Bac matematică M4 pedagogic 2011, sesiunea I varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră o progresie aritmetică (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, în care a2=5\displaystyle a_2=5 și a4=11\displaystyle a_4=11. Calculați a6\displaystyle a_6.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică avem a4=a2+2r\displaystyle a_4=a_2+2r, deoarece de la al doilea la al patrulea termen se adaugă de două ori rația r\displaystyle r.
    a4=a2+2r\displaystyle a_4=a_2+2r
  2. Înlocuim a2=5\displaystyle a_2=5 și a4=11\displaystyle a_4=11 în relație.
    11=5+2r\displaystyle 11=5+2r
  3. Rezolvăm ecuația: 2r=11−5=6\displaystyle 2r=11-5=6, deci r=3\displaystyle r=3.
    r=3\displaystyle r=3
  4. Pentru a ajunge de la a4\displaystyle a_4 la a6\displaystyle a_6 adăugăm de două ori rația: a6=a4+2r\displaystyle a_6=a_4+2r.
    a6=11+2⋅3\displaystyle a_6=11+2\cdot 3
  5. Calculăm: a6=11+6=17\displaystyle a_6=11+6=17.
    a6=17\displaystyle a_6=17
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ax+b\displaystyle f(x)=ax+b și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=cx+d\displaystyle g(x)=cx+d, unde a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d sunt numere reale. Arătați că, dacă f(1)=g(1)\displaystyle f(1)=g(1) și f(3)=g(3)\displaystyle f(3)=g(3), atunci f(5)=g(5)\displaystyle f(5)=g(5).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția f(1)=g(1)\displaystyle f(1)=g(1) folosind formulele funcțiilor: a⋅1+b=c⋅1+d\displaystyle a\cdot 1+b=c\cdot 1+d, adică a+b=c+d\displaystyle a+b=c+d.
    a+b=c+d\displaystyle a+b=c+d
  2. Scriem condiția f(3)=g(3)\displaystyle f(3)=g(3): 3a+b=3c+d\displaystyle 3a+b=3c+d. Obținem astfel un sistem de două ecuații pentru coeficienți.
    a+b=c+d și 3a+b=3c+d\displaystyle a+b=c+d\text{ și }3a+b=3c+d
  3. Scădem prima ecuație din a doua: (3a+b)−(a+b)=(3c+d)−(c+d)\displaystyle (3a+b)-(a+b)=(3c+d)-(c+d), deci 2a=2c\displaystyle 2a=2c, adică a=c\displaystyle a=c.
    a=c\displaystyle a=c
  4. Înlocuim a=c\displaystyle a=c în prima ecuație: c+b=c+d\displaystyle c+b=c+d, deci b=d\displaystyle b=d.
    a=c\displaystyle a=c, b=d\displaystyle \ b=d
  5. Calculăm f(5)=5a+b\displaystyle f(5)=5a+b și g(5)=5c+d\displaystyle g(5)=5c+d. Cum a=c\displaystyle a=c și b=d\displaystyle b=d, obținem f(5)=5a+b=5c+d=g(5)\displaystyle f(5)=5a+b=5c+d=g(5).
    f(5)=g(5)\displaystyle f(5)=g(5)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Se notează cu x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 soluțiile reale ale ecuației x2−5x+3=0\displaystyle x^2-5x+3=0. Calculați 1x1+1x2\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții ecuației x2−5x+3=0\displaystyle x^2-5x+3=0: a=1\displaystyle a=1, b=−5\displaystyle b=-5, c=3\displaystyle c=3. Ecuația are soluții reale, deoarece discriminantul este Δ=b2−4ac=25−12=13>0\displaystyle \Delta=b^2-4ac=25-12=13>0.
    a=1\displaystyle a=1, b=−5\displaystyle \ b=-5, c=3\displaystyle \ c=3, Δ=13>0\displaystyle \ \Delta=13>0
  2. Aplicăm relațiile lui Viète pentru suma soluțiilor: S=x1+x2=−ba=−−51\displaystyle S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-5}{1}.
    S=x1+x2=5\displaystyle S=x_1+x_2=5
  3. Aplicăm relațiile lui Viète pentru produsul soluțiilor: P=x1⋅x2=ca=31\displaystyle P=x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{1}.
    P=x1⋅x2=3\displaystyle P=x_1\cdot x_2=3
  4. Aducem fracțiile la același numitor x1⋅x2\displaystyle x_1\cdot x_2: 1x1+1x2=x2+x1x1⋅x2\displaystyle \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2+x_1}{x_1\cdot x_2}. Numărătorul este suma S\displaystyle S, iar numitorul este produsul P\displaystyle P.
    1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=SP\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}=\frac{S}{P}
  5. Înlocuim S=5\displaystyle S=5 și P=3\displaystyle P=3 în raportul SP\displaystyle \dfrac{S}{P} și obținem rezultatul final.
    1x1+1x2=53\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{5}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați mulțimea soluțiilor reale ale ecuației log⁡2(x2+x+2)=2\displaystyle \log_2\left(x^2+x+2\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Discriminantul expresiei x2+x+2\displaystyle x^{2}+x+2 este Δ=1−8=−7<0\displaystyle \Delta=1-8=-7<0, iar coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, deci x2+x+2>0\displaystyle x^{2}+x+2>0 pentru orice x\displaystyle x real. Ecuația are sens pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    x2+x+2>0\displaystyle x^{2}+x+2>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Folosim definiția logaritmului: log⁡2A=2\displaystyle \log_2 A=2 este echivalent cu A=22=4\displaystyle A=2^{2}=4. Obținem x2+x+2=4\displaystyle x^{2}+x+2=4.
    x2+x+2=22=4\displaystyle x^{2}+x+2=2^{2}=4
  3. Mutăm tot în membrul stâng și obținem ecuația de gradul al doilea x2+x−2=0\displaystyle x^{2}+x-2=0.
    x2+x−2=0\displaystyle x^{2}+x-2=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=12−4⋅1⋅(−2)=9\displaystyle \Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=9, deci Δ=3\displaystyle \sqrt{\Delta}=3. Soluțiile sunt x=−1±32\displaystyle x=\dfrac{-1\pm 3}{2}, adică x1=1\displaystyle x_1=1 și x2=−2\displaystyle x_2=-2.
    x1=−1+32=1\displaystyle x_{1}=\dfrac{-1+3}{2}=1,x2=−1−32=−2\displaystyle \quad x_{2}=\dfrac{-1-3}{2}=-2
  5. Ambele valori verifică condiția de existență, deoarece expresia de sub logaritm este pozitivă pentru orice x\displaystyle x real. Pentru x=1\displaystyle x=1 avem 1+1+2=4\displaystyle 1+1+2=4, iar pentru x=−2\displaystyle x=-2 avem 4−2+2=4\displaystyle 4-2+2=4. Mulțimea soluțiilor este S={−2,1}\displaystyle S=\{-2,1\}.
    S={−2,1}\displaystyle S=\{-2,1\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră un triunghi ABC\displaystyle ABC și punctele M,N\displaystyle M, N, astfel încât AM→=3⋅MB→\displaystyle \overrightarrow{AM}=3\cdot\overrightarrow{MB} și AN→=3⋅NC→\displaystyle \overrightarrow{AN}=3\cdot\overrightarrow{NC}. Arătați că dreptele MN\displaystyle MN și BC\displaystyle BC sunt paralele.
Vezi rezolvarea
  1. Din AM→=3⋅MB→\displaystyle \overrightarrow{AM}=3\cdot\overrightarrow{MB} rezultă că vectorii AM→\displaystyle \overrightarrow{AM} și MB→\displaystyle \overrightarrow{MB} sunt coliniari și de același sens, deci M\displaystyle M se află între A\displaystyle A și B\displaystyle B, adică M∈[AB]\displaystyle M\in[AB]. Trecând la lungimi, obținem AM=3⋅MB\displaystyle AM=3\cdot MB.
    AM=3⋅MB\displaystyle AM=3\cdot MB
  2. Împărțim egalitatea AM=3⋅MB\displaystyle AM=3\cdot MB la MB\displaystyle MB și obținem raportul cerut, cu M∈[AB]\displaystyle M\in[AB].
    AMMB=3\displaystyle \frac{AM}{MB}=3, M∈[AB]\displaystyle \ M\in[AB]
  3. La fel, din AN→=3⋅NC→\displaystyle \overrightarrow{AN}=3\cdot\overrightarrow{NC} vectorii AN→\displaystyle \overrightarrow{AN} și NC→\displaystyle \overrightarrow{NC} sunt coliniari și de același sens, deci N∈[AC]\displaystyle N\in[AC]. Trecând la lungimi, obținem AN=3⋅NC\displaystyle AN=3\cdot NC.
    AN=3⋅NC\displaystyle AN=3\cdot NC
  4. Împărțim egalitatea AN=3⋅NC\displaystyle AN=3\cdot NC la NC\displaystyle NC și obținem raportul, cu N∈[AC]\displaystyle N\in[AC].
    ANNC=3\displaystyle \frac{AN}{NC}=3, N∈[AC]\displaystyle \ N\in[AC]
  5. Punctele M∈[AB]\displaystyle M\in[AB] și N∈[AC]\displaystyle N\in[AC] împart laturile în același raport. Din reciproca teoremei lui Thales rezultă că MN∥BC\displaystyle MN\parallel BC.
    AMMB=ANNC=3⇒MN∥BC\displaystyle \frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}=3\Rightarrow MN\parallel BC
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră un triunghi ABC\displaystyle ABC în care unghiurile A\displaystyle A și C\displaystyle C au măsurile egale cu 30∘\displaystyle 30^\circ, respectiv 90∘\displaystyle 90^\circ. Știind că BC=6\displaystyle BC=6, calculați lungimea laturii AC\displaystyle AC.
Vezi rezolvarea
  1. Unghiul C=90∘\displaystyle C=90^\circ, deci triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în C\displaystyle C. Latura BC\displaystyle BC este cateta opusă unghiului A\displaystyle A, iar AC\displaystyle AC este cateta alăturată unghiului A\displaystyle A.
    △ABC dreptunghic ıˆn C\displaystyle \triangle ABC\text{ dreptunghic în }C
  2. În triunghiul dreptunghic, cotangenta unghiului A\displaystyle A este raportul dintre cateta alăturată și cea opusă: ctg⁡A=ACBC\displaystyle \operatorname{ctg}A=\dfrac{AC}{BC}. Rezultă AC=BC⋅ctg⁡A\displaystyle AC=BC\cdot\operatorname{ctg}A.
    AC=BC⋅ctg A\displaystyle AC=BC\cdot\text{ctg }A
  3. Înlocuim BC=6\displaystyle BC=6 și A=30∘\displaystyle A=30^\circ, iar ctg⁡30∘=3\displaystyle \operatorname{ctg}30^\circ=\sqrt{3}. Obținem AC=6⋅3\displaystyle AC=6\cdot\sqrt{3}.
    AC=6⋅3\displaystyle AC=6\cdot\sqrt{3}
  4. Lungimea laturii AC\displaystyle AC este 63\displaystyle 6\sqrt{3}.
    AC=63\displaystyle AC=6\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6.

Arătați că legea „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă dacă x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Fixăm x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R} oarecare și scriem y∗x\displaystyle y*x, înlocuind în definiția x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6 pe x\displaystyle x cu y\displaystyle y și pe y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    y∗x=yx−2y−2x+6\displaystyle y*x=yx-2y-2x+6
  2. Folosim comutativitatea înmulțirii și a adunării în R\displaystyle \mathbb{R}: yx=xy\displaystyle yx=xy și −2y−2x=−2x−2y\displaystyle -2y-2x=-2x-2y. Rezultă că y∗x\displaystyle y*x are aceeași expresie ca x∗y\displaystyle x*y.
    y∗x=xy−2x−2y+6=x∗y\displaystyle y*x=xy-2x-2y+6=x*y
  3. Deoarece x\displaystyle x și y\displaystyle y au fost alese arbitrar, egalitatea y∗x=x∗y\displaystyle y*x=x*y este valabilă pentru orice numere reale, deci legea „∗\displaystyle *” este comutativă.
    y∗x=x∗y\displaystyle y*x=x*y, ∀x\displaystyle \ \forall x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6.

Arătați că legea „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z. Aplicăm definiția legii cu primul termen x∗y\displaystyle x*y și al doilea z\displaystyle z: (x∗y)∗z=(x∗y)z−2(x∗y)−2z+6\displaystyle (x*y)*z=(x*y)z-2(x*y)-2z+6.
    (x∗y)∗z=(xy−2x−2y+6)z−2(xy−2x−2y+6)−2z+6\displaystyle (x*y)*z=(xy-2x-2y+6)z-2(xy-2x-2y+6)-2z+6
  2. Desfacem parantezele: (xy−2x−2y+6)z=xyz−2xz−2yz+6z\displaystyle (xy-2x-2y+6)z=xyz-2xz-2yz+6z, iar −2(xy−2x−2y+6)=−2xy+4x+4y−12\displaystyle -2(xy-2x-2y+6)=-2xy+4x+4y-12. Adunăm toți termenii și reducem termenii asemenea: z\displaystyle z apare cu 6z−2z=4z\displaystyle 6z-2z=4z, iar constantele dau −12+6=−6\displaystyle -12+6=-6.
    (x∗y)∗z=xyz−2xy−2xz−2yz+4x+4y+4z−6\displaystyle (x*y)*z=xyz-2xy-2xz-2yz+4x+4y+4z-6
  3. Calculăm x∗(y∗z)\displaystyle x*(y*z). Aplicăm definiția legii cu primul termen x\displaystyle x și al doilea y∗z\displaystyle y*z: x∗(y∗z)=x(y∗z)−2x−2(y∗z)+6\displaystyle x*(y*z)=x(y*z)-2x-2(y*z)+6.
    x∗(y∗z)=x(yz−2y−2z+6)−2x−2(yz−2y−2z+6)+6\displaystyle x*(y*z)=x(yz-2y-2z+6)-2x-2(yz-2y-2z+6)+6
  4. Desfacem parantezele: x(yz−2y−2z+6)=xyz−2xy−2xz+6x\displaystyle x(yz-2y-2z+6)=xyz-2xy-2xz+6x, iar −2(yz−2y−2z+6)=−2yz+4y+4z−12\displaystyle -2(yz-2y-2z+6)=-2yz+4y+4z-12. Adunăm toți termenii și reducem termenii asemenea: x\displaystyle x apare cu 6x−2x=4x\displaystyle 6x-2x=4x, iar constantele dau −12+6=−6\displaystyle -12+6=-6.
    x∗(y∗z)=xyz−2xy−2xz−2yz+4x+4y+4z−6\displaystyle x*(y*z)=xyz-2xy-2xz-2yz+4x+4y+4z-6
  5. Cele două expresii obținute sunt egale pentru orice numere reale x,y,z\displaystyle x,y,z, deci legea ∗\displaystyle * este asociativă.
    (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z), ∀x\displaystyle \ \forall x,y\displaystyle y,z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care are loc egalitatea x∗y=(2−x)(2−y)+a\displaystyle x*y=(2-x)(2-y)+a, oricare ar fi x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x∗y\displaystyle x*y cu expresia din definiție și obținem egalitatea care trebuie să fie adevărată pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    xy−2x−2y+6=(2−x)(2−y)+a\displaystyle xy-2x-2y+6=(2-x)(2-y)+a
  2. Dezvoltăm produsul din membrul drept: (2−x)(2−y)=4−2y−2x+xy\displaystyle (2-x)(2-y)=4-2y-2x+xy.
    (2−x)(2−y)+a=xy−2x−2y+4+a\displaystyle (2-x)(2-y)+a=xy-2x-2y+4+a
  3. Egalăm cele două expresii: xy−2x−2y+6=xy−2x−2y+4+a\displaystyle xy-2x-2y+6=xy-2x-2y+4+a. Termenii xy\displaystyle xy, −2x\displaystyle -2x și −2y\displaystyle -2y se reduc, deci rămâne 6=4+a\displaystyle 6=4+a.
    6=4+a\displaystyle 6=4+a
  4. Din 6=4+a\displaystyle 6=4+a obținem a=6−4\displaystyle a=6-4. Cu această valoare, egalitatea are loc pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.d)

5 puncte
Pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6.

Rezolvați în mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} ecuația x∗x=x\displaystyle x*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii: x∗x=x⋅x−2x−2x+6\displaystyle x*x=x\cdot x-2x-2x+6.
    x∗x=x2−4x+6\displaystyle x*x=x^{2}-4x+6
  2. Scriem ecuația x∗x=x\displaystyle x*x=x folosind expresia obținută: x2−4x+6=x\displaystyle x^{2}-4x+6=x.
    x2−4x+6=x\displaystyle x^{2}-4x+6=x
  3. Mutăm toți termenii în membrul stâng și reducem termenii asemenea: x2−4x−x+6=0\displaystyle x^{2}-4x-x+6=0, deci obținem o ecuație de gradul al doilea.
    x2−5x+6=0\displaystyle x^{2}-5x+6=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=(−5)2−4⋅1⋅6=25−24\displaystyle \Delta=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24.
    Δ=1\displaystyle \Delta=1
  5. Aplicăm formula rădăcinilor: x=5±12\displaystyle x=\dfrac{5\pm 1}{2}. Obținem x1=42=2\displaystyle x_1=\dfrac{4}{2}=2 și x2=62=3\displaystyle x_2=\dfrac{6}{2}=3, ambele numere reale, deci sunt soluții ale ecuației.
    x=2 sau x=3\displaystyle x=2\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.e)

5 puncte
Pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6.

Determinați elementul neutru al legii „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul neutru e\displaystyle e trebuie să verifice condiția x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Legea este comutativă, deoarece expresia xy−2x−2y+6\displaystyle xy-2x-2y+6 este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y. Prin urmare e∗x=x∗e\displaystyle e*x=x*e și este suficient să calculăm x∗e\displaystyle x*e, înlocuind y\displaystyle y cu e\displaystyle e în definiția legii.
    x∗e=e∗x=xe−2x−2e+6\displaystyle x*e=e*x=xe-2x-2e+6
  3. Impunem condiția x∗e=x\displaystyle x*e=x, adică xe−2x−2e+6=x\displaystyle xe-2x-2e+6=x. Mutăm tot în membrul stâng și grupăm termenii după x\displaystyle x.
    x(e−3)−2e+6=0\displaystyle x(e-3)-2e+6=0
  4. Scoatem factor comun pe e−3\displaystyle e-3: −2e+6=−2(e−3)\displaystyle -2e+6=-2(e-3). Ecuația devine (x−2)(e−3)=0\displaystyle (x-2)(e-3)=0 și trebuie să fie adevărată pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    (x−2)(e−3)=0\displaystyle (x-2)(e-3)=0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  5. Deoarece factorul x−2\displaystyle x-2 nu este zero pentru orice x\displaystyle x (de exemplu pentru x=0\displaystyle x=0 este diferit de zero), trebuie ca e−3=0\displaystyle e-3=0, deci e=3\displaystyle e=3. Numărul 3\displaystyle 3 este real și verifică condiția, deci este elementul neutru.
    xe−2x−2e+6=x⇒e=3∈R\displaystyle xe-2x-2e+6=x\Rightarrow e=3\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.f)

5 puncte
Pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6.

Arătați că (x+2)∗(1x+2)=3\displaystyle (x+2)*\left(\frac{1}{x}+2\right)=3, pentru orice x∈R∗\displaystyle x\in\mathbb{R}^*.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub o formă factorizată. Dezvoltăm produsul (x−2)(y−2)\displaystyle (x-2)(y-2) și observăm că se obține xy−2x−2y+4\displaystyle xy-2x-2y+4, deci adăugând 2\displaystyle 2 obținem exact xy−2x−2y+6\displaystyle xy-2x-2y+6.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2
  2. Înlocuim în această formă pe x\displaystyle x cu x+2\displaystyle x+2 și pe y\displaystyle y cu 1x+2\displaystyle \dfrac{1}{x}+2. Expresia are sens, deoarece x\displaystyle x este nenul. Primul factor este (x+2)−2\displaystyle (x+2)-2, iar al doilea este (1x+2)−2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}+2\right)-2; scris cu semnele schimbate, obținem forma din barem.
    (x+2)∗(1x+2)=(2−x−2)(2−1x−2)+2\displaystyle (x+2)*\left(\frac{1}{x}+2\right)=(2-x-2)\left(2-\frac{1}{x}-2\right)+2
  3. Reducem termenii asemenea din fiecare paranteză: în prima, 2\displaystyle 2 cu −2\displaystyle -2 dă 0\displaystyle 0 și rămâne −x\displaystyle -x; în a doua rămâne −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x}.
    (−x)⋅(−1x)+2\displaystyle (-x)\cdot\left(-\frac{1}{x}\right)+2
  4. Produsul a două numere negative este pozitiv, iar x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1 pentru x≠0\displaystyle x\neq 0. Rămâne 1+2=3\displaystyle 1+2=3, pentru orice x\displaystyle x real nenul.
    (−x)⋅(−1x)+2=1+2=3\displaystyle (-x)\cdot\left(-\frac{1}{x}\right)+2=1+2=3, ∀x∈R∗\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}^*
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A=(0a000−a−a00)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&a&0\\0&0&-a\\-a&0&0\end{pmatrix}, unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care det⁡(A+I3)=1\displaystyle \det(A+I_3)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricea A\displaystyle A cu matricea unitate I3\displaystyle I_3, element cu element: pe diagonală apare câte un 1\displaystyle 1 în plus, restul elementelor rămân neschimbate.
    A+I3=(1a001−a−a01)\displaystyle A+I_3=\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&-a\\-a&0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei sunt 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1, a⋅(−a)⋅(−a)\displaystyle a\cdot(-a)\cdot(-a) și 0⋅0⋅0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0. Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei sunt 0⋅1⋅(−a)\displaystyle 0\cdot 1\cdot(-a), 1⋅(−a)⋅0\displaystyle 1\cdot(-a)\cdot 0 și a⋅0⋅1\displaystyle a\cdot 0\cdot 1.
    (1+a3+0)−(0+0+0)\displaystyle (1+a^{3}+0)-(0+0+0)
  3. Reducem termenii și obținem expresia determinantului în funcție de a\displaystyle a.
    det⁡(A+I3)=1+a3\displaystyle \det(A+I_3)=1+a^{3}
  4. Punem condiția din enunț, det⁡(A+I3)=1\displaystyle \det(A+I_3)=1, și obținem ecuația 1+a3=1\displaystyle 1+a^{3}=1.
    1+a3=1⇒a3=0\displaystyle 1+a^{3}=1\Rightarrow a^{3}=0
  5. Din a3=0\displaystyle a^{3}=0 rezultă că singura soluție reală este a=0\displaystyle a=0.
    a=0\displaystyle a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A=(0a000−a−a00)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&a&0\\0&0&-a\\-a&0&0\end{pmatrix}, unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Calculați det⁡(A+tA)\displaystyle \det\left(A+{}^tA\right), unde tA\displaystyle {}^tA este transpusa matricei A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Transpusa se obține scriind coloanele matricei A\displaystyle A ca linii. Prima coloană a lui A\displaystyle A este (0,0,−a)\displaystyle (0,0,-a), a doua este (a,0,0)\displaystyle (a,0,0), a treia este (0,−a,0)\displaystyle (0,-a,0).
    tA=(00−aa000−a0)\displaystyle {}^tA=\begin{pmatrix}0&0&-a\\a&0&0\\0&-a&0\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele element cu element: A+tA\displaystyle A+{}^tA, adică (0a000−a−a00)+(00−aa000−a0)\displaystyle \begin{pmatrix}0&a&0\\0&0&-a\\-a&0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0&-a\\a&0&0\\0&-a&0\end{pmatrix}.
    A+tA=(0a−aa0−a−a−a0)\displaystyle A+{}^tA=\begin{pmatrix}0&a&-a\\a&0&-a\\-a&-a&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus. Termenii cu semn plus sunt produsele de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea. Doar doi dintre ei sunt nenuli: a⋅(−a)⋅(−a)=a3\displaystyle a\cdot(-a)\cdot(-a)=a^{3} și (−a)⋅a⋅(−a)=a3\displaystyle (-a)\cdot a\cdot(-a)=a^{3}.
    0⋅0⋅0+a⋅(−a)⋅(−a)+(−a)⋅a⋅(−a)=a3+a3=2a3\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0+a\cdot(-a)\cdot(-a)+(-a)\cdot a\cdot(-a)=a^{3}+a^{3}=2a^{3}
  4. Termenii cu semn minus sunt produsele de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea. Fiecare conține un element egal cu 0\displaystyle 0, deci toți sunt nuli.
    (−a)⋅0⋅(−a)+0⋅(−a)⋅(−a)+a⋅a⋅0=0\displaystyle (-a)\cdot 0\cdot(-a)+0\cdot(-a)\cdot(-a)+a\cdot a\cdot 0=0
  5. Determinantul este diferența dintre suma termenilor cu plus și suma termenilor cu minus, adică 2a3−0\displaystyle 2a^{3}-0.
    det⁡(A+tA)=2a3\displaystyle \det\left(A+{}^tA\right)=2a^{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A=(0a000−a−a00)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&a&0\\0&0&-a\\-a&0&0\end{pmatrix}, unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Pentru a=1\displaystyle a=1, determinați inversa matricei A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=1\displaystyle a=1 matricea devine:
    A=(01000−1−100)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}
  2. Dezvoltăm după prima linie. Singurul element nenul este a12=1\displaystyle a_{12}=1, cu minorul ∣0−1−10∣=0−1=−1\displaystyle \begin{vmatrix}0&-1\\-1&0\end{vmatrix}=0-1=-1, iar semnul este (−1)1+2=−1\displaystyle (-1)^{1+2}=-1. Deci det⁡A=1⋅(−1)⋅(−1)\displaystyle \det A=1\cdot(-1)\cdot(-1). Cum det⁡A≠0\displaystyle \det A\neq 0, matricea este inversabilă.
    det⁡A=1≠0\displaystyle \det A=1\neq 0
  3. Calculăm cofactorii Cij=(−1)i+jMij\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. Cei nenuli sunt C12=−∣0−1−10∣=1\displaystyle C_{12}=-\begin{vmatrix}0&-1\\-1&0\end{vmatrix}=1, C23=−∣01−10∣=−1\displaystyle C_{23}=-\begin{vmatrix}0&1\\-1&0\end{vmatrix}=-1 și C31=∣100−1∣=−1\displaystyle C_{31}=\begin{vmatrix}1&0\\0&-1\end{vmatrix}=-1. Ceilalți cofactori sunt 0\displaystyle 0.
    C=(01000−1−100)\displaystyle C=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}
  4. Adjuncta este A∗=CT\displaystyle A^{*}=C^{T}, iar A−1=1det⁡A A∗=A∗\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\,A^{*}=A^{*}, deoarece det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
    A−1=(00−11000−10)\displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.d)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A=(0a000−a−a00)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&a&0\\0&0&-a\\-a&0&0\end{pmatrix}, unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Arătați că A3=a3⋅I3\displaystyle A^3=a^3\cdot I_3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A. Elementul de pe linia i\displaystyle i și coloana j\displaystyle j se obține înmulțind linia i\displaystyle i din primul factor cu coloana j\displaystyle j din al doilea factor.
    A2=(0a000−a−a00)⋅(0a000−a−a00)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}0&a&0\\0&0&-a\\-a&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&a&0\\0&0&-a\\-a&0&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele. Linia 1 este (0, a, 0)\displaystyle (0,\,a,\,0): obținem 0\displaystyle 0, 0\displaystyle 0 și a⋅(−a)=−a2\displaystyle a\cdot(-a)=-a^{2}. Linia 2 este (0, 0, −a)\displaystyle (0,\,0,\,-a): obținem (−a)⋅(−a)=a2\displaystyle (-a)\cdot(-a)=a^{2}, apoi 0\displaystyle 0 și 0\displaystyle 0. Linia 3 este (−a, 0, 0)\displaystyle (-a,\,0,\,0): obținem 0\displaystyle 0, apoi (−a)⋅a=−a2\displaystyle (-a)\cdot a=-a^{2}, apoi 0\displaystyle 0.
    A2=(00−a2a2000−a20)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}0&0&-a^{2}\\a^{2}&0&0\\0&-a^{2}&0\end{pmatrix}
  3. Pentru A3\displaystyle A^3 folosim A3=A2⋅A\displaystyle A^3=A^2\cdot A.
    A3=(00−a2a2000−a20)⋅(0a000−a−a00)\displaystyle A^{3}=\begin{pmatrix}0&0&-a^{2}\\a^{2}&0&0\\0&-a^{2}&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&a&0\\0&0&-a\\-a&0&0\end{pmatrix}
  4. Calculăm elementele. Linia 1 din A2\displaystyle A^2 este (0, 0, −a2)\displaystyle (0,\,0,\,-a^{2}): obținem (−a2)⋅(−a)=a3\displaystyle (-a^{2})\cdot(-a)=a^{3} pe prima coloană și 0\displaystyle 0 în rest. Linia 2 este (a2, 0, 0)\displaystyle (a^{2},\,0,\,0): obținem a2⋅a=a3\displaystyle a^{2}\cdot a=a^{3} pe a doua coloană și 0\displaystyle 0 în rest. Linia 3 este (0, −a2, 0)\displaystyle (0,\,-a^{2},\,0): obținem (−a2)⋅(−a)=a3\displaystyle (-a^{2})\cdot(-a)=a^{3} pe a treia coloană și 0\displaystyle 0 în rest. Deci elementele de pe diagonală sunt a3\displaystyle a^{3}, iar celelalte sunt 0\displaystyle 0, adică A3=a3⋅I3\displaystyle A^3=a^3\cdot I_3.
    A3=(a3000a3000a3)=a3⋅I3\displaystyle A^{3}=\begin{pmatrix}a^{3}&0&0\\0&a^{3}&0\\0&0&a^{3}\end{pmatrix}=a^{3}\cdot I_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.e)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A=(0a000−a−a00)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&a&0\\0&0&-a\\-a&0&0\end{pmatrix}, unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Pentru a=1\displaystyle a=1, verificați egalitatea (A+I3)(A2−A+I3)=2I3\displaystyle (A+I_3)\left(A^2-A+I_3\right)=2I_3.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm produsul, înmulțind fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua: (A+I3)(A2−A+I3)=A3−A2+A+A2−A+I3\displaystyle (A+I_3)(A^2-A+I_3)=A^3-A^2+A+A^2-A+I_3. Termenii −A2\displaystyle -A^2 cu A2\displaystyle A^2 și A\displaystyle A cu −A\displaystyle -A se reduc.
    (A+I3)(A2−A+I3)=A3+I3\displaystyle (A+I_3)\left(A^2-A+I_3\right)=A^3+I_3
  2. Pentru a=1\displaystyle a=1 avem A=(01000−1−100)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A.
    A2=(00−11000−10)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm A3=A2⋅A\displaystyle A^3=A^2\cdot A. Se obține matricea unitate.
    A3=(100010001)=I3\displaystyle A^3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I_3
  4. Înlocuim A3=I3\displaystyle A^3=I_3 în A3+I3\displaystyle A^3+I_3. Obținem I3+I3=2I3\displaystyle I_3+I_3=2I_3, deci egalitatea este verificată.
    (A+I3)(A2−A+I3)=A3+I3=I3+I3=2I3\displaystyle (A+I_3)\left(A^2-A+I_3\right)=A^3+I_3=I_3+I_3=2I_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.f)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A=(0a000−a−a00)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&a&0\\0&0&-a\\-a&0&0\end{pmatrix}, unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}.

Determinați valorile numărului real a\displaystyle a pentru care det⁡(A+tA+I3)=1\displaystyle \det\left(A+{}^tA+I_3\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem transpusa matricei A\displaystyle A: liniile ei sunt coloanele lui A\displaystyle A.
    tA=(00−aa000−a0)\displaystyle {}^tA=\begin{pmatrix}0&0&-a\\a&0&0\\0&-a&0\end{pmatrix}
  2. Adunăm A\displaystyle A cu transpusa ei și cu matricea unitate I3\displaystyle I_3. Pe diagonala principală apar numai unitățile din I3\displaystyle I_3, iar în rest se adună elementele corespunzătoare.
    A+tA+I3=(1a−aa1−a−a−a1)\displaystyle A+{}^tA+I_3=\begin{pmatrix}1&a&-a\\a&1&-a\\-a&-a&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul prin dezvoltare după prima linie. Cei trei termeni sunt 1⋅(1−a2)\displaystyle 1\cdot(1-a^{2}), −a⋅(a−a2)\displaystyle -a\cdot(a-a^{2}) și −a⋅(−a2+a)\displaystyle -a\cdot(-a^{2}+a).
    (1−a2)−a(a−a2)−a(−a2+a)=1−a2−a2+a3+a3−a2\displaystyle (1-a^{2})-a(a-a^{2})-a(-a^{2}+a)=1-a^{2}-a^{2}+a^{3}+a^{3}-a^{2}
  4. Reducem termenii asemenea și obținem determinantul în funcție de a\displaystyle a.
    det⁡(A+tA+I3)=2a3−3a2+1\displaystyle \det\left(A+{}^tA+I_3\right)=2a^3-3a^2+1
  5. Punem condiția det⁡(A+tA+I3)=1\displaystyle \det\left(A+{}^tA+I_3\right)=1 și scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri.
    2a3−3a2+1=1⇔2a3−3a2=0\displaystyle 2a^3-3a^2+1=1\Leftrightarrow 2a^3-3a^2=0
  6. Dăm factor comun a2\displaystyle a^{2}: a2(2a−3)=0\displaystyle a^{2}(2a-3)=0. Din a2=0\displaystyle a^{2}=0 obținem a=0\displaystyle a=0, iar din 2a−3=0\displaystyle 2a-3=0 obținem a=32\displaystyle a=\dfrac{3}{2}.
    a2(2a−3)=0\displaystyle a^2(2a-3)=0, deci a=0 sau a=32\displaystyle \text{ deci }a=0\text{ sau }a=\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.