Bac matematică M4 pedagogic 2016, sesiunea I rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2(1+12)(1+13)(1+14)=5\displaystyle 2\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)=5.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem la același numitor prima paranteză: 1+12=22+12\displaystyle 1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}.
    1+12=32\displaystyle 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}
  2. Pentru a doua paranteză avem 1+13=33+13\displaystyle 1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}+\dfrac{1}{3}.
    1+13=43\displaystyle 1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}
  3. Pentru a treia paranteză avem 1+14=44+14\displaystyle 1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{1}{4}. Astfel, toate parantezele sunt scrise ca fracții.
    1+12=32\displaystyle 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}, 1+13=43\displaystyle \ 1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}, 1+14=54\displaystyle \ 1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}
  4. Înlocuim parantezele cu fracțiile obținute: 2⋅32⋅43⋅54=2⋅3⋅4⋅52⋅3⋅4\displaystyle 2\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{5}{4}=\dfrac{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{2\cdot 3\cdot 4}.
    2⋅3⋅4⋅52⋅3⋅4\displaystyle \frac{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{2\cdot 3\cdot 4}
  5. Simplificăm factorii 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3 și 4\displaystyle 4 de la numărător și de la numitor. Rămâne 5\displaystyle 5, deci expresia este egală cu 5\displaystyle 5.
    2⋅32⋅43⋅54=5\displaystyle 2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați valorile reale ale lui x\displaystyle x pentru care f(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\ge g(x), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−2\displaystyle f(x)=3x-2 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x+4\displaystyle g(x)=x+4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim expresiile funcțiilor f\displaystyle f și g\displaystyle g în inegalitatea f(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\ge g(x) și obținem o inegalitate liniară în x\displaystyle x.
    3x−2≥x+4\displaystyle 3x-2\ge x+4
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în partea stângă și numerele în partea dreaptă: scădem x\displaystyle x din ambii membri și adunăm 2\displaystyle 2 la ambii membri.
    3x−x≥4+2\displaystyle 3x-x\ge 4+2
  3. Reducem termenii asemenea în ambii membri.
    2x≥6\displaystyle 2x\ge 6
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2, care este un număr pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează. Obținem x≥3\displaystyle x\ge 3, adică x\displaystyle x aparține intervalului închis la stânga, de la 3\displaystyle 3 la +∞\displaystyle +\infty.
    x≥3⇔x∈[3,+∞)\displaystyle x\ge 3\Leftrightarrow x\in[3,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7x2+3=74x\displaystyle 7^{x^2+3}=7^{4x}.
Vezi rezolvarea
  1. Cele două puteri au aceeași bază, 7\displaystyle 7, care este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1. Funcția exponențială este injectivă, deci egalitatea puterilor revine la egalitatea exponenților: x2+3=4x\displaystyle x^{2}+3=4x.
    x2+3=4x\displaystyle x^{2}+3=4x
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng: scădem 4x\displaystyle 4x din ambii membri și obținem ecuația de gradul al doilea x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0.
    x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0
  3. Calculăm discriminantul, cu a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle b=-4, c=3\displaystyle c=3: Δ=b2−4ac=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12=4\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4.
    Δ=4\displaystyle \Delta=4
  4. Aplicăm formula rădăcinilor: x1,2=−b±Δ2a=4±22\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4\pm 2}{2}. Obținem x1=4−22=1\displaystyle x_1=\dfrac{4-2}{2}=1 și x2=4+22=3\displaystyle x_2=\dfrac{4+2}{2}=3.
    x1=1\displaystyle x_1=1,x2=3\displaystyle \quad x_2=3
  5. Ecuația exponențială nu are restricții suplimentare, deci ambele rădăcini sunt soluții. Verificare: pentru x=1\displaystyle x=1 avem 74=74\displaystyle 7^{4}=7^{4}, iar pentru x=3\displaystyle x=3 avem 712=712\displaystyle 7^{12}=7^{12}. Soluțiile sunt x=1\displaystyle x=1 și x=3\displaystyle x=3.
    x=1 sau x=3\displaystyle x=1\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
O firmă folosește 6000\displaystyle 6000 de lei pentru publicitate, sumă care reprezintă 5%\displaystyle 5\% din profitul anual al firmei. Calculați profitul anual al firmei.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x profitul anual al firmei, în lei. Suma de 6000\displaystyle 6000 de lei reprezintă 5%\displaystyle 5\% din x\displaystyle x, deci scriem ecuația 5%⋅x=6000\displaystyle 5\%\cdot x=6000.
    5%⋅x=6000\displaystyle 5\%\cdot x=6000
  2. Transformăm procentul în fracție: 5%=5100=120\displaystyle 5\%=\dfrac{5}{100}=\dfrac{1}{20}. Deci 5%⋅x=x20\displaystyle 5\%\cdot x=\dfrac{x}{20}.
    5%⋅x=x20\displaystyle 5\%\cdot x=\dfrac{x}{20}
  3. Ecuația devine x20=6000\displaystyle \dfrac{x}{20}=6000. Înmulțim ambii membri cu 20\displaystyle 20 și obținem x=6000⋅20=120000\displaystyle x=6000\cdot 20=120000. Profitul anual al firmei este 120000\displaystyle 120000 de lei.
    x20=6000⇒x=120000 de lei\displaystyle \dfrac{x}{20}=6000\Rightarrow x=120000\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,0)\displaystyle A(3,0), B(6,4)\displaystyle B(6,4) și C(0,4)\displaystyle C(0,4). Calculați perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Perimetrul este suma lungimilor laturilor: P=AB+AC+BC\displaystyle P=AB+AC+BC. Folosim formula distanței dintre două puncte: d(M,N)=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle d(M,N)=\sqrt{(x_N-x_M)^{2}+(y_N-y_M)^{2}}.
    P=AB+AC+BC\displaystyle P=AB+AC+BC
  2. Calculăm AB\displaystyle AB cu A(3,0)\displaystyle A(3,0) și B(6,4)\displaystyle B(6,4). Diferența absciselor este 6−3=3\displaystyle 6-3=3, iar a ordonatelor este 4−0=4\displaystyle 4-0=4.
    AB=(6−3)2+(4−0)2=9+16=25=5\displaystyle AB=\sqrt{(6-3)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
  3. Calculăm AC\displaystyle AC cu A(3,0)\displaystyle A(3,0) și C(0,4)\displaystyle C(0,4). Diferența absciselor este 0−3=−3\displaystyle 0-3=-3, iar a ordonatelor este 4−0=4\displaystyle 4-0=4.
    AC=(0−3)2+(4−0)2=9+16=5\displaystyle AC=\sqrt{(0-3)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{9+16}=5
  4. Punctele B(6,4)\displaystyle B(6,4) și C(0,4)\displaystyle C(0,4) au aceeași ordonată, deci BC\displaystyle BC este orizontal și lungimea lui este diferența absciselor.
    BC=(0−6)2+(4−4)2=36=6\displaystyle BC=\sqrt{(0-6)^{2}+(4-4)^{2}}=\sqrt{36}=6
  5. Adunăm lungimile celor trei laturi: P=5+5+6\displaystyle P=5+5+6.
    PΔABC=5+5+6=16\displaystyle P_{\Delta ABC}=5+5+6=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡230∘+cos⁡260∘=12\displaystyle \sin^2 30^\circ+\cos^2 60^\circ=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Recunoaștem valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile din enunț: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\frac{1}{2}, cos⁡60∘=12\displaystyle \ \cos 60^\circ=\frac{1}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în expresia dată, ridicând fiecare valoare la pătrat: (12)2=14\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}.
    sin⁡230∘+cos⁡260∘=(12)2+(12)2=14+14\displaystyle \sin^2 30^\circ+\cos^2 60^\circ=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}
  3. Adunăm fracțiile care au același numitor: 14+14=24=12\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Astfel egalitatea din enunț este demonstrată.
    sin⁡230∘+cos⁡260∘=14+14=12\displaystyle \sin^2 30^\circ+\cos^2 60^\circ=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+5\displaystyle x\circ y=x+y+5.

Arătați că (−1)∘1=5\displaystyle (-1)\circ 1=5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, x∘y=x+y+5\displaystyle x\circ y=x+y+5. Aici x=−1\displaystyle x=-1 și y=1\displaystyle y=1.
    x∘y=x+y+5\displaystyle x\circ y=x+y+5,x=−1\displaystyle \quad x=-1, y=1\displaystyle \ y=1
  2. Înlocuim valorile x=−1\displaystyle x=-1 și y=1\displaystyle y=1 în definiția legii.
    (−1)∘1=(−1)+1+5\displaystyle (-1)\circ 1=(-1)+1+5
  3. Calculăm suma: (−1)+1=0\displaystyle (-1)+1=0, deci rămâne 0+5=5\displaystyle 0+5=5. Am obținut egalitatea cerută.
    (−1)∘1=0+5=5\displaystyle (-1)\circ 1=0+5=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+5\displaystyle x\circ y=x+y+5.

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este asociativă dacă pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} avem (x∘y)∘z=x∘(y∘z)\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z). Calculăm mai întâi prima grupare. Înlocuim x∘y\displaystyle x\circ y cu x+y+5\displaystyle x+y+5.
    (x∘y)∘z=(x+y+5)∘z\displaystyle (x\circ y)\circ z=(x+y+5)\circ z
  2. Aplicăm definiția legii pentru numerele x+y+5\displaystyle x+y+5 și z\displaystyle z: suma lor plus 5\displaystyle 5. Reducem termenii asemenea.
    (x∘y)∘z=(x+y+5)+z+5=x+y+z+10\displaystyle (x\circ y)\circ z=(x+y+5)+z+5=x+y+z+10
  3. Calculăm acum a doua grupare. Înlocuim y∘z\displaystyle y\circ z cu y+z+5\displaystyle y+z+5.
    x∘(y∘z)=x∘(y+z+5)\displaystyle x\circ(y\circ z)=x\circ(y+z+5)
  4. Aplicăm definiția legii pentru x\displaystyle x și y+z+5\displaystyle y+z+5 și reducem termenii asemenea. Obținem aceeași expresie ca la prima grupare, deci legea este asociativă.
    x∘(y∘z)=x+(y+z+5)+5=x+y+z+10=(x∘y)∘z\displaystyle x\circ(y\circ z)=x+(y+z+5)+5=x+y+z+10=(x\circ y)\circ z, ∀x\displaystyle \ \forall x,y\displaystyle y,z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+5\displaystyle x\circ y=x+y+5.

Verificați dacă e=−5\displaystyle e=-5 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția elementului neutru: e\displaystyle e este element neutru dacă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x. Verificăm această egalitate pentru e=−5\displaystyle e=-5, în ambele ordini.
    x∘(−5)=(−5)∘x=x\displaystyle x\circ(-5)=(-5)\circ x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm x∘(−5)\displaystyle x\circ(-5) înlocuind y\displaystyle y cu −5\displaystyle -5 în definiția legii: x+(−5)+5\displaystyle x+(-5)+5. Termenii −5\displaystyle -5 și 5\displaystyle 5 se reduc, deci rămâne x\displaystyle x.
    x∘(−5)=x+(−5)+5=x\displaystyle x\circ(-5)=x+(-5)+5=x
  3. Calculăm acum compunerea în ordine inversă, (−5)∘x\displaystyle (-5)\circ x, înlocuind primul termen cu −5\displaystyle -5 și al doilea cu x\displaystyle x: (−5)+x+5\displaystyle (-5)+x+5. Din nou, −5\displaystyle -5 și 5\displaystyle 5 se reduc și rămâne x\displaystyle x, adică exact x∘(−5)\displaystyle x\circ(-5).
    (−5)∘x=(−5)+x+5=x=x∘(−5)\displaystyle (-5)\circ x=(-5)+x+5=x=x\circ(-5)
  4. Cum x∘(−5)=(−5)∘x=x\displaystyle x\circ(-5)=(-5)\circ x=x pentru orice x\displaystyle x real, e=−5\displaystyle e=-5 este element neutru al legii „∘\displaystyle \circ”. Afirmația din enunț este adevărată.
    (−5)∘x=x∘(−5)=x\displaystyle (-5)\circ x=x\circ(-5)=x, ∀x∈R ⇒ e=−5 este element neutru\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ e=-5\text{ este element neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+5\displaystyle x\circ y=x+y+5.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x2∘x=7\displaystyle x^2\circ x=7.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∘y=x+y+5\displaystyle x\circ y=x+y+5 pentru primul termen x2\displaystyle x^{2} și al doilea termen x\displaystyle x: x2∘x=x2+x+5\displaystyle x^{2}\circ x=x^{2}+x+5.
    x2∘x=x2+x+5\displaystyle x^{2}\circ x=x^{2}+x+5
  2. Egalăm cu 7: x2+x+5=7\displaystyle x^{2}+x+5=7. Mutăm pe 7 în membrul stâng: x2+x+5−7=0\displaystyle x^{2}+x+5-7=0, adică ecuația de gradul al doilea x2+x−2=0\displaystyle x^{2}+x-2=0.
    x2+x+5=7⇔x2+x−2=0\displaystyle x^{2}+x+5=7\Leftrightarrow x^{2}+x-2=0
  3. Calculăm discriminantul pentru a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle b=1, c=−2\displaystyle c=-2: Δ=b2−4ac=1+8=9\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=1+8=9, deci Δ=3\displaystyle \sqrt{\Delta}=3.
    Δ=12−4⋅1⋅(−2)=9\displaystyle \Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=9
  4. Aplicăm formula x=−b±Δ2a=−1±32\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1\pm 3}{2}, de unde obținem x1=−2\displaystyle x_{1}=-2 și x2=1\displaystyle x_{2}=1. Ambele sunt numere reale, deci sunt soluții.
    x=−2 sau x=1\displaystyle x=-2\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+5\displaystyle x\circ y=x+y+5.

Demonstrați că (x2−y−5)∘(x−y2)=(x−y)(x+y+1)\displaystyle (x^2-y-5)\circ(x-y^2)=(x-y)(x+y+1), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii: a∘b=a+b+5\displaystyle a\circ b=a+b+5, cu a=x2−y−5\displaystyle a=x^2-y-5 și b=x−y2\displaystyle b=x-y^2.
    (x2−y−5)∘(x−y2)=(x2−y−5)+(x−y2)+5\displaystyle (x^2-y-5)\circ(x-y^2)=(x^2-y-5)+(x-y^2)+5
  2. Eliminăm parantezele, fără să schimbăm semnele termenilor: x2−y−5+x−y2+5\displaystyle x^2-y-5+x-y^2+5.
    x2−y−5+x−y2+5\displaystyle x^2-y-5+x-y^2+5
  3. Termenii −5\displaystyle -5 și +5\displaystyle +5 se reduc. Grupăm termenii: x2\displaystyle x^2 cu −y2\displaystyle -y^2 și x\displaystyle x cu −y\displaystyle -y.
    x2−y2+x−y\displaystyle x^2-y^2+x-y
  4. Folosim formula a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b) pentru x2−y2\displaystyle x^2-y^2.
    x2−y2+x−y=(x−y)(x+y)+(x−y)\displaystyle x^2-y^2+x-y=(x-y)(x+y)+(x-y)
  5. Dăm factor comun x−y\displaystyle x-y: (x−y)(x+y)+(x−y)⋅1\displaystyle (x-y)(x+y)+(x-y)\cdot 1. Egalitatea cerută este demonstrată pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    (x−y)(x+y)+(x−y)=(x−y)(x+y+1)\displaystyle (x-y)(x+y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+5\displaystyle x\circ y=x+y+5.

Determinați numerele naturale m\displaystyle m și n\displaystyle n, știind că m∘n=6\displaystyle m\circ n=6.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii: m∘n=m+n+5\displaystyle m\circ n=m+n+5. Condiția m∘n=6\displaystyle m\circ n=6 devine m+n+5=6\displaystyle m+n+5=6.
    m+n+5=6\displaystyle m+n+5=6
  2. Scădem 5\displaystyle 5 din ambii membri: m+n=6−5\displaystyle m+n=6-5, deci m+n=1\displaystyle m+n=1.
    m+n+5=6⇔m+n=1\displaystyle m+n+5=6\Leftrightarrow m+n=1
  3. Numerele m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt naturale, deci m≥0\displaystyle m\ge 0 și n≥0\displaystyle n\ge 0. Din m+n=1\displaystyle m+n=1 rezultă m∈{0,1}\displaystyle m\in\{0,1\} și n=1−m\displaystyle n=1-m. Dacă m=0\displaystyle m=0, atunci n=1\displaystyle n=1, iar dacă m=1\displaystyle m=1, atunci n=0\displaystyle n=0.
    (m,n)∈{(0,1),(1,0)}\displaystyle (m,n)\in\{(0,1),(1,0)\}
  4. Verificăm: 0∘1=0+1+5=6\displaystyle 0\circ 1=0+1+5=6 și 1∘0=1+0+5=6\displaystyle 1\circ 0=1+0+5=6. Ambele perechi convin.
    m=0\displaystyle m=0, n=1 sau m=1\displaystyle \ n=1\text{ sau }m=1, n=0\displaystyle \ n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și A(a)=(1aa1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)=(1aa1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix} și obținem matricea unitate de ordinul doi.
    A(0)=(1001)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul lui A(0)\displaystyle A(0) și aplicăm regula: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(0))=∣1001∣=1⋅1−0⋅0\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\cdot1-0\cdot0
  3. Efectuăm înmulțirile și scăderea: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot1=1 și 0⋅0=0\displaystyle 0\cdot0=0, deci determinantul este egal cu 1, așa cum trebuia arătat.
    1−0=1⇒det⁡(A(0))=1\displaystyle 1-0=1\Rightarrow\det(A(0))=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și A(a)=(1aa1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(a)=(1aa1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix} și aplicăm formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(a))=∣1aa1∣=1⋅1−a⋅a\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1&a\\a&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-a\cdot a
  2. Efectuăm calculul: a⋅a=a2\displaystyle a\cdot a=a^{2}, deci determinantul în funcție de a\displaystyle a este:
    det⁡(A(a))=1−a2\displaystyle \det(A(a))=1-a^{2}
  3. Punem condiția det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0, adică obținem ecuația:
    1−a2=0⇔a2=1\displaystyle 1-a^{2}=0\Leftrightarrow a^{2}=1
  4. Ecuația a2=1\displaystyle a^{2}=1 are două soluții reale, numerele al căror pătrat este 1\displaystyle 1. Se poate scrie și 1−a2=(1−a)(1+a)=0\displaystyle 1-a^{2}=(1-a)(1+a)=0, de unde cele două valori.
    a=−1 sau a=1\displaystyle a=-1\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și A(a)=(1aa1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(1)⋅A(1)−2A(1)=O2\displaystyle A(1)\cdot A(1)-2A(1)=O_2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1), cu toate elementele egale cu 1\displaystyle 1.
    A(1)=(1111)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(1)⋅A(1)\displaystyle A(1)\cdot A(1), element cu element: fiecare element este suma produselor dintre linia din prima matrice și coloana din a doua, adică 1⋅1+1⋅1=2\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 1=2.
    A(1)⋅A(1)=(1⋅1+1⋅11⋅1+1⋅11⋅1+1⋅11⋅1+1⋅1)=(2222)\displaystyle A(1)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}1\cdot 1+1\cdot 1&1\cdot 1+1\cdot 1\\1\cdot 1+1\cdot 1&1\cdot 1+1\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}
  3. Calculăm 2A(1)\displaystyle 2A(1), înmulțind fiecare element al matricei A(1)\displaystyle A(1) cu 2\displaystyle 2.
    2A(1)=(2222)\displaystyle 2A(1)=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}
  4. Scădem cele două matrice, element cu element. Se obține matricea nulă, deci egalitatea cerută este adevărată.
    A(1)⋅A(1)−2A(1)=(2222)−(2222)=(0000)=O2\displaystyle A(1)\cdot A(1)-2A(1)=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și A(a)=(1aa1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care A(2)⋅A(a)=3A(1)\displaystyle A(2)\cdot A(a)=3A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în A(a)=(1aa1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix} valorile a=2\displaystyle a=2 și a=1\displaystyle a=1: obținem A(2)=(1221)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix} și A(1)=(1111)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.
    A(2)=(1221)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix},A(1)=(1111)\displaystyle \quad A(1)=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}
  2. Ecuația A(2)⋅A(a)=3A(1)\displaystyle A(2)\cdot A(a)=3A(1) devine o egalitate de matrici, iar în dreapta fiecare element al lui A(1)\displaystyle A(1) se înmulțește cu 3\displaystyle 3.
    (1221)⋅(1aa1)=3(1111)=(3333)\displaystyle \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul linie cu coloană: 1⋅1+2⋅a=1+2a\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot a=1+2a, 1⋅a+2⋅1=a+2\displaystyle 1\cdot a+2\cdot 1=a+2, 2⋅1+1⋅a=2+a\displaystyle 2\cdot 1+1\cdot a=2+a, 2⋅a+1⋅1=2a+1\displaystyle 2\cdot a+1\cdot 1=2a+1.
    (1+2aa+22+a2a+1)=(3333)\displaystyle \begin{pmatrix}1+2a&a+2\\2+a&2a+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix}
  4. Două matrici sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale. Din 1+2a=3\displaystyle 1+2a=3 și a+2=3\displaystyle a+2=3 obținem ecuații în a\displaystyle a.
    1+2a=3 și a+2=3\displaystyle 1+2a=3\text{ și }a+2=3
  5. Din 2a=2\displaystyle 2a=2 rezultă a=1\displaystyle a=1, iar din a+2=3\displaystyle a+2=3 rezultă tot a=1\displaystyle a=1. Celelalte două elemente dau aceleași ecuații, deci a=1\displaystyle a=1 convine.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și A(a)=(1aa1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că det⁡(A(a)−A(0))≤0\displaystyle \det(A(a)-A(0))\le 0, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(0)\displaystyle A(0): înlocuim a\displaystyle a cu 0\displaystyle 0 în A(a)\displaystyle A(a), deci A(0)\displaystyle A(0) este matricea unitate de ordin 2\displaystyle 2.
    A(0)=(1001)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm diferența A(a)−A(0)\displaystyle A(a)-A(0) scăzând element cu element. Pe diagonala principală obținem 1−1=0\displaystyle 1-1=0, iar elementele de pe diagonala secundară rămân a\displaystyle a. Apoi scriem determinantul acestei matrice.
    A(a)−A(0)=(0aa0)⇒det⁡(A(a)−A(0))=∣0aa0∣\displaystyle A(a)-A(0)=\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(a)-A(0))=\begin{vmatrix}0&a\\a&0\end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul de ordin 2\displaystyle 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    ∣0aa0∣=0⋅0−a⋅a=−a2\displaystyle \begin{vmatrix}0&a\\a&0\end{vmatrix}=0\cdot 0-a\cdot a=-a^{2}
  4. Pentru orice număr real a\displaystyle a avem a2≥0\displaystyle a^{2}\ge 0, deci opusul lui este −a2≤0\displaystyle -a^{2}\le 0. Așadar determinantul diferenței este mai mic sau egal cu 0\displaystyle 0 pentru orice a\displaystyle a real, ceea ce trebuia demonstrat.
    det⁡(A(a)−A(0))=−a2≤0, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(A(a)-A(0))=-a^{2}\le 0\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și A(a)=(1aa1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că A(a)⋅A(b)=O2\displaystyle A(a)\cdot A(b)=O_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem egalitatea din enunț: A(a)⋅A(b)=O2\displaystyle A(a)\cdot A(b)=O_2, adică înmulțim matricele linie cu coloană.
    (1aa1)⋅(1bb1)=(0000)\displaystyle \begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&b\\b&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele produsului: 1⋅1+a⋅b=1+ab\displaystyle 1\cdot 1+a\cdot b=1+ab, 1⋅b+a⋅1=a+b\displaystyle 1\cdot b+a\cdot 1=a+b, a⋅1+1⋅b=a+b\displaystyle a\cdot 1+1\cdot b=a+b, a⋅b+1⋅1=ab+1\displaystyle a\cdot b+1\cdot 1=ab+1.
    (1+aba+ba+bab+1)=(0000)\displaystyle \begin{pmatrix}1+ab&a+b\\a+b&ab+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
  3. Două matrice sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale. Obținem sistemul cu ecuațiile 1+ab=0\displaystyle 1+ab=0 și a+b=0\displaystyle a+b=0.
    {ab=−1a+b=0\displaystyle \begin{cases}ab=-1\\a+b=0\end{cases}
  4. Din a+b=0\displaystyle a+b=0 rezultă b=−a\displaystyle b=-a. Înlocuim în ab=−1\displaystyle ab=-1 și obținem a⋅(−a)=−1\displaystyle a\cdot(-a)=-1, deci −a2=−1\displaystyle -a^{2}=-1.
    a2=1\displaystyle a^{2}=1
  5. Din a2=1\displaystyle a^{2}=1 rezultă a=1\displaystyle a=1 sau a=−1\displaystyle a=-1. Pentru a=1\displaystyle a=1 avem b=−1\displaystyle b=-1, iar pentru a=−1\displaystyle a=-1 avem b=1\displaystyle b=1. Ambele perechi verifică sistemul, deoarece ab=−1\displaystyle ab=-1 și a+b=0\displaystyle a+b=0.
    a=1\displaystyle a=1, b=−1 sau a=−1\displaystyle \ b=-1\text{ sau }a=-1, b=1\displaystyle \ b=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.