Bac matematică M2 științe ale naturii 2010, sesiunea a II-a rezervă varianta 08: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați log⁡2(3+5)+log⁡2(3−5)\displaystyle \log_2\left(3+\sqrt{5}\right)+\log_2\left(3-\sqrt{5}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm că ambele logaritme sunt definite: argumentele trebuie să fie pozitive. Deoarece 5<3\displaystyle \sqrt{5}<3 (căci 5<9\displaystyle 5<9), avem 3+5>0\displaystyle 3+\sqrt{5}>0 și 3−5>0\displaystyle 3-\sqrt{5}>0.
    3+5>0\displaystyle 3+\sqrt{5}>0,3−5>0\displaystyle \quad 3-\sqrt{5}>0
  2. Folosim formula log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(xy)\displaystyle \log_a x+\log_a y=\log_a(xy), valabilă pentru x,y>0\displaystyle x,y>0. Obținem logaritmul produsului argumentelor.
    log⁡2(3+5)+log⁡2(3−5)=log⁡2[(3+5)(3−5)]\displaystyle \log_2\left(3+\sqrt{5}\right)+\log_2\left(3-\sqrt{5}\right)=\log_2\left[\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)\right]
  3. Calculăm produsul cu formula (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}, unde a=3\displaystyle a=3 și b=5\displaystyle b=\sqrt{5}. Rezultă 32−(5)2=9−5\displaystyle 3^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}=9-5.
    log⁡2[(3+5)(3−5)]=log⁡2(9−5)\displaystyle \log_2\left[\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)\right]=\log_2(9-5)
  4. Efectuăm scăderea din argument: 9−5=4\displaystyle 9-5=4, deci expresia devine log⁡24\displaystyle \log_2 4.
    log⁡2(9−5)=log⁡24\displaystyle \log_2(9-5)=\log_2 4
  5. Scriem 4=22\displaystyle 4=2^{2}, deci log⁡24=log⁡222=2\displaystyle \log_2 4=\log_2 2^{2}=2.
    log⁡24=2\displaystyle \log_2 4=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=mx2+2x−5\displaystyle f(x)=mx^2+2x-5. Determinați m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R} pentru care abscisa vârfului parabolei asociate funcției f\displaystyle f este egală cu 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru ca graficul să fie o parabolă, trebuie ca m≠0\displaystyle m\neq 0. Coeficienții funcției f(x)=mx2+2x−5\displaystyle f(x)=mx^2+2x-5 sunt a=m\displaystyle a=m, b=2\displaystyle b=2, c=−5\displaystyle c=-5.
    a=m\displaystyle a=m, b=2\displaystyle \ b=2, c=−5\displaystyle \ c=-5, m≠0\displaystyle \ m\neq 0
  2. Abscisa vârfului parabolei este xV=−b2a\displaystyle x_V=-\dfrac{b}{2a}. Înlocuim coeficienții: xV=−22m\displaystyle x_V=-\dfrac{2}{2m}.
    xV=−22m=−1m\displaystyle x_V=-\frac{2}{2m}=-\frac{1}{m}
  3. Punem condiția xV=2\displaystyle x_V=2, adică −22m=2\displaystyle -\dfrac{2}{2m}=2.
    −22m=2\displaystyle -\frac{2}{2m}=2
  4. Simplificăm fracția: −1m=2\displaystyle -\dfrac{1}{m}=2, deci m=−12\displaystyle m=-\dfrac{1}{2}. Valoarea este nenulă, deci convine.
    m=−12\displaystyle m=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 31−x2=127\displaystyle 3^{1-x^2}=\frac{1}{27}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul drept ca putere a lui 3\displaystyle 3: 27=33\displaystyle 27=3^{3}, deci 127=3−3\displaystyle \dfrac{1}{27}=3^{-3}.
    127=3−3\displaystyle \dfrac{1}{27}=3^{-3}
  2. Ecuația devine 31−x2=3−3\displaystyle 3^{1-x^{2}}=3^{-3}. Baza este aceeași, iar funcția exponențială este injectivă, deci egalăm exponenții: 1−x2=−3\displaystyle 1-x^{2}=-3.
    31−x2=3−3⇒1−x2=−3\displaystyle 3^{1-x^{2}}=3^{-3}\Rightarrow 1-x^{2}=-3
  3. Din 1−x2=−3\displaystyle 1-x^{2}=-3 obținem x2=1+3\displaystyle x^{2}=1+3, adică x2=4\displaystyle x^{2}=4.
    x2=4\displaystyle x^{2}=4
  4. Ecuația x2=4\displaystyle x^{2}=4 are soluțiile x=2\displaystyle x=2 și x=−2\displaystyle x=-2, ambele reale. Deci mulțimea soluțiilor este {−2,2}\displaystyle \{-2,2\}.
    x∈{2,−2}\displaystyle x\in\{2,-2\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați C62−A42\displaystyle C_6^2-A_4^2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula combinărilor Cnk=n!k!⋅(n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!} și o aplicăm pentru n=6\displaystyle n=6, k=2\displaystyle k=2.
    C62=6!2!⋅4!\displaystyle C_6^2=\dfrac{6!}{2!\cdot 4!}
  2. Scriem 6!=6⋅5⋅4!\displaystyle 6!=6\cdot 5\cdot 4! și simplificăm 4!\displaystyle 4!, iar 2!=2\displaystyle 2!=2. Obținem 6⋅52\displaystyle \dfrac{6\cdot 5}{2}.
    C62=6⋅52=15\displaystyle C_6^2=\dfrac{6\cdot 5}{2}=15
  3. Folosim formula aranjamentelor Ank=n!(n−k)!\displaystyle A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!} și o aplicăm pentru n=4\displaystyle n=4, k=2\displaystyle k=2.
    A42=4!(4−2)!=4!2!\displaystyle A_4^2=\dfrac{4!}{(4-2)!}=\dfrac{4!}{2!}
  4. Calculăm 4!=24\displaystyle 4!=24 și 2!=2\displaystyle 2!=2, deci A42=242\displaystyle A_4^2=\dfrac{24}{2}.
    A42=12\displaystyle A_4^2=12
  5. Scădem cele două valori: C62−A42=15−12\displaystyle C_6^2-A_4^2=15-12.
    C62−A42=15−12=3\displaystyle C_6^2-A_4^2=15-12=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În sistemul de coordonate xOy\displaystyle xOy se consideră punctele O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(2,−2)\displaystyle A(2,-2) și B(6,8)\displaystyle B(6,8). Calculați distanța de la punctul O\displaystyle O la mijlocul segmentului (AB)\displaystyle (AB).
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu C\displaystyle C mijlocul segmentului (AB)\displaystyle (AB). Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xC=xA+xB2=2+62\displaystyle x_C=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{2+6}{2} și yC=yA+yB2=−2+82\displaystyle y_C=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{-2+8}{2}.
    xC=82=4\displaystyle x_C=\dfrac{8}{2}=4,yC=62=3\displaystyle \quad y_C=\dfrac{6}{2}=3
  2. Deci mijlocul segmentului (AB)\displaystyle (AB) este punctul C(4,3)\displaystyle C(4,3).
    C(4,3)\displaystyle C(4,3)
  3. Calculăm distanța OC\displaystyle OC cu formula distanței dintre două puncte: OC=(xC−xO)2+(yC−yO)2\displaystyle OC=\sqrt{(x_C-x_O)^{2}+(y_C-y_O)^{2}}. Cum O(0,0)\displaystyle O(0,0), obținem OC=42+32\displaystyle OC=\sqrt{4^{2}+3^{2}}.
    OC=16+9=25\displaystyle OC=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}
  4. Cum 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5, distanța de la O\displaystyle O la mijlocul segmentului (AB)\displaystyle (AB) este 5\displaystyle 5.
    OC=5\displaystyle OC=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați cos⁡130∘+cos⁡50∘\displaystyle \cos 130^\circ+\cos 50^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că unghiurile 130∘\displaystyle 130^\circ și 50∘\displaystyle 50^\circ au suma 180∘\displaystyle 180^\circ, deci sunt suplementare. Scriem 130∘=180∘−50∘\displaystyle 130^\circ=180^\circ-50^\circ.
    130∘=180∘−50∘\displaystyle 130^\circ=180^\circ-50^\circ
  2. Folosim formula cosinusului unghiului suplementar: cos⁡(π−x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(\pi-x)=-\cos x, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. În grade, cos⁡(180∘−x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(180^\circ-x)=-\cos x.
    cos⁡(π−x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(\pi-x)=-\cos x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Aplicăm formula pentru x=50∘\displaystyle x=50^\circ: cos⁡130∘=cos⁡(180∘−50∘)=−cos⁡50∘\displaystyle \cos 130^\circ=\cos(180^\circ-50^\circ)=-\cos 50^\circ.
    cos⁡130∘=−cos⁡50∘\displaystyle \cos 130^\circ=-\cos 50^\circ
  4. Înlocuim în sumă: cos⁡130∘+cos⁡50∘=−cos⁡50∘+cos⁡50∘=0\displaystyle \cos 130^\circ+\cos 50^\circ=-\cos 50^\circ+\cos 50^\circ=0.
    cos⁡130∘+cos⁡50∘=0\displaystyle \cos 130^\circ+\cos 50^\circ=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pentru m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R} se consideră matricea A=(1−1−113−1m02)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&3&-1\\m&0&2\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x−y−z=−2x+3y−z=−2mx+2z=4\displaystyle \begin{cases}x-y-z=-2\\x+3y-z=-2\\mx+2z=4\end{cases}, unde x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}.

Calculați determinantul matricei A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A și folosim regula triunghiului: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două triunghiuri paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe triunghiurile paralele cu ea.
    det⁡(A)=∣1−1−113−1m02∣\displaystyle \det(A)=\begin{vmatrix}1&-1&-1\\1&3&-1\\m&0&2\end{vmatrix}
  2. Calculăm produsele care se adună: diagonala principală 1⋅3⋅2=6\displaystyle 1\cdot 3\cdot 2=6, apoi triunghiurile (−1)⋅(−1)⋅m=m\displaystyle (-1)\cdot(-1)\cdot m=m și (−1)⋅1⋅0=0\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot 0=0.
    6+m+0\displaystyle 6+m+0
  3. Calculăm produsele care se scad: diagonala secundară (−1)⋅3⋅m=−3m\displaystyle (-1)\cdot 3\cdot m=-3m, apoi triunghiurile 1⋅(−1)⋅0=0\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 0=0 și (−1)⋅1⋅2=−2\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot 2=-2.
    −3m+0−2\displaystyle -3m+0-2
  4. Scădem a doua sumă din prima: det⁡(A)=(6+m+0)−(−3m+0−2)\displaystyle \det(A)=(6+m+0)-(-3m+0-2). Prin schimbarea semnelor obținem expresia de mai jos.
    6+m+0+3m+0+2\displaystyle 6+m+0+3m+0+2
  5. Reducem termenii asemenea: 6+2=8\displaystyle 6+2=8, iar m+3m=4m\displaystyle m+3m=4m.
    det⁡(A)=8+4m\displaystyle \det(A)=8+4m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pentru m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R} se consideră matricea A=(1−1−113−1m02)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&3&-1\\m&0&2\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x−y−z=−2x+3y−z=−2mx+2z=4\displaystyle \begin{cases}x-y-z=-2\\x+3y-z=-2\\mx+2z=4\end{cases}, unde x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}.

Determinați m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R} pentru care matricea A\displaystyle A este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Deci trebuie calculat det⁡(A)\displaystyle \det(A) pentru matricea A=(1−1−113−1m02)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&3&-1\\m&0&2\end{pmatrix}.
    A inversabila˘⇔det⁡(A)≠0\displaystyle A\text{ inversabilă}\Leftrightarrow \det(A)\neq 0
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie: det⁡(A)=1⋅∣3−102∣−(−1)⋅∣1−1m2∣+(−1)⋅∣13m0∣\displaystyle \det(A)=1\cdot\begin{vmatrix}3&-1\\0&2\end{vmatrix}-(-1)\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\m&2\end{vmatrix}+(-1)\cdot\begin{vmatrix}1&3\\m&0\end{vmatrix}. Calculăm minorii: ∣3−102∣=6\displaystyle \begin{vmatrix}3&-1\\0&2\end{vmatrix}=6, ∣1−1m2∣=2+m\displaystyle \begin{vmatrix}1&-1\\m&2\end{vmatrix}=2+m și ∣13m0∣=−3m\displaystyle \begin{vmatrix}1&3\\m&0\end{vmatrix}=-3m.
    det⁡(A)=6+(2+m)+3m\displaystyle \det(A)=6+(2+m)+3m
  3. Reducem termenii asemenea: det⁡(A)=6+2+m+3m=8+4m\displaystyle \det(A)=6+2+m+3m=8+4m. Condiția de inversabilitate devine 8+4m≠0\displaystyle 8+4m\neq 0.
    det⁡(A)=8+4m≠0\displaystyle \det(A)=8+4m\neq 0
  4. Rezolvăm: 4m≠−8\displaystyle 4m\neq -8, deci m≠−2\displaystyle m\neq -2. Matricea A\displaystyle A este inversabilă pentru orice m\displaystyle m real, în afară de −2\displaystyle -2.
    m∈R∖{−2}\displaystyle m\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pentru m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R} se consideră matricea A=(1−1−113−1m02)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&3&-1\\m&0&2\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x−y−z=−2x+3y−z=−2mx+2z=4\displaystyle \begin{cases}x-y-z=-2\\x+3y-z=-2\\mx+2z=4\end{cases}, unde x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}.

Rezolvați sistemul pentru m=−1\displaystyle m=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=−1\displaystyle m=-1 matricea sistemului este A=(1−1−113−1−102)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&3&-1\\-1&0&2\end{pmatrix}, iar sistemul devine x−y−z=−2\displaystyle x-y-z=-2, x+3y−z=−2\displaystyle x+3y-z=-2, −x+2z=4\displaystyle -x+2z=4.
    A=(1−1−113−1−102)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&3&-1\\-1&0&2\end{pmatrix}
  2. Dezvoltăm după prima linie: det⁡(A)=1⋅(6−0)+1⋅(2−1)−1⋅(0+3)=6+1−3\displaystyle \det(A)=1\cdot(6-0)+1\cdot(2-1)-1\cdot(0+3)=6+1-3. Cum det⁡(A)≠0\displaystyle \det(A)\neq 0, sistemul este compatibil determinat, cu soluție unică.
    det⁡(A)=4≠0\displaystyle \det(A)=4\neq 0
  3. Scădem prima ecuație din a doua: (x+3y−z)−(x−y−z)=−2−(−2)\displaystyle (x+3y-z)-(x-y-z)=-2-(-2), adică 4y=0\displaystyle 4y=0.
    y=0\displaystyle y=0
  4. Cu y=0\displaystyle y=0, prima ecuație devine x−z=−2\displaystyle x-z=-2, iar a treia este −x+2z=4\displaystyle -x+2z=4. Adunând cele două relații obținem z=2\displaystyle z=2.
    z=2\displaystyle z=2
  5. Din x−z=−2\displaystyle x-z=-2 și z=2\displaystyle z=2 rezultă x=0\displaystyle x=0. Verificare în a treia ecuație: −0+2⋅2=4\displaystyle -0+2\cdot 2=4. Soluția unică este x=y=0\displaystyle x=y=0, z=2\displaystyle z=2.
    x=y=0\displaystyle x=y=0, z=2\displaystyle \ z=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x\circ y=2xy-2x-2y+3.

Demonstrați că x∘y=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=2(x-1)(y-1)+1, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, pentru x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R} oarecare: x∘y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x\circ y=2xy-2x-2y+3.
    x∘y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x\circ y=2xy-2x-2y+3
  2. Scriem termenul liber 3\displaystyle 3 ca 2+1\displaystyle 2+1, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∘y=2xy−2x−2y+2+1\displaystyle x\circ y=2xy-2x-2y+2+1
  3. Grupăm termenii care îl conțin pe x\displaystyle x și ceilalți doi, dând factor comun −2\displaystyle -2 în a doua grupă: −2y+2=−2(y−1)\displaystyle -2y+2=-2(y-1).
    x∘y=(2xy−2x)+(−2y+2)+1=2x(y−1)−2(y−1)+1\displaystyle x\circ y=(2xy-2x)+(-2y+2)+1=2x(y-1)-2(y-1)+1
  4. Dăm factor comun y−1\displaystyle y-1 și obținem forma cerută.
    x∘y=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=2(x-1)(y-1)+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x\circ y=2xy-2x-2y+3.

Determinați elementul neutru al legii „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul neutru e\displaystyle e trebuie să verifice x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Legea este comutativă, deoarece expresia 2xy−2x−2y+3\displaystyle 2xy-2x-2y+3 este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci este suficient să impunem x∘e=x\displaystyle x\circ e=x.
    x∘e=x\displaystyle x\circ e=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Scriem legea sub formă factorizată: 2(x−1)(y−1)+1=2xy−2x−2y+2+1=2xy−2x−2y+3\displaystyle 2(x-1)(y-1)+1=2xy-2x-2y+2+1=2xy-2x-2y+3. Deci x∘e=2(x−1)(e−1)+1\displaystyle x\circ e=2(x-1)(e-1)+1, iar condiția devine 2(x−1)(e−1)+1=x\displaystyle 2(x-1)(e-1)+1=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    2(x−1)(e−1)+1=x\displaystyle 2(x-1)(e-1)+1=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Mutăm 1\displaystyle 1 în membrul drept: 2(x−1)(e−1)=x−1\displaystyle 2(x-1)(e-1)=x-1, adică (x−1)(2(e−1)−1)=0\displaystyle (x-1)\left(2(e-1)-1\right)=0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    (x−1)(2e−3)=0\displaystyle (x-1)(2e-3)=0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  4. Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice x\displaystyle x, deci și pentru x≠1\displaystyle x\neq 1, de exemplu x=0\displaystyle x=0. Atunci factorul 2e−3\displaystyle 2e-3 trebuie să fie nul, de unde e=32\displaystyle e=\dfrac{3}{2}. Așadar elementul neutru al legii este 32\displaystyle \dfrac{3}{2}.
    e=32\displaystyle e=\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x\circ y=2xy-2x-2y+3.

Dați exemplu de două numere a,b∈Q−Z\displaystyle a,b\in\mathbb{Q}-\mathbb{Z} pentru care a∘b∈Z\displaystyle a\circ b\in\mathbb{Z}.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem legea la forma factorizată. Observăm că 2xy−2x−2y+3=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle 2xy-2x-2y+3=2(x-1)(y-1)+1, deoarece 2(x−1)(y−1)=2xy−2x−2y+2\displaystyle 2(x-1)(y-1)=2xy-2x-2y+2.
    x∘y=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=2(x-1)(y-1)+1
  2. Pentru ca a∘b\displaystyle a\circ b să fie întreg, căutăm a−1\displaystyle a-1 și b−1\displaystyle b-1 fracții al căror produs este număr întreg. Alegem a−1=32\displaystyle a-1=\dfrac{3}{2} și b−1=23\displaystyle b-1=\dfrac{2}{3}, deci a=52\displaystyle a=\dfrac{5}{2} și b=53\displaystyle b=\dfrac{5}{3}. Ambele numere sunt raționale și nu sunt întregi.
    a=52\displaystyle a=\frac{5}{2}, b=53∈Q∖Z\displaystyle \ b=\frac{5}{3}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}
  3. Calculăm a∘b\displaystyle a\circ b cu forma factorizată: a−1=32\displaystyle a-1=\dfrac{3}{2}, b−1=23\displaystyle b-1=\dfrac{2}{3}, deci produsul lor este 1\displaystyle 1, iar 2⋅1+1=3\displaystyle 2\cdot 1+1=3.
    52∘53=2⋅32⋅23+1=3\displaystyle \frac{5}{2}\circ\frac{5}{3}=2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}+1=3
  4. Rezultatul 3\displaystyle 3 este număr întreg, deci perechea aleasă convine: a=52\displaystyle a=\dfrac{5}{2}, b=53\displaystyle b=\dfrac{5}{3}.
    52∘53=3∈Z\displaystyle \frac{5}{2}\circ\frac{5}{3}=3\in\mathbb{Z}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+3}.

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este o compunere: radicalul aplicat expresiei x2+3\displaystyle x^{2}+3. Folosim formula (u)′=u′2u\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, unde u=x2+3\displaystyle u=x^{2}+3.
    (u)′=u′2u\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}},u=x2+3\displaystyle \quad u=x^{2}+3
  2. Înlocuim u=x2+3\displaystyle u=x^{2}+3 în formulă și obținem derivata sub forma cerută de barem.
    f′(x)=(x2+3)′2x2+3\displaystyle f'(x)=\frac{\left(x^{2}+3\right)'}{2\sqrt{x^{2}+3}}
  3. Calculăm derivata expresiei de sub radical: (x2+3)′=2x+0=2x\displaystyle \left(x^{2}+3\right)'=2x+0=2x.
    (x2+3)′=2x\displaystyle \left(x^{2}+3\right)'=2x
  4. Înlocuim în fracție: f′(x)=2x2x2+3\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+3}}. Simplificăm prin 2\displaystyle 2 și obținem rezultatul final.
    f′(x)=xx2+3\displaystyle f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+3}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul A(1,2)\displaystyle A(1,2).
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm că punctul A(1,2)\displaystyle A(1,2) aparține graficului: f(1)=12+3=4=2\displaystyle f(1)=\sqrt{1^{2}+3}=\sqrt{4}=2. Deci punctul de tangență are abscisa 1\displaystyle 1 și ordonata 2\displaystyle 2.
    f(1)=2\displaystyle f(1)=2
  2. Scriem ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă 1\displaystyle 1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  3. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f. Folosim formula (u)′=u′2u\displaystyle (\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, cu u=x2+3\displaystyle u=x^{2}+3 și u′=2x\displaystyle u'=2x. Obținem f′(x)=2x2x2+3=xx2+3\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+3}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}.
    f′(x)=xx2+3\displaystyle f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}
  4. Calculăm f′(1)=11+3=12\displaystyle f'(1)=\dfrac{1}{\sqrt{1+3}}=\dfrac{1}{2}. Împreună cu f(1)=2\displaystyle f(1)=2, avem valorile cerute.
    f(1)=2\displaystyle f(1)=2, f′(1)=12\displaystyle \ f'(1)=\dfrac{1}{2}
  5. Înlocuim în ecuația tangentei: y−2=12(x−1)\displaystyle y-2=\dfrac{1}{2}(x-1). Atunci y=12x−12+2\displaystyle y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}+2, deci y=12x+32\displaystyle y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}.
    y=12x+32\displaystyle y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+3\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+3}.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} și n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right).
    y=mx+n\displaystyle y=mx+n,m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle \quad m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x},n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle \quad n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)
  2. Scriem f(x)x=x2+3x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\sqrt{x^2+3}}{x}. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x=x2\displaystyle x=\sqrt{x^2}, deci x2+3x=1+3x2\displaystyle \dfrac{\sqrt{x^2+3}}{x}=\sqrt{1+\dfrac{3}{x^2}}, care tinde la 1\displaystyle 1 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty.
    m=lim⁡x→+∞x2+3x=lim⁡x→+∞1+3x2=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+3}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}=1
  3. Cu m=1\displaystyle m=1 avem n=lim⁡x→+∞(x2+3−x)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3}-x\right), o nedeterminare de forma ∞−∞\displaystyle \infty-\infty.
    n=lim⁡x→+∞(x2+3−x)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3}-x\right)
  4. Amplificăm cu conjugata x2+3+x\displaystyle \sqrt{x^2+3}+x. La numărător folosim (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^2-b^2, deci obținem (x2+3)−x2=3\displaystyle (x^2+3)-x^2=3.
    x2+3−x=(x2+3−x)(x2+3+x)x2+3+x=3x2+3+x\displaystyle \sqrt{x^2+3}-x=\frac{\left(\sqrt{x^2+3}-x\right)\left(\sqrt{x^2+3}+x\right)}{\sqrt{x^2+3}+x}=\frac{3}{\sqrt{x^2+3}+x}
  5. La numitor, x2+3+x→+∞\displaystyle \sqrt{x^2+3}+x\to+\infty, iar numărătorul este constantul 3\displaystyle 3, deci limita este 0\displaystyle 0. Așadar n=0\displaystyle n=0.
    n=lim⁡x→+∞3x2+3+x=0\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{\sqrt{x^2+3}+x}=0
  6. Înlocuind m=1\displaystyle m=1 și n=0\displaystyle n=0 în y=mx+n\displaystyle y=mx+n, obținem asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty: y=x\displaystyle y=x.
    y=x\displaystyle y=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^* se consideră funcțiile fn:(0,+∞)→R\displaystyle f_n:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, fn(x)=xnln⁡x\displaystyle f_n(x)=x^n\ln x.

Calculați ∫ee2ln⁡xf1(x) dx\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{\ln x}{f_1(x)}\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1 din fn(x)=xnln⁡x\displaystyle f_n(x)=x^n\ln x obținem f1(x)=xln⁡x\displaystyle f_1(x)=x\ln x.
    f1(x)=xln⁡x\displaystyle f_1(x)=x\ln x
  2. Înlocuim f1(x)\displaystyle f_1(x) în integrală: ln⁡xf1(x)=ln⁡xxln⁡x\displaystyle \dfrac{\ln x}{f_1(x)}=\dfrac{\ln x}{x\ln x}. Pe [e,e2]\displaystyle [e,e^2] avem ln⁡x∈[1,2]\displaystyle \ln x\in[1,2], deci ln⁡x≠0\displaystyle \ln x\neq 0 și putem simplifica fracția cu ln⁡x\displaystyle \ln x.
    ∫ee2ln⁡xxln⁡x dx=∫ee21x dx\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{\ln x}{x\ln x}\,dx=\int_e^{e^2}\frac{1}{x}\,dx
  3. O primitivă a funcției 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) este ln⁡x\displaystyle \ln x, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫ee21x dx=ln⁡x∣ee2=ln⁡e2−ln⁡e\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{1}{x}\,dx=\ln x\Big|_e^{e^2}=\ln e^2-\ln e
  4. Calculăm: ln⁡e2=2ln⁡e=2\displaystyle \ln e^2=2\ln e=2 și ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, deci diferența este 2−1=1\displaystyle 2-1=1.
    ln⁡e2−ln⁡e=2−1=1\displaystyle \ln e^2-\ln e=2-1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^* se consideră funcțiile fn:(0,+∞)→R\displaystyle f_n:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, fn(x)=xnln⁡x\displaystyle f_n(x)=x^n\ln x.

Demonstrați că primitivele funcției f1\displaystyle f_1 sunt convexe pe intervalul [1e,+∞)\displaystyle \left[\frac{1}{e},+\infty\right).
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a funcției f1\displaystyle f_1 pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), unde f1(x)=xln⁡x\displaystyle f_1(x)=x\ln x. Convexitatea lui F\displaystyle F se studiază cu ajutorul derivatei a doua F′′\displaystyle F''.
    F′(x)=f1(x)=xln⁡x\displaystyle F'(x)=f_1(x)=x\ln x
  2. Derivăm încă o dată, cu regula de derivare a produsului: (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}. Obținem F′′(x)=f1′(x)=1⋅ln⁡x+x⋅1x\displaystyle F''(x)=f_1'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}.
    F′′(x)=f1′(x)=ln⁡x+x⋅1x=1+ln⁡x\displaystyle F''(x)=f_1'(x)=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=1+\ln x
  3. Rezolvăm inegalitatea 1+ln⁡x≥0\displaystyle 1+\ln x\geq 0. Aceasta revine la ln⁡x≥−1\displaystyle \ln x\geq -1. Deoarece funcția logaritm este crescătoare, obținem x≥e−1=1e\displaystyle x\geq e^{-1}=\dfrac{1}{e}.
    1+ln⁡x≥0⇔ln⁡x≥−1⇔x≥1e\displaystyle 1+\ln x\geq 0\Leftrightarrow \ln x\geq -1\Leftrightarrow x\geq \frac{1}{e}
  4. Deci F′′(x)≥0\displaystyle F''(x)\geq 0 pentru orice x∈[1e,+∞)\displaystyle x\in\left[\dfrac{1}{e},+\infty\right). O funcție cu derivata a doua mai mare sau egală cu 0\displaystyle 0 pe un interval este convexă pe acel interval. Cum F\displaystyle F a fost o primitivă oarecare a lui f1\displaystyle f_1, toate primitivele lui f1\displaystyle f_1 sunt convexe pe [1e,+∞)\displaystyle \left[\dfrac{1}{e},+\infty\right).
    1+ln⁡x≥0\displaystyle 1+\ln x\geq 0,∀x∈[1e,+∞)⇒F convexa˘ pe [1e,+∞)\displaystyle \forall x\in\left[\frac{1}{e},+\infty\right)\Rightarrow F\text{ convexă pe }\left[\frac{1}{e},+\infty\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^* se consideră funcțiile fn:(0,+∞)→R\displaystyle f_n:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, fn(x)=xnln⁡x\displaystyle f_n(x)=x^n\ln x.

Calculați ∫1ef2009(x)x2010 dx\displaystyle \int_1^e\frac{f_{2009}(x)}{x^{2010}}\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim n=2009\displaystyle n=2009 în fn(x)=xnln⁡x\displaystyle f_n(x)=x^n\ln x și obținem f2009(x)=x2009ln⁡x\displaystyle f_{2009}(x)=x^{2009}\ln x.
    f2009(x)=x2009ln⁡x\displaystyle f_{2009}(x)=x^{2009}\ln x
  2. Înlocuim în integrală: ∫1ex2009ln⁡xx2010 dx\displaystyle \int_1^e\dfrac{x^{2009}\ln x}{x^{2010}}\,dx. Cum x2010=x2009⋅x\displaystyle x^{2010}=x^{2009}\cdot x, simplificăm fracția cu x2009\displaystyle x^{2009}.
    ∫1ex2009ln⁡xx2010 dx=∫1eln⁡xx dx\displaystyle \int_1^e\frac{x^{2009}\ln x}{x^{2010}}\,dx=\int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx
  3. Observăm că (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, deci ln⁡xx=ln⁡x⋅(ln⁡x)′\displaystyle \dfrac{\ln x}{x}=\ln x\cdot(\ln x)'. O primitivă este ln⁡2x2\displaystyle \dfrac{\ln^2 x}{2}, pentru că (ln⁡2x2)′=ln⁡x⋅1x\displaystyle \left(\dfrac{\ln^2 x}{2}\right)'=\ln x\cdot\dfrac{1}{x}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫1eln⁡xx dx=ln⁡2x2∣1e\displaystyle \int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx=\frac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e
  4. Cum ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem ln⁡2e2−ln⁡212=12−0\displaystyle \dfrac{\ln^2 e}{2}-\dfrac{\ln^2 1}{2}=\dfrac{1}{2}-0.
    12\displaystyle \frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.