Bac matematică M4 pedagogic 2019, sesiunea I varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice cu termeni pozitivi (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\geq 1}, știind că b1=2\displaystyle b_1=2 și b3=8\displaystyle b_3=8.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu q\displaystyle q rația progresiei. Avem b3=b1⋅q2\displaystyle b_3=b_1\cdot q^{2}, deci 8=2⋅q2\displaystyle 8=2\cdot q^{2}.
    8=2⋅q2\displaystyle 8=2\cdot q^{2}
  2. Din q2=4\displaystyle q^{2}=4 și faptul că termenii sunt pozitivi, deci q>0\displaystyle q>0, obținem q=2\displaystyle q=2.
    q=2\displaystyle q=2
  3. Calculăm b2=b1⋅q=2⋅2\displaystyle b_2=b_1\cdot q=2\cdot 2.
    b2=4\displaystyle b_2=4
  4. Suma primilor trei termeni este S3=b1+b2+b3=2+4+8\displaystyle S_3=b_1+b_2+b_3=2+4+8.
    S3=2+4+8=14\displaystyle S_3=2+4+8=14
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul A(m,2m)\displaystyle A(m,2m) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x−6\displaystyle f(x)=5x-6.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(m,2m)\displaystyle A(m,2m) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă ordonata sa este egală cu valoarea funcției în abscisă, adică f(m)=2m\displaystyle f(m)=2m.
    f(m)=2m\displaystyle f(m)=2m
  2. Calculăm f(m)\displaystyle f(m) înlocuind x\displaystyle x cu m\displaystyle m în formula funcției f(x)=5x−6\displaystyle f(x)=5x-6.
    f(m)=5m−6\displaystyle f(m)=5m-6
  3. Egalăm f(m)\displaystyle f(m) cu ordonata 2m\displaystyle 2m și obținem ecuația 5m−6=2m\displaystyle 5m-6=2m.
    5m−6=2m\displaystyle 5m-6=2m
  4. Trecem termenii cu m\displaystyle m într-o parte: 5m−2m=6\displaystyle 5m-2m=6, deci 3m=6\displaystyle 3m=6, de unde m=2\displaystyle m=2.
    3m=6⇒m=2\displaystyle 3m=6\Rightarrow m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−10x+25=5\displaystyle \sqrt{x^2-10x+25}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x2−10x+25=(x−5)2≥0\displaystyle x^2-10x+25=(x-5)^2\ge 0 pentru orice x\displaystyle x real, deci radicalul este definit pe R\displaystyle \mathbb{R}. Ridicăm la pătrat ecuația x2−10x+25=5\displaystyle \sqrt{x^2-10x+25}=5.
    x2−10x+25=25\displaystyle x^2-10x+25=25
  2. Scădem 25\displaystyle 25 din ambii membri ai ecuației x2−10x+25=25\displaystyle x^2-10x+25=25.
    x2−10x+25=25⇒x2−10x=0\displaystyle x^2-10x+25=25\Rightarrow x^2-10x=0
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(x−10)=0\displaystyle x(x-10)=0. Un produs este zero când unul dintre factori este zero.
    x=0 sau x=10\displaystyle x=0\text{ sau }x=10
  4. Verificăm soluțiile în ecuația inițială. Pentru x=0\displaystyle x=0: 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5. Pentru x=10\displaystyle x=10: 100−100+25=25=5\displaystyle \sqrt{100-100+25}=\sqrt{25}=5. Ambele soluții convin.
    x=0 sau x=10, care convin\displaystyle x=0\text{ sau }x=10\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 10%\displaystyle 10\%, urmată de o scumpire cu 10\displaystyle 10 lei, prețul unui obiect este 190\displaystyle 190 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al obiectului, în lei.
    x = prețul inițial\displaystyle x\text{ = prețul inițial}
  2. După ieftinirea cu 10%\displaystyle 10\% prețul devine x−10100⋅x\displaystyle x-\dfrac{10}{100}\cdot x.
    x−10100⋅x\displaystyle x-\frac{10}{100}\cdot x
  3. Apoi prețul crește cu 10\displaystyle 10 lei și devine 190\displaystyle 190 de lei. Scriem ecuația.
    x−10100⋅x+10=190\displaystyle x-\frac{10}{100}\cdot x+10=190
  4. Scădem 10\displaystyle 10 din ambii membri și reducem termenii cu x\displaystyle x: x−x10=9x10\displaystyle x-\dfrac{x}{10}=\dfrac{9x}{10}.
    9x10=180\displaystyle \frac{9x}{10}=180
  5. Înmulțim cu 109\displaystyle \dfrac{10}{9} și obținem prețul inițial: x=180⋅109=200\displaystyle x=180\cdot\dfrac{10}{9}=200.
    x=200 de lei\displaystyle x=200\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,4)\displaystyle A(4,4) și B(6,0)\displaystyle B(6,0). Determinați, în triunghiul AOB\displaystyle AOB, ecuația medianei din vârful A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana din vârful A\displaystyle A unește vârful A\displaystyle A cu mijlocul laturii opuse, adică al segmentului OB\displaystyle OB. Cum O(0,0)\displaystyle O(0,0) și B(6,0)\displaystyle B(6,0), mijlocul M\displaystyle M are coordonatele xM=xO+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_O+x_B}{2} și yM=yO+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_O+y_B}{2}.
    M(0+62,0+02)=M(3,0)\displaystyle M\left(\dfrac{0+6}{2},\dfrac{0+0}{2}\right)=M(3,0)
  2. Mediana este dreapta AM\displaystyle AM, cu A(4,4)\displaystyle A(4,4) și M(3,0)\displaystyle M(3,0). Calculăm panta: m=yA−yMxA−xM\displaystyle m=\dfrac{y_A-y_M}{x_A-x_M}.
    m=4−04−3=4\displaystyle m=\dfrac{4-0}{4-3}=4
  3. Scriem ecuația dreptei care trece prin M(3,0)\displaystyle M(3,0) și are panta 4\displaystyle 4: y−yM=m(x−xM)\displaystyle y-y_M=m(x-x_M). Apoi o aducem la forma redusă.
    y−0=4(x−3)⇒y=4x−12\displaystyle y-0=4(x-3)\Rightarrow y=4x-12
  4. Verificăm că A\displaystyle A se află pe dreaptă: pentru x=4\displaystyle x=4 obținem y=4⋅4−12=4\displaystyle y=4\cdot 4-12=4, deci A(4,4)\displaystyle A(4,4) verifică ecuația. Ecuația medianei din A\displaystyle A este y=4x−12\displaystyle y=4x-12.
    y=4x−12\displaystyle y=4x-12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 2sin⁡30∘−sin⁡90∘=0\displaystyle 2\sin 30^\circ-\sin 90^\circ=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim valoarea cunoscută a sinusului pentru unghiul de 30∘\displaystyle 30^\circ: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}
  2. Calculăm primul termen: 2sin⁡30∘=2⋅12=1\displaystyle 2\sin 30^\circ=2\cdot\dfrac{1}{2}=1.
    2sin⁡30∘=2⋅12=1\displaystyle 2\sin 30^\circ=2\cdot\dfrac{1}{2}=1
  3. Știm că sin⁡90∘=1\displaystyle \sin 90^\circ=1, deci 2sin⁡30∘−sin⁡90∘=2⋅12−1=1−1=0\displaystyle 2\sin 30^\circ-\sin 90^\circ=2\cdot\dfrac{1}{2}-1=1-1=0, ceea ce trebuia arătat.
    2sin⁡30∘−sin⁡90∘=2⋅12−1=0\displaystyle 2\sin 30^\circ-\sin 90^\circ=2\cdot\dfrac{1}{2}-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2(xy+x+y)+1\displaystyle x\circ y=2(xy+x+y)+1.

Arătați că (−1)∘1=−1\displaystyle (-1)\circ 1=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii x∘y=2(xy+x+y)+1\displaystyle x\circ y=2(xy+x+y)+1 și înlocuim x=−1\displaystyle x=-1, y=1\displaystyle y=1.
    (−1)∘1=2⋅((−1)⋅1+(−1)+1)+1\displaystyle (-1)\circ 1=2\cdot\left((-1)\cdot 1+(-1)+1\right)+1
  2. Calculăm paranteza: (−1)⋅1=−1\displaystyle (-1)\cdot 1=-1, iar −1+(−1)+1=−1\displaystyle -1+(-1)+1=-1.
    (−1)⋅1+(−1)+1=−1\displaystyle (-1)\cdot 1+(-1)+1=-1
  3. Înlocuim în expresie: 2⋅(−1)+1=−2+1=−1\displaystyle 2\cdot(-1)+1=-2+1=-1. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    (−1)∘1=2⋅(−1)+1=−1\displaystyle (-1)\circ 1=2\cdot(-1)+1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2(xy+x+y)+1\displaystyle x\circ y=2(xy+x+y)+1.

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii pentru x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R} oarecare: legea este comutativă dacă x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∘y=2(xy+x+y)+1\displaystyle x\circ y=2(xy+x+y)+1
  2. Folosim comutativitatea înmulțirii și a adunării numerelor reale: xy=yx\displaystyle xy=yx și x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x. Rescriem expresia din paranteză cu x\displaystyle x și y\displaystyle y schimbate între ele.
    x∘y=2(xy+x+y)+1=2(yx+y+x)+1\displaystyle x\circ y=2(xy+x+y)+1=2(yx+y+x)+1
  3. Expresia din dreapta este exact definiția lui y∘x\displaystyle y\circ x, obținută prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu y\displaystyle y și a lui y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii. Deci cele două compuneri sunt egale pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}, adică legea „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
    x∘y=y∘x, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=y\circ x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2(xy+x+y)+1\displaystyle x\circ y=2(xy+x+y)+1.

Demonstrați că x∘y=2(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=2(x+1)(y+1)-1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=2(xy+x+y)+1\displaystyle x\circ y=2(xy+x+y)+1, pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∘y=2(xy+x+y)+1\displaystyle x\circ y=2(xy+x+y)+1
  2. Înmulțim factorul 2\displaystyle 2 cu fiecare termen din paranteză. Apoi observăm că 1=2−1\displaystyle 1=2-1, deci putem scrie termenul liber ca 2−1\displaystyle 2-1.
    x∘y=2xy+2x+2y+2−1\displaystyle x\circ y=2xy+2x+2y+2-1
  3. Grupăm termenii 2xy+2x\displaystyle 2xy+2x și dăm factor comun pe 2x\displaystyle 2x. Grupăm apoi 2y+2\displaystyle 2y+2 și dăm factor comun pe 2\displaystyle 2, ca să apară paranteza y+1\displaystyle y+1 în ambele grupuri.
    x∘y=2x(y+1)+2(y+1)−1\displaystyle x\circ y=2x(y+1)+2(y+1)-1
  4. Dăm factor comun pe 2(y+1)\displaystyle 2(y+1) și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=2(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=2(x+1)(y+1)-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2(xy+x+y)+1\displaystyle x\circ y=2(xy+x+y)+1.

Demonstrați că e=−12\displaystyle e=-\frac{1}{2} este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem legea la forma factorizată. Observăm că xy+x+y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle xy+x+y=(x+1)(y+1)-1, deci x∘y=2((x+1)(y+1)−1)+1=2(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=2\left((x+1)(y+1)-1\right)+1=2(x+1)(y+1)-1.
    x∘y=2(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=2(x+1)(y+1)-1
  2. Pentru a arăta că e=−12\displaystyle e=-\dfrac{1}{2} este element neutru, trebuie să verificăm că x∘e=x\displaystyle x\circ e=x și e∘x=x\displaystyle e\circ x=x pentru orice x\displaystyle x real. Începem cu x∘e\displaystyle x\circ e, înlocuind y=−12\displaystyle y=-\dfrac{1}{2} în forma factorizată.
    x∘(−12)=2(x+1)(−12+1)−1\displaystyle x\circ\left(-\frac{1}{2}\right)=2(x+1)\left(-\frac{1}{2}+1\right)-1
  3. Calculăm paranteza: −12+1=12\displaystyle -\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}, deci 2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1. Rămâne (x+1)−1=x\displaystyle (x+1)-1=x.
    x∘(−12)=2(x+1)⋅12−1=x+1−1=x\displaystyle x\circ\left(-\frac{1}{2}\right)=2(x+1)\cdot\frac{1}{2}-1=x+1-1=x
  4. Verificăm și în ordinea inversă, e∘x\displaystyle e\circ x, înlocuind primul factor cu −12\displaystyle -\dfrac{1}{2} în forma factorizată.
    (−12)∘x=2(−12+1)(x+1)−1\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)\circ x=2\left(-\frac{1}{2}+1\right)(x+1)-1
  5. Calculăm la fel: −12+1=12\displaystyle -\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}, deci 2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1, iar (x+1)−1=x\displaystyle (x+1)-1=x. Am obținut x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x pentru orice x\displaystyle x real, deci e=−12\displaystyle e=-\dfrac{1}{2} este elementul neutru al legii.
    (−12)∘x=x+1−1=x, pentru orice numa˘r real x, deci e=−12 este elementul neutru al \displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)\circ x=x+1-1=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=-\frac{1}{2}\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție ∘\displaystyle \text{legii de compoziție }\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2(xy+x+y)+1\displaystyle x\circ y=2(xy+x+y)+1.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (x−1)∘(x+2)=−5\displaystyle (x-1)\circ(x+2)=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Deoarece xy+x+y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle xy+x+y=(x+1)(y+1)-1, obținem x∘y=2(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=2(x+1)(y+1)-1.
    x∘y=2(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=2(x+1)(y+1)-1
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu x−1\displaystyle x-1 și y\displaystyle y cu x+2\displaystyle x+2 în forma factorizată și egalăm cu −5\displaystyle -5.
    2(x−1+1)(x+2+1)−1=−5\displaystyle 2(x-1+1)(x+2+1)-1=-5
  3. Simplificăm parantezele: x−1+1=x\displaystyle x-1+1=x și x+2+1=x+3\displaystyle x+2+1=x+3. Ecuația devine 2x(x+3)−1=−5\displaystyle 2x(x+3)-1=-5, deci 2x(x+3)=−4\displaystyle 2x(x+3)=-4. Împărțind la 2\displaystyle 2 și desfăcând parantezele, obținem ecuația de gradul al doilea.
    x2+3x+2=0\displaystyle x^2+3x+2=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=9−8=1\displaystyle \Delta=9-8=1, deci x=−3±12\displaystyle x=\dfrac{-3\pm 1}{2}. Altfel, descompunem: x2+3x+2=(x+1)(x+2)=0\displaystyle x^2+3x+2=(x+1)(x+2)=0.
    x=−2 sau x=−1\displaystyle x=-2\text{ sau }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2(xy+x+y)+1\displaystyle x\circ y=2(xy+x+y)+1.

Determinați numerele naturale nenule n\displaystyle n pentru care n∘(n−1)≤11\displaystyle n\circ(n-1)\leq 11.
Vezi rezolvarea
  1. Grupăm termenii legii de compoziție: 2(xy+x+y)+1=2(xy+x+y+1)−2+1\displaystyle 2(xy+x+y)+1=2(xy+x+y+1)-2+1, iar xy+x+y+1=(x+1)(y+1)\displaystyle xy+x+y+1=(x+1)(y+1). Obținem x∘y=2(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=2(x+1)(y+1)-1.
    x∘y=2(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=2(x+1)(y+1)-1
  2. Înlocuim x=n\displaystyle x=n și y=n−1\displaystyle y=n-1. Atunci y+1=n\displaystyle y+1=n, deci inegalitatea devine 2(n+1)n−1≤11\displaystyle 2(n+1)n-1\leq 11, adică 2n2+2n−12≤0\displaystyle 2n^{2}+2n-12\leq 0. Împărțim cu 2\displaystyle 2 și obținem n2+n−6≤0\displaystyle n^{2}+n-6\leq 0.
    2(n+1)(n−1+1)−1≤11⇔n2+n−6≤0\displaystyle 2(n+1)(n-1+1)-1\leq 11\Leftrightarrow n^{2}+n-6\leq 0
  3. Rezolvăm inecuația de gradul al doilea. Ecuația n2+n−6=0\displaystyle n^{2}+n-6=0 are Δ=25\displaystyle \Delta=25, deci rădăcinile sunt n1=−3\displaystyle n_1=-3 și n2=2\displaystyle n_2=2. Descompunem: (n+3)(n−2)≤0\displaystyle (n+3)(n-2)\leq 0. Coeficientul lui n2\displaystyle n^{2} este pozitiv, deci expresia este negativă sau nulă între rădăcini, adică n∈[−3,2]\displaystyle n\in[-3,2].
    (n+3)(n−2)≤0⇔n∈[−3,2]\displaystyle (n+3)(n-2)\leq 0\Leftrightarrow n\in[-3,2]
  4. Reținem doar numerele naturale nenule din intervalul [−3,2]\displaystyle [-3,2]. Acestea sunt 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    n=1 sau n=2\displaystyle n=1\text{ sau }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1120)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix} și B=(3122)\displaystyle B=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=−2\displaystyle \det A=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem formula determinantului de ordin doi: ∣abcd∣=a⋅d−c⋅b\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-c\cdot b, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    ∣abcd∣=a⋅d−c⋅b\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-c\cdot b
  2. Aplicăm formula pentru matricea A\displaystyle A, cu elementele 1,1\displaystyle 1,1 pe prima linie și 2,0\displaystyle 2,0 pe a doua linie: diagonala principală dă 1⋅0\displaystyle 1\cdot 0, iar diagonala secundară dă 2⋅1\displaystyle 2\cdot 1.
    det⁡A=∣1120∣=1⋅0−2⋅1\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}=1\cdot 0-2\cdot 1
  3. Efectuăm calculele: 1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0=0, iar 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, deci determinantul este 0−2\displaystyle 0-2, adică −2\displaystyle -2.
    det⁡A=0−2=−2\displaystyle \det A=0-2=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1120)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix} și B=(3122)\displaystyle B=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}.

Calculați det⁡(A+B)\displaystyle \det(A+B).
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele A\displaystyle A și B\displaystyle B element cu element: fiecare element al sumei este suma elementelor aflate pe aceeași poziție. Obținem A+B=(1+31+12+20+2)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}1+3&1+1\\2+2&0+2\end{pmatrix}.
    A+B=(1+31+12+20+2)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}1+3&1+1\\2+2&0+2\end{pmatrix}
  2. Efectuăm adunările din fiecare poziție și scriem matricea sumă: A+B=(4242)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}4&2\\4&2\end{pmatrix}.
    A+B=(4242)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}4&2\\4&2\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul de ordinul 2 ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A+B)=∣4242∣=4⋅2−2⋅4\displaystyle \det(A+B)=\begin{vmatrix}4&2\\4&2\end{vmatrix}=4\cdot 2-2\cdot 4.
    det⁡(A+B)=4⋅2−2⋅4=8−8\displaystyle \det(A+B)=4\cdot 2-2\cdot 4=8-8
  4. Efectuăm scăderea: 8−8=0\displaystyle 8-8=0. Determinantul este 0\displaystyle 0, deoarece cele două linii ale matricei sunt identice.
    det⁡(A+B)=0\displaystyle \det(A+B)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1120)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix} și B=(3122)\displaystyle B=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅A=B\displaystyle A\cdot A=B.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim regula de înmulțire: elementul de pe linia i\displaystyle i și coloana j\displaystyle j al produsului este suma produselor dintre elementele liniei i\displaystyle i din prima matrice și elementele coloanei j\displaystyle j din a doua matrice. Aici ambele matrice sunt A\displaystyle A.
    A⋅A=(1120)⋅(1120)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}
  2. Scriem fiecare element al produsului: linia 1 cu coloana 1, linia 1 cu coloana 2, linia 2 cu coloana 1, linia 2 cu coloana 2.
    A⋅A=(1⋅1+1⋅21⋅1+1⋅02⋅1+0⋅22⋅1+0⋅0)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1\cdot 1+1\cdot 2&1\cdot 1+1\cdot 0\\2\cdot 1+0\cdot 2&2\cdot 1+0\cdot 0\end{pmatrix}
  3. Efectuăm calculele din fiecare element: 1+2=3\displaystyle 1+2=3, 1+0=1\displaystyle 1+0=1, 2+0=2\displaystyle 2+0=2, 2+0=2\displaystyle 2+0=2.
    A⋅A=(3122)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}
  4. Matricea obținută coincide cu B\displaystyle B, deci A⋅A=B\displaystyle A\cdot A=B.
    A⋅A=(3122)=B\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}=B
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1120)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix} și B=(3122)\displaystyle B=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b pentru care aA+bB=(5362)\displaystyle aA+bB=\begin{pmatrix}5&3\\6&2\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim fiecare matrice cu scalarul ei: aA=(aa2a0)\displaystyle aA=\begin{pmatrix}a&a\\2a&0\end{pmatrix} și bB=(3bb2b2b)\displaystyle bB=\begin{pmatrix}3b&b\\2b&2b\end{pmatrix}.
    aA=(aa2a0)\displaystyle aA=\begin{pmatrix}a&a\\2a&0\end{pmatrix},bB=(3bb2b2b)\displaystyle \quad bB=\begin{pmatrix}3b&b\\2b&2b\end{pmatrix}
  2. Adunăm cele două matrici element cu element și obținem aA+bB\displaystyle aA+bB.
    aA+bB=(a+3ba+b2a+2b2b)\displaystyle aA+bB=\begin{pmatrix}a+3b&a+b\\2a+2b&2b\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele corespunzătoare cu cele ale matricei (5362)\displaystyle \begin{pmatrix}5&3\\6&2\end{pmatrix} și obținem un sistem de patru ecuații.
    {a+3b=5a+b=32a+2b=62b=2\displaystyle \begin{cases}a+3b=5\\a+b=3\\2a+2b=6\\2b=2\end{cases}
  4. Din ultima ecuație, 2b=2\displaystyle 2b=2, rezultă b=1\displaystyle b=1.
    b=1\displaystyle b=1
  5. Înlocuim b=1\displaystyle b=1 în a+b=3\displaystyle a+b=3 și obținem a=2\displaystyle a=2. Verificăm: a+3b=2+3=5\displaystyle a+3b=2+3=5, iar 2a+2b=4+2=6\displaystyle 2a+2b=4+2=6, deci toate ecuațiile sunt satisfăcute.
    a=2 și b=1\displaystyle a=2\text{ și }b=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1120)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix} și B=(3122)\displaystyle B=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}.

Arătați că, dacă X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) astfel încât X+A=B\displaystyle X+A=B, atunci matricea X\displaystyle X este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Din egalitatea X+A=B\displaystyle X+A=B scădem matricea A\displaystyle A din ambii membri și obținem X=B−A\displaystyle X=B-A.
    X=B−A\displaystyle X=B-A
  2. Scădem matricele element cu element: 3−1=2\displaystyle 3-1=2, 1−1=0\displaystyle 1-1=0, 2−2=0\displaystyle 2-2=0, 2−0=2\displaystyle 2-0=2. Rezultă că X\displaystyle X este matricea diagonală cu 2\displaystyle 2 pe diagonala principală.
    X=(3122)−(1120)=(2002)\displaystyle X=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
  3. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul, deci calculăm det⁡X\displaystyle \det X: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară.
    det⁡X=∣2002∣=2⋅2−0⋅0=4\displaystyle \det X=\begin{vmatrix}2&0\\0&2\end{vmatrix}=2\cdot 2-0\cdot 0=4
  4. Deoarece det⁡X=4≠0\displaystyle \det X=4\neq 0, matricea X\displaystyle X este inversabilă.
    det⁡X=4≠0, deci matricea X este inversabila˘\displaystyle \det X=4\neq 0\text{, deci matricea }X\text{ este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1120)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix} și B=(3122)\displaystyle B=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care det⁡(A+B−aI2)≤0\displaystyle \det(A+B-aI_2)\leq 0, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma A+B\displaystyle A+B, adunând elementele de pe aceleași poziții: 1+3=4\displaystyle 1+3=4, 1+1=2\displaystyle 1+1=2, 2+2=4\displaystyle 2+2=4, 0+2=2\displaystyle 0+2=2.
    A+B=(4242)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}4&2\\4&2\end{pmatrix}
  2. Scădem aI2=(a00a)\displaystyle aI_2=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}, deci a se scade doar din elementele de pe diagonala principală.
    A+B−aI2=(4−a242−a)\displaystyle A+B-aI_2=\begin{pmatrix}4-a&2\\4&2-a\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară. Avem det⁡(A+B−aI2)=(4−a)(2−a)−2⋅4=a2−6a+8−8\displaystyle \det(A+B-aI_2)=(4-a)(2-a)-2\cdot 4=a^2-6a+8-8.
    det⁡(A+B−aI2)=a2−6a\displaystyle \det(A+B-aI_2)=a^{2}-6a
  4. Inecuația devine a2−6a≤0\displaystyle a^2-6a\leq 0, adică a(a−6)≤0\displaystyle a(a-6)\leq 0. Rădăcinile sunt a=0\displaystyle a=0 și a=6\displaystyle a=6. Deoarece coeficientul lui a2\displaystyle a^2 este pozitiv, expresia este negativă sau zero între rădăcini.
    a(a−6)≤0\displaystyle a(a-6)\leq 0
  5. Concluzia: inegalitatea este adevărată pentru valorile lui a\displaystyle a cuprinse între rădăcini, inclusiv capetele.
    a∈[0,6]\displaystyle a\in[0,6]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.