Bac matematică M4 pedagogic 2016, sesiunea I varianta 08: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 48−27=3\displaystyle \sqrt{48}-\sqrt{27}=\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem pe 48\displaystyle 48 ca produs între un pătrat perfect și 3\displaystyle 3: 48=16⋅3\displaystyle 48=16\cdot 3. Apoi scoatem factorul pătrat perfect de sub radical: 48=16⋅3=16⋅3\displaystyle \sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{3}.
    48=16⋅3=43\displaystyle \sqrt{48}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}
  2. Procedăm la fel cu 27\displaystyle 27: 27=9⋅3\displaystyle 27=9\cdot 3, deci 27=9⋅3=33\displaystyle \sqrt{27}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}.
    27=9⋅3=33\displaystyle \sqrt{27}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}
  3. Înlocuim cei doi radicali în expresia din enunț: 48−27=43−33\displaystyle \sqrt{48}-\sqrt{27}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}. Termenii sunt asemenea, pentru că ambii conțin 3\displaystyle \sqrt{3}, deci scădem coeficienții: 4−3=1\displaystyle 4-3=1. Obținem 3\displaystyle \sqrt{3}, adică exact ce trebuia arătat.
    48−27=43−33=(4−3)3=3\displaystyle \sqrt{48}-\sqrt{27}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(4-3)\sqrt{3}=\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=2−x\displaystyle g(x)=2-x.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție verifică ambele ecuații, deci abscisa se află din egalitatea f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x).
    2x−1=2−x\displaystyle 2x-1=2-x
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: adunăm x\displaystyle x și 1\displaystyle 1 la ambii membri, deci 2x+x=2+1\displaystyle 2x+x=2+1.
    3x=3\displaystyle 3x=3
  3. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem abscisa punctului de intersecție.
    x=1\displaystyle x=1
  4. Aflăm ordonata înlocuind x=1\displaystyle x=1 în f\displaystyle f: f(1)=2⋅1−1=1\displaystyle f(1)=2\cdot 1-1=1. Verificăm cu g\displaystyle g: g(1)=2−1=1\displaystyle g(1)=2-1=1, rezultat identic. Punctul de intersecție este (1,1)\displaystyle (1,1).
    x=1 și y=1\displaystyle x=1\text{ și }y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 38−3x=9\displaystyle 3^{8-3x}=9.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul drept ca putere a lui 3\displaystyle 3: 9=32\displaystyle 9=3^{2}. Ecuația devine 38−3x=32\displaystyle 3^{8-3x}=3^{2}.
    38−3x=32\displaystyle 3^{8-3x}=3^{2}
  2. Deoarece baza 3\displaystyle 3 este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, funcția exponențială este injectivă, deci egalăm exponenții: 8−3x=2\displaystyle 8-3x=2.
    8−3x=2\displaystyle 8-3x=2
  3. Mutăm termenul 8\displaystyle 8 în membrul drept: −3x=2−8=−6\displaystyle -3x=2-8=-6. Împărțim la −3\displaystyle -3 și obținem x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu cifrele 5,6,7,8\displaystyle 5, 6, 7, 8 și 9\displaystyle 9.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de două cifre are forma ab‾\displaystyle \overline{ab}, unde a\displaystyle a este cifra zecilor și b\displaystyle b este cifra unităților. Numărul este par dacă ultima cifră este pară. Dintre cifrele 5,6,7,8,9\displaystyle 5, 6, 7, 8, 9, cifrele pare sunt 6\displaystyle 6 și 8\displaystyle 8, deci cifra unităților se poate alege în 2\displaystyle 2 moduri.
    b∈{6,8}⇒2 moduri\displaystyle b\in\{6,8\}\Rightarrow 2\text{ moduri}
  2. Cifra zecilor poate fi oricare dintre cele 5\displaystyle 5 cifre date. Nu apare problema cifrei 0\displaystyle 0 și cifrele se pot repeta, deci avem 5\displaystyle 5 moduri de a alege cifra zecilor.
    a∈{5,6,7,8,9}⇒5 moduri\displaystyle a\in\{5,6,7,8,9\}\Rightarrow 5\text{ moduri}
  3. Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de moduri de alegere a celor două cifre. Obținem 2⋅5=10\displaystyle 2\cdot 5=10 numere. Acestea sunt 56,58,66,68,76,78,86,88,96,98\displaystyle 56, 58, 66, 68, 76, 78, 86, 88, 96, 98.
    2⋅5=10\displaystyle 2\cdot 5=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,4)\displaystyle A(1,4), B(5,4)\displaystyle B(5,4) și C(5,8)\displaystyle C(5,8). Arătați că AB=BC\displaystyle AB=BC.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre punctele M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2): MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. Pentru A(1,4)\displaystyle A(1,4) și B(5,4)\displaystyle B(5,4) punctele au aceeași ordonată, deci yB−yA=0\displaystyle y_B-y_A=0.
    AB=(5−1)2+(4−4)2=16+0\displaystyle AB=\sqrt{(5-1)^2+(4-4)^2}=\sqrt{16+0}
  2. Calculăm radicalul: 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4, deci lungimea segmentului AB\displaystyle AB este 4\displaystyle 4.
    AB=4\displaystyle AB=4
  3. Pentru B(5,4)\displaystyle B(5,4) și C(5,8)\displaystyle C(5,8) punctele au aceeași abscisă, deci xC−xB=0\displaystyle x_C-x_B=0. Obținem BC=(5−5)2+(8−4)2=0+16\displaystyle BC=\sqrt{(5-5)^2+(8-4)^2}=\sqrt{0+16}.
    BC=02+42=16=4\displaystyle BC=\sqrt{0^2+4^2}=\sqrt{16}=4
  4. Am obținut AB=4\displaystyle AB=4 și BC=4\displaystyle BC=4, deci cele două segmente au aceeași lungime.
    BC=4⇒AB=BC\displaystyle BC=4\Rightarrow AB=BC
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡45∘⋅cos⁡45∘+cos⁡60∘=1\displaystyle \sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ+\cos 60^\circ=1.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute din tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice: sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡45∘=22\displaystyle \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} și cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡45∘=22\displaystyle \ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡60∘=12\displaystyle \ \cos 60^\circ=\frac{1}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în expresia din enunț: sin⁡45∘⋅cos⁡45∘+cos⁡60∘\displaystyle \sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ+\cos 60^\circ.
    22⋅22+12\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}
  3. Calculăm produsul fracțiilor: 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2 și 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, deci produsul este 24=12\displaystyle \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
    22⋅22=24=12\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
  4. Adunăm cele două fracții cu același numitor: 12+12=1\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1, deci egalitatea din enunț este adevărată.
    sin⁡45∘⋅cos⁡45∘+cos⁡60∘=22⋅22+12=12+12=1\displaystyle \sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ+\cos 60^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−x−y+1\displaystyle x\circ y=xy-x-y+1.

Arătați că 1∘2016=0\displaystyle 1\circ 2016=0.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∘y=xy−x−y+1\displaystyle x\circ y=xy-x-y+1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2016\displaystyle y=2016.
    1∘2016=1⋅2016−1−2016+1\displaystyle 1\circ 2016=1\cdot 2016-1-2016+1
  2. Efectuăm produsul 1⋅2016=2016\displaystyle 1\cdot 2016=2016. Termenii 2016\displaystyle 2016 și −2016\displaystyle -2016 se reduc, la fel și −1\displaystyle -1 cu +1\displaystyle +1.
    2016−1−2016+1=(2016−2016)+(1−1)\displaystyle 2016-1-2016+1=(2016-2016)+(1-1)
  3. Grupând, obținem 2015−2015=0\displaystyle 2015-2015=0, deci 1∘2016=0\displaystyle 1\circ 2016=0.
    2015−2015=0⇒1∘2016=0\displaystyle 2015-2015=0\Rightarrow 1\circ 2016=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−x−y+1\displaystyle x\circ y=xy-x-y+1.

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Comutativitatea înseamnă că pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y avem x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x. Fixăm x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R} oarecare și pornim de la definiția x∘y=xy−x−y+1\displaystyle x\circ y=xy-x-y+1, în care inversăm rolurile lui x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    y∘x=yx−y−x+1\displaystyle y\circ x=yx-y-x+1
  2. Înmulțirea numerelor reale este comutativă, deci yx=xy\displaystyle yx=xy. Adunarea este și ea comutativă, deci −y−x=−x−y\displaystyle -y-x=-x-y. Rescriem expresia cu termenii în ordinea din definiția lui x∘y\displaystyle x\circ y.
    yx−y−x+1=xy−x−y+1\displaystyle yx-y-x+1=xy-x-y+1
  3. Expresia obținută este chiar definiția lui x∘y\displaystyle x\circ y. Deci y∘x=x∘y\displaystyle y\circ x=x\circ y pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, adică legea „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
    y∘x=xy−x−y+1=x∘y, pentru orice numere \displaystyle y\circ x=xy-x-y+1=x\circ y\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−x−y+1\displaystyle x\circ y=xy-x-y+1.

Demonstrați că x∘y=(x−1)(y−1)\displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y: x∘y=xy−x−y+1\displaystyle x\circ y=xy-x-y+1.
    x∘y=xy−x−y+1\displaystyle x\circ y=xy-x-y+1
  2. Grupăm ultimii doi termeni, −y+1\displaystyle -y+1, și dăm factor comun semnul minus: −y+1=−(y−1)\displaystyle -y+1=-(y-1). Obținem x∘y=xy−x−(y−1)\displaystyle x\circ y=xy-x-(y-1).
    x∘y=xy−x−(y−1)\displaystyle x\circ y=xy-x-(y-1)
  3. Primii doi termeni, xy−x\displaystyle xy-x, au factor comun pe x\displaystyle x: xy−x=x(y−1)\displaystyle xy-x=x(y-1). Astfel, expresia devine x(y−1)−(y−1)\displaystyle x(y-1)-(y-1).
    x∘y=x(y−1)−(y−1)\displaystyle x\circ y=x(y-1)-(y-1)
  4. Acum y−1\displaystyle y-1 apare în ambii termeni, deci îl dăm factor comun: x(y−1)−(y−1)=(x−1)(y−1)\displaystyle x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1). Egalitatea este adevărată pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(x−1)(y−1), pentru orice numere \displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−x−y+1\displaystyle x\circ y=xy-x-y+1.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, pentru care (x−1)∘x=0\displaystyle (x-1)\circ x=0.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se scrie factorizat: x∘y=(x−1)(y−1)\displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1), deoarece (x−1)(y−1)=xy−x−y+1\displaystyle (x-1)(y-1)=xy-x-y+1.
    x∘y=(x−1)(y−1)\displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1)
  2. Înlocuim primul element cu x−1\displaystyle x-1 și al doilea cu x\displaystyle x în forma factorizată: primul factor devine (x−1)−1=x−2\displaystyle (x-1)-1=x-2, iar al doilea x−1\displaystyle x-1.
    (x−1)∘x=(x−2)(x−1)\displaystyle (x-1)\circ x=(x-2)(x-1)
  3. Egalăm cu 0\displaystyle 0 și folosim faptul că un produs este nul când cel puțin un factor este nul: x−2=0\displaystyle x-2=0 sau x−1=0\displaystyle x-1=0.
    (x−2)(x−1)=0⇔x−2=0 sau x−1=0\displaystyle (x-2)(x-1)=0\Leftrightarrow x-2=0\text{ sau }x-1=0
  4. Rezolvăm cele două ecuații de gradul întâi și obținem soluțiile x=1\displaystyle x=1 și x=2\displaystyle x=2.
    x=1 sau x=2\displaystyle x=1\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−x−y+1\displaystyle x\circ y=xy-x-y+1.

Arătați că x2∘x2=(x−1)2(x+1)2\displaystyle x^2\circ x^2=(x-1)^2(x+1)^2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea de compoziție se poate scrie factorizat: x∘y=xy−x−y+1=(x−1)(y−1)\displaystyle x\circ y=xy-x-y+1=(x-1)(y-1). Verificăm prin desfacerea parantezelor: (x−1)(y−1)=xy−x−y+1\displaystyle (x-1)(y-1)=xy-x-y+1.
    x∘y=(x−1)(y−1)\displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1)
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^{2} și y\displaystyle y cu x2\displaystyle x^{2} în forma factorizată a legii.
    x2∘x2=(x2−1)(x2−1)\displaystyle x^{2}\circ x^{2}=(x^{2}-1)(x^{2}-1)
  3. Descompunem fiecare factor x2−1\displaystyle x^{2}-1 cu formula diferenței de pătrate a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b), cu a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1.
    x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1)
  4. Înlocuim descompunerea în ambii factori și grupăm factorii egali, obținând pătratele cerute. Egalitatea este adevărată pentru orice număr real x\displaystyle x.
    (x−1)(x+1)(x−1)(x+1)=(x−1)2(x+1)2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle (x-1)(x+1)(x-1)(x+1)=(x-1)^{2}(x+1)^{2}\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−x−y+1\displaystyle x\circ y=xy-x-y+1.

Determinați numerele naturale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că a∘b=3\displaystyle a\circ b=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția dată folosind definiția legii: a∘b=ab−a−b+1\displaystyle a\circ b=ab-a-b+1, deci ab−a−b+1=3\displaystyle ab-a-b+1=3.
    ab−a−b+1=3\displaystyle ab-a-b+1=3
  2. Observăm că ab−a−b+1=a(b−1)−(b−1)=(a−1)(b−1)\displaystyle ab-a-b+1=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1). Deci egalitatea devine (a−1)(b−1)=3\displaystyle (a-1)(b-1)=3.
    (a−1)(b−1)=3\displaystyle (a-1)(b-1)=3
  3. Cum a,b∈N\displaystyle a,b\in\mathbb{N}, numerele a−1\displaystyle a-1 și b−1\displaystyle b-1 sunt întregi și mai mari sau egale cu −1\displaystyle -1. Produsul lor este 3\displaystyle 3, deci perechile de divizori întregi ai lui 3\displaystyle 3 sunt (1,3)\displaystyle (1,3), (3,1)\displaystyle (3,1), (−1,−3)\displaystyle (-1,-3) și (−3,−1)\displaystyle (-3,-1).
    (a−1, b−1)∈{(1,3),(3,1),(−1,−3),(−3,−1)}\displaystyle (a-1,\,b-1)\in\{(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\}
  4. Perechile cu un factor egal cu −3\displaystyle -3 se exclud, deoarece ar da a=−2\displaystyle a=-2 sau b=−2\displaystyle b=-2, care nu sunt naturale. Rămân (a−1,b−1)=(1,3)\displaystyle (a-1,b-1)=(1,3) și (a−1,b−1)=(3,1)\displaystyle (a-1,b-1)=(3,1).
    (a−1, b−1)∈{(1,3),(3,1)}\displaystyle (a-1,\,b-1)\in\{(1,3),(3,1)\}
  5. Din a−1=1\displaystyle a-1=1 și b−1=3\displaystyle b-1=3 obținem a=2\displaystyle a=2 și b=4\displaystyle b=4. Din a−1=3\displaystyle a-1=3 și b−1=1\displaystyle b-1=1 obținem a=4\displaystyle a=4 și b=2\displaystyle b=2. Ambele perechi sunt formate din numere naturale.
    a=2\displaystyle a=2, b=4 sau a=4\displaystyle \ b=4\text{ sau }a=4, b=2\displaystyle \ b=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−4−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=A+aI2\displaystyle M(a)=A+aI_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea A\displaystyle A este de ordin 2, deci scriem determinantul ei: det⁡A=∣21−4−2∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&1\\-4&-2\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣21−4−2∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&1\\-4&-2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula ∣abcd∣=a⋅d−c⋅b\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-c\cdot b, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem det⁡A=2⋅(−2)−(−4)⋅1\displaystyle \det A=2\cdot(-2)-(-4)\cdot 1.
    det⁡A=2⋅(−2)−(−4)⋅1\displaystyle \det A=2\cdot(-2)-(-4)\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 2⋅(−2)=−4\displaystyle 2\cdot(-2)=-4 și (−4)⋅1=−4\displaystyle (-4)\cdot 1=-4. Scăderea lui −4\displaystyle -4 revine la adunarea lui 4\displaystyle 4, deci det⁡A=−4+4\displaystyle \det A=-4+4.
    det⁡A=−4+4\displaystyle \det A=-4+4
  4. Efectuăm adunarea: −4+4=0\displaystyle -4+4=0. Deci det⁡A=0\displaystyle \det A=0, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡A=0\displaystyle \det A=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−4−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=A+aI2\displaystyle M(a)=A+aI_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a, pentru care det⁡(M(a))=16\displaystyle \det(M(a))=16.
Vezi rezolvarea
  1. Avem aI2=(a00a)\displaystyle aI_2=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}, deci M(a)=A+aI2\displaystyle M(a)=A+aI_2 se obține adunând a\displaystyle a pe diagonala principală a lui A\displaystyle A.
    M(a)=(2+a1−4−2+a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2+a&1\\-4&-2+a\end{pmatrix}
  2. Aplicăm formula det⁡(pqrs)=ps−qr\displaystyle \det\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}=ps-qr, deci det⁡(M(a))=(2+a)(−2+a)−1⋅(−4)\displaystyle \det(M(a))=(2+a)(-2+a)-1\cdot(-4).
    det⁡(M(a))=(a+2)(a−2)+4\displaystyle \det(M(a))=(a+2)(a-2)+4
  3. Cum (a+2)(a−2)=a2−4\displaystyle (a+2)(a-2)=a^{2}-4, rezultă det⁡(M(a))=a2−4+4\displaystyle \det(M(a))=a^{2}-4+4.
    det⁡(M(a))=a2\displaystyle \det(M(a))=a^{2}
  4. Din det⁡(M(a))=16\displaystyle \det(M(a))=16 obținem ecuația a2=16\displaystyle a^{2}=16.
    a2=16\displaystyle a^{2}=16
  5. Ecuația a2=16\displaystyle a^{2}=16 este echivalentă cu a2−16=0\displaystyle a^{2}-16=0, adică (a−4)(a+4)=0\displaystyle (a-4)(a+4)=0, deci a=4\displaystyle a=4 sau a=−4\displaystyle a=-4.
    a=−4 sau a=4\displaystyle a=-4\text{ sau }a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−4−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=A+aI2\displaystyle M(a)=A+aI_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că M(−1)+M(0)+M(1)=3A\displaystyle M(-1)+M(0)+M(1)=3A.
Vezi rezolvarea
  1. Din definiția M(a)=A+aI2\displaystyle M(a)=A+aI_2 obținem M(−1)=A−I2\displaystyle M(-1)=A-I_2, M(0)=A+0⋅I2=A\displaystyle M(0)=A+0\cdot I_2=A și M(1)=A+I2\displaystyle M(1)=A+I_2.
    M(−1)=A−I2\displaystyle M(-1)=A-I_2, M(0)=A\displaystyle \ M(0)=A, M(1)=A+I2\displaystyle \ M(1)=A+I_2
  2. Adunăm cele trei matrice: M(−1)+M(0)+M(1)=A+(−1)⋅I2+A+0⋅I2+A+1⋅I2\displaystyle M(-1)+M(0)+M(1)=A+(-1)\cdot I_2+A+0\cdot I_2+A+1\cdot I_2.
    M(−1)+M(0)+M(1)=A+(−1)⋅I2+A+0⋅I2+A+1⋅I2\displaystyle M(-1)+M(0)+M(1)=A+(-1)\cdot I_2+A+0\cdot I_2+A+1\cdot I_2
  3. Efectuăm produsele cu scalari: A−I2+A+A+I2\displaystyle A-I_2+A+A+I_2. Termenii −I2\displaystyle -I_2 și I2\displaystyle I_2 se reduc, iar cei trei termeni A\displaystyle A se adună, deci suma este 3A\displaystyle 3A.
    A−I2+A+A+I2=3A\displaystyle A-I_2+A+A+I_2=3A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−4−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=A+aI2\displaystyle M(a)=A+aI_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că M(a)⋅M(b)=(a+b)A+abI2\displaystyle M(a)\cdot M(b)=(a+b)A+abI_2, pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linii cu coloane. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este 2⋅2+1⋅(−4)=0\displaystyle 2\cdot 2+1\cdot(-4)=0.
    2⋅2+1⋅(−4)=0\displaystyle 2\cdot 2+1\cdot(-4)=0
  2. Calculăm celelalte elemente: linia 1, coloana 2: 2⋅1+1⋅(−2)=0\displaystyle 2\cdot 1+1\cdot(-2)=0; linia 2, coloana 1: (−4)⋅2+(−2)⋅(−4)=0\displaystyle (-4)\cdot 2+(-2)\cdot(-4)=0; linia 2, coloana 2: (−4)⋅1+(−2)⋅(−2)=0\displaystyle (-4)\cdot 1+(-2)\cdot(-2)=0. Deci A⋅A\displaystyle A\cdot A este matricea nulă.
    A⋅A=(0000)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
  3. Scriem produsul M(a)⋅M(b)\displaystyle M(a)\cdot M(b) folosind definiția M(a)=A+aI2\displaystyle M(a)=A+aI_2 și M(b)=A+bI2\displaystyle M(b)=A+bI_2.
    M(a)⋅M(b)=(A+aI2)(A+bI2)\displaystyle M(a)\cdot M(b)=(A+aI_2)(A+bI_2)
  4. Dezvoltăm produsul prin distributivitate: A⋅A+bA⋅I2+aI2⋅A+abI2⋅I2\displaystyle A\cdot A+bA\cdot I_2+aI_2\cdot A+abI_2\cdot I_2. Cum A⋅I2=I2⋅A=A\displaystyle A\cdot I_2=I_2\cdot A=A și I2⋅I2=I2\displaystyle I_2\cdot I_2=I_2, obținem A⋅A+bA+aA+abI2\displaystyle A\cdot A+bA+aA+abI_2.
    A⋅A+(a+b)A+abI2\displaystyle A\cdot A+(a+b)A+abI_2
  5. Înlocuim A⋅A\displaystyle A\cdot A cu matricea nulă, care nu schimbă suma. Rămâne (a+b)A+abI2\displaystyle (a+b)A+abI_2, pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, adică egalitatea cerută.
    M(a)⋅M(b)=(a+b)A+abI2, pentru orice numere \displaystyle M(a)\cdot M(b)=(a+b)A+abI_2\text{, pentru orice numere }reale a și b\displaystyle \text{reale }a\text{ și }b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−4−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=A+aI2\displaystyle M(a)=A+aI_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a, pentru care matricea M(a)\displaystyle M(a) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea M(a)=A+aI2\displaystyle M(a)=A+aI_2, adunând element cu element: aI2\displaystyle aI_2 are a\displaystyle a pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest.
    M(a)=(2+a1−4−2+a)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2+a&1\\-4&-2+a\end{pmatrix}
  2. O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul, deci condiția este det⁡(M(a))≠0\displaystyle \det(M(a))\neq 0.
    M(a) este inversabila˘⇔det⁡(M(a))≠0\displaystyle M(a)\text{ este inversabilă}\Leftrightarrow\det(M(a))\neq 0
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică (2+a)(a−2)−1⋅(−4)\displaystyle (2+a)(a-2)-1\cdot(-4).
    det⁡(M(a))=(a+2)(a−2)+4\displaystyle \det(M(a))=(a+2)(a-2)+4
  4. Folosim formula (a+2)(a−2)=a2−4\displaystyle (a+2)(a-2)=a^{2}-4 și reducem termenii.
    det⁡(M(a))=a2−4+4=a2\displaystyle \det(M(a))=a^{2}-4+4=a^{2}
  5. Impunem a2≠0\displaystyle a^{2}\neq 0. Cum a2=0\displaystyle a^{2}=0 doar pentru a=0\displaystyle a=0, valoarea a=0\displaystyle a=0 trebuie exclusă, iar pentru orice alt număr real matricea este inversabilă.
    a2≠0⇔a∈R∖{0}\displaystyle a^{2}\neq 0\Leftrightarrow a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−4−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=A+aI2\displaystyle M(a)=A+aI_2, unde a\displaystyle a este număr real.

Rezolvați în M2(R)\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ecuația M(1)⋅X=A\displaystyle M(1)\cdot X=A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea M(1)=A+1⋅I2\displaystyle M(1)=A+1\cdot I_2, adunând element cu element.
    M(1)=(2+11−4−2+1)=(31−4−1)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}2+1&1\\-4&-2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\-4&-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul lui M(1)\displaystyle M(1) ca să vedem dacă matricea este inversabilă. Determinantul este diferit de zero, deci M(1)\displaystyle M(1) are inversă.
    det⁡(M(1))=3⋅(−1)−1⋅(−4)=−3+4=1≠0\displaystyle \det(M(1))=3\cdot(-1)-1\cdot(-4)=-3+4=1\neq 0
  3. Determinăm inversa. Pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} cu determinantul 1\displaystyle 1, inversa este (d−b−ca)\displaystyle \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. Aici a=3\displaystyle a=3, b=1\displaystyle b=1, c=−4\displaystyle c=-4, d=−1\displaystyle d=-1.
    (M(1))−1=(−1−143)\displaystyle (M(1))^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-1\\4&3\end{pmatrix}
  4. Înmulțim ecuația la stânga cu inversa lui M(1)\displaystyle M(1), pentru a izola necunoscuta X\displaystyle X. Ordinea contează: inversa se pune în stânga în ambii membri.
    X=(M(1))−1⋅A=(−1−143)⋅(21−4−2)\displaystyle X=(M(1))^{-1}\cdot A=\begin{pmatrix}-1&-1\\4&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}
  5. Efectuăm înmulțirea, linie cu coloană, și obținem soluția. Rezultatul este chiar matricea A\displaystyle A.
    X=(−2+4−1+28−124−6)=(21−4−2)\displaystyle X=\begin{pmatrix}-2+4&-1+2\\8-12&4-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.