Bac matematică M4 pedagogic 2012, sesiunea I varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați lg⁡100+lg⁡110\displaystyle \lg 100+\lg\frac{1}{10}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm separat fiecare logaritm: lg⁡100=lg⁡102=2\displaystyle \lg 100=\lg 10^{2}=2, iar lg⁡110=lg⁡10−1=−1\displaystyle \lg\dfrac{1}{10}=\lg 10^{-1}=-1.
    2 și −1\displaystyle 2\text{ și }-1
  2. Folosim proprietatea lg⁡a+lg⁡b=lg⁡(ab)\displaystyle \lg a+\lg b=\lg (ab). Produsul 100⋅110=10\displaystyle 100\cdot\dfrac{1}{10}=10, deci suma este lg⁡10\displaystyle \lg 10.
    lg⁡100+lg⁡110=lg⁡(100⋅110)=lg⁡10\displaystyle \lg 100+\lg\dfrac{1}{10}=\lg\left(100\cdot\dfrac{1}{10}\right)=\lg 10
  3. Cum lg⁡10=1\displaystyle \lg 10=1, obținem valoarea expresiei. Același rezultat rezultă și din primul pas: 2+(−1)=1\displaystyle 2+(-1)=1.
    1\displaystyle 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați mulțimea valorilor funcției f:{−1,0,1}→R, f(x)=−x+2\displaystyle f:\{-1,0,1\}\to\mathbb{R},\ f(x)=-x+2.
Vezi rezolvarea
  1. Domeniul funcției are doar trei elemente: −1\displaystyle -1, 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1. Mulțimea valorilor este formată din valorile funcției în aceste puncte, deci le calculăm pe rând.
    Im⁡f={f(−1), f(0), f(1)}\displaystyle \operatorname{Im} f=\{f(-1),\,f(0),\,f(1)\}
  2. Pentru x=−1\displaystyle x=-1 înlocuim în f(x)=−x+2\displaystyle f(x)=-x+2 și obținem f(−1)=−(−1)+2=1+2=3\displaystyle f(-1)=-(-1)+2=1+2=3.
    f(−1)=3\displaystyle f(-1)=3
  3. Pentru x=0\displaystyle x=0 obținem f(0)=−0+2=2\displaystyle f(0)=-0+2=2. Pentru x=1\displaystyle x=1 obținem f(1)=−1+2=1\displaystyle f(1)=-1+2=1.
    f(−1)=3\displaystyle f(-1)=3, f(0)=2\displaystyle \ f(0)=2, f(1)=1\displaystyle \ f(1)=1
  4. Mulțimea valorilor funcției este mulțimea formată din cele trei valori calculate: 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3.
    Im⁡f={1,2,3}\displaystyle \operatorname{Im} f=\{1,2,3\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→R, f(x)=x2+2x−1\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^2+2x-1.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții funcției de gradul al doilea f(x)=ax2+bx+c\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c: a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=−1\displaystyle c=-1.
    a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle \ b=2, c=−1\displaystyle \ c=-1
  2. Calculăm abscisa vârfului cu formula xv=−b2a\displaystyle x_v=-\dfrac{b}{2a}. Obținem xv=−22⋅1=−1\displaystyle x_v=-\dfrac{2}{2\cdot 1}=-1.
    xv=−22⋅1=−1\displaystyle x_v=-\dfrac{2}{2\cdot 1}=-1
  3. Calculăm discriminantul Δ=b2−4ac=22−4⋅1⋅(−1)=4+4=8\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot 1\cdot(-1)=4+4=8.
    Δ=8\displaystyle \Delta=8
  4. Calculăm ordonata vârfului cu formula yv=−Δ4a=−84=−2\displaystyle y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{8}{4}=-2. Vârful parabolei este V(−1,−2)\displaystyle V(-1,-2).
    V(−1,−2)\displaystyle V(-1,-2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32x+1=9\displaystyle 3^{2x+1}=9.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 9=32\displaystyle 9=3^{2}, deci putem scrie membrul drept ca putere a lui 3\displaystyle 3.
    9=32\displaystyle 9=3^{2}
  2. Înlocuim 9\displaystyle 9 cu 32\displaystyle 3^{2} în ecuație, astfel încât ambii membri au baza 3\displaystyle 3: 32x+1=32\displaystyle 3^{2x+1}=3^{2}.
    32x+1=32\displaystyle 3^{2x+1}=3^{2}
  3. Funcția x↦3x\displaystyle x\mapsto 3^{x} este injectivă, deci din egalitatea puterilor rezultă egalitatea exponenților.
    2x+1=2\displaystyle 2x+1=2
  4. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri: 2x=1\displaystyle 2x=1. Apoi împărțim la 2\displaystyle 2.
    2x=1⇔x=12\displaystyle 2x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Într-un reper cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,2)\displaystyle A(1,2) și B(2,0)\displaystyle B(2,0). Calculați distanța de la A\displaystyle A la B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte din plan: pentru A(x1,y1)\displaystyle A(x_1,y_1) și B(x2,y2)\displaystyle B(x_2,y_2) avem AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
    AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(1,2)\displaystyle A(1,2) și B(2,0)\displaystyle B(2,0) în formulă, adică x1=1\displaystyle x_1=1, y1=2\displaystyle y_1=2, x2=2\displaystyle x_2=2, y2=0\displaystyle y_2=0.
    AB=(2−1)2+(0−2)2\displaystyle AB=\sqrt{(2-1)^2+(0-2)^2}
  3. Calculăm diferențele: 2−1=1\displaystyle 2-1=1 și 0−2=−2\displaystyle 0-2=-2. Pătratele lor sunt 12=1\displaystyle 1^2=1 și (−2)2=4\displaystyle (-2)^2=4.
    AB=1+4\displaystyle AB=\sqrt{1+4}
  4. Adunăm sub radical: 1+4=5\displaystyle 1+4=5, deci distanța de la A\displaystyle A la B\displaystyle B este:
    AB=5\displaystyle AB=\sqrt{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați sin⁡210∘+sin⁡280∘\displaystyle \sin^2 10^\circ+\sin^2 80^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că unghiurile de 10∘\displaystyle 10^\circ și 80∘\displaystyle 80^\circ sunt complementare, deoarece 10∘+80∘=90∘\displaystyle 10^\circ+80^\circ=90^\circ. Pentru unghiuri complementare, sinusul unuia este egal cu cosinusul celuilalt: sin⁡x=cos⁡(90∘−x)\displaystyle \sin x=\cos(90^\circ-x).
    10∘+80∘=90∘\displaystyle 10^\circ+80^\circ=90^\circ
  2. Aplicăm formula pentru x=10∘\displaystyle x=10^\circ și obținem sin⁡10∘=cos⁡(90∘−10∘)\displaystyle \sin 10^\circ=\cos(90^\circ-10^\circ).
    sin⁡10∘=cos⁡80∘\displaystyle \sin 10^\circ=\cos 80^\circ
  3. Ridicăm la pătrat egalitatea și înlocuim în expresie: sin⁡210∘=cos⁡280∘\displaystyle \sin^2 10^\circ=\cos^2 80^\circ, deci suma devine cos⁡280∘+sin⁡280∘\displaystyle \cos^2 80^\circ+\sin^2 80^\circ.
    sin⁡210∘+sin⁡280∘=cos⁡280∘+sin⁡280∘\displaystyle \sin^2 10^\circ+\sin^2 80^\circ=\cos^2 80^\circ+\sin^2 80^\circ
  4. Aplicăm formula fundamentală a trigonometriei, sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1, pentru x=80∘\displaystyle x=80^\circ. Rezultă că valoarea expresiei este 1.
    sin⁡280∘+cos⁡280∘=1\displaystyle \sin^2 80^\circ+\cos^2 80^\circ=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=(13,+∞)\displaystyle M=\left(\frac{1}{3},+\infty\right) se definește legea de compoziție x∘y=xy−13x−13y+49\displaystyle x\circ y=xy-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y+\frac{4}{9}.

Verificați dacă x∘y=(x−13)(y−13)+13\displaystyle x\circ y=\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}, pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∘y=xy−13x−13y+49\displaystyle x\circ y=xy-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}y+\dfrac{4}{9}. Scriem 49=19+39\displaystyle \dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{3}{9}, ca să pregătim gruparea termenilor.
    x∘y=xy−13x−13y+19+39\displaystyle x\circ y=xy-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y+\frac{1}{9}+\frac{3}{9}
  2. Din xy−13x\displaystyle xy-\dfrac{1}{3}x nu ne trebuie x, ci grupăm după y: xy−13x\displaystyle xy-\dfrac{1}{3}x cu −13y+19\displaystyle -\dfrac{1}{3}y+\dfrac{1}{9}. Aici scoatem factor comun: xy−13y\displaystyle xy-\dfrac{1}{3}y nu apare, deci rescriem termenii: xy−13x=x(y−13)\displaystyle xy-\dfrac{1}{3}x=x\left(y-\dfrac{1}{3}\right) și −13y+19=−13(y−13)\displaystyle -\dfrac{1}{3}y+\dfrac{1}{9}=-\dfrac{1}{3}\left(y-\dfrac{1}{3}\right). Cum 39=13\displaystyle \dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}, obținem expresia de mai jos.
    x∘y=x(y−13)−13(y−13)+13\displaystyle x\circ y=x\left(y-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{3}\left(y-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}
  3. Scoatem factorul comun y−13\displaystyle y-\dfrac{1}{3} și obținem (x−13)(y−13)+13\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(y-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{3}. Egalitatea este adevărată pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M.
    x∘y=(x−13)(y−13)+13, pentru orice x\displaystyle x\circ y=\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}\text{, pentru orice }x,y∈M\displaystyle y\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=(13,+∞)\displaystyle M=\left(\frac{1}{3},+\infty\right) se definește legea de compoziție x∘y=xy−13x−13y+49\displaystyle x\circ y=xy-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y+\frac{4}{9}.

Arătați că x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x, pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție pentru perechea (x,y)\displaystyle (x,y), cu x,y∈M\displaystyle x,y\in M: x∘y=xy−13x−13y+49\displaystyle x\circ y=xy-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}y+\dfrac{4}{9}.
    x∘y=xy−13x−13y+49\displaystyle x\circ y=xy-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y+\frac{4}{9}
  2. Aplicăm aceeași definiție pentru perechea (y,x)\displaystyle (y,x), adică schimbăm între ele rolurile lui x\displaystyle x și y\displaystyle y: y∘x=yx−13y−13x+49\displaystyle y\circ x=yx-\dfrac{1}{3}y-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{9}.
    y∘x=yx−13y−13x+49\displaystyle y\circ x=yx-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{9}
  3. Comparăm cele două expresii. Înmulțirea este comutativă, deci xy=yx\displaystyle xy=yx. Adunarea este comutativă, deci termenii −13x\displaystyle -\dfrac{1}{3}x și −13y\displaystyle -\dfrac{1}{3}y se pot scrie în orice ordine. Termenul 49\displaystyle \dfrac{4}{9} este același în ambele expresii.
    xy=yx\displaystyle xy=yx,−13x−13y=−13y−13x\displaystyle \quad -\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y=-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}x
  4. Cele două expresii coincid termen cu termen (după reordonare), deci x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M. Legea este comutativă.
    x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x, ∀x\displaystyle \ \forall x,y∈M\displaystyle y\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=(13,+∞)\displaystyle M=\left(\frac{1}{3},+\infty\right) se definește legea de compoziție x∘y=xy−13x−13y+49\displaystyle x\circ y=xy-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y+\frac{4}{9}.

Demonstrați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Observăm că (x−13)(y−13)=xy−13x−13y+19\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(y-\dfrac{1}{3}\right)=xy-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}y+\dfrac{1}{9}. Deoarece 49=19+13\displaystyle \dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{3}, obținem x∘y=(x−13)(y−13)+13\displaystyle x\circ y=\left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(y-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{3}.
    x∘y=(x−13)(y−13)+13\displaystyle x\circ y=\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}
  2. Calculăm (x∘y)∘z\displaystyle (x\circ y)\circ z. Avem (x∘y)−13=(x−13)(y−13)\displaystyle (x\circ y)-\dfrac{1}{3}=\left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(y-\dfrac{1}{3}\right). Aplicăm forma factorizată pentru compunerea lui x∘y\displaystyle x\circ y cu z\displaystyle z.
    (x∘y)∘z=(x−13)(y−13)(z−13)+13, pentru orice x\displaystyle (x\circ y)\circ z=\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)\left(z-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}\text{, pentru orice }x,y\displaystyle y,z∈M\displaystyle z\in M
  3. Calculăm x∘(y∘z)\displaystyle x\circ(y\circ z). Avem (y∘z)−13=(y−13)(z−13)\displaystyle (y\circ z)-\dfrac{1}{3}=\left(y-\dfrac{1}{3}\right)\left(z-\dfrac{1}{3}\right). Aplicăm forma factorizată pentru compunerea lui x\displaystyle x cu y∘z\displaystyle y\circ z.
    x∘(y∘z)=(x−13)(y−13)(z−13)+13, pentru orice x\displaystyle x\circ(y\circ z)=\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)\left(z-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}\text{, pentru orice }x,y\displaystyle y,z∈M\displaystyle z\in M
  4. Cele două expresii sunt egale pentru orice x,y,z∈M\displaystyle x,y,z\in M, deci legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este asociativă.
    (x∘y)∘z=x∘(y∘z)\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.d)

5 puncte
Pe mulțimea M=(13,+∞)\displaystyle M=\left(\frac{1}{3},+\infty\right) se definește legea de compoziție x∘y=xy−13x−13y+49\displaystyle x\circ y=xy-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y+\frac{4}{9}.

Determinați e∈M\displaystyle e\in M astfel încât x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x, pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă, deoarece expresia xy−13x−13y+49\displaystyle xy-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}y+\dfrac{4}{9} este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y. Deci e∘x=x∘e\displaystyle e\circ x=x\circ e pentru orice x∈M\displaystyle x\in M, iar este suficient să impunem condiția x∘e=x\displaystyle x\circ e=x, pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
    x∘e=e∘x, pentru orice x∈M\displaystyle x\circ e=e\circ x\text{, pentru orice }x\in M
  2. Scriem condiția x∘e=x\displaystyle x\circ e=x folosind definiția legii.
    xe−13x−13e+49=x\displaystyle xe-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}e+\frac{4}{9}=x
  3. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în dreapta și grupăm termenii care conțin e\displaystyle e în stânga: xe−13e=x+13x−49\displaystyle xe-\dfrac{1}{3}e=x+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{4}{9}, adică e(x−13)=43x−49\displaystyle e\left(x-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{4}{3}x-\dfrac{4}{9}.
    e(x−13)=43x−49\displaystyle e\left(x-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}x-\frac{4}{9}
  4. Dăm factor comun 43\displaystyle \dfrac{4}{3} în membrul drept: 43x−49=43(x−13)\displaystyle \dfrac{4}{3}x-\dfrac{4}{9}=\dfrac{4}{3}\left(x-\dfrac{1}{3}\right). Obținem egalitatea din barem, valabilă pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
    (x−13)⋅e=43⋅(x−13), pentru orice x∈M\displaystyle \left(x-\frac{1}{3}\right)\cdot e=\frac{4}{3}\cdot\left(x-\frac{1}{3}\right)\text{, pentru orice }x\in M
  5. Deoarece x∈M\displaystyle x\in M, avem x>13\displaystyle x>\dfrac{1}{3}, deci x−13≠0\displaystyle x-\dfrac{1}{3}\neq 0. Simplificăm cu x−13\displaystyle x-\dfrac{1}{3} și obținem e=43\displaystyle e=\dfrac{4}{3}. Acest număr aparține lui M\displaystyle M, deoarece 43>13\displaystyle \dfrac{4}{3}>\dfrac{1}{3}.
    e=43\displaystyle e=\frac{4}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.e)

5 puncte
Pe mulțimea M=(13,+∞)\displaystyle M=\left(\frac{1}{3},+\infty\right) se definește legea de compoziție x∘y=xy−13x−13y+49\displaystyle x\circ y=xy-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y+\frac{4}{9}.

Rezolvați în mulțimea M\displaystyle M ecuația x∘x=49\displaystyle x\circ x=\frac{4}{9}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem x∘x\displaystyle x\circ x folosind definiția legii, adică înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x în expresia xy−13x−13y+49\displaystyle xy-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}y+\dfrac{4}{9}.
    x∘x=x2−13x−13x+49=x2−23x+49\displaystyle x\circ x=x^{2}-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{9}=x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{9}
  2. Egalăm cu 49\displaystyle \dfrac{4}{9} și reducem termenii 49\displaystyle \dfrac{4}{9} din cei doi membri, obținând o ecuație de gradul al doilea.
    x2−23x+49=49  ⟺  x2−23x=0\displaystyle x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{9}=\dfrac{4}{9}\iff x^{2}-\dfrac{2}{3}x=0
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x și egalăm fiecare factor cu zero.
    x(x−23)=0  ⟺  x=0 sau x=23\displaystyle x\left(x-\dfrac{2}{3}\right)=0\iff x=0\text{ sau }x=\dfrac{2}{3}
  4. Verificăm care soluție aparține mulțimii M=(13,+∞)\displaystyle M=\left(\dfrac{1}{3},+\infty\right). Numărul 0\displaystyle 0 nu este mai mare decât 13\displaystyle \dfrac{1}{3}, deci nu convine. Numărul 23\displaystyle \dfrac{2}{3} este mai mare decât 13\displaystyle \dfrac{1}{3}, deci convine.
    0∉M\displaystyle 0\notin M,23∈M\displaystyle \quad \dfrac{2}{3}\in M
  5. Singura soluție a ecuației în mulțimea M\displaystyle M este 23\displaystyle \dfrac{2}{3}.
    x=23\displaystyle x=\dfrac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.f)

5 puncte
Pe mulțimea M=(13,+∞)\displaystyle M=\left(\frac{1}{3},+\infty\right) se definește legea de compoziție x∘y=xy−13x−13y+49\displaystyle x\circ y=xy-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y+\frac{4}{9}.

Arătați că (a+13)∘3∘(a+13)=8a2+13\displaystyle \left(a+\frac{1}{3}\right)\circ 3\circ\left(a+\frac{1}{3}\right)=\frac{8a^2+1}{3}, pentru orice a∈M\displaystyle a\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în forma factorizată: adunăm și scădem 19\displaystyle \dfrac{1}{9} și grupăm termenii. Obținem x∘y=(x−13)(y−13)+13\displaystyle x\circ y=\left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(y-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{3}, pentru că produsul (x−13)(y−13)\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(y-\dfrac{1}{3}\right) dă xy−x3−y3+19\displaystyle xy-\dfrac{x}{3}-\dfrac{y}{3}+\dfrac{1}{9}, iar 19+39=49\displaystyle \dfrac{1}{9}+\dfrac{3}{9}=\dfrac{4}{9}.
    x∘y=(x−13)(y−13)+13\displaystyle x\circ y=\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}
  2. Legea este asociativă, deci putem calcula expresia de la stânga la dreapta. Mai întâi calculăm (a+13)∘3\displaystyle \left(a+\dfrac{1}{3}\right)\circ 3, folosind forma factorizată: (a+13−13)(3−13)+13=a⋅83+13=8a+13\displaystyle \left(a+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\right)\left(3-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{3}=a\cdot\dfrac{8}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{8a+1}{3}.
    (a+13)∘3=a⋅83+13=8a+13\displaystyle \left(a+\frac{1}{3}\right)\circ 3=a\cdot\frac{8}{3}+\frac{1}{3}=\frac{8a+1}{3}
  3. Rămâne de calculat (8a+13)∘(a+13)\displaystyle \left(\dfrac{8a+1}{3}\right)\circ\left(a+\dfrac{1}{3}\right). Scădem 13\displaystyle \dfrac{1}{3} din primul element: 8a+13−13=8a3\displaystyle \dfrac{8a+1}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8a}{3}. Al doilea element devine (a+13)−13=a\displaystyle \left(a+\dfrac{1}{3}\right)-\dfrac{1}{3}=a.
    8a+13−13=8a3, iar (a+13)−13=a\displaystyle \frac{8a+1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{8a}{3}\text{, iar }\left(a+\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{3}=a
  4. Înmulțim cele două diferențe și adăugăm 13\displaystyle \dfrac{1}{3}: 8a3⋅a+13=8a2+13\displaystyle \dfrac{8a}{3}\cdot a+\dfrac{1}{3}=\dfrac{8a^{2}+1}{3}. Egalitatea este adevărată pentru orice a∈M\displaystyle a\in M.
    (8a+13)∘(a+13)=8a3⋅a+13=8a2+13, pentru orice a∈M\displaystyle \left(\frac{8a+1}{3}\right)\circ\left(a+\frac{1}{3}\right)=\frac{8a}{3}\cdot a+\frac{1}{3}=\frac{8a^{2}+1}{3}\text{, pentru orice }a\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(m1−11m−1−11m)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}m&1&-1\\1&m&-1\\-1&1&m\end{pmatrix} și sistemul (S) {mx+y−z=1x+my−z=1−x+y+mz=1\displaystyle (S)\ \begin{cases}mx+y-z=1\\x+my-z=1\\-x+y+mz=1\end{cases}, unde m\displaystyle m este un număr real.

Calculați det⁡(A(2))\displaystyle \det(A(2)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m\displaystyle m cu 2\displaystyle 2 în matricea A(m)\displaystyle A(m) și obținem matricea A(2)\displaystyle A(2).
    A(2)=(21−112−1−112)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&2&-1\\-1&1&2\end{pmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: 2⋅2⋅2\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2, 1⋅(−1)⋅(−1)\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot(-1) și (−1)⋅1⋅1\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot 1.
    2⋅2⋅2+1⋅(−1)⋅(−1)+(−1)⋅1⋅1=8+1−1=8\displaystyle 2\cdot2\cdot2+1\cdot(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot1\cdot1=8+1-1=8
  3. Calculăm apoi produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: (−1)⋅2⋅(−1)\displaystyle (-1)\cdot 2\cdot(-1), 2⋅(−1)⋅1\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 1 și 1⋅1⋅2\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2.
    (−1)⋅2⋅(−1)+2⋅(−1)⋅1+1⋅1⋅2=2−2+2=2\displaystyle (-1)\cdot2\cdot(-1)+2\cdot(-1)\cdot1+1\cdot1\cdot2=2-2+2=2
  4. Determinantul este diferența dintre suma de la diagonala principală și suma de la diagonala secundară: 8−2\displaystyle 8-2, adică 6\displaystyle 6.
    det⁡(A(2))=8−2=6\displaystyle \det(A(2))=8-2=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(m1−11m−1−11m)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}m&1&-1\\1&m&-1\\-1&1&m\end{pmatrix} și sistemul (S) {mx+y−z=1x+my−z=1−x+y+mz=1\displaystyle (S)\ \begin{cases}mx+y-z=1\\x+my-z=1\\-x+y+mz=1\end{cases}, unde m\displaystyle m este un număr real.

Arătați că det⁡(A(m))=m3−m\displaystyle \det(A(m))=m^3-m.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm regula lui Sarrus. Calculăm mai întâi cele trei produse cu semnul plus: a11a22a33=m⋅m⋅m=m3\displaystyle a_{11}a_{22}a_{33}=m\cdot m\cdot m=m^{3}, a12a23a31=1⋅(−1)⋅(−1)=1\displaystyle a_{12}a_{23}a_{31}=1\cdot(-1)\cdot(-1)=1 și a13a21a32=(−1)⋅1⋅1=−1\displaystyle a_{13}a_{21}a_{32}=(-1)\cdot 1\cdot 1=-1.
    m3+1+(−1)\displaystyle m^{3}+1+(-1)
  2. Calculăm cele trei produse cu semnul minus: a13a22a31=(−1)⋅m⋅(−1)=m\displaystyle a_{13}a_{22}a_{31}=(-1)\cdot m\cdot(-1)=m, a11a23a32=m⋅(−1)⋅1=−m\displaystyle a_{11}a_{23}a_{32}=m\cdot(-1)\cdot 1=-m și a12a21a33=1⋅1⋅m=m\displaystyle a_{12}a_{21}a_{33}=1\cdot 1\cdot m=m.
    m+(−m)+m\displaystyle m+(-m)+m
  3. Scădem a doua sumă din prima: det⁡(A(m))=(m3+1−1)−(m−m+m)=m3−1+1−m+m−m\displaystyle \det(A(m))=\left(m^{3}+1-1\right)-\left(m-m+m\right)=m^{3}-1+1-m+m-m.
    det⁡(A(m))=m3−1+1−m+m−m\displaystyle \det(A(m))=m^{3}-1+1-m+m-m
  4. Reducem termenii: −1+1=0\displaystyle -1+1=0 și −m+m=0\displaystyle -m+m=0, deci rămâne m3−m\displaystyle m^{3}-m. Am obținut ceea ce trebuia arătat.
    det⁡(A(m))=m3−m\displaystyle \det(A(m))=m^{3}-m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(m1−11m−1−11m)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}m&1&-1\\1&m&-1\\-1&1&m\end{pmatrix} și sistemul (S) {mx+y−z=1x+my−z=1−x+y+mz=1\displaystyle (S)\ \begin{cases}mx+y-z=1\\x+my-z=1\\-x+y+mz=1\end{cases}, unde m\displaystyle m este un număr real.

Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care det⁡(A(m))=0\displaystyle \det(A(m))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(m)\displaystyle A(m) și îl dezvoltăm după prima linie: m\displaystyle m ori minorul obținut prin eliminarea primei linii și a primei coloane, minus 1\displaystyle 1 ori minorul elementului din poziția (1,2)\displaystyle (1,2), plus (−1)\displaystyle (-1) ori minorul elementului din poziția (1,3)\displaystyle (1,3).
    det⁡(A(m))=m∣m−11m∣−1⋅∣1−1−1m∣+(−1)∣1m−11∣\displaystyle \det(A(m))=m\begin{vmatrix}m&-1\\1&m\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\-1&m\end{vmatrix}+(-1)\begin{vmatrix}1&m\\-1&1\end{vmatrix}
  2. Calculăm cei trei determinanți de ordin 2: primul este m⋅m−(−1)⋅1\displaystyle m\cdot m-(-1)\cdot 1, al doilea este 1⋅m−(−1)(−1)\displaystyle 1\cdot m-(-1)(-1), al treilea este 1⋅1−m⋅(−1)\displaystyle 1\cdot 1-m\cdot(-1).
    ∣m−11m∣=m2+1\displaystyle \begin{vmatrix}m&-1\\1&m\end{vmatrix}=m^{2}+1,∣1−1−1m∣=m−1\displaystyle \quad \begin{vmatrix}1&-1\\-1&m\end{vmatrix}=m-1,∣1m−11∣=1+m\displaystyle \quad \begin{vmatrix}1&m\\-1&1\end{vmatrix}=1+m
  3. Înlocuim minorii în dezvoltare și reducem termenii asemenea: m(m2+1)−(m−1)−(m+1)=m3+m−m+1−1−m\displaystyle m(m^{2}+1)-(m-1)-(m+1)=m^{3}+m-m+1-1-m.
    det⁡(A(m))=m3−m\displaystyle \det(A(m))=m^{3}-m
  4. Punem condiția det⁡(A(m))=0\displaystyle \det(A(m))=0 și dăm factor comun pe m\displaystyle m, apoi descompunem diferența de pătrate m2−1=(m−1)(m+1)\displaystyle m^{2}-1=(m-1)(m+1).
    m3−m=0  ⟺  m(m2−1)=0  ⟺  m(m−1)(m+1)=0\displaystyle m^{3}-m=0\iff m(m^{2}-1)=0\iff m(m-1)(m+1)=0
  5. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci egalăm fiecare factor cu 0\displaystyle 0. Obținem trei valori reale ale lui m\displaystyle m.
    m(m−1)(m+1)=0⇒m=−1\displaystyle m(m-1)(m+1)=0\Rightarrow m=-1, m=0\displaystyle \ m=0, m=1\displaystyle \ m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.d)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(m1−11m−1−11m)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}m&1&-1\\1&m&-1\\-1&1&m\end{pmatrix} și sistemul (S) {mx+y−z=1x+my−z=1−x+y+mz=1\displaystyle (S)\ \begin{cases}mx+y-z=1\\x+my-z=1\\-x+y+mz=1\end{cases}, unde m\displaystyle m este un număr real.

Verificați dacă, pentru m=3\displaystyle m=3, tripletul (13,13,13)\displaystyle \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right) este soluție a sistemului (S).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=3\displaystyle m=3 sistemul (S)\displaystyle (S) devine sistemul de mai jos, în care vom înlocui x=y=z=13\displaystyle x=y=z=\dfrac{1}{3}.
    {3x+y−z=1x+3y−z=1−x+y+3z=1\displaystyle \begin{cases}3x+y-z=1\\x+3y-z=1\\-x+y+3z=1\end{cases}
  2. În prima ecuație, 3x+y−z\displaystyle 3x+y-z devine 3⋅13+13−13\displaystyle 3\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}, iar rezultatul este egal cu membrul drept.
    3⋅13+13−13=1+0=1\displaystyle 3\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=1+0=1
  3. În a doua ecuație, x+3y−z\displaystyle x+3y-z devine 13+3⋅13−13\displaystyle \dfrac{1}{3}+3\cdot\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}, iar rezultatul este egal cu membrul drept.
    13+3⋅13−13=13+1−13=1\displaystyle \frac{1}{3}+3\cdot\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3}=1
  4. În a treia ecuație, −x+y+3z\displaystyle -x+y+3z devine −13+13+3⋅13\displaystyle -\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+3\cdot\dfrac{1}{3}, iar rezultatul este egal cu membrul drept.
    −13+13+3⋅13=0+1=1\displaystyle -\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+3\cdot\frac{1}{3}=0+1=1
  5. Cele trei ecuații au membrul stâng egal cu 1\displaystyle 1, adică egal cu membrul drept, deci tripletul (13,13,13)\displaystyle \left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\right) este soluție a sistemului.
    (13,13,13) este soluție a sistemului\displaystyle \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\text{ este soluție a sistemului}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.e)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(m1−11m−1−11m)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}m&1&-1\\1&m&-1\\-1&1&m\end{pmatrix} și sistemul (S) {mx+y−z=1x+my−z=1−x+y+mz=1\displaystyle (S)\ \begin{cases}mx+y-z=1\\x+my-z=1\\-x+y+mz=1\end{cases}, unde m\displaystyle m este un număr real.

Pentru m=2\displaystyle m=2, rezolvați sistemul (S).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=2\displaystyle m=2 în fiecare ecuație a sistemului și obținem:
    {2x+y−z=1x+2y−z=1−x+y+2z=1\displaystyle \begin{cases}2x+y-z=1\\x+2y-z=1\\-x+y+2z=1\end{cases}
  2. Scădem a doua ecuație din prima: (2x+y−z)−(x+2y−z)=1−1\displaystyle (2x+y-z)-(x+2y-z)=1-1, deci x−y=0\displaystyle x-y=0. Rezultă x=y\displaystyle x=y.
    x=y\displaystyle x=y
  3. Înlocuim y=x\displaystyle y=x în a treia ecuație: −x+x+2z=1\displaystyle -x+x+2z=1, deci 2z=1\displaystyle 2z=1.
    z=12\displaystyle z=\frac{1}{2}
  4. Înlocuim y=x\displaystyle y=x și z=12\displaystyle z=\dfrac{1}{2} în prima ecuație: 2x+x−12=1\displaystyle 2x+x-\dfrac{1}{2}=1, deci 3x=32\displaystyle 3x=\dfrac{3}{2}.
    x=12\displaystyle x=\frac{1}{2}
  5. Cum y=x\displaystyle y=x, avem y=12\displaystyle y=\dfrac{1}{2}. Verificare în a doua ecuație: 12+1−12=1\displaystyle \dfrac{1}{2}+1-\dfrac{1}{2}=1. Soluția sistemului este:
    x=12\displaystyle x=\frac{1}{2}, y=12\displaystyle \ y=\frac{1}{2}, z=12\displaystyle \ z=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.f)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(m1−11m−1−11m)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}m&1&-1\\1&m&-1\\-1&1&m\end{pmatrix} și sistemul (S) {mx+y−z=1x+my−z=1−x+y+mz=1\displaystyle (S)\ \begin{cases}mx+y-z=1\\x+my-z=1\\-x+y+mz=1\end{cases}, unde m\displaystyle m este un număr real.

Pentru m=0\displaystyle m=0, arătați că sistemul (S) nu are soluții.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=0\displaystyle m=0 sistemul (S) devine un sistem în care termenii cu m\displaystyle m dispar din fiecare ecuație.
    {y−z=1x−z=1−x+y=1\displaystyle \begin{cases}y-z=1\\x-z=1\\-x+y=1\end{cases}
  2. Scădem prima ecuație din a doua: (x−z)−(y−z)=1−1\displaystyle (x-z)-(y-z)=1-1, adică x−y=0\displaystyle x-y=0.
    x−y=0\displaystyle x-y=0
  3. Din x−y=0\displaystyle x-y=0 rezultă că necunoscutele x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt egale.
    y=x\displaystyle y=x
  4. Înlocuim y=x\displaystyle y=x în a treia ecuație −x+y=1\displaystyle -x+y=1 și obținem −x+x=1\displaystyle -x+x=1.
    0=1\displaystyle 0=1
  5. Egalitatea 0=1\displaystyle 0=1 este falsă, deci nu există valori x,y,z\displaystyle x,y,z care să verifice toate cele trei ecuații. Sistemul (S) nu are soluții pentru m=0\displaystyle m=0.
    0=1, imposibil, deci \displaystyle 0=1\text{, imposibil, deci }sistemul nu are soluții\displaystyle \text{sistemul nu are soluții}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.