Bac matematică M4 pedagogic 2023, sesiunea I varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 50−5(2−1)=5\displaystyle \sqrt{50} - 5(\sqrt{2}-1) = 5.
Vezi rezolvarea
  1. Se descompune numărul de sub radical 50\displaystyle 50 ca produs dintre un pătrat perfect și 2\displaystyle 2, pentru a putea extrage radicalul.
    50=25⋅2\displaystyle 50=25\cdot 2
  2. Se extrage radicalul din pătratul perfect, obținând forma simplificată a lui 50\displaystyle \sqrt{50}.
    50=25⋅2=52\displaystyle \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}
  3. Se desface paranteza înmulțind 5\displaystyle 5 cu fiecare termen din (2−1)\displaystyle (\sqrt{2}-1), obținând forma desfăcută a celui de-al doilea termen.
    5(2−1)=52−5\displaystyle 5(\sqrt{2}-1)=5\sqrt{2}-5
  4. Se înlocuiesc cele două expresii obținute în expresia inițială, rescriind-o cu paranteza desfăcută.
    50−5(2−1)=52−(52−5)\displaystyle \sqrt{50}-5(\sqrt{2}-1)=5\sqrt{2}-(5\sqrt{2}-5)
  5. Se desface a doua paranteză, schimbând semnul termenilor din interior, apoi se reduc termenii asemenea 52\displaystyle 5\sqrt{2} și se obține rezultatul final egal cu 5\displaystyle 5.
    52−52+5=5\displaystyle 5\sqrt{2}-5\sqrt{2}+5=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+a\displaystyle f(x)=x^2-3x+a, unde a\displaystyle a este număr real. Arătați că f(1)=f(2)\displaystyle f(1)=f(2), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției și se înlocuiește x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 pentru a calcula f(1)\displaystyle f(1).
    f(1)=12−3⋅1+a\displaystyle f(1)=1^2-3\cdot1+a
  2. Se efectuează calculele numerice pentru a obține valoarea lui f(1)\displaystyle f(1) în funcție de a\displaystyle a.
    f(1)=1−3+a=a−2, pentru orice numa˘r real a\displaystyle f(1)=1-3+a=a-2\text{, pentru orice număr real }a
  3. Se înlocuiește x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia funcției pentru a calcula f(2)\displaystyle f(2).
    f(2)=22−3⋅2+a\displaystyle f(2)=2^2-3\cdot2+a
  4. Se efectuează calculele numerice pentru a obține valoarea lui f(2)\displaystyle f(2) în funcție de a\displaystyle a și se compară cu f(1)\displaystyle f(1), concluzionând egalitatea cerută.
    f(2)=4−6+a=a−2, deci f(1)=f(2), pentru orice numa˘r real a\displaystyle f(2)=4-6+a=a-2\text{, deci }f(1)=f(2)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x+2)=log⁡3(4−x)\displaystyle \log_3(x+2)=\log_3(4-x).
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția de existență a logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive.
    x+2>0 și 4−x>0\displaystyle x+2>0\text{ și }4-x>0
  2. Rezolvând cele două inegalități, se obține domeniul de valabilitate al ecuației.
    x∈(−2,4)\displaystyle x\in(-2,4)
  3. Deoarece funcția logaritmică este injectivă, egalitatea logaritmilor implică egalitatea argumentelor.
    x+2=4−x\displaystyle x+2=4-x
  4. Se aduc termenii asemenea, trecând necunoscutele într-o parte și constantele în cealaltă.
    x+x=4−2\displaystyle x+x=4-2
  5. Se simplifică și se obține valoarea lui 2x\displaystyle 2x.
    2x=2\displaystyle 2x=2
  6. Se împarte prin 2\displaystyle 2 pentru a afla valoarea lui x\displaystyle x.
    x=1\displaystyle x=1
  7. Se verifică dacă soluția obținută aparține domeniului de valabilitate stabilit anterior, adică dacă respectă condițiile inițiale.
    x=1∈(−2,4)\displaystyle x=1\in(-2,4)
  8. Cum soluția respectă domeniul de definiție, ea este acceptată ca soluție finală a ecuației.
    x=1, care convine\displaystyle x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 8\displaystyle 8.
Vezi rezolvarea
  1. Se definește mulțimea numerelor naturale de două cifre: acestea sunt de forma ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu a∈{1,2,…,9}\displaystyle a\in\{1,2,\dots,9\} (cifra zecilor, nenulă) și b∈{0,1,…,9}\displaystyle b\in\{0,1,\dots,9\} (cifra unităților).
    10≤n≤99\displaystyle 10\le n\le 99
  2. Se numără toate numerele naturale de două cifre, adică toate cazurile posibile.
    90 de cazuri posibile\displaystyle 90\text{ de cazuri posibile}
  3. Se pune condiția ca produsul cifrelor a⋅b\displaystyle a\cdot b să fie egal cu 8\displaystyle 8, unde a∈{1,…,9}\displaystyle a\in\{1,\dots,9\} și b∈{0,…,9}\displaystyle b\in\{0,\dots,9\}.
    a⋅b=8\displaystyle a\cdot b=8,a∈{1,…,9}\displaystyle \quad a\in\{1,\dots,9\}, b∈{0,…,9}\displaystyle \ b\in\{0,\dots,9\}
  4. Se determină toate perechile (a,b)\displaystyle (a,b) de cifre pentru care produsul este 8\displaystyle 8: 8=1⋅8=2⋅4=4⋅2=8⋅1\displaystyle 8=1\cdot 8=2\cdot 4=4\cdot 2=8\cdot 1.
    (a,b)∈{(1,8),(2,4),(4,2),(8,1)}\displaystyle (a,b)\in\{(1,8),(2,4),(4,2),(8,1)\}
  5. Se scriu numerele de două cifre corespunzătoare acestor perechi și se numără cazurile favorabile, apoi se calculează probabilitatea ca raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.
    18\displaystyle 18,24\displaystyle 24,42\displaystyle 42,81, deci 4 cazuri \displaystyle 81\text{, deci 4 cazuri }favorabile\displaystyle \text{favorabile},p=490=245\displaystyle \quad p=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,a)\displaystyle A(3,a), B(1,0)\displaystyle B(1,0) și C(5,2)\displaystyle C(5,2), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A\displaystyle A este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula generală a coordonatelor mijlocului unui segment: dacă M\displaystyle M este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC, cu B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B) și C(xC,yC)\displaystyle C(x_C,y_C), atunci coordonatele lui M\displaystyle M sunt media aritmetică a coordonatelor lui B\displaystyle B și C\displaystyle C.
    xM=xB+xC2\displaystyle x_M=\frac{x_B+x_C}{2}, yM=yB+yC2\displaystyle \ y_M=\frac{y_B+y_C}{2}
  2. Se identifică punctul A(3,a)\displaystyle A(3,a) ca fiind mijlocul segmentului BC\displaystyle BC, cu B(1,0)\displaystyle B(1,0) și C(5,2)\displaystyle C(5,2), și se verifică relația pentru coordonata x\displaystyle x.
    3=1+52=3\displaystyle 3=\frac{1+5}{2}=3
  3. Se aplică formula coordonatelor mijlocului unui segment pentru coordonata y\displaystyle y, folosind ordonatele punctelor B\displaystyle B și C\displaystyle C.
    a=0+22\displaystyle a=\frac{0+2}{2}
  4. Se efectuează calculul din membrul drept pentru a determina valoarea lui a\displaystyle a.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡30∘+2cos⁡45∘+cos⁡60∘=2\displaystyle \sin 30^\circ + \sqrt{2}\cos 45^\circ + \cos 60^\circ = 2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia dată în enunț, care trebuie demonstrată egală cu 2\displaystyle 2.
    sin⁡30∘+2cos⁡45∘+cos⁡60∘\displaystyle \sin 30^\circ + \sqrt{2}\cos 45^\circ + \cos 60^\circ
  2. Se rescriu valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 30°,45°\displaystyle 30°, 45° și 60°\displaystyle 60°, folosind tabelul valorilor remarcabile.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\frac{1}{2},cos⁡45∘=22\displaystyle \quad \cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},cos⁡60∘=12\displaystyle \quad \cos 60^\circ=\frac{1}{2}
  3. Se înlocuiesc aceste valori în expresia dată.
    12+2⋅22+12\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}
  4. Se calculează produsul dintre radicalul din 2\displaystyle 2 și cos⁡45°\displaystyle \cos 45°, observând că radical din 2\displaystyle 2 înmulțit cu radical din 2\displaystyle 2 este 2\displaystyle 2.
    2⋅22=2⋅22=22=1\displaystyle \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{2}=1
  5. Se înlocuiește rezultatul obținut în expresia totală și se adună fracțiile rămase cu numărul întreg obținut, verificând astfel egalitatea cerută.
    12+2⋅22+12=12+1+12=2\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=3(4−x−y)+xy\displaystyle x*y = 3(4-x-y)+xy.

Arătați că 3∗0=3\displaystyle 3*0=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile x=3\displaystyle x=3 și y=0\displaystyle y=0 care trebuie substituite.
    x∗y=3(4−x−y)+xy\displaystyle x*y=3(4-x-y)+xy, unde x=3\displaystyle \text{ unde }x=3, y=0\displaystyle \ y=0
  2. Se înlocuiesc valorile x=3\displaystyle x=3 și y=0\displaystyle y=0 în definiția legii de compoziție.
    3∗0=3(4−3−0)+3⋅0=\displaystyle 3*0=3(4-3-0)+3\cdot 0=
  3. Se calculează expresia din paranteză: 4−3−0=1\displaystyle 4-3-0=1.
    4−3−0=1\displaystyle 4-3-0=1
  4. Se înlocuiește rezultatul parantezei și se calculează produsul 3⋅0\displaystyle 3\cdot 0.
    =3⋅1+0\displaystyle =3\cdot 1+0
  5. Se efectuează înmulțirea și adunarea finală pentru a obține rezultatul.
    =3⋅1+0=3\displaystyle =3\cdot 1+0=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=3(4−x−y)+xy\displaystyle x*y = 3(4-x-y)+xy.

Demonstrați că x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la definiția legii de compoziție și se dezvoltă paranteza 3(4−x−y)\displaystyle 3(4-x-y).
    x∗y=3(4−x−y)+xy=12−3x−3y+xy\displaystyle x*y=3(4-x-y)+xy=12-3x-3y+xy
  2. Se rearanjează termenii și se scrie constanta 12\displaystyle 12 ca sumă 9+3\displaystyle 9+3, pentru a pregăti gruparea sub forma unui produs de paranteze.
    x∗y=xy−3x−3y+9+3=\displaystyle x*y=xy-3x-3y+9+3=
  3. Se observă că xy−3x−3y+9\displaystyle xy-3x-3y+9 este exact dezvoltarea produsului (x−3)(y−3)\displaystyle (x-3)(y-3), deci se rescrie expresia sub formă factorizată, adăugând constanta rămasă 3\displaystyle 3.
    =(x−3)(y−3)+3, pentru orice numere \displaystyle =(x-3)(y-3)+3\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=3(4−x−y)+xy\displaystyle x*y = 3(4-x-y)+xy.

Arătați că e=4\displaystyle e=4 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se stabilește scopul: găsirea elementului neutru e\displaystyle e, adică a numărului real e\displaystyle e astfel încât x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗y=3(4−x−y)+xy\displaystyle x*y=3(4-x-y)+xy, se cauta˘ e∈R astfel ıˆncaˆt x∗e=e∗x=x\displaystyle \text{ se caută }e\in\mathbb{R}\text{ astfel încât }x*e=e*x=x
  2. Se aduce legea de compoziție la o formă factorizată, dezvoltând expresia și regrupând termenii pentru a obține un produs de tipul (x−3)(y−3)+3\displaystyle (x-3)(y-3)+3.
    x∗y=3(4−x−y)+xy=12−3x−3y+xy=xy−3x−3y+9+3=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=3(4-x-y)+xy=12-3x-3y+xy=xy-3x-3y+9+3=(x-3)(y-3)+3
  3. Se calculează x∗4\displaystyle x*4 folosind forma factorizată obținută, înlocuind y=4\displaystyle y=4, și se simplifică expresia rezultată.
    x∗4=(x−3)(4−3)+3=(x−3)⋅1+3=x−3+3=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*4=(x-3)(4-3)+3=(x-3)\cdot 1+3=x-3+3=x\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se calculează 4∗x\displaystyle 4*x folosind forma factorizată, înlocuind x=4\displaystyle x=4, se simplifică și se compară cu rezultatul anterior pentru a confirma egalitatea x∗4=4∗x=x\displaystyle x*4=4*x=x, concluzionând că e=4\displaystyle e=4 este elementul neutru al legii de compoziție.
    4∗x=(4−3)(x−3)+3=1⋅(x−3)+3=x, pentru orice numa˘r real x, deci e=4 este elementul neutru al \displaystyle 4*x=(4-3)(x-3)+3=1\cdot(x-3)+3=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=4\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „*”\displaystyle \text{legii de compoziție „*”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=3(4−x−y)+xy\displaystyle x*y = 3(4-x-y)+xy.

Arătați că 73\displaystyle \frac{7}{3} este simetricul lui 32\displaystyle \frac{3}{2} în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Se aduce legea de compoziție la o formă factorizată, pentru a lucra mai ușor cu ea.
    x∗y=3(4−x−y)+xy=12−3x−3y+xy=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=3(4-x-y)+xy=12-3x-3y+xy=(x-3)(y-3)+3
  2. Se determină elementul neutru al legii de compoziție, folosind forma factorizată.
    x∗e=x⇔(x−3)(e−3)+3=x⇔(x−3)(e−3)=x−3⇒e−3=1⇒e=4\displaystyle x*e=x\Leftrightarrow(x-3)(e-3)+3=x\Leftrightarrow(x-3)(e-3)=x-3\Rightarrow e-3=1\Rightarrow e=4
  3. Se pune condiția ca simetricul lui 32\displaystyle \dfrac{3}{2} să fie un număr y\displaystyle y astfel încât 32∗y=4\displaystyle \dfrac{3}{2}*y=4, folosind forma factorizată a legii.
    32∗y=4⇔(32−3)(y−3)+3=4⇔−32(y−3)=1\displaystyle \frac{3}{2}*y=4\Leftrightarrow\left(\frac{3}{2}-3\right)(y-3)+3=4\Leftrightarrow-\frac{3}{2}(y-3)=1
  4. Se rezolvă ecuația obținută pentru a afla valoarea lui y\displaystyle y, adică simetricul căutat.
    y−3=−23⇒y=3−23=73\displaystyle y-3=-\frac{2}{3}\Rightarrow y=3-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}
  5. Se verifică, folosind forma factorizată a legii, că 73∗32\displaystyle \dfrac{7}{3}*\dfrac{3}{2} dă elementul neutru 4\displaystyle 4.
    73∗32=(73−3)(32−3)+3=4\displaystyle \frac{7}{3}*\frac{3}{2}=\left(\frac{7}{3}-3\right)\left(\frac{3}{2}-3\right)+3=4
  6. Se verifică și în ordinea inversă, folosind forma factorizată a legii, că rezultatul este tot elementul neutru 4\displaystyle 4, deci se confirmă că 73\displaystyle \dfrac{7}{3} este simetricul lui 32\displaystyle \dfrac{3}{2}.
    32∗73=(32−3)(73−3)+3=4, deci 73 este simetricul lui 32 ıˆn raport cu legea de \displaystyle \frac{3}{2}*\frac{7}{3}=\left(\frac{3}{2}-3\right)\left(\frac{7}{3}-3\right)+3=4\text{, deci }\frac{7}{3}\text{ este simetricul lui }\frac{3}{2}\text{ în raport cu legea de }compoziție „*”\displaystyle \text{compoziție „*”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=3(4−x−y)+xy\displaystyle x*y = 3(4-x-y)+xy.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9x∗3x=3\displaystyle 9^x*3^x=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se aduce legea de compoziție la o formă factorizată, scriind expresia 3(4−x−y)+xy\displaystyle 3(4-x-y)+xy sub forma (x−3)(y−3)+3\displaystyle (x-3)(y-3)+3. Se verifică prin desfacerea parantezei: (x−3)(y−3)+3=xy−3x−3y+9+3=xy−3x−3y+12=3(4−x−y)+xy\displaystyle (x-3)(y-3)+3=xy-3x-3y+9+3=xy-3x-3y+12=3(4-x-y)+xy, deci identitatea este adevărată pentru orice x,y\displaystyle x,y reale.
    x∗y=(x−3)(y−3)+3, pentru orice x\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3\text{, pentru orice }x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
  2. Se aplică forma factorizată obținută la pasul anterior particularizând x→9x\displaystyle x\to 9^{x} și y→3x\displaystyle y\to 3^{x}, obținând identitatea cerută de barem, valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    9x∗3x=(9x−3)(3x−3)+3, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 9^x*3^x=(9^x-3)(3^x-3)+3\text{, pentru orice număr real }x
  3. Se scrie ecuația dată, 9x∗3x=3\displaystyle 9^{x}*3^{x}=3, și se înlocuiește membrul stâng cu forma factorizată obținută anterior, apoi se trece termenul liber în membrul drept pentru a obține o egalitate de tip produs egal cu zero.
    (9x−3)(3x−3)+3=3⇒(9x−3)(3x−3)=0\displaystyle (9^x-3)(3^x-3)+3=3\Rightarrow(9^x-3)(3^x-3)=0
  4. Se observă că 9x=(32)x=32x\displaystyle 9^{x}=(3^{2})^{x}=3^{2x}, deci ecuația devine (32x−3)(3x−3)=0\displaystyle (3^{2x}-3)(3^{x}-3)=0. Aceasta este echivalentă cu anularea a cel puțin unuia dintre factori: fie 32x−3=0\displaystyle 3^{2x}-3=0, adică 32x=31\displaystyle 3^{2x}=3^{1}, de unde 2x=1\displaystyle 2x=1, deci x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}; fie 3x−3=0\displaystyle 3^{x}-3=0, adică 3x=31\displaystyle 3^{x}=3^{1}, de unde x=1\displaystyle x=1.
    (32x−3)(3x−3)=0, de unde obținem x=12 sau x=1\displaystyle (3^{2x}-3)(3^x-3)=0\text{, de unde obținem }x=\frac{1}{2}\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=3(4−x−y)+xy\displaystyle x*y = 3(4-x-y)+xy.

Calculați 3∗4∗5∗...∗2023\displaystyle 3*4*5*...*2023.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit legea de compoziție pentru elementele 3\displaystyle 3 și x\displaystyle x, înlocuind valorile în formula dată.
    3∗x=3(4−3−x)+3x\displaystyle 3*x=3(4-3-x)+3x
  2. Se efectuează calculele: se simplifică paranteza (4−3−x)\displaystyle (4-3-x) și se distribuie factorul 3\displaystyle 3.
    3∗x=3(1−x)+3x=3−3x+3x\displaystyle 3*x=3(1-x)+3x=3-3x+3x
  3. Se reduc termenii asemenea, obținându-se rezultatul constant, valabil pentru orice număr real x\displaystyle x.
    3∗x=3, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 3*x=3\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se observă că expresia de calculat este o compunere repetată a numerelor 3,4,5,…,2023\displaystyle 3,4,5,\ldots,2023 folosind legea ∗\displaystyle *, iar legea fiind asociativă, putem grupa termenii de la 4\displaystyle 4 la 2023\displaystyle 2023 într-o singură paranteză, notând rezultatul acestei compuneri cu y\displaystyle y (un anumit număr real).
    3∗4∗5∗⋯∗2023=3∗(4∗5∗⋯∗2023)\displaystyle 3*4*5*\cdots*2023=3*(4*5*\cdots*2023)
  5. Notând y=4∗5∗⋯∗2023\displaystyle y=4*5*\cdots*2023 (un număr real, deoarece legea ∗\displaystyle * este internă pe R\displaystyle \mathbb{R}), se aplică rezultatul de la pasul anterior (3∗y=3\displaystyle 3*y=3 pentru orice y\displaystyle y real), obținând valoarea finală a întregii compuneri.
    3∗4∗5∗⋯∗2023=3∗(4∗5∗⋯∗2023)=3\displaystyle 3*4*5*\cdots*2023=3*(4*5*\cdots*2023)=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și B(a)=(a+211a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a+2 & 1\\ 1 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(B(0))=−1\displaystyle \det(B(0))=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=0\displaystyle a=0 în matricea B(a)\displaystyle B(a) pentru a obține matricea B(0)\displaystyle B(0)
    B(0)=(0+2110)=(2110)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}0+2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei B(0)\displaystyle B(0) folosind formula pentru matrice de ordinul 2 și se aplică regula de calcul (produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară)
    det⁡(B(0))=∣2110∣=2⋅0−1⋅1=\displaystyle \det(B(0))=\begin{vmatrix}2 & 1\\ 1 & 0\end{vmatrix}=2\cdot 0-1\cdot 1=
  3. Se efectuează calculele numerice pentru a obține valoarea finală a determinantului
    =0−1=−1\displaystyle =0-1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și B(a)=(a+211a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a+2 & 1\\ 1 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A⋅A=5I2\displaystyle A\cdot A=5I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A folosind regula de înmulțire a matricelor: fiecare element al produsului este suma produselor dintre elementele liniei din prima matrice și elementele coloanei din a doua matrice.
    A⋅A=((−1)(−1)+2⋅2(−1)⋅2+2⋅12⋅(−1)+1⋅22⋅2+1⋅1)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}(-1)(-1)+2\cdot2 & (-1)\cdot2+2\cdot1\\ 2\cdot(-1)+1\cdot2 & 2\cdot2+1\cdot1\end{pmatrix}
  2. Se efectuează calculele din fiecare element al matricei produs, obținând forma cu sumele explicite.
    A⋅A=(1+4−2+2−2+24+1)=\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1+4 & -2+2\\ -2+2 & 4+1\end{pmatrix}=
  3. Se adună elementele obținute pe fiecare poziție a matricei.
    (5005)\displaystyle \begin{pmatrix}5 & 0\\ 0 & 5\end{pmatrix}
  4. Se observă că matricea obținută este de forma 5⋅I2\displaystyle 5\cdot I_{2}, deoarece I2\displaystyle I_{2} are 1\displaystyle 1 pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest, iar prin înmulțirea cu 5\displaystyle 5 se obține exact matricea calculată.
    =(5005)=5I2\displaystyle =\begin{pmatrix}5 & 0\\ 0 & 5\end{pmatrix}=5I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și B(a)=(a+211a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a+2 & 1\\ 1 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(B(a)+A)=0\displaystyle \det(B(a)+A)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează suma matricelor B(a)\displaystyle B(a) și A\displaystyle A, adunând elementele corespunzătoare.
    B(a)+A=(a+2−11+21+2a+1)=(a+133a+1)\displaystyle B(a)+A=\begin{pmatrix}a+2-1 & 1+2\\ 1+2 & a+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+1 & 3\\ 3 & a+1\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei obținute și se calculează folosind formula pentru determinantul unei matrice 2×2\displaystyle 2\times 2.
    det⁡(B(a)+A)=∣a+133a+1∣=(a+1)2−32\displaystyle \det(B(a)+A)=\begin{vmatrix}a+1 & 3\\ 3 & a+1\end{vmatrix}=(a+1)^2-3^2
  3. Se pune condiția ca determinantul să fie nul și se dezvoltă expresia obținută.
    (a+1)2−9=0⇒a2+2a+1−9=0⇒a2+2a−8=0\displaystyle (a+1)^2-9=0\Rightarrow a^2+2a+1-9=0\Rightarrow a^2+2a-8=0
  4. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea obținută, calculând discriminantul și soluțiile.
    Δ=4+32=36\displaystyle \Delta=4+32=36,a1,2=−2±62\displaystyle \quad a_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}
  5. Se determină valorile finale ale lui a\displaystyle a care satisfac condiția determinantului nul.
    a=2 sau a=−4\displaystyle a=2\text{ sau }a=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și B(a)=(a+211a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a+2 & 1\\ 1 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care B(a)⋅B(−2)=B(0)−I2\displaystyle B(a)\cdot B(-2)=B(0)-I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu −2\displaystyle -2 în B(a)\displaystyle B(a): a+2=0\displaystyle a+2=0 și a=−2\displaystyle a=-2, deci obținem B(−2)\displaystyle B(-2).
    B(−2)=(011−2)\displaystyle B(-2)=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & -2\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B(a)⋅B(−2)\displaystyle B(a)\cdot B(-2) înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Elementele sunt: (a+2)⋅0+1⋅1=1\displaystyle (a+2)\cdot 0+1\cdot 1=1, (a+2)⋅1+1⋅(−2)=a\displaystyle (a+2)\cdot 1+1\cdot(-2)=a, 1⋅0+a⋅1=a\displaystyle 1\cdot 0+a\cdot 1=a, 1⋅1+a⋅(−2)=1−2a\displaystyle 1\cdot 1+a\cdot(-2)=1-2a.
    B(a)⋅B(−2)=(1aa1−2a), pentru orice numa˘r real a\displaystyle B(a)\cdot B(-2)=\begin{pmatrix}1 & a\\ a & 1-2a\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }a
  3. Calculăm B(0)\displaystyle B(0) înlocuind a\displaystyle a cu 0\displaystyle 0.
    B(0)=(2110)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}
  4. Scădem I2\displaystyle I_2 din B(0)\displaystyle B(0), element cu element.
    B(0)−I2=(2−11−01−00−1)=(111−1)\displaystyle B(0)-I_2=\begin{pmatrix}2-1 & 1-0\\ 1-0 & 0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}
  5. Egalăm cele două matrice și identificăm elementele corespunzătoare. Elementele de pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1) coincid (1=1\displaystyle 1=1). Din poziția (1,2)\displaystyle (1,2) obținem a=1\displaystyle a=1, din poziția (2,1)\displaystyle (2,1) obținem a=1\displaystyle a=1, iar din poziția (2,2)\displaystyle (2,2) obținem 1−2a=−1\displaystyle 1-2a=-1, adică a=1\displaystyle a=1. Toate condițiile dau aceeași valoare.
    (1aa1−2a)=(111−1)⇔a=1\displaystyle \begin{pmatrix}1 & a\\ a & 1-2a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}\Leftrightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și B(a)=(a+211a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a+2 & 1\\ 1 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că matricea B(a−1)\displaystyle B(a-1) este inversabilă, pentru orice număr rațional a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea B(a−1)\displaystyle B(a-1) înlocuind parametrul a\displaystyle a cu a−1\displaystyle a-1, pentru a obține B(a−1)\displaystyle B(a-1)
    B(a−1)=((a−1)+211a−1)=(a+111a−1)\displaystyle B(a-1)=\begin{pmatrix}(a-1)+2 & 1\\ 1 & a-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+1 & 1\\ 1 & a-1\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei B(a−1)\displaystyle B(a-1) folosind formula pentru determinantul de ordin 2
    det⁡(B(a−1))=∣a+111a−1∣=(a+1)(a−1)−1⋅1\displaystyle \det(B(a-1))=\begin{vmatrix}a+1 & 1\\ 1 & a-1\end{vmatrix}=(a+1)(a-1)-1\cdot 1
  3. Se efectuează calculele: se dezvoltă produsul (a+1)(a−1)\displaystyle (a+1)(a-1) folosind formula de calcul prescurtat a diferenței de pătrate și se scade 1
    (a+1)(a−1)−1=a2−1−1=a2−2\displaystyle (a+1)(a-1)-1=a^2-1-1=a^2-2
  4. Se obține valoarea determinantului lui B(a−1)\displaystyle B(a-1) în funcție de a\displaystyle a, pentru orice număr real a\displaystyle a
    det⁡(B(a−1))=∣a+111a−1∣=a2−2, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(B(a-1))=\begin{vmatrix}a+1 & 1\\ 1 & a-1\end{vmatrix}=a^2-2\text{, pentru orice număr real }a
  5. Se presupune, prin absurd, că determinantul s-ar anula pentru un anumit a\displaystyle a rațional, ceea ce ar duce la a2=2\displaystyle a^{2}=2, adică a=2\displaystyle a=\sqrt{2} sau a=−2\displaystyle a=-\sqrt{2}
    a2−2=0⇒a2=2⇒a=±2\displaystyle a^2-2=0\Rightarrow a^2=2\Rightarrow a=\pm\sqrt{2}
  6. Se observă că 2\displaystyle \sqrt{2} este un număr irațional, deci nu poate fi egal cu un număr rațional a\displaystyle a, ceea ce arată că presupunerea este falsă
    2∉Q⇒a≠±2, pentru orice a∈Q\displaystyle \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\Rightarrow a\neq\pm\sqrt{2}\text{, pentru orice }a\in\mathbb{Q}
  7. Se concluzionează că, pentru orice a\displaystyle a număr rațional, determinantul matricei B(a−1)\displaystyle B(a-1) este nenul, deci matricea B(a−1)\displaystyle B(a-1) este inversabilă
    Cum a este numa˘r rațional, \displaystyle \text{Cum }a\text{ este număr rațional, }obținem a2−2≠0, deci matricea B(a−1) este inversabila˘\displaystyle \text{obținem }a^2-2\neq 0\text{, deci matricea }B(a-1)\text{ este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și B(a)=(a+211a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a+2 & 1\\ 1 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}), știind că X⋅B(0)=A\displaystyle X\cdot B(0)=A.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea B(0)\displaystyle B(0) înlocuind a=0\displaystyle a=0 în expresia generală a lui B(a)\displaystyle B(a).
    B(0)=(2110)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}
  2. Se calculează determinantul matricei B(0)\displaystyle B(0), necesar pentru a verifica inversabilitatea și pentru formula inversei.
    det⁡(B(0))=2⋅0−1⋅1=−1\displaystyle \det(B(0))=2\cdot 0-1\cdot 1=-1
  3. Se scrie formula inversei unei matrice 2×2\displaystyle 2\times 2, folosind adjuncta și determinantul, pentru B(0)\displaystyle B(0).
    B(0)−1=1det⁡(B(0))(0−1−12)=1−1(0−1−12)\displaystyle B(0)^{-1}=\frac{1}{\det(B(0))}\begin{pmatrix}0 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}0 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}
  4. Se efectuează înmulțirea cu scalarul −1\displaystyle -1, obținându-se inversa matricei B(0)\displaystyle B(0).
    B(0)−1=(011−2)\displaystyle B(0)^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & -2\end{pmatrix}
  5. Se scrie produsul care definește matricea X\displaystyle X, conform metodei indicate: X=A⋅B(0)−1\displaystyle X = A \cdot B(0)^{-1}.
    X=A⋅B(0)−1=(−1221)⋅(011−2)\displaystyle X=A\cdot B(0)^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & -2\end{pmatrix}
  6. Se calculează fiecare element al produsului: prima linie, prima coloană și prima linie, a doua coloană.
    X11=(−1)⋅0+2⋅1=2\displaystyle X_{11}=(-1)\cdot 0+2\cdot 1=2, X12=(−1)⋅1+2⋅(−2)=−5\displaystyle \ X_{12}=(-1)\cdot 1+2\cdot(-2)=-5
  7. Se calculează elementele rămase: a doua linie, prima coloană și a doua linie, a doua coloană.
    X21=2⋅0+1⋅1=1\displaystyle X_{21}=2\cdot 0+1\cdot 1=1, X22=2⋅1+1⋅(−2)=0\displaystyle \ X_{22}=2\cdot 1+1\cdot(-2)=0
  8. Se scrie matricea finală X\displaystyle X, rezultată din înmulțire.
    X=(−1221)⋅(011−2)=(2−510)\displaystyle X=\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -5\\ 1 & 0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.