Bac matematică M4 pedagogic 2021, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2⋅(3+2)−18=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\left(3+\sqrt{2}\right)-\sqrt{18}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Distribuim 2\displaystyle \sqrt{2} în paranteză: înmulțim 2\displaystyle \sqrt{2} cu fiecare termen al sumei 3+2\displaystyle 3+\sqrt{2}.
    32+2⋅2−18\displaystyle 3\sqrt{2}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-\sqrt{18}
  2. Calculăm produsul 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2.
    32+2−18\displaystyle 3\sqrt{2}+2-\sqrt{18}
  3. Scoatem factorul de sub radical: 18=9⋅2\displaystyle 18=9\cdot 2, deci 18=9⋅2=32\displaystyle \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}.
    18=32\displaystyle \sqrt{18}=3\sqrt{2}
  4. Înlocuim în expresie și reducem termenii asemenea: 32−32=0\displaystyle 3\sqrt{2}-3\sqrt{2}=0, deci rămâne 2\displaystyle 2, adică egalitatea cerută.
    32+2−32=2\displaystyle 3\sqrt{2}+2-3\sqrt{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=3x+7\displaystyle g(x)=3x+7. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=g(a)\displaystyle f(a)=g(a).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm valorile funcțiilor în a\displaystyle a: f(a)=a+1\displaystyle f(a)=a+1, iar g(a)=3a+7\displaystyle g(a)=3a+7. Condiția f(a)=g(a)\displaystyle f(a)=g(a) devine o ecuație în necunoscuta a\displaystyle a.
    a+1=3a+7\displaystyle a+1=3a+7
  2. Aducem termenii cu a\displaystyle a în partea stângă și numerele în partea dreaptă: scădem 3a\displaystyle 3a și scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri.
    a−3a=7−1\displaystyle a-3a=7-1
  3. Reducem termenii asemenea: −2a=6\displaystyle -2a=6.
    −2a=6\displaystyle -2a=6
  4. Împărțim ambii membri la −2\displaystyle -2 și obținem valoarea lui a\displaystyle a. Verificare: f(−3)=−2\displaystyle f(-3)=-2 și g(−3)=−9+7=−2\displaystyle g(-3)=-9+7=-2, deci valorile coincid.
    a=−3\displaystyle a=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4+2x=4\displaystyle \sqrt{4+2x}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau zero, adică 4+2x≥0\displaystyle 4+2x\ge 0, deci x≥−2\displaystyle x\ge -2.
    x≥−2\displaystyle x\ge -2
  2. Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat: (4+2x)2=42\displaystyle \left(\sqrt{4+2x}\right)^{2}=4^{2}. Radicalul și pătratul se anulează, iar 42=16\displaystyle 4^{2}=16.
    4+2x=16\displaystyle 4+2x=16
  3. Scădem 4 din ambii membri: 2x=16−4=12\displaystyle 2x=16-4=12. Apoi împărțim la 2: x=122\displaystyle x=\dfrac{12}{2}.
    x=6\displaystyle x=6
  4. Verificăm soluția: pentru x=6\displaystyle x=6 avem 4+2⋅6=16=4\displaystyle \sqrt{4+2\cdot 6}=\sqrt{16}=4, deci egalitatea este adevărată. De asemenea, 6≥−2\displaystyle 6\ge -2, deci soluția convine.
    x=6, care convine\displaystyle x=6\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră, numărul n\displaystyle n să fie divizor al numărului 18\displaystyle 18.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră este {1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. Numărăm elementele: sunt 9\displaystyle 9 cazuri posibile.
    9\displaystyle 9
  2. Căutăm divizorii lui 18\displaystyle 18 dintre aceste numere. Verificăm pe rând: 18\displaystyle 18 se împarte exact la 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3, 6\displaystyle 6 și 9\displaystyle 9, dar nu se împarte exact la 4\displaystyle 4, 5\displaystyle 5, 7\displaystyle 7 și 8\displaystyle 8.
    18:4\displaystyle 18:4, 18:5\displaystyle \ 18:5, 18:7\displaystyle \ 18:7, 18:8 nu sunt exacte\displaystyle \ 18:8\text{ nu sunt exacte}
  3. Divizorii lui 18\displaystyle 18 de o cifră sunt 1,2,3,6,9\displaystyle 1, 2, 3, 6, 9, deci avem 5\displaystyle 5 cazuri favorabile.
    1\displaystyle 1,2\displaystyle 2,3\displaystyle 3,6\displaystyle 6,9, deci 5 cazuri \displaystyle 9\text{, deci 5 cazuri }favorabile\displaystyle \text{favorabile}
  4. Aplicăm formula probabilității, raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=59\displaystyle p=\dfrac{5}{9}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=59\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{5}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,2)\displaystyle A(-1,2) și B(3,a)\displaystyle B(3,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A\displaystyle A aparține dreptei OB\displaystyle OB.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A\displaystyle A aparține dreptei OB\displaystyle OB, deci punctele O\displaystyle O, A\displaystyle A, B\displaystyle B sunt coliniare. Originea este O(0,0)\displaystyle O(0,0). Coliniaritatea se exprimă prin egalitatea pantelor dreptelor OA\displaystyle OA și OB\displaystyle OB.
    mAO=mOB\displaystyle m_{AO}=m_{OB}
  2. Calculăm panta dreptei AO\displaystyle AO cu formula m=yA−yOxA−xO\displaystyle m=\dfrac{y_A-y_O}{x_A-x_O}, folosind O(0,0)\displaystyle O(0,0) și A(−1,2)\displaystyle A(-1,2).
    mAO=2−0−1−0=−2\displaystyle m_{AO}=\frac{2-0}{-1-0}=-2
  3. Calculăm panta dreptei OB\displaystyle OB folosind O(0,0)\displaystyle O(0,0) și B(3,a)\displaystyle B(3,a).
    mOB=a−03−0=a3\displaystyle m_{OB}=\frac{a-0}{3-0}=\frac{a}{3}
  4. Egalăm cele două pante și rezolvăm ecuația, înmulțind ambii membri cu 3\displaystyle 3.
    −2=a3, deci a=−6\displaystyle -2=\frac{a}{3}\text{, deci }a=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, cu BC=4\displaystyle BC=4 și măsura unghiului C\displaystyle C de două ori mai mare decât măsura unghiului B\displaystyle B. Determinați lungimea laturii AC\displaystyle AC a triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci unghiurile B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt complementare: ∡B+∡C=90∘\displaystyle \measuredangle B+\measuredangle C=90^\circ.
    ∡B+∡C=90∘\displaystyle \measuredangle B+\measuredangle C=90^\circ
  2. Din enunț, ∡C=2⋅∡B\displaystyle \measuredangle C=2\cdot\measuredangle B. Înlocuim în relația anterioară: ∡B+2⋅∡B=90∘\displaystyle \measuredangle B+2\cdot\measuredangle B=90^\circ, deci 3⋅∡B=90∘\displaystyle 3\cdot\measuredangle B=90^\circ.
    3⋅∡B=90∘\displaystyle 3\cdot\measuredangle B=90^\circ
  3. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem ∡B=30∘\displaystyle \measuredangle B=30^\circ, iar ∡C=60∘\displaystyle \measuredangle C=60^\circ.
    ∡B=30∘\displaystyle \measuredangle B=30^\circ
  4. Cateta AC\displaystyle AC este opusă unghiului B\displaystyle B de 30∘\displaystyle 30^\circ. Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unui unghi de 30∘\displaystyle 30^\circ este jumătate din ipotenuză, iar ipotenuza este BC\displaystyle BC. Deci AC=BC2\displaystyle AC=\dfrac{BC}{2}.
    AC=BC2\displaystyle AC=\frac{BC}{2}
  5. Înlocuim BC=4\displaystyle BC=4: AC=42=2\displaystyle AC=\dfrac{4}{2}=2.
    AC=BC2, de unde AC=2\displaystyle AC=\frac{BC}{2}\text{, de unde }AC=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3x+3y−3xy−2\displaystyle x*y=3x+3y-3xy-2.

Arătați că 1∗2=1\displaystyle 1*2=1.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=3x+3y−3xy−2\displaystyle x*y=3x+3y-3xy-2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2.
    1∗2=3⋅1+3⋅2−3⋅1⋅2−2\displaystyle 1*2=3\cdot 1+3\cdot 2-3\cdot 1\cdot 2-2
  2. Calculăm produsele: 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3, 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6 și 3⋅1⋅2=6\displaystyle 3\cdot 1\cdot 2=6.
    1∗2=3+6−6−2\displaystyle 1*2=3+6-6-2
  3. Termenii 6\displaystyle 6 și −6\displaystyle -6 se reduc, rămâne 3−2=1\displaystyle 3-2=1, deci 1∗2=1\displaystyle 1*2=1, ceea ce trebuia arătat.
    1∗2=3−2=1\displaystyle 1*2=3-2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3x+3y−3xy−2\displaystyle x*y=3x+3y-3xy-2.

Arătați că x∗y=1−3(x−1)(y−1)\displaystyle x*y=1-3(x-1)(y-1), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=3x+3y−3xy−2\displaystyle x*y=3x+3y-3xy-2. Scriem −2=1−3\displaystyle -2=1-3 și ordonăm termenii, punând întâi −3xy\displaystyle -3xy.
    x∗y=1−3xy+3x+3y−3\displaystyle x*y=1-3xy+3x+3y-3
  2. Grupăm termenii care conțin pe x\displaystyle x: −3xy+3x=−3x(y−1)\displaystyle -3xy+3x=-3x(y-1). Pentru termenii rămași, 3y−3=3(y−1)\displaystyle 3y-3=3(y-1).
    x∗y=1−3x(y−1)+3(y−1)\displaystyle x*y=1-3x(y-1)+3(y-1)
  3. Dăm factor comun pe y−1\displaystyle y-1 din ultimii doi termeni: −3x(y−1)+3(y−1)=−3(x−1)(y−1)\displaystyle -3x(y-1)+3(y-1)=-3(x-1)(y-1). Obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=1−3(x−1)(y−1), pentru orice numere \displaystyle x*y=1-3(x-1)(y-1)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3x+3y−3xy−2\displaystyle x*y=3x+3y-3xy-2.

Arătați că e=23\displaystyle e=\frac{2}{3} este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem legea la forma factorizată. Observăm că x∗y=1−3(x−1)(y−1)\displaystyle x*y=1-3(x-1)(y-1). Verificăm desfăcând parantezele: 1−3(xy−x−y+1)=3x+3y−3xy−2\displaystyle 1-3(xy-x-y+1)=3x+3y-3xy-2.
    x∗y=1−3(x−1)(y−1)\displaystyle x*y=1-3(x-1)(y-1)
  2. Pentru a arăta că e=23\displaystyle e=\dfrac{2}{3} este element neutru, trebuie să verificăm că x∗e=x\displaystyle x*e=x și e∗x=x\displaystyle e*x=x pentru orice x\displaystyle x real. Începem cu x∗23\displaystyle x*\dfrac{2}{3}, înlocuind y\displaystyle y cu 23\displaystyle \dfrac{2}{3} în forma factorizată.
    x∗23=1−3(x−1)(23−1)\displaystyle x*\frac{2}{3}=1-3(x-1)\left(\frac{2}{3}-1\right)
  3. Calculăm 23−1=−13\displaystyle \dfrac{2}{3}-1=-\dfrac{1}{3}. Atunci −3⋅(−13)=1\displaystyle -3\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)=1, deci obținem 1+(x−1)=x\displaystyle 1+(x-1)=x, pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗23=1−3(x−1)(23−1)=1+x−1=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*\frac{2}{3}=1-3(x-1)\left(\frac{2}{3}-1\right)=1+x-1=x\text{, pentru orice număr real }x
  4. Legea este comutativă, deoarece forma factorizată este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, dar verificăm direct și cealaltă egalitate. Înlocuim x\displaystyle x cu 23\displaystyle \dfrac{2}{3} în forma factorizată.
    23∗x=1−3(23−1)(x−1)\displaystyle \frac{2}{3}*x=1-3\left(\frac{2}{3}-1\right)(x-1)
  5. Calculăm 23−1=−13\displaystyle \dfrac{2}{3}-1=-\dfrac{1}{3}, deci −3⋅(−13)=1\displaystyle -3\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)=1. Rezultă 1+(x−1)=x\displaystyle 1+(x-1)=x pentru orice x\displaystyle x real. Cum x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x\displaystyle x real, e=23\displaystyle e=\dfrac{2}{3} este elementul neutru al legii.
    23∗x=1−3(23−1)(x−1)=1+x−1=x, pentru orice numa˘r real x, deci e=23 este elementul neutru al \displaystyle \frac{2}{3}*x=1-3\left(\frac{2}{3}-1\right)(x-1)=1+x-1=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=\frac{2}{3}\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „∗”\displaystyle \text{legii de compoziție „}*\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3x+3y−3xy−2\displaystyle x*y=3x+3y-3xy-2.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (2−x)∗2=2+x\displaystyle (2-x)*2=2+x.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=3x+3y−3xy−2\displaystyle x*y=3x+3y-3xy-2 pentru primul termen 2−x\displaystyle 2-x și al doilea termen 2\displaystyle 2.
    (2−x)∗2=3(2−x)+3⋅2−3(2−x)⋅2−2\displaystyle (2-x)*2=3(2-x)+3\cdot 2-3(2-x)\cdot 2-2
  2. Desfacem parantezele: 3(2−x)=6−3x\displaystyle 3(2-x)=6-3x și 3(2−x)⋅2=12−6x\displaystyle 3(2-x)\cdot 2=12-6x. Apoi reducem termenii asemenea și obținem rezultatul pentru orice x\displaystyle x real.
    (2−x)∗2=6−3x+6−12+6x−2=3x−2\displaystyle (2-x)*2=6-3x+6-12+6x-2=3x-2
  3. Ecuația (2−x)∗2=2+x\displaystyle (2-x)*2=2+x devine, după înlocuire, o ecuație de gradul I.
    3x−2=2+x\displaystyle 3x-2=2+x
  4. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: 3x−x=2+2\displaystyle 3x-x=2+2, adică 2x=4\displaystyle 2x=4. Împărțim la 2\displaystyle 2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3x+3y−3xy−2\displaystyle x*y=3x+3y-3xy-2.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale pentru care m∗n=19\displaystyle m*n=19.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Desfacem parantezele: −3(x−1)(y−1)+1=−3xy+3x+3y−3+1=3x+3y−3xy−2\displaystyle -3(x-1)(y-1)+1=-3xy+3x+3y-3+1=3x+3y-3xy-2, deci x∗y=1−3(x−1)(y−1)\displaystyle x*y=1-3(x-1)(y-1).
    x∗y=1−3(x−1)(y−1)\displaystyle x*y=1-3(x-1)(y-1)
  2. Din m∗n=19\displaystyle m*n=19 obținem 1−3(m−1)(n−1)=19\displaystyle 1-3(m-1)(n-1)=19. Rezultă −3(m−1)(n−1)=18\displaystyle -3(m-1)(n-1)=18, deci (m−1)(n−1)=−6\displaystyle (m-1)(n-1)=-6, cu m,n∈N\displaystyle m,n\in\mathbb{N}.
    (m−1)(n−1)=−6\displaystyle (m-1)(n-1)=-6
  3. Numerele m−1\displaystyle m-1 și n−1\displaystyle n-1 sunt întregi, au produsul −6\displaystyle -6, deci sunt divizori ai lui 6\displaystyle 6, cu semne opuse. Cum m,n∈N\displaystyle m,n\in\mathbb{N}, avem m≥0\displaystyle m\geq 0 și n≥0\displaystyle n\geq 0, deci m−1≥−1\displaystyle m-1\geq -1 și n−1≥−1\displaystyle n-1\geq -1.
    m−1≥−1 și n−1≥−1\displaystyle m-1\geq -1\text{ și }n-1\geq -1
  4. Unul dintre factori este negativ și cel puțin −1\displaystyle -1, deci este egal cu −1\displaystyle -1. Celălalt factor este atunci 6\displaystyle 6. Cazurile cu factorul negativ −2\displaystyle -2, −3\displaystyle -3 sau −6\displaystyle -6 nu convin, pentru că ar duce la un număr natural negativ.
    (m−1,n−1)∈{(−1,6),(6,−1)}\displaystyle (m-1,n-1)\in\{(-1,6),(6,-1)\}
  5. Adunăm 1\displaystyle 1 la fiecare factor și obținem m=0\displaystyle m=0, n=7\displaystyle n=7, respectiv m=7\displaystyle m=7, n=0\displaystyle n=0. Ambele perechi sunt formate din numere naturale și verifică egalitatea.
    (m,n)∈{(0,7),(7,0)}\displaystyle (m,n)\in\{(0,7),(7,0)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3x+3y−3xy−2\displaystyle x*y=3x+3y-3xy-2.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care (a∗1)+(a∗2)+(a∗3)=3a2\displaystyle (a*1)+(a*2)+(a*3)=3a^2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm a∗1\displaystyle a*1 înlocuind y=1\displaystyle y=1 în x∗y=3x+3y−3xy−2\displaystyle x*y=3x+3y-3xy-2: a∗1=3a+3−3a−2\displaystyle a*1=3a+3-3a-2.
    a∗1=1\displaystyle a*1=1
  2. Calculăm a∗2\displaystyle a*2 înlocuind y=2\displaystyle y=2: a∗2=3a+6−6a−2\displaystyle a*2=3a+6-6a-2.
    a∗2=4−3a\displaystyle a*2=4-3a
  3. Calculăm a∗3\displaystyle a*3 înlocuind y=3\displaystyle y=3: a∗3=3a+9−9a−2\displaystyle a*3=3a+9-9a-2.
    a∗3=7−6a\displaystyle a*3=7-6a
  4. Adunăm cele trei rezultate: 1+(4−3a)+(7−6a)\displaystyle 1+(4-3a)+(7-6a). Constantele dau 1+4+7=12\displaystyle 1+4+7=12, iar termenii în a\displaystyle a dau −3a−6a=−9a\displaystyle -3a-6a=-9a.
    (a∗1)+(a∗2)+(a∗3)=12−9a\displaystyle (a*1)+(a*2)+(a*3)=12-9a
  5. Punem condiția din enunț: 12−9a=3a2\displaystyle 12-9a=3a^2. Mutăm toți termenii într-un membru și împărțim la 3\displaystyle 3, deci obținem ecuația de gradul II a2+3a−4=0\displaystyle a^2+3a-4=0.
    a2+3a−4=0\displaystyle a^{2}+3a-4=0
  6. Rezolvăm ecuația: Δ=32−4⋅(−4)=25\displaystyle \Delta=3^2-4\cdot(-4)=25, deci a=−3±52\displaystyle a=\dfrac{-3\pm 5}{2}. Altfel spus, (a+4)(a−1)=0\displaystyle (a+4)(a-1)=0, de unde a=−4\displaystyle a=-4 sau a=1\displaystyle a=1.
    a=−4 sau a=1\displaystyle a=-4\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−1−24)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&4\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(x−2−x−2x4x−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x-2&-x\\-2x&4x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=2\displaystyle \det A=2.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim formula determinantului de ordin 2: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, determinantul este a⋅d−b⋅c\displaystyle a\cdot d-b\cdot c, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Aplicăm formula pentru matricea A\displaystyle A, cu a=1\displaystyle a=1, b=−1\displaystyle b=-1, c=−2\displaystyle c=-2, d=4\displaystyle d=4.
    det⁡A=∣1−1−24∣=1⋅4−(−1)⋅(−2)\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&-1\\-2&4\end{vmatrix}=1\cdot 4-(-1)\cdot(-2)
  3. Calculăm produsele: 1⋅4=4\displaystyle 1\cdot 4=4, iar (−1)⋅(−2)=2\displaystyle (-1)\cdot(-2)=2, deci determinantul este 4−2=2\displaystyle 4-2=2.
    det⁡A=4−2=2\displaystyle \det A=4-2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−1−24)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&4\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(x−2−x−2x4x−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x-2&-x\\-2x&4x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că xA−2I2=B(x)\displaystyle xA-2I_2=B(x), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim matricea A\displaystyle A cu numărul real x\displaystyle x: fiecare element al lui A\displaystyle A se înmulțește cu x\displaystyle x.
    xA=(x−x−2x4x)\displaystyle xA=\begin{pmatrix}x&-x\\-2x&4x\end{pmatrix}
  2. Înmulțim matricea unitate I2\displaystyle I_2 cu 2\displaystyle 2: se obține matricea cu 2\displaystyle 2 pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest.
    2I2=(2002)\displaystyle 2I_2=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
  3. Scriem diferența xA−2I2\displaystyle xA-2I_2 folosind cele două matrice calculate.
    xA−2I2=(x−x−2x4x)−(2002)\displaystyle xA-2I_2=\begin{pmatrix}x&-x\\-2x&4x\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
  4. Scădem matricele element cu element: x−2\displaystyle x-2, −x−0\displaystyle -x-0, −2x−0\displaystyle -2x-0, 4x−2\displaystyle 4x-2. Obținem exact matricea B(x)\displaystyle B(x), pentru orice număr real x\displaystyle x.
    (x−2−x−2x4x−2)=B(x), pentru orice numa˘r real x\displaystyle \begin{pmatrix}x-2&-x\\-2x&4x-2\end{pmatrix}=B(x)\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−1−24)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&4\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(x−2−x−2x4x−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x-2&-x\\-2x&4x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A⋅A=B(5)\displaystyle A\cdot A=B(5).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind matricea A\displaystyle A cu ea însăși, linie cu coloană.
    A⋅A=(1−1−24)⋅(1−1−24)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-1\\-2&4\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele de pe prima linie: 1⋅1+(−1)⋅(−2)=3\displaystyle 1\cdot 1+(-1)\cdot(-2)=3 și 1⋅(−1)+(−1)⋅4=−5\displaystyle 1\cdot(-1)+(-1)\cdot 4=-5.
    (3−5)\displaystyle \begin{pmatrix}3&-5\end{pmatrix}
  3. Calculăm elementele de pe a doua linie: (−2)⋅1+4⋅(−2)=−10\displaystyle (-2)\cdot 1+4\cdot(-2)=-10 și (−2)⋅(−1)+4⋅4=2+16=18\displaystyle (-2)\cdot(-1)+4\cdot 4=2+16=18. Obținem A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    A⋅A=(3−5−1018)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&-5\\-10&18\end{pmatrix}
  4. Înlocuim x=5\displaystyle x=5 în B(x)\displaystyle B(x): x−2=3\displaystyle x-2=3, −x=−5\displaystyle -x=-5, −2x=−10\displaystyle -2x=-10, 4x−2=18\displaystyle 4x-2=18. Comparând cu A⋅A\displaystyle A\cdot A, obținem egalitatea cerută.
    B(5)=(3−5−1018), deci A⋅A=B(5)\displaystyle B(5)=\begin{pmatrix}3&-5\\-10&18\end{pmatrix}\text{, deci }A\cdot A=B(5)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−1−24)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&4\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(x−2−x−2x4x−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x-2&-x\\-2x&4x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(B(x))=4\displaystyle \det(B(x))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei B(x)\displaystyle B(x) ca diferență între produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(B(x))=∣x−2−x−2x4x−2∣=(x−2)(4x−2)−(−x)(−2x)\displaystyle \det(B(x))=\begin{vmatrix}x-2&-x\\-2x&4x-2\end{vmatrix}=(x-2)(4x-2)-(-x)(-2x).
    det⁡(B(x))=(x−2)(4x−2)−(−x)(−2x)\displaystyle \det(B(x))=(x-2)(4x-2)-(-x)(-2x)
  2. Efectuăm înmulțirile: (x−2)(4x−2)=4x2−2x−8x+4=4x2−10x+4\displaystyle (x-2)(4x-2)=4x^{2}-2x-8x+4=4x^{2}-10x+4, iar (−x)(−2x)=2x2\displaystyle (-x)(-2x)=2x^{2}. Atunci det⁡(B(x))=4x2−10x+4−2x2\displaystyle \det(B(x))=4x^{2}-10x+4-2x^{2}, deci rezultă expresia de mai jos, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    det⁡(B(x))=2x2−10x+4\displaystyle \det(B(x))=2x^{2}-10x+4
  3. Punem condiția det⁡(B(x))=4\displaystyle \det(B(x))=4, adică 2x2−10x+4=4\displaystyle 2x^{2}-10x+4=4. Scădem 4 din ambii membri și împărțim la 2.
    2x2−10x+4=4⇔2x2−10x=0⇔x2−5x=0\displaystyle 2x^{2}-10x+4=4\Leftrightarrow 2x^{2}-10x=0\Leftrightarrow x^{2}-5x=0
  4. Dăm factor comun: x(x−5)=0\displaystyle x(x-5)=0. Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x−5=0\displaystyle x-5=0.
    x=0 sau x=5\displaystyle x=0\text{ sau }x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−1−24)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&4\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(x−2−x−2x4x−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x-2&-x\\-2x&4x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real. Arătați că B(xy)−xB(y)=2(x−1)I2\displaystyle B(xy)-xB(y)=2(x-1)I_2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Exprimăm B(x)\displaystyle B(x) cu ajutorul matricelor A\displaystyle A și I2\displaystyle I_2. Calculăm xA−2I2\displaystyle xA-2I_2 și observăm că se obține exact B(x)\displaystyle B(x).
    xA−2I2=(x−x−2x4x)−(2002)=(x−2−x−2x4x−2)=B(x)\displaystyle xA-2I_2=\begin{pmatrix}x&-x\\-2x&4x\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-2&-x\\-2x&4x-2\end{pmatrix}=B(x)
  2. Deoarece B(x)=xA−2I2\displaystyle B(x)=xA-2I_2 pentru orice x\displaystyle x real, înlocuim x\displaystyle x cu xy\displaystyle xy și apoi cu y\displaystyle y. Obținem B(xy)=xyA−2I2\displaystyle B(xy)=xyA-2I_2 și B(y)=yA−2I2\displaystyle B(y)=yA-2I_2.
    B(xy)=xyA−2I2\displaystyle B(xy)=xyA-2I_2
  3. Înlocuim aceste expresii în diferența B(xy)−xB(y)\displaystyle B(xy)-xB(y) și înmulțim paranteza cu x\displaystyle x.
    B(xy)−xB(y)=xyA−2I2−x(yA−2I2)=xyA−2I2−xyA+2xI2\displaystyle B(xy)-xB(y)=xyA-2I_2-x(yA-2I_2)=xyA-2I_2-xyA+2xI_2
  4. Reducem termenii asemenea: xyA\displaystyle xyA se anulează cu −xyA\displaystyle -xyA, iar rămân 2xI2\displaystyle 2xI_2 și −2I2\displaystyle -2I_2. Dăm factor comun și obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    2xI2−2I2=2(x−1)I2, pentru orice numere \displaystyle 2xI_2-2I_2=2(x-1)I_2\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−1−24)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&4\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(x−2−x−2x4x−2)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x-2&-x\\-2x&4x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care B(6x)−2xB(3x)=6I2\displaystyle B\left(6^x\right)-2^xB\left(3^x\right)=6I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că matricea B(t)\displaystyle B(t) se scrie cu ajutorul lui A\displaystyle A și I2\displaystyle I_2: B(t)=tA−2I2\displaystyle B(t)=tA-2I_2, pentru orice t∈R\displaystyle t\in\mathbb{R}. Într-adevăr, tA=(t−t−2t4t)\displaystyle tA=\begin{pmatrix}t&-t\\-2t&4t\end{pmatrix}, iar scăzând 2I2\displaystyle 2I_2 obținem exact B(t)\displaystyle B(t).
    B(t)=tA−2I2\displaystyle B(t)=tA-2I_2
  2. Scriem 6x=2x⋅3x\displaystyle 6^x=2^x\cdot 3^x și aplicăm formula de mai sus pentru B(6x)\displaystyle B\left(6^x\right).
    B(6x)=B(2x⋅3x)=2x⋅3x A−2I2=6xA−2I2\displaystyle B\left(6^x\right)=B\left(2^x\cdot 3^x\right)=2^x\cdot 3^x\,A-2I_2=6^xA-2I_2
  3. Calculăm 2xB(3x)\displaystyle 2^xB\left(3^x\right), folosind aceeași formulă pentru B(3x)\displaystyle B\left(3^x\right) și apoi înmulțind cu 2x\displaystyle 2^x.
    2xB(3x)=2x(3xA−2I2)=6xA−2⋅2xI2\displaystyle 2^xB\left(3^x\right)=2^x\left(3^xA-2I_2\right)=6^xA-2\cdot 2^xI_2
  4. Scădem cele două matrice: termenii cu A\displaystyle A se reduc, iar rămân doar multipli ai lui I2\displaystyle I_2. Obținem identitatea, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    B(6x)−2xB(3x)=6xA−2I2−6xA+2⋅2xI2=2(2x−1)I2\displaystyle B\left(6^x\right)-2^xB\left(3^x\right)=6^xA-2I_2-6^xA+2\cdot 2^xI_2=2\left(2^x-1\right)I_2
  5. Înlocuim în ecuația dată: 2(2x−1)I2=6I2\displaystyle 2\left(2^x-1\right)I_2=6I_2. Doi multipli ai lui I2\displaystyle I_2 sunt egali doar dacă scalarii sunt egali, deci rezultă o ecuație exponențială.
    2(2x−1)=6\displaystyle 2\left(2^x-1\right)=6
  6. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem 2x−1=3\displaystyle 2^x-1=3, deci 2x=4=22\displaystyle 2^x=4=2^2. Funcția exponențială este injectivă, deci x=2\displaystyle x=2.
    2x=4, de unde x=2\displaystyle 2^x=4\text{, de unde }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.