Bac matematică M4 pedagogic 2015, sesiunea I varianta 08: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 32−18−2=0\displaystyle \sqrt{32}-\sqrt{18}-\sqrt{2}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem numărul 32\displaystyle 32 ca produs dintre un pătrat perfect și 2\displaystyle 2: 32=16⋅2\displaystyle 32=16\cdot 2. Scoatem factorul 16\displaystyle 16 de sub radical, iar 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4.
    32=16⋅2=42\displaystyle \sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}
  2. Descompunem și numărul 18\displaystyle 18 ca produs dintre un pătrat perfect și 2\displaystyle 2: 18=9⋅2\displaystyle 18=9\cdot 2. Scoatem factorul 9\displaystyle 9 de sub radical, iar 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3.
    18=9⋅2=32\displaystyle \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}
  3. Înlocuim cei doi radicali în expresia dată. Toți termenii conțin 2\displaystyle \sqrt{2}, deci sunt termeni asemenea și îi putem reduce: 4−3−1=0\displaystyle 4-3-1=0.
    42−32−2=(4−3−1)2=0\displaystyle 4\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(4-3-1)\sqrt{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=4−2x\displaystyle g(x)=4-2x.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție a graficelor are coordonatele care verifică ambele ecuații y=f(x)\displaystyle y=f(x) și y=g(x)\displaystyle y=g(x), deci abscisa se află din egalitatea f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x).
    x+1=4−2x\displaystyle x+1=4-2x
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: x+2x=4−1\displaystyle x+2x=4-1. Reducem termenii asemenea.
    3x=3\displaystyle 3x=3
  3. Împărțim ambii membri la 3\displaystyle 3 și obținem abscisa punctului de intersecție.
    x=1\displaystyle x=1
  4. Aflăm ordonata înlocuind x=1\displaystyle x=1 în f\displaystyle f: f(1)=1+1=2\displaystyle f(1)=1+1=2. Verificăm și cu g\displaystyle g: g(1)=4−2⋅1=2\displaystyle g(1)=4-2\cdot 1=2, același rezultat. Punctul de intersecție este (1,2)\displaystyle (1,2).
    x=1 și y=2\displaystyle x=1\text{ și }y=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 55−3x=25\displaystyle 5^{5-3x}=25.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem pe 25\displaystyle 25 ca putere a lui 5\displaystyle 5: 25=52\displaystyle 25=5^{2}.
    25=52\displaystyle 25=5^{2}
  2. Înlocuim în ecuație și obținem puteri cu aceeași bază: 55−3x=52\displaystyle 5^{5-3x}=5^{2}.
    55−3x=52\displaystyle 5^{5-3x}=5^{2}
  3. Funcția exponențială cu baza 5\displaystyle 5 este injectivă, deci egalăm exponenții: 5−3x=2\displaystyle 5-3x=2.
    55−3x=52⇔5−3x=2\displaystyle 5^{5-3x}=5^{2}\Leftrightarrow 5-3x=2
  4. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: −3x=2−5=−3\displaystyle -3x=2-5=-3, deci x=−3−3=1\displaystyle x=\dfrac{-3}{-3}=1. Soluția este x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu cifrele 1,2,3,4\displaystyle 1, 2, 3, 4 și 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de două cifre are forma ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu cifra zecilor a\displaystyle a și cifra unităților b\displaystyle b. Numărul este par exact când cifra unităților este pară. Dintre cifrele 1,2,3,4,5\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, cele pare sunt 2\displaystyle 2 și 4\displaystyle 4.
    b∈{2,4}\displaystyle b\in\{2,4\}
  2. Cifra unităților se poate alege în 2\displaystyle 2 moduri.
    2 moduri\displaystyle 2\text{ moduri}
  3. Cifra zecilor poate fi oricare dintre cele cinci cifre date, deoarece nu se cere ca cifrele să fie distincte. Ea se alege deci în 5\displaystyle 5 moduri.
    a∈{1,2,3,4,5}⇒5 moduri\displaystyle a\in\{1,2,3,4,5\}\Rightarrow 5\text{ moduri}
  4. Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de moduri de alegere a cifrei unităților cu cel al cifrei zecilor. Se pot forma 10\displaystyle 10 numere pare: 12,14,22,24,32,34,42,44,52,54\displaystyle 12, 14, 22, 24, 32, 34, 42, 44, 52, 54.
    2⋅5=10\displaystyle 2\cdot 5=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,3)\displaystyle A(2,3), B(5,3)\displaystyle B(5,3) și C(5,6)\displaystyle C(5,6). Arătați că AB=BC\displaystyle AB=BC.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula distanței dintre două puncte M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2): MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}
  2. Calculăm distanța AB\displaystyle AB, înlocuind coordonatele A(2,3)\displaystyle A(2,3) și B(5,3)\displaystyle B(5,3): AB=(5−2)2+(3−3)2=9+0=3\displaystyle AB=\sqrt{(5-2)^{2}+(3-3)^{2}}=\sqrt{9+0}=3.
    AB=(5−2)2+(3−3)2=9=3\displaystyle AB=\sqrt{(5-2)^{2}+(3-3)^{2}}=\sqrt{9}=3
  3. Calculăm distanța BC\displaystyle BC, înlocuind coordonatele B(5,3)\displaystyle B(5,3) și C(5,6)\displaystyle C(5,6): BC=(5−5)2+(6−3)2=0+9=3\displaystyle BC=\sqrt{(5-5)^{2}+(6-3)^{2}}=\sqrt{0+9}=3.
    BC=(5−5)2+(6−3)2=9=3\displaystyle BC=\sqrt{(5-5)^{2}+(6-3)^{2}}=\sqrt{9}=3
  4. Comparăm cele două distanțe: AB=3\displaystyle AB=3 și BC=3\displaystyle BC=3, deci AB=BC\displaystyle AB=BC.
    BC=3⇒AB=BC\displaystyle BC=3\Rightarrow AB=BC
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡30∘+sin⁡45∘⋅cos⁡45∘=1\displaystyle \sin 30^\circ+\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ=1.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 30∘\displaystyle 30^\circ și 45∘\displaystyle 45^\circ: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, iar sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡45∘=22\displaystyle \ \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în expresia dată: sin⁡30∘+sin⁡45∘⋅cos⁡45∘\displaystyle \sin 30^\circ+\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ.
    12+22⋅22\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. Calculăm produsul fracțiilor: 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2 la numărător și 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4 la numitor, deci 22⋅22=24=12\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
    22⋅22=24=12\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}
  4. Adunăm cele două fracții cu același numitor: 12+12=1\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1, deci egalitatea cerută este adevărată.
    12+22⋅22=12+12=1\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y.

Arătați că 2015∘(−1)=−1\displaystyle 2015\circ(-1)=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y
  2. Înlocuim x=2015\displaystyle x=2015 și y=−1\displaystyle y=-1 în definiție.
    2015∘(−1)=2015⋅(−1)+2015+(−1)\displaystyle 2015\circ(-1)=2015\cdot(-1)+2015+(-1)
  3. Calculăm produsul: 2015⋅(−1)=−2015\displaystyle 2015\cdot(-1)=-2015.
    2015⋅(−1)=−2015\displaystyle 2015\cdot(-1)=-2015
  4. Înlocuim produsul în expresie. Termenii −2015\displaystyle -2015 și 2015\displaystyle 2015 se reduc, deci rămâne −1\displaystyle -1, adică exact valoarea cerută.
    2015∘(−1)=−2015+2015−1=−1\displaystyle 2015\circ(-1)=-2015+2015-1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y.

Demonstrați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este asociativă dacă pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} avem (x∘y)∘z=x∘(y∘z)\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z). Calculăm mai întâi prima grupare. Avem x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y.
    x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y
  2. Aplicăm definiția legii pentru numerele xy+x+y\displaystyle xy+x+y și z\displaystyle z: (xy+x+y)∘z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z\displaystyle (xy+x+y)\circ z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z.
    (xy+x+y)∘z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z\displaystyle (xy+x+y)\circ z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z
  3. Desfacem parantezele: (xy+x+y)z=xyz+xz+yz\displaystyle (xy+x+y)z=xyz+xz+yz. Adunăm termenii rămași și obținem prima grupare.
    (x∘y)∘z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z\displaystyle (x\circ y)\circ z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z
  4. Calculăm acum a doua grupare. Mai întâi, y∘z=yz+y+z\displaystyle y\circ z=yz+y+z.
    y∘z=yz+y+z\displaystyle y\circ z=yz+y+z
  5. Aplicăm definiția legii pentru x\displaystyle x și yz+y+z\displaystyle yz+y+z: x∘(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)\displaystyle x\circ(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z).
    x∘(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)\displaystyle x\circ(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)
  6. Desfacem parantezele: x(yz+y+z)=xyz+xy+xz\displaystyle x(yz+y+z)=xyz+xy+xz. Obținem a doua grupare, care are exact aceiași termeni ca prima (xyz\displaystyle xyz, xy\displaystyle xy, xz\displaystyle xz, yz\displaystyle yz, x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z), doar în altă ordine. Deci cele două grupări coincid pentru orice x,y,z\displaystyle x,y,z reali, adică legea este asociativă.
    x∘(y∘z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+z=(x∘y)∘z\displaystyle x\circ(y\circ z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+z=(x\circ y)\circ z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y.

Verificați dacă e=0\displaystyle e=0 este element neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția elementului neutru: e\displaystyle e este element neutru dacă x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Trebuie deci să verificăm ambele egalități pentru e=0\displaystyle e=0.
    x∘0=0∘x=x\displaystyle x\circ 0=0\circ x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm x∘0\displaystyle x\circ 0 înlocuind y=0\displaystyle y=0 în x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y: termenul x⋅0\displaystyle x\cdot 0 este 0\displaystyle 0, deci rămâne x\displaystyle x.
    x∘0=x⋅0+x+0=x\displaystyle x\circ 0=x\cdot 0+x+0=x
  3. Calculăm 0∘x\displaystyle 0\circ x înlocuind primul termen cu 0\displaystyle 0 și al doilea cu x\displaystyle x: 0⋅x+0+x=x\displaystyle 0\cdot x+0+x=x. Rezultatul coincide cu x∘0\displaystyle x\circ 0, deci egalitățile sunt verificate pentru orice x\displaystyle x real și e=0\displaystyle e=0 este element neutru.
    0∘x=0⋅x+0+x=x=x∘0, deci e=0 este element neutru\displaystyle 0\circ x=0\cdot x+0+x=x=x\circ 0\text{, deci }e=0\text{ este element neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y.

Arătați că x∘x=(x+1)2−1\displaystyle x\circ x=(x+1)^2-1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y pentru y=x\displaystyle y=x, adică înlocuim pe y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    x∘x=x⋅x+x+x\displaystyle x\circ x=x\cdot x+x+x
  2. Calculăm: x⋅x=x2\displaystyle x\cdot x=x^{2} și x+x=2x\displaystyle x+x=2x.
    x∘x=x2+2x\displaystyle x\circ x=x^{2}+2x
  3. Completăm pătratul perfect: adunăm și scădem 1\displaystyle 1, ca să apară x2+2x+1\displaystyle x^{2}+2x+1.
    x2+2x=x2+2x+1−1\displaystyle x^{2}+2x=x^{2}+2x+1-1
  4. Folosim formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1: x2+2x+1=(x+1)2\displaystyle x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}. Rezultă egalitatea cerută, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    x∘x=x2+2x+1−1=(x+1)2−1\displaystyle x\circ x=x^{2}+2x+1-1=(x+1)^{2}-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x∘x∘x=0\displaystyle x\circ x\circ x\circ x=0.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x∘y+1=xy+x+y+1=(x+1)(y+1)\displaystyle x\circ y+1=xy+x+y+1=(x+1)(y+1). Deci x∘y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=(x+1)(y+1)-1.
    x∘y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=(x+1)(y+1)-1
  2. Calculăm x∘x\displaystyle x\circ x: x∘x+1=(x+1)(x+1)\displaystyle x\circ x+1=(x+1)(x+1), deci x∘x=(x+1)2−1\displaystyle x\circ x=(x+1)^{2}-1.
    x∘x=(x+1)2−1\displaystyle x\circ x=(x+1)^{2}-1
  3. Compunem încă o dată cu x\displaystyle x: (x∘x∘x)+1=((x∘x)+1)(x+1)=(x+1)2(x+1)=(x+1)3\displaystyle (x\circ x\circ x)+1=\left((x\circ x)+1\right)(x+1)=(x+1)^{2}(x+1)=(x+1)^{3}, deci x∘x∘x=(x+1)3−1\displaystyle x\circ x\circ x=(x+1)^{3}-1.
    x∘x∘x=(x+1)3−1\displaystyle x\circ x\circ x=(x+1)^{3}-1
  4. Compunem încă o dată: (x∘x∘x∘x)+1=(x+1)3(x+1)=(x+1)4\displaystyle (x\circ x\circ x\circ x)+1=(x+1)^{3}(x+1)=(x+1)^{4}, deci x∘x∘x∘x=(x+1)4−1\displaystyle x\circ x\circ x\circ x=(x+1)^{4}-1.
    x∘x∘x∘x=(x+1)4−1\displaystyle x\circ x\circ x\circ x=(x+1)^{4}-1
  5. Ecuația devine (x+1)4−1=0\displaystyle (x+1)^{4}-1=0, adică (x+1)4=1\displaystyle (x+1)^{4}=1.
    (x+1)4=1\displaystyle (x+1)^{4}=1
  6. Deoarece (x+1)4=1\displaystyle (x+1)^{4}=1 în numere reale, avem x+1=1\displaystyle x+1=1 sau x+1=−1\displaystyle x+1=-1. De aici x=0\displaystyle x=0 sau x=−2\displaystyle x=-2.
    x1=−2 și x2=0\displaystyle x_1=-2\text{ și }x_2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y.

Arătați că x∘(x+1)≥x\displaystyle x\circ(x+1)\ge x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru x\displaystyle x și x+1\displaystyle x+1: în formula x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y înlocuim y\displaystyle y cu x+1\displaystyle x+1.
    x∘(x+1)=x(x+1)+x+(x+1)\displaystyle x\circ(x+1)=x(x+1)+x+(x+1)
  2. Formăm diferența x∘(x+1)−x\displaystyle x\circ(x+1)-x, al cărei semn îl vom studia.
    x∘(x+1)−x=x(x+1)+x+x+1−x\displaystyle x\circ(x+1)-x=x(x+1)+x+x+1-x
  3. Efectuăm înmulțirea și reducem termenii asemenea: x2+x+x+x+1−x=x2+2x+1\displaystyle x^{2}+x+x+x+1-x=x^{2}+2x+1.
    x∘(x+1)−x=x2+2x+1\displaystyle x\circ(x+1)-x=x^{2}+2x+1
  4. Recunoaștem pătratul sumei: x2+2x+1=(x+1)2\displaystyle x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
    x∘(x+1)−x=(x+1)2\displaystyle x\circ(x+1)-x=(x+1)^{2}
  5. Orice pătrat de număr real este pozitiv sau nul, deci (x+1)2≥0\displaystyle (x+1)^{2}\ge 0. Diferența este nenegativă, adică x∘(x+1)≥x\displaystyle x\circ(x+1)\ge x pentru orice x\displaystyle x real.
    (x+1)2≥0, deci x∘(x+1)≥x\displaystyle (x+1)^{2}\ge 0\text{, deci }x\circ(x+1)\ge x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a21a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\1&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=−2\displaystyle \det(A(0))=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a): elementele sunt a=0\displaystyle a=0, 2\displaystyle 2, 1\displaystyle 1 și a+1=0+1=1\displaystyle a+1=0+1=1.
    A(0)=(0211)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul lui A(0)\displaystyle A(0) și aplicăm formula ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(0))=∣0211∣=0⋅1−1⋅2\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}=0\cdot 1-1\cdot 2
  3. Calculăm produsele: 0⋅1=0\displaystyle 0\cdot 1=0 și 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2, deci 0−2=−2\displaystyle 0-2=-2. Am arătat că det⁡(A(0))=−2\displaystyle \det(A(0))=-2.
    0−2=−2\displaystyle 0-2=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a21a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\1&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) cu formula pentru matrici de ordin 2\displaystyle 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem det⁡(A(a))=a(a+1)−2⋅1\displaystyle \det(A(a))=a(a+1)-2\cdot 1.
    det⁡(A(a))=∣a21a+1∣=a(a+1)−2⋅1\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a&2\\1&a+1\end{vmatrix}=a(a+1)-2\cdot 1
  2. Desfacem parantezele: a(a+1)=a2+a\displaystyle a(a+1)=a^{2}+a. Deci determinantul este a2+a−2\displaystyle a^{2}+a-2.
    det⁡(A(a))=a2+a−2\displaystyle \det(A(a))=a^{2}+a-2
  3. Din condiția det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0 obținem ecuația de gradul al doilea a2+a−2=0\displaystyle a^{2}+a-2=0, cu coeficienții 1\displaystyle 1, 1\displaystyle 1 și −2\displaystyle -2.
    a2+a−2=0\displaystyle a^{2}+a-2=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=12−4⋅1⋅(−2)=1+8=9\displaystyle \Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9.
    Δ=9\displaystyle \Delta=9
  5. Aplicăm formula a=−1±92=−1±32\displaystyle a=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{2}=\dfrac{-1\pm 3}{2}. Rezultă a1=−1−32=−2\displaystyle a_1=\dfrac{-1-3}{2}=-2 și a2=−1+32=1\displaystyle a_2=\dfrac{-1+3}{2}=1. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    a1=−2 și a2=1\displaystyle a_1=-2\text{ și }a_2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a21a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\1&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația det⁡(A(a)−I2)<0\displaystyle \det(A(a)-I_2)<0.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem I2\displaystyle I_2 din A(a)\displaystyle A(a), element cu element: se scade 1\displaystyle 1 doar de pe diagonala principală, iar celelalte elemente rămân neschimbate.
    A(a)−I2=(a−121a)\displaystyle A(a)-I_2=\begin{pmatrix}a-1&2\\1&a\end{pmatrix}
  2. Determinantul este (a−1)⋅a−2⋅1\displaystyle (a-1)\cdot a-2\cdot 1. Desfacem parantezele: a2−a−2\displaystyle a^{2}-a-2.
    det⁡(A(a)−I2)=(a−1)a−2⋅1=a2−a−2\displaystyle \det(A(a)-I_2)=(a-1)a-2\cdot 1=a^{2}-a-2
  3. Inecuația devine a2−a−2<0\displaystyle a^2-a-2<0. Ecuația asociată a2−a−2=0\displaystyle a^2-a-2=0 are Δ=1+8=9\displaystyle \Delta=1+8=9, deci a=1±32\displaystyle a=\dfrac{1\pm 3}{2}.
    a∈{−1, 2}\displaystyle a\in\{-1,\,2\}
  4. Coeficientul lui a2\displaystyle a^2 este 1>0\displaystyle 1>0, deci parabola are ramurile în sus, iar trinomul este negativ între rădăcini. Prin urmare a2−a−2<0\displaystyle a^2-a-2<0 pentru a\displaystyle a cuprins între −1\displaystyle -1 și 2\displaystyle 2.
    a∈(−1,2)\displaystyle a\in(-1,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a21a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\1&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că (2a+1)A(a)−A(a)⋅A(a)=(a2+a−2)I2\displaystyle (2a+1)A(a)-A(a)\cdot A(a)=(a^2+a-2)I_2, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim fiecare element al matricei A(a)\displaystyle A(a) cu numărul 2a+1\displaystyle 2a+1: a(2a+1)=2a2+a\displaystyle a(2a+1)=2a^{2}+a, 2(2a+1)=4a+2\displaystyle 2(2a+1)=4a+2, 1⋅(2a+1)=2a+1\displaystyle 1\cdot(2a+1)=2a+1, iar (a+1)(2a+1)=2a2+3a+1\displaystyle (a+1)(2a+1)=2a^{2}+3a+1.
    (2a+1)A(a)=(2a2+a4a+22a+12a2+3a+1)\displaystyle (2a+1)A(a)=\begin{pmatrix}2a^{2}+a&4a+2\\2a+1&2a^{2}+3a+1\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(a)⋅A(a)\displaystyle A(a)\cdot A(a), înmulțind liniile cu coloanele. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este a⋅a+2⋅1=a2+2\displaystyle a\cdot a+2\cdot 1=a^{2}+2. Elementul de pe linia 1, coloana 2 este a⋅2+2(a+1)=4a+2\displaystyle a\cdot 2+2(a+1)=4a+2.
    (a2+24a+2∗∗)\displaystyle \begin{pmatrix}a^{2}+2&4a+2\\ \ast&\ast\end{pmatrix}
  3. Elementul de pe linia 2, coloana 1 este 1⋅a+(a+1)⋅1=2a+1\displaystyle 1\cdot a+(a+1)\cdot 1=2a+1. Elementul de pe linia 2, coloana 2 este 1⋅2+(a+1)2=a2+2a+3\displaystyle 1\cdot 2+(a+1)^{2}=a^{2}+2a+3.
    A(a)⋅A(a)=(a2+24a+22a+1a2+2a+3)\displaystyle A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}a^{2}+2&4a+2\\2a+1&a^{2}+2a+3\end{pmatrix}
  4. Scădem matricele element cu element. Pe diagonala principală: 2a2+a−(a2+2)=a2+a−2\displaystyle 2a^{2}+a-(a^{2}+2)=a^{2}+a-2 și 2a2+3a+1−(a2+2a+3)=a2+a−2\displaystyle 2a^{2}+3a+1-(a^{2}+2a+3)=a^{2}+a-2. Pe diagonala secundară: 4a+2−(4a+2)=0\displaystyle 4a+2-(4a+2)=0 și 2a+1−(2a+1)=0\displaystyle 2a+1-(2a+1)=0.
    (2a+1)A(a)−A(a)⋅A(a)=(a2+a−200a2+a−2)\displaystyle (2a+1)A(a)-A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}a^{2}+a-2&0\\0&a^{2}+a-2\end{pmatrix}
  5. Dăm factor comun scalarul a2+a−2\displaystyle a^{2}+a-2 și recunoaștem matricea unitate I2\displaystyle I_2. Așadar egalitatea cerută este adevărată pentru orice număr real a\displaystyle a.
    (a2+a−200a2+a−2)=(a2+a−2)(1001)=(a2+a−2)I2\displaystyle \begin{pmatrix}a^{2}+a-2&0\\0&a^{2}+a-2\end{pmatrix}=(a^{2}+a-2)\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=(a^{2}+a-2)I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a21a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\1&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați inversa matricei A(2)\displaystyle A(2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în A(a)=(a21a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\1&a+1\end{pmatrix} și obținem matricea A(2)\displaystyle A(2).
    A(2)=(2213)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2&2\\1&3\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem det⁡(A(2))=2⋅3−2⋅1=4\displaystyle \det(A(2))=2\cdot 3-2\cdot 1=4. Deoarece 4≠0\displaystyle 4\neq 0, matricea este inversabilă.
    det⁡(A(2))=2⋅3−2⋅1=4≠0\displaystyle \det(A(2))=2\cdot 3-2\cdot 1=4\neq 0
  3. Pentru o matrice de ordin 2, adjuncta se obține schimbând între ele elementele de pe diagonala principală și schimbând semnul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem matricea adjunctă A∗\displaystyle A^{*}.
    A∗=(3−2−12)\displaystyle A^{*}=\begin{pmatrix}3&-2\\-1&2\end{pmatrix}
  4. Aplicăm formula (A(2))−1=1det⁡(A(2))⋅A∗\displaystyle (A(2))^{-1}=\dfrac{1}{\det(A(2))}\cdot A^{*}, adică împărțim fiecare element al adjunctei la 4\displaystyle 4. Obținem inversa matricei.
    (A(2))−1=14(3−2−12)=(34−12−1412)\displaystyle (A(2))^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}3&-2\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a21a+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&2\\1&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele naturale m\displaystyle m pentru care det⁡(A(m))≤1\displaystyle \det(A(m))\le 1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(m)=(m21m+1)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}m&2\\1&m+1\end{pmatrix} și calculăm determinantul ei ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(m))=m(m+1)−2⋅1\displaystyle \det(A(m))=m(m+1)-2\cdot 1.
    det⁡(A(m))=m(m+1)−2=m2+m−2\displaystyle \det(A(m))=m(m+1)-2=m^2+m-2
  2. Înlocuim determinantul în condiția det⁡(A(m))≤1\displaystyle \det(A(m))\le 1 și obținem m2+m−2≤1\displaystyle m^2+m-2\le 1. Mutăm tot în membrul stâng: m2+m−3≤0\displaystyle m^2+m-3\le 0.
    m2+m−3≤0\displaystyle m^2+m-3\le 0
  3. Ecuația asociată m2+m−3=0\displaystyle m^2+m-3=0 are discriminantul Δ=1+12=13\displaystyle \Delta=1+12=13, deci rădăcinile sunt m1,2=−1±132\displaystyle m_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}.
    m1,2=−1±132\displaystyle m_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}
  4. Coeficientul lui m2\displaystyle m^2 este pozitiv, deci trinomul este negativ sau nul între rădăcini: m∈[−1−132,−1+132]\displaystyle m\in\left[\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2},\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\right].
    m∈[−1−132,−1+132]\displaystyle m\in\left[\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2},\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\right]
  5. Deoarece 3<13<4\displaystyle 3<\sqrt{13}<4, avem −1−132<0\displaystyle \dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}<0 și 1<−1+132<32\displaystyle 1<\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}<\dfrac{3}{2}, deci intervalul este aproximativ [−2,3; 1,3]\displaystyle [-2{,}3;\,1{,}3].
    1<−1+132<32\displaystyle 1<\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}<\dfrac{3}{2}
  6. Numerele naturale din interval sunt 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1. Verificăm: pentru m=0\displaystyle m=0 avem −3≤0\displaystyle -3\le 0, pentru m=1\displaystyle m=1 avem −1≤0\displaystyle -1\le 0, iar pentru m=2\displaystyle m=2 avem 3>0\displaystyle 3>0, deci nu convine.
    m=0 și m=1\displaystyle m=0\text{ și }m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.