Bac matematică M4 pedagogic 2023, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 25+64−169=0\displaystyle \sqrt{25}+\sqrt{64}-\sqrt{169}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea fiecărui radical: rădăcina pătrată din 25\displaystyle 25, din 64\displaystyle 64 și din 169\displaystyle 169.
    25=5\displaystyle \sqrt{25}=5, 64=8\displaystyle \ \sqrt{64}=8, 169=13\displaystyle \ \sqrt{169}=13
  2. Se înlocuiesc valorile obținute în expresia inițială.
    25+64−169=5+8−13\displaystyle \sqrt{25}+\sqrt{64}-\sqrt{169}=5+8-13
  3. Se efectuează adunarea numerelor 5\displaystyle 5 și 8\displaystyle 8.
    5+8−13=13−13\displaystyle 5+8-13=13-13
  4. Se efectuează scăderea finală, obținând rezultatul cerut.
    13−13=0\displaystyle 13-13=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=2x+2\displaystyle f(x)=2x+2, și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=x2+2\displaystyle g(x)=x^2+2. Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care f(n)≥g(n)\displaystyle f(n)\ge g(n).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează expresiile f(n)\displaystyle f(n) și g(n)\displaystyle g(n) folosind formulele date.
    f(n)=2n+2, g(n)=n2+2\displaystyle f(n)=2n+2\text{, }g(n)=n^2+2
  2. Se scrie inegalitatea cerută f(n)≥g(n)\displaystyle f(n)\geq g(n) înlocuind expresiile obținute.
    2n+2≥n2+2\displaystyle 2n+2\ge n^2+2
  3. Se simplifică inegalitatea, scăzând 2\displaystyle 2 din ambii membri.
    2n≥n2\displaystyle 2n\ge n^2
  4. Se aduce inegalitatea la forma standard, mutând toți termenii într-o parte.
    n2−2n≤0\displaystyle n^2-2n\le 0
  5. Se factorizează expresia obținută.
    n(n−2)≤0\displaystyle n(n-2)\le 0
  6. Se rezolvă inecuația de gradul al doilea: produsul n(n−2)\displaystyle n(n-2) este negativ sau nul atunci când n\displaystyle n este cuprins între rădăcini, adică 0≤n≤2\displaystyle 0\leq n\leq 2.
    0≤n≤2\displaystyle 0\le n\le 2
  7. Se identifică numerele naturale care satisfac condiția 0≤n≤2\displaystyle 0\leq n\leq 2, obținând soluțiile finale ale problemei.
    n∈{0,1,2}\displaystyle n\in\{0,1,2\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2+log⁡3(2x−1)=log⁡327\displaystyle 2+\log_3(2x-1)=\log_3 27.
Vezi rezolvarea
  1. Se stabilește condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv.
    2x−1>0⇒x>12\displaystyle 2x-1>0\Rightarrow x>\dfrac{1}{2}
  2. Se calculează valoarea lui log⁡327\displaystyle \log_{3} 27, observând că 27=33\displaystyle 27 = 3^{3}.
    log⁡327=log⁡333=3\displaystyle \log_3 27=\log_3 3^3=3
  3. Se înlocuiește log⁡327\displaystyle \log_{3} 27 cu 3\displaystyle 3 în ecuație și se izolează termenul logaritmic, trecând 2\displaystyle 2 în membrul drept.
    2+log⁡3(2x−1)=3⇒log⁡3(2x−1)=1\displaystyle 2+\log_3(2x-1)=3\Rightarrow \log_3(2x-1)=1
  4. Se aplică definiția logaritmului (log⁡3(2x−1)=1\displaystyle \log_{3}(2x-1)=1 înseamnă 2x−1=31\displaystyle 2x-1=3^{1}), obținând o egalitate de tip logaritm-argument, adică ecuația liniară 2x−1=3\displaystyle 2x-1=3.
    log⁡3(2x−1)=1\displaystyle \log_3(2x-1)=1, de unde obținem 2x−1=3\displaystyle \text{ de unde obținem }2x-1=3
  5. Se rezolvă ecuația liniară obținută, adunând 1\displaystyle 1 la ambele părți și apoi împărțind prin 2\displaystyle 2.
    2x=4⇒x=2\displaystyle 2x=4\Rightarrow x=2
  6. Se verifică soluția în raport cu condiția de existență stabilită inițial (x>12\displaystyle x>\dfrac{1}{2}), constatând că x=2\displaystyle x=2 o satisface, deci este soluție validă.
    x=2\displaystyle x=2, care convine\displaystyle \text{ care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este de 150 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 20%\displaystyle 20\%.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică prețul inițial al obiectului, care este de 150\displaystyle 150 de lei, și se stabilește că acesta se va scumpi de două ori, succesiv, cu câte 20%\displaystyle 20\%, calculând procentul din prețul anterior de fiecare dată.
    P0=150 de lei\displaystyle P_0=150\text{ de lei}
  2. Se calculează valoarea primei scumpiri, adică 20%\displaystyle 20\% din prețul inițial de 150\displaystyle 150 lei.
    20100⋅150=30 lei\displaystyle \dfrac{20}{100}\cdot 150=30\text{ lei}
  3. Se adaugă suma reprezentând scumpirea de 20%\displaystyle 20\% la prețul inițial, obținând prețul după prima scumpire.
    150+20100⋅150=180 de lei\displaystyle 150+\dfrac{20}{100}\cdot 150=180\text{ de lei}
  4. Se calculează valoarea celei de-a doua scumpiri, adică 20%\displaystyle 20\% din noul preț de 180\displaystyle 180 lei, obținut după prima scumpire.
    20100⋅180=36 lei\displaystyle \dfrac{20}{100}\cdot 180=36\text{ lei}
  5. Se adaugă suma reprezentând a doua scumpire de 20%\displaystyle 20\% la prețul de 180\displaystyle 180 lei, obținând prețul final al obiectului după cele două scumpiri succesive.
    180+20100⋅180=216 lei\displaystyle 180+\dfrac{20}{100}\cdot 180=216\text{ lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,4)\displaystyle A(0,4) și M(3,6)\displaystyle M(3,6). Determinați coordonatele punctului B\displaystyle B, știind că punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Se notează coordonatele punctului căutat B\displaystyle B cu xB\displaystyle x_B și yB\displaystyle y_B, iar se scrie formula coordonatelor mijlocului unui segment: dacă M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB, atunci coordonatele lui M\displaystyle M sunt media aritmetică a coordonatelor lui A\displaystyle A și B\displaystyle B.
    M(xA+xB2, yA+yB2)\displaystyle M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)
  2. Se înlocuiesc coordonatele cunoscute ale punctelor A(0,4)\displaystyle A(0,4) și M(3,6)\displaystyle M(3,6) în formula mijlocului, obținându-se două ecuații cu necunoscutele xB\displaystyle x_B și yB\displaystyle y_B.
    M mijlocul segmentului AB⇒3=0+xB2\displaystyle M\text{ mijlocul segmentului }AB\Rightarrow 3=\dfrac{0+x_B}{2}, 6=4+yB2\displaystyle \ 6=\dfrac{4+y_B}{2}
  3. Se rezolvă prima ecuație pentru a afla xB\displaystyle x_B: se înmulțește ambele părți cu 2\displaystyle 2, apoi se scade 0\displaystyle 0.
    3=0+xB2⇒6=0+xB⇒xB=6\displaystyle 3=\dfrac{0+x_B}{2}\Rightarrow 6=0+x_B\Rightarrow x_B=6
  4. Se rezolvă a doua ecuație pentru a afla yB\displaystyle y_B: se înmulțește ambele părți cu 2\displaystyle 2, apoi se scade 4\displaystyle 4.
    6=4+yB2⇒12=4+yB⇒yB=8\displaystyle 6=\dfrac{4+y_B}{2}\Rightarrow 12=4+y_B\Rightarrow y_B=8
  5. Se scriu coordonatele finale ale punctului B\displaystyle B, obținute din rezolvarea celor două ecuații.
    xB=6\displaystyle x_B=6, yB=8\displaystyle \ y_B=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 32⋅sin⁡60∘−13⋅cos⁡30∘⋅cos⁡60∘=12\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sin 60^{\circ}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\cos 30^{\circ}\cdot\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia din enunț pe care trebuie să o demonstrăm.
    32⋅sin⁡60∘−13⋅cos⁡30∘⋅cos⁡60∘\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sin 60^{\circ}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\cos 30^{\circ}\cdot\cos 60^{\circ}
  2. Se identifică valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile speciale 30°\displaystyle 30° și 60°\displaystyle 60°.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡30∘=32\displaystyle \ \cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡60∘=12\displaystyle \ \cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}
  3. Se înlocuiesc aceste valori în expresia inițială.
    32⋅32−13⋅32⋅12\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}
  4. Se calculează primul termen al diferenței, înmulțind fracțiile.
    32⋅32=34\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{4}
  5. Se calculează al doilea termen al diferenței, simplificând radicalul de 3\displaystyle 3 de la numărător cu cel de la numitor.
    13⋅32⋅12=323⋅12=12⋅12=14\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}
  6. Se efectuează scăderea celor două fracții obținute și se obține rezultatul final, confirmând egalitatea cerută.
    32⋅32−13⋅32⋅12=34−14=12\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−4\displaystyle x*y=x+y-4.

Arătați că 2∗(−2)=−4\displaystyle 2*(-2)=-4.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție date, care va fi folosită pentru calculul cerut.
    x∗y=x+y−4\displaystyle x*y=x+y-4
  2. Se identifică valorile numerice care trebuie substituite în lege: x=2\displaystyle x=2 și y=−2\displaystyle y=-2.
    x=2\displaystyle x=2, y=−2\displaystyle \ y=-2
  3. Se substituie valorile x=2\displaystyle x=2 și y=−2\displaystyle y=-2 în definiția legii de compoziție.
    2∗(−2)=2+(−2)−4=\displaystyle 2*(-2)=2+(-2)-4=
  4. Se efectuează adunarea numerelor 2\displaystyle 2 și −2\displaystyle -2, obținându-se 0\displaystyle 0, care rămâne de scăzut cu 4\displaystyle 4.
    2+(−2)−4=0−4\displaystyle 2+(-2)-4=0-4
  5. Se efectuează scăderea finală, obținându-se rezultatul cerut.
    0−4=−4\displaystyle 0-4=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−4\displaystyle x*y=x+y-4.

Arătați că legea de compoziție "*"\displaystyle \text{"*"} este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Se reamintește legea de compoziție dată și se pregătește calculul expresiei (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z, calculând mai întâi x∗y\displaystyle x*y.
    x∗y=x+y−4\displaystyle x*y=x+y-4
  2. Se înlocuiește rezultatul x∗y\displaystyle x*y în expresia (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z, aplicând din nou legea de compoziție, unde primul termen este acum (x+y−4)\displaystyle (x+y-4), iar al doilea este z\displaystyle z.
    (x∗y)∗z=(x+y−4)∗z=(x+y−4)+z−4\displaystyle (x*y)*z=(x+y-4)*z=(x+y-4)+z-4
  3. Se efectuează calculele și se reduc termenii asemenea, obținând forma finală pentru (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x, y\displaystyle y și z\displaystyle z.
    (x∗y)∗z=(x+y−4)∗z=x+y+z−8\displaystyle (x*y)*z=(x+y-4)*z=x+y+z-8, pentru orice numere reale x\displaystyle \text{ pentru orice numere reale }x, y și z\displaystyle \ y\text{ și }z
  4. Se calculează acum cealaltă grupare, pornind cu y∗z\displaystyle y*z, folosind aceeași lege de compoziție.
    y∗z=y+z−4\displaystyle y*z=y+z-4
  5. Se înlocuiește rezultatul y∗z\displaystyle y*z în expresia x∗(y∗z)\displaystyle x*(y*z), aplicând legea de compoziție între x\displaystyle x și (y+z−4)\displaystyle (y+z-4).
    x∗(y∗z)=x∗(y+z−4)=x+(y+z−4)−4\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z-4)=x+(y+z-4)-4
  6. Se efectuează calculele, se reduc termenii asemenea și se compară rezultatul obținut cu cel de la (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z, constatând că cele două expresii sunt egale pentru orice x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z reale, ceea ce demonstrează asociativitatea legii de compoziție.
    x∗(y∗z)=x∗(y+z−4)=x+(y+z−4)−4=x+y+z−8=(x∗y)∗z\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z-4)=x+(y+z-4)-4=x+y+z-8=(x*y)*z, pentru orice numere reale x\displaystyle \text{ pentru orice numere reale }x, y și z\displaystyle \ y\text{ și }z, deci legea de compoziție \displaystyle \text{ deci legea de compoziție }"*" este asociativa˘\displaystyle \text{"*" este asociativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−4\displaystyle x*y=x+y-4.

Arătați că 1∗2∗3∗4∗5∗6>0\displaystyle 1*2*3*4*5*6>0.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea expresiei 1∗2\displaystyle 1*2 folosind definiția legii de compoziție x∗y=x+y−4\displaystyle x*y=x+y-4.
    1∗2=1+2−4=−1\displaystyle 1*2=1+2-4=-1
  2. Se continuă calculul, folosind rezultatul anterior, pentru a obține 1∗2∗3\displaystyle 1*2*3.
    (1∗2)∗3=−1∗3=−1+3−4=−2\displaystyle (1*2)*3=-1*3=-1+3-4=-2
  3. Se calculează valoarea expresiei 4∗5\displaystyle 4*5 folosind aceeași definiție a legii de compoziție.
    4∗5=4+5−4=5\displaystyle 4*5=4+5-4=5
  4. Se continuă calculul, folosind rezultatul anterior, pentru a obține 4∗5∗6\displaystyle 4*5*6.
    (4∗5)∗6=5∗6=5+6−4=7\displaystyle (4*5)*6=5*6=5+6-4=7
  5. Se grupează cele două rezultate parțiale obținute, conform metodei de grupare câte trei, obținându-se expresia finală de calculat.
    (1∗2∗3)∗(4∗5∗6)=(−2)∗(7)\displaystyle (1*2*3)*(4*5*6)=(-2)*(7)
  6. Se aplică definiția legii de compoziție pentru ultimii doi termeni obținuți, se efectuează calculul numeric și se compară rezultatul cu 0\displaystyle 0.
    (−2)∗7=−2+7−4=1>0\displaystyle (-2)*7=-2+7-4=1>0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−4\displaystyle x*y=x+y-4.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∗x∗x=(x+1)∗x\displaystyle x*x*x=(x+1)*x.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la ecuația de rezolvat, care implică legea de compoziție aplicată de mai multe ori: x∗x∗x=(x+1)∗x\displaystyle x*x*x=(x+1)*x. Se calculează mai întâi x∗x\displaystyle x*x folosind definiția x∗y=x+y−4\displaystyle x*y=x+y-4.
    x∗x=x+x−4=2x−4\displaystyle x*x=x+x-4=2x-4
  2. Se calculează x∗x∗x\displaystyle x*x*x, adică (x∗x)∗x\displaystyle (x*x)*x, folosind rezultatul anterior și definiția legii de compoziție.
    x∗x∗x=(2x−4)∗x=(2x−4)+x−4=3x−8\displaystyle x*x*x=(2x-4)*x=(2x-4)+x-4=3x-8
  3. Se calculează (x+1)∗x\displaystyle (x+1)*x folosind definiția legii de compoziție.
    (x+1)∗x=(x+1)+x−4=2x−3\displaystyle (x+1)*x=(x+1)+x-4=2x-3
  4. Se scriu ambele expresii calculate, valabile pentru orice număr real x\displaystyle x, conform pasului de control din barem.
    x∗x∗x=3x−8\displaystyle x*x*x=3x-8, (x+1)∗x=2x−3\displaystyle \ (x+1)*x=2x-3, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  5. Se pune condiția ca cele două expresii să fie egale, obținându-se ecuația liniară de rezolvat.
    3x−8=2x−3\displaystyle 3x-8=2x-3
  6. Se rezolvă ecuația liniară: se trec termenii cu x\displaystyle x într-o parte și termenii liberi în cealaltă parte, obținându-se valoarea lui x\displaystyle x.
    3x−2x=−3+8⇒x=5\displaystyle 3x-2x=-3+8\Rightarrow x=5
  7. Se scrie rezultatul final al ecuației, conform pasului de control din barem.
    3x−8=2x−3\displaystyle 3x-8=2x-3, de unde obținem x=5\displaystyle \text{ de unde obținem }x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−4\displaystyle x*y=x+y-4.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x∗2x=2\displaystyle 4^{x}*2^{x}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se aplică definiția legii de compoziție (x∗y=x+y−4\displaystyle x*y=x+y-4) pentru a rescrie membrul stâng al ecuației, înlocuind x\displaystyle x cu 4x\displaystyle 4^{x} și y\displaystyle y cu 2x\displaystyle 2^{x}.
    4x∗2x=4x+2x−4\displaystyle 4^{x}*2^{x}=4^{x}+2^{x}-4, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  2. Se înlocuiește acest rezultat în ecuația dată 4x∗2x=2\displaystyle 4^{x}*2^{x}=2 și se aduc toți termenii într-un singur membru.
    4x+2x−4=2⇔4x+2x−6=0\displaystyle 4^{x}+2^{x}-4=2\Leftrightarrow4^{x}+2^{x}-6=0
  3. Se observă că 4x=(2x)2\displaystyle 4^{x}=(2^{x})^{2} și se notează t=2x\displaystyle t=2^{x}, cu condiția t>0\displaystyle t>0, obținându-se o ecuație de gradul al doilea în t\displaystyle t.
    t=2x>0\displaystyle t=2^{x}>0,4x=t2⇒t2+t−6=0\displaystyle \quad4^{x}=t^{2}\Rightarrow t^{2}+t-6=0
  4. Se factorizează ecuația obținută (echivalent, se rescrie direct în funcție de 2x\displaystyle 2^{x}), se elimină soluția negativă (imposibilă pentru 2x\displaystyle 2^{x}) și se determină valoarea lui x\displaystyle x.
    4x+2x−6=0⇔(2x−2)(2x+3)=0\displaystyle 4^{x}+2^{x}-6=0\Leftrightarrow(2^{x}-2)(2^{x}+3)=0, de unde obținem x=1\displaystyle \text{ de unde obținem }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−4\displaystyle x*y=x+y-4.

Arătați că x2∗1x2≥−2\displaystyle x^2*\dfrac{1}{x^2}\ge -2, pentru orice număr real nenul x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie enunțul inegalității de demonstrat: pentru orice număr real nenul x\displaystyle x, avem x2∗1x2≥−2\displaystyle x^{2}*\dfrac{1}{x^{2}}\ge -2, unde ∗\displaystyle * este legea de compoziție dată.
    x2∗1x2≥−2\displaystyle x^2*\dfrac{1}{x^2}\ge -2, pentru orice numa˘r real \displaystyle \text{ pentru orice număr real }nenul x\displaystyle \text{nenul }x
  2. Se aplică definiția legii de compoziție x∗y=x+y−4\displaystyle x*y=x+y-4, înlocuind x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^{2} și y\displaystyle y cu 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}, obținând expresia din stânga inegalității.
    x2∗1x2=x2+1x2−4\displaystyle x^2*\dfrac{1}{x^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}-4
  3. Se înlocuiește în inegalitatea de demonstrat și se aduce la o formă echivalentă, adunând 4 în ambii membri pentru a izola termenii cu x\displaystyle x.
    x2+1x2−4≥−2⇔x2+1x2−2≥0\displaystyle x^2+\dfrac{1}{x^2}-4\ge -2\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}-2\ge 0, pentru orice numa˘r real \displaystyle \text{ pentru orice număr real }nenul x\displaystyle \text{nenul }x
  4. Se recunoaște în membrul stâng dezvoltarea unui pătrat perfect, scriind x2−2+1x2\displaystyle x^{2}-2+\dfrac{1}{x^{2}} ca fiind egal cu (x−1x)2\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{2}, deoarece (x−1x)2=x2−2⋅x⋅1x+1x2=x2−2+1x2\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}=x^{2}-2+\dfrac{1}{x^{2}}.
    x2+1x2−2=(x−1x)2\displaystyle x^2+\dfrac{1}{x^2}-2=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2
  5. Cum orice pătrat al unui număr real este mai mare sau egal cu zero, inegalitatea (x−1x)2≥0\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{2}\ge 0 este adevărată pentru orice x\displaystyle x real nenul, deci inegalitatea inițială este demonstrată.
    (x−1x)2≥0\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2\ge 0, deci x2∗1x2≥−2\displaystyle \text{ deci }x^2*\dfrac{1}{x^2}\ge -2, pentru orice numa˘r real \displaystyle \text{ pentru orice număr real }nenul x\displaystyle \text{nenul }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(101−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}, B=(120−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie determinantul matricei A\displaystyle A folosind elementele date și se aplică formula pentru determinantul de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡A=∣101−1∣=1⋅(−1)−0⋅1=\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)-0\cdot 1=
  2. Se calculează produsul elementelor de pe diagonala principală: 1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot(-1)=-1.
    1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot(-1)=-1
  3. Se calculează produsul elementelor de pe diagonala secundară: 0⋅1=0\displaystyle 0\cdot 1=0.
    0⋅1=0\displaystyle 0\cdot 1=0
  4. Se scade produsul diagonalei secundare din produsul diagonalei principale și se obține valoarea finală a determinantului.
    =−1−0=−1\displaystyle =-1-0=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(101−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}, B=(120−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅A−B⋅B=O2\displaystyle A\cdot A-B\cdot B=O_2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie produsul A⋅A\displaystyle A \cdot A folosind regula de înmulțire a matricelor, element cu element.
    A⋅A=(101−1)⋅(101−1)=(1⋅1+0⋅11⋅0+0⋅(−1)1⋅1+(−1)⋅11⋅0+(−1)⋅(−1))\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot1&1\cdot0+0\cdot(-1)\\1\cdot1+(-1)\cdot1&1\cdot0+(-1)\cdot(-1)\end{pmatrix}
  2. Se efectuează calculele din fiecare celulă a matricei obținute.
    A⋅A=(1+00+01−10+1)=(1001)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1+0&0+0\\1-1&0+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  3. Se scrie produsul B⋅B\displaystyle B \cdot B folosind regula de înmulțire a matricelor, element cu element.
    B⋅B=(120−1)⋅(120−1)=(1⋅1+2⋅01⋅2+2⋅(−1)0⋅1+(−1)⋅00⋅2+(−1)⋅(−1))\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot0&1\cdot2+2\cdot(-1)\\0\cdot1+(-1)\cdot0&0\cdot2+(-1)\cdot(-1)\end{pmatrix}
  4. Se efectuează calculele din fiecare celulă a matricei obținute, rezultând tot matricea unitate.
    B⋅B=(1+02−20+00+1)=(1001)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}1+0&2-2\\0+0&0+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  5. Se scade matricea B⋅B\displaystyle B \cdot B din matricea A⋅A\displaystyle A \cdot A, întrucât ambele sunt egale cu matricea unitate I2\displaystyle I_2, iar diferența a două matrice identice este matricea nulă.
    Cum B⋅B=(1001)\displaystyle \text{Cum }B\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, obținem A⋅A−B⋅B=(1001)−(1001)=(0000)=O2\displaystyle \text{ obținem }A\cdot A-B\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(101−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}, B=(120−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care det⁡(A⋅A−xI2)=0\displaystyle \det(A\cdot A-xI_2)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind matricele conform regulii de înmulțire a matricelor.
    A⋅A=(101−1)⋅(101−1)=(1⋅1+0⋅11⋅0+0⋅(−1)1⋅1+(−1)⋅11⋅0+(−1)⋅(−1))\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot1&1\cdot0+0\cdot(-1)\\1\cdot1+(-1)\cdot1&1\cdot0+(-1)\cdot(-1)\end{pmatrix}
  2. Se efectuează calculele din fiecare element al matricei obținute.
    A⋅A=(1001)=I2\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  3. Se scade matricea xI2\displaystyle xI_{2} din matricea A⋅A\displaystyle A\cdot A, obținând matricea diferență în funcție de x\displaystyle x.
    A⋅A−xI2=(1001)−(x00x)=(1−x001−x)\displaystyle A\cdot A-xI_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-x&0\\0&1-x\end{pmatrix}
  4. Se calculează determinantul matricei obținute, folosind formula determinantului pentru o matrice de ordin doi.
    A⋅A−xI2=(1−x001−x)\displaystyle A\cdot A-xI_2=\begin{pmatrix}1-x&0\\0&1-x\end{pmatrix}, deci det⁡(A⋅A−xI2)=(1−x)2\displaystyle \text{ deci }\det(A\cdot A-xI_2)=(1-x)^2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  5. Se rezolvă ecuația obținută prin anularea determinantului, aflând valoarea reală a lui x\displaystyle x.
    (1−x)2=0\displaystyle (1-x)^2=0, de unde obținem x=1\displaystyle \text{ de unde obținem }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(101−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}, B=(120−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A−B−xI2=(−2−21−2)\displaystyle A-B-xI_2=\begin{pmatrix}-2&-2\\1&-2\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează diferența matricelor A\displaystyle A și B\displaystyle B, scăzând elementele corespunzătoare.
    A−B=(101−1)−(120−1)=(0−210)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-2\\1&0\end{pmatrix}
  2. Se scrie matricea xI2\displaystyle xI_2, obținută prin înmulțirea matricei unitate cu scalarul x\displaystyle x.
    xI2=x(1001)=(x00x)\displaystyle xI_2=x\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}
  3. Se scade matricea xI2\displaystyle xI_2 din matricea A−B\displaystyle A-B, obținând expresia generală valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    A−B−xI2=(0−210)−(x00x)=(−x−21−x)\displaystyle A-B-xI_2=\begin{pmatrix}0&-2\\1&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x&-2\\1&-x\end{pmatrix}, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  4. Se egalează matricea obținută cu matricea dată în enunț, element cu element, și se rezolvă ecuația rezultată pentru a determina valoarea lui x\displaystyle x.
    (−x−21−x)=(−2−21−2)\displaystyle \begin{pmatrix}-x&-2\\1&-x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&-2\\1&-2\end{pmatrix}, de unde obținem x=2\displaystyle \text{ de unde obținem }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(101−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}, B=(120−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(a(A+B))=−6\displaystyle \det(a(A+B))=-6.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează suma matricelor A\displaystyle A și B\displaystyle B, adunând elementele corespunzătoare.
    A+B=(101−1)+(120−1)=(221−2)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\1&-2\end{pmatrix}
  2. Se înmulțește matricea obținută cu scalarul a\displaystyle a, obținând matricea a(A+B)\displaystyle a(A+B).
    a(A+B)=a(221−2)=(2a2aa−2a)\displaystyle a(A+B)=a\begin{pmatrix}2&2\\1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a&2a\\a&-2a\end{pmatrix}
  3. Se calculează determinantul matricei a(A+B)\displaystyle a(A+B), folosind formula determinantului pentru o matrice 2×2\displaystyle 2 \times 2, și se obține expresia în funcție de a\displaystyle a.
    det⁡(a(A+B))=2a⋅(−2a)−2a⋅a=−4a2−2a2=−6a2\displaystyle \det(a(A+B))=2a\cdot(-2a)-2a\cdot a=-4a^2-2a^2=-6a^2, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \text{ pentru orice număr real }a
  4. Se pune condiția ca determinantul să fie egal cu −6\displaystyle -6 și se rezolvă ecuația obținută pentru a\displaystyle a.
    −6a2=−6⇒a2=1⇒a=−1 sau a=1\displaystyle -6a^2=-6\Rightarrow a^2=1\Rightarrow a=-1\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(101−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}, B=(120−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Rezolvați în M2(R)\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ecuația A⋅X=B\displaystyle A\cdot X=B.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează A2\displaystyle A^{2} pentru a verifica dacă A\displaystyle A este propria sa inversă, înmulțind matricea A\displaystyle A cu ea însăși.
    A2=A⋅A=(101−1)(101−1)=(1⋅1+0⋅11⋅0+0⋅(−1)1⋅1+(−1)⋅11⋅0+(−1)⋅(−1))\displaystyle A^2=A\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot1&1\cdot0+0\cdot(-1)\\1\cdot1+(-1)\cdot1&1\cdot0+(-1)\cdot(-1)\end{pmatrix}
  2. Se efectuează calculele din produsul A2\displaystyle A^{2} și se obține matricea unitate, deducând astfel că A\displaystyle A este inversabilă și egală cu propria sa inversă.
    A2=(1001)=I2⇒A−1=A\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2\Rightarrow A^{-1}=A
  3. Din ecuația matriceală A⋅X=B\displaystyle A\cdot X=B, se înmulțește la stânga cu A−1=A\displaystyle A^{-1}=A, obținând formula de calcul a lui X\displaystyle X.
    A⋅X=B⇒X=A−1⋅B=A⋅B\displaystyle A\cdot X=B\Rightarrow X=A^{-1}\cdot B=A\cdot B
  4. Se scrie explicit produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B, folosind elementele celor două matrice, pentru a calcula fiecare element al lui X\displaystyle X.
    X=A⋅B=(101−1)(120−1)=(1⋅1+0⋅01⋅2+0⋅(−1)1⋅1+(−1)⋅01⋅2+(−1)⋅(−1))\displaystyle X=A\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot0&1\cdot2+0\cdot(-1)\\1\cdot1+(-1)\cdot0&1\cdot2+(-1)\cdot(-1)\end{pmatrix}
  5. Se efectuează calculele numerice pentru fiecare element al matricei produs, obținând forma finală a matricei X\displaystyle X.
    X=(1213)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.