Bac matematică M4 pedagogic 2018, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2⋅(0,1(6)+13)=1\displaystyle 2\cdot\left(0,1(6)+\frac{1}{3}\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm x=0,1(6)=0,1666…\displaystyle x=0,1(6)=0,1666\ldots Înmulțim cu 10\displaystyle 10 ca să aducem perioada imediat după virgulă: 10x=1,666…\displaystyle 10x=1,666\ldots
    10x=1\displaystyle 10x=1,666…\displaystyle 666\ldots
  2. Înmulțim și cu 100\displaystyle 100: 100x=16,666…\displaystyle 100x=16,666\ldots Scădem cele două egalități, ca să dispară partea periodică: 100x−10x=16,666…−1,666…=15\displaystyle 100x-10x=16,666\ldots-1,666\ldots=15.
    90x=15\displaystyle 90x=15
  3. Din 90x=15\displaystyle 90x=15 obținem x=1590\displaystyle x=\dfrac{15}{90}, iar simplificând cu 15\displaystyle 15 rezultă 16\displaystyle \dfrac{1}{6}.
    0\displaystyle 0,1(6)=1590=16\displaystyle 1(6)=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}
  4. Înlocuim în expresie și aducem fracțiile la numitorul comun 6\displaystyle 6: 16+13=16+26=36=12\displaystyle \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.
    16+13=12\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}
  5. Înmulțim rezultatul cu 2\displaystyle 2: 2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1, deci egalitatea cerută este adevărată.
    2⋅(16+13)=2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\right)=2\cdot\frac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−2\displaystyle f(x)=2x-2. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=a\displaystyle f(a)=a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formula funcției f(x)=2x−2\displaystyle f(x)=2x-2 și obținem expresia lui f(a)\displaystyle f(a).
    f(a)=2a−2\displaystyle f(a)=2a-2
  2. Punem condiția f(a)=a\displaystyle f(a)=a, adică egalăm expresia obținută cu a\displaystyle a.
    2a−2=a\displaystyle 2a-2=a
  3. Mutăm termenii cu a\displaystyle a în membrul stâng: scădem a\displaystyle a din ambii membri, apoi adunăm 2\displaystyle 2. Obținem 2a−a=2\displaystyle 2a-a=2, deci a=2\displaystyle a=2.
    2a−a=2⇔a=2\displaystyle 2a-a=2\Leftrightarrow a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x2+6=55x\displaystyle 5^{x^2+6}=5^{5x}.
Vezi rezolvarea
  1. Ambele părți ale ecuației 5x2+6=55x\displaystyle 5^{x^2+6}=5^{5x} au aceeași bază, 5\displaystyle 5, care este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1. Funcția exponențială de bază 5\displaystyle 5 este injectivă, deci egalitatea puterilor revine la egalitatea exponenților.
    x2+6=5x\displaystyle x^{2}+6=5x
  2. Mutăm toți termenii în partea stângă, scăzând 5x\displaystyle 5x din ambele părți, și obținem o ecuație de gradul al doilea în forma generală.
    x2−5x+6=0\displaystyle x^{2}-5x+6=0
  3. Calculăm discriminantul ecuației, cu a=1\displaystyle a=1, b=−5\displaystyle b=-5, c=6\displaystyle c=6: Δ=b2−4ac=25−24\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=25-24.
    Δ=1\displaystyle \Delta=1
  4. Aplicăm formula x=−b±Δ2a=5±12\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5\pm 1}{2}. Obținem cele două rădăcini reale, care sunt soluții ale ecuației inițiale, deoarece exponenții pot lua orice valoare reală.
    x=2 sau x=3\displaystyle x=2\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este 900\displaystyle 900 de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se ieftinește de două ori, succesiv, cu câte 10%\displaystyle 10\%.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm cât reprezintă 10%\displaystyle 10\% din prețul inițial: 10%⋅900=10100⋅900=90\displaystyle 10\%\cdot 900=\dfrac{10}{100}\cdot 900=90 lei.
    10%⋅900=90 lei\displaystyle 10\%\cdot 900=90\text{ lei}
  2. După prima ieftinire scădem reducerea din prețul inițial: 900−10%⋅900=900−90=810\displaystyle 900-10\%\cdot 900=900-90=810 lei.
    900−10%⋅900=810 lei\displaystyle 900-10\%\cdot 900=810\text{ lei}
  3. A doua ieftinire se aplică noului preț, de 810\displaystyle 810 lei: 10%⋅810=10100⋅810=81\displaystyle 10\%\cdot 810=\dfrac{10}{100}\cdot 810=81 lei.
    10%⋅810=81 lei\displaystyle 10\%\cdot 810=81\text{ lei}
  4. Scădem reducerea din prețul curent: 810−10%⋅810=810−81=729\displaystyle 810-10\%\cdot 810=810-81=729. Prețul final al obiectului este 729\displaystyle 729 de lei.
    810−10%⋅810=729 de lei\displaystyle 810-10\%\cdot 810=729\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,−1)\displaystyle A(2,-1), B(1,2)\displaystyle B(1,2) și C(−1,−2)\displaystyle C(-1,-2). Demonstrați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că triunghiul este dreptunghic isoscel, calculăm lungimile laturilor cu formula distanței dintre două puncte: pentru M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2) avem MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Calculăm AB\displaystyle AB pentru A(2,−1)\displaystyle A(2,-1) și B(1,2)\displaystyle B(1,2): diferența absciselor este 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, iar diferența ordonatelor este 2−(−1)=3\displaystyle 2-(-1)=3.
    AB=(−1)2+32=1+9=10\displaystyle AB=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}
  3. Calculăm AC\displaystyle AC pentru A(2,−1)\displaystyle A(2,-1) și C(−1,−2)\displaystyle C(-1,-2): diferența absciselor este −1−2=−3\displaystyle -1-2=-3, iar diferența ordonatelor este −2−(−1)=−1\displaystyle -2-(-1)=-1. Rezultă că AB=AC\displaystyle AB=AC, deci triunghiul este isoscel cu vârful în A\displaystyle A.
    AC=(−3)2+(−1)2=10\displaystyle AC=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2}=\sqrt{10}, AB=AC=10\displaystyle \ AB=AC=\sqrt{10}
  4. Calculăm BC\displaystyle BC pentru B(1,2)\displaystyle B(1,2) și C(−1,−2)\displaystyle C(-1,-2): diferența absciselor este −1−1=−2\displaystyle -1-1=-2, iar diferența ordonatelor este −2−2=−4\displaystyle -2-2=-4.
    BC=(−2)2+(−4)2=4+16=20\displaystyle BC=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}
  5. Verificăm reciproca teoremei lui Pitagora: pătratul laturii BC\displaystyle BC este 20\displaystyle 20, iar suma pătratelor laturilor AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC este 10+10=20\displaystyle 10+10=20. Deci unghiul A\displaystyle A este drept, iar cum AB=AC\displaystyle AB=AC, triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic isoscel.
    BC=20\displaystyle BC=\sqrt{20}, (20)2=(10)2+(10)2⇒∠A=90∘\displaystyle \ (\sqrt{20})^2=(\sqrt{10})^2+(\sqrt{10})^2\Rightarrow \angle A=90^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡230∘+sin⁡245∘+sin⁡260∘=32\displaystyle \sin^2 30^\circ+\sin^2 45^\circ+\sin^2 60^\circ=\frac{3}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim valorile cunoscute: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} și sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=32\displaystyle \ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. Ridicăm la pătrat fiecare valoare: sin⁡230∘=(12)2=14\displaystyle \sin^2 30^\circ=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}, sin⁡245∘=(22)2=24\displaystyle \sin^2 45^\circ=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4} și sin⁡260∘=(32)2=34\displaystyle \sin^2 60^\circ=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}.
    sin⁡230∘=14\displaystyle \sin^2 30^\circ=\frac{1}{4}, sin⁡245∘=24\displaystyle \ \sin^2 45^\circ=\frac{2}{4}, sin⁡260∘=34\displaystyle \ \sin^2 60^\circ=\frac{3}{4}
  3. Adunăm fracțiile cu același numitor: 14+24+34=64\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{4}. Simplificăm cu 2 și obținem 32\displaystyle \dfrac{3}{2}, deci egalitatea este adevărată.
    14+24+34=64=32\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2(x+y)+xy+2\displaystyle x*y=2(x+y)+xy+2.

Arătați că 0∗(−2)=−2\displaystyle 0*(-2)=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=2(x+y)+xy+2\displaystyle x*y=2(x+y)+xy+2. Pentru x=0\displaystyle x=0 și y=−2\displaystyle y=-2 obținem 0∗(−2)=2(0+(−2))+0⋅(−2)+2\displaystyle 0*(-2)=2(0+(-2))+0\cdot(-2)+2.
    0∗(−2)=2 (0+(−2))+0⋅(−2)+2\displaystyle 0*(-2)=2\,(0+(-2))+0\cdot(-2)+2
  2. Calculăm termenii: 0+(−2)=−2\displaystyle 0+(-2)=-2, deci 2⋅(−2)=−4\displaystyle 2\cdot(-2)=-4, iar 0⋅(−2)=0\displaystyle 0\cdot(-2)=0.
    2 (−2)=−4\displaystyle 2\,(-2)=-4,0⋅(−2)=0\displaystyle \quad 0\cdot(-2)=0
  3. Adunăm: −4+0+2=−2\displaystyle -4+0+2=-2. Deci 0∗(−2)=−2\displaystyle 0*(-2)=-2, ceea ce trebuia arătat.
    0∗(−2)=−4+0+2=−2\displaystyle 0*(-2)=-4+0+2=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2(x+y)+xy+2\displaystyle x*y=2(x+y)+xy+2.

Demonstrați că x∗y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=(x+2)(y+2)-2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, x∗y=2(x+y)+xy+2\displaystyle x*y=2(x+y)+xy+2, și desfacem parantezele: 2(x+y)=2x+2y\displaystyle 2(x+y)=2x+2y.
    x∗y=xy+2x+2y+2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2
  2. Scriem termenul liber 2\displaystyle 2 ca 4−2\displaystyle 4-2, pentru a obține termenul 4\displaystyle 4 din dezvoltarea produsului (x+2)(y+2)\displaystyle (x+2)(y+2).
    x∗y=xy+2x+2y+4−2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+4-2
  3. Grupăm xy+2x=x(y+2)\displaystyle xy+2x=x(y+2) și 2y+4=2(y+2)\displaystyle 2y+4=2(y+2), dând factor comun pe x\displaystyle x, respectiv pe 2\displaystyle 2.
    x∗y=x(y+2)+2(y+2)−2\displaystyle x*y=x(y+2)+2(y+2)-2
  4. Dăm factor comun pe y+2\displaystyle y+2 și obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=(x+2)(y+2)−2, pentru orice numere \displaystyle x*y=(x+2)(y+2)-2\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2(x+y)+xy+2\displaystyle x*y=2(x+y)+xy+2.

Verificați dacă e=−1\displaystyle e=-1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem legea la forma factorizată. Avem (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4\displaystyle (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4, deci x∗y=2(x+y)+xy+2=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=2(x+y)+xy+2=(x+2)(y+2)-2.
    x∗y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=(x+2)(y+2)-2
  2. Pentru ca e=−1\displaystyle e=-1 să fie element neutru, trebuie să avem x∗(−1)=(−1)∗x=x\displaystyle x*(-1)=(-1)*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Începem cu x∗(−1)\displaystyle x*(-1), folosind forma factorizată: x∗(−1)=(x+2)(−1+2)−2\displaystyle x*(-1)=(x+2)(-1+2)-2.
    x∗(−1)=(x+2)(−1+2)−2=x+2−2=x\displaystyle x*(-1)=(x+2)(-1+2)-2=x+2-2=x
  3. Verificăm și în cealaltă ordine: (−1)∗x=(−1+2)(x+2)−2=x+2−2=x\displaystyle (-1)*x=(-1+2)(x+2)-2=x+2-2=x, deci (−1)∗x=x∗(−1)=x\displaystyle (-1)*x=x*(-1)=x. Cum x\displaystyle x este un număr real oarecare, e=−1\displaystyle e=-1 este element neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    (−1)∗x=(−1+2)(x+2)−2=x+2−2=x=x∗(−1), pentru orice numa˘r real x, deci e=−1 este elementul neutru\displaystyle (-1)*x=(-1+2)(x+2)-2=x+2-2=x=x*(-1)\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=-1\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2(x+y)+xy+2\displaystyle x*y=2(x+y)+xy+2.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, știind că (x+1)∗(x+1)=2\displaystyle (x+1)*(x+1)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x∗y=xy+2x+2y+2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2 se poate scrie sub forma x∗y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=(x+2)(y+2)-2, deoarece (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4\displaystyle (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4, iar scăzând 2\displaystyle 2 obținem exact expresia dată.
    x∗y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=(x+2)(y+2)-2
  2. Înlocuim pe x\displaystyle x și y\displaystyle y cu x+1\displaystyle x+1 în forma obținută. Factorii devin (x+1)+2=x+3\displaystyle (x+1)+2=x+3, deci (x+1)∗(x+1)=(x+3)(x+3)−2\displaystyle (x+1)*(x+1)=(x+3)(x+3)-2.
    (x+1)∗(x+1)=(x+3)2−2\displaystyle (x+1)*(x+1)=(x+3)^{2}-2
  3. Egalăm cu 2\displaystyle 2: (x+3)2−2=2\displaystyle (x+3)^{2}-2=2. Desfacem pătratul: x2+6x+9−2=2\displaystyle x^{2}+6x+9-2=2, de unde, mutând totul în stânga, obținem x2+6x+5=0\displaystyle x^{2}+6x+5=0.
    (x+3)(x+3)−2=2⇔x2+6x+5=0\displaystyle (x+3)(x+3)-2=2\Leftrightarrow x^{2}+6x+5=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=36−20=16\displaystyle \Delta=36-20=16, deci x=−6±42\displaystyle x=\dfrac{-6\pm 4}{2}. Alternativ, descompunem: x2+6x+5=(x+1)(x+5)=0\displaystyle x^{2}+6x+5=(x+1)(x+5)=0.
    x1=−6+42=−1\displaystyle x_{1}=\dfrac{-6+4}{2}=-1,x2=−6−42=−5\displaystyle \quad x_{2}=\dfrac{-6-4}{2}=-5
  5. Răspuns final: numerele reale căutate sunt −5\displaystyle -5 și −1\displaystyle -1.
    x=−5 sau x=−1\displaystyle x=-5\text{ sau }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2(x+y)+xy+2\displaystyle x*y=2(x+y)+xy+2.

Determinați numerele x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) pentru care lg⁡x∗lg⁡(2x)=−2\displaystyle \lg x*\lg(2x)=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Factorizăm legea de compoziție: x∗y=xy+2x+2y+4−2=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+4-2=(x+2)(y+2)-2.
    x∗y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=(x+2)(y+2)-2
  2. Aplicăm forma factorizată pentru lg⁡x\displaystyle \lg x și lg⁡(2x)\displaystyle \lg(2x). Logaritmii sunt definiți, deoarece x>0\displaystyle x>0 și 2x>0\displaystyle 2x>0. Ecuația devine (lg⁡x+2)(lg⁡(2x)+2)−2=−2\displaystyle (\lg x+2)(\lg(2x)+2)-2=-2.
    (lg⁡x+2)(lg⁡(2x)+2)−2=−2\displaystyle (\lg x+2)(\lg(2x)+2)-2=-2
  3. Adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri și obținem (lg⁡x+2)(lg⁡(2x)+2)=0\displaystyle (\lg x+2)(\lg(2x)+2)=0. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul.
    lg⁡x+2=0 sau lg⁡(2x)+2=0\displaystyle \lg x+2=0\text{ sau }\lg(2x)+2=0
  4. Din lg⁡x=−2\displaystyle \lg x=-2 obținem x=10−2\displaystyle x=10^{-2}.
    x=1100\displaystyle x=\frac{1}{100}
  5. Din lg⁡(2x)=−2\displaystyle \lg(2x)=-2 obținem 2x=1100\displaystyle 2x=\dfrac{1}{100}, deci x=1200\displaystyle x=\dfrac{1}{200}. Ambele valori sunt pozitive, deci aparțin intervalului (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    x=1100 sau x=1200, care convin\displaystyle x=\frac{1}{100}\text{ sau }x=\frac{1}{200}\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2(x+y)+xy+2\displaystyle x*y=2(x+y)+xy+2. Dați exemplu de numere raționale a\displaystyle a și b\displaystyle b, care nu sunt întregi, pentru care numărul a∗b\displaystyle a*b este întreg.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x∗y=xy+2x+2y+2=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2=(x+2)(y+2)-2, deoarece (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4\displaystyle (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4.
    x∗y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x*y=(x+2)(y+2)-2
  2. Deoarece 2\displaystyle 2 este întreg, a∗b\displaystyle a*b este întreg exact când (a+2)(b+2)\displaystyle (a+2)(b+2) este întreg.
    a∗b∈Z⇔(a+2)(b+2)∈Z\displaystyle a*b\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow(a+2)(b+2)\in\mathbb{Z}
  3. Căutăm numere raționale neîntregi a+2\displaystyle a+2 și b+2\displaystyle b+2 cu produs întreg. Alegem numere inverse, de exemplu 23\displaystyle \dfrac{2}{3} și 32\displaystyle \dfrac{3}{2}, al căror produs este 1\displaystyle 1. Dacă a+2\displaystyle a+2 și b+2\displaystyle b+2 nu sunt întregi, atunci nici a\displaystyle a, nici b\displaystyle b nu sunt întregi.
    a+2=23 și b+2=32\displaystyle a+2=\frac{2}{3}\text{ și }b+2=\frac{3}{2}
  4. Aflăm a\displaystyle a și b\displaystyle b scăzând 2\displaystyle 2: a=23−2=−43\displaystyle a=\dfrac{2}{3}-2=-\dfrac{4}{3} și b=32−2=−12\displaystyle b=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2}. Ambele sunt raționale și nu sunt întregi.
    a=−43∈Q∖Z și b=−12∈Q∖Z\displaystyle a=-\frac{4}{3}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}\text{ și }b=-\frac{1}{2}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}
  5. Verificăm: a∗b=(a+2)(b+2)−2=23⋅32−2=1−2=−1\displaystyle a*b=(a+2)(b+2)-2=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{2}-2=1-2=-1, care este număr întreg.
    a∗b=−1∈Z\displaystyle a*b=-1\in\mathbb{Z}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1102)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=aA+I2\displaystyle M(a)=aA+I_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡A=2\displaystyle \det A=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, cu elementele de pe linii: prima linie 1\displaystyle 1 și 1\displaystyle 1, a doua linie 0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2.
    det⁡A=∣1102∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin doi: ∣abcd∣=a⋅d−c⋅b\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-c\cdot b, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡A=1⋅2−0⋅1\displaystyle \det A=1\cdot 2-0\cdot 1
  3. Efectuăm înmulțirile și scăderea: 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2, iar 0⋅1=0\displaystyle 0\cdot 1=0, deci obținem 2−0=2\displaystyle 2-0=2.
    det⁡A=2−0=2\displaystyle \det A=2-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1102)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=aA+I2\displaystyle M(a)=aA+I_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că det⁡(M(a))=(a+1)(2a+1)\displaystyle \det(M(a))=(a+1)(2a+1), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea M(a)\displaystyle M(a) înlocuind pe A\displaystyle A și pe I2\displaystyle I_2 în definiția M(a)=aA+I2\displaystyle M(a)=aA+I_2.
    M(a)=a(1102)+(1001)\displaystyle M(a)=a\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  2. Înmulțim matricea A\displaystyle A cu numărul a\displaystyle a, adică fiecare element al lui A\displaystyle A se înmulțește cu a\displaystyle a.
    aA=(aa02a)\displaystyle aA=\begin{pmatrix}a&a\\0&2a\end{pmatrix}
  3. Adunăm cu matricea unitate I2\displaystyle I_2, element cu element: se adaugă 1\displaystyle 1 pe diagonala principală. Obținem matricea M(a)\displaystyle M(a).
    M(a)=(a+1a02a+1)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a+1&a\\0&2a+1\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul cu regula ad−bc\displaystyle ad-bc: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică (a+1)(2a+1)−a⋅0\displaystyle (a+1)(2a+1)-a\cdot 0.
    det⁡(M(a))=∣a+1a02a+1∣=(a+1)(2a+1)−a⋅0\displaystyle \det(M(a))=\begin{vmatrix}a+1&a\\0&2a+1\end{vmatrix}=(a+1)(2a+1)-a\cdot 0
  5. Deoarece a⋅0=0\displaystyle a\cdot 0=0, rămâne doar produsul de pe diagonala principală. Egalitatea este adevărată pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡(M(a))=(a+1)(2a+1), pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(M(a))=(a+1)(2a+1)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1102)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=aA+I2\displaystyle M(a)=aA+I_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați inversa matricei M(−2)\displaystyle M(-2).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea M(−2)\displaystyle M(-2) înlocuind a\displaystyle a cu −2\displaystyle -2 în formula M(a)=aA+I2\displaystyle M(a)=aA+I_2. Mai întâi calculăm produsul −2A\displaystyle -2A, înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu −2\displaystyle -2.
    −2A=(−2−20−4)\displaystyle -2A=\begin{pmatrix}-2&-2\\0&-4\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricea unitate I2\displaystyle I_2 și obținem M(−2)=−2A+I2\displaystyle M(-2)=-2A+I_2.
    M(−2)=(−2+1−20−4+1)=(−1−20−3)\displaystyle M(-2)=\begin{pmatrix}-2+1&-2\\0&-4+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-2\\0&-3\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul matricei M(−2)\displaystyle M(-2) ca produs al elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Determinantul este nenul, deci matricea este inversabilă.
    det⁡(M(−2))=(−1)⋅(−3)−(−2)⋅0=3≠0\displaystyle \det(M(-2))=(-1)\cdot(-3)-(-2)\cdot 0=3\neq 0
  4. Pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, matricea adjunctă este (d−b−ca)\displaystyle \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. Aplicăm regula pentru M(−2)\displaystyle M(-2).
    M∗(−2)=(−320−1)\displaystyle M^{*}(-2)=\begin{pmatrix}-3&2\\0&-1\end{pmatrix}
  5. Folosim formula inversei M−1(−2)=1det⁡(M(−2))⋅M∗(−2)\displaystyle M^{-1}(-2)=\dfrac{1}{\det(M(-2))}\cdot M^{*}(-2). Împărțim fiecare element al adjunctei la 3\displaystyle 3 și obținem răspunsul final.
    M−1(−2)=13(−320−1)=(−1230−13)\displaystyle M^{-1}(-2)=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-3&2\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&\frac{2}{3}\\0&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1102)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=aA+I2\displaystyle M(a)=aA+I_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că M(1)⋅M(2)=3(A⋅A+I2)\displaystyle M(1)\cdot M(2)=3(A\cdot A+I_2).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm M(1)=1⋅A+I2\displaystyle M(1)=1\cdot A+I_2, adică adunăm element cu element matricele A\displaystyle A și I2\displaystyle I_2.
    M(1)=(1102)+(1001)=(2103)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}
  2. Calculăm M(2)=2A+I2\displaystyle M(2)=2A+I_2: înmulțim fiecare element al lui A\displaystyle A cu 2\displaystyle 2 și adunăm I2\displaystyle I_2.
    M(2)=(2204)+(1001)=(3205)\displaystyle M(2)=\begin{pmatrix}2&2\\0&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\0&5\end{pmatrix}
  3. Înmulțim M(1)⋅M(2)\displaystyle M(1)\cdot M(2) (linie cu coloană). Elementele produsului sunt multipli de 3\displaystyle 3, deci scoatem factorul 3\displaystyle 3 în față.
    M(1)⋅M(2)=(2103)(3205)=(69015)=3(2305)\displaystyle M(1)\cdot M(2)=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2\\0&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&9\\0&15\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix}
  4. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind matricea A\displaystyle A cu ea însăși, linie cu coloană.
    A⋅A=(1102)(1102)=(1304)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\\0&4\end{pmatrix}
  5. Adunăm I2\displaystyle I_2 la A⋅A\displaystyle A\cdot A și comparăm cu rezultatul pentru M(1)⋅M(2)\displaystyle M(1)\cdot M(2). Matricea din paranteză coincide cu cea rămasă după scoaterea factorului 3\displaystyle 3, deci egalitatea este demonstrată.
    A⋅A+I2=(1304)+(1001)=(2305), deci M(1)⋅M(2)=3(A⋅A+I2)\displaystyle A\cdot A+I_2=\begin{pmatrix}1&3\\0&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix}\text{, deci }M(1)\cdot M(2)=3(A\cdot A+I_2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1102)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=aA+I2\displaystyle M(a)=aA+I_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că det⁡(M(a)−2aA)≠1\displaystyle \det(M(a)-2aA)\neq 1, pentru orice număr întreg nenul a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea M(a)−2aA\displaystyle M(a)-2aA folosind definiția M(a)=aA+I2\displaystyle M(a)=aA+I_2. Se reduc termenii cu A\displaystyle A și rămâne I2−aA\displaystyle I_2-aA.
    M(a)−2aA=aA+I2−2aA=I2−aA\displaystyle M(a)-2aA=aA+I_2-2aA=I_2-aA
  2. Calculăm matricea I2−aA\displaystyle I_2-aA, scăzând element cu element, unde A=(1102)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}.
    I2−aA=(1−a−a01−2a)\displaystyle I_2-aA=\begin{pmatrix}1-a&-a\\0&1-2a\end{pmatrix}
  3. Matricea obținută este triunghiulară, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală. Observăm că matricea este chiar M(−a)\displaystyle M(-a).
    det⁡(M(a)−2aA)=(1−a)(1−2a)\displaystyle \det(M(a)-2aA)=(1-a)(1-2a)
  4. Presupunem că determinantul este egal cu 1\displaystyle 1 și desfacem parantezele: (1−a)(1−2a)=1−2a−a+2a2\displaystyle (1-a)(1-2a)=1-2a-a+2a^{2}.
    (1−a)(1−2a)=1⇔2a2−3a+1=1\displaystyle (1-a)(1-2a)=1\Leftrightarrow 2a^{2}-3a+1=1
  5. Reducem termenul 1\displaystyle 1 din ambele părți și dăm factor comun a\displaystyle a. Produsul este nul doar dacă a=0\displaystyle a=0 sau a=32\displaystyle a=\dfrac{3}{2}, iar nici una dintre valori nu este întreg nenul. Deci egalitatea cu 1\displaystyle 1 este imposibilă pentru a\displaystyle a întreg nenul.
    a(2a−3)=0⇒a=0 sau a=32, imposibil pentru a∈Z∗, deci det⁡(M(a)−2aA)≠1\displaystyle a(2a-3)=0\Rightarrow a=0\text{ sau }a=\dfrac{3}{2}\text{, imposibil pentru }a\in\mathbb{Z}^{*}\text{, deci }\det(M(a)-2aA)\neq 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1102)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=aA+I2\displaystyle M(a)=aA+I_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X∈M2,1(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R}) pentru care A⋅X=(0−4)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece X∈M2,1(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R}), notăm X=(xy)\displaystyle X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, cu x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    X=(xy)\displaystyle X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul: prima linie dă 1⋅x+1⋅y\displaystyle 1\cdot x+1\cdot y, a doua linie dă 0⋅x+2⋅y\displaystyle 0\cdot x+2\cdot y. Deci A⋅X=(x+y2y)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}x+y\\2y\end{pmatrix}.
    A⋅X=(x+y2y)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}x+y\\2y\end{pmatrix}
  3. Din A⋅X=(0−4)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix}, egalând elementele corespunzătoare, obținem un sistem de două ecuații cu necunoscutele x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    (1102)⋅(xy)=(0−4)⇔{x+y=02y=−4\displaystyle \begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix}\Leftrightarrow\begin{cases}x+y=0\\2y=-4\end{cases}
  4. Din 2y=−4\displaystyle 2y=-4 rezultă, prin împărțire la 2\displaystyle 2, că y=−2\displaystyle y=-2.
    y=−2\displaystyle y=-2
  5. Din x+y=0\displaystyle x+y=0 obținem x=−y=2\displaystyle x=-y=2. Deci x=2\displaystyle x=2 și y=−2\displaystyle y=-2, iar matricea căutată este X=(2−2)\displaystyle X=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}.
    x=2 și y=−2, deci X=(2−2)\displaystyle x=2\text{ și }y=-2\text{, deci }X=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.