Bac matematică M4 pedagogic 2024, sesiunea I varianta 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră progresia geometrică (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\geq 1} cu b1=4\displaystyle b_1=4 și b2=8\displaystyle b_2=8. Calculați b3\displaystyle b_3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie relația de definiție a progresiei geometrice: fiecare termen se obține din precedentul prin înmulțire cu rația q\displaystyle q, adică bn+1=bn⋅q\displaystyle b_{n+1}=b_n\cdot q.
    bn+1=bn⋅q\displaystyle b_{n+1}=b_n\cdot q
  2. Se aplică relația pentru n=1\displaystyle n=1, obținând legătura dintre b2\displaystyle b_2, b1\displaystyle b_1 și rația q\displaystyle q.
    b2=b1⋅q\displaystyle b_2=b_1\cdot q
  3. Se izolează rația q\displaystyle q din relația anterioară.
    q=b2b1\displaystyle q=\frac{b_2}{b_1}
  4. Se înlocuiesc valorile date b1=4\displaystyle b_1=4 și b2=8\displaystyle b_2=8 și se calculează rația progresiei.
    q=84=2\displaystyle q=\frac{8}{4}=2
  5. Se scrie relația de recurență pentru n=2\displaystyle n=2, care leagă termenul b3\displaystyle b_3 de b2\displaystyle b_2 și rația q\displaystyle q.
    b3=b2⋅q\displaystyle b_3=b_2\cdot q
  6. Se înlocuiesc valorile b2=8\displaystyle b_2=8 și q=2\displaystyle q=2 și se calculează termenul cerut b3\displaystyle b_3.
    b3=b2⋅q=8⋅2=16\displaystyle b_3=b_2\cdot q=8\cdot 2=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=7x+2\displaystyle f(x)=7x+2. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=9\displaystyle f(a)=9.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f\displaystyle f calculată în punctul a\displaystyle a, înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formula lui f\displaystyle f.
    f(a)=7a+2, pentru orice numa˘r real a\displaystyle f(a)=7a+2\text{, pentru orice număr real }a
  2. Se pune condiția din enunț, f(a)=9\displaystyle f(a)=9, și se înlocuiește expresia găsită la pasul anterior.
    7a+2=9\displaystyle 7a+2=9
  3. Se trece termenul 2\displaystyle 2 în membrul drept al ecuației, schimbând semnul.
    7a=9−2\displaystyle 7a=9-2
  4. Se efectuează scăderea din membrul drept.
    7a=7\displaystyle 7a=7
  5. Se împarte ecuația prin 7\displaystyle 7 pentru a obține valoarea lui a\displaystyle a, obținând astfel soluția ecuației liniare.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(2x+3)=log⁡2(3x+1)\displaystyle \log_2(2x+3)=\log_2(3x+1).
Vezi rezolvarea
  1. Se pun condițiile de existență pentru cei doi logaritmi: argumentele trebuie să fie strict pozitive.
    2x+3>0 si 3x+1>0\displaystyle 2x+3>0\text{ si }3x+1>0
  2. Se rezolvă cele două inecuații pentru a determina domeniul de valabilitate al ecuației.
    x>−32 si x>−13⇒x>−13\displaystyle x>-\frac{3}{2}\text{ si }x>-\frac{1}{3}\Rightarrow x>-\frac{1}{3}
  3. Se folosește injectivitatea funcției logaritmice (log⁡2\displaystyle \log_2 este strict monotonă), deci egalitatea logaritmilor implică egalitatea argumentelor.
    2x+3=3x+1\displaystyle 2x+3=3x+1
  4. Se rezolvă ecuația liniară obținută, izolând necunoscuta x\displaystyle x.
    3x−2x=3−1⇒x=2\displaystyle 3x-2x=3-1\Rightarrow x=2
  5. Se verifică dacă soluția obținută respectă condiția de existență determinată anterior, adică x>−13\displaystyle x>-\dfrac{1}{3}.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 25%\displaystyle 25\%, prețul unui obiect a crescut cu 50\displaystyle 50 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Se notează cu x\displaystyle x prețul obiectului înainte de scumpire.
    x=prețul obiectului ıˆnainte \displaystyle x=\text{prețul obiectului înainte }de scumpire\displaystyle \text{de scumpire}
  2. Se exprimă creșterea de preț ca fiind 25%\displaystyle 25\% din prețul inițial x\displaystyle x, iar această creștere este egală cu 50\displaystyle 50 de lei, conform enunțului. Se scrie ecuația corespunzătoare.
    25100⋅x=50, unde x este prețul obiectului \displaystyle \frac{25}{100}\cdot x=50\text{, unde }x\text{ este prețul obiectului }ıˆnainte de scumpire\displaystyle \text{înainte de scumpire}
  3. Se simplifică fracția 25100\displaystyle \dfrac{25}{100} la 14\displaystyle \dfrac{1}{4} pentru a ușura calculul.
    14⋅x=50\displaystyle \frac{1}{4}\cdot x=50
  4. Se înmulțește ambele părți ale ecuației cu 4\displaystyle 4 pentru a izola x\displaystyle x.
    x=50⋅4\displaystyle x=50\cdot4
  5. Se efectuează calculul și se obține prețul inițial al obiectului.
    x=200 de lei\displaystyle x=200\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,4)\displaystyle A(0,4), B(8,4)\displaystyle B(8,4) și C(4,0)\displaystyle C(4,0). Demonstrați că BM=CM\displaystyle BM=CM, unde punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula de calcul a coordonatelor mijlocului unui segment AB\displaystyle AB, cu A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B)
    M(xA+xB2,yA+yB2)\displaystyle M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)
  2. Se înlocuiesc coordonatele punctelor A(0,4)\displaystyle A(0,4) și B(8,4)\displaystyle B(8,4) în formula mijlocului
    M(0+82,4+42)\displaystyle M\left(\dfrac{0+8}{2},\dfrac{4+4}{2}\right)
  3. Se efectuează calculele și se obțin coordonatele lui M\displaystyle M
    M(4,4)\displaystyle M(4,4)
  4. Se scrie formula distanței dintre două puncte, aplicată pentru B\displaystyle B și M\displaystyle M
    BM=(xB−xM)2+(yB−yM)2\displaystyle BM=\sqrt{(x_B-x_M)^2+(y_B-y_M)^2}
  5. Se înlocuiesc coordonatele B(8,4)\displaystyle B(8,4) și M(4,4)\displaystyle M(4,4) în formula distanței
    BM=(8−4)2+(4−4)2=16+0=16\displaystyle BM=\sqrt{(8-4)^2+(4-4)^2}=\sqrt{16+0}=\sqrt{16}
  6. Se calculează valoarea numerică a distanței BM\displaystyle BM
    BM=4\displaystyle BM=4
  7. Se scrie formula distanței dintre două puncte, aplicată pentru C\displaystyle C și M\displaystyle M
    CM=(xC−xM)2+(yC−yM)2\displaystyle CM=\sqrt{(x_C-x_M)^2+(y_C-y_M)^2}
  8. Se înlocuiesc coordonatele C(4,0)\displaystyle C(4,0) și M(4,4)\displaystyle M(4,4) în formula distanței
    CM=(4−4)2+(0−4)2=0+16=16\displaystyle CM=\sqrt{(4-4)^2+(0-4)^2}=\sqrt{0+16}=\sqrt{16}
  9. Se calculează valoarea numerică a distanței CM\displaystyle CM și se compară cu BM\displaystyle BM, obținându-se concluzia cerută
    BM=4\displaystyle BM=4, CM=4, deci BM=CM\displaystyle \ CM=4\text{, deci }BM=CM
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=12\displaystyle AB=12 și BC=13\displaystyle BC=13. Arătați că perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC este egal cu 30\displaystyle 30.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele triunghiului dreptunghic: unghiul drept este în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC, iar catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC.
    ∠A=90∘\displaystyle \angle A=90^\circ, BC=ipotenuza˘\displaystyle \ BC=\text{ipotenuză}, AB\displaystyle \ AB,AC=catete\displaystyle AC=\text{catete}
  2. Se scrie teorema lui Pitagora pentru triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC.
    BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^2=AB^2+AC^2
  3. Se izolează AC2\displaystyle AC^{2} din relație, înlocuind valorile cunoscute AB=12\displaystyle AB=12 și BC=13\displaystyle BC=13.
    AC2=BC2−AB2=132−122=169−144=25\displaystyle AC^2=BC^2-AB^2=13^2-12^2=169-144=25
  4. Se extrage radical pentru a afla lungimea laturii AC\displaystyle AC.
    AC=BC2−AB2=25=5\displaystyle AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{25}=5
  5. Se calculează perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC însumând cele trei laturi găsite: AB=12\displaystyle AB=12, BC=13\displaystyle BC=13 și AC=5\displaystyle AC=5.
    P△ABC=AB+BC+AC=12+13+5=30\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+BC+AC=12+13+5=30
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=1x+1y+1\displaystyle x\circ y=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1.

Arătați că 1∘1=3\displaystyle 1\circ 1=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție date, aplicabilă pentru orice x,y\displaystyle x, y din M\displaystyle M
    x∘y=1x+1y+1\displaystyle x\circ y=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1
  2. Se identifică valorile care trebuie substituite: x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1, apoi se înlocuiesc în definiția legii de compoziție
    1∘1=11+11+1=\displaystyle 1\circ 1=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+1=
  3. Se calculează fiecare fracție: 1\displaystyle 1 împărțit la 1\displaystyle 1 este egal cu 1\displaystyle 1, pentru fiecare termen
    11=1 și 11=1\displaystyle \frac{1}{1}=1\text{ și }\frac{1}{1}=1
  4. Se efectuează suma celor trei termeni obținuți pentru a determina rezultatul final
    =1+1+1=3\displaystyle =1+1+1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=1x+1y+1\displaystyle x\circ y=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1.

Determinați x∈M\displaystyle x\in M pentru care x∘x=2\displaystyle x\circ x=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată în enunț, înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x pentru a obține expresia x∘x\displaystyle x\circ x.
    x∘x=1x+1x+1\displaystyle x\circ x=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+1
  2. Se adună cele două fracții identice, obținându-se forma simplificată a expresiei x∘x\displaystyle x\circ x, valabilă pentru orice x\displaystyle x din M\displaystyle M.
    x∘x=2x+1, pentru orice x∈M\displaystyle x\circ x=\frac{2}{x}+1\text{, pentru orice }x\in M
  3. Se pune condiția ca x∘x\displaystyle x\circ x să fie egal cu 2\displaystyle 2, conform cerinței problemei.
    2x+1=2\displaystyle \frac{2}{x}+1=2
  4. Se izolează termenul cu x\displaystyle x, scăzând 1\displaystyle 1 din ambii membri ai ecuației.
    2x=1\displaystyle \frac{2}{x}=1
  5. Se rezolvă ecuația obținută, înmulțind ambii membri cu x\displaystyle x (x\displaystyle x fiind nenul, deoarece x\displaystyle x aparține lui M\displaystyle M), și se verifică dacă soluția aparține mulțimii M\displaystyle M.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=1x+1y+1\displaystyle x\circ y=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1.

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție dată în enunț, pentru elementele x\displaystyle x și y\displaystyle y din M\displaystyle M.
    x∘y=1x+1y+1\displaystyle x\circ y=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1
  2. Pentru a verifica comutativitatea, calculăm y∘x\displaystyle y\circ x, aplicând aceeași definiție dar cu rolurile lui x\displaystyle x și y\displaystyle y schimbate între ele.
    y∘x=1y+1x+1\displaystyle y\circ x=\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+1
  3. Observăm că adunarea este comutativă, deci putem rescrie suma 1y+1x+1\displaystyle \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+1 schimbând ordinea primilor doi termeni, obținând aceeași expresie ca la x∘y\displaystyle x\circ y.
    y∘x=1y+1x+1=1x+1y+1=\displaystyle y\circ x=\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1=
  4. Cum expresia obținută coincide exact cu x∘y\displaystyle x\circ y, tragem concluzia că legea de compoziție este comutativă pentru orice x,y\displaystyle x, y din M\displaystyle M.
    =x∘y, pentru orice x∈M și y∈M, deci legea de \displaystyle =x\circ y\text{, pentru orice }x\in M\text{ și }y\in M\text{, deci legea de }compoziție „∘” este comutativa˘\displaystyle \text{compoziție „}\circ\text{” este comutativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=1x+1y+1\displaystyle x\circ y=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1.

Determinați x∈M\displaystyle x\in M pentru care x∘1x=3\displaystyle x\circ\frac{1}{x}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție pentru elementele x\displaystyle x și y\displaystyle y, conform enunțului.
    x∘y=1x+1y+1\displaystyle x\circ y=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1
  2. Se calculează x∘(1x)\displaystyle x \circ \left(\dfrac{1}{x}\right), înlocuind y\displaystyle y cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} în definiție și observând că 11x=x\displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}=x.
    x∘1x=1x+11x+1=1x+x+1\displaystyle x\circ\frac{1}{x}=\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{1}{x}}+1=\frac{1}{x}+x+1
  3. Se aduce expresia la același numitor, obținându-se forma cerută de barem.
    x∘1x=x2+x+1x, pentru orice x∈M\displaystyle x\circ\frac{1}{x}=\frac{x^2+x+1}{x}\text{, pentru orice }x\in M
  4. Se pune condiția ca x∘(1x)\displaystyle x \circ \left(\dfrac{1}{x}\right) să fie egal cu 3\displaystyle 3, obținându-se o ecuație în x\displaystyle x.
    x2+x+1x=3\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x}=3
  5. Se înmulțește ecuația cu x\displaystyle x (x>0\displaystyle x>0, deci nu se schimbă sensul) și se aduce totul de o parte, obținând o ecuație de gradul al doilea.
    x2+x+1=3x⇒x2−2x+1=0\displaystyle x^2+x+1=3x\Rightarrow x^2-2x+1=0
  6. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea, observând că este un pătrat perfect, și se verifică soluția în mulțimea M\displaystyle M.
    x2+x+1x=3, deci x2−2x+1=0, de unde obținem x=1, care convine\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x}=3\text{, deci }x^2-2x+1=0\text{, de unde obținem }x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=1x+1y+1\displaystyle x\circ y=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care (n+1)∘(n+1)\displaystyle (n+1)\circ(n+1) este număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Se aplică definiția legii de compoziție pentru elementele x=n+1\displaystyle x=n+1 și y=n+1\displaystyle y=n+1, unde n\displaystyle n este număr natural.
    (n+1)∘(n+1)=1n+1+1n+1+1\displaystyle (n+1)\circ(n+1)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+1
  2. Se adună cele două fracții identice și se obține forma simplificată a expresiei.
    (n+1)∘(n+1)=2n+1+1, pentru orice numa˘r \displaystyle (n+1)\circ(n+1)=\frac{2}{n+1}+1\text{, pentru orice număr }natural n\displaystyle \text{natural }n
  3. Pentru ca expresia să fie număr natural, cum 1\displaystyle 1 este deja natural, este necesar și suficient ca fracția 2n+1\displaystyle \dfrac{2}{n+1} să fie număr natural.
    2n+1∈N\displaystyle \frac{2}{n+1}\in\mathbb{N}
  4. Aceasta se întâmplă exact atunci când n+1\displaystyle n+1 este un divizor natural al lui 2\displaystyle 2, adică n+1\displaystyle n+1 aparține mulțimii divizorilor lui 2\displaystyle 2.
    n+1∈{1,2}\displaystyle n+1\in\{1,2\}
  5. Se rezolvă fiecare caz pentru a determina valorile lui n\displaystyle n.
    n+1=1⇒n=0 sau n+1=2⇒n=1\displaystyle n+1=1\Rightarrow n=0\text{ sau }n+1=2\Rightarrow n=1
  6. Se verifică ambele valori: pentru n=0\displaystyle n=0, expresia devine 21+1=3\displaystyle \dfrac{2}{1}+1=3, iar pentru n=1\displaystyle n=1, expresia devine 22+1=2\displaystyle \dfrac{2}{2}+1=2, ambele numere naturale, deci ambele valori convin.
    (n+1)∘(n+1) este numa˘r natural daca˘ n+1 este divizor natural al \displaystyle (n+1)\circ(n+1)\text{ este număr natural dacă }n+1\text{ este divizor natural al }lui 2, de unde obținem n=0 și n=1, care convin\displaystyle \text{lui }2\text{, de unde obținem }n=0\text{ și }n=1\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=1x+1y+1\displaystyle x\circ y=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1.

Determinați x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty) pentru care (log⁡2x)∘(log⁡x2)=72\displaystyle (\log_2 x)\circ(\log_x 2)=\frac{7}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că pentru a putea aplica legea de compoziție, atât log⁡2x\displaystyle \log_{2} x cât și log⁡x2\displaystyle \log_{x} 2 trebuie să aparțină lui M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty), adică să fie strict pozitive; acest lucru se întâmplă exact pentru x>1\displaystyle x>1.
    x>1⇒log⁡2x>0 și log⁡x2>0\displaystyle x>1\Rightarrow \log_2 x>0\text{ și }\log_x 2>0
  2. Se scrie expresia (log⁡2x)∘(log⁡x2)\displaystyle (\log_{2} x)\circ(\log_{x} 2) conform definiției legii de compoziție date.
    (log⁡2x)∘(log⁡x2)=1log⁡2x+1log⁡x2+1, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle (\log_2 x)\circ(\log_x 2)=\frac{1}{\log_2 x}+\frac{1}{\log_x 2}+1\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)
  3. Se pune condiția ca această expresie să fie egală cu 72\displaystyle \dfrac{7}{2}, conform cerinței problemei.
    1log⁡2x+1log⁡x2+1=72\displaystyle \frac{1}{\log_2 x}+\frac{1}{\log_x 2}+1=\frac{7}{2}
  4. Se folosește relația de schimbare de bază: log⁡x2=1log⁡2x\displaystyle \log_{x} 2 = \dfrac{1}{\log_{2} x}, deci 1log⁡x2=log⁡2x\displaystyle \dfrac{1}{\log_{x} 2} = \log_{2} x.
    log⁡x2=1log⁡2x⇒1log⁡x2=log⁡2x\displaystyle \log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}\Rightarrow \frac{1}{\log_x 2}=\log_2 x
  5. Se notează t=log⁡2x\displaystyle t = \log_{2} x și se rescrie ecuația în funcție de t\displaystyle t.
    1t+t+1=72⇒t+1t=52\displaystyle \frac{1}{t}+t+1=\frac{7}{2}\Rightarrow t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}
  6. Se aduce la același numitor și se obține o ecuație de gradul al doilea în t\displaystyle t, care se rezolvă cu discriminant.
    2t2−5t+2=0⇒Δ=25−16=9⇒t=5±34\displaystyle 2t^2-5t+2=0\Rightarrow \Delta=25-16=9\Rightarrow t=\frac{5\pm3}{4}
  7. Se obțin cele două soluții pentru t=log⁡2x\displaystyle t=\log_{2} x, revenind la notația inițială.
    1log⁡2x+1log⁡x2+1=72 și, cum 1log⁡x2=log⁡2x, obținem log⁡2x=2 sau log⁡2x=12, de unde rezulta˘ x=4 sau x=2, care convin\displaystyle \frac{1}{\log_2 x}+\frac{1}{\log_x 2}+1=\frac{7}{2}\text{ și, cum }\frac{1}{\log_x 2}=\log_2 x\text{, obținem }\log_2 x=2\text{ sau }\log_2 x=\frac{1}{2}\text{, de unde rezultă }x=4\text{ sau }x=\sqrt{2}\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+222a−6)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+2&2\\2&a-6\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(6))=−4\displaystyle \det(A(6))=-4.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea generală A(a)\displaystyle A(a) conform enunțului.
    A(a)=(a+222a−6)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+2&2\\2&a-6\end{pmatrix}
  2. Se înlocuiește a=6\displaystyle a=6 în fiecare element al matricei A(a)\displaystyle A(a) pentru a obține A(6)\displaystyle A(6).
    A(6)=(6+2226−6)=(8220)\displaystyle A(6)=\begin{pmatrix}6+2&2\\2&6-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&2\\2&0\end{pmatrix}
  3. Se scrie determinantul matricei A(6)\displaystyle A(6) folosind formula determinantului de ordin 2\displaystyle 2, det⁡=a11⋅a22−a12⋅a21\displaystyle \det=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}, și se calculează produsele corespunzătoare.
    det⁡(A(6))=∣8220∣=8⋅0−2⋅2=\displaystyle \det(A(6))=\begin{vmatrix}8&2\\2&0\end{vmatrix}=8\cdot 0-2\cdot 2=
  4. Se efectuează calculele numerice pentru a obține valoarea finală a determinantului.
    =0−4=−4\displaystyle =0-4=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+222a−6)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+2&2\\2&a-6\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(3)⋅A(1)=19I2\displaystyle A(3)\cdot A(1)=19I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină matricea A(a)\displaystyle A(a) pentru a=3\displaystyle a=3, înlocuind a\displaystyle a cu 3\displaystyle 3 în expresiile elementelor: a+2\displaystyle a+2, 2\displaystyle 2, 2\displaystyle 2, a−6\displaystyle a-6.
    A(3)=(3+2223−6)=(522−3)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}3+2&2\\2&3-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&2\\2&-3\end{pmatrix}
  2. Se determină matricea A(a)\displaystyle A(a) pentru a=1\displaystyle a=1, înlocuind a\displaystyle a cu 1\displaystyle 1 în expresiile elementelor: a+2\displaystyle a+2, 2\displaystyle 2, 2\displaystyle 2, a−6\displaystyle a-6.
    A(1)=(1+2221−6)=(322−5)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1+2&2\\2&1-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\2&-5\end{pmatrix}
  3. Se efectuează înmulțirea matricelor A(3)\displaystyle A(3) și A(1)\displaystyle A(1), calculând fiecare element al produsului conform regulii de înmulțire a matricelor (linie ori coloană).
    A(3)⋅A(1)=(5⋅3+2⋅25⋅2+2⋅(−5)2⋅3+(−3)⋅22⋅2+(−3)⋅(−5))=(190019)\displaystyle A(3)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}5\cdot3+2\cdot2&5\cdot2+2\cdot(-5)\\2\cdot3+(-3)\cdot2&2\cdot2+(-3)\cdot(-5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&0\\0&19\end{pmatrix}
  4. Se scrie matricea obținută ca produs dintre scalarul 19\displaystyle 19 și matricea identitate I2\displaystyle I_2, obținând forma cerută.
    (190019)=19(1001)=19I2\displaystyle \begin{pmatrix}19&0\\0&19\end{pmatrix}=19\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=19I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+222a−6)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+2&2\\2&a-6\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(a)+A(−a)=2A(0)\displaystyle A(a)+A(-a)=2A(0), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A(a)\displaystyle A(a) conform definiției date în enunț, înlocuind pur și simplu valoarea a\displaystyle a în formula generală.
    A(a)=(a+222a−6)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+2&2\\2&a-6\end{pmatrix}
  2. Se scrie matricea A(−a)\displaystyle A(-a) înlocuind a\displaystyle a cu −a\displaystyle -a în formula matricei A(a)\displaystyle A(a), obținând elementele corespunzătoare.
    A(−a)=((−a)+222(−a)−6)=(−a+222−a−6)\displaystyle A(-a)=\begin{pmatrix}(-a)+2&2\\2&(-a)-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a+2&2\\2&-a-6\end{pmatrix}
  3. Se adună cele două matrice A(a)\displaystyle A(a) și A(−a)\displaystyle A(-a), element cu element, folosind regula de adunare a matricelor.
    A(a)+A(−a)=(a+222a−6)+(−a+222−a−6)=((a+2)+(−a+2)2+22+2(a−6)+(−a−6))\displaystyle A(a)+A(-a)=\begin{pmatrix}a+2&2\\2&a-6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-a+2&2\\2&-a-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(a+2)+(-a+2)&2+2\\2+2&(a-6)+(-a-6)\end{pmatrix}
  4. Se efectuează sumele pe fiecare poziție, observând că termenii cu a\displaystyle a se anulează, obținând matricea rezultat.
    A(a)+A(−a)=(444−12)\displaystyle A(a)+A(-a)=\begin{pmatrix}4&4\\4&-12\end{pmatrix}
  5. Se scoate factor comun 2\displaystyle 2 din fiecare element al matricei obținute, pentru a evidenția o formă de tipul 2\displaystyle 2 înmulțit cu o matrice mai simplă.
    (444−12)=2(222−6)\displaystyle \begin{pmatrix}4&4\\4&-12\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}2&2\\2&-6\end{pmatrix}
  6. Se observă că matricea din interiorul parantezei este exact A(0)\displaystyle A(0), obținută prin înlocuirea lui a\displaystyle a cu 0\displaystyle 0 în definiția lui A(a)\displaystyle A(a), deci concluzia este valabilă pentru orice număr real a\displaystyle a.
    2(222−6)=2A(0), pentru orice numa˘r real a\displaystyle 2\begin{pmatrix}2&2\\2&-6\end{pmatrix}=2A(0)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+222a−6)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+2&2\\2&a-6\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a))=−20\displaystyle \det(A(a))=-20.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) ca diferența produselor elementelor de pe cele două diagonale.
    det⁡(A(a))=(a+2)(a−6)−2⋅2\displaystyle \det(A(a))=(a+2)(a-6)-2\cdot 2
  2. Se efectuează produsul (a+2)(a−6)\displaystyle (a+2)(a-6), folosind regula de înmulțire a binoamelor.
    (a+2)(a−6)=a2−6a+2a−12=a2−4a−12\displaystyle (a+2)(a-6)=a^2-6a+2a-12=a^2-4a-12
  3. Se scade produsul diagonalei secundare (2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4) și se obține expresia finală a determinantului, valabilă pentru orice a\displaystyle a real.
    det⁡(A(a))=a2−4a−12−4=a2−4a−16, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(A(a))=a^2-4a-12-4=a^2-4a-16\text{, pentru orice număr real }a
  4. Se pune condiția ca determinantul să fie egal cu valoarea dată în enunț, −20\displaystyle -20, obținându-se o ecuație de gradul al doilea în a\displaystyle a.
    a2−4a−16=−20\displaystyle a^2-4a-16=-20
  5. Se aduce ecuația la forma generală și se rezolvă, observând că este un pătrat perfect.
    a2−4a−16=−20⇔a2−4a+4=0⇔(a−2)2=0\displaystyle a^2-4a-16=-20\Leftrightarrow a^2-4a+4=0\Leftrightarrow (a-2)^2=0
  6. Se rezolvă ecuația (a−2)2=0\displaystyle (a-2)^2=0 obținută anterior și se determină valoarea lui a\displaystyle a.
    (a−2)2=0⇔a=2\displaystyle (a-2)^2=0\Leftrightarrow a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+222a−6)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+2&2\\2&a-6\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care A(a2)−A(a)=2I2\displaystyle A(a^2)-A(a)=2I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină matricea A(a2)\displaystyle A(a^{2}) înlocuind a\displaystyle a cu a2\displaystyle a^{2} în expresia matricei A(a)\displaystyle A(a).
    A(a2)=(a2+222a2−6)\displaystyle A(a^2)=\begin{pmatrix}a^2+2&2\\2&a^2-6\end{pmatrix}
  2. Se scade matricea A(a)\displaystyle A(a) din matricea A(a2)\displaystyle A(a^{2}), element cu element.
    A(a2)−A(a)=(a2+2−(a+2)2−22−2a2−6−(a−6))\displaystyle A(a^2)-A(a)=\begin{pmatrix}a^2+2-(a+2)&2-2\\2-2&a^2-6-(a-6)\end{pmatrix}
  3. Se efectuează calculele din fiecare element al matricei obținute, simplificând paranteza.
    A(a2)−A(a)=(a2−a00a2−a), pentru orice numa˘r real a\displaystyle A(a^2)-A(a)=\begin{pmatrix}a^2-a&0\\0&a^2-a\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }a
  4. Se scrie matricea 2I2\displaystyle 2I_{2}, obținută prin înmulțirea matricei identitate cu scalarul 2\displaystyle 2.
    2I2=(2002)\displaystyle 2I_2=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
  5. Se pune condiția din enunț, egalând matricea diferență cu matricea 2I2\displaystyle 2I_{2}.
    (a2−a00a2−a)=(2002)\displaystyle \begin{pmatrix}a^2-a&0\\0&a^2-a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
  6. Din egalitatea matricelor rezultă egalitatea elementelor de pe diagonala principală, ceea ce conduce la ecuația de gradul al doilea a2−a−2=0\displaystyle a^{2}-a-2=0. Se calculează discriminantul Δ=1+8=9\displaystyle \Delta=1+8=9 și se determină rădăcinile ecuației.
    a2−a−2=0⇒Δ=9⇒a=−1 sau a=2\displaystyle a^2-a-2=0\Rightarrow\Delta=9\Rightarrow a=-1\text{ sau }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+222a−6)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+2&2\\2&a-6\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care A(−1)⋅(xy)=(−19)\displaystyle A(-1)\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\9\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricea A(−1)\displaystyle A(-1) prin înlocuirea lui a\displaystyle a cu −1\displaystyle -1 în A(a)\displaystyle A(a): a+2\displaystyle a+2 devine 1\displaystyle 1, iar a−6\displaystyle a-6 devine −7\displaystyle -7.
    A(−1)=(122−7)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}1&2\\2&-7\end{pmatrix}
  2. Se efectuează produsul matricei A(−1)\displaystyle A(-1) cu vectorul coloană necunoscut (x,y)\displaystyle (x,y), obținând un nou vector coloană în funcție de x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    A(−1)⋅(xy)=(122−7)(xy)=(x+2y2x−7y), unde x și y sunt numere reale\displaystyle A(-1)\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\2&-7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+2y\\2x-7y\end{pmatrix}\text{, unde }x\text{ și }y\text{ sunt numere reale}
  3. Se egalează vectorul obținut cu vectorul dat (−1,9)\displaystyle (-1,9), rezultând sistemul de ecuații liniare corespunzător.
    {x+2y=−12x−7y=9\displaystyle \begin{cases}x+2y=-1\\2x-7y=9\end{cases}
  4. Din prima ecuație exprimăm x\displaystyle x în funcție de y\displaystyle y, apoi înlocuim în a doua ecuație pentru a determina valoarea lui y\displaystyle y.
    x=−1−2y⇒2(−1−2y)−7y=9⇒−11y=11⇒y=−1\displaystyle x=-1-2y\Rightarrow2(-1-2y)-7y=9\Rightarrow-11y=11\Rightarrow y=-1
  5. Înlocuim valoarea lui y\displaystyle y găsită în expresia lui x\displaystyle x pentru a obține soluția finală a sistemului.
    (x+2y2x−7y)=(−19), de unde obținem x=1 și y=−1\displaystyle \begin{pmatrix}x+2y\\2x-7y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\9\end{pmatrix}\text{, de unde obținem }x=1\text{ și }y=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.