Bac matematică M4 pedagogic 2022, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 18+8=52\displaystyle \sqrt{18}+\sqrt{8}=5\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem numărul 18\displaystyle 18 ca produs dintre un pătrat perfect și 2\displaystyle 2: 18=9⋅2=32⋅2\displaystyle 18=9\cdot 2=3^{2}\cdot 2.
    18=32⋅2\displaystyle 18=3^{2}\cdot 2
  2. Scoatem factorul 3\displaystyle 3 de sub radical: 18=32⋅2=32\displaystyle \sqrt{18}=\sqrt{3^{2}\cdot 2}=3\sqrt{2}.
    18=32\displaystyle \sqrt{18}=3\sqrt{2}
  3. La fel, 8=4⋅2=22⋅2\displaystyle 8=4\cdot 2=2^{2}\cdot 2, deci 8=22⋅2=22\displaystyle \sqrt{8}=\sqrt{2^{2}\cdot 2}=2\sqrt{2}.
    8=22\displaystyle \sqrt{8}=2\sqrt{2}
  4. Înlocuim în suma din enunț: 18+8=32+22\displaystyle \sqrt{18}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}. Termenii sunt radicali asemenea, deci adunăm coeficienții: (3+2)2=52\displaystyle (3+2)\sqrt{2}=5\sqrt{2}, ceea ce trebuia demonstrat.
    18+8=32+22=52\displaystyle \sqrt{18}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−2\displaystyle f(x)=3x-2. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)−f(2)=12\displaystyle f(a)-f(2)=12.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în f(x)=3x−2\displaystyle f(x)=3x-2 și obținem f(a)=3a−2\displaystyle f(a)=3a-2.
    f(a)=3a−2\displaystyle f(a)=3a-2
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2: f(2)=3⋅2−2=6−2=4\displaystyle f(2)=3\cdot 2-2=6-2=4.
    f(2)=3⋅2−2=4\displaystyle f(2)=3\cdot 2-2=4
  3. Înlocuim în f(a)−f(2)=12\displaystyle f(a)-f(2)=12 și obținem 3a−2−4=12\displaystyle 3a-2-4=12.
    3a−2−4=12\displaystyle 3a-2-4=12
  4. Reducem termenii constanți: 3a−6=12\displaystyle 3a-6=12.
    3a−6=12\displaystyle 3a-6=12
  5. Adunăm 6\displaystyle 6 în ambii membri: 3a=18\displaystyle 3a=18. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem a=6\displaystyle a=6.
    3a=18⇒a=6\displaystyle 3a=18\Rightarrow a=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
După o reducere cu 20%\displaystyle 20\% prețul unui obiect scade cu 28\displaystyle 28 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm prețul inițial cu x\displaystyle x lei. Reducerea de 20%\displaystyle 20\% din preț înseamnă o scădere de 28\displaystyle 28 de lei.
    20%⋅x=28\displaystyle 20\%\cdot x=28
  2. Scriem procentul ca fracție: 20100=15\displaystyle \dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}. Ecuația devine 20100⋅x=28\displaystyle \dfrac{20}{100}\cdot x=28, deci x5=28\displaystyle \dfrac{x}{5}=28.
    20100⋅x=28 de lei, deci x5=28 de lei\displaystyle \frac{20}{100}\cdot x=28\text{ de lei, deci }\frac{x}{5}=28\text{ de lei}
  3. Înmulțim ambii membri cu 5\displaystyle 5: x=28⋅5=140\displaystyle x=28\cdot 5=140. Prețul inițial al obiectului este de 140\displaystyle 140 de lei.
    x=140 de lei\displaystyle x=140\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 42x−1=64\displaystyle 4^{2x-1}=64.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 64\displaystyle 64 se poate scrie ca putere a lui 4\displaystyle 4: 43=4⋅4⋅4=64\displaystyle 4^{3}=4\cdot 4\cdot 4=64.
    64=43\displaystyle 64=4^{3}
  2. Înlocuim 64\displaystyle 64 cu 43\displaystyle 4^{3} în ecuație, deci ambele părți au aceeași bază 4\displaystyle 4: 42x−1=43\displaystyle 4^{2x-1}=4^{3}.
    42x−1=43\displaystyle 4^{2x-1}=4^{3}
  3. Funcția exponențială cu baza 4\displaystyle 4 este injectivă, deci egalăm exponenții: 2x−1=3\displaystyle 2x-1=3.
    2x−1=3\displaystyle 2x-1=3
  4. Adunăm 1\displaystyle 1 la ambele părți: 2x=4\displaystyle 2x=4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=2\displaystyle x=2.
    2x−1=3\displaystyle 2x-1=3, x=2\displaystyle \ x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctul A(2,3)\displaystyle A(2,3) și dreapta d\displaystyle d de ecuație y=2x+1\displaystyle y=2x+1. Determinați ecuația dreptei ce trece prin punctul A\displaystyle A și este perpendiculară pe dreapta d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta d\displaystyle d are ecuația y=2x+1\displaystyle y=2x+1, scrisă sub forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n. Coeficientul lui x\displaystyle x este panta, deci md=2\displaystyle m_d=2.
    md=2\displaystyle m_d=2
  2. Două drepte sunt perpendiculare când produsul pantelor este −1\displaystyle -1, adică m⋅md=−1\displaystyle m\cdot m_d=-1. Rezultă m⋅2=−1\displaystyle m\cdot 2=-1, deci m=−1md\displaystyle m=-\dfrac{1}{m_d}.
    m=−12\displaystyle m=-\frac{1}{2}
  3. Dreapta trece prin A(2,3)\displaystyle A(2,3) și are panta m=−12\displaystyle m=-\dfrac{1}{2}, deci ecuația ei este y−3=−12(x−2)\displaystyle y-3=-\dfrac{1}{2}(x-2).
    y−3=−12(x−2)\displaystyle y-3=-\frac{1}{2}(x-2)
  4. Înmulțim cu 2\displaystyle 2: 2(y−3)=−(x−2)\displaystyle 2(y-3)=-(x-2), adică 2y−6=−x+2\displaystyle 2y-6=-x+2. Mutăm termenii în stânga: x+2y−6−2=0\displaystyle x+2y-6-2=0.
    x+2y−8=0\displaystyle x+2y-8=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A cu măsura unghiului B\displaystyle B de 30∘\displaystyle 30^\circ și BC=10\displaystyle BC=10. Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC=10\displaystyle BC=10. Cateta AC\displaystyle AC este opusă unghiului B\displaystyle B de 30∘\displaystyle 30^\circ, deci este jumătate din ipotenuză: AC=BC2\displaystyle AC=\dfrac{BC}{2}.
    AC=BC2=102=5\displaystyle AC=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5
  2. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A: AB2=BC2−AC2\displaystyle AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}.
    AB2=102−52=100−25=75\displaystyle AB^{2}=10^{2}-5^{2}=100-25=75
  3. Extragem rădăcina pătrată, iar cum 75=25⋅3\displaystyle 75=25\cdot 3, scoatem factorul 25\displaystyle 25 de sub radical. Lungimea este pozitivă.
    AB=75=53\displaystyle AB=\sqrt{75}=5\sqrt{3}
  4. Catetele AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC sunt perpendiculare, deci aria este A=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}. Înlocuim valorile găsite.
    AΔABC=5⋅532=2532\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{5\cdot 5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3(x+y)+3+3\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}(x+y)+\sqrt{3}+3.

Arătați că 1∗0=3\displaystyle 1*0=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=0\displaystyle y=0 în definiția legii x∗y=xy−3(x+y)+3+3\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}(x+y)+\sqrt{3}+3.
    1∗0=1⋅0−3(1+0)+3+3\displaystyle 1*0=1\cdot 0-\sqrt{3}(1+0)+\sqrt{3}+3
  2. Calculăm produsul 1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0=0 și suma 1+0=1\displaystyle 1+0=1, deci al doilea termen devine −3⋅1=−3\displaystyle -\sqrt{3}\cdot 1=-\sqrt{3}.
    1∗0=0−3+3+3\displaystyle 1*0=0-\sqrt{3}+\sqrt{3}+3
  3. Termenii −3\displaystyle -\sqrt{3} și +3\displaystyle +\sqrt{3} se reduc, deci rămâne 0+3=3\displaystyle 0+3=3. Așadar 1∗0=3\displaystyle 1*0=3.
    1∗0=0−3+3+3=3\displaystyle 1*0=0-\sqrt{3}+\sqrt{3}+3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3(x+y)+3+3\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}(x+y)+\sqrt{3}+3.

Demonstrați că x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(y-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=xy−3(x+y)+3+3\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}(x+y)+\sqrt{3}+3 și desfacem parantezele: 3(x+y)=3x+3y\displaystyle \sqrt{3}(x+y)=\sqrt{3}x+\sqrt{3}y. Obținem o expresie cu termeni separați.
    x∗y=xy−3x−3y+3+3\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}x-\sqrt{3}y+3+\sqrt{3}
  2. Grupăm termenii: xy−3x\displaystyle xy-\sqrt{3}x nu e potrivit, așa că grupăm xy−3y\displaystyle xy-\sqrt{3}y și −3x+3\displaystyle -\sqrt{3}x+3. Dăm factor comun y\displaystyle y în primul grup, iar în al doilea grup scriem 3=3⋅3\displaystyle 3=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} și dăm factor comun. Mai simplu: grupăm xy−3y\displaystyle xy-\sqrt{3}y ca y(x−3)\displaystyle y(x-\sqrt{3}) și −3x+3\displaystyle -\sqrt{3}x+3 ca −3(x−3)\displaystyle -\sqrt{3}(x-\sqrt{3}). Rămâne termenul 3\displaystyle \sqrt{3}.
    x∗y=y(x−3)−3(x−3)+3\displaystyle x*y=y\left(x-\sqrt{3}\right)-\sqrt{3}\left(x-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}
  3. Dăm factor comun paranteza x−3\displaystyle x-\sqrt{3} și obținem forma cerută. Deci x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(y-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3} pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(y-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3(x+y)+3+3\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}(x+y)+\sqrt{3}+3.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∗x=3\displaystyle x*x=\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub formă factorizată. Dezvoltăm (x−3)(y−3)=xy−3(x+y)+3\displaystyle (x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})=xy-\sqrt{3}(x+y)+3. Adăugând 3\displaystyle \sqrt{3}, obținem forma lui x∗y\displaystyle x*y.
    x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}
  2. Luăm y=x\displaystyle y=x în forma factorizată și obținem expresia lui x∗x\displaystyle x*x.
    x∗x=(x−3)2+3\displaystyle x*x=\left(x-\sqrt{3}\right)^2+\sqrt{3}
  3. Impunem condiția x∗x=3\displaystyle x*x=\sqrt{3}, adică (x−3)2+3=3\displaystyle \left(x-\sqrt{3}\right)^2+\sqrt{3}=\sqrt{3}. Scădem 3\displaystyle \sqrt{3} din ambii membri.
    (x−3)2+3=3, deci (x−3)2=0\displaystyle \left(x-\sqrt{3}\right)^2+\sqrt{3}=\sqrt{3}\text{, deci }\left(x-\sqrt{3}\right)^2=0
  4. Un pătrat este nul doar dacă baza este nulă, deci x−3=0\displaystyle x-\sqrt{3}=0. Rezultă soluția unică a ecuației.
    x=3\displaystyle x=\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3(x+y)+3+3\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}(x+y)+\sqrt{3}+3.

Arătați că e=3+1\displaystyle e=\sqrt{3}+1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Calculăm (x−3)(y−3)=xy−3(x+y)+3\displaystyle (x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})=xy-\sqrt{3}(x+y)+3. Deci legea se scrie ca acest produs plus 3\displaystyle \sqrt{3}.
    x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(y-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}
  2. Elementul neutru trebuie să verifice x∗e=x\displaystyle x*e=x și e∗x=x\displaystyle e*x=x pentru orice x\displaystyle x real. Verificăm mai întâi x∗e\displaystyle x*e cu e=3+1\displaystyle e=\sqrt{3}+1, folosind forma factorizată. Diferența e−3\displaystyle e-\sqrt{3} este 1\displaystyle 1.
    x∗(3+1)=(x−3)(3+1−3)+3=(x−3)⋅1+3=x\displaystyle x*\left(\sqrt{3}+1\right)=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+1-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}=\left(x-\sqrt{3}\right)\cdot 1+\sqrt{3}=x
  3. Legea este comutativă, dar verificăm direct și în cealaltă ordine: e∗x\displaystyle e*x, cu aceeași factorizare. Din nou, e−3=1\displaystyle e-\sqrt{3}=1, deci rămâne x−3+3=x\displaystyle x-\sqrt{3}+\sqrt{3}=x. Cum ambele egalități sunt adevărate pentru orice x\displaystyle x real, e\displaystyle e este elementul neutru.
    (3+1)∗x=(3+1−3)(x−3)+3=x\displaystyle \left(\sqrt{3}+1\right)*x=\left(\sqrt{3}+1-\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}=x, deci e=3+1 este elementul neutru\displaystyle \ \text{deci }e=\sqrt{3}+1\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3(x+y)+3+3\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}(x+y)+\sqrt{3}+3.

Arătați că 3∗x=3\displaystyle \sqrt{3}*x=\sqrt{3}, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub formă factorizată. Observăm că (x−3)(y−3)=xy−3(x+y)+3\displaystyle (x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})=xy-\sqrt{3}(x+y)+3. Deci x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}.
    x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(y-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}
  2. Înlocuim în forma factorizată x\displaystyle x cu 3\displaystyle \sqrt{3} și y\displaystyle y cu x\displaystyle x. Obținem 3∗x=(3−3)(x−3)+3\displaystyle \sqrt{3}*x=\left(\sqrt{3}-\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}.
    3∗x=(3−3)(x−3)+3\displaystyle \sqrt{3}*x=\left(\sqrt{3}-\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}
  3. Primul factor este 3−3=0\displaystyle \sqrt{3}-\sqrt{3}=0, deci produsul este 0\displaystyle 0 pentru orice x\displaystyle x real. Rămâne doar termenul 3\displaystyle \sqrt{3}, deci 3∗x=3\displaystyle \sqrt{3}*x=\sqrt{3} pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    0⋅(x−3)+3=3\displaystyle 0\cdot\left(x-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}=\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3(x+y)+3+3\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}(x+y)+\sqrt{3}+3.

Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care 3∗4∗5∗…∗2022=n\displaystyle \sqrt{3}*\sqrt{4}*\sqrt{5}*\ldots*\sqrt{2022}=\sqrt{n}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție într-o formă mai comodă. Observăm că (x−3)(y−3)=xy−3(x+y)+3\displaystyle (x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})=xy-\sqrt{3}(x+y)+3, deci x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}.
    x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}
  2. Calculăm 3∗y\displaystyle \sqrt{3}*y pentru orice număr real y\displaystyle y. Primul factor devine 3−3=0\displaystyle \sqrt{3}-\sqrt{3}=0, deci rămâne doar 3\displaystyle \sqrt{3}.
    3∗y=(3−3)(y−3)+3=3\displaystyle \sqrt{3}*y=(\sqrt{3}-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}=\sqrt{3}
  3. Legea este asociativă, deci putem grupa expresia: 3\displaystyle \sqrt{3} se compune cu rezultatul compunerii termenilor de la 4\displaystyle \sqrt{4} până la 2022\displaystyle \sqrt{2022}.
    3∗4∗5∗…∗2022=3∗(4∗5∗…∗2022)\displaystyle \sqrt{3}*\sqrt{4}*\sqrt{5}*\ldots*\sqrt{2022}=\sqrt{3}*\left(\sqrt{4}*\sqrt{5}*\ldots*\sqrt{2022}\right)
  4. Paranteza este un număr real y\displaystyle y, iar la pasul 2 am arătat că 3∗y=3\displaystyle \sqrt{3}*y=\sqrt{3} pentru orice y\displaystyle y. Deci expresia este egală cu 3\displaystyle \sqrt{3}. Din egalitatea cu n\displaystyle \sqrt{n} rezultă n=3\displaystyle n=3.
    3=n ⇒ n=3\displaystyle \sqrt{3}=\sqrt{n}\ \Rightarrow\ n=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1031)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}, B=(10−31)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0\\-3&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡(A)=1\displaystyle \det(A)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordin 2: det⁡(abcd)=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=a\cdot d-b\cdot c. La matricea A\displaystyle A avem a=1\displaystyle a=1, b=0\displaystyle b=0, c=3\displaystyle c=3, d=1\displaystyle d=1.
    a=1\displaystyle a=1, b=0\displaystyle \ b=0, c=3\displaystyle \ c=3, d=1\displaystyle \ d=1
  2. Înlocuim valorile în formulă: produsul elementelor de pe diagonala principală, 1⋅1\displaystyle 1\cdot 1, minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, 3⋅0\displaystyle 3\cdot 0.
    det⁡A=1⋅1−3⋅0\displaystyle \det A=1\cdot 1-3\cdot 0
  3. Calculăm produsele: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, iar 3⋅0=0\displaystyle 3\cdot 0=0. Rămâne 1−0=1\displaystyle 1-0=1, deci determinantul este 1\displaystyle 1, așa cum trebuia arătat.
    det⁡A=1−0=1\displaystyle \det A=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1031)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}, B=(10−31)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0\\-3&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅A−2A=−I2\displaystyle A\cdot A-2A=-I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană: A⋅A=(1031)(1031)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}, unde elementul din colțul stânga jos este 3⋅1+1⋅3=6\displaystyle 3\cdot 1+1\cdot 3=6.
    A⋅A=(1061)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\6&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm 2A\displaystyle 2A, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 2\displaystyle 2.
    2A=(2062)\displaystyle 2A=\begin{pmatrix}2&0\\6&2\end{pmatrix}
  3. Scriem diferența A⋅A−2A\displaystyle A\cdot A-2A folosind rezultatele obținute.
    A⋅A−2A=(1061)−(2062)\displaystyle A\cdot A-2A=\begin{pmatrix}1&0\\6&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\6&2\end{pmatrix}
  4. Scădem elementele corespunzătoare: 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, 0−0=0\displaystyle 0-0=0, 6−6=0\displaystyle 6-6=0, 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1. Obținem matricea −I2\displaystyle -I_2, deci egalitatea este demonstrată.
    (−100−1)=−I2\displaystyle \begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1031)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}, B=(10−31)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0\\-3&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅B=B⋅A=I2\displaystyle A\cdot B=B\cdot A=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B, înmulțind linie cu coloană: fiecare element al produsului este suma produselor elementelor liniei din prima matrice cu cele ale coloanei din a doua matrice.
    A⋅B=(1031)(10−31)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-3&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm pe rând elementele produsului A⋅B\displaystyle A\cdot B. Linia 1 cu coloana 1 dă 1⋅1+0⋅(−3)=1\displaystyle 1\cdot 1+0\cdot(-3)=1. Linia 1 cu coloana 2 dă 1⋅0+0⋅1=0\displaystyle 1\cdot 0+0\cdot 1=0. Linia 2 cu coloana 1 dă 3⋅1+1⋅(−3)=0\displaystyle 3\cdot 1+1\cdot(-3)=0. Linia 2 cu coloana 2 dă 3⋅0+1⋅1=1\displaystyle 3\cdot 0+1\cdot 1=1.
    A⋅B=(103−31)=(1001)=I2\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\3-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  3. Scriem acum produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A, în această ordine a factorilor, deoarece înmulțirea matricelor nu este în general comutativă.
    B⋅A=(10−31)(1031)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\-3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}
  4. Calculăm elementele produsului B⋅A\displaystyle B\cdot A. Linia 1 cu coloana 1 dă 1⋅1+0⋅3=1\displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 3=1. Linia 1 cu coloana 2 dă 1⋅0+0⋅1=0\displaystyle 1\cdot 0+0\cdot 1=0. Linia 2 cu coloana 1 dă (−3)⋅1+1⋅3=0\displaystyle (-3)\cdot 1+1\cdot 3=0. Linia 2 cu coloana 2 dă (−3)⋅0+1⋅1=1\displaystyle (-3)\cdot 0+1\cdot 1=1.
    B⋅A=(10−3+31)=(1001)=I2\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\-3+3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  5. Cele două produse sunt egale cu I2\displaystyle I_2, deci A⋅B=B⋅A=I2\displaystyle A\cdot B=B\cdot A=I_2, ceea ce trebuia arătat.
    A⋅B=B⋅A=I2\displaystyle A\cdot B=B\cdot A=I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1031)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}, B=(10−31)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0\\-3&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care det⁡(A−aI2)=0\displaystyle \det(A-aI_2)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea aI2\displaystyle aI_2: se înmulțește fiecare element al matricei identitate cu a\displaystyle a, deci obținem matricea cu a\displaystyle a pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest.
    aI2=(a00a)\displaystyle aI_2=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}
  2. Scădem matricele element cu element: A−aI2\displaystyle A-aI_2.
    A−aI2=(1−a031−a)\displaystyle A-aI_2=\begin{pmatrix}1-a&0\\3&1-a\end{pmatrix}
  3. Matricea obținută este inferior triunghiulară, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală, care este 0\displaystyle 0 pentru că are un element nul.
    det⁡(A−aI2)=(1−a)(1−a)−0⋅3=(1−a)2\displaystyle \det(A-aI_2)=(1-a)(1-a)-0\cdot 3=(1-a)^2
  4. Egalăm determinantul cu zero: (1−a)2=0\displaystyle (1-a)^2=0. Un pătrat este zero doar când baza este zero, deci 1−a=0\displaystyle 1-a=0, adică a=1\displaystyle a=1.
    (1−a)2=0⇔1−a=0, deci a=1\displaystyle (1-a)^2=0\Leftrightarrow 1-a=0\text{, deci }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1031)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}, B=(10−31)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0\\-3&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care det⁡(m(A+B))=m⋅det⁡(A+B)\displaystyle \det(m(A+B))=m\cdot\det(A+B).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma A+B\displaystyle A+B, adunând element cu element: pe diagonală 1+1=2\displaystyle 1+1=2, iar sub diagonală 3+(−3)=0\displaystyle 3+(-3)=0.
    A+B=(2002)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
  2. Înmulțim matricea A+B\displaystyle A+B cu numărul m\displaystyle m, adică fiecare element se înmulțește cu m\displaystyle m.
    m(A+B)=(2m002m)\displaystyle m(A+B)=\begin{pmatrix}2m&0\\0&2m\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul matricei m(A+B)\displaystyle m(A+B): produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară, adică 2m⋅2m−0⋅0\displaystyle 2m\cdot 2m-0\cdot 0.
    det⁡(m(A+B))=4m2\displaystyle \det(m(A+B))=4m^{2}
  4. Calculăm det⁡(A+B)=2⋅2−0⋅0=4\displaystyle \det(A+B)=2\cdot 2-0\cdot 0=4. Atunci m⋅det⁡(A+B)=4m\displaystyle m\cdot\det(A+B)=4m.
    m⋅det⁡(A+B)=4m\displaystyle m\cdot\det(A+B)=4m
  5. Egalăm cele două expresii: 4m2=4m\displaystyle 4m^{2}=4m. Aducem ecuația la forma 4m2−4m=0\displaystyle 4m^{2}-4m=0 și dăm factor comun: 4m(m−1)=0\displaystyle 4m(m-1)=0. Rezultă m=0\displaystyle m=0 sau m=1\displaystyle m=1.
    4m2=4m⇒4m(m−1)=0⇒m=0 sau m=1\displaystyle 4m^{2}=4m\Rightarrow 4m(m-1)=0\Rightarrow m=0\text{ sau }m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1031)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}, B=(10−31)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0\\-3&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, știind că xA+yB=2I2\displaystyle xA+yB=2I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem egalitatea xA+yB=2I2\displaystyle xA+yB=2I_2 cu matricele date.
    x(1031)+y(10−31)=2(1001)\displaystyle x\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1&0\\-3&1\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  2. Înmulțim fiecare element al lui A\displaystyle A cu x\displaystyle x și fiecare element al lui B\displaystyle B cu y\displaystyle y.
    (x03xx)+(y0−3yy)\displaystyle \begin{pmatrix}x&0\\3x&x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}y&0\\-3y&y\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele element cu element: pe diagonală obținem x+y\displaystyle x+y, iar jos 3x−3y\displaystyle 3x-3y.
    xA+yB=(x+y03x−3yx+y)\displaystyle xA+yB=\begin{pmatrix}x+y&0\\3x-3y&x+y\end{pmatrix}
  4. Egalitatea devine (x+y03x−3yx+y)=(2002)\displaystyle \begin{pmatrix}x+y&0\\3x-3y&x+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}. Două matrici sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale.
    (x+y03x−3yx+y)=(2002)\displaystyle \begin{pmatrix}x+y&0\\3x-3y&x+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
  5. Egalând elementele corespunzătoare, obținem sistemul de ecuații cu necunoscutele x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    {x+y=23x−3y=0\displaystyle \begin{cases}x+y=2\\3x-3y=0\end{cases}
  6. Din 3x−3y=0\displaystyle 3x-3y=0 rezultă x=y\displaystyle x=y. Înlocuind în x+y=2\displaystyle x+y=2 obținem 2x=2\displaystyle 2x=2, deci x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1.
    x=y=1\displaystyle x=y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.