Bac matematică M4 pedagogic 2013, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3(1+2)−18=3\displaystyle 3\left(1+\sqrt{2}\right)-\sqrt{18}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la partea stângă a egalității: E=3(1+2)−18\displaystyle E=3\left(1+\sqrt{2}\right)-\sqrt{18}. Trebuie să arătăm că E=3\displaystyle E=3.
    E=3(1+2)−18\displaystyle E=3\left(1+\sqrt{2}\right)-\sqrt{18}
  2. Descompunem 18=9⋅2\displaystyle 18=9\cdot 2, deci 18=9⋅2=9⋅2=32\displaystyle \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}.
    18=32\displaystyle \sqrt{18}=3\sqrt{2}
  3. Distribuim: 3(1+2)=3⋅1+32=3+32\displaystyle 3\left(1+\sqrt{2}\right)=3\cdot 1+3\sqrt{2}=3+3\sqrt{2}.
    3(1+2)=3+32\displaystyle 3\left(1+\sqrt{2}\right)=3+3\sqrt{2}
  4. Înlocuim în E\displaystyle E: E=3+32−32\displaystyle E=3+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}. Termenii 32\displaystyle 3\sqrt{2} și −32\displaystyle -3\sqrt{2} se reduc, deci E=3\displaystyle E=3, ceea ce trebuia demonstrat.
    E=3+32−32=3\displaystyle E=3+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−3\displaystyle f(x)=x-3. Arătați că f(3)+f(−3)=−6\displaystyle f(3)+f(-3)=-6.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în formula funcției f(x)=x−3\displaystyle f(x)=x-3: f(3)=3−3\displaystyle f(3)=3-3.
    f(3)=3−3=0\displaystyle f(3)=3-3=0
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu −3\displaystyle -3 în formula funcției: f(−3)=−3−3\displaystyle f(-3)=-3-3.
    f(−3)=−3−3=−6\displaystyle f(-3)=-3-3=-6
  3. Adunăm cele două valori: f(3)+f(−3)=0+(−6)=−6\displaystyle f(3)+f(-3)=0+(-6)=-6, deci egalitatea este adevărată.
    f(3)+f(−3)=0+(−6)=−6\displaystyle f(3)+f(-3)=0+(-6)=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x2+1)=log⁡35\displaystyle \log_3\left(x^2+1\right)=\log_3 5.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Expresia x2+1≥1\displaystyle x^{2}+1\ge 1, deci este pozitivă pentru orice număr real x\displaystyle x. Ecuația are sens pe toată mulțimea numerelor reale.
    x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Funcția logaritmică în baza 3\displaystyle 3 este injectivă, deci dacă logaritmii sunt egali, argumentele sunt egale. Obținem ecuația x2+1=5\displaystyle x^{2}+1=5.
    x2+1=5\displaystyle x^{2}+1=5
  3. Mutăm termenul 1\displaystyle 1 în membrul drept: x2=5−1\displaystyle x^{2}=5-1, adică x2=4\displaystyle x^{2}=4.
    x2=4\displaystyle x^{2}=4
  4. Din x2=4\displaystyle x^{2}=4 rezultă x=−2\displaystyle x=-2 sau x=2\displaystyle x=2. Ambele valori sunt numere reale, deci convin, conform condiției de existență verificate la început.
    x=−2 sau x=2\displaystyle x=-2\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 10%\displaystyle 10\% prețul unui produs crește cu 70 de lei. Calculați prețul produsului după scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al produsului, în lei. Scumpirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă o creștere egală cu 10%\displaystyle 10\% din x\displaystyle x, iar această creștere este 70\displaystyle 70 de lei. Scriem ecuația.
    10%⋅x=70\displaystyle 10\% \cdot x=70
  2. Scriem procentul ca fracție: 10%=10100=110\displaystyle 10\%=\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}. Ecuația devine x10=70\displaystyle \dfrac{x}{10}=70.
    x10=70\displaystyle \dfrac{x}{10}=70
  3. Înmulțim ambii membri cu 10\displaystyle 10 și aflăm prețul inițial: x=70⋅10\displaystyle x=70\cdot 10.
    x=700\displaystyle x=700
  4. Prețul după scumpire este prețul inițial plus creșterea: 700+70\displaystyle 700+70. Prețul produsului după scumpire este:
    770 de lei\displaystyle 770\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele P(2,7)\displaystyle P(2,7) și R(2,9)\displaystyle R(2,9). Determinați coordonatele mijlocului segmentului PR\displaystyle PR.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului PR\displaystyle PR. Coordonatele mijlocului unui segment sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xP+xR2\displaystyle x_M=\dfrac{x_P+x_R}{2} și yM=yP+yR2\displaystyle y_M=\dfrac{y_P+y_R}{2}.
    xM=xP+xR2 și yM=yP+yR2\displaystyle x_M=\dfrac{x_P+x_R}{2}\text{ și }y_M=\dfrac{y_P+y_R}{2}
  2. Înlocuim abscisele xP=2\displaystyle x_P=2 și xR=2\displaystyle x_R=2: xM=2+22=42\displaystyle x_M=\dfrac{2+2}{2}=\dfrac{4}{2}.
    xM=2+22=2\displaystyle x_M=\dfrac{2+2}{2}=2
  3. Înlocuim ordonatele yP=7\displaystyle y_P=7 și yR=9\displaystyle y_R=9: yM=7+92=162=8\displaystyle y_M=\dfrac{7+9}{2}=\dfrac{16}{2}=8. Deci mijlocul segmentului PR\displaystyle PR este M(2,8)\displaystyle M(2,8).
    yM=8\displaystyle y_M=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați lungimea laturii BC\displaystyle BC a triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, știind că AC=40\displaystyle AC=40 și sin⁡B=25\displaystyle \sin B=\frac{2}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC. Cateta opusă unghiului B\displaystyle B este AC\displaystyle AC. Scriem sinusul unghiului B\displaystyle B ca raport dintre cateta opusă și ipotenuză.
    sin⁡B=ACBC\displaystyle \sin B=\frac{AC}{BC}
  2. Înlocuim valorile cunoscute, sin⁡B=25\displaystyle \sin B=\frac{2}{5} și AC=40\displaystyle AC=40, în această relație.
    25=40BC\displaystyle \frac{2}{5}=\frac{40}{BC}
  3. Din proporție, înmulțim pe diagonală: 2⋅BC=5⋅40=200\displaystyle 2\cdot BC=5\cdot 40=200. Împărțim la 2\displaystyle 2.
    BC=5⋅402=100\displaystyle BC=\frac{5\cdot 40}{2}=100
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y.

Calculați (−1)∗3\displaystyle (-1)*3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y. Pentru x=−1\displaystyle x=-1 și y=3\displaystyle y=3 înlocuim în formulă.
    (−1)∗3=(−1)⋅3+(−1)+3\displaystyle (-1)*3=(-1)\cdot 3+(-1)+3
  2. Calculăm produsul: (−1)⋅3=−3\displaystyle (-1)\cdot 3=-3. Expresia devine −3+(−1)+3\displaystyle -3+(-1)+3.
    −3−1+3\displaystyle -3-1+3
  3. Reducem termenii: −3\displaystyle -3 și 3\displaystyle 3 se anulează, deci rămâne −1\displaystyle -1. Așadar (−1)∗3=−1\displaystyle (-1)*3=-1.
    (−1)∗3=−1\displaystyle (-1)*3=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y.

Arătați că x∗y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)-1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y
  2. Vrem să obținem un produs de forma (x+1)(y+1)\displaystyle (x+1)(y+1), care are termenul 1\displaystyle 1 în plus față de xy+x+y\displaystyle xy+x+y. Adăugăm 1\displaystyle 1 și apoi scădem 1\displaystyle 1, deci valoarea expresiei nu se schimbă.
    x∗y=xy+x+y+1−1\displaystyle x*y=xy+x+y+1-1
  3. Grupăm primii patru termeni și îi factorizăm: xy+x+y+1=x(y+1)+(y+1)\displaystyle xy+x+y+1=x(y+1)+(y+1), iar apoi dăm factor comun pe y+1\displaystyle y+1.
    xy+x+y+1=(x+1)(y+1)\displaystyle xy+x+y+1=(x+1)(y+1)
  4. Înlocuim în egalitatea de la pasul 2 și obținem egalitatea cerută, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y.

Verificați dacă e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii "∗\displaystyle *".
Vezi rezolvarea
  1. Elementul neutru e\displaystyle e trebuie să satisfacă x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Verificăm dacă e=0\displaystyle e=0 îndeplinește această condiție, începând cu x∗0\displaystyle x*0.
    x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm x∗0\displaystyle x*0 înlocuind y=0\displaystyle y=0 în definiția legii: x⋅0+x+0\displaystyle x\cdot 0+x+0. Primul termen este 0\displaystyle 0, deci rămâne x\displaystyle x.
    x∗0=x⋅0+x+0=x\displaystyle x*0=x\cdot 0+x+0=x
  3. Calculăm acum 0∗x\displaystyle 0*x, înlocuind primul argument cu 0\displaystyle 0 și al doilea cu x\displaystyle x: 0⋅x+0+x\displaystyle 0\cdot x+0+x. Primul termen este 0\displaystyle 0, deci rămâne x\displaystyle x.
    0∗x=0⋅x+0+x=x\displaystyle 0*x=0\cdot x+0+x=x
  4. Am obținut x∗0=0∗x=x\displaystyle x*0=0*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci e=0\displaystyle e=0 este element neutru al legii.
    e=0 este element neutru\displaystyle e=0\text{ este element neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x=x\displaystyle x*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru y=x\displaystyle y=x: x∗x=x⋅x+x+x=x2+2x\displaystyle x*x=x\cdot x+x+x=x^{2}+2x.
    x∗x=x2+2x\displaystyle x*x=x^{2}+2x
  2. Punem condiția x∗x=x\displaystyle x*x=x și obținem ecuația x2+2x=x\displaystyle x^{2}+2x=x.
    x∗x=x⇔x2+2x=x\displaystyle x*x=x\Leftrightarrow x^{2}+2x=x
  3. Mutăm toți termenii în partea stângă și reducem termenii asemenea: x2+2x−x=0\displaystyle x^{2}+2x-x=0, adică x2+x=0\displaystyle x^{2}+x=0.
    x2+x=0\displaystyle x^{2}+x=0
  4. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(x+1)=0\displaystyle x(x+1)=0.
    x(x+1)=0\displaystyle x(x+1)=0
  5. Un produs este nul dacă unul dintre factori este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x+1=0\displaystyle x+1=0, adică x=−1\displaystyle x=-1. Soluțiile sunt x=−1\displaystyle x=-1 și x=0\displaystyle x=0.
    x=−1 sau x=0\displaystyle x=-1\text{ sau }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y.

Arătați că (−1)∗x=−1\displaystyle (-1)*x=-1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie sub forma (x+1)(y+1)−1\displaystyle (x+1)(y+1)-1, deoarece prin desfacerea parantezelor obținem xy+x+y+1−1=xy+x+y\displaystyle xy+x+y+1-1=xy+x+y.
    x∗y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)-1
  2. Înlocuim primul element cu −1\displaystyle -1 în această formă și obținem (−1+1)(x+1)−1\displaystyle (-1+1)(x+1)-1.
    (−1)∗x=(−1+1)(x+1)−1\displaystyle (-1)*x=(-1+1)(x+1)-1
  3. Primul factor este −1+1=0\displaystyle -1+1=0, deci produsul este 0\displaystyle 0, oricare ar fi x\displaystyle x. Rămâne 0−1=−1\displaystyle 0-1=-1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    (−1)∗x=0⋅(x+1)−1=−1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle (-1)*x=0\cdot(x+1)-1=-1\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de x∗y=xy+x+y\displaystyle x*y=xy+x+y.

Calculați (−1)∗0∗1∗…∗2012∗2013\displaystyle (-1)*0*1*\ldots*2012*2013.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie sub forma x∗y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)-1, deoarece (x+1)(y+1)−1=xy+x+y+1−1=xy+x+y\displaystyle (x+1)(y+1)-1=xy+x+y+1-1=xy+x+y.
    x∗y=(x+1)(y+1)−1\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)-1
  2. Legea fiind asociativă, putem grupa expresia astfel: primul factor −1\displaystyle -1 rămâne separat, iar restul numerelor, de la 0\displaystyle 0 până la 2013\displaystyle 2013, se compun între ele.
    (−1)∗0∗1∗…∗2012∗2013=(−1)∗(0∗1∗…∗2012∗2013)\displaystyle (-1)*0*1*\ldots*2012*2013=(-1)*(0*1*\ldots*2012*2013)
  3. Notăm cu a\displaystyle a rezultatul 0∗1∗…∗2012∗2013\displaystyle 0*1*\ldots*2012*2013. Acesta este un număr real, deoarece legea este internă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    a=0∗1∗…∗2013∈R\displaystyle a=0*1*\ldots*2013\in\mathbb{R}
  4. Calculăm (−1)∗a\displaystyle (-1)*a folosind definiția: (−1)∗a=(−1)⋅a+(−1)+a=−a−1+a\displaystyle (-1)*a=(-1)\cdot a+(-1)+a=-a-1+a.
    (−1)∗a=−a−1+a=−1\displaystyle (-1)*a=-a-1+a=-1
  5. Deci, indiferent de valoarea lui a\displaystyle a, avem (−1)∗a=−1\displaystyle (-1)*a=-1, adică (−1)∗x=−1\displaystyle (-1)*x=-1 pentru orice x\displaystyle x real. Prin urmare, expresia dată este egală cu −1\displaystyle -1.
    (−1)∗0∗1∗…∗2012∗2013=−1\displaystyle (-1)*0*1*\ldots*2012*2013=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(m111m1111)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Arătați că det⁡(A(1))=0\displaystyle \det(A(1))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=1\displaystyle m=1 în matricea A(m)\displaystyle A(m). Pe fiecare dintre cele trei linii toate elementele devin 1\displaystyle 1, deci obținem matricea cu toate elementele egale cu 1\displaystyle 1.
    A(1)=(111111111)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
  2. Observăm că cele trei linii ale matricei A(1)\displaystyle A(1) sunt identice: L1=L2=L3\displaystyle L_1=L_2=L_3. Un determinant cu două linii identice este egal cu zero, deoarece scăzând o linie din cealaltă obținem o linie de zerouri, iar valoarea determinantului nu se schimbă.
    L1=L2=L3\displaystyle L_1=L_2=L_3
  3. Concluzie: determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1) este zero, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡(A(1))=0\displaystyle \det(A(1))=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(m111m1111)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Calculați A(1)⋅A(0)\displaystyle A(1)\cdot A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=1\displaystyle m=1 în matricea A(m)\displaystyle A(m) și obținem A(1)\displaystyle A(1), o matrice cu toate elementele egale cu 1\displaystyle 1.
    A(1)=(111111111)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
  2. Înlocuim m=0\displaystyle m=0 în matricea A(m)\displaystyle A(m) și obținem A(0)\displaystyle A(0). Scriem produsul cerut.
    A(1)⋅A(0)=(111111111)⋅(011101111)\displaystyle A(1)\cdot A(0)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
  3. Calculăm prima linie a produsului, înmulțind linia (1,1,1)\displaystyle (1,1,1) cu fiecare coloană a lui A(0)\displaystyle A(0). Coloanele lui A(0)\displaystyle A(0) sunt (0,1,1)\displaystyle (0,1,1), (1,0,1)\displaystyle (1,0,1) și (1,1,1)\displaystyle (1,1,1), deci sumele elementelor lor sunt 2\displaystyle 2, 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3.
    (1⋅0+1⋅1+1⋅11⋅1+1⋅0+1⋅11⋅1+1⋅1+1⋅1)=(223)\displaystyle \begin{pmatrix} 1\cdot 0+1\cdot 1+1\cdot 1 & 1\cdot 1+1\cdot 0+1\cdot 1 & 1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}
  4. Cele trei linii ale lui A(1)\displaystyle A(1) sunt identice, deci și cele trei linii ale produsului sunt identice cu prima. Rezultatul final este matricea cu toate liniile (2,2,3)\displaystyle (2,2,3).
    A(1)⋅A(0)=(223223223)\displaystyle A(1)\cdot A(0)=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(m111m1111)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Arătați că det⁡(A(m))=m2−2m+1\displaystyle \det(A(m))=m^2-2m+1, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(m)\displaystyle A(m) și aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    det⁡(A(m))=∣m111m1111∣\displaystyle \det(A(m))=\begin{vmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}
  2. Produsele pentru diagonala principală și paralelele ei sunt: m⋅m⋅1=m2\displaystyle m\cdot m\cdot 1=m^2, 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1 și 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1, adică în total m2+1+1=m2+2\displaystyle m^2+1+1=m^2+2.
    m2+1+1=m2+2\displaystyle m^2+1+1=m^2+2
  3. Produsele pentru diagonala secundară și paralelele ei sunt: 1⋅m⋅1=m\displaystyle 1\cdot m\cdot 1=m, 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1 și 1⋅1⋅m=m\displaystyle 1\cdot 1\cdot m=m, adică în total m+1+m=2m+1\displaystyle m+1+m=2m+1, care se scad. Obținem det⁡(A(m))=m2+2−2m−1\displaystyle \det(A(m))=m^2+2-2m-1.
    det⁡(A(m))=m2+2−(2m+1)=m2+2−2m−1\displaystyle \det(A(m))=m^2+2-(2m+1)=m^2+2-2m-1
  4. Reducem termenii constanți: 2−1=1\displaystyle 2-1=1. Rezultă det⁡(A(m))=m2−2m+1\displaystyle \det(A(m))=m^2-2m+1, pentru orice număr real m\displaystyle m, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    det⁡(A(m))=m2−2m+1, pentru orice numa˘r real m\displaystyle \det(A(m))=m^2-2m+1\text{, pentru orice număr real }m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(m111m1111)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Verificați dacă matricea B=(−1010−1111−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} este inversa matricei A(0)\displaystyle A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=0\displaystyle m=0 în matricea A(m)\displaystyle A(m) și obținem A(0)\displaystyle A(0), cu liniile (0,1,1)\displaystyle (0,1,1), (1,0,1)\displaystyle (1,0,1), (1,1,1)\displaystyle (1,1,1).
    A(0)=(011101111)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(0)⋅B\displaystyle A(0)\cdot B, înmulțind fiecare linie a lui A(0)\displaystyle A(0) cu fiecare coloană a lui B\displaystyle B. De exemplu, elementul de pe linia 1 și coloana 1 este 0⋅(−1)+1⋅0+1⋅1=1\displaystyle 0\cdot(-1)+1\cdot 0+1\cdot 1=1. Celelalte elemente se calculează la fel și se obține matricea unitate.
    A(0)⋅B=(011101111)(−1010−1111−1)=(100010001)=I3\displaystyle A(0)\cdot B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I_3
  3. Calculăm și produsul B⋅A(0)\displaystyle B\cdot A(0), în ordine inversă. De exemplu, elementul de pe linia 1 și coloana 1 este (−1)⋅0+0⋅1+1⋅1=1\displaystyle (-1)\cdot 0+0\cdot 1+1\cdot 1=1. Elementul de pe linia 3 și coloana 3 este 1⋅1+1⋅1+(−1)⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 1+(-1)\cdot 1=1. Elementele din afara diagonalei principale ies 0\displaystyle 0.
    B⋅A(0)=(−1010−1111−1)(011101111)=(100010001)=I3\displaystyle B\cdot A(0)=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I_3
  4. Deoarece A(0)⋅B=B⋅A(0)=I3\displaystyle A(0)\cdot B=B\cdot A(0)=I_3, matricea B\displaystyle B este inversa matricei A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)⋅B=B⋅A(0)=I3⇒B este inversa matricei A(0)\displaystyle A(0)\cdot B=B\cdot A(0)=I_3\Rightarrow B\text{ este inversa matricei }A(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(m111m1111)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care suma elementelor matricei A(m)\displaystyle A(m) este egală cu 2013.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm elementele fiecărei linii a matricei A(m)\displaystyle A(m): prima linie are suma m+1+1=m+2\displaystyle m+1+1=m+2, a doua linie 1+m+1=m+2\displaystyle 1+m+1=m+2, a treia linie 1+1+1=3\displaystyle 1+1+1=3.
    (m+2)+(m+2)+3\displaystyle (m+2)+(m+2)+3
  2. Adunăm cele trei sume: (m+2)+(m+2)+3=2m+7\displaystyle (m+2)+(m+2)+3=2m+7.
    2m+7\displaystyle 2m+7
  3. Egalăm suma cu 2013: 2m+7=2013\displaystyle 2m+7=2013. Scădem 7 din ambii membri și obținem 2m=2006\displaystyle 2m=2006, apoi împărțim la 2.
    2m+7=2013⇔2m=2006⇔m=1003\displaystyle 2m+7=2013\Leftrightarrow 2m=2006\Leftrightarrow m=1003
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(m111m1111)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Pentru m=0\displaystyle m=0, rezolvați sistemul {mx+y+z=1x+my+z=1x+y+z=3\displaystyle \begin{cases} mx+y+z=1 \\ x+my+z=1 \\ x+y+z=3 \end{cases}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=0\displaystyle m=0 în sistem. Primele două ecuații devin y+z=1\displaystyle y+z=1 și x+z=1\displaystyle x+z=1, iar a treia rămâne neschimbată.
    {y+z=1x+z=1x+y+z=3\displaystyle \begin{cases} y+z=1 \\ x+z=1 \\ x+y+z=3 \end{cases}
  2. Scădem prima ecuație din a treia: (x+y+z)−(y+z)=3−1\displaystyle (x+y+z)-(y+z)=3-1, deci x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  3. Scădem a doua ecuație din a treia: (x+y+z)−(x+z)=3−1\displaystyle (x+y+z)-(x+z)=3-1, deci y=2\displaystyle y=2.
    y=2\displaystyle y=2
  4. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în x+z=1\displaystyle x+z=1 și obținem z=1−2=−1\displaystyle z=1-2=-1. Verificăm în y+z=1\displaystyle y+z=1: 2+(−1)=1\displaystyle 2+(-1)=1, corect, iar în a treia ecuație: 2+2−1=3\displaystyle 2+2-1=3, corect. Soluția sistemului este x=2\displaystyle x=2, y=2\displaystyle y=2, z=−1\displaystyle z=-1.
    x=2\displaystyle x=2, y=2\displaystyle \ y=2, z=−1\displaystyle \ z=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.