Bac matematică M4 pedagogic 2014, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că ((13)2+2):199=1\displaystyle \left(\left(\frac{1}{3}\right)^2+2\right):\frac{19}{9}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm puterea din paranteză: (13)2=1232\displaystyle \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{1^{2}}{3^{2}}, deci obținem o fracție cu numitorul 9\displaystyle 9.
    (13)2=19\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}
  2. Scriem 2\displaystyle 2 ca fracție cu numitorul 9\displaystyle 9: 2=2⋅99\displaystyle 2=\dfrac{2\cdot 9}{9}.
    2=189\displaystyle 2=\frac{18}{9}
  3. Adunăm fracțiile cu același numitor: 19+189=1+189\displaystyle \dfrac{1}{9}+\dfrac{18}{9}=\dfrac{1+18}{9}. Astfel paranteza este egală cu 199\displaystyle \dfrac{19}{9}.
    (13)2+2=19+189=199\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{2}+2=\frac{1}{9}+\frac{18}{9}=\frac{19}{9}
  4. Înlocuim rezultatul parantezei în expresia inițială și obținem 199:199\displaystyle \dfrac{19}{9}:\dfrac{19}{9}. Un număr nenul împărțit la el însuși este 1\displaystyle 1, deci egalitatea este demonstrată.
    199:199=1\displaystyle \frac{19}{9}:\frac{19}{9}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2014−x\displaystyle f(x)=2014-x și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x−2014\displaystyle g(x)=x-2014. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.
Vezi rezolvarea
  1. Abscisa punctului de intersecție se află din condiția f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x). Scriem ecuația: 2014−x=x−2014\displaystyle 2014-x=x-2014.
    2014−x=x−2014\displaystyle 2014-x=x-2014
  2. Grupăm termenii: 2014+2014=x+x\displaystyle 2014+2014=x+x, adică 4028=2x\displaystyle 4028=2x.
    4028=2x\displaystyle 4028=2x
  3. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem abscisa x=2014\displaystyle x=2014.
    x=2014\displaystyle x=2014
  4. Aflăm ordonata: f(2014)=2014−2014=0\displaystyle f(2014)=2014-2014=0. Verificăm cu g(2014)=2014−2014=0\displaystyle g(2014)=2014-2014=0. Punctul de intersecție este (2014,0)\displaystyle (2014,0).
    x=2014 și y=0\displaystyle x=2014\text{ și }y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9x2+3x=9x−1\displaystyle 9^{x^2+3x}=9^{x-1}.
Vezi rezolvarea
  1. Cele două puteri au aceeași bază, 9\displaystyle 9, care este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1. Funcția exponențială este injectivă, deci egalitatea puterilor este echivalentă cu egalitatea exponenților: x2+3x=x−1\displaystyle x^{2}+3x=x-1.
    x2+3x=x−1\displaystyle x^{2}+3x=x-1
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng și reducem termenii asemenea: x2+3x−x+1=0\displaystyle x^{2}+3x-x+1=0, adică x2+2x+1=0\displaystyle x^{2}+2x+1=0.
    x2+2x+1=0\displaystyle x^{2}+2x+1=0
  3. Membrul stâng este pătrat perfect: x2+2x+1=(x+1)2\displaystyle x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}, deci ecuația devine (x+1)2=0\displaystyle (x+1)^{2}=0. Un pătrat este zero doar când baza este zero, deci x+1=0\displaystyle x+1=0.
    (x+1)2=0⇒x+1=0\displaystyle (x+1)^{2}=0\Rightarrow x+1=0
  4. Rezultă x=−1\displaystyle x=-1, soluție unică în mulțimea numerelor reale. Ecuația exponențială nu are restricții asupra lui x\displaystyle x, deci soluția convine.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui aparat de fotografiat este de 360\displaystyle 360 de lei. Determinați prețul aparatului de fotografiat după o reducere cu 25%\displaystyle 25\%.
Vezi rezolvarea
  1. Reducerea este 25%\displaystyle 25\% din prețul inițial. Scriem 25%=25100=14\displaystyle 25\%=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}.
    25%=25100=14\displaystyle 25\%=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}
  2. Calculăm reducerea: 25100⋅360=3604=90\displaystyle \dfrac{25}{100}\cdot 360=\dfrac{360}{4}=90.
    25100⋅360=90\displaystyle \dfrac{25}{100}\cdot 360=90
  3. Prețul după reducere este prețul inițial minus reducerea: 360−90=270\displaystyle 360-90=270 lei.
    360−90=270 de lei\displaystyle 360-90=270\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−2,3)\displaystyle A(-2,3) și B(2,3)\displaystyle B(2,3). Determinați coordonatele mijlocului segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Folosim formula mijlocului: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2},yM=yA+yB2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Înlocuim abscisele xA=−2\displaystyle x_A=-2 și xB=2\displaystyle x_B=2 și calculăm abscisa mijlocului: xM=−2+22=02\displaystyle x_M=\dfrac{-2+2}{2}=\dfrac{0}{2}.
    xM=−2+22=0\displaystyle x_M=\dfrac{-2+2}{2}=0
  3. Înlocuim ordonatele yA=3\displaystyle y_A=3 și yB=3\displaystyle y_B=3: yM=3+32=62=3\displaystyle y_M=\dfrac{3+3}{2}=\dfrac{6}{2}=3. Deci mijlocul segmentului AB\displaystyle AB este punctul M(0,3)\displaystyle M(0,3).
    yM=3+32=3\displaystyle y_M=\dfrac{3+3}{2}=3,M(0,3)\displaystyle \quad M(0,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați lungimea laturii BC\displaystyle BC a triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A știind că AC=6\displaystyle AC=6 și sin⁡B=35\displaystyle \sin B=\frac{3}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC. Latura AC\displaystyle AC este cateta opusă unghiului B\displaystyle B.
    sin⁡B=ACBC\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{BC}
  2. Înlocuim în definiția sinusului valorile cunoscute: sin⁡B=35\displaystyle \sin B=\dfrac{3}{5} și AC=6\displaystyle AC=6.
    35=6BC\displaystyle \dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{BC}
  3. Din proporție, înmulțim pe diagonală: 3⋅BC=5⋅6=30\displaystyle 3\cdot BC=5\cdot 6=30. Apoi împărțim la 3\displaystyle 3.
    BC=303=10\displaystyle BC=\dfrac{30}{3}=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+11\displaystyle x*y=x+y+11.

Calculați 8∗(−3)\displaystyle 8*(-3).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție: pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, x∗y=x+y+11\displaystyle x*y=x+y+11. Înlocuim x=8\displaystyle x=8 și y=−3\displaystyle y=-3.
    8∗(−3)=8+(−3)+11\displaystyle 8*(-3)=8+(-3)+11
  2. Adunăm primii doi termeni: 8+(−3)=5\displaystyle 8+(-3)=5, apoi adăugăm 11\displaystyle 11.
    8−3+11=5+11\displaystyle 8-3+11=5+11
  3. Efectuăm adunarea finală: 5+11=16\displaystyle 5+11=16. Deci 8∗(−3)=16\displaystyle 8*(-3)=16.
    8∗(−3)=16\displaystyle 8*(-3)=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+11\displaystyle x*y=x+y+11.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Asociativitatea înseamnă că pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} avem (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z). Calculăm separat cele două grupări, începând cu (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z.
    (x∗y)∗z=(x+y+11)∗z\displaystyle (x*y)*z=(x+y+11)*z
  2. Aplicăm legea încă o dată: primul element este acum x+y+11\displaystyle x+y+11, iar al doilea este z\displaystyle z. Adunăm cele două elemente și adăugăm 11\displaystyle 11.
    (x+y+11)∗z=(x+y+11)+z+11=x+y+z+22\displaystyle (x+y+11)*z=(x+y+11)+z+11=x+y+z+22
  3. Calculăm acum cealaltă grupare, x∗(y∗z)\displaystyle x*(y*z). Întâi aflăm y∗z\displaystyle y*z.
    y∗z=y+z+11\displaystyle y*z=y+z+11
  4. Aplicăm legea pentru x\displaystyle x și y+z+11\displaystyle y+z+11: adunăm cele două elemente și adăugăm 11\displaystyle 11.
    x∗(y+z+11)=x+(y+z+11)+11=x+y+z+22\displaystyle x*(y+z+11)=x+(y+z+11)+11=x+y+z+22
  5. Cele două grupări dau același rezultat, x+y+z+22\displaystyle x+y+z+22, pentru orice numere reale x,y,z\displaystyle x,y,z. Deci legea „∗\displaystyle *” este asociativă.
    x∗(y∗z)=x+y+z+22=(x∗y)∗z pentru orice numere reale x\displaystyle x*(y*z)=x+y+z+22=(x*y)*z\text{ pentru orice numere reale }x,y și z\displaystyle y\text{ și }z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+11\displaystyle x*y=x+y+11.

Verificați dacă e=−11\displaystyle e=-11 este element neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: e\displaystyle e este element neutru dacă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem x∗e=x\displaystyle x*e=x și e∗x=x\displaystyle e*x=x. Verificăm ambele egalități pentru e=−11\displaystyle e=-11.
    x∗(−11)=x și (−11)∗x=x, pentru orice x∈R\displaystyle x*(-11)=x\text{ și }(-11)*x=x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm x∗(−11)\displaystyle x*(-11) înlocuind y=−11\displaystyle y=-11 în x∗y=x+y+11\displaystyle x*y=x+y+11. Termenii −11\displaystyle -11 și 11\displaystyle 11 se reduc.
    x∗(−11)=x+(−11)+11=x\displaystyle x*(-11)=x+(-11)+11=x
  3. Calculăm (−11)∗x\displaystyle (-11)*x înlocuind primul element cu −11\displaystyle -11. Din nou, termenii −11\displaystyle -11 și 11\displaystyle 11 se reduc. Egalitatea este adevărată pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci e=−11\displaystyle e=-11 este element neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    (−11)∗x=−11+x+11=x pentru orice numa˘r real x\displaystyle (-11)*x=-11+x+11=x\text{ pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+11\displaystyle x*y=x+y+11.

Determinați numerele întregi x\displaystyle x știind că (x2)∗x=121\displaystyle \left(x^2\right)*x=121.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii a∗b=a+b+11\displaystyle a*b=a+b+11 pentru a=x2\displaystyle a=x^{2} și b=x\displaystyle b=x.
    (x2)∗x=x2+x+11\displaystyle \left(x^{2}\right)*x=x^{2}+x+11
  2. Din condiția (x2)∗x=121\displaystyle \left(x^{2}\right)*x=121 obținem x2+x+11=121\displaystyle x^{2}+x+11=121, deci scăzând 121 din ambii membri rezultă ecuația de gradul al doilea.
    x2+x+11=121⇔x2+x−110=0\displaystyle x^{2}+x+11=121\Leftrightarrow x^{2}+x-110=0
  3. Pentru a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle b=1, c=−110\displaystyle c=-110 calculăm Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac.
    Δ=1+440=441=212\displaystyle \Delta=1+440=441=21^{2}
  4. Aplicăm formula x=−b±Δ2a=−1±212\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1\pm 21}{2}. Ambele soluții sunt numere întregi, deci convin.
    x1=−1+212=10 și x2=−1−212=−11\displaystyle x_1=\dfrac{-1+21}{2}=10\text{ și }x_2=\dfrac{-1-21}{2}=-11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+11\displaystyle x*y=x+y+11.

Arătați că x∗(x+23)=(x∗x)∗12\displaystyle x*(x+23)=(x*x)*12 pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii x∗y=x+y+11\displaystyle x*y=x+y+11. Pentru membrul stâng, înlocuim y\displaystyle y cu x+23\displaystyle x+23: x∗(x+23)=x+(x+23)+11\displaystyle x*(x+23)=x+(x+23)+11.
    x∗(x+23)=x+(x+23)+11\displaystyle x*(x+23)=x+(x+23)+11
  2. Reducem termenii asemenea: x+x=2x\displaystyle x+x=2x și 23+11=34\displaystyle 23+11=34. Obținem membrul stâng.
    x∗(x+23)=2x+34\displaystyle x*(x+23)=2x+34
  3. Pentru membrul drept, calculăm mai întâi paranteza: x∗x=x+x+11=2x+11\displaystyle x*x=x+x+11=2x+11.
    x∗x=2x+11\displaystyle x*x=2x+11
  4. Aplicăm legea între 2x+11\displaystyle 2x+11 și 12\displaystyle 12: (x∗x)∗12=(2x+11)+12+11\displaystyle (x*x)*12=(2x+11)+12+11.
    (x∗x)∗12=(2x+11)+12+11\displaystyle (x*x)*12=(2x+11)+12+11
  5. Reducem termenii: 11+12+11=34\displaystyle 11+12+11=34, deci (x∗x)∗12=2x+34\displaystyle (x*x)*12=2x+34. Este aceeași expresie ca la membrul stâng, deci egalitatea are loc pentru orice x\displaystyle x real.
    (x∗x)∗12=2x+34=x∗(x+23) pentru orice numa˘r real x\displaystyle (x*x)*12=2x+34=x*(x+23)\text{ pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+11\displaystyle x*y=x+y+11.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg⁡x∗lg⁡x=13\displaystyle \lg x*\lg x=13.
Vezi rezolvarea
  1. Logaritmul zecimal este definit doar pentru x>0\displaystyle x>0, deci căutăm soluții cu x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty)
  2. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y+11\displaystyle x*y=x+y+11 pentru x=y=lg⁡x\displaystyle x=y=\lg x. Ecuația devine lg⁡x+lg⁡x+11=13\displaystyle \lg x+\lg x+11=13.
    lg⁡x+lg⁡x+11=13\displaystyle \lg x+\lg x+11=13
  3. Reducem termenii asemenea: 2lg⁡x+11=13\displaystyle 2\lg x+11=13, deci 2lg⁡x=2\displaystyle 2\lg x=2.
    2lg⁡x=2\displaystyle 2\lg x=2
  4. Împărțim la 2 și obținem lg⁡x=1\displaystyle \lg x=1, deci x=101=10\displaystyle x=10^{1}=10. Verificare: 10>0\displaystyle 10>0, lg⁡10=1\displaystyle \lg 10=1 și 1∗1=1+1+11=13\displaystyle 1*1=1+1+11=13, deci soluția convine.
    lg⁡x=1⇒x=10 care verifica˘ ecuația\displaystyle \lg x=1\Rightarrow x=10\text{ care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Calculați det⁡(A(0))\displaystyle \det(A(0)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix} și obținem matricea unitate de ordinul doi.
    A(0)=(1001)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul și aplicăm formula ∣pqrs∣=p⋅s−q⋅r\displaystyle \begin{vmatrix}p&q\\r&s\end{vmatrix}=p\cdot s-q\cdot r, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(0))=∣1001∣=1⋅1−0⋅0\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-0\cdot 0
  3. Calculăm produsele: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1 și 0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0=0, deci scăderea dă 1−0=1\displaystyle 1-0=1.
    det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a știind că 2A(a)+A(a−3)=3A(0)\displaystyle 2A(a)+A(a-3)=3A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Din definiția A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix} obținem A(a−3)=(1a−301)\displaystyle A(a-3)=\begin{pmatrix}1&a-3\\0&1\end{pmatrix} și A(0)=(1001)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
    (1a−301)\displaystyle \begin{pmatrix}1&a-3\\0&1\end{pmatrix}
  2. Înlocuim în egalitatea 2A(a)+A(a−3)=3A(0)\displaystyle 2A(a)+A(a-3)=3A(0).
    2(1a01)+(1a−301)=3(1001)\displaystyle 2\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&a-3\\0&1\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm: 2(1a01)=(22a02)\displaystyle 2\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2a\\0&2\end{pmatrix}. Adunăm cu A(a−3)\displaystyle A(a-3): elementul din dreapta sus este 2a+a−3=3a−3\displaystyle 2a+a-3=3a-3, iar diagonala devine 2+1=3\displaystyle 2+1=3. În dreapta, 3A(0)=(3003)\displaystyle 3A(0)=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}.
    (33a−303)=(3003)\displaystyle \begin{pmatrix}3&3a-3\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}
  4. Două matrice sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale. Elementele 3\displaystyle 3, 0\displaystyle 0, 3\displaystyle 3 coincid deja, iar din dreapta sus rezultă ecuația 3a−3=0\displaystyle 3a-3=0.
    3a−3=0\displaystyle 3a-3=0
  5. Din 3a−3=0\displaystyle 3a-3=0 rezultă 3a=3\displaystyle 3a=3, deci a=1\displaystyle a=1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(1)+A(2)+…+A(9)=9A(5)\displaystyle A(1)+A(2)+\ldots+A(9)=9A(5).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem fiecare matrice din sumă, înlocuind pe a\displaystyle a cu 1,2,…,9\displaystyle 1, 2, \ldots, 9.
    A(1)+…+A(9)=(1101)+(1201)+…+(1901)\displaystyle A(1)+\ldots+A(9)=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}+\ldots+\begin{pmatrix}1&9\\0&1\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele element cu element. Pe diagonala principală avem de 9 ori 1\displaystyle 1, sub diagonală de 9 ori 0\displaystyle 0, iar în dreapta sus suma numerelor de la 1\displaystyle 1 la 9\displaystyle 9.
    (91+2+…+909)\displaystyle \begin{pmatrix}9&1+2+\ldots+9\\0&9\end{pmatrix}
  3. Calculăm suma 1+2+…+9\displaystyle 1+2+\ldots+9 cu formula n(n+1)2\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2} pentru n=9\displaystyle n=9.
    1+2+…+9=9⋅102=45, deci suma matricelor \displaystyle 1+2+\ldots+9=\dfrac{9\cdot 10}{2}=45\text{, deci suma matricelor }este (94509)\displaystyle \text{este }\begin{pmatrix}9&45\\0&9\end{pmatrix}
  4. Scoatem factor comun 9\displaystyle 9, deoarece 45=9⋅5\displaystyle 45=9\cdot 5, apoi recunoaștem matricea A(5)\displaystyle A(5) și obținem egalitatea cerută.
    (94509)=9⋅(1501)=9A(5)\displaystyle \begin{pmatrix}9&45\\0&9\end{pmatrix}=9\cdot\begin{pmatrix}1&5\\0&1\end{pmatrix}=9A(5)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(a)+A(b))=4det⁡(A(a)⋅A(b))\displaystyle \det(A(a)+A(b))=4\det(A(a)\cdot A(b)) pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix} și A(b)=(1b01)\displaystyle A(b)=\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix} și le adunăm element cu element.
    A(a)+A(b)=(2a+b02)\displaystyle A(a)+A(b)=\begin{pmatrix}2&a+b\\0&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul sumei: det⁡(A(a)+A(b))=2⋅2−(a+b)⋅0\displaystyle \det(A(a)+A(b))=2\cdot 2-(a+b)\cdot 0.
    det⁡(A(a)+A(b))=2⋅2−(a+b)⋅0=4\displaystyle \det(A(a)+A(b))=2\cdot 2-(a+b)\cdot 0=4
  3. Calculăm produsul A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b), înmulțind linie cu coloană: elementul de pe prima linie și a doua coloană este 1⋅b+a⋅1=a+b\displaystyle 1\cdot b+a\cdot 1=a+b.
    A(a)⋅A(b)=(1a+b01)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&a+b\\0&1\end{pmatrix}
  4. Determinantul produsului este det⁡(A(a)⋅A(b))=1⋅1−(a+b)⋅0=1\displaystyle \det(A(a)\cdot A(b))=1\cdot 1-(a+b)\cdot 0=1. Cum det⁡(A(a)+A(b))=4\displaystyle \det(A(a)+A(b))=4, obținem relația cerută.
    det⁡(A(a)+A(b))=4=4⋅1=4det⁡(A(a)⋅A(b))\displaystyle \det(A(a)+A(b))=4=4\cdot 1=4\det(A(a)\cdot A(b))
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Verificați dacă matricea A(−a)\displaystyle A(-a) este inversa matricei A(a)\displaystyle A(a) pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(−a)\displaystyle A(-a), înlocuind a\displaystyle a cu −a\displaystyle -a în matricea dată: A(−a)=(1−a01)\displaystyle A(-a)=\begin{pmatrix}1&-a\\0&1\end{pmatrix}. Pentru ca A(−a)\displaystyle A(-a) să fie inversa lui A(a)\displaystyle A(a), trebuie ca A(a)⋅A(−a)=I2\displaystyle A(a)\cdot A(-a)=I_2 și A(−a)⋅A(a)=I2\displaystyle A(-a)\cdot A(a)=I_2.
    A(−a)=(1−a01)\displaystyle A(-a)=\begin{pmatrix}1&-a\\0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(a)⋅A(−a)\displaystyle A(a)\cdot A(-a), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: poziția (1,1) dă 1⋅1+a⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+a\cdot 0=1, poziția (1,2) dă 1⋅(−a)+a⋅1=0\displaystyle 1\cdot(-a)+a\cdot 1=0, poziția (2,1) dă 0⋅1+1⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 0=0, poziția (2,2) dă 0⋅(−a)+1⋅1=1\displaystyle 0\cdot(-a)+1\cdot 1=1.
    A(a)⋅A(−a)=(1a01)⋅(1−a01)=(1001)=I2\displaystyle A(a)\cdot A(-a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-a\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  3. Calculăm și produsul în ordine inversă, A(−a)⋅A(a)\displaystyle A(-a)\cdot A(a): poziția (1,1) dă 1\displaystyle 1, poziția (1,2) dă 1⋅a+(−a)⋅1=0\displaystyle 1\cdot a+(-a)\cdot 1=0, poziția (2,1) dă 0\displaystyle 0, poziția (2,2) dă 1\displaystyle 1. Deoarece ambele produse sunt egale cu I2\displaystyle I_2 pentru orice număr real a\displaystyle a, matricea A(−a)\displaystyle A(-a) este inversa matricei A(a)\displaystyle A(a) pentru orice a\displaystyle a real.
    A(−a)⋅A(a)=(1−a01)⋅(1a01)=(1001)=I2 pentru orice numa˘r real a\displaystyle A(-a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}1&-a\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2\text{ pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1a01)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X=(p2q1)∈M2(R)\displaystyle X=\begin{pmatrix}p&2\\q&1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) știind că X⋅A(a)=A(a)⋅X\displaystyle X\cdot A(a)=A(a)\cdot X pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul X⋅A(a)\displaystyle X\cdot A(a), înmulțind linie cu coloană. Prima linie a lui X\displaystyle X este (p, 2)\displaystyle (p,\ 2), a doua este (q, 1)\displaystyle (q,\ 1), iar coloanele lui A(a)\displaystyle A(a) sunt (10)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} și (a1)\displaystyle \begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}.
    X⋅A(a)=(ppa+2qqa+1)\displaystyle X\cdot A(a)=\begin{pmatrix}p&pa+2\\q&qa+1\end{pmatrix}
  2. Calculăm în același mod produsul A(a)⋅X\displaystyle A(a)\cdot X. Liniile lui A(a)\displaystyle A(a) sunt (1, a)\displaystyle (1,\ a) și (0, 1)\displaystyle (0,\ 1).
    A(a)⋅X=(p+qa2+aq1)\displaystyle A(a)\cdot X=\begin{pmatrix}p+qa&2+a\\q&1\end{pmatrix}
  3. Scriem condiția X⋅A(a)=A(a)⋅X\displaystyle X\cdot A(a)=A(a)\cdot X folosind cele două produse, valabilă pentru orice a\displaystyle a real.
    (ppa+2qqa+1)=(p+qa2+aq1) pentru orice numa˘r real a\displaystyle \begin{pmatrix}p&pa+2\\q&qa+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p+qa&2+a\\q&1\end{pmatrix}\text{ pentru orice număr real }a
  4. Egalăm elementele de pe aceleași poziții. Din poziția (1,1) rezultă p=p+qa\displaystyle p=p+qa, deci qa=0\displaystyle qa=0 pentru orice a\displaystyle a. Alegând a=1\displaystyle a=1, obținem q=0\displaystyle q=0.
    q=0\displaystyle q=0
  5. Din poziția (1,2) avem pa+2=2+a\displaystyle pa+2=2+a, adică pa=a\displaystyle pa=a pentru orice a\displaystyle a. Alegând a=1\displaystyle a=1, obținem p=1\displaystyle p=1. Egalitatea qa+1=1\displaystyle qa+1=1 de pe poziția (2,2) este verificată pentru q=0\displaystyle q=0, iar q=q\displaystyle q=q este evidentă.
    p=1\displaystyle p=1
  6. Înlocuim p=1\displaystyle p=1 și q=0\displaystyle q=0 în matricea X\displaystyle X și obținem matricea căutată.
    p=1 și q=0⇒X=(1201)\displaystyle p=1\text{ și }q=0\Rightarrow X=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.