Bac matematică M4 pedagogic 2017, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1+(12)3−14):78=1\displaystyle \left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^3-\frac{1}{4}\right):\frac{7}{8}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm puterea din paranteză: (12)3=1323=18\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=\dfrac{1^{3}}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}.
    (12)3=18\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}
  2. Înlocuim în paranteză: 1+18−14\displaystyle 1+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}. Aducem la numitorul comun 8\displaystyle 8: 1=88\displaystyle 1=\dfrac{8}{8} și 14=28\displaystyle \dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{8}.
    88+18−28\displaystyle \frac{8}{8}+\frac{1}{8}-\frac{2}{8}
  3. Adunăm și scădem numărătorii: 8+1−2=7\displaystyle 8+1-2=7, deci paranteza este egală cu 78\displaystyle \dfrac{7}{8}.
    1+18−14=78\displaystyle 1+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{7}{8}
  4. Efectuăm împărțirea: 78:78=78⋅87=1\displaystyle \dfrac{7}{8}:\dfrac{7}{8}=\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{8}{7}=1, deoarece un număr nenul împărțit la el însuși dă 1\displaystyle 1. Deci egalitatea din enunț este adevărată.
    78:78=78⋅87=1\displaystyle \frac{7}{8}:\frac{7}{8}=\frac{7}{8}\cdot\frac{8}{7}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(1)+f(−1)=2\displaystyle f(1)+f(-1)=2, unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a.
    f(1)=1+a\displaystyle f(1)=1+a
  2. Calculăm f(−1)\displaystyle f(-1) înlocuind x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1 în f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a.
    f(−1)=−1+a\displaystyle f(-1)=-1+a
  3. Scriem condiția f(1)+f(−1)=2\displaystyle f(1)+f(-1)=2 cu valorile obținute: (1+a)+(−1+a)=2\displaystyle (1+a)+(-1+a)=2. Termenii 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1 se reduc.
    (1+a)+(−1+a)=2⇔2a=2\displaystyle (1+a)+(-1+a)=2\Leftrightarrow 2a=2
  4. Împărțim ecuația 2a=2\displaystyle 2a=2 la 2\displaystyle 2 și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡6(x2+2)=log⁡6(3x)\displaystyle \log_6\left(x^2+2\right)=\log_6(3x).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Expresia x2+2\displaystyle x^{2}+2 este mereu pozitivă, deci rămâne condiția 3x>0\displaystyle 3x>0, adică x>0\displaystyle x>0.
    x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty)
  2. Logaritmii au aceeași bază, 6\displaystyle 6, iar funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: x2+2=3x\displaystyle x^{2}+2=3x.
    x2+2=3x\displaystyle x^{2}+2=3x
  3. Mutăm toți termenii în membrul stâng și obținem o ecuație de gradul al doilea: x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}-3x+2=0.
    x2+2=3x⇔x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}+2=3x\Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=(−3)2−4⋅1⋅2=1\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2=1. Rădăcinile sunt x=3−12=1\displaystyle x=\dfrac{3-1}{2}=1 și x=3+12=2\displaystyle x=\dfrac{3+1}{2}=2.
    x1=1\displaystyle x_1=1, x2=2\displaystyle \ x_2=2
  5. Verificăm condiția de existență: ambele valori, 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2, sunt mai mari ca 0\displaystyle 0, deci convin. Soluțiile ecuației sunt 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    x=1 sau x=2, care convin\displaystyle x=1\text{ sau }x=2\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este 300\displaystyle 300 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se ieftinește de două ori, succesiv, cu câte 10%\displaystyle 10\%.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm cât reprezintă 10%\displaystyle 10\% din prețul inițial de 300\displaystyle 300 de lei: 10%⋅300=10100⋅300=30\displaystyle 10\%\cdot 300=\dfrac{10}{100}\cdot 300=30 de lei.
    10%⋅300=30 de lei\displaystyle 10\%\cdot 300=30\text{ de lei}
  2. După prima ieftinire, scădem reducerea din prețul inițial: 300−10%⋅300=300−30=270\displaystyle 300-10\%\cdot 300=300-30=270 de lei.
    300−10%⋅300=270 de lei\displaystyle 300-10\%\cdot 300=270\text{ de lei}
  3. A doua ieftinire se aplică la noul preț de 270\displaystyle 270 de lei. Calculăm 10%⋅270=10100⋅270=27\displaystyle 10\%\cdot 270=\dfrac{10}{100}\cdot 270=27 de lei.
    10%⋅270=27 de lei\displaystyle 10\%\cdot 270=27\text{ de lei}
  4. Scădem a doua reducere din 270\displaystyle 270 de lei: 270−10%⋅270=270−27=243\displaystyle 270-10\%\cdot 270=270-27=243 de lei. Acesta este prețul final al obiectului.
    270−10%⋅270=243 de lei\displaystyle 270-10\%\cdot 270=243\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(−3,2)\displaystyle A(-3,2) și B(3,2)\displaystyle B(3,2). Determinați distanța de la punctul O\displaystyle O la punctul M\displaystyle M, unde M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Mijlocul segmentului AB\displaystyle AB are coordonatele M(xA+xB2,yA+yB2)\displaystyle M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right).
    M(xA+xB2,yA+yB2)\displaystyle M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)
  2. Înlocuim xA=−3\displaystyle x_A=-3, yA=2\displaystyle y_A=2, xB=3\displaystyle x_B=3, yB=2\displaystyle y_B=2: xM=−3+32=0\displaystyle x_M=\dfrac{-3+3}{2}=0 și yM=2+22=2\displaystyle y_M=\dfrac{2+2}{2}=2. Deci M(0,2)\displaystyle M(0,2).
    M(0,2)\displaystyle M(0,2)
  3. Distanța dintre O(0,0)\displaystyle O(0,0) și M(0,2)\displaystyle M(0,2) este OM=(xM−xO)2+(yM−yO)2=(0−0)2+(2−0)2=4\displaystyle OM=\sqrt{(x_M-x_O)^{2}+(y_M-y_O)^{2}}=\sqrt{(0-0)^{2}+(2-0)^{2}}=\sqrt{4}.
    OM=02+22=4\displaystyle OM=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=\sqrt{4}
  4. Cum 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, obținem OM=2\displaystyle OM=2.
    OM=2\displaystyle OM=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că m(∠C)=45∘\displaystyle m(\angle C)=45^\circ și AB=AC=23\displaystyle AB=AC=2\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC are AB=AC\displaystyle AB=AC, deci este isoscel cu baza BC\displaystyle BC. Unghiurile de la bază sunt egale, deci m(∠B)=m(∠C)=45∘\displaystyle m(\angle B)=m(\angle C)=45^\circ.
    m(∠B)=m(∠C)=45∘\displaystyle m(\angle B)=m(\angle C)=45^\circ
  2. Suma unghiurilor unui triunghi este 180∘\displaystyle 180^\circ, deci m(∠A)=180∘−45∘−45∘=90∘\displaystyle m(\angle A)=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ. Triunghiul este dreptunghic isoscel, cu catetele AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC.
    m(∠A)=90∘\displaystyle m(\angle A)=90^\circ
  3. Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor. Înlocuim AB=AC=23\displaystyle AB=AC=2\sqrt{3}.
    AΔABC=AB⋅AC2=23⋅232\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}{2}
  4. Calculăm produsul: 23⋅23=4⋅3=12\displaystyle 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=4\cdot 3=12. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem aria.
    122=6\displaystyle \frac{12}{2}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−6\displaystyle x*y=x+y-6.

Arătați că 6∗0=0\displaystyle 6*0=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: pentru oricare numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, x∗y=x+y−6\displaystyle x*y=x+y-6.
    x∗y=x+y−6\displaystyle x*y=x+y-6
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 6\displaystyle 6 și y\displaystyle y cu 0\displaystyle 0 în definiție.
    6∗0=6+0−6\displaystyle 6*0=6+0-6
  3. Calculăm: 6+0=6\displaystyle 6+0=6, iar 6−6=0\displaystyle 6-6=0. Am obținut exact valoarea cerută.
    6∗0=6−6=0\displaystyle 6*0=6-6=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−6\displaystyle x*y=x+y-6.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă dacă x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Pornim de la definiția legii: x∗y=x+y−6\displaystyle x*y=x+y-6.
    x∗y=x+y−6\displaystyle x*y=x+y-6
  2. Adunarea numerelor reale este comutativă, adică x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x. Deci x+y−6=y+x−6\displaystyle x+y-6=y+x-6.
    x∗y=x+y−6=y+x−6\displaystyle x*y=x+y-6=y+x-6
  3. Din definiția legii, y∗x=y+x−6\displaystyle y*x=y+x-6. Rezultă x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
    x∗y=y∗x, pentru orice numere \displaystyle x*y=y*x\text{, pentru orice numere }reale x și y, deci legea de \displaystyle \text{reale }x\text{ și }y\text{, deci legea de }compoziție „∗” este comutativa˘\displaystyle \text{compoziție „}*\text{” este comutativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−6\displaystyle x*y=x+y-6.

Verificați dacă e=6\displaystyle e=6 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul e\displaystyle e este element neutru dacă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x. Verificăm această condiție pentru e=6\displaystyle e=6.
    x∗6=e∗x=x de verificat pentru orice x∈R\displaystyle x*6=e*x=x\text{ de verificat pentru orice }x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm x∗6\displaystyle x*6 folosind definiția x∗y=x+y−6\displaystyle x*y=x+y-6, cu y=6\displaystyle y=6. Termenii +6\displaystyle +6 și −6\displaystyle -6 se reduc.
    x∗6=x+6−6=x\displaystyle x*6=x+6-6=x
  3. Calculăm și 6∗x\displaystyle 6*x, înlocuind în definiție primul element cu 6\displaystyle 6 și al doilea cu x\displaystyle x. Obținem tot x\displaystyle x, deci egalitatea este îndeplinită pentru orice x\displaystyle x real.
    6∗x=6+x−6=x=x∗6\displaystyle 6*x=6+x-6=x=x*6
  4. Deoarece x∗6=6∗x=x\displaystyle x*6=6*x=x pentru orice număr real x\displaystyle x, concluzionăm că e=6\displaystyle e=6 este elementul neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    6∗x=6+x−6=x=x∗6, pentru orice numa˘r real x, deci e=6 este elementul neutru al \displaystyle 6*x=6+x-6=x=x*6\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=6\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „∗”\displaystyle \text{legii de compoziție „}*\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−6\displaystyle x*y=x+y-6.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x folosind definiția legii: înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x în x+y−6\displaystyle x+y-6.
    x∗x=x+x−6=2x−6\displaystyle x*x=x+x-6=2x-6
  2. Legea este asociativă, deci x∗x∗x=(x∗x)∗x\displaystyle x*x*x=(x*x)*x. Aplicăm definiția pentru 2x−6\displaystyle 2x-6 și x\displaystyle x: adunăm cele două numere și scădem 6\displaystyle 6.
    x∗x∗x=(2x−6)∗x=(2x−6)+x−6=3x−12\displaystyle x*x*x=(2x-6)*x=(2x-6)+x-6=3x-12
  3. Egalăm compunerea triplă cu x\displaystyle x și obținem o ecuație de gradul întâi: 3x−12=x\displaystyle 3x-12=x.
    3x−12=x\displaystyle 3x-12=x
  4. Mutăm x\displaystyle x în membrul stâng: 3x−x=12\displaystyle 3x-x=12, deci 2x=12\displaystyle 2x=12. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem soluția ecuației.
    2x=12⇔x=6\displaystyle 2x=12\Leftrightarrow x=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−6\displaystyle x*y=x+y-6. Arătați că 1∗2∗3∗4∗5∗6∗7∗8∗9∗10=1\displaystyle 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=1.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este asociativă, deci putem grupa factorii în perechi vecine și calculăm fiecare pereche după formula x∗y=x+y−6\displaystyle x*y=x+y-6: 1∗2=−3\displaystyle 1*2=-3, 3∗4=1\displaystyle 3*4=1, 5∗6=5\displaystyle 5*6=5, 7∗8=9\displaystyle 7*8=9 și 9∗10=13\displaystyle 9*10=13.
    (−3)∗1∗5∗9∗13\displaystyle (-3)*1*5*9*13
  2. Înlocuim perechile calculate în expresie și obținem compunerea (−3)∗1∗5∗9∗13\displaystyle (-3)*1*5*9*13.
    (−3)∗1∗5∗9∗13\displaystyle (-3)*1*5*9*13
  3. Grupăm din nou: (−3)∗1=−3+1−6=−8\displaystyle (-3)*1=-3+1-6=-8 și 5∗9=5+9−6=8\displaystyle 5*9=5+9-6=8. Expresia devine (−8)∗8∗13\displaystyle (-8)*8*13.
    (−8)∗8∗13\displaystyle (-8)*8*13
  4. Calculăm (−8)∗8=−8+8−6=−6\displaystyle (-8)*8=-8+8-6=-6.
    −6\displaystyle -6
  5. Ultimul calcul: (−6)∗13=−6+13−6=1\displaystyle (-6)*13=-6+13-6=1. Deci 1∗2∗3∗4∗5∗6∗7∗8∗9∗10=1\displaystyle 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=1.
    1\displaystyle 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−6\displaystyle x*y=x+y-6.

Determinați numerele naturale pare nenule n\displaystyle n pentru care n∗n∗…∗n⏟de 6 ori n<6\displaystyle \underbrace{n*n*\ldots*n}_{\text{de 6 ori }n}<6.
Vezi rezolvarea
  1. Legea se scrie x∗y=x+y−6\displaystyle x*y=x+y-6. Calculăm primele compuneri: n∗n=n+n−6\displaystyle n*n=n+n-6.
    n∗n=2n−6\displaystyle n*n=2n-6
  2. Compunem încă o dată cu n\displaystyle n: (n∗n)∗n=(2n−6)+n−6\displaystyle (n*n)*n=(2n-6)+n-6. La fiecare compunere se adaugă n\displaystyle n și se scade 6\displaystyle 6.
    n∗n∗n=3n−12\displaystyle n*n*n=3n-12
  3. Pentru k\displaystyle k termeni egali cu n\displaystyle n rezultatul este kn−6(k−1)\displaystyle kn-6(k-1). Pentru k=6\displaystyle k=6 avem 6n−6⋅5\displaystyle 6n-6\cdot 5.
    n∗n∗…∗n⏟de 6 ori n=6n−30\displaystyle \underbrace{n*n*\ldots*n}_{\text{de 6 ori }n}=6n-30
  4. Punem condiția din enunț: 6n−30<6\displaystyle 6n-30<6, deci 6n<36\displaystyle 6n<36, adică n<6\displaystyle n<6.
    6n−30<6⇒n<6\displaystyle 6n-30<6\Rightarrow n<6
  5. Numerele naturale pare, nenule, mai mici decât 6\displaystyle 6 sunt 2\displaystyle 2 și 4\displaystyle 4.
    n=2 sau n=4\displaystyle n=2\text{ sau }n=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a243)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=−5\displaystyle \det(A(1))=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(1243)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}
  2. Determinantul de ordin 2 este diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală (1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3) și produsul elementelor de pe diagonala secundară (4\displaystyle 4 și 2\displaystyle 2).
    det⁡(A(1))=∣1243∣=1⋅3−4⋅2\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1 & 2\\ 4 & 3\end{vmatrix}=1\cdot 3-4\cdot 2
  3. Efectuăm produsele: 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3 și 4⋅2=8\displaystyle 4\cdot 2=8. Scădem și obținem 3−8=−5\displaystyle 3-8=-5, adică exact ce trebuia arătat.
    det⁡(A(1))=3−8=−5\displaystyle \det(A(1))=3-8=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a243)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(−a)+A(a)=2A(0)\displaystyle A(-a)+A(a)=2A(0), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu −a\displaystyle -a în A(a)=(a243)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix} și obținem matricea A(−a)\displaystyle A(-a).
    A(−a)=(−a243)\displaystyle A(-a)=\begin{pmatrix}-a & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}
  2. Adunăm A(−a)\displaystyle A(-a) și A(a)\displaystyle A(a) element cu element. Pe prima poziție avem −a+a=0\displaystyle -a+a=0, iar celelalte elemente sunt 2+2=4\displaystyle 2+2=4, 4+4=8\displaystyle 4+4=8, 3+3=6\displaystyle 3+3=6.
    A(−a)+A(a)=(−a+a2+24+43+3)=(0486)\displaystyle A(-a)+A(a)=\begin{pmatrix}-a+a & 2+2\\ 4+4 & 3+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 4\\ 8 & 6\end{pmatrix}
  3. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 în fața matricei. Matricea rămasă este A(0)\displaystyle A(0), obținută pentru a=0\displaystyle a=0. Cum a\displaystyle a a fost oarecare, egalitatea are loc pentru orice număr real a\displaystyle a.
    (0486)=2(0243)=2A(0), pentru orice numa˘r real a\displaystyle \begin{pmatrix}0 & 4\\ 8 & 6\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}0 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}=2A(0)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a243)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că inversa matricei A(3)\displaystyle A(3) este matricea (3−2−43)\displaystyle \begin{pmatrix}3 & -2\\ -4 & 3\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=3\displaystyle a=3 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem A(3)\displaystyle A(3). Notăm cu B\displaystyle B matricea dată în enunț. Pentru a arăta că B\displaystyle B este inversa lui A(3)\displaystyle A(3), verificăm că produsul lor, în ambele ordini, este matricea unitate I2\displaystyle I_2.
    A(3)=(3243)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix},B=(3−2−43)\displaystyle \quad B=\begin{pmatrix}3 & -2\\ -4 & 3\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(3)⋅B\displaystyle A(3)\cdot B. Fiecare element se obține înmulțind linia din prima matrice cu coloana din a doua: de exemplu, elementul de pe linia 1, coloana 1 este 3⋅3+2⋅(−4)=9−8\displaystyle 3\cdot 3+2\cdot(-4)=9-8.
    A(3)⋅B=(3243)⋅(3−2−43)=(9−8−6+612−12−8+9)=(1001)=I2\displaystyle A(3)\cdot B=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 & -2\\ -4 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9-8 & -6+6\\ 12-12 & -8+9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I_2
  3. Calculăm și produsul în ordine inversă, B⋅A(3)\displaystyle B\cdot A(3), pentru că inversa trebuie să dea matricea unitate în ambele ordini. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este 3⋅3+(−2)⋅4=9−8\displaystyle 3\cdot 3+(-2)\cdot 4=9-8.
    B⋅A(3)=(3−2−43)⋅(3243)=(9−86−6−12+12−8+9)=(1001)=I2\displaystyle B\cdot A(3)=\begin{pmatrix}3 & -2\\ -4 & 3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9-8 & 6-6\\ -12+12 & -8+9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I_2
  4. Deoarece A(3)⋅B=B⋅A(3)=I2\displaystyle A(3)\cdot B=B\cdot A(3)=I_2, matricea B\displaystyle B este inversa matricei A(3)\displaystyle A(3).
    A(3)⋅B=B⋅A(3)=I2, deci (3−2−43) este inversa matricei A(3)\displaystyle A(3)\cdot B=B\cdot A(3)=I_2\text{, deci }\begin{pmatrix}3 & -2\\ -4 & 3\end{pmatrix}\text{ este inversa matricei }A(3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a243)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact atunci când determinantul ei este nenul. Deci vom calcula det⁡(A(a))\displaystyle \det(A(a)).
    A(a) inversabila˘⇔det⁡(A(a))≠0\displaystyle A(a)\text{ inversabilă}\Leftrightarrow \det(A(a))\neq 0
  2. Calculăm determinantul de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică a⋅3−2⋅4\displaystyle a\cdot 3-2\cdot 4.
    det⁡(A(a))=∣a243∣=3a−8\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a & 2\\ 4 & 3\end{vmatrix}=3a-8
  3. Impunem condiția ca determinantul să fie nenul: 3a−8≠0\displaystyle 3a-8\neq 0, deci 3a≠8\displaystyle 3a\neq 8, adică a≠83\displaystyle a\neq \dfrac{8}{3}.
    3a−8≠0⇔a≠83\displaystyle 3a-8\neq 0\Leftrightarrow a\neq \frac{8}{3}
  4. Matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă pentru orice număr real a\displaystyle a, în afară de 83\displaystyle \dfrac{8}{3}.
    a∈R∖{83}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{8}{3}\right\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a243)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care A(a2)−4A(a)+3A(1)=O2\displaystyle A\left(a^2\right)-4A(a)+3A(1)=O_2, unde O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele din egalitate, înlocuind parametrul. Doar elementul din stânga sus se schimbă: A(a2)=(a2243)\displaystyle A\left(a^{2}\right)=\begin{pmatrix}a^{2} & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}, A(a)=(a243)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}, A(1)=(1243)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}.
    A(a2)=(a2243)\displaystyle A\left(a^{2}\right)=\begin{pmatrix}a^{2} & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}
  2. Înmulțim cu scalarii, element cu element: 4A(a)=(4a81612)\displaystyle 4A(a)=\begin{pmatrix}4a & 8\\ 16 & 12\end{pmatrix} și 3A(1)=(36129)\displaystyle 3A(1)=\begin{pmatrix}3 & 6\\ 12 & 9\end{pmatrix}.
    4A(a)=(4a81612)\displaystyle 4A(a)=\begin{pmatrix}4a & 8\\ 16 & 12\end{pmatrix},3A(1)=(36129)\displaystyle \quad 3A(1)=\begin{pmatrix}3 & 6\\ 12 & 9\end{pmatrix}
  3. Calculăm combinația element cu element. În stânga sus obținem a2−4a+3\displaystyle a^{2}-4a+3, iar pentru celelalte elemente avem 2−8+6=0\displaystyle 2-8+6=0, 4−16+12=0\displaystyle 4-16+12=0, 3−12+9=0\displaystyle 3-12+9=0.
    A(a2)−4A(a)+3A(1)=(a2−4a+3000)\displaystyle A\left(a^{2}\right)-4A(a)+3A(1)=\begin{pmatrix}a^{2}-4a+3 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}
  4. Matricea obținută trebuie să fie egală cu O2\displaystyle O_2. Celelalte elemente sunt deja 0\displaystyle 0, deci rămâne condiția a2−4a+3=0\displaystyle a^{2}-4a+3=0.
    a2−4a+3=0\displaystyle a^{2}-4a+3=0
  5. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=16−12=4\displaystyle \Delta=16-12=4, deci a=4±22\displaystyle a=\dfrac{4\pm 2}{2}. Echivalent, (a−1)(a−3)=0\displaystyle (a-1)(a-3)=0.
    a=1 sau a=3\displaystyle a=1\text{ sau }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a243)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a)+A(2))=a2−15\displaystyle \det(A(a)+A(2))=a^2-15.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem A(2)=(2243)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}.
    A(2)=(2243)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele element cu element: a+2\displaystyle a+2, 2+2=4\displaystyle 2+2=4, 4+4=8\displaystyle 4+4=8, 3+3=6\displaystyle 3+3=6.
    A(a)+A(2)=(a+2486)\displaystyle A(a)+A(2)=\begin{pmatrix}a+2 & 4\\ 8 & 6\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 6(a+2)−4⋅8=6a+12−32=6a−20\displaystyle 6(a+2)-4\cdot 8=6a+12-32=6a-20.
    det⁡(A(a)+A(2))=6(a+2)−32=6a−20\displaystyle \det(A(a)+A(2))=6(a+2)-32=6a-20
  4. Egalăm determinantul cu a2−15\displaystyle a^2-15: 6a−20=a2−15\displaystyle 6a-20=a^2-15. Mutăm toți termenii în membrul drept și obținem a2−6a+5=0\displaystyle a^2-6a+5=0.
    a2−6a+5=0\displaystyle a^2-6a+5=0
  5. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: Δ=(−6)2−4⋅1⋅5=16\displaystyle \Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5=16, deci a=6±42\displaystyle a=\dfrac{6\pm 4}{2}, adică a=1\displaystyle a=1 sau a=5\displaystyle a=5.
    a=1 sau a=5\displaystyle a=1\text{ sau }a=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.