Bac matematică M4 pedagogic 2026, sesiunea I rezervă varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 6(2+36)−36−24=12\displaystyle \sqrt{6}\left(2+3\sqrt{6}\right)-\sqrt{36}-\sqrt{24}=12.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează radicalii: 36=6\displaystyle \sqrt{36} = 6, iar 24\displaystyle \sqrt{24} se descompune ca 4⋅6=26\displaystyle \sqrt{4\cdot 6} = 2\sqrt{6}.
    36=6\displaystyle \sqrt{36}=6, 24=26\displaystyle \ \sqrt{24}=2\sqrt{6}
  2. Se distribuie 6\displaystyle \sqrt{6} în paranteză, înmulțind fiecare termen, și se înlocuiesc radicalii calculați anterior.
    26+6⋅36−6−26\displaystyle 2\sqrt{6}+\sqrt{6}\cdot3\sqrt{6}-6-2\sqrt{6}
  3. Se calculează produsul 6⋅36=3⋅(6)2=3⋅6=18\displaystyle \sqrt{6}\cdot 3\sqrt{6} = 3\cdot (\sqrt{6})^2 = 3\cdot 6 = 18.
    6⋅36=3⋅6=18\displaystyle \sqrt{6}\cdot3\sqrt{6}=3\cdot6=18
  4. Se înlocuiește produsul calculat și se observă că termenii 26\displaystyle 2\sqrt{6} și −26\displaystyle -2\sqrt{6} se reduc.
    26+18−6−26=18−6\displaystyle 2\sqrt{6}+18-6-2\sqrt{6}=18-6
  5. Se efectuează scăderea finală, obținându-se rezultatul cerut.
    18−6=12\displaystyle 18-6=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x+16\displaystyle f(x)=4x+16. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficului funcției f\displaystyle f cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție al graficului funcției cu axa Ox\displaystyle Ox are ordonata egală cu 0\displaystyle 0, deci se pune condiția f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    f(x)=0\displaystyle f(x)=0
  2. Se înlocuiește expresia funcției f(x)=4x+16\displaystyle f(x)=4x+16 în condiția f(x)=0\displaystyle f(x)=0, obținându-se ecuația liniară.
    4x+16=0\displaystyle 4x+16=0
  3. Se trece termenul liber 16\displaystyle 16 în membrul drept al ecuației, schimbându-i semnul.
    4x=−16\displaystyle 4x=-16
  4. Se împarte ecuația prin coeficientul lui x\displaystyle x, adică 4\displaystyle 4, pentru a izola necunoscuta x\displaystyle x.
    x=−164\displaystyle x=\dfrac{-16}{4}
  5. Se efectuează împărțirea și se obține valoarea abscisei punctului de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox.
    x=−4\displaystyle x=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+3x−15=x\displaystyle \sqrt{x^{2}+3x-15}=x.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul este mai mare sau egal cu zero, deci orice soluție trebuie să verifice condiția x≥0\displaystyle x\ge 0. Verificăm la final și că expresia de sub radical este pozitivă.
    x≥0\displaystyle x\ge 0
  2. Ridicăm ecuația la pătrat: (x2+3x−15)2=x2\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+3x-15}\right)^{2}=x^{2}. Rădăcina pătrată dispare.
    x2+3x−15=x2\displaystyle x^{2}+3x-15=x^{2}
  3. Scădem x2\displaystyle x^{2} din ambii membri. Termenii de gradul doi se reduc și rămâne o ecuație de gradul întâi.
    x2+3x−15=x2⇒3x−15=0\displaystyle x^{2}+3x-15=x^{2}\Rightarrow 3x-15=0
  4. Rezolvăm ecuația: 3x=15\displaystyle 3x=15, deci x=153=5\displaystyle x=\dfrac{15}{3}=5.
    x=5\displaystyle x=5
  5. Verificăm în ecuația inițială. Pentru x=5\displaystyle x=5: x2+3x−15=25+15−15=25\displaystyle x^{2}+3x-15=25+15-15=25, iar 25=5=x\displaystyle \sqrt{25}=5=x. Condiția x≥0\displaystyle x\ge 0 este îndeplinită, deci x=5\displaystyle x=5 este soluție.
    x=5, care convine\displaystyle x=5\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={0,1,2,…,9}\displaystyle A=\{0,1,2,\ldots,9\}, n3\displaystyle n^{3} să fie număr natural de două cifre.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină numărul de cazuri posibile, adică numărul de elemente ale mulțimii A\displaystyle A.
    A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, deci ∣A∣=10\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\text{, deci } |A|=10
  2. Se calculează cubul fiecărui element din A\displaystyle A pentru a vedea câte cifre are.
    03=0\displaystyle 0^3=0, 13=1\displaystyle \ 1^3=1, 23=8\displaystyle \ 2^3=8, 33=27\displaystyle \ 3^3=27, 43=64\displaystyle \ 4^3=64, 53=125\displaystyle \ 5^3=125, 63=216\displaystyle \ 6^3=216, 73=343\displaystyle \ 7^3=343, 83=512\displaystyle \ 8^3=512, 93=729\displaystyle \ 9^3=729
  3. Se identifică valorile lui n\displaystyle n pentru care n3\displaystyle n^{3} are exact două cifre (este cuprins între 10\displaystyle 10 și 99\displaystyle 99).
    n3∈{10,11,…,99}⇒n∈{3,4}, deoarece 33=27 și 43=64\displaystyle n^3\in\{10,11,\ldots,99\}\Rightarrow n\in\{3,4\}\text{, deoarece } 3^3=27\text{ și } 4^3=64
  4. Se numără cazurile favorabile obținute.
    Numa˘rul cazurilor \displaystyle \text{Numărul cazurilor }favorabile este 2\displaystyle \text{favorabile este } 2
  5. Se calculează probabilitatea ca raport dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.
    p=210=15\displaystyle p=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,4)\displaystyle A(2,4) și B(5,2)\displaystyle B(5,2). Determinați distanța dintre punctele B\displaystyle B și M\displaystyle M, unde M\displaystyle M este mijlocul segmentului OA\displaystyle OA.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică punctul O\displaystyle O ca fiind originea reperului cartezian, O(0,0)\displaystyle O(0,0), și se scriu coordonatele lui A\displaystyle A.
    O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(2,4)\displaystyle \ A(2,4)
  2. Se aplică formula punctului mijlociu pentru segmentul OA\displaystyle OA: coordonatele lui M\displaystyle M sunt media aritmetică a coordonatelor lui O\displaystyle O și A\displaystyle A.
    M(0+22,0+42)\displaystyle M\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+4}{2}\right)
  3. Se efectuează calculele pentru a obține coordonatele lui M\displaystyle M.
    M(1,2)\displaystyle M(1,2)
  4. Se scrie formula distanței dintre două puncte și se înlocuiesc coordonatele lui B(5,2)\displaystyle B(5,2) și M(1,2)\displaystyle M(1,2).
    BM=(5−1)2+(2−2)2\displaystyle BM=\sqrt{(5-1)^2+(2-2)^2}
  5. Se calculează pătratele diferențelor și se simplifică sub radical.
    BM=16+0=16\displaystyle BM=\sqrt{16+0}=\sqrt{16}
  6. Se extrage radicalul și se obține valoarea finală a distanței BM\displaystyle BM.
    BM=4\displaystyle BM=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 3sin⁡30∘+2cos⁡60∘−sin⁡60∘=1\displaystyle \sqrt{3}\sin 30^{\circ}+2\cos 60^{\circ}-\sin 60^{\circ}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia dată și se identifică valorile trigonometrice necesare pentru unghiurile de 30∘\displaystyle 30^{\circ} și 60∘\displaystyle 60^{\circ}.
    3sin⁡30∘+2cos⁡60∘−sin⁡60∘\displaystyle \sqrt{3}\sin 30^{\circ}+2\cos 60^{\circ}-\sin 60^{\circ}
  2. Se folosesc valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 30∘\displaystyle 30^{\circ} și 60∘\displaystyle 60^{\circ}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}, cos⁡60∘=12\displaystyle \ \cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}, sin⁡60∘=32\displaystyle \ \sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. Se înlocuiesc aceste valori în expresia dată.
    3⋅12+2⋅12−32\displaystyle \sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{2}+2\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  4. Se efectuează înmulțirile din fiecare termen.
    32+1−32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}+1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  5. Se observă că termenii care conțin radical se reduc, deoarece sunt egali și cu semne opuse.
    32−32+1=0+1\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1=0+1
  6. Se efectuează calculul final și se obține rezultatul cerut, confirmând egalitatea din enunț.
    0+1=1\displaystyle 0+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy4+8−x−y\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{4}+8-x-y.

Arătați că 1∗4=4\displaystyle 1*4=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiesc x=1\displaystyle x=1 și y=4\displaystyle y=4 în definiția legii de compoziție date.
    1∗4=1⋅44+8−1−4=\displaystyle 1*4=\dfrac{1\cdot4}{4}+8-1-4=
  2. Se calculează produsul de la numărător și se simplifică fracția.
    1⋅44=44=1\displaystyle \dfrac{1\cdot4}{4}=\dfrac{4}{4}=1
  3. Se calculează diferența numerelor rămase din expresie.
    8−1−4=3\displaystyle 8-1-4=3
  4. Se adună rezultatele obținute la pașii anteriori pentru a obține valoarea finală.
    1+3=4\displaystyle 1+3=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy4+8−x−y\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{4}+8-x-y.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∗5=6\displaystyle x*5=6.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție x∗y\displaystyle x*y cu y\displaystyle y înlocuit prin 5\displaystyle 5, folosind definiția dată.
    x∗5=x⋅54+8−x−5\displaystyle x*5=\dfrac{x\cdot 5}{4}+8-x-5
  2. Se grupează termenii care conțin x\displaystyle x și se calculează termenii constanți.
    x∗5=5x4−x+8−5=5x−4x4+3\displaystyle x*5=\dfrac{5x}{4}-x+8-5=\dfrac{5x-4x}{4}+3
  3. Se simplifică expresia obținută, ajungând la forma finală a legii x∗5\displaystyle x*5.
    x∗5=x4+3, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*5=\dfrac{x}{4}+3\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se pune condiția ca x∗5\displaystyle x*5 să fie egal cu 6\displaystyle 6, obținându-se o ecuație liniară în x\displaystyle x.
    x4+3=6\displaystyle \dfrac{x}{4}+3=6
  5. Se rezolvă ecuația liniară, izolând x\displaystyle x.
    x4=6−3=3⇒x=12\displaystyle \dfrac{x}{4}=6-3=3\Rightarrow x=12
  6. Se scrie soluția finală a ecuației.
    x4+3=6⇒x=12\displaystyle \dfrac{x}{4}+3=6\Rightarrow x=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy4+8−x−y\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{4}+8-x-y.

Arătați că x∗y=14(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=\dfrac{1}{4}(x-4)(y-4)+4, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție conform definiției date.
    x∗y=xy4+8−x−y\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{4}+8-x-y
  2. Se grupează termenii care conțin produsul și variabilele, scoțând factor comun 14\displaystyle \dfrac{1}{4} din primii trei termeni.
    x∗y=14(xy−4x−4y)+8\displaystyle x*y=\dfrac{1}{4}(xy-4x-4y)+8
  3. Se adaugă și se scade 16 în interiorul parantezei, pentru a putea forma ulterior un produs de tip (x−4)(y−4)\displaystyle (x-4)(y-4), ajustând corespunzător constanta din afara parantezei.
    x∗y=14(xy−4x−4y+16−16)+8=14(xy−4x−4y+16)−4+8\displaystyle x*y=\dfrac{1}{4}(xy-4x-4y+16-16)+8=\dfrac{1}{4}(xy-4x-4y+16)-4+8
  4. Se reunesc constantele −4\displaystyle -4 și 8\displaystyle 8, obținându-se forma cerută de barem pentru numărător.
    x∗y=14(xy−4x−4y+16)+4=\displaystyle x*y=\dfrac{1}{4}(xy-4x-4y+16)+4=
  5. Se grupează termenii din interiorul parantezei astfel: primii doi termeni (xy\displaystyle xy și −4x\displaystyle -4x) au factor comun x\displaystyle x, iar ultimii doi termeni (−4y\displaystyle -4y și +16\displaystyle +16) au factor comun −4\displaystyle -4.
    xy−4x−4y+16=x(y−4)−4(y−4)\displaystyle xy-4x-4y+16=x(y-4)-4(y-4)
  6. Se scoate factorul comun (y−4)\displaystyle (y-4) din cei doi termeni obținuți, rezultând forma factorizată, iar apoi se scrie expresia finală a legii de compoziție.
    =14(x(y−4)−4(y−4))+4=14(x−4)(y−4)+4\displaystyle =\dfrac{1}{4}\left(x(y-4)-4(y-4)\right)+4=\dfrac{1}{4}(x-4)(y-4)+4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy4+8−x−y\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{4}+8-x-y.

Arătați că, dacă x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale pentru care x∗(y+1)=(x−1)∗y\displaystyle x*(y+1)=(x-1)*y, atunci x+y=8\displaystyle x+y=8.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub formă factorizată. Avem x∗y=xy−4x−4y+324\displaystyle x*y=\dfrac{xy-4x-4y+32}{4}, iar xy−4x−4y+32=(x−4)(y−4)+16\displaystyle xy-4x-4y+32=(x-4)(y-4)+16, deci x∗y=14(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=\dfrac{1}{4}(x-4)(y-4)+4.
    x∗y=14(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=\dfrac{1}{4}(x-4)(y-4)+4
  2. Calculăm x∗(y+1)\displaystyle x*(y+1), înlocuind y\displaystyle y cu y+1\displaystyle y+1: factorii devin x−4\displaystyle x-4 și y+1−4=y−3\displaystyle y+1-4=y-3. Apoi calculăm (x−1)∗y\displaystyle (x-1)*y, înlocuind x\displaystyle x cu x−1\displaystyle x-1: factorii devin x−1−4=x−5\displaystyle x-1-4=x-5 și y−4\displaystyle y-4.
    x∗(y+1)=14(x−4)(y−3)+4\displaystyle x*(y+1)=\dfrac{1}{4}(x-4)(y-3)+4, (x−1)∗y=14(x−5)(y−4)+4\displaystyle \ (x-1)*y=\dfrac{1}{4}(x-5)(y-4)+4
  3. Egalăm cele două expresii. Scădem 4\displaystyle 4 din ambii membri și înmulțim cu 4\displaystyle 4, obținând (x−4)(y−3)=(x−5)(y−4)\displaystyle (x-4)(y-3)=(x-5)(y-4).
    (x−4)(y−3)=(x−5)(y−4)\displaystyle (x-4)(y-3)=(x-5)(y-4)
  4. Desfacem parantezele: membrul stâng devine xy−3x−4y+12\displaystyle xy-3x-4y+12, iar cel drept xy−4x−5y+20\displaystyle xy-4x-5y+20. Termenul xy\displaystyle xy se reduce, iar mutând termenii în același membru obținem x+y=8\displaystyle x+y=8.
    xy−3x−4y+12=xy−4x−5y+20⇒x+y=8\displaystyle xy-3x-4y+12=xy-4x-5y+20\Rightarrow x+y=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy4+8−x−y\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{4}+8-x-y.

Arătați că, dacă x∈[4,+∞)\displaystyle x\in[4,+\infty) și y∈[4,+∞)\displaystyle y\in[4,+\infty), atunci x∗y∈[4,+∞)\displaystyle x*y\in[4,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la legea de compoziție dată și încercăm să o scriem sub o formă factorizată, care să pună în evidență expresii de tipul (x−4)\displaystyle (x-4) și (y−4)\displaystyle (y-4).
    x∗y=xy4+8−x−y\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{4}+8-x-y
  2. Dezvoltăm produsul (x−4)(y−4)\displaystyle (x-4)(y-4) pentru a verifica legătura cu expresia lui x∗y\displaystyle x*y.
    (x−4)(y−4)=xy−4x−4y+16\displaystyle (x-4)(y-4)=xy-4x-4y+16
  3. Împărțim relația obținută la 4\displaystyle 4 și adunăm 4\displaystyle 4, pentru a reconstitui exact forma lui x∗y\displaystyle x*y.
    14(x−4)(y−4)+4=xy4−x−y+4+4=xy4+8−x−y=x∗y\displaystyle \dfrac{1}{4}(x-4)(y-4)+4=\dfrac{xy}{4}-x-y+4+4=\dfrac{xy}{4}+8-x-y=x*y
  4. Ținem cont de ipoteza problemei, conform căreia x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale cu x≥4\displaystyle x\geq4 și y≥4\displaystyle y\geq4. Scăzând 4\displaystyle 4 din fiecare inegalitate, obținem semnul celor doi factori, iar produsul a două numere nenegative este nenegativ.
    x−4≥0\displaystyle x-4\geq0, y−4≥0⇒(x−4)(y−4)≥0\displaystyle \ y-4\geq0\Rightarrow (x-4)(y-4)\geq0
  5. Folosim identitatea stabilită anterior pentru x∗y\displaystyle x*y și înlocuim faptul că (x−4)(y−4)≥0\displaystyle (x-4)(y-4)\geq0. Cum 14(x−4)(y−4)≥0\displaystyle \dfrac{1}{4}(x-4)(y-4)\geq0, adunând 4\displaystyle 4 în ambii membri obținem că x∗y\displaystyle x*y este cel puțin 4\displaystyle 4, deci valorile lui x∗y\displaystyle x*y aparțin intervalului [4,+∞)\displaystyle [4,+\infty).
    14(x−4)(y−4)+4≥4⇒x∗y∈[4,+∞)\displaystyle \dfrac{1}{4}(x-4)(y-4)+4\geq4\Rightarrow x*y\in[4,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy4+8−x−y\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{4}+8-x-y.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale pentru care 4m∗(n+1)=(22m−1)∗n\displaystyle 4^{m}*(n+1)=\left(2^{2m}-1\right)*n.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit egalitatea cerută, folosind legea de compoziție dată, notând a=4m\displaystyle a=4^{m} pentru simplificarea calculului: se calculează a∗(n+1)\displaystyle a\ast (n+1) și (a−1)∗n\displaystyle (a-1)\ast n conform formulei x∗y=xy4+8−x−y\displaystyle x\ast y=\dfrac{xy}{4}+8-x-y.
    a∗(n+1)=a(n+1)4+8−a−(n+1)=an4−3a4+7−n\displaystyle a*(n+1)=\dfrac{a(n+1)}{4}+8-a-(n+1)=\dfrac{an}{4}-\dfrac{3a}{4}+7-n
  2. Se calculează în mod similar și membrul drept al egalității, (a−1)∗n\displaystyle (a-1)\ast n, folosind aceeași definiție a legii de compoziție.
    (a−1)∗n=(a−1)n4+8−(a−1)−n=an4−n4+9−a−n\displaystyle (a-1)*n=\dfrac{(a-1)n}{4}+8-(a-1)-n=\dfrac{an}{4}-\dfrac{n}{4}+9-a-n
  3. Se egalează cele două expresii obținute (deoarece 4m∗(n+1)=(4m−1)∗n\displaystyle 4^{m}\ast (n+1)=(4^{m}-1)\ast n) și se reduc termenii identici (an4\displaystyle \dfrac{an}{4} apare în ambii membri, la fel și termenul −n\displaystyle -n), obținându-se o ecuație simplificată.
    an4−3a4+7−n=an4−n4+9−a−n⇒−3a4+7=−n4+9−a\displaystyle \dfrac{an}{4}-\dfrac{3a}{4}+7-n=\dfrac{an}{4}-\dfrac{n}{4}+9-a-n\Rightarrow -\dfrac{3a}{4}+7=-\dfrac{n}{4}+9-a
  4. Se aduc toți termenii care conțin a\displaystyle a în membrul stâng, se amplifică ecuația cu 4\displaystyle 4 pentru a elimina numitorii, și se revine la notația inițială a=4m\displaystyle a=4^{m}, obținându-se ecuația finală simplificată în m\displaystyle m și n\displaystyle n.
    −3a4+7=−n4+9−a⇒a4+7=−n4+9⇒a+28=−n+36⇒a+n=8⇒4m+n=8\displaystyle -\dfrac{3a}{4}+7=-\dfrac{n}{4}+9-a\Rightarrow \dfrac{a}{4}+7=-\dfrac{n}{4}+9\Rightarrow a+28=-n+36\Rightarrow a+n=8\Rightarrow 4^{m}+n=8
  5. Se caută soluțiile naturale ale ecuației 4m+n=8\displaystyle 4^{m}+n=8, luând valori naturale succesive pentru m\displaystyle m (m≥0\displaystyle m\geq 0) și verificând dacă n=8−4m\displaystyle n=8-4^{m} este număr natural (n≥0\displaystyle n\geq 0).
    m=0⇒40=1⇒n=7;m=1⇒41=4⇒n=4;m=2⇒42=16>8, deci nu convine\displaystyle m=0\Rightarrow 4^{0}=1\Rightarrow n=7;\quad m=1\Rightarrow 4^{1}=4\Rightarrow n=4;\quad m=2\Rightarrow 4^{2}=16>8\text{, deci nu convine}
  6. Pentru m≥2\displaystyle m\geq 2, 4m\displaystyle 4^{m} depășește 8\displaystyle 8, deci n\displaystyle n ar deveni negativ, ceea ce contrazice condiția ca n\displaystyle n să fie număr natural. Rămân astfel doar soluțiile găsite pentru m=0\displaystyle m=0 și m=1\displaystyle m=1, iar perechile (m,n)\displaystyle (m,n) care verifică ecuația inițială sunt cele scrise mai jos.
    (m,n)∈{(0,7),(1,4)}\displaystyle (m,n)\in\{(0,7),(1,4)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(964−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}9&6\\4&-1\end{pmatrix} și B(x)=(x+232x−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+2&3\\2&x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(B(4))=6\displaystyle \det(B(4))=6.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea B(x)\displaystyle B(x) și se înlocuiește x\displaystyle x cu 4\displaystyle 4 în fiecare element al matricei.
    B(x)=(x+232x−2)⇒B(4)=(4+2324−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+2&3\\2&x-2\end{pmatrix}\Rightarrow B(4)=\begin{pmatrix}4+2&3\\2&4-2\end{pmatrix}
  2. Se simplifică elementele matricei obținute prin efectuarea calculelor din fiecare poziție.
    B(4)=(6322)\displaystyle B(4)=\begin{pmatrix}6&3\\2&2\end{pmatrix}
  3. Se aplică formula determinantului pentru o matrice 2×2\displaystyle 2\times 2, det⁡=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det=a\cdot d-b\cdot c, folosind elementele matricei B(4)\displaystyle B(4).
    det⁡(B(4))=6⋅2−3⋅2=\displaystyle \det(B(4))=6\cdot2-3\cdot2=
  4. Se efectuează înmulțirile și scăderea pentru a obține valoarea finală a determinantului.
    12−6=6\displaystyle 12-6=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(964−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}9&6\\4&-1\end{pmatrix} și B(x)=(x+232x−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+2&3\\2&x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că 2B(3)+B(6)=3B(4)\displaystyle 2B(3)+B(6)=3B(4).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricea B(3)\displaystyle B(3) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în B(x)\displaystyle B(x).
    B(3)=(3+2323−2)=(5321)\displaystyle B(3)=\begin{pmatrix}3+2&3\\2&3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\\2&1\end{pmatrix}
  2. Se calculează matricea 2B(3)\displaystyle 2B(3), înmulțind fiecare element al lui B(3)\displaystyle B(3) cu 2\displaystyle 2.
    2B(3)=2(5321)=(10642)\displaystyle 2B(3)=2\begin{pmatrix}5&3\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&6\\4&2\end{pmatrix}
  3. Se calculează matricea B(6)\displaystyle B(6) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 6\displaystyle 6 în B(x)\displaystyle B(x).
    B(6)=(6+2326−2)=(8324)\displaystyle B(6)=\begin{pmatrix}6+2&3\\2&6-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&3\\2&4\end{pmatrix}
  4. Se adună matricele 2B(3)\displaystyle 2B(3) și B(6)\displaystyle B(6), obținându-se rezultatul cerut de barem.
    2B(3)+B(6)=(10642)+(8324)=(18966)\displaystyle 2B(3)+B(6)=\begin{pmatrix}10&6\\4&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}8&3\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18&9\\6&6\end{pmatrix}
  5. Se calculează matricea B(4)\displaystyle B(4) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 4\displaystyle 4 în B(x)\displaystyle B(x), pentru a verifica egalitatea cerută.
    B(4)=(4+2324−2)=(6322)\displaystyle B(4)=\begin{pmatrix}4+2&3\\2&4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&3\\2&2\end{pmatrix}
  6. Se înmulțește matricea B(4)\displaystyle B(4) cu 3\displaystyle 3 și se observă că rezultatul coincide cu cel obținut anterior, deci 2B(3)+B(6)=3B(4)\displaystyle 2B(3)+B(6)=3B(4).
    3B(4)=3(6322)=(18966)=2B(3)+B(6)\displaystyle 3B(4)=3\begin{pmatrix}6&3\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18&9\\6&6\end{pmatrix}=2B(3)+B(6)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(964−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}9&6\\4&-1\end{pmatrix} și B(x)=(x+232x−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+2&3\\2&x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care B(−2)⋅B(5)=aB(0)\displaystyle B(-2)\cdot B(5)=aB(0).
Vezi rezolvarea
  1. Se determină matricea B(−2)\displaystyle B(-2) înlocuind x=−2\displaystyle x = -2 în definiția lui B(x)\displaystyle B(x).
    B(−2)=(−2+232−2−2)=(032−4)\displaystyle B(-2)=\begin{pmatrix}-2+2&3\\2&-2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&3\\2&-4\end{pmatrix}
  2. Se determină matricea B(5)\displaystyle B(5) înlocuind x=5\displaystyle x = 5 în definiția lui B(x)\displaystyle B(x).
    B(5)=(5+2325−2)=(7323)\displaystyle B(5)=\begin{pmatrix}5+2&3\\2&5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&3\\2&3\end{pmatrix}
  3. Se determină matricea B(0)\displaystyle B(0) înlocuind x=0\displaystyle x = 0 în definiția lui B(x)\displaystyle B(x), matrice care va fi folosită ca referință.
    B(0)=(0+2320−2)=(232−2)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}0+2&3\\2&0-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\2&-2\end{pmatrix}
  4. Se înmulțesc matricele B(−2)\displaystyle B(-2) și B(5)\displaystyle B(5) folosind regula produsului de matrice (linie ×\displaystyle \times coloană): elementul (1,1)\displaystyle (1,1) este 0⋅7+3⋅2=6\displaystyle 0\cdot 7+3\cdot 2=6, (1,2)\displaystyle (1,2) este 0⋅3+3⋅3=9\displaystyle 0\cdot 3+3\cdot 3=9, (2,1)\displaystyle (2,1) este 2⋅7+(−4)⋅2=6\displaystyle 2\cdot 7+(-4)\cdot 2=6, (2,2)\displaystyle (2,2) este 2⋅3+(−4)⋅3=−6\displaystyle 2\cdot 3+(-4)\cdot 3=-6.
    B(−2)⋅B(5)=(032−4)(7323)=(696−6)\displaystyle B(-2)\cdot B(5)=\begin{pmatrix}0&3\\2&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7&3\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&9\\6&-6\end{pmatrix}
  5. Se scoate factor comun 3\displaystyle 3 din matricea obținută și se observă că matricea rămasă este chiar B(0)\displaystyle B(0), obținând astfel produsul B(−2)⋅B(5)\displaystyle B(-2)\cdot B(5) ca multiplu de B(0)\displaystyle B(0).
    B(−2)⋅B(5)=(696−6)=3(232−2)=3B(0)\displaystyle B(-2)\cdot B(5)=\begin{pmatrix}6&9\\6&-6\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2&3\\2&-2\end{pmatrix}=3B(0)
  6. Din egalitatea B(−2)⋅B(5)=aB(0)=3B(0)\displaystyle B(-2)\cdot B(5)=aB(0)=3B(0), prin identificarea scalarilor care înmulțesc aceeași matrice B(0)\displaystyle B(0), se obține valoarea lui a\displaystyle a.
    aB(0)=3B(0)⇒a=3\displaystyle aB(0)=3B(0)\Rightarrow a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(964−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}9&6\\4&-1\end{pmatrix} și B(x)=(x+232x−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+2&3\\2&x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul întreg m\displaystyle m pentru care det⁡(2B(m)−A)<0\displaystyle \det\left(2B(m)-A\right)<0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea 2B(m)\displaystyle 2B(m) înmulțind fiecare element al lui B(m)\displaystyle B(m) cu 2\displaystyle 2.
    2B(m)=(2m+4642m−4)\displaystyle 2B(m)=\begin{pmatrix}2m+4&6\\4&2m-4\end{pmatrix}
  2. Se scade matricea A\displaystyle A din 2B(m)\displaystyle 2B(m), element cu element.
    2B(m)−A=(2m+4−96−64−42m−4−(−1))\displaystyle 2B(m)-A=\begin{pmatrix}2m+4-9&6-6\\4-4&2m-4-(-1)\end{pmatrix}
  3. Se efectuează calculele din fiecare element, obținându-se matricea 2B(m)−A\displaystyle 2B(m)-A, apoi se calculează determinantul acesteia.
    2B(m)−A=(2m−5002m−3)\displaystyle 2B(m)-A=\begin{pmatrix}2m-5&0\\0&2m-3\end{pmatrix}, det⁡(2B(m)−A)=(2m−5)(2m−3)\displaystyle \ \det(2B(m)-A)=(2m-5)(2m-3)
  4. Se pune condiția ca determinantul să fie negativ și se rezolvă inecuația de gradul al doilea, determinând intervalul soluțiilor.
    (2m−5)(2m−3)<0⇒32<m<52\displaystyle (2m-5)(2m-3)<0\Rightarrow \frac{3}{2}<m<\frac{5}{2}
  5. Se identifică valoarea întreagă a lui m\displaystyle m din intervalul soluțiilor obținut.
    (2m−5)(2m−3)<0⇒m=2\displaystyle (2m-5)(2m-3)<0\Rightarrow m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(964−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}9&6\\4&-1\end{pmatrix} și B(x)=(x+232x−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+2&3\\2&x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați perechile (n,p)\displaystyle (n,p) de numere naturale pentru care B(n)⋅B(−n)=2pI2\displaystyle B(n)\cdot B(-n)=2pI_{2}, unde I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu matricele B(n)\displaystyle B(n) și B(−n)\displaystyle B(-n) înlocuind x\displaystyle x cu n\displaystyle n, respectiv cu −n\displaystyle -n în matricea B(x)\displaystyle B(x).
    B(n)=(n+232n−2), B(−n)=(−n+232−n−2)\displaystyle B(n)=\begin{pmatrix}n+2&3\\2&n-2\end{pmatrix}\text{, }B(-n)=\begin{pmatrix}-n+2&3\\2&-n-2\end{pmatrix}
  2. Se calculează elementul de pe linia 1\displaystyle 1, coloana 1\displaystyle 1 al produsului B(n)⋅B(−n)\displaystyle B(n)\cdot B(-n).
    (n+2)(−n+2)+3⋅2=(4−n2)+6=10−n2\displaystyle (n+2)(-n+2)+3\cdot 2=(4-n^{2})+6=10-n^{2}
  3. Se calculează elementul de pe linia 1\displaystyle 1, coloana 2\displaystyle 2 al produsului B(n)⋅B(−n)\displaystyle B(n)\cdot B(-n).
    (n+2)⋅3+3⋅(−n−2)=3n+6−3n−6=0\displaystyle (n+2)\cdot 3+3\cdot(-n-2)=3n+6-3n-6=0
  4. Se calculează elementul de pe linia 2\displaystyle 2, coloana 1\displaystyle 1 al produsului B(n)⋅B(−n)\displaystyle B(n)\cdot B(-n).
    2⋅(−n+2)+(n−2)⋅2=−2n+4+2n−4=0\displaystyle 2\cdot(-n+2)+(n-2)\cdot 2=-2n+4+2n-4=0
  5. Se calculează elementul de pe linia 2\displaystyle 2, coloana 2\displaystyle 2 al produsului B(n)⋅B(−n)\displaystyle B(n)\cdot B(-n).
    2⋅3+(n−2)(−n−2)=6−(n2−4)=10−n2\displaystyle 2\cdot 3+(n-2)(-n-2)=6-(n^{2}-4)=10-n^{2}
  6. Se adună rezultatele parțiale și se scrie produsul matriceal B(n)⋅B(−n)\displaystyle B(n)\cdot B(-n) sub formă de matrice, obținându-se forma cerută pentru orice număr natural n\displaystyle n.
    B(n)⋅B(−n)=(10−n20010−n2), pentru orice numa˘r \displaystyle B(n)\cdot B(-n)=\begin{pmatrix}10-n^{2}&0\\0&10-n^{2}\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr }natural n\displaystyle \text{natural }n
  7. Se pune condiția ca B(n)⋅B(−n)\displaystyle B(n)\cdot B(-n) să fie egală cu 2p⋅I2\displaystyle 2p\cdot I_2, ceea ce conduce la ecuația 10−n2=2p\displaystyle 10-n^{2}=2p, cu n\displaystyle n și p\displaystyle p numere naturale.
    10−n2=2p, unde n\displaystyle 10-n^{2}=2p\text{, unde }n,p∈N\displaystyle p\in\mathbb{N}
  8. Se impune condiția ca membrul stâng să fie pozitiv, pentru ca 2p\displaystyle 2p să fie un număr natural pozitiv, obținându-se restricția asupra lui n\displaystyle n.
    10−n2>0⇒n2<10⇒n∈{0,1,2,3}\displaystyle 10-n^{2}>0\Rightarrow n^{2}<10\Rightarrow n\in\{0,1,2,3\}
  9. Se verifică fiecare valoare posibilă a lui n\displaystyle n, reținând doar cazurile în care 10−n2\displaystyle 10-n^{2} este număr par (pentru ca p\displaystyle p să fie număr natural).
    n=0⇒10−n2=10=2p⇒p=5; n=2⇒10−n2=6=2p⇒p=3; n=1\displaystyle n=0\Rightarrow 10-n^{2}=10=2p\Rightarrow p=5\text{; }n=2\Rightarrow 10-n^{2}=6=2p\Rightarrow p=3\text{; }n=1,3 nu convin\displaystyle 3\text{ nu convin}
  10. Se centralizează soluțiile obținute pentru perechile (n,p)\displaystyle (n,p) care satisfac ecuația 10−n2=2p\displaystyle 10-n^{2}=2p.
    10−n2=2p⇒(n,p)∈{(0,5),(2,3)}\displaystyle 10-n^{2}=2p\Rightarrow (n,p)\in\{(0,5),(2,3)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(964−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}9&6\\4&-1\end{pmatrix} și B(x)=(x+232x−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+2&3\\2&x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) pentru care B(4)⋅X=2A\displaystyle B(4)\cdot X=2A.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricea B(4)\displaystyle B(4) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 4\displaystyle 4 în B(x)\displaystyle B(x).
    B(4)=(4+2324−2)=(6322)\displaystyle B(4)=\begin{pmatrix}4+2&3\\2&4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&3\\2&2\end{pmatrix}
  2. Se calculează determinantul matricei B(4)\displaystyle B(4) pentru a verifica dacă este inversabilă.
    det⁡(B(4))=6⋅2−3⋅2=12−6=6≠0⇒B(4) este inversabila˘\displaystyle \det(B(4))=6\cdot 2-3\cdot 2=12-6=6\neq 0\Rightarrow B(4)\text{ este inversabilă}
  3. Se calculează matricea 2A\displaystyle 2A, dublând fiecare element al matricei A\displaystyle A.
    2A=(18128−2)\displaystyle 2A=\begin{pmatrix}18&12\\8&-2\end{pmatrix}
  4. Se scrie relația matriceală din care se determină X\displaystyle X, folosind faptul că B(4)\displaystyle B(4) este inversabilă: din ecuația B(4)⋅X=2A\displaystyle B(4)\cdot X=2A se obține X\displaystyle X prin înmulțire la stânga cu inversa lui B(4)\displaystyle B(4).
    X=(B(4))−1⋅2A\displaystyle X=\left(B(4)\right)^{-1}\cdot 2A
  5. Se calculează inversa matricei B(4)\displaystyle B(4) folosind formula pentru matrice 2×2\displaystyle 2\times 2: inversa este adjuncta împărțită la determinant.
    (B(4))−1=16(2−3−26)=(13−12−131)\displaystyle \left(B(4)\right)^{-1}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}2&-3\\-2&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{2}\\-\dfrac{1}{3}&1\end{pmatrix}
  6. Se înmulțește inversa lui B(4)\displaystyle B(4) cu 2A\displaystyle 2A pentru a obține matricea X\displaystyle X, calculând element cu element produsul celor două matrice.
    X=(13−12−131)⋅(18128−2)=(6−44+1−6+8−4−2)\displaystyle X=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{2}\\-\dfrac{1}{3}&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}18&12\\8&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-4&4+1\\-6+8&-4-2\end{pmatrix}
  7. Se simplifică rezultatul final, obținând matricea X\displaystyle X.
    (B(4))−1=(13−12−131)⇒X=(252−6)\displaystyle \left(B(4)\right)^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&-\dfrac{1}{2}\\-\dfrac{1}{3}&1\end{pmatrix}\Rightarrow X=\begin{pmatrix}2&5\\2&-6\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.