Bac matematică M4 pedagogic 2025, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3⋅(1,5−0,3)+0,8:2=4\displaystyle 3\cdot(1{,}5-0{,}3)+0{,}8:2=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează mai întâi expresia din paranteză: 1,5−0,3\displaystyle 1{,}5-0{,}3.
    1,5−0,3=1,2\displaystyle 1{,}5-0{,}3=1{,}2
  2. Se efectuează împărțirea 0,8:2\displaystyle 0{,}8:2.
    0,8:2=0,4\displaystyle 0{,}8:2=0{,}4
  3. Se înlocuiesc rezultatele obținute în expresia inițială, obținându-se o sumă între produsul 3⋅1,2\displaystyle 3\cdot 1{,}2 și 0,4\displaystyle 0{,}4.
    3⋅(1,5−0,3)+0,8:2=3⋅1,2+0,4\displaystyle 3\cdot(1{,}5-0{,}3)+0{,}8:2=3\cdot1{,}2+0{,}4
  4. Se efectuează înmulțirea 3⋅1,2\displaystyle 3\cdot 1{,}2.
    3⋅1,2=3,6\displaystyle 3\cdot1{,}2=3{,}6
  5. Se adună rezultatele obținute, 3,6\displaystyle 3{,}6 și 0,4\displaystyle 0{,}4, obținând valoarea finală a expresiei.
    =3,6+0,4=4\displaystyle =3{,}6+0{,}4=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=f(3)−a\displaystyle f(a)=f(3)-a.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției în punctul x=3\displaystyle x=3, folosind definiția f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1.
    f(3)=2⋅3+1=7\displaystyle f(3)=2\cdot3+1=7
  2. Se scrie expresia generală a funcției pentru un număr real oarecare a\displaystyle a.
    f(a)=2a+1\displaystyle f(a)=2a+1
  3. Se centralizează rezultatele obținute pentru f(3)\displaystyle f(3) și f(a)\displaystyle f(a).
    f(3)=7\displaystyle f(3)=7, f(a)=2a+1, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \ f(a)=2a+1\text{, pentru orice număr real }a
  4. Se scrie ecuația din enunț, înlocuind f(a)\displaystyle f(a) și f(3)\displaystyle f(3) cu expresiile găsite anterior.
    2a+1=7−a\displaystyle 2a+1=7-a
  5. Se rezolvă ecuația obținută: se aduc termenii cu a\displaystyle a în stânga și cei numerici în dreapta, apoi se împarte prin coeficientul lui a\displaystyle a.
    2a+1=7−a⇒3a=6⇒a=2\displaystyle 2a+1=7-a\Rightarrow3a=6\Rightarrow a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(5x−12)=log⁡2(2x)\displaystyle \log_2(5x-12)=\log_2(2x).
Vezi rezolvarea
  1. Se pun condițiile de existență pentru logaritmi: argumentele trebuie să fie strict pozitive.
    5x−12>0 și 2x>0\displaystyle 5x-12>0\text{ și }2x>0
  2. Se rezolvă cele două inecuații și se determină domeniul de valabilitate al ecuației.
    x>125 și x>0⇒x>125\displaystyle x>\dfrac{12}{5}\text{ și }x>0\Rightarrow x>\dfrac{12}{5}
  3. Deoarece funcția logaritmică (baza 2\displaystyle 2) este injectivă, din egalitatea logaritmilor rezultă egalitatea argumentelor.
    5x−12=2x\displaystyle 5x-12=2x
  4. Se trec termenii cu x\displaystyle x într-o parte și termenii liberi în cealaltă parte a ecuației.
    5x−2x=12\displaystyle 5x-2x=12
  5. Se reduc termenii asemenea.
    3x=12\displaystyle 3x=12
  6. Se împarte ecuația prin 3\displaystyle 3 pentru a obține valoarea lui x\displaystyle x.
    x=4\displaystyle x=4
  7. Se verifică dacă soluția obținută respectă condiția de existență x>125\displaystyle x>\dfrac{12}{5}, adică dacă aparține domeniului stabilit.
    4>125, adeva˘rat\displaystyle 4>\dfrac{12}{5}\text{, adevărat}
  8. Se confirmă soluția finală a ecuației, verificând că x=4\displaystyle x=4 este soluție valabilă.
    x=4, care convine\displaystyle x=4\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 35%\displaystyle 35\%, un obiect costă 54\displaystyle 54 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Se notează prețul obiectului înainte de scumpire cu x\displaystyle x (lei).
    x - prețul obiectului \displaystyle x\text{ - prețul obiectului }ıˆnainte de scumpire\displaystyle \text{înainte de scumpire}
  2. Se calculează valoarea scumpirii, adică 35%\displaystyle 35\% din prețul inițial x\displaystyle x.
    35100⋅x\displaystyle \dfrac{35}{100}\cdot x
  3. Se scrie ecuația care exprimă faptul că prețul inițial, majorat cu 35%\displaystyle 35\%, este egal cu 54\displaystyle 54 de lei.
    x+35100⋅x=54, unde x este prețul obiectului \displaystyle x+\dfrac{35}{100}\cdot x=54\text{, unde }x\text{ este prețul obiectului }ıˆnainte de scumpire\displaystyle \text{înainte de scumpire}
  4. Se aduc termenii care conțin x\displaystyle x la același numitor, scoțând x\displaystyle x factor comun.
    x(1+35100)=54\displaystyle x\left(1+\dfrac{35}{100}\right)=54
  5. Se calculează suma din paranteză, scriind-o ca fracție unică.
    x⋅135100=54\displaystyle x\cdot\dfrac{135}{100}=54
  6. Se izolează x\displaystyle x, împărțind ambii membri ai ecuației prin fracția 135100\displaystyle \dfrac{135}{100} (sau înmulțind cu inversa ei).
    x=54⋅100135\displaystyle x=54\cdot\dfrac{100}{135}
  7. Se efectuează calculul numeric, simplificând fracția, pentru a obține valoarea lui x\displaystyle x.
    x=40 de lei\displaystyle x=40\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,5)\displaystyle A(2,5), B(4,1)\displaystyle B(4,1), C(6,0)\displaystyle C(6,0) și M\displaystyle M, mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Arătați că OM=CM\displaystyle OM=CM.
Vezi rezolvarea
  1. Coordonatele mijlocului M\displaystyle M al segmentului AB\displaystyle AB se obțin ca media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xA+xB2=2+42\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{2+4}{2} și yM=yA+yB2=5+12\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{5+1}{2}.
    xM=3\displaystyle x_M=3,  yM=3\displaystyle \; y_M=3
  2. Deci punctul M\displaystyle M are coordonatele M(3,3)\displaystyle M(3,3).
    M(3,3)\displaystyle M(3,3)
  3. Calculăm OM\displaystyle OM cu formula distanței dintre două puncte, folosind O(0,0)\displaystyle O(0,0) și M(3,3)\displaystyle M(3,3): OM=(3−0)2+(3−0)2=18\displaystyle OM=\sqrt{(3-0)^{2}+(3-0)^{2}}=\sqrt{18}, adică 32\displaystyle 3\sqrt{2}.
    OM=9+9=18=32\displaystyle OM=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}
  4. Calculăm CM\displaystyle CM cu aceeași formulă, folosind C(6,0)\displaystyle C(6,0) și M(3,3)\displaystyle M(3,3): CM=(3−6)2+(3−0)2=9+9=18\displaystyle CM=\sqrt{(3-6)^{2}+(3-0)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}, adică 32\displaystyle 3\sqrt{2}.
    CM=(−3)2+32=18=32\displaystyle CM=\sqrt{(-3)^{2}+3^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}
  5. Am obținut OM=32\displaystyle OM=3\sqrt{2} și CM=32\displaystyle CM=3\sqrt{2}, deci cele două distanțe sunt egale: OM=CM\displaystyle OM=CM.
    CM=32, deci OM=CM\displaystyle CM=3\sqrt{2}\text{, deci }OM=CM
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=16\displaystyle AB=16 și 5AB=4BC\displaystyle 5AB=4BC. Arătați că AC=12\displaystyle AC=12.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie relația dată în enunț între laturile AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC.
    5AB=4BC\displaystyle 5AB=4BC
  2. Se înlocuiește AB=16\displaystyle AB=16 în relație pentru a obține o ecuație cu necunoscuta BC\displaystyle BC.
    5⋅16=4BC\displaystyle 5\cdot16=4BC
  3. Se calculează produsul din stânga și se rescrie ecuația.
    80=4BC\displaystyle 80=4BC
  4. Se rezolvă ecuația și se determină lungimea laturii BC\displaystyle BC.
    BC=20\displaystyle BC=20
  5. Se observă că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci BC\displaystyle BC este ipotenuza, iar AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC sunt catete. Se aplică teorema lui Pitagora.
    BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^2=AB^2+AC^2
  6. Se izolează AC2\displaystyle AC^{2} și se înlocuiesc valorile cunoscute AB=16\displaystyle AB=16 și BC=20\displaystyle BC=20 pentru a calcula AC\displaystyle AC.
    AC2=202−162=144, de unde obținem AC=12\displaystyle AC^2=20^2-16^2=144\text{, de unde obținem }AC=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−6(x+y)+14\displaystyle x*y=xy-6(x+y)+14.

Arătați că 0∗2=2\displaystyle 0*2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică valorile care trebuie înlocuite în lege: x=0\displaystyle x=0 și y=2\displaystyle y=2.
    x=0\displaystyle x=0, y=2\displaystyle \ y=2
  2. Se înlocuiesc valorile x=0\displaystyle x=0 și y=2\displaystyle y=2 în formula legii de compoziție x∗y=xy−6(x+y)+14\displaystyle x*y=xy-6(x+y)+14.
    0∗2=0⋅2−6(0+2)+14=\displaystyle 0*2=0\cdot2-6(0+2)+14=
  3. Se calculează suma din paranteză: 0+2=2\displaystyle 0+2=2, iar apoi se efectuează înmulțirile 0⋅2\displaystyle 0\cdot 2 și 6⋅2\displaystyle 6\cdot 2.
    0⋅2−6⋅2+14=0−12+14\displaystyle 0\cdot2-6\cdot2+14=0-12+14
  4. Se efectuează adunările și scăderile rămase pentru a obține rezultatul final.
    =0−12+14=2\displaystyle =0-12+14=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−6(x+y)+14\displaystyle x*y=xy-6(x+y)+14.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție pentru perechea (x,y)\displaystyle (x,y): x∗y=xy−6(x+y)+14\displaystyle x*y=xy-6(x+y)+14, care va fi folosită ca referință pentru comparație.
    x∗y=xy−6(x+y)+14\displaystyle x*y=xy-6(x+y)+14
  2. Pentru a verifica comutativitatea, se calculează y∗x\displaystyle y*x înlocuind în definiție x\displaystyle x cu y\displaystyle y și y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    y∗x=yx−6(y+x)+14\displaystyle y*x=yx-6(y+x)+14
  3. Se folosește faptul că înmulțirea numerelor reale este comutativă (yx=xy\displaystyle yx=xy) și că adunarea este comutativă (y+x=x+y\displaystyle y+x=x+y), pentru a rescrie expresia obținută.
    y∗x=yx−6(y+x)+14=xy−6(x+y)+14=\displaystyle y*x=yx-6(y+x)+14=xy-6(x+y)+14=
  4. Se observă că expresia finală obținută pentru y∗x\displaystyle y*x coincide exact cu expresia definiției lui x∗y\displaystyle x*y, deci cele două rezultate sunt egale.
    xy−6(x+y)+14=x∗y\displaystyle xy-6(x+y)+14=x*y
  5. Deoarece y∗x=x∗y\displaystyle y*x=x*y pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, se concluzionează că legea de compoziție „*” este comutativă.
    =x∗y, deci legea de \displaystyle =x*y\text{, deci legea de }compoziție „*” este \displaystyle \text{compoziție „*” este }comutativa˘\displaystyle \text{comutativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−6(x+y)+14\displaystyle x*y=xy-6(x+y)+14.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∗4=4\displaystyle x*4=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică faptul că trebuie calculat x∗4\displaystyle x*4, adică se înlocuiește y\displaystyle y cu 4\displaystyle 4 în definiție.
    x∗y=xy−6(x+y)+14⇒x∗4=x⋅4−6(x+4)+14\displaystyle x*y=xy-6(x+y)+14\Rightarrow x*4=x\cdot4-6(x+4)+14
  2. Se efectuează înmulțirile și se desface paranteza.
    x∗4=4x−6x−24+14\displaystyle x*4=4x-6x-24+14
  3. Se reduc termenii asemenea pentru a obține forma finală a expresiei x∗4\displaystyle x*4, valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∗4=−2x−10, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*4=-2x-10\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se pune condiția din enunț, x∗4=4\displaystyle x*4=4, folosind expresia obținută anterior.
    −2x−10=4\displaystyle -2x-10=4
  5. Se rezolvă ecuația liniară obținută: se trece −10\displaystyle -10 în membrul drept, se împarte prin −2\displaystyle -2 și se obține valoarea lui x\displaystyle x.
    −2x−10=4⇒−2x=14⇒x=−7\displaystyle -2x-10=4\Rightarrow-2x=14\Rightarrow x=-7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−6(x+y)+14\displaystyle x*y=xy-6(x+y)+14.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale, cu m<n\displaystyle m<n, pentru care (−m)∗(−n)=(m∗n)+36\displaystyle (-m)*(-n)=(m*n)+36.
Vezi rezolvarea
  1. Reformulăm cerința problemei: se cer perechile de numere naturale (m,n)\displaystyle (m,n), cu m<n\displaystyle m<n, pentru care (−m)∗(−n)=m∗n+36\displaystyle (-m)*(-n)=m*n+36.
    (−m)∗(−n)=m∗n+36\displaystyle (-m)*(-n)=m*n+36
  2. Aplicăm definiția legii de compoziție pentru elementele −m\displaystyle -m și −n\displaystyle -n, înlocuind x=−m\displaystyle x=-m și y=−n\displaystyle y=-n în formula x∗y=xy−6(x+y)+14\displaystyle x*y=xy-6(x+y)+14.
    (−m)∗(−n)=mn+6(m+n)+14, pentru orice numere \displaystyle (-m)*(-n)=mn+6(m+n)+14\text{, pentru orice numere }naturale m și n\displaystyle \text{naturale }m\text{ și }n
  3. Aplicăm definiția legii de compoziție pentru elementele m\displaystyle m și n\displaystyle n, înlocuind x=m\displaystyle x=m și y=n\displaystyle y=n în formula x∗y=xy−6(x+y)+14\displaystyle x*y=xy-6(x+y)+14.
    m∗n=mn−6(m+n)+14\displaystyle m*n=mn-6(m+n)+14
  4. Înlocuim expresiile obținute pentru (−m)∗(−n)\displaystyle (-m)*(-n) și m∗n\displaystyle m*n în ecuația (−m)∗(−n)=m∗n+36\displaystyle (-m)*(-n)=m*n+36.
    mn+6(m+n)+14=mn−6(m+n)+14+36\displaystyle mn+6(m+n)+14=mn-6(m+n)+14+36
  5. Reducem termenii mn\displaystyle mn și 14\displaystyle 14, care apar în ambii membri, și trecem termenii cu (m+n)\displaystyle (m+n) în același membru.
    6(m+n)+6(m+n)=36⇔12(m+n)=36\displaystyle 6(m+n)+6(m+n)=36\Leftrightarrow 12(m+n)=36
  6. Împărțim ecuația la 12\displaystyle 12 pentru a obține suma m+n\displaystyle m+n.
    m+n=3\displaystyle m+n=3
  7. Determinăm perechile de numere naturale m\displaystyle m și n\displaystyle n, cu m<n\displaystyle m<n, astfel încât m+n=3\displaystyle m+n=3: posibilitățile sunt m=0,n=3\displaystyle m=0,n=3 și m=1,n=2\displaystyle m=1,n=2 (perechea m=2,n=1\displaystyle m=2,n=1 nu convine deoarece nu respectă m<n\displaystyle m<n, iar m=3,n=0\displaystyle m=3,n=0 nu convine din același motiv).
    (m,n)∈{(0,3),(1,2)}\displaystyle (m,n)\in\{(0,3),(1,2)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−6(x+y)+14\displaystyle x*y=xy-6(x+y)+14.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (1+3x)∗(1−3x)=0\displaystyle (1+3^{x})*(1-3^{x})=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia (1+3x)∗(1−3x)\displaystyle (1+3^{x})*(1-3^{x}) folosind definiția legii de compoziție x∗y=xy−6(x+y)+14\displaystyle x*y=xy-6(x+y)+14, înlocuind x=1+3x\displaystyle x=1+3^{x} și y=1−3x\displaystyle y=1-3^{x}.
    (1+3x)∗(1−3x)=(1+3x)(1−3x)−6[(1+3x)+(1−3x)]+14\displaystyle (1+3^{x})*(1-3^{x})=(1+3^{x})(1-3^{x})-6\left[(1+3^{x})+(1-3^{x})\right]+14
  2. Se calculează produsul (1+3x)(1−3x)\displaystyle (1+3^{x})(1-3^{x}) folosind formula de calcul prescurtat (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}, cu a=1\displaystyle a=1 și b=3x\displaystyle b=3^{x}.
    (1+3x)(1−3x)=1−32x\displaystyle (1+3^{x})(1-3^{x})=1-3^{2x}
  3. Se calculează suma (1+3x)+(1−3x)\displaystyle (1+3^{x})+(1-3^{x}), termenii cu 3x\displaystyle 3^{x} se reduc.
    (1+3x)+(1−3x)=2\displaystyle (1+3^{x})+(1-3^{x})=2
  4. Se înlocuiesc rezultatele obținute în expresia inițială, obținând −6⋅2=−12\displaystyle -6\cdot 2=-12.
    (1+3x)∗(1−3x)=1−32x−12+14\displaystyle (1+3^{x})*(1-3^{x})=1-3^{2x}-12+14
  5. Se reduc termenii numerici (1−12+14=3)\displaystyle (1-12+14=3), obținându-se expresia finală, valabilă pentru orice număr real x.
    (1+3x)∗(1−3x)=−32x+3, pentru orice numa˘r real x\displaystyle (1+3^{x})*(1-3^{x})=-3^{2x}+3\text{, pentru orice număr real }x
  6. Se pune condiția ca expresia obținută să fie egală cu 0 și se rezolvă ecuația exponențială rezultată, scriind 3 ca 31\displaystyle 3^{1}, astfel încât bazele fiind egale, exponenții trebuie să fie egali.
    −32x+3=0⇔32x=3, de unde obținem x=12\displaystyle -3^{2x}+3=0\Leftrightarrow3^{2x}=3\text{, de unde obținem }x=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−6(x+y)+14\displaystyle x*y=xy-6(x+y)+14.

Arătați că x∗1x≤3\displaystyle x*\dfrac{1}{x}\leq3, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se aplică definiția legii de compoziție pentru elementele x\displaystyle x și 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} (cu x>0\displaystyle x>0, astfel încât 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} să aibă sens): se calculează produsul x⋅1x\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x} și suma x+1x\displaystyle x+\dfrac{1}{x}.
    x∗1x=x⋅1x−6(x+1x)+14=1−6(x+1x)+14\displaystyle x*\dfrac{1}{x}=x\cdot\dfrac{1}{x}-6\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+14=1-6\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+14
  2. Se aduce suma x+1x\displaystyle x+\dfrac{1}{x} la același numitor, obținând x2+1x\displaystyle \dfrac{x^{2}+1}{x}, iar constantele 1\displaystyle 1 și 14\displaystyle 14 se descompun convenabil (15=12+3\displaystyle 15=12+3) pentru a pregăti formarea unui pătrat perfect.
    x∗1x=1−6(x2+1)x+14=12−6(x2+1)x+3=\displaystyle x*\dfrac{1}{x}=1-\dfrac{6(x^2+1)}{x}+14=12-\dfrac{6(x^2+1)}{x}+3=
  3. Se scrie termenul −6x2+1x+12\displaystyle -6\dfrac{x^{2}+1}{x} + 12 sub forma unui numărător care conduce la pătratul perfect (x−1)2\displaystyle (x-1)^{2}: se aduce 12\displaystyle 12 la același numitor (12=12xx\displaystyle 12=\dfrac{12x}{x}) și se grupează termenii.
    12−6(x2+1)x=12x−6x2−6x=−6(x2−2x+1)x=−6(x−1)2x\displaystyle 12-\dfrac{6(x^2+1)}{x}=\dfrac{12x-6x^2-6}{x}=\dfrac{-6(x^2-2x+1)}{x}=-\dfrac{6(x-1)^2}{x}
  4. Se înlocuiește expresia obținută în formula lui x⋅1x\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}, obținându-se forma cu pătrat perfect. Cum x>0\displaystyle x>0 și (x−1)2≥0\displaystyle (x-1)^{2}\geq 0 pentru orice x\displaystyle x real, rezultă că fracția −6(x−1)2x\displaystyle -\dfrac{6(x-1)^{2}}{x} este mai mică sau egală cu zero, deci întreaga expresie este cel mult 3\displaystyle 3.
    =−6(x2−2x+1)x+3=−6(x−1)2x+3≤3, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle =-\dfrac{6(x^2-2x+1)}{x}+3=-\dfrac{6(x-1)^2}{x}+3\leq3\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=(23xx2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}2&3x\\x&2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(M(1))=1\displaystyle \det(M(1))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în matricea M(x)\displaystyle M(x) pentru a obține matricea M(1)\displaystyle M(1).
    M(1)=(23⋅112)=(2312)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}2&3\cdot1\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei M(1)\displaystyle M(1) folosind formula pentru matrice de ordin 2\displaystyle 2 (produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară) și se calculează produsele.
    det⁡(M(1))=∣2312∣=2⋅2−3⋅1=\displaystyle \det(M(1))=\begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}=2\cdot2-3\cdot1=
  3. Se efectuează scăderea numerelor obținute pentru a determina valoarea finală a determinantului.
    =4−3=1\displaystyle =4-3=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=(23xx2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}2&3x\\x&2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că M(1)+2M(4)=3M(3)\displaystyle M(1)+2M(4)=3M(3).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea M(1)\displaystyle M(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în M(x)=(23xx2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}2&3x\\x&2\end{pmatrix}.
    M(1)=(2312)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}
  2. Se scrie matricea M(4)\displaystyle M(4), înlocuind x=4\displaystyle x=4 în M(x)\displaystyle M(x), apoi se înmulțește cu 2 pentru a obține 2M(4)\displaystyle 2M(4).
    M(4)=(21242)⇒2M(4)=(42484)\displaystyle M(4)=\begin{pmatrix}2&12\\4&2\end{pmatrix}\Rightarrow 2M(4)=\begin{pmatrix}4&24\\8&4\end{pmatrix}
  3. Se adună matricele M(1)\displaystyle M(1) și 2M(4)\displaystyle 2M(4), element cu element, pentru a obține suma cerută.
    M(1)+2M(4)=(2312)+(42484)=(62796)=\displaystyle M(1)+2M(4)=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&24\\8&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&27\\9&6\end{pmatrix}=
  4. Se scoate factorul comun 3 din fiecare element al matricei obținute, pentru a pune suma sub forma 3 înmulțit cu o matrice.
    (62796)=3(2932)\displaystyle \begin{pmatrix}6&27\\9&6\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2&9\\3&2\end{pmatrix}
  5. Se observă că matricea din paranteză este chiar M(3)\displaystyle M(3), obținută înlocuind x=3\displaystyle x=3 în M(x)\displaystyle M(x), deci suma este egală cu 3M(3)\displaystyle 3M(3).
    =3(2932)=3M(3)\displaystyle =3\begin{pmatrix}2&9\\3&2\end{pmatrix}=3M(3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=(23xx2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}2&3x\\x&2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care M(2)⋅M(−2)=aI2\displaystyle M(2)\cdot M(-2)=aI_2.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x=2\displaystyle x=2 în matricea M(x)\displaystyle M(x) pentru a obține M(2)\displaystyle M(2).
    M(2)=(23⋅222)=(2622)\displaystyle M(2)=\begin{pmatrix}2&3\cdot2\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&6\\2&2\end{pmatrix}
  2. Se înlocuiește x=−2\displaystyle x=-2 în matricea M(x)\displaystyle M(x) pentru a obține M(−2)\displaystyle M(-2).
    M(−2)=(23⋅(−2)−22)=(2−6−22)\displaystyle M(-2)=\begin{pmatrix}2&3\cdot(-2)\\-2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-6\\-2&2\end{pmatrix}
  3. Se calculează produsul M(2)⋅M(−2)\displaystyle M(2)\cdot M(-2) folosind regula de înmulțire a matricelor: fiecare element al produsului este suma produselor dintre elementele liniei corespunzătoare din prima matrice și elementele coloanei corespunzătoare din a doua matrice.
    M(2)⋅M(−2)=(2⋅2+6⋅(−2)2⋅(−6)+6⋅22⋅2+2⋅(−2)2⋅(−6)+2⋅2)\displaystyle M(2)\cdot M(-2)=\begin{pmatrix}2\cdot2+6\cdot(-2)&2\cdot(-6)+6\cdot2\\2\cdot2+2\cdot(-2)&2\cdot(-6)+2\cdot2\end{pmatrix}
  4. Se efectuează calculele numerice din fiecare element al matricei produs.
    M(2)⋅M(−2)=(4−12−12+124−4−12+4)=(−800−8)\displaystyle M(2)\cdot M(-2)=\begin{pmatrix}4-12&-12+12\\4-4&-12+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8&0\\0&-8\end{pmatrix}
  5. Se observă că matricea obținută este −8\displaystyle -8 înmulțit cu matricea unitate, confirmând rezultatul din barem pentru M(2)\displaystyle M(2), M(−2)\displaystyle M(-2) și produsul lor.
    M(2)=(2622)\displaystyle M(2)=\begin{pmatrix}2&6\\2&2\end{pmatrix}, M(−2)=(2−6−22)\displaystyle \ M(-2)=\begin{pmatrix}2&-6\\-2&2\end{pmatrix}, M(2)⋅M(−2)=(−800−8)=−8I2\displaystyle \ M(2)\cdot M(-2)=\begin{pmatrix}-8&0\\0&-8\end{pmatrix}=-8I_2
  6. Se compară rezultatul obținut, −8I2\displaystyle -8I_2, cu forma cerută aI2\displaystyle aI_2, pentru a determina valoarea lui a\displaystyle a.
    aI2=−8I2, de unde obținem a=−8\displaystyle aI_2=-8I_2\text{, de unde obținem }a=-8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=(23xx2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}2&3x\\x&2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(M(x)+M(−2x))=4\displaystyle \det(M(x)+M(-2x))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea M(x)\displaystyle M(x) și se înlocuiește x\displaystyle x cu −2x\displaystyle -2x pentru a obține M(−2x)\displaystyle M(-2x).
    M(−2x)=(2−6x−2x2)\displaystyle M(-2x)=\begin{pmatrix}2&-6x\\-2x&2\end{pmatrix}
  2. Se adună matricele M(x)\displaystyle M(x) și M(−2x)\displaystyle M(-2x), element cu element.
    M(x)+M(−2x)=(2+23x−6xx−2x2+2)=(4−3x−x4)\displaystyle M(x)+M(-2x)=\begin{pmatrix}2+2&3x-6x\\x-2x&2+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-3x\\-x&4\end{pmatrix}
  3. Se calculează determinantul matricei sumă, folosind formula det⁡=ad−bc\displaystyle \det=ad-bc.
    det⁡(M(x)+M(−2x))=4⋅4−(−3x)⋅(−x)=16−3x2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \det(M(x)+M(-2x))=4\cdot4-(-3x)\cdot(-x)=16-3x^2\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se pune condiția din enunț ca determinantul obținut să fie egal cu 4 și se formează ecuația de rezolvat.
    16−3x2=4\displaystyle 16-3x^2=4
  5. Se rezolvă ecuația obținută pentru x\displaystyle x.
    x=−2 sau x=2\displaystyle x=-2\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=(23xx2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}2&3x\\x&2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care M(x)⋅M(−1)+M(y)=12M(−1)\displaystyle M(x)\cdot M(-1)+M(y)=12M(-1).
Vezi rezolvarea
  1. Se determină matricea M(−1)\displaystyle M(-1) înlocuind x=−1\displaystyle x=-1 în M(x)\displaystyle M(x).
    M(−1)=(2−3−12)\displaystyle M(-1)=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}
  2. Se calculează produsul M(x)⋅M(−1)\displaystyle M(x)\cdot M(-1), înmulțind matricele element cu element (linie din prima matrice cu coloană din a doua).
    M(x)⋅M(−1)=(2⋅2+3x⋅(−1)2⋅(−3)+3x⋅2x⋅2+2⋅(−1)x⋅(−3)+2⋅2)=(4−3x−6+6x2x−2−3x+4)\displaystyle M(x)\cdot M(-1)=\begin{pmatrix}2\cdot2+3x\cdot(-1)&2\cdot(-3)+3x\cdot2\\x\cdot2+2\cdot(-1)&x\cdot(-3)+2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-3x&-6+6x\\2x-2&-3x+4\end{pmatrix}
  3. Se scrie matricea M(y)\displaystyle M(y) înlocuind x\displaystyle x cu y\displaystyle y în M(x)\displaystyle M(x), apoi se adună la produsul obținut anterior, element cu element.
    M(x)⋅M(−1)+M(y)=(4−3x+2−6+6x+3y2x−2+y−3x+4+2)=(6−3x−6+6x+3y2x−2+y−3x+6), pentru orice numere \displaystyle M(x)\cdot M(-1)+M(y)=\begin{pmatrix}4-3x+2&-6+6x+3y\\2x-2+y&-3x+4+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-3x&-6+6x+3y\\2x-2+y&-3x+6\end{pmatrix}\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
  4. Se calculează matricea 12⋅M(−1)\displaystyle 12\cdot M(-1), înmulțind fiecare element al lui M(−1)\displaystyle M(-1) cu 12\displaystyle 12.
    12⋅M(−1)=12(2−3−12)=(24−36−1224)\displaystyle 12\cdot M(-1)=12\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24&-36\\-12&24\end{pmatrix}
  5. Se egalează matricea obținută la pasul anterior cu 12⋅M(−1)\displaystyle 12\cdot M(-1), obținându-se un sistem de ecuații prin egalarea elementelor corespunzătoare.
    {6−3x=24−6+6x+3y=−362x−2+y=−12−3x+6=24\displaystyle \begin{cases}6-3x=24\\-6+6x+3y=-36\\2x-2+y=-12\\-3x+6=24\end{cases}
  6. Se rezolvă sistemul: din prima și a patra ecuație rezultă x=−6\displaystyle x=-6, iar înlocuind în a doua sau a treia ecuație se obține y=2\displaystyle y=2. Se verifică faptul că valorile obținute satisfac toate ecuațiile sistemului.
    (6−3x−6+6x+3y2x−2+y−3x+6)=(24−36−1224), de unde obținem x=−6 și y=2\displaystyle \begin{pmatrix}6-3x&-6+6x+3y\\2x-2+y&-3x+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24&-36\\-12&24\end{pmatrix}\text{, de unde obținem }x=-6\text{ și }y=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=(23xx2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}2&3x\\x&2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că numărul natural N=det⁡(2M(1)+nI2)\displaystyle N=\det(2M(1)+nI_2) este multiplu de 4\displaystyle 4, pentru orice număr natural par n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează M(1)\displaystyle M(1) înlocuind x=1\displaystyle x=1 în matricea M(x)\displaystyle M(x).
    M(1)=(2312)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}
  2. Se calculează 2M(1)\displaystyle 2M(1), înmulțind fiecare element al matricei cu 2\displaystyle 2.
    2M(1)=(4624)\displaystyle 2M(1)=\begin{pmatrix}4&6\\2&4\end{pmatrix}
  3. Se calculează matricea nI2\displaystyle nI_{2}, unde n\displaystyle n este număr natural.
    nI2=(n00n)\displaystyle nI_2=\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix}
  4. Se adună cele două matrice pentru a obține 2M(1)+nI2\displaystyle 2M(1)+nI_{2}, apoi se calculează determinantul acestei matrice, notat N\displaystyle N.
    2M(1)+nI2=(4+n624+n)\displaystyle 2M(1)+nI_2=\begin{pmatrix}4+n&6\\2&4+n\end{pmatrix}, N=n2+8n+4, pentru orice numa˘r \displaystyle \ N=n^2+8n+4\text{, pentru orice număr }natural n\displaystyle \text{natural }n
  5. Se detaliază calculul determinantului: N=(4+n)2−6⋅2=(4+n)2−12=n2+8n+16−12=n2+8n+4\displaystyle N=(4+n)^2-6\cdot2=(4+n)^2-12=n^2+8n+16-12=n^2+8n+4, confirmând rezultatul anterior.
    N=(4+n)2−12=n2+8n+4\displaystyle N=(4+n)^2-12=n^2+8n+4
  6. Se consideră n\displaystyle n par, adică n=2k\displaystyle n=2k, unde k\displaystyle k este număr natural, și se înlocuiește în expresia lui N\displaystyle N.
    N=(2k)2+8(2k)+4=4k2+16k+4\displaystyle N=(2k)^2+8(2k)+4=4k^2+16k+4
  7. Se factorizează expresia obținută, scoțând factorul comun 4\displaystyle 4, pentru a arăta că N\displaystyle N este multiplu de 4\displaystyle 4 pentru orice n\displaystyle n par.
    Pentru n=2k, unde k este numa˘r natural, \displaystyle \text{Pentru }n=2k\text{, unde }k\text{ este număr natural, }obținem N=4(k2+4k+1), deci N este multiplu de 4, pentru orice numa˘r \displaystyle \text{obținem }N=4(k^2+4k+1)\text{, deci }N\text{ este multiplu de }4\text{, pentru orice număr }natural par n\displaystyle \text{natural par }n
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.