Bac matematică M4 pedagogic 2020, sesiunea I varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră o progresie aritmetică (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1} cu a1=5\displaystyle a_1=5 și r=−2\displaystyle r=-2. Calculați a3\displaystyle a_3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula termenului general al unei progresii aritmetice: an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r.
    an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r
  2. Pentru n=3\displaystyle n=3 obținem a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r.
    a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r
  3. Înlocuim a1=5\displaystyle a_1=5 și r=−2\displaystyle r=-2: a3=5+2⋅(−2)=5−4=1\displaystyle a_3=5+2\cdot(-2)=5-4=1.
    a3=5+2⋅(−2)=1\displaystyle a_3=5+2\cdot(-2)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A(1,2)\displaystyle A(1,2) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ax+3\displaystyle f(x)=x^2+ax+3.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(1,2)\displaystyle A(1,2) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(1)=2\displaystyle f(1)=2, adică ordonata punctului este valoarea funcției în abscisa lui.
    f(1)=2\displaystyle f(1)=2
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în f(x)=x2+ax+3\displaystyle f(x)=x^2+ax+3 și egalăm cu 2\displaystyle 2.
    f(1)=2⇔12+a⋅1+3=2⇔1+a+3=2\displaystyle f(1)=2\Leftrightarrow 1^2+a\cdot 1+3=2\Leftrightarrow 1+a+3=2
  3. Reducem termenii asemenea: 1+3=4\displaystyle 1+3=4, deci obținem ecuația a+4=2\displaystyle a+4=2.
    a+4=2\displaystyle a+4=2
  4. Scădem 4\displaystyle 4 din ambii membri și obținem a=2−4\displaystyle a=2-4, deci a=−2\displaystyle a=-2.
    a=−2\displaystyle a=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x=x2−2\displaystyle \sqrt{x}=\sqrt{x^2-2}.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență a radicalilor: expresiile de sub radical trebuie să fie pozitive sau nule, deci x≥0\displaystyle x\ge 0 și x2−2≥0\displaystyle x^{2}-2\ge 0.
    x≥0 și x2−2≥0\displaystyle x\ge 0\text{ și }x^{2}-2\ge 0
  2. Ridicăm ecuația la pătrat. Pătratul lui x\displaystyle \sqrt{x} este x\displaystyle x, iar pătratul lui x2−2\displaystyle \sqrt{x^{2}-2} este x2−2\displaystyle x^{2}-2.
    x=x2−2\displaystyle x=x^{2}-2
  3. Mutăm toți termenii în partea dreaptă și obținem o ecuație de gradul al doilea: x2−x−2=0\displaystyle x^{2}-x-2=0.
    x2−x−2=0\displaystyle x^{2}-x-2=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−2)=9\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=9, deci Δ=3\displaystyle \sqrt{\Delta}=3. Rădăcinile sunt x1=1−32\displaystyle x_{1}=\dfrac{1-3}{2} și x2=1+32\displaystyle x_{2}=\dfrac{1+3}{2}.
    x1=−1\displaystyle x_{1}=-1,x2=2\displaystyle \quad x_{2}=2
  5. Verificăm soluțiile. Pentru x=−1\displaystyle x=-1, x\displaystyle \sqrt{x} nu este definit în numere reale, deci nu convine. Pentru x=2\displaystyle x=2 avem 2=4−2\displaystyle \sqrt{2}=\sqrt{4-2}, deci convine. Soluția ecuației este x=2\displaystyle x=2.
    x=−1, care nu convine, x=2, care convine\displaystyle x=-1\text{, care nu convine, }x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Un pix costă de cinci ori mai mult decât un creion și de șapte ori mai puțin decât un stilou. Determinați cât costă un creion, dacă un stilou costă 70\displaystyle 70 de lei.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul unui creion, în lei. Pixul costă de cinci ori mai mult decât creionul, deci prețul pixului este 5x\displaystyle 5x.
    x\displaystyle x
  2. Pixul costă de șapte ori mai puțin decât stiloul, deci stiloul costă de șapte ori mai mult decât pixul. Prețul stiloului este 7⋅5x=35x\displaystyle 7\cdot 5x=35x.
    35x\displaystyle 35x
  3. Știm că stiloul costă 70\displaystyle 70 de lei, deci obținem ecuația 35x=70\displaystyle 35x=70.
    35x=70\displaystyle 35x=70
  4. Împărțim ambii membri ai ecuației la 35\displaystyle 35 și obținem x=7035=2\displaystyle x=\dfrac{70}{35}=2. Deci un creion costă 2\displaystyle 2 lei.
    x=2 lei\displaystyle x=2\text{ lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră un paralelogram ABCD\displaystyle ABCD și O\displaystyle O, punctul de intersecție a dreptelor AC\displaystyle AC și BD\displaystyle BD. Arătați că OC→=12(AB→+AD→)\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Într-un paralelogram ABCD\displaystyle ABCD, laturile opuse AB\displaystyle AB și DC\displaystyle DC sunt egale și paralele, deci DC→=AB→\displaystyle \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}. Scriem vectorul AC→\displaystyle \overrightarrow{AC} trecând prin D\displaystyle D: AC→=AD→+DC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}.
    AC→=AD→+DC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}
  2. Înlocuim DC→\displaystyle \overrightarrow{DC} cu AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} și obținem regula paralelogramului.
    AB→+AD→=AC→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}
  3. Diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc, deci O\displaystyle O este mijlocul segmentului AC\displaystyle AC. Atunci OC→\displaystyle \overrightarrow{OC} are aceeași direcție și același sens cu AC→\displaystyle \overrightarrow{AC}, iar lungimea lui este jumătate din lungimea lui AC→\displaystyle \overrightarrow{AC}.
    OC→=12AC→\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
  4. Înlocuim AC→=AB→+AD→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}, obținută mai sus, și obținem egalitatea cerută.
    OC→=12AC→=12(AB→+AD→)\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
În triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, avem AC=2AB\displaystyle AC=2AB și BC=5\displaystyle BC=5. Arătați că perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC este egal cu 35+5\displaystyle 3\sqrt{5}+5.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC. Notăm AB=x\displaystyle AB=x, atunci AC=2x\displaystyle AC=2x. Scriem teorema lui Pitagora: BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}.
    BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
  2. Înlocuim BC=5\displaystyle BC=5, AB=x\displaystyle AB=x și AC=2x\displaystyle AC=2x și obținem ecuația 52=x2+(2x)2\displaystyle 5^{2}=x^{2}+(2x)^{2}.
    25=x2+4x2=5x2\displaystyle 25=x^{2}+4x^{2}=5x^{2}
  3. Din 5x2=25\displaystyle 5x^{2}=25 rezultă x2=5\displaystyle x^{2}=5, iar cum x>0\displaystyle x>0, avem x=5\displaystyle x=\sqrt{5}. Deci AB=5\displaystyle AB=\sqrt{5}.
    AB=5\displaystyle AB=\sqrt{5}
  4. Calculăm AC=2AB=25\displaystyle AC=2AB=2\sqrt{5}.
    AC=25\displaystyle AC=2\sqrt{5}
  5. Perimetrul este suma laturilor: P=AB+BC+AC=5+5+25\displaystyle P=AB+BC+AC=\sqrt{5}+5+2\sqrt{5}. Adunăm termenii asemenea: 5+25=35\displaystyle \sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}.
    PΔABC=5+5+25=35+5\displaystyle P_{\Delta ABC}=\sqrt{5}+5+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}+5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2−xy+y2\displaystyle x\circ y=x^2-xy+y^2.

Arătați că 1∘2=3\displaystyle 1\circ 2=3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∘y=x2−xy+y2\displaystyle x\circ y=x^2-xy+y^2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2.
    1∘2=12−1⋅2+22\displaystyle 1\circ 2=1^2-1\cdot 2+2^2
  2. Calculăm termenii: 12=1\displaystyle 1^2=1, 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2, 22=4\displaystyle 2^2=4.
    12=1\displaystyle 1^2=1, 1⋅2=2\displaystyle \ 1\cdot 2=2, 22=4\displaystyle \ 2^2=4
  3. Înlocuim valorile: 1−2+4=3\displaystyle 1-2+4=3, deci 1∘2=3\displaystyle 1\circ 2=3.
    1−2+4=3\displaystyle 1-2+4=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2−xy+y2\displaystyle x\circ y=x^2-xy+y^2.

Demonstrați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Comutativitatea înseamnă că x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Fixăm două numere reale oarecare x\displaystyle x și y\displaystyle y și scriem definiția lui x∘y\displaystyle x\circ y.
    x∘y=x2−xy+y2\displaystyle x\circ y=x^2-xy+y^2
  2. Folosim comutativitatea adunării (schimbăm ordinea termenilor) și a înmulțirii (xy=yx\displaystyle xy=yx). Astfel, expresia se rescrie cu y2\displaystyle y^2 în față, apoi −yx\displaystyle -yx, apoi x2\displaystyle x^2.
    x∘y=x2−xy+y2=y2−yx+x2\displaystyle x\circ y=x^2-xy+y^2=y^2-yx+x^2
  3. Expresia obținută este exact definiția lui y∘x\displaystyle y\circ x, adică se înlocuiește x\displaystyle x cu y\displaystyle y și y\displaystyle y cu x\displaystyle x în formula legii. Deci x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, adică legea este comutativă.
    y2−yx+x2=y∘x, deci x∘y=y∘x, pentru orice numere \displaystyle y^2-yx+x^2=y\circ x\text{, deci }x\circ y=y\circ x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2−xy+y2\displaystyle x\circ y=x^2-xy+y^2.

Dacă a=(1∘3)∘2\displaystyle a=(1\circ 3)\circ 2 și b=1∘(3∘2)\displaystyle b=1\circ(3\circ 2), calculați b−a\displaystyle b-a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm mai întâi compunerea din paranteză 1∘3\displaystyle 1\circ 3 cu formula x∘y=x2−xy+y2\displaystyle x\circ y=x^2-xy+y^2, pentru x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3.
    1∘3=1−3+9=7\displaystyle 1\circ 3=1-3+9=7
  2. Compunem rezultatul 7\displaystyle 7 cu 2\displaystyle 2: a=7∘2=72−7⋅2+22\displaystyle a=7\circ 2=7^2-7\cdot 2+2^2.
    a=49−14+4=39\displaystyle a=49-14+4=39
  3. Pentru b\displaystyle b calculăm mai întâi paranteza 3∘2\displaystyle 3\circ 2, cu x=3\displaystyle x=3 și y=2\displaystyle y=2.
    3∘2=9−6+4=7\displaystyle 3\circ 2=9-6+4=7
  4. Compunem 1\displaystyle 1 cu 7\displaystyle 7: b=1∘7=12−1⋅7+72\displaystyle b=1\circ 7=1^2-1\cdot 7+7^2.
    b=1−7+49=43\displaystyle b=1-7+49=43
  5. Scădem valorile obținute: b−a=43−39\displaystyle b-a=43-39.
    b−a=4\displaystyle b-a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2−xy+y2\displaystyle x\circ y=x^2-xy+y^2.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘x=4\displaystyle x\circ x=4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție pentru cazul în care ambele numere sunt egale cu x\displaystyle x, adică înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția x∘y=x2−xy+y2\displaystyle x\circ y=x^2-xy+y^2.
    x∘x=x2−x⋅x+x2\displaystyle x\circ x=x^2-x\cdot x+x^2
  2. Calculăm x⋅x=x2\displaystyle x\cdot x=x^2 și reducem termenii: x2−x2+x2=x2\displaystyle x^2-x^2+x^2=x^2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∘x=x2−x2+x2=x2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\circ x=x^2-x^2+x^2=x^2\text{, pentru orice număr real }x
  3. Ecuația x∘x=4\displaystyle x\circ x=4 devine, conform calculului anterior, ecuația x2=4\displaystyle x^2=4.
    x2=4\displaystyle x^2=4
  4. Rezolvăm ecuația: x2−4=0\displaystyle x^2-4=0, deci (x−2)(x+2)=0\displaystyle (x-2)(x+2)=0. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    x2=4, deci x=−2 sau x=2\displaystyle x^2=4\text{, deci }x=-2\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2−xy+y2\displaystyle x\circ y=x^2-xy+y^2.

Demonstrați că, dacă x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale pentru care x∘y=0\displaystyle x\circ y=0, atunci x=y=0\displaystyle x=y=0.
Vezi rezolvarea
  1. Din ipoteză, x∘y=0\displaystyle x\circ y=0, adică x2−xy+y2=0\displaystyle x^2-xy+y^2=0.
    x2−xy+y2=0\displaystyle x^2-xy+y^2=0
  2. Vrem un pătrat perfect în x\displaystyle x. Termenul −xy\displaystyle -xy este dublul produsului dintre x\displaystyle x și −y2\displaystyle -\dfrac{y}{2}, deci descompunem y2=y24+3y24\displaystyle y^2=\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{3y^2}{4}.
    x2−xy+y24+3y24=0\displaystyle x^2-xy+\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}=0
  3. Primii trei termeni formează pătratul perfect (x−y2)2\displaystyle \left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2, deci ecuația devine o sumă de doi termeni egală cu zero.
    (x−y2)2+3y24=0\displaystyle \left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}=0
  4. Ambii termeni sunt mai mari sau egali cu zero: (x−y2)2≥0\displaystyle \left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2\ge 0 și 3y24≥0\displaystyle \dfrac{3y^2}{4}\ge 0. O sumă de numere nenegative este zero doar dacă fiecare termen este zero.
    (x−y2)2=0 și 3y24=0\displaystyle \left(x-\frac{y}{2}\right)^2=0\text{ și }\frac{3y^2}{4}=0
  5. Din 3y24=0\displaystyle \dfrac{3y^2}{4}=0 rezultă y=0\displaystyle y=0. Din x−y2=0\displaystyle x-\dfrac{y}{2}=0 și y=0\displaystyle y=0 obținem x=0\displaystyle x=0. Deci x=y=0\displaystyle x=y=0.
    x−y2=0 și y=0, de unde x=y=0\displaystyle x-\frac{y}{2}=0\text{ și }y=0\text{, de unde }x=y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2−xy+y2\displaystyle x\circ y=x^2-xy+y^2.\n\nDeterminați numerele reale x\displaystyle x pentru care 3∘2x=7\displaystyle 3\circ 2^x=7.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru primul element 3\displaystyle 3 și al doilea element 2x\displaystyle 2^x: 3∘2x=32−3⋅2x+(2x)2\displaystyle 3\circ 2^x=3^2-3\cdot 2^x+\left(2^x\right)^2.
    3∘2x=9−3⋅2x+22x\displaystyle 3\circ 2^x=9-3\cdot 2^x+2^{2x}
  2. Impunem egalitatea cu 7\displaystyle 7: 9−3⋅2x+22x=7\displaystyle 9-3\cdot 2^x+2^{2x}=7, deci 22x−3⋅2x+2=0\displaystyle 2^{2x}-3\cdot 2^x+2=0.
    22x−3⋅2x+2=0\displaystyle 2^{2x}-3\cdot 2^x+2=0
  3. Notăm t=2x\displaystyle t=2^x, cu t>0\displaystyle t>0. Ecuația devine t2−3t+2=0\displaystyle t^2-3t+2=0. Cum 1+2=3\displaystyle 1+2=3 și 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2, se descompune ca (t−1)(t−2)=0\displaystyle (t-1)(t-2)=0. Revenind la 2x\displaystyle 2^x, obținem forma din barem.
    (2x−1)(2x−2)=0\displaystyle \left(2^x-1\right)\left(2^x-2\right)=0
  4. Un produs este zero când un factor este zero, deci 2x=1\displaystyle 2^x=1 sau 2x=2\displaystyle 2^x=2. Ambele valori sunt strict pozitive, deci convin.
    2x=1 sau 2x=2\displaystyle 2^x=1\text{ sau }2^x=2
  5. Din 2x=1=20\displaystyle 2^x=1=2^0 obținem x=0\displaystyle x=0, iar din 2x=2=21\displaystyle 2^x=2=2^1 obținem x=1\displaystyle x=1, deoarece funcția exponențială este injectivă.
    x=0 sau x=1\displaystyle x=0\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(5))=1\displaystyle \det(A(5))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=5\displaystyle a=5 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(5)\displaystyle A(5).
    A(5)=(1501)\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}1&5\\0&1\end{pmatrix}
  2. Pentru o matrice de ordin 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aplicăm formula pentru A(5)\displaystyle A(5).
    det⁡(A(5))=1⋅1−5⋅0\displaystyle \det(A(5))=1\cdot 1-5\cdot 0
  3. Calculăm produsele: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, iar 5⋅0=0\displaystyle 5\cdot 0=0. Apoi scădem și obținem 1\displaystyle 1, deci determinantul este 1\displaystyle 1, așa cum trebuia arătat.
    det⁡(A(5))=1−0=1\displaystyle \det(A(5))=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Calculați det⁡(A(1)+A(2))\displaystyle \det(A(1)+A(2)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix} pe a\displaystyle a cu 1\displaystyle 1, respectiv cu 2\displaystyle 2.
    A(1)=(1101)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},A(2)=(1201)\displaystyle \quad A(2)=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele element cu element: 1+1=2\displaystyle 1+1=2, 1+2=3\displaystyle 1+2=3, 0+0=0\displaystyle 0+0=0, 1+1=2\displaystyle 1+1=2.
    A(1)+A(2)=(1101)+(1201)=(2302)\displaystyle A(1)+A(2)=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\0&2\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul matricei sumă: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 2⋅2−3⋅0=4\displaystyle 2\cdot 2-3\cdot 0=4.
    det⁡(A(1)+A(2))=∣2302∣=2⋅2−3⋅0=4\displaystyle \det(A(1)+A(2))=\begin{vmatrix}2&3\\0&2\end{vmatrix}=2\cdot 2-3\cdot 0=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(a)⋅A(b)=A(a+b)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(a+b), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(a)\displaystyle A(a) și A(b)\displaystyle A(b) explicit și formăm produsul lor, pentru a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R} oarecare.
    A(a)⋅A(b)=(1a01)⋅(1b01)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: 1⋅1+a⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+a\cdot 0=1, 1⋅b+a⋅1=b+a\displaystyle 1\cdot b+a\cdot 1=b+a, 0⋅1+1⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 0=0, 0⋅b+1⋅1=1\displaystyle 0\cdot b+1\cdot 1=1.
    (1⋅1+a⋅01⋅b+a⋅10⋅1+1⋅00⋅b+1⋅1)=(1b+a01)\displaystyle \begin{pmatrix}1\cdot 1+a\cdot 0&1\cdot b+a\cdot 1\\0\cdot 1+1\cdot 0&0\cdot b+1\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&b+a\\0&1\end{pmatrix}
  3. Folosim comutativitatea adunării numerelor reale, deci b+a=a+b\displaystyle b+a=a+b, și recunoaștem forma matricei A(a+b)\displaystyle A(a+b). Rezultă egalitatea cerută, pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    A(a)⋅A(b)=(1a+b01)=A(a+b), pentru orice numere \displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&a+b\\0&1\end{pmatrix}=A(a+b)\text{, pentru orice numere }reale a și b\displaystyle \text{reale }a\text{ și }b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care A(a)⋅A(2a)=A(30)\displaystyle A(a)\cdot A(2a)=A(30).
Vezi rezolvarea
  1. Din definiție avem A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix} și A(2a)=(12a01)\displaystyle A(2a)=\begin{pmatrix}1&2a\\0&1\end{pmatrix}.
    A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix},A(2a)=(12a01)\displaystyle \quad A(2a)=\begin{pmatrix}1&2a\\0&1\end{pmatrix}
  2. Înmulțim: A(a)⋅A(2a)=(1⋅1+a⋅01⋅2a+a⋅10⋅1+1⋅00⋅2a+1⋅1)\displaystyle A(a)\cdot A(2a)=\begin{pmatrix}1\cdot 1+a\cdot 0&1\cdot 2a+a\cdot 1\\0\cdot 1+1\cdot 0&0\cdot 2a+1\cdot 1\end{pmatrix}.
    A(a)⋅A(2a)=(13a01)\displaystyle A(a)\cdot A(2a)=\begin{pmatrix}1&3a\\0&1\end{pmatrix}
  3. Matricea obținută are forma A(3a)\displaystyle A(3a), deci A(a)⋅A(2a)=A(a+2a)=A(3a)\displaystyle A(a)\cdot A(2a)=A(a+2a)=A(3a), pentru orice număr real a\displaystyle a.
    A(a)⋅A(2a)=A(a+2a)=A(3a)\displaystyle A(a)\cdot A(2a)=A(a+2a)=A(3a)
  4. Ecuația devine A(3a)=A(30)\displaystyle A(3a)=A(30), adică (13a01)=(13001)\displaystyle \begin{pmatrix}1&3a\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&30\\0&1\end{pmatrix}. Matricele sunt egale dacă 3a=30\displaystyle 3a=30.
    3a=30\displaystyle 3a=30
  5. Împărțim la 3\displaystyle 3: a=303\displaystyle a=\dfrac{30}{3}, deci a=10\displaystyle a=10.
    a=10\displaystyle a=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(I2+xA(x))=25\displaystyle \det(I_2+xA(x))=25.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea xA(x)\displaystyle xA(x), înmulțind fiecare element al matricei A(x)\displaystyle A(x) cu x\displaystyle x.
    xA(x)=(xx20x)\displaystyle xA(x)=\begin{pmatrix}x&x^{2}\\0&x\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricea unitate I2\displaystyle I_2 și obținem o matrice triunghiulară.
    I2+xA(x)=(1001)+(xx20x)=(1+xx201+x)\displaystyle I_2+xA(x)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x&x^{2}\\0&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+x&x^{2}\\0&1+x\end{pmatrix}
  3. Determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală, deci det⁡(I2+xA(x))=(1+x)(1+x)\displaystyle \det(I_2+xA(x))=(1+x)(1+x), pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(I2+xA(x))=(1+x)2\displaystyle \det(I_2+xA(x))=(1+x)^{2}
  4. Egalăm determinantul cu 25\displaystyle 25 și obținem ecuația (1+x)2=25\displaystyle (1+x)^{2}=25.
    (1+x)2=25\displaystyle (1+x)^{2}=25
  5. Extragem rădăcina pătrată: 1+x=5\displaystyle 1+x=5 sau 1+x=−5\displaystyle 1+x=-5. De aici x=4\displaystyle x=4 sau x=−6\displaystyle x=-6.
    x=−6 sau x=4\displaystyle x=-6\text{ sau }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care A(n)⋅A(n)=A(2n2)\displaystyle A(n)\cdot A(n)=A\left(2n^2\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(n)⋅A(n)\displaystyle A(n)\cdot A(n) prin înmulțirea matricelor: (1n01)⋅(1n01)\displaystyle \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}. Elementul din dreapta sus este 1⋅n+n⋅1=2n\displaystyle 1\cdot n+n\cdot 1=2n, iar restul elementelor sunt 1\displaystyle 1, 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1.
    A(n)⋅A(n)=(12n01)=A(n+n)\displaystyle A(n)\cdot A(n)=\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}=A(n+n)
  2. Egalitatea din enunț devine A(n+n)=A(2n2)\displaystyle A(n+n)=A\left(2n^2\right). Două matrici de forma A(a)\displaystyle A(a) sunt egale când elementele din dreapta sus coincid, deci 2n=2n2\displaystyle 2n=2n^2.
    2n=2n2\displaystyle 2n=2n^{2}
  3. Mutăm tot în același membru: 2n2−2n=0\displaystyle 2n^2-2n=0. Dăm factor comun: 2n(n−1)=0\displaystyle 2n(n-1)=0.
    2n(n−1)=0\displaystyle 2n(n-1)=0
  4. Un produs este nul când un factor este nul: n=0\displaystyle n=0 sau n−1=0\displaystyle n-1=0, adică n=1\displaystyle n=1. Ambele valori sunt numere naturale, deci convin.
    n=0 sau n=1, care convin\displaystyle n=0\text{ sau }n=1\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.