 și, cum a>1, obținem a=2\displaystyle e^{a^2}-e=e(e^3-1)\Rightarrow e^{a^2}=e^4\text{ și, cum }a>1\text{, obținem }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.