Bac matematică M4 pedagogic 2026, sesiunea I varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 145⋅(1−16)+23=3\displaystyle \dfrac{14}{5} \cdot \left(1-\dfrac{1}{6}\right)+\dfrac{2}{3}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează paranteza: se aduce 1\displaystyle 1 la forma cu numitor 6\displaystyle 6 și se scade fracția.
    1−16=66−16=56\displaystyle 1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{6}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}
  2. Se înlocuiește paranteza calculată în expresia inițială.
    145⋅56+23\displaystyle \dfrac{14}{5}\cdot\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{3}
  3. Se efectuează înmulțirea fracțiilor, simplificând factorul comun 5\displaystyle 5, apoi se simplifică rezultatul prin 2\displaystyle 2.
    145⋅56=146=73\displaystyle \dfrac{14}{5}\cdot\dfrac{5}{6}=\dfrac{14}{6}=\dfrac{7}{3}
  4. Se adună fracțiile rezultate, care au același numitor, obținând rezultatul final.
    73+23=93=3\displaystyle \dfrac{7}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{3}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−1\displaystyle f(x)=4x-1 și numărul a=f(1)\displaystyle a=f(1). Calculați f(a)\displaystyle f(a).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula funcției și se înlocuiește x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 pentru a calcula f(1)\displaystyle f(1).
    f(1)=4⋅1−1\displaystyle f(1)=4\cdot 1-1
  2. Se efectuează calculul numeric pentru f(1)\displaystyle f(1), obținând valoarea lui a\displaystyle a.
    f(1)=3, deci a=3\displaystyle f(1)=3\text{, deci }a=3
  3. Se înlocuiește valoarea lui a\displaystyle a în formula funcției pentru a calcula f(a)\displaystyle f(a), adică f(3)\displaystyle f(3).
    f(a)=f(3)=4⋅3−1\displaystyle f(a)=f(3)=4\cdot 3-1
  4. Se efectuează calculul final pentru a obține valoarea lui f(a)\displaystyle f(a).
    f(a)=f(3)=11\displaystyle f(a)=f(3)=11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 103⋅10x=100\displaystyle 10^{3}\cdot 10^{x}=100.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie ecuația dată, observând că ambele puteri au aceeași bază, 10\displaystyle 10.
    103⋅10x=100\displaystyle 10^{3}\cdot 10^{x}=100
  2. Se folosește regula de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, adunând exponenții din membrul stâng.
    103⋅10x=103+x\displaystyle 10^{3}\cdot 10^{x}=10^{3+x}
  3. Se scrie numărul 100\displaystyle 100 ca putere a lui 10\displaystyle 10, pentru a aduce și membrul drept la baza 10\displaystyle 10.
    100=102\displaystyle 100=10^{2}
  4. Se înlocuiesc cele două expresii obținute, aducând ecuația la forma cu aceeași bază în ambii membri, și se egalează exponenții.
    103+x=102, de unde 3+x=2\displaystyle 10^{3+x}=10^{2}\text{, de unde }3+x=2
  5. Se rezolvă ecuația liniară obținută, izolând necunoscuta x\displaystyle x.
    x=2−3\displaystyle x=2-3
  6. Se efectuează calculul și se obține soluția finală a ecuației.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După două ieftiniri succesive, cu câte 50%\displaystyle 50\%, un obiect costă 200\displaystyle 200 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de cele două ieftiniri.
Vezi rezolvarea
  1. Se notează cu x\displaystyle x prețul obiectului înainte de cele două ieftiniri.
    x - prețul inițial\displaystyle x\text{ - prețul inițial}
  2. Se exprimă prețul obiectului după prima ieftinire de 50%\displaystyle 50\%, scăzând din prețul inițial 50%\displaystyle 50\% din acesta.
    x−50100⋅x=x2\displaystyle x-\dfrac{50}{100}\cdot x=\dfrac{x}{2}
  3. Se exprimă prețul obiectului după a doua ieftinire de 50%\displaystyle 50\%, aplicată prețului rezultat după prima ieftinire.
    x2−50100⋅x2=x4\displaystyle \dfrac{x}{2}-\dfrac{50}{100}\cdot\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{4}
  4. Se egalează prețul final obținut cu prețul dat în enunț și se rezolvă ecuația pentru a afla prețul inițial.
    x2−50100⋅x2=x4=200, de unde x=800 de lei\displaystyle \dfrac{x}{2}-\dfrac{50}{100}\cdot\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{4}=200\text{, de unde }x=800\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,0)\displaystyle A(4,0), B(6,2)\displaystyle B(6,2) și C\displaystyle C, mijlocul segmentului OB\displaystyle OB. Arătați că AC=2\displaystyle AC=\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula coordonatelor mijlocului unui segment, aplicată pentru O(0,0)\displaystyle O(0,0) și B(6,2)\displaystyle B(6,2)
    C(0+62,0+22)\displaystyle C\left(\dfrac{0+6}{2},\dfrac{0+2}{2}\right)
  2. Se efectuează calculele pentru a obține coordonatele punctului C\displaystyle C
    C(3,1)\displaystyle C(3,1)
  3. Se scrie formula distanței dintre punctele A(4,0)\displaystyle A(4,0) și C(3,1)\displaystyle C(3,1)
    AC=(xA−xC)2+(yA−yC)2=(4−3)2+(0−1)2\displaystyle AC=\sqrt{(x_A-x_C)^{2}+(y_A-y_C)^{2}}=\sqrt{(4-3)^{2}+(0-1)^{2}}
  4. Se calculează valorile din paranteze și se simplifică sub radical, obținându-se rezultatul final
    AC=12+12=2\displaystyle AC=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 2sin⁡45∘⋅sin⁡30∘−2cos⁡60∘=0\displaystyle 2\sin 45^{\circ}\cdot\sin 30^{\circ}-\sqrt{2}\cos 60^{\circ}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia din enunț pe care trebuie să o demonstrăm egală cu zero.
    2sin⁡45∘⋅sin⁡30∘−2cos⁡60∘\displaystyle 2\sin 45^{\circ}\cdot\sin 30^{\circ}-\sqrt{2}\cos 60^{\circ}
  2. Se identifică valorile exacte ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile speciale 45°\displaystyle 45°, 30°\displaystyle 30° și 60°\displaystyle 60°.
    sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2},cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}
  3. Se înlocuiesc aceste valori în expresia inițială.
    2⋅22⋅12−2⋅12\displaystyle 2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}-\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}
  4. Se efectuează înmulțirile din fiecare termen: în primul termen, 2\displaystyle 2 se simplifică cu numitorul lui 22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}, iar în al doilea termen 2\displaystyle \sqrt{2} se înmulțește cu 12\displaystyle \frac{1}{2}.
    22−22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  5. Se scad cei doi termeni egali, obținându-se rezultatul final cerut, egal cu 0\displaystyle 0.
    2⋅22⋅12−2⋅12=22−22=0\displaystyle 2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}-\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−x−2y+4\displaystyle x*y=xy-x-2y+4.

Arătați că 3∗3=4\displaystyle 3*3=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile x=3\displaystyle x=3 și y=3\displaystyle y=3 care trebuie înlocuite.
    x∗y=xy−x−2y+4\displaystyle x*y=xy-x-2y+4, pentru x=3\displaystyle \text{ pentru }x=3, y=3\displaystyle \ y=3
  2. Se înlocuiește x=3\displaystyle x=3 și y=3\displaystyle y=3 în definiția legii de compoziție.
    3∗3=3⋅3−3−2⋅3+4=\displaystyle 3*3=3\cdot3-3-2\cdot3+4=
  3. Se efectuează înmulțirile: 3\displaystyle 3 cu 3\displaystyle 3 și 2\displaystyle 2 cu 3\displaystyle 3.
    3⋅3=9\displaystyle 3\cdot3=9, 2⋅3=6\displaystyle \ 2\cdot3=6
  4. Se înlocuiesc rezultatele înmulțirilor în expresie și se efectuează adunările și scăderile în ordine.
    =9−3−6+4=4\displaystyle =9-3-6+4=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−x−2y+4\displaystyle x*y=xy-x-2y+4.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∗(−2)=x\displaystyle x*(-2)=x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție și se înlocuiește y\displaystyle y cu −2\displaystyle -2, pentru a calcula x∗(−2)\displaystyle x*(-2).
    x∗(−2)=x⋅(−2)−x−2⋅(−2)+4\displaystyle x*(-2)=x\cdot(-2)-x-2\cdot(-2)+4
  2. Se efectuează calculele: se înmulțește x\displaystyle x cu −2\displaystyle -2, se calculează −2⋅(−2)\displaystyle -2\cdot(-2), apoi se reduc termenii asemenea pentru a obține forma simplificată a expresiei, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗(−2)=−2x−x+4+4=−3x+8, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*(-2)=-2x-x+4+4=-3x+8\text{, pentru orice număr real }x
  3. Se pune condiția din problemă, și anume ca x∗(−2)\displaystyle x*(-2) să fie egal cu x\displaystyle x, obținându-se astfel o ecuație liniară în x\displaystyle x.
    −3x+8=x\displaystyle -3x+8=x
  4. Se rezolvă ecuația liniară: se trec termenii care conțin x\displaystyle x într-o parte și termenii liberi în cealaltă parte, apoi se împarte prin coeficientul lui x\displaystyle x pentru a afla soluția.
    −3x+8=x⇒8=x+3x⇒8=4x⇒x=2\displaystyle -3x+8=x\Rightarrow 8=x+3x\Rightarrow 8=4x\Rightarrow x=2
  5. Se scrie concluzia finală, conform ecuației rezolvate.
    −3x+8=x, de unde x=2\displaystyle -3x+8=x\text{, de unde }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−x−2y+4\displaystyle x*y=xy-x-2y+4.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (−x)∗x=2x\displaystyle (-x)*x=2x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție și se înlocuiește x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x, iar y\displaystyle y rămâne x\displaystyle x, pentru a calcula (−x)∗x\displaystyle (-x)*x.
    (−x)∗x=(−x)⋅x−(−x)−2⋅x+4\displaystyle (-x)*x=(-x)\cdot x-(-x)-2\cdot x+4
  2. Se efectuează înmulțirile și se simplifică semnele.
    (−x)∗x=−x2+x−2x+4\displaystyle (-x)*x=-x^{2}+x-2x+4
  3. Se reduc termenii asemenea (x−2x=−x\displaystyle x-2x=-x) pentru a obține forma finală a expresiei (−x)∗x\displaystyle (-x)*x.
    (−x)∗x=−x2−x+4, pentru orice numa˘r real x\displaystyle (-x)*x=-x^{2}-x+4\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se pune condiția din enunț, (−x)∗x=2x\displaystyle (-x)*x=2x, folosind rezultatul obținut anterior.
    −x2−x+4=2x\displaystyle -x^{2}-x+4=2x
  5. Se trec toți termenii într-o parte a ecuației și se înmulțește cu −1\displaystyle -1 pentru a obține o ecuație de gradul al doilea cu coeficientul lui x2\displaystyle x^2 pozitiv.
    −x2−x+4−2x=0⇔−x2−3x+4=0⇔x2+3x−4=0\displaystyle -x^{2}-x+4-2x=0\Leftrightarrow -x^{2}-3x+4=0\Leftrightarrow x^{2}+3x-4=0
  6. Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea x2+3x−4=0\displaystyle x^2+3x-4=0.
    Δ=32−4⋅1⋅(−4)=9+16=25\displaystyle \Delta=3^{2}-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25
  7. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea folosind formula rădăcinilor și se obțin soluțiile finale.
    −x2−x+4=2x, deci x2+3x−4=0, de unde x=−4 sau x=1\displaystyle -x^{2}-x+4=2x\text{, deci }x^{2}+3x-4=0\text{, de unde }x=-4\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−x−2y+4\displaystyle x*y=xy-x-2y+4.

Arătați că x∗y=(x−2)(y−1)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-1)+2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la definiția legii de compoziție date în enunț.
    x∗y=xy−x−2y+4\displaystyle x*y=xy-x-2y+4
  2. Se rescrie constanta 4\displaystyle 4 ca sumă 2+2\displaystyle 2+2 și se rearanjează termenii astfel încât termenii care conțin y\displaystyle y să fie grupați împreună, iar cei care conțin x\displaystyle x separat, pregătind gruparea pentru factor comun.
    x∗y=xy−2y−x+2+2=\displaystyle x*y=xy-2y-x+2+2=
  3. Se scoate factor comun y\displaystyle y din primii doi termeni (xy−2y\displaystyle xy-2y) și se observă că rămâne exact aceeași paranteză (x−2\displaystyle x-2) și la termenul −x+2\displaystyle -x+2, scris ca −(x−2)\displaystyle -(x-2).
    y(x−2)−(x−2)+2\displaystyle y(x-2)-(x-2)+2
  4. Se scoate factor comun (x−2)\displaystyle (x-2) din cei doi termeni y(x−2)\displaystyle y(x-2) și −(x−2)\displaystyle -(x-2), obținându-se forma factorizată cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    =y(x−2)−(x−2)+2=(x−2)(y−1)+2, pentru orice numere \displaystyle =y(x-2)-(x-2)+2=(x-2)(y-1)+2\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−x−2y+4\displaystyle x*y=xy-x-2y+4.

Determinați numerele reale nenule a\displaystyle a pentru care 4∗(4∗a)=1a\displaystyle 4*(4*a)=\dfrac{1}{a}.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune legea de compoziție sub formă factorizată, pentru a putea calcula mai ușor valorile cerute.
    x∗y=xy−x−2y+4=(x−2)(y−1)+2\displaystyle x*y=xy-x-2y+4=(x-2)(y-1)+2
  2. Se calculează 4∗a\displaystyle 4*a folosind forma factorizată, înlocuind x=4\displaystyle x=4.
    4∗a=(4−2)(a−1)+2=2(a−1)+2=2a−2+2=2a\displaystyle 4*a=(4-2)(a-1)+2=2(a-1)+2=2a-2+2=2a
  3. Se calculează 4∗(4∗a)\displaystyle 4*(4*a) folosind rezultatul anterior, adică 4∗(2a)\displaystyle 4*(2a), aplicând din nou forma factorizată.
    4∗(4∗a)=4∗(2a)=(4−2)(2a−1)+2=2(2a−1)+2=4a−2+2=4a\displaystyle 4*(4*a)=4*(2a)=(4-2)(2a-1)+2=2(2a-1)+2=4a-2+2=4a
  4. Se centralizează cele două rezultate obținute, valabile pentru orice număr real a\displaystyle a, conform primului pas de control din barem.
    4∗a=2a\displaystyle 4*a=2a, 4∗(4∗a)=4a, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \ 4*(4*a)=4a\text{, pentru orice număr real }a
  5. Se înlocuiește rezultatul 4∗(4∗a)=4a\displaystyle 4*(4*a)=4a în ecuația din enunț, obținându-se o ecuație în necunoscuta a\displaystyle a.
    4a=1a\displaystyle 4a=\dfrac{1}{a}
  6. Se aduce ecuația la forma fără fracție, înmulțind ambii membri cu a\displaystyle a (a≠0\displaystyle a\neq 0), și se obține o ecuație de gradul al doilea.
    4a2=1⇒a2=14\displaystyle 4a^2=1\Rightarrow a^2=\dfrac{1}{4}
  7. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea și se verifică soluțiile în ecuația inițială (condiția a≠0\displaystyle a\neq 0), obținându-se soluțiile finale.
    4a=1a, de unde a=−12 sau a=12, care convin\displaystyle 4a=\dfrac{1}{a}\text{, de unde }a=-\dfrac{1}{2}\text{ sau }a=\dfrac{1}{2}\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−x−2y+4\displaystyle x*y=xy-x-2y+4.

Determinați perechile (n,p)\displaystyle (n,p) de numere naturale pentru care n∗p=p\displaystyle n*p=p.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la legea de compoziție dată și se calculează n∗p\displaystyle n*p, apoi se verifică forma factorizată propusă, dezvoltând (n−2)(p−1)+2\displaystyle (n-2)(p-1)+2 și comparând cu expresia lui n∗p\displaystyle n*p.
    n∗p=np−n−2p+4 și (n−2)(p−1)+2=np−n−2p+2+2=np−n−2p+4\displaystyle n*p=np-n-2p+4\text{ și }(n-2)(p-1)+2=np-n-2p+2+2=np-n-2p+4
  2. Se constată că cele două expresii coincid, deci legea de compoziție se poate scrie sub forma factorizată n∗p=(n−2)(p−1)+2\displaystyle n*p=(n-2)(p-1)+2. Impunând condiția din enunț n∗p=p\displaystyle n*p=p, se obține ecuația (n−2)(p−1)+2=p\displaystyle (n-2)(p-1)+2=p.
    n∗p=(n−2)(p−1)+2, deci (n−2)(p−1)+2=p\displaystyle n*p=(n-2)(p-1)+2\text{, deci }(n-2)(p-1)+2=p
  3. Se rearanjează ecuația obținută: se mută p\displaystyle p în stânga și se scrie p−2\displaystyle p-2 sub forma (p−1)−1\displaystyle (p-1)-1, pentru a putea scoate factor comun (p−1)\displaystyle (p-1).
    (n−2)(p−1)=p−2=(p−1)−1\displaystyle (n-2)(p-1)=p-2=(p-1)-1
  4. Se aduce totul într-o parte și se scoate factor comun (p−1)\displaystyle (p-1), obținându-se o ecuație de tip produs de factori întregi egal cu −1\displaystyle -1.
    (n−2)(p−1)−(p−1)=−1⇒(p−1)(n−2−1)=−1⇒(n−3)(p−1)=−1\displaystyle (n-2)(p-1)-(p-1)=-1\Rightarrow(p-1)(n-2-1)=-1\Rightarrow(n-3)(p-1)=-1
  5. Deoarece n\displaystyle n și p\displaystyle p sunt numere naturale, n−3\displaystyle n-3 și p−1\displaystyle p-1 sunt numere întregi al căror produs este −1\displaystyle -1. Se scriu toate descompunerile posibile ale lui −1\displaystyle -1 ca produs de doi factori întregi: (1,−1)\displaystyle (1,-1) și (−1,1)\displaystyle (-1,1).
    n−3=1, p−1=−1 sau n−3=−1, p−1=1\displaystyle n-3=1\text{, }p-1=-1\text{ sau }n-3=-1\text{, }p-1=1
  6. Se rezolvă fiecare caz în parte: din primul caz se obțin n=4,p=0\displaystyle n=4, p=0, iar din al doilea caz se obțin n=2,p=2\displaystyle n=2, p=2. Ambele perechi satisfac condiția ca n\displaystyle n și p\displaystyle p să fie numere naturale, deci sunt soluții valide.
    (n−3)(p−1)=−1, de unde obținem \displaystyle (n-3)(p-1)=-1\text{, de unde obținem }perechile (2,2) și (4,0)\displaystyle \text{perechile }(2,2)\text{ și }(4,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(4−xx−x1−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}4-x & x\\ -x & 1-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=2\displaystyle \det(A(2))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x=2\displaystyle x=2 în expresiile elementelor matricei A(x)\displaystyle A(x): 4−x\displaystyle 4-x, x\displaystyle x, −x\displaystyle -x, 1−x\displaystyle 1-x.
    4−2=2\displaystyle 4-2=2, x=2\displaystyle \ x=2, −x=−2\displaystyle \ -x=-2, 1−2=−1\displaystyle \ 1-2=-1
  2. Se scrie matricea A(2)\displaystyle A(2) folosind valorile calculate anterior.
    A(2)=(22−2−1)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2 & 2\\ -2 & -1\end{pmatrix}
  3. Se aplică formula determinantului pentru o matrice 2×2\displaystyle 2\times2: det⁡=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det=a\cdot d - b\cdot c, unde a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d sunt elementele matricei A(2)\displaystyle A(2).
    det⁡(A(2))=∣22−2−1∣=2⋅(−1)−2⋅(−2)=\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}2 & 2\\ -2 & -1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)-2\cdot(-2)=
  4. Se efectuează calculele: produsul elementelor de pe diagonala principală și cel al diagonalei secundare, apoi se scad.
    2⋅(−1)=−2\displaystyle 2\cdot(-1)=-2, 2⋅(−2)=−4⇒−2−(−4)\displaystyle \ 2\cdot(-2)=-4\Rightarrow -2-(-4)
  5. Se finalizează calculul determinantului, obținând valoarea numerică finală.
    =−2+4=2\displaystyle =-2+4=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(4−xx−x1−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}4-x & x\\ -x & 1-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care 3A(2)−A(4)=2A(a)\displaystyle 3A(2)-A(4)=2A(a).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A(x)\displaystyle A(x) pentru x=2\displaystyle x=2, înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în forma generală A(x)=[4−xx−x1−x]\displaystyle A(x)=\begin{bmatrix}4-x & x\\-x & 1-x\end{bmatrix}.
    A(2)=(4−22−21−2)=(22−2−1)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}4-2 & 2\\ -2 & 1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\ -2 & -1\end{pmatrix}
  2. Se înmulțește matricea A(2)\displaystyle A(2) cu scalarul 3\displaystyle 3, obținând 3A(2)\displaystyle 3A(2).
    3A(2)=3(22−2−1)=(66−6−3)\displaystyle 3A(2)=3\begin{pmatrix}2 & 2\\ -2 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 6\\ -6 & -3\end{pmatrix}
  3. Se scrie matricea A(x)\displaystyle A(x) pentru x=4\displaystyle x=4, înlocuind x\displaystyle x cu 4\displaystyle 4 în forma generală A(x)\displaystyle A(x).
    A(4)=(4−44−41−4)=(04−4−3)\displaystyle A(4)=\begin{pmatrix}4-4 & 4\\ -4 & 1-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 4\\ -4 & -3\end{pmatrix}
  4. Se calculează diferența 3A(2)−A(4)\displaystyle 3A(2)-A(4) scăzând elementele corespunzătoare ale celor două matrice, apoi se scoate factor comun 2\displaystyle 2 din matricea rezultată, obținându-se forma 2A(1)\displaystyle 2A(1), verificată prin calculul lui A(1)\displaystyle A(1) pentru x=1\displaystyle x=1.
    3A(2)−A(4)=(66−6−3)−(04−4−3)=(62−20)=2(31−10)=2A(1)\displaystyle 3A(2)-A(4)=\begin{pmatrix}6 & 6\\ -6 & -3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 4\\ -4 & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}3 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}=2A(1)
  5. Se pune condiția ca expresia 3A(2)−A(4)\displaystyle 3A(2)-A(4), scrisă sub forma 2A(a)\displaystyle 2A(a), să fie egală cu 2A(1)\displaystyle 2A(1), obținută anterior, și se compară cele două matrice A(a)\displaystyle A(a) și A(1)\displaystyle A(1) pentru a determina valoarea lui a\displaystyle a.
    2A(a)=2A(1), de unde obținem a=1\displaystyle 2A(a)=2A(1)\text{, de unde obținem }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(4−xx−x1−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}4-x & x\\ -x & 1-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A(x))=x\displaystyle \det(A(x))=x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A(x)\displaystyle A(x) și se identifică elementele pentru calculul determinantului: a=4−x\displaystyle a=4-x, b=x\displaystyle b=x, c=−x\displaystyle c=-x, d=1−x\displaystyle d=1-x.
    A(x)=(4−xx−x1−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}4-x & x\\ -x & 1-x\end{pmatrix}
  2. Se aplică formula determinantului unei matrice 2×2\displaystyle 2\times 2: det⁡(A)=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det(A)=a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡(A(x))=(4−x)(1−x)−x⋅(−x)\displaystyle \det(A(x))=(4-x)(1-x)-x\cdot(-x)
  3. Se desfășoară produsul (4−x)(1−x)\displaystyle (4-x)(1-x) folosind regula de înmulțire a binoamelor.
    (4−x)(1−x)=4−4x−x+x2=x2−5x+4\displaystyle (4-x)(1-x)=4-4x-x+x^{2}=x^{2}-5x+4
  4. Se calculează al doilea termen: x⋅(−x)\displaystyle x\cdot(-x) și se schimbă semnul, deoarece se scade acest produs.
    −x⋅(−x)=x2\displaystyle -x\cdot(-x)=x^{2}
  5. Se adună cele două rezultate obținute pentru a determina expresia finală a determinantului, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(A(x))=2x2−5x+4, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \det(A(x))=2x^{2}-5x+4\text{, pentru orice număr real }x
  6. Se pune condiția din enunț ca determinantul să fie egal cu x\displaystyle x, obținându-se o ecuație de gradul al doilea.
    2x2−5x+4=x\displaystyle 2x^{2}-5x+4=x
  7. Se trece x\displaystyle x din membrul drept în stânga și se reduc termenii asemenea pentru a obține ecuația redusă.
    2x2−6x+4=0\displaystyle 2x^{2}-6x+4=0
  8. Se simplifică ecuația prin împărțire la 2\displaystyle 2, obținându-se forma canonică a ecuației de gradul al doilea.
    x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}-3x+2=0
  9. Se calculează discriminantul ecuației și se determină soluțiile folosind formula x=−b±Δ2a\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
    Δ=(−3)2−4⋅1⋅2=9−8=1, deci x=3±12\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot1\cdot2=9-8=1\text{, deci }x=\frac{3\pm1}{2}
  10. Se obțin cele două soluții ale ecuației, care sunt și soluțiile finale ale problemei.
    2x2−5x+4=x, deci x2−3x+2=0, de unde x=1 sau x=2\displaystyle 2x^{2}-5x+4=x\text{, deci }x^{2}-3x+2=0\text{, de unde }x=1\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(4−xx−x1−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}4-x & x\\ -x & 1-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că matricea B=12(I2−A(2))\displaystyle B=\dfrac{1}{2}(I_{2}-A(2)) este inversa matricei A(2)\displaystyle A(2).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricea A(2)\displaystyle A(2) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia matricei A(x)\displaystyle A(x).
    A(2)=(4−22−21−2)=(22−2−1)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}4-2 & 2\\ -2 & 1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\ -2 & -1\end{pmatrix}
  2. Se calculează diferența I2−A(2)\displaystyle I_{2}-A(2), scăzând element cu element din matricea unitate matricea A(2)\displaystyle A(2).
    I2−A(2)=(1−20−20−(−2)1−(−1))=(−1−222)\displaystyle I_{2}-A(2)=\begin{pmatrix}1-2 & 0-2\\ 0-(-2) & 1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -2\\ 2 & 2\end{pmatrix}
  3. Se înmulțește matricea obținută cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2} pentru a determina matricea B\displaystyle B, conform definiției date în enunț.
    B=12(−1−222)=(−12−111)\displaystyle B=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 & -2\\ 2 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2} & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}
  4. Se înmulțesc matricele A(2)\displaystyle A(2) și B\displaystyle B, aplicând regula de înmulțire a matricelor 2×2\displaystyle 2\times 2, pentru a verifica dacă produsul este matricea unitate.
    A(2)⋅B=(2⋅(−12)+2⋅12⋅(−1)+2⋅1−2⋅(−12)+(−1)⋅1−2⋅(−1)+(−1)⋅1)=(1001)\displaystyle A(2)\cdot B=\begin{pmatrix}2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+2\cdot 1 & 2\cdot(-1)+2\cdot 1\\ -2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+(-1)\cdot 1 & -2\cdot(-1)+(-1)\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}
  5. Se înmulțesc matricele B\displaystyle B și A(2)\displaystyle A(2) în ordinea inversă, pentru a verifica și această relație, deoarece inversa unei matrice trebuie să comute în ambele sensuri.
    B⋅A(2)=(−12⋅2+(−1)⋅(−2)−12⋅2+(−1)⋅(−1)1⋅2+1⋅(−2)1⋅2+1⋅(−1))=(1001)\displaystyle B\cdot A(2)=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\cdot 2+(-1)\cdot(-2) & -\dfrac{1}{2}\cdot 2+(-1)\cdot(-1)\\ 1\cdot 2+1\cdot(-2) & 1\cdot 2+1\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}
  6. Deoarece ambele produse A(2)⋅B\displaystyle A(2)\cdot B și B⋅A(2)\displaystyle B\cdot A(2) sunt egale cu matricea unitate I2\displaystyle I_{2}, rezultă că B\displaystyle B este inversa matricei A(2)\displaystyle A(2).
    A(2)⋅B=B⋅A(2)=I2, deci matricea B este inversa matricei A(2)\displaystyle A(2)\cdot B=B\cdot A(2)=I_{2}\text{, deci matricea }B\text{ este inversa matricei }A(2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(4−xx−x1−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}4-x & x\\ -x & 1-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care A(x)⋅A(x)=yI2\displaystyle A(x)\cdot A(x)=yI_{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A(x)\displaystyle A(x) și se calculează produsul A(x)⋅A(x)\displaystyle A(x)\cdot A(x) prin înmulțirea matricelor, element cu element.
    A(x)⋅A(x)=((4−x)(4−x)+x⋅(−x)(4−x)⋅x+x⋅(1−x)(−x)(4−x)+(1−x)(−x)(−x)⋅x+(1−x)(1−x))\displaystyle A(x)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}(4-x)(4-x)+x\cdot(-x) & (4-x)\cdot x+x\cdot(1-x)\\ (-x)(4-x)+(1-x)(-x) & (-x)\cdot x+(1-x)(1-x)\end{pmatrix}
  2. Se calculează fiecare element al produsului, reducând termenii asemenea.
    (4−x)2−x2=16−8x, (4−x)x+x(1−x)=x(5−2x)=5x−2x2, −x(4−x)−x(1−x)=−x(5−2x)=−5x+2x2, −x2+(1−x)2=1−2x\displaystyle (4-x)^{2}-x^{2}=16-8x\text{, }(4-x)x+x(1-x)=x(5-2x)=5x-2x^{2}\text{, }-x(4-x)-x(1-x)=-x(5-2x)=-5x+2x^{2}\text{, }-x^{2}+(1-x)^{2}=1-2x
  3. Se scrie matricea produs obținută, valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    A(x)⋅A(x)=(16−8x5x−2x2−5x+2x21−2x), pentru orice numa˘r real x\displaystyle A(x)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}16-8x & 5x-2x^{2}\\ -5x+2x^{2} & 1-2x\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se impune condiția ca A(x)⋅A(x)\displaystyle A(x)\cdot A(x) să fie de forma y⋅I2\displaystyle y\cdot I_{2}, adică elementele extradiagonale să fie nule, iar elementele de pe diagonala principală să fie egale între ele și egale cu y\displaystyle y.
    (16−8x5x−2x2−5x+2x21−2x)=(y00y)⇔{5x−2x2=016−8x=1−2x\displaystyle \begin{pmatrix}16-8x & 5x-2x^{2}\\ -5x+2x^{2} & 1-2x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y & 0\\ 0 & y\end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{cases}5x-2x^{2}=0\\ 16-8x=1-2x\end{cases}
  5. Se rezolvă ecuația provenită din anularea elementelor extradiagonale.
    5x−2x2=0⇔x(5−2x)=0⇔x=0 sau x=52\displaystyle 5x-2x^{2}=0\Leftrightarrow x(5-2x)=0\Leftrightarrow x=0\text{ sau }x=\dfrac{5}{2}
  6. Se rezolvă ecuația provenită din egalarea elementelor de pe diagonala principală.
    16−8x=1−2x⇔15=6x⇔x=52\displaystyle 16-8x=1-2x\Leftrightarrow 15=6x\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}
  7. Se compară soluțiile obținute din cele două ecuații; valoarea comună este cea căutată. Se calculează apoi y\displaystyle y înlocuind x\displaystyle x în expresia diagonalei.
    x=52 și y=16−8⋅52=16−20=−4\displaystyle x=\dfrac{5}{2}\text{ și }y=16-8\cdot\dfrac{5}{2}=16-20=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(4−xx−x1−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}4-x & x\\ -x & 1-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) pentru care X−A(2)⋅X=A(3)\displaystyle X-A(2)\cdot X=A(3).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricele A(2)\displaystyle A(2) și A(3)\displaystyle A(3) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2, respectiv 3\displaystyle 3 în expresia lui A(x)\displaystyle A(x).
    A(2)=(22−2−1)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2 & 2\\ -2 & -1\end{pmatrix}, A(3)=(13−3−2)\displaystyle \ A(3)=\begin{pmatrix}1 & 3\\ -3 & -2\end{pmatrix}
  2. Se rescrie ecuația matriceală I2X−A(2)X=A(3)\displaystyle I_2X - A(2)X = A(3) sub forma (I2−A(2))X=A(3)\displaystyle (I_2 - A(2))X = A(3), folosind proprietățile înmulțirii cu matricea identitate.
    (I2−A(2))⋅X=A(3)\displaystyle (I_{2}-A(2))\cdot X=A(3)
  3. Cum, din subpunctul anterior, se știe că (I2−A(2))\displaystyle (I_2 - A(2)) este inversabilă și inversa ei este 12A(2)\displaystyle \dfrac{1}{2}A(2), se înmulțește ecuația la stânga cu (I2−A(2))−1\displaystyle (I_2-A(2))^{-1} pentru a izola X\displaystyle X.
    X=(I2−A(2))−1⋅A(3)=12A(2)⋅A(3)\displaystyle X=(I_{2}-A(2))^{-1}\cdot A(3)=\dfrac{1}{2}A(2)\cdot A(3)
  4. Se calculează produsul A(2)⋅A(3)\displaystyle A(2)\cdot A(3) prin înmulțirea matricelor obținute anterior.
    A(2)⋅A(3)=(22−2−1)(13−3−2)=(−421−4)\displaystyle A(2)\cdot A(3)=\begin{pmatrix}2 & 2\\ -2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 3\\ -3 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & 2\\ 1 & -4\end{pmatrix}
  5. Se înmulțește rezultatul obținut cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2} pentru a determina matricea X\displaystyle X, obținând soluția finală a ecuației.
    X=12(−421−4)=(−2112−2)\displaystyle X=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-4 & 2\\ 1 & -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & 1\\ \dfrac{1}{2} & -2\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.