Bac matematică M4 pedagogic 2010, sesiunea I varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați log⁡26−log⁡23\displaystyle \log_2 \sqrt{6} - \log_2 \sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că expresia este o diferență de logaritmi în aceeași bază 2\displaystyle 2, deci folosim formula log⁡ax−log⁡ay=log⁡axy\displaystyle \log_a x-\log_a y=\log_a \dfrac{x}{y}. Argumentele 6\displaystyle \sqrt{6} și 3\displaystyle \sqrt{3} sunt pozitive, deci expresia are sens.
    log⁡26−log⁡23=log⁡263\displaystyle \log_2 \sqrt{6}-\log_2 \sqrt{3}=\log_2 \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}
  2. Simplificăm raportul radicalilor: 63=63=2\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{6}{3}}=\sqrt{2}.
    63=2\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}
  3. Scriem 2=212\displaystyle \sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}, deci log⁡22=log⁡2212=12log⁡22=12\displaystyle \log_2 \sqrt{2}=\log_2 2^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}\log_2 2=\dfrac{1}{2}. Răspunsul final este 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    log⁡22=12\displaystyle \log_2 \sqrt{2}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Fie funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−5\displaystyle f(x)=x-5. Calculați f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅…⋅f(10)\displaystyle f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot\ldots\cdot f(10).
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că produsul are zece factori, f(1),f(2),…,f(10)\displaystyle f(1), f(2), \ldots, f(10), iar fiecare factor se obține înlocuind x\displaystyle x cu un număr din 1,2,…,10\displaystyle 1, 2, \ldots, 10 în formula f(x)=x−5\displaystyle f(x)=x-5. Dacă unul dintre factori este zero, tot produsul va fi zero, așa că verificăm dacă există un astfel de factor.
    f(x)=0⇔x−5=0⇔x=5\displaystyle f(x)=0 \Leftrightarrow x-5=0 \Leftrightarrow x=5
  2. Numărul 5\displaystyle 5 se află printre valorile 1,2,…,10\displaystyle 1, 2, \ldots, 10, deci produsul conține factorul f(5)\displaystyle f(5). Calculăm acest factor: f(5)=5−5\displaystyle f(5)=5-5.
    f(5)=5−5=0\displaystyle f(5)=5-5=0
  3. Un produs în care un factor este egal cu zero este egal cu zero. Scriem produsul cu factorul f(5)=0\displaystyle f(5)=0 evidențiat și obținem rezultatul, indiferent de valorile celorlalți factori.
    f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅f(4)⋅0⋅f(6)⋅…⋅f(10)=0\displaystyle f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)\cdot 0\cdot f(6)\cdot\ldots\cdot f(10)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 22x+1−2x+1=24\displaystyle 2^{2x+1}-2^{x+1}=24.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem puterile cu exponent sumă ca produse: 22x+1=2⋅(2x)2\displaystyle 2^{2x+1}=2\cdot\left(2^{x}\right)^{2} și 2x+1=2⋅2x\displaystyle 2^{x+1}=2\cdot 2^{x}. Ecuația devine 2⋅(2x)2−2⋅2x=24\displaystyle 2\cdot\left(2^{x}\right)^{2}-2\cdot 2^{x}=24.
    2⋅(2x)2−2⋅2x=24\displaystyle 2\cdot\left(2^{x}\right)^{2}-2\cdot 2^{x}=24
  2. Notăm y=2x\displaystyle y=2^{x}, cu y>0\displaystyle y>0. Împărțim ecuația la 2\displaystyle 2 și obținem y2−y=12\displaystyle y^{2}-y=12, adică ecuația de gradul al doilea y2−y−12=0\displaystyle y^{2}-y-12=0.
    y2−y−12=0\displaystyle y^{2}-y-12=0
  3. Calculăm discriminantul: Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−12)=1+48=49\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-12)=1+48=49, deci Δ=7\displaystyle \sqrt{\Delta}=7.
    Δ=49\displaystyle \Delta=49
  4. Aplicăm formula rădăcinilor: y=1±72\displaystyle y=\dfrac{1\pm 7}{2}, deci y1=−3\displaystyle y_1=-3 și y2=4\displaystyle y_2=4.
    y1=−3\displaystyle y_1=-3, y2=4\displaystyle \ y_2=4
  5. Cum y=2x>0\displaystyle y=2^{x}>0, valoarea y1=−3\displaystyle y_1=-3 nu convine. Rămâne y=4\displaystyle y=4.
    2x=4\displaystyle 2^{x}=4
  6. Scriem 4=22\displaystyle 4=2^{2}, deci 2x=22\displaystyle 2^{x}=2^{2}. Funcția exponențială de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, deci x=2\displaystyle x=2. Verificare: 25−23=32−8=24\displaystyle 2^{5}-2^{3}=32-8=24.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii A={x∈N∣x≤8}\displaystyle A=\{x\in\mathbb{N}\mid x\le 8\}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem elementele mulțimii A\displaystyle A. Numerele naturale mai mici sau egale cu 8\displaystyle 8 sunt 0,1,2,…,8\displaystyle 0, 1, 2, \ldots, 8, deci A={0,1,2,3,4,5,6,7,8}\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}.
    A={0,1,2,3,4,5,6,7,8}\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}
  2. Numărăm elementele mulțimii A\displaystyle A. Cum 0\displaystyle 0 este număr natural, mulțimea are 9\displaystyle 9 elemente.
    Card A=9\displaystyle \text{Card } A=9
  3. O submulțime cu două elemente se alege fără a conta ordinea elementelor, deci numărul lor este numărul de combinări de 9\displaystyle 9 luate câte 2\displaystyle 2: C92=9!2!⋅7!\displaystyle C_9^2=\dfrac{9!}{2!\cdot 7!}.
    C92=9!2!⋅7!\displaystyle C_9^2=\dfrac{9!}{2!\cdot 7!}
  4. Simplificăm 7!\displaystyle 7! și calculăm: C92=9⋅82=36\displaystyle C_9^2=\dfrac{9\cdot 8}{2}=36. Deci sunt 36\displaystyle 36 de submulțimi cu două elemente.
    C92=9⋅82=36\displaystyle C_9^2=\dfrac{9\cdot 8}{2}=36
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În sistemul de coordonate xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,4)\displaystyle A(3,4) și B(2,m)\displaystyle B(2,m). Știind că B\displaystyle B aparține dreptei de ecuație y=3x+20\displaystyle y=3x+20, determinați coordonatele mijlocului segmentului [AB]\displaystyle [AB].
Vezi rezolvarea
  1. Punctul B(2,m)\displaystyle B(2,m) aparține dreptei y=3x+20\displaystyle y=3x+20, deci coordonatele lui B\displaystyle B verifică ecuația dreptei. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=m\displaystyle y=m.
    m=3⋅2+20\displaystyle m=3\cdot 2+20
  2. Calculăm valoarea lui m\displaystyle m. Rezultă că B\displaystyle B are coordonatele (2,26)\displaystyle (2,26).
    m=6+20=26\displaystyle m=6+20=26
  3. Scriem formulele pentru coordonatele mijlocului M\displaystyle M al segmentului [AB]\displaystyle [AB]: media aritmetică a absciselor și media aritmetică a ordonatelor.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2},yM=yA+yB2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  4. Înlocuim coordonatele lui A(3,4)\displaystyle A(3,4) și B(2,26)\displaystyle B(2,26) și calculăm. Mijlocul segmentului are coordonatele 52\displaystyle \dfrac{5}{2} și 15\displaystyle 15.
    xM=3+22=52\displaystyle x_M=\dfrac{3+2}{2}=\dfrac{5}{2},yM=4+262=15  ⇒  M(52,15)\displaystyle \quad y_M=\dfrac{4+26}{2}=15\;\Rightarrow\; M\left(\dfrac{5}{2},15\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați valoarea expresiei E(x)=cos⁡x+sin⁡2x\displaystyle E(x)=\cos x+\sin 2x pentru x=30∘\displaystyle x=30^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 30∘\displaystyle 30^\circ în expresia E(x)=cos⁡x+sin⁡2x\displaystyle E(x)=\cos x+\sin 2x. Cum 2⋅30∘=60∘\displaystyle 2\cdot 30^\circ=60^\circ, obținem E(30∘)=cos⁡30∘+sin⁡60∘\displaystyle E(30^\circ)=\cos 30^\circ+\sin 60^\circ.
    E(30∘)=cos⁡30∘+sin⁡60∘\displaystyle E(30^\circ)=\cos 30^\circ+\sin 60^\circ
  2. Folosim valorile cunoscute: cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},sin⁡60∘=32\displaystyle \quad \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. Adunăm cele două fracții, care au același numitor: 32+32=232=3\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}. Deci valoarea expresiei este 3\displaystyle \sqrt{3}.
    E(30∘)=32+32=3\displaystyle E(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pe mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}⊂R\displaystyle M=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\subset\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∘y=x+y+2\displaystyle x\circ y=x+y+\sqrt{2}.

Arătați că x+y∈M\displaystyle x+y\in M, oricare ar fi x,y∈M\displaystyle x,y\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Luăm două elemente oarecare x,y∈M\displaystyle x,y\in M. Din definiția mulțimii M\displaystyle M, există numere întregi a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d astfel încât x=a+b2\displaystyle x=a+b\sqrt{2} și y=c+d2\displaystyle y=c+d\sqrt{2}.
    x=a+b2\displaystyle x=a+b\sqrt{2}, y=c+d2\displaystyle \ y=c+d\sqrt{2}, a\displaystyle \ a,b\displaystyle b,c\displaystyle c,d∈Z\displaystyle d\in\mathbb{Z}
  2. Scriem suma x+y\displaystyle x+y și grupăm separat termenii fără radical și termenii care conțin 2\displaystyle \sqrt{2}.
    x+y=a+b2+c+d2=(a+c)+(b+d)2\displaystyle x+y=a+b\sqrt{2}+c+d\sqrt{2}=(a+c)+(b+d)\sqrt{2}
  3. Suma a două numere întregi este număr întreg, deci a+c∈Z\displaystyle a+c\in\mathbb{Z} și b+d∈Z\displaystyle b+d\in\mathbb{Z}. Prin urmare x+y\displaystyle x+y are forma cerută de definiția lui M\displaystyle M, adică x+y∈M\displaystyle x+y\in M.
    a+c∈Z\displaystyle a+c\in\mathbb{Z}, b+d∈Z⇒x+y=(a+c)+(b+d)2∈M\displaystyle \ b+d\in\mathbb{Z}\Rightarrow x+y=(a+c)+(b+d)\sqrt{2}\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pe mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}⊂R\displaystyle M=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\subset\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∘y=x+y+2\displaystyle x\circ y=x+y+\sqrt{2}.

Arătați că x⋅y∈M\displaystyle x\cdot y\in M, oricare ar fi x,y∈M\displaystyle x,y\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Luăm două elemente oarecare din M\displaystyle M. Ele au forma x=a+b2\displaystyle x=a+b\sqrt{2}, respectiv y=c+d2\displaystyle y=c+d\sqrt{2}, cu a,b,c,d∈Z\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{Z}.
    x=a+b2\displaystyle x=a+b\sqrt{2}, y=c+d2\displaystyle \ y=c+d\sqrt{2}, a\displaystyle \ a,b\displaystyle b,c\displaystyle c,d∈Z\displaystyle d\in\mathbb{Z}
  2. Scriem produsul x⋅y=(a+b2)(c+d2)\displaystyle x\cdot y=(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2}) și înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua.
    x⋅y=ac+ad2+bc2+bd⋅(2)2\displaystyle x\cdot y=ac+ad\sqrt{2}+bc\sqrt{2}+bd\cdot(\sqrt{2})^{2}
  3. Folosim faptul că (2)2=2\displaystyle (\sqrt{2})^{2}=2, deci ultimul termen devine 2bd\displaystyle 2bd.
    x⋅y=ac+ad2+bc2+2bd\displaystyle x\cdot y=ac+ad\sqrt{2}+bc\sqrt{2}+2bd
  4. Grupăm termenii fără radical și termenii care conțin 2\displaystyle \sqrt{2}, apoi dăm factor comun 2\displaystyle \sqrt{2}.
    x⋅y=(ac+2bd)+(ad+bc)2\displaystyle x\cdot y=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}
  5. Deoarece a,b,c,d∈Z\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{Z}, numerele ac+2bd\displaystyle ac+2bd și ad+bc\displaystyle ad+bc sunt tot întregi, deci produsul are forma m+n2\displaystyle m+n\sqrt{2} cu m,n∈Z\displaystyle m,n\in\mathbb{Z} și aparține lui M\displaystyle M.
    x⋅y=(ac+2bd)+(ad+bc)2⇒x⋅y∈M\displaystyle x\cdot y=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}\Rightarrow x\cdot y\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pe mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}⊂R\displaystyle M=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\subset\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∘y=x+y+2\displaystyle x\circ y=x+y+\sqrt{2}.

Determinați x∈M\displaystyle x\in M cu proprietatea că x⋅(1+2)2=1\displaystyle x\cdot(1+\sqrt{2})^2=1.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că în cerință apare înmulțirea obișnuită ⋅\displaystyle \cdot, nu legea ∘\displaystyle \circ. Dezvoltăm pătratul cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, unde a=1\displaystyle a=1 și b=2\displaystyle b=\sqrt{2}: (1+2)2=1+22+2\displaystyle (1+\sqrt{2})^2=1+2\sqrt{2}+2.
    (1+2)2=1+22+2\displaystyle (1+\sqrt{2})^2=1+2\sqrt{2}+2
  2. Reducem termenii asemenea: 1+2=3\displaystyle 1+2=3.
    (1+2)2=3+22\displaystyle (1+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}
  3. Ecuația devine x⋅(3+22)=1\displaystyle x\cdot\left(3+2\sqrt{2}\right)=1. Deoarece 3+22≠0\displaystyle 3+2\sqrt{2}\neq 0, împărțim cu el.
    x=13+22\displaystyle x=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}
  4. Raționalizăm numitorul, amplificând fracția cu conjugatul 3−22\displaystyle 3-2\sqrt{2}. Numitorul devine 32−(22)2=9−8=1\displaystyle 3^2-\left(2\sqrt{2}\right)^2=9-8=1.
    x=3−229−8=3−22\displaystyle x=\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}=3-2\sqrt{2}
  5. Verificăm că x∈M\displaystyle x\in M: x=3+(−2)2\displaystyle x=3+(-2)\sqrt{2}, cu a=3\displaystyle a=3 și b=−2\displaystyle b=-2 numere întregi. Deci x=3−22\displaystyle x=3-2\sqrt{2} este soluția.
    x=3−22∈M\displaystyle x=3-2\sqrt{2}\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.d)

5 puncte
Pe mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}⊂R\displaystyle M=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\subset\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∘y=x+y+2\displaystyle x\circ y=x+y+\sqrt{2}.

Verificați dacă 11+2∘13+22∈M\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}}\circ\frac{1}{3+2\sqrt{2}}\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∘y=x+y+2\displaystyle x\circ y=x+y+\sqrt{2} pentru x=11+2\displaystyle x=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}} și y=13+22\displaystyle y=\dfrac{1}{3+2\sqrt{2}}.
    11+2∘13+22=11+2+13+22+2\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}}\circ\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}
  2. Raționalizăm prima fracție: amplificăm cu conjugatul 2−1\displaystyle \sqrt{2}-1. La numitor obținem (2)2−12=2−1=1\displaystyle (\sqrt{2})^{2}-1^{2}=2-1=1.
    11+2=2−1(2+1)(2−1)=2−11=−1+2\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{1}=-1+\sqrt{2}
  3. Raționalizăm a doua fracție: amplificăm cu conjugatul 3−22\displaystyle 3-2\sqrt{2}. La numitor obținem 32−(22)2=9−8=1\displaystyle 3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}=9-8=1.
    13+22=3−229−8=3−22\displaystyle \frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}=3-2\sqrt{2}
  4. Înlocuim cele două valori în expresia de la primul pas și grupăm termenii fără radical și termenii cu 2\displaystyle \sqrt{2}.
    (−1+2)+(3−22)+2=(−1+3)+(1−2+1)2\displaystyle (-1+\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})+\sqrt{2}=(-1+3)+(1-2+1)\sqrt{2}
  5. Rezultatul este de forma a+b2\displaystyle a+b\sqrt{2} cu a=2\displaystyle a=2 și b=0\displaystyle b=0, numere întregi. Deci numărul aparține lui M\displaystyle M.
    11+2∘13+22=2+0⋅2∈M\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}}\circ\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=2+0\cdot\sqrt{2}\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.e)

5 puncte
Pe mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}⊂R\displaystyle M=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\subset\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∘y=x+y+2\displaystyle x\circ y=x+y+\sqrt{2}.

Arătați că legea „∘\displaystyle \circ” este asociativă pe mulțimea M\displaystyle M.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este asociativă dacă pentru orice x,y,z∈M\displaystyle x,y,z\in M avem (x∘y)∘z=x∘(y∘z)\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z). Calculăm separat cele două părți. Mai întâi, prin definiție, x∘y=x+y+2\displaystyle x\circ y=x+y+\sqrt{2}.
    x∘y=x+y+2\displaystyle x\circ y=x+y+\sqrt{2}
  2. Aplicăm legea între x∘y\displaystyle x\circ y și z\displaystyle z: în definiție, în locul lui x\displaystyle x punem x+y+2\displaystyle x+y+\sqrt{2}, iar în locul lui y\displaystyle y punem z\displaystyle z. Obținem (x∘y)∘z=(x+y+2)+z+2\displaystyle (x\circ y)\circ z=(x+y+\sqrt{2})+z+\sqrt{2}.
    (x∘y)∘z=(x+y+2)+z+2\displaystyle (x\circ y)\circ z=(x+y+\sqrt{2})+z+\sqrt{2}
  3. Reducem termenii asemenea: cei doi termeni 2\displaystyle \sqrt{2} se adună și dau 22\displaystyle 2\sqrt{2}.
    (x∘y)∘z=x+y+z+22\displaystyle (x\circ y)\circ z=x+y+z+2\sqrt{2}
  4. Acum calculăm partea dreaptă. Mai întâi y∘z=y+z+2\displaystyle y\circ z=y+z+\sqrt{2}, apoi aplicăm legea între x\displaystyle x și acest rezultat: x∘(y∘z)=x+(y+z+2)+2\displaystyle x\circ(y\circ z)=x+(y+z+\sqrt{2})+\sqrt{2}.
    x∘(y∘z)=x+(y+z+2)+2\displaystyle x\circ(y\circ z)=x+(y+z+\sqrt{2})+\sqrt{2}
  5. Reducem termenii asemenea: cei doi termeni 2\displaystyle \sqrt{2} dau 22\displaystyle 2\sqrt{2}.
    x∘(y∘z)=x+y+z+22\displaystyle x\circ(y\circ z)=x+y+z+2\sqrt{2}
  6. Cele două expresii sunt egale pentru orice x,y,z∈M\displaystyle x,y,z\in M, deci legea „∘\displaystyle \circ” este asociativă pe M\displaystyle M.
    (x∘y)∘z=x∘(y∘z)=x+y+z+22\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z)=x+y+z+2\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.f)

5 puncte
Pe mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}⊂R\displaystyle M=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\subset\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∘y=x+y+2\displaystyle x\circ y=x+y+\sqrt{2}.

Arătați că legea „∘\displaystyle \circ” determină pe mulțimea M\displaystyle M o structură de grup.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm mai întâi că legea este bine definită, adică M\displaystyle M este închisă față de operație. Dacă x=a+b2\displaystyle x=a+b\sqrt{2} și y=c+d2\displaystyle y=c+d\sqrt{2}, cu a,b,c,d∈Z\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{Z}, atunci x∘y=(a+c)+(b+d+1)2\displaystyle x\circ y=(a+c)+(b+d+1)\sqrt{2}, iar coeficienții sunt întregi.
    x∘y=(a+c)+(b+d+1)2∈M\displaystyle x\circ y=(a+c)+(b+d+1)\sqrt{2}\in M
  2. Asociativitatea: calculăm (x∘y)∘z\displaystyle (x\circ y)\circ z și x∘(y∘z)\displaystyle x\circ(y\circ z) pentru x,y,z∈M\displaystyle x,y,z\in M. Avem (x∘y)∘z=(x+y+2)+z+2=x+y+z+22\displaystyle (x\circ y)\circ z=(x+y+\sqrt{2})+z+\sqrt{2}=x+y+z+2\sqrt{2} și x∘(y∘z)=x+(y+z+2)+2=x+y+z+22\displaystyle x\circ(y\circ z)=x+(y+z+\sqrt{2})+\sqrt{2}=x+y+z+2\sqrt{2}. Deci legea este asociativă.
    (x∘y)∘z=x∘(y∘z)=x+y+z+22\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z)=x+y+z+2\sqrt{2}
  3. Elementul neutru: căutăm e\displaystyle e astfel încât x∘e=x\displaystyle x\circ e=x pentru orice x∈M\displaystyle x\in M. Din x+e+2=x\displaystyle x+e+\sqrt{2}=x rezultă e=−2\displaystyle e=-\sqrt{2}.
    e=−2\displaystyle e=-\sqrt{2}
  4. Verificăm că e∈M\displaystyle e\in M și că este neutru și la stânga. Avem e=0+(−1)2\displaystyle e=0+(-1)\sqrt{2}, cu 0,−1∈Z\displaystyle 0,-1\in\mathbb{Z}, deci e∈M\displaystyle e\in M. Legea este comutativă, deci e∘x=x∘e=x\displaystyle e\circ x=x\circ e=x.
    e=−2∈M\displaystyle e=-\sqrt{2}\in M
  5. Simetricul: pentru x∈M\displaystyle x\in M căutăm x′\displaystyle x' cu x∘x′=e\displaystyle x\circ x'=e. Din x+x′+2=−2\displaystyle x+x'+\sqrt{2}=-\sqrt{2} obținem x′=−x−22\displaystyle x'=-x-2\sqrt{2}.
    x′=−x−22\displaystyle x'=-x-2\sqrt{2}
  6. Verificăm că x′∈M\displaystyle x'\in M. Dacă x=a+b2\displaystyle x=a+b\sqrt{2}, atunci x′=−a+(−b−2)2\displaystyle x'=-a+(-b-2)\sqrt{2}, cu coeficienți întregi. Legea fiind comutativă, x′∘x=e\displaystyle x'\circ x=e. Deci orice element are simetric în M\displaystyle M, iar (M,∘)\displaystyle (M,\circ) este grup.
    x′=−x−22∈M\displaystyle x'=-x-2\sqrt{2}\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Fie matricele M=(22−1−1)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&2\\-1&-1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=M+aI2\displaystyle A(a)=M+aI_2, a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Arătați că M2=M\displaystyle M^2=M.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem M2\displaystyle M^2 ca produsul M⋅M\displaystyle M\cdot M, folosind matricea dată.
    M2=(22−1−1)(22−1−1)\displaystyle M^2=\begin{pmatrix}2&2\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&2\\-1&-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: de exemplu, elementul de pe linia 1, coloana 1 este 2⋅2+2⋅(−1)=2\displaystyle 2\cdot 2+2\cdot(-1)=2.
    (2⋅2+2⋅(−1)2⋅2+2⋅(−1)−1⋅2+(−1)⋅(−1)−1⋅2+(−1)⋅(−1))\displaystyle \begin{pmatrix}2\cdot 2+2\cdot(-1)&2\cdot 2+2\cdot(-1)\\-1\cdot 2+(-1)\cdot(-1)&-1\cdot 2+(-1)\cdot(-1)\end{pmatrix}
  3. Efectuăm calculele: 4−2=2\displaystyle 4-2=2 și −2+1=−1\displaystyle -2+1=-1. Se obține chiar matricea M\displaystyle M, deci M2=M\displaystyle M^2=M.
    (4−24−2−2+1−2+1)=(22−1−1)=M\displaystyle \begin{pmatrix}4-2&4-2\\-2+1&-2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\-1&-1\end{pmatrix}=M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Fie matricele M=(22−1−1)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&2\\-1&-1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=M+aI2\displaystyle A(a)=M+aI_2, a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Determinați matricea A(2010)\displaystyle A(2010).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu 2010\displaystyle 2010 în definiția A(a)=M+aI2\displaystyle A(a)=M+aI_2.
    A(2010)=M+2010I2\displaystyle A(2010)=M+2010I_2
  2. Calculăm 2010I2\displaystyle 2010I_2: fiecare element al matricei I2\displaystyle I_2 se înmulțește cu 2010\displaystyle 2010.
    2010I2=(2010002010)\displaystyle 2010I_2=\begin{pmatrix}2010&0\\0&2010\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricea M\displaystyle M cu 2010I2\displaystyle 2010I_2, element cu element: 2+2010=2012\displaystyle 2+2010=2012, 2+0=2\displaystyle 2+0=2, −1+0=−1\displaystyle -1+0=-1, −1+2010=2009\displaystyle -1+2010=2009.
    A(2010)=(22−1−1)+(2010002010)=(20122−12009)\displaystyle A(2010)=\begin{pmatrix}2&2\\-1&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2010&0\\0&2010\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2012&2\\-1&2009\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Fie matricele M=(22−1−1)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&2\\-1&-1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=M+aI2\displaystyle A(a)=M+aI_2, a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Determinați a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}, pentru care det⁡(A(a))=2\displaystyle \det(A(a))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(a)\displaystyle A(a) adunând matricea M\displaystyle M cu a⋅I2\displaystyle a\cdot I_2: a\displaystyle a se adaugă doar pe diagonala principală.
    A(a)=(22−1−1)+(a00a)=(a+22−1a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2&2\\-1&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+2&2\\-1&a-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(a))=(a+2)(a−1)−2⋅(−1)\displaystyle \det(A(a))=(a+2)(a-1)-2\cdot(-1).
    det⁡(A(a))=(a+2)(a−1)−2⋅(−1)=(a+2)(a−1)+2\displaystyle \det(A(a))=(a+2)(a-1)-2\cdot(-1)=(a+2)(a-1)+2
  3. Efectuăm înmulțirea (a+2)(a−1)=a2−a+2a−2=a2+a−2\displaystyle (a+2)(a-1)=a^{2}-a+2a-2=a^{2}+a-2 și reducem termenii asemenea: termenul liber −2\displaystyle -2 se reduce cu +2\displaystyle +2.
    det⁡(A(a))=a2+a−2+2=a2+a\displaystyle \det(A(a))=a^{2}+a-2+2=a^{2}+a
  4. Impunem condiția din enunț, det⁡(A(a))=2\displaystyle \det(A(a))=2, adică a2+a=2\displaystyle a^{2}+a=2, și aducem ecuația la forma generală.
    a2+a−2=0\displaystyle a^{2}+a-2=0
  5. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=1+8=9\displaystyle \Delta=1+8=9, deci rădăcinile sunt a=−1±32\displaystyle a=\dfrac{-1\pm 3}{2}. Altfel, ecuația se descompune în (a−1)(a+2)=0\displaystyle (a-1)(a+2)=0.
    a=1 sau a=−2\displaystyle a=1\text{ sau }a=-2, adica˘ a∈{1,−2}\displaystyle \text{ adică }a\in\{1,-2\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.d)

5 puncte
Fie matricele M=(22−1−1)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&2\\-1&-1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=M+aI2\displaystyle A(a)=M+aI_2, a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Arătați că A−1(1)=12(0−213)\displaystyle A^{-1}(1)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&-2\\1&3\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea A(1)=M+1⋅I2\displaystyle A(1)=M+1\cdot I_2, adunând element cu element: pe diagonala principală se adaugă 1\displaystyle 1.
    A(1)=(32−10)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}3&2\\-1&0\end{pmatrix}
  2. Notăm B=12(0−213)\displaystyle B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&-2\\1&3\end{pmatrix}. Ca să arătăm că B=A−1(1)\displaystyle B=A^{-1}(1), trebuie să verificăm că produsul lor, în ambele ordini, este matricea unitate I2\displaystyle I_2.
    A−1(1)⋅A(1)=A(1)⋅A−1(1)=I2\displaystyle A^{-1}(1)\cdot A(1)=A(1)\cdot A^{-1}(1)=I_2
  3. Calculăm produsul A(1)⋅B\displaystyle A(1)\cdot B, înmulțind linie cu coloană. Întâi înmulțim matricele fără factorul 12\displaystyle \frac{1}{2}, apoi îl aplicăm la final.
    A(1)⋅B=12(32−10)(0−213)=12(2002)=I2\displaystyle A(1)\cdot B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3&2\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-2\\1&3\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=I_2
  4. Calculăm și produsul în ordine inversă, B⋅A(1)\displaystyle B\cdot A(1), la fel, linie cu coloană.
    B⋅A(1)=12(0−213)(32−10)=12(2002)=I2\displaystyle B\cdot A(1)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&-2\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2\\-1&0\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=I_2
  5. Deoarece produsul în ambele ordini este I2\displaystyle I_2, matricea B\displaystyle B este inversa lui A(1)\displaystyle A(1), deci egalitatea cerută este verificată.
    A−1(1)=12(0−213)\displaystyle A^{-1}(1)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&-2\\1&3\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.e)

5 puncte
Fie matricele M=(22−1−1)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&2\\-1&-1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=M+aI2\displaystyle A(a)=M+aI_2, a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Arătați că pentru oricare a∈Z\displaystyle a\in\mathbb{Z} matricea A(a)+(A(a))t\displaystyle A(a)+\left(A(a)\right)^t este inversabilă, unde (A(a))t\displaystyle \left(A(a)\right)^t este transpusa matricei A(a)\displaystyle A(a).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(a)=M+aI2\displaystyle A(a)=M+aI_2, adunând a\displaystyle a la elementele de pe diagonala principală a lui M\displaystyle M.
    A(a)=(a+22−1a−1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+2&2\\-1&a-1\end{pmatrix}
  2. Transpusa se obține schimbând liniile cu coloanele: elementele 2\displaystyle 2 și −1\displaystyle -1 de pe pozițiile (1,2)\displaystyle (1,2) și (2,1)\displaystyle (2,1) își schimbă locul.
    (A(a))t=(a+2−12a−1)\displaystyle \left(A(a)\right)^t=\begin{pmatrix}a+2&-1\\2&a-1\end{pmatrix}
  3. Adunăm cele două matrice element cu element: (a+2)+(a+2)=2a+4\displaystyle (a+2)+(a+2)=2a+4, 2+(−1)=1\displaystyle 2+(-1)=1, −1+2=1\displaystyle -1+2=1, (a−1)+(a−1)=2a−2\displaystyle (a-1)+(a-1)=2a-2.
    A(a)+(A(a))t=(2a+4112a−2)\displaystyle A(a)+\left(A(a)\right)^t=\begin{pmatrix}2a+4&1\\1&2a-2\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul sumei: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Apoi desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: (2a+4)(2a−2)−1⋅1=4a2−4a+8a−8−1\displaystyle (2a+4)(2a-2)-1\cdot 1=4a^2-4a+8a-8-1.
    det⁡(A(a)+(A(a))t)=(2a+4)(2a−2)−1=4a2+4a−9\displaystyle \det\left(A(a)+\left(A(a)\right)^t\right)=(2a+4)(2a-2)-1=4a^2+4a-9
  5. Scriem determinantul sub forma 4a2+4a−9=4a(a+1)−9\displaystyle 4a^2+4a-9=4a(a+1)-9. Pentru a∈Z\displaystyle a\in\mathbb{Z}, termenul 4a(a+1)\displaystyle 4a(a+1) este par, iar 9\displaystyle 9 este impar, deci diferența este un număr impar. Un număr impar nu poate fi 0\displaystyle 0, deci determinantul este nenul pentru orice a\displaystyle a întreg, iar matricea este inversabilă.
    4a2+4a−9=4a(a+1)−9=impar≠0\displaystyle 4a^2+4a-9=4a(a+1)-9=\text{impar}\neq 0, ∀a∈Z\displaystyle \ \forall a\in\mathbb{Z}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.f)

5 puncte
Fie matricele M=(22−1−1)\displaystyle M=\begin{pmatrix}2&2\\-1&-1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=M+aI2\displaystyle A(a)=M+aI_2, a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Rezolvați în mulțimea M2(R)\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ecuația matricială X⋅A(1)=(1226)\displaystyle X\cdot A(1)=\begin{pmatrix}1&2\\2&6\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea A(1)\displaystyle A(1), înlocuind a=1\displaystyle a=1 în A(a)=M+aI2\displaystyle A(a)=M+aI_2. Adunăm la M\displaystyle M matricea unitate I2\displaystyle I_2.
    A(1)=(22−1−1)+(1001)=(32−10)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2&2\\-1&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\-1&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul lui A(1)\displaystyle A(1). Fiind nenul, matricea A(1)\displaystyle A(1) este inversabilă.
    det⁡A(1)=3⋅0−2⋅(−1)=2≠0\displaystyle \det A(1)=3\cdot 0-2\cdot(-1)=2\neq 0
  3. Înmulțim ecuația X⋅A(1)=(1226)\displaystyle X\cdot A(1)=\begin{pmatrix}1&2\\2&6\end{pmatrix} la dreapta cu (A(1))−1\displaystyle \left(A(1)\right)^{-1}. Deoarece A(1)⋅(A(1))−1=I2\displaystyle A(1)\cdot\left(A(1)\right)^{-1}=I_2, obținem X\displaystyle X ca produs între matricea din dreapta ecuației și inversa lui A(1)\displaystyle A(1).
    X=(1226)⋅(A(1))−1\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&2\\2&6\end{pmatrix}\cdot\left(A(1)\right)^{-1}
  4. Determinăm inversa lui A(1)\displaystyle A(1): schimbăm între ele elementele de pe diagonala principală, schimbăm semnele elementelor de pe diagonala secundară și împărțim la determinant, care este 2\displaystyle 2.
    (A(1))−1=12(0−213)=(0−11232)\displaystyle \left(A(1)\right)^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}0&-2\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}
  5. Efectuăm produsul matricelor, înmulțind fiecare linie din prima matrice cu fiecare coloană din a doua, și obținem matricea X\displaystyle X.
    X=(1226)(0−11232)=(0+1−1+30+3−2+9)=(1237)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&2\\2&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0+1&-1+3\\0+3&-2+9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.