Bac matematică M2 științe ale naturii 2026, sesiunea a II-a varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numerele complexe z1=2−3i\displaystyle z_1 = 2-3i și z2=1−2i\displaystyle z_2 = 1-2i. Arătați că iz1+z2=4\displaystyle iz_1+z_2=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim z1=2−3i\displaystyle z_1=2-3i și z2=1−2i\displaystyle z_2=1-2i în expresia iz1+z2\displaystyle iz_1+z_2.
    iz1+z2=i(2−3i)+1−2i\displaystyle iz_1+z_2=i(2-3i)+1-2i
  2. Efectuăm înmulțirea i(2−3i)=2i−3i2\displaystyle i(2-3i)=2i-3i^{2}.
    2i−3i2+1−2i\displaystyle 2i-3i^{2}+1-2i
  3. Folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1, deci −3i2=3\displaystyle -3i^{2}=3.
    2i+3+1−2i\displaystyle 2i+3+1-2i
  4. Termenii cu i\displaystyle i se reduc: 2i−2i=0\displaystyle 2i-2i=0. Adunăm părțile reale: 3+1=4\displaystyle 3+1=4. Deci iz1+z2=4\displaystyle iz_1+z_2=4.
    3+1=4\displaystyle 3+1=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+3\displaystyle f(x)=x+3. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a+2)=a+f(a)\displaystyle f(a+2)=a+f(a).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(a+2)\displaystyle f(a+2) înlocuind x\displaystyle x cu a+2\displaystyle a+2 în formula funcției: f(a+2)=(a+2)+3=a+5\displaystyle f(a+2)=(a+2)+3=a+5.
    f(a+2)=a+5\displaystyle f(a+2)=a+5
  2. Calculăm f(a)\displaystyle f(a) înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a: f(a)=a+3\displaystyle f(a)=a+3.
    f(a)=a+3\displaystyle f(a)=a+3
  3. Înlocuim cele două valori în egalitatea dată, f(a+2)=a+f(a)\displaystyle f(a+2)=a+f(a), și obținem a+5=a+(a+3)\displaystyle a+5=a+(a+3), adică a+5=2a+3\displaystyle a+5=2a+3.
    a+5=a+a+3\displaystyle a+5=a+a+3
  4. Trecem termenii cu a\displaystyle a într-o parte și numerele în cealaltă: 5−3=2a−a\displaystyle 5-3=2a-a, deci a=2\displaystyle a=2. Verificare: f(4)=7\displaystyle f(4)=7 și 2+f(2)=2+5=7\displaystyle 2+f(2)=2+5=7.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x=x2−x+2\displaystyle \sqrt{2x}=\sqrt{x^2-x+2}.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență a radicalilor. Trebuie ca 2x≥0\displaystyle 2x\ge 0, deci x≥0\displaystyle x\ge 0. Expresia x2−x+2\displaystyle x^{2}-x+2 are discriminantul Δ=−7<0\displaystyle \Delta=-7<0 și coeficientul dominant pozitiv, deci este mereu pozitivă.
    x∈[0,+∞)\displaystyle x\in[0,+\infty)
  2. Ridicăm ecuația la pătrat. Cei doi radicali dispar, iar ecuația devine 2x=x2−x+2\displaystyle 2x=x^{2}-x+2.
    2x=x2−x+2\displaystyle 2x=x^{2}-x+2
  3. Mutăm toți termenii în partea dreaptă și reducem termenii asemenea: x2−x−2x+2=0\displaystyle x^{2}-x-2x+2=0, adică x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}-3x+2=0.
    x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}-3x+2=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=9−8=1\displaystyle \Delta=9-8=1, deci x=3±12\displaystyle x=\dfrac{3\pm 1}{2}, adică x=1\displaystyle x=1 sau x=2\displaystyle x=2.
    x=1 sau x=2\displaystyle x=1\text{ sau }x=2
  5. Verificăm soluțiile. Pentru x=1\displaystyle x=1: 2=1−1+2=2\displaystyle \sqrt{2}=\sqrt{1-1+2}=\sqrt{2}, egalitate adevărată. Pentru x=2\displaystyle x=2: 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2 și 4−2+2=4=2\displaystyle \sqrt{4-2+2}=\sqrt{4}=2, egalitate adevărată. Ambele valori sunt pozitive, deci verifică condiția de existență. Ambele soluții convin.
    x=1 sau x=2, care convin\displaystyle x=1\text{ sau }x=2\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea 3n2>100\displaystyle 3n^2>100.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de o cifră sunt 0,1,2,…,9\displaystyle 0, 1, 2, \ldots, 9, deci numărul cazurilor posibile este 10\displaystyle 10.
    10\displaystyle 10
  2. Rezolvăm inegalitatea: 3n2>100\displaystyle 3n^{2}>100 revine la n2>1003\displaystyle n^{2}>\dfrac{100}{3}, adică n2>33,33…\displaystyle n^{2}>33{,}33\ldots
    n2>1003\displaystyle n^{2}>\dfrac{100}{3}
  3. Verificăm pătratele cifrelor: 52=25<33,33\displaystyle 5^{2}=25<33{,}33, iar 62=36>33,33\displaystyle 6^{2}=36>33{,}33. Deci convin cifrele 6,7,8,9\displaystyle 6, 7, 8, 9, adică 4\displaystyle 4 cazuri favorabile.
    n∈{6,7,8,9}, adica˘ 4 cazuri favorabile\displaystyle n\in\{6,7,8,9\}\text{, adică }4\text{ cazuri favorabile}
  4. Aplicăm formula p=cazuri favorabilecazuri posibile=410\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{4}{10} și simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2.
    p=410=25\displaystyle p=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(6,0)\displaystyle A(6,0), B(8,2)\displaystyle B(8,2) și C(1,9)\displaystyle C(1,9). Determinați distanța dintre punctul C\displaystyle C și mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2},yM=yA+yB2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(6,0)\displaystyle A(6,0) și B(8,2)\displaystyle B(8,2): xM=6+82=7\displaystyle x_M=\dfrac{6+8}{2}=7 și yM=0+22=1\displaystyle y_M=\dfrac{0+2}{2}=1. Deci M(7,1)\displaystyle M(7,1).
    M(7,1)\displaystyle M(7,1)
  3. Distanța dintre punctele C(1,9)\displaystyle C(1,9) și M(7,1)\displaystyle M(7,1) este CM=(xM−xC)2+(yM−yC)2\displaystyle CM=\sqrt{(x_M-x_C)^2+(y_M-y_C)^2}. Obținem CM=(7−1)2+(1−9)2=62+(−8)2\displaystyle CM=\sqrt{(7-1)^2+(1-9)^2}=\sqrt{6^2+(-8)^2}.
    CM=62+82\displaystyle CM=\sqrt{6^2+8^2}
  4. Calculăm: 62+82=36+64=100\displaystyle 6^2+8^2=36+64=100, deci CM=100=10\displaystyle CM=\sqrt{100}=10.
    CM=62+82=100=10\displaystyle CM=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, cu AC=9\displaystyle AC=9 și B=π3\displaystyle B=\frac{\pi}{3}. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 33\displaystyle 3\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Latura AC\displaystyle AC este opusă unghiului B\displaystyle B, deci putem aplica teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC: raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este egal cu 2R\displaystyle 2R.
    ACsin⁡B=2R\displaystyle \frac{AC}{\sin B}=2R
  2. Înlocuim AC=9\displaystyle AC=9 și B=π3\displaystyle B=\dfrac{\pi}{3} în formula teoremei sinusurilor.
    2R=ACsin⁡B=9sin⁡π3\displaystyle 2R=\frac{AC}{\sin B}=\frac{9}{\sin\frac{\pi}{3}}
  3. Folosim valoarea sin⁡π3=32\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și înlocuim în relație.
    2R=932=183\displaystyle 2R=\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{18}{\sqrt{3}}
  4. Raționalizăm numitorul amplificând cu 3\displaystyle \sqrt{3}: 183=1833=63\displaystyle \dfrac{18}{\sqrt{3}}=\dfrac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}. Din 2R=63\displaystyle 2R=6\sqrt{3} obținem raza cercului circumscris.
    R=33\displaystyle R=3\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x,y)=(x+yxy4x+y)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix} x+y & xy \\ 4 & x+y \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale. Arătați că det⁡(A(1,2))=1\displaystyle \det(A(1,2))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2 în elementele matricei: suma x+y\displaystyle x+y devine 1+2=3\displaystyle 1+2=3, iar produsul xy\displaystyle xy devine 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2.
    x+y=3 și xy=2\displaystyle x+y=3\text{ și }xy=2
  2. Scriem matricea A(1,2)\displaystyle A(1,2) cu aceste valori.
    A(1,2)=(3243)\displaystyle A(1,2)=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}
  3. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡(A(1,2))=3⋅3−2⋅4\displaystyle \det(A(1,2))=3\cdot 3-2\cdot 4.
    det⁡(A(1,2))=3⋅3−2⋅4\displaystyle \det(A(1,2))=3\cdot 3-2\cdot 4
  4. Calculăm produsele și scădem: 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9 și 2⋅4=8\displaystyle 2\cdot 4=8, deci 9−8=1\displaystyle 9-8=1, ceea ce trebuia arătat.
    9−8=1\displaystyle 9-8=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x,y)=(x+yxy4x+y)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix} x+y & xy \\ 4 & x+y \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că matricea A(x,y)\displaystyle A(x,y) este inversabilă, pentru orice numere reale distincte x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Scriem determinantul matricei A(x,y)\displaystyle A(x,y) ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe cea secundară.
    det⁡(A(x,y))=(x+y)(x+y)−4⋅xy\displaystyle \det(A(x,y))=(x+y)(x+y)-4\cdot xy
  2. Calculăm: (x+y)2−4xy\displaystyle (x+y)^{2}-4xy. Desfacem pătratul sumei și reducem termenii asemenea: x2+2xy+y2−4xy=x2−2xy+y2\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}-4xy=x^{2}-2xy+y^{2}, adică pătratul diferenței.
    det⁡(A(x,y))=(x+y)2−4xy=x2−2xy+y2=(x−y)2\displaystyle \det(A(x,y))=(x+y)^{2}-4xy=x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}
  3. Numerele x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt distincte, deci x−y≠0\displaystyle x-y\neq 0. Pătratul unui număr real nenul este strict pozitiv, deci determinantul este nenul. Prin urmare matricea A(x,y)\displaystyle A(x,y) este inversabilă pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale distincte.
    x≠y⇒(x−y)2>0⇒det⁡(A(x,y))≠0\displaystyle x\neq y\Rightarrow (x-y)^{2}>0\Rightarrow \det(A(x,y))\neq 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x,y)=(x+yxy4x+y)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix} x+y & xy \\ 4 & x+y \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care A(x,2)⋅A(x,2)=4A(y,0)\displaystyle A(x,2)\cdot A(x,2)=4A(y,0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=2\displaystyle y=2 în matricea A(x,y)\displaystyle A(x,y): elementele sunt x+2\displaystyle x+2, 2x\displaystyle 2x, 4\displaystyle 4 și x+2\displaystyle x+2.
    A(x,2)=(x+22x4x+2)\displaystyle A(x,2)=\begin{pmatrix} x+2 & 2x \\ 4 & x+2 \end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(x,2)⋅A(x,2)\displaystyle A(x,2)\cdot A(x,2), element cu element, linie pe coloană. Sus-stânga: (x+2)2+2x⋅4\displaystyle (x+2)^2+2x\cdot 4. Sus-dreapta: (x+2)⋅2x+2x⋅(x+2)\displaystyle (x+2)\cdot 2x+2x\cdot(x+2). Jos-stânga: 4(x+2)+(x+2)⋅4\displaystyle 4(x+2)+(x+2)\cdot 4. Jos-dreapta: 4⋅2x+(x+2)2\displaystyle 4\cdot 2x+(x+2)^2.
    A(x,2)⋅A(x,2)=(x2+12x+44x2+8x8x+16x2+12x+4)\displaystyle A(x,2)\cdot A(x,2)=\begin{pmatrix} x^2+12x+4 & 4x^2+8x \\ 8x+16 & x^2+12x+4 \end{pmatrix}
  3. Pentru A(y,0)\displaystyle A(y,0) suma elementelor este y+0=y\displaystyle y+0=y, iar produsul este y⋅0=0\displaystyle y\cdot 0=0. Înmulțim matricea cu 4\displaystyle 4 și scriem egalitatea matricelor din enunț.
    (x2+12x+44x2+8x8x+16x2+12x+4)=(4y0164y)\displaystyle \begin{pmatrix} x^2+12x+4 & 4x^2+8x \\ 8x+16 & x^2+12x+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4y & 0 \\ 16 & 4y \end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice și obținem un sistem de trei ecuații distincte.
    {x2+12x+4=4y4x2+8x=08x+16=16\displaystyle \begin{cases} x^2+12x+4=4y \\ 4x^2+8x=0 \\ 8x+16=16 \end{cases}
  5. Din ultima ecuație, 8x=0\displaystyle 8x=0, deci x=0\displaystyle x=0. Verificăm în a doua ecuație: 4⋅02+8⋅0=0\displaystyle 4\cdot 0^2+8\cdot 0=0, adevărat.
    x=0\displaystyle x=0
  6. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în prima ecuație: 0+0+4=4y\displaystyle 0+0+4=4y, deci y=1\displaystyle y=1. Perechea x=0\displaystyle x=0, y=1\displaystyle y=1 verifică toate cele trei ecuații.
    x=0 și y=1\displaystyle x=0\text{ și }y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=5−x+y2+xy\displaystyle x*y=5-\frac{x+y}{2}+xy.

Arătați că 1∗3=6\displaystyle 1*3=6.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=5−x+y2+xy\displaystyle x*y=5-\dfrac{x+y}{2}+xy. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3.
    1∗3=5−1+32+1⋅3\displaystyle 1*3=5-\dfrac{1+3}{2}+1\cdot 3
  2. Avem 1+3=4\displaystyle 1+3=4, deci fracția devine 42=2\displaystyle \dfrac{4}{2}=2.
    1+32=2\displaystyle \dfrac{1+3}{2}=2
  3. Produsul este 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3. Atunci 1∗3=5−2+3=6\displaystyle 1*3=5-2+3=6, ceea ce trebuia arătat.
    1∗3=5−2+3=6\displaystyle 1*3=5-2+3=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=5−x+y2+xy\displaystyle x*y=5-\frac{x+y}{2}+xy.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∗5=2x\displaystyle x*5=2x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=5\displaystyle y=5 în definiția x∗y=5−x+y2+xy\displaystyle x*y=5-\dfrac{x+y}{2}+xy.
    x∗5=5−x+52+5x\displaystyle x*5=5-\frac{x+5}{2}+5x
  2. Aducem toți termenii la numitorul 2\displaystyle 2: 5=102\displaystyle 5=\dfrac{10}{2} și 5x=10x2\displaystyle 5x=\dfrac{10x}{2}.
    x∗5=10−(x+5)+10x2\displaystyle x*5=\frac{10-(x+5)+10x}{2}
  3. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: 10−x−5+10x=9x+5\displaystyle 10-x-5+10x=9x+5. Deci x∗5=9x+52\displaystyle x*5=\dfrac{9x+5}{2}.
    x∗5=9x+52\displaystyle x*5=\frac{9x+5}{2}
  4. Ecuația x∗5=2x\displaystyle x*5=2x devine 9x+52=2x\displaystyle \dfrac{9x+5}{2}=2x. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și obținem 9x+5=4x\displaystyle 9x+5=4x.
    9x+5=4x\displaystyle 9x+5=4x
  5. Trecem termenii cu x\displaystyle x în membrul stâng: 9x−4x=−5\displaystyle 9x-4x=-5, adică 5x=−5\displaystyle 5x=-5. Deci x=−1\displaystyle x=-1.
    9x+52=2x, de unde obținem x=−1\displaystyle \frac{9x+5}{2}=2x\text{, de unde obținem }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=5−x+y2+xy\displaystyle x*y=5-\frac{x+y}{2}+xy.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale pentru care (m−n)∗(m+n)=m2\displaystyle (m-n)*(m+n)=m^2.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru x=m−n\displaystyle x=m-n și y=m+n\displaystyle y=m+n. Suma lor este (m−n)+(m+n)=2m\displaystyle (m-n)+(m+n)=2m, deci x+y2=m\displaystyle \dfrac{x+y}{2}=m. Produsul lor este (m−n)(m+n)=m2−n2\displaystyle (m-n)(m+n)=m^{2}-n^{2}.
    x+y2=m\displaystyle \dfrac{x+y}{2}=m,xy=m2−n2\displaystyle \quad xy=m^{2}-n^{2}
  2. Înlocuim în formula legii: (m−n)∗(m+n)=5−m+m2−n2\displaystyle (m-n)*(m+n)=5-m+m^{2}-n^{2}.
    (m−n)∗(m+n)=5−m+m2−n2\displaystyle (m-n)*(m+n)=5-m+m^{2}-n^{2}
  3. Egalăm cu m2\displaystyle m^{2}: 5−m+m2−n2=m2\displaystyle 5-m+m^{2}-n^{2}=m^{2}. Reducem termenii m2\displaystyle m^{2} și obținem 5−m−n2=0\displaystyle 5-m-n^{2}=0, adică m+n2=5\displaystyle m+n^{2}=5.
    m+n2=5\displaystyle m+n^{2}=5
  4. Cum m\displaystyle m este număr natural, m=5−n2≥0\displaystyle m=5-n^{2}\ge 0, deci n2≤5\displaystyle n^{2}\le 5. Pentru n\displaystyle n natural rămân n∈{0,1,2}\displaystyle n\in\{0,1,2\}.
    n∈{0,1,2}\displaystyle n\in\{0,1,2\}
  5. Calculăm m=5−n2\displaystyle m=5-n^{2} pentru fiecare valoare: pentru n=0\displaystyle n=0 obținem m=5\displaystyle m=5, pentru n=1\displaystyle n=1 obținem m=4\displaystyle m=4, pentru n=2\displaystyle n=2 obținem m=1\displaystyle m=1. Toate valorile lui m\displaystyle m sunt naturale.
    n=0⇒m=5\displaystyle n=0\Rightarrow m=5,n=1⇒m=4\displaystyle \quad n=1\Rightarrow m=4,n=2⇒m=1\displaystyle \quad n=2\Rightarrow m=1
  6. Perechile (m,n)\displaystyle (m,n) cerute sunt (1,2)\displaystyle (1,2), (4,1)\displaystyle (4,1) și (5,0)\displaystyle (5,0).
    (1,2)\displaystyle (1,2), (4,1) și (5,0)\displaystyle \ (4,1)\text{ și }(5,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+8x−2x2+2\displaystyle f(x)=\frac{x^2+8x-2}{x^2+2}.

Arătați că f′(x)=8(x+1)(2−x)(x2+2)2\displaystyle f'(x)=\frac{8(x+1)(2-x)}{(x^2+2)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un raport de două funcții derivabile, deci folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}. Aici u(x)=x2+8x−2\displaystyle u(x)=x^{2}+8x-2 și v(x)=x2+2\displaystyle v(x)=x^{2}+2.
    u(x)=x2+8x−2\displaystyle u(x)=x^{2}+8x-2,v(x)=x2+2\displaystyle \quad v(x)=x^{2}+2
  2. Calculăm derivatele: u′(x)=2x+8\displaystyle u'(x)=2x+8 și v′(x)=2x\displaystyle v'(x)=2x.
    u′(x)=2x+8\displaystyle u'(x)=2x+8,v′(x)=2x\displaystyle \quad v'(x)=2x
  3. Înlocuim în formula de derivare a câtului.
    f′(x)=(2x+8)(x2+2)−(x2+8x−2)⋅2x(x2+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+8)(x^{2}+2)-(x^{2}+8x-2)\cdot 2x}{(x^{2}+2)^{2}}
  4. Efectuăm înmulțirile de la numărător. Primul produs: (2x+8)(x2+2)=2x3+8x2+4x+16\displaystyle (2x+8)(x^{2}+2)=2x^{3}+8x^{2}+4x+16. Al doilea produs: (x2+8x−2)⋅2x=2x3+16x2−4x\displaystyle (x^{2}+8x-2)\cdot 2x=2x^{3}+16x^{2}-4x.
    (2x+8)(x2+2)=2x3+8x2+4x+16\displaystyle (2x+8)(x^{2}+2)=2x^{3}+8x^{2}+4x+16,(x2+8x−2)⋅2x=2x3+16x2−4x\displaystyle \quad (x^{2}+8x-2)\cdot 2x=2x^{3}+16x^{2}-4x
  5. Scădem cele două produse: termenii 2x3\displaystyle 2x^{3} se reduc, iar rămâne numărătorul −8x2+8x+16\displaystyle -8x^{2}+8x+16.
    −8x2+8x+16(x2+2)2\displaystyle \dfrac{-8x^{2}+8x+16}{(x^{2}+2)^{2}}
  6. Dăm factor comun pe 8\displaystyle 8: −8x2+8x+16=8(−x2+x+2)\displaystyle -8x^{2}+8x+16=8(-x^{2}+x+2). Verificăm descompunerea: (x+1)(2−x)=2x−x2+2−x=−x2+x+2\displaystyle (x+1)(2-x)=2x-x^{2}+2-x=-x^{2}+x+2. Deci derivata are forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=−8x2+8x+16(x2+2)2=8(x+1)(2−x)(x2+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-8x^{2}+8x+16}{(x^{2}+2)^{2}}=\dfrac{8(x+1)(2-x)}{(x^{2}+2)^{2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+8x−2x2+2\displaystyle f(x)=\frac{x^2+8x-2}{x^2+2}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x), dacă limita este finită. Calculăm deci limita lui f(x)\displaystyle f(x) când x→+∞\displaystyle x\to+\infty.
    L=lim⁡x→+∞x2+8x−2x2+2\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+8x-2}{x^2+2}
  2. Limita are forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deci dăm factor comun pe x2\displaystyle x^2, termenul de grad maxim, la numărător și la numitor.
    lim⁡x→+∞x2(1+8x−2x2)x2(1+2x2)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1+\frac{8}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{2}{x^2}\right)}
  3. Simplificăm cu x2\displaystyle x^2, nenul pentru x\displaystyle x mare, apoi folosim faptul că 8x→0\displaystyle \dfrac{8}{x}\to 0, 2x2→0\displaystyle \dfrac{2}{x^2}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Numărătorul tinde la 1\displaystyle 1, iar numitorul tinde la 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→+∞1+8x−2x21+2x2=1+0−01+0=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{8}{x}-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}}=\frac{1+0-0}{1+0}=1
  4. Limita fiind finită și egală cu 1\displaystyle 1, graficul funcției f\displaystyle f admite asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, de ecuație y=1\displaystyle y=1.
    y=1\displaystyle y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+8x−2x2+2\displaystyle f(x)=\frac{x^2+8x-2}{x^2+2}.

Demonstrați că −2≤f(x)−f(y)≤2\displaystyle -2\le f(x)-f(y)\le 2, pentru orice x,y∈[−4,0]\displaystyle x,y\in[-4,0].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției cu formula de derivare a câtului: f′(x)=(2x+8)(x2+2)−(x2+8x−2)⋅2x(x2+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+8)(x^{2}+2)-(x^{2}+8x-2)\cdot 2x}{(x^{2}+2)^{2}}.
    f′(x)=(2x+8)(x2+2)−(x2+8x−2)⋅2x(x2+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+8)(x^{2}+2)-(x^{2}+8x-2)\cdot 2x}{(x^{2}+2)^{2}}
  2. Desfacem parantezele la numărător: (2x3+8x2+4x+16)−(2x3+16x2−4x)=−8x2+8x+16\displaystyle (2x^{3}+8x^{2}+4x+16)-(2x^{3}+16x^{2}-4x)=-8x^{2}+8x+16, care se scrie −8(x−2)(x+1)\displaystyle -8(x-2)(x+1).
    f′(x)=−8(x−2)(x+1)(x2+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-8(x-2)(x+1)}{(x^{2}+2)^{2}}
  3. Numitorul este pozitiv, deci semnul derivatei este dat de −8(x−2)(x+1)\displaystyle -8(x-2)(x+1). Derivata se anulează pentru x=−1\displaystyle x=-1 sau x=2\displaystyle x=2. Pe [−4,−1]\displaystyle [-4,-1] avem x−2<0\displaystyle x-2<0 și x+1≤0\displaystyle x+1\le 0, deci (x−2)(x+1)≥0\displaystyle (x-2)(x+1)\ge 0 și f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0. Pe [−1,0]\displaystyle [-1,0] avem x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0 și x−2<0\displaystyle x-2<0, deci (x−2)(x+1)≤0\displaystyle (x-2)(x+1)\le 0 și f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0.
    f′(x)=0⇔x=−1 sau x=2; f′(x)≤0 pe [−4,−1]\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\text{ sau }x=2;\ f'(x)\le 0\text{ pe }[-4,-1], f′(x)≥0 pe [−1,0]\displaystyle \ f'(x)\ge 0\text{ pe }[-1,0]
  4. Deci f\displaystyle f scade pe [−4,−1]\displaystyle [-4,-1] și crește pe [−1,0]\displaystyle [-1,0]. Cea mai mică valoare pe [−4,0]\displaystyle [-4,0] este f(−1)\displaystyle f(-1), iar cea mai mare este una dintre valorile de la capetele intervalului. Calculăm valorile: f(−4)=16−32−218\displaystyle f(-4)=\dfrac{16-32-2}{18}, f(−1)=1−8−23\displaystyle f(-1)=\dfrac{1-8-2}{3}, f(0)=−22\displaystyle f(0)=\dfrac{-2}{2}.
    f(−4)=−1\displaystyle f(-4)=-1, f(−1)=−3\displaystyle \ f(-1)=-3, f(0)=−1\displaystyle \ f(0)=-1
  5. Minimul lui f\displaystyle f pe [−4,0]\displaystyle [-4,0] este −3\displaystyle -3, iar maximul este −1\displaystyle -1, deci pentru orice x,y∈[−4,0]\displaystyle x,y\in[-4,0] avem −3≤f(x)≤−1\displaystyle -3\le f(x)\le -1 și −3≤f(y)≤−1\displaystyle -3\le f(y)\le -1. Atunci f(x)−f(y)≤−1−(−3)=2\displaystyle f(x)-f(y)\le -1-(-3)=2 și f(x)−f(y)≥−3−(−1)=−2\displaystyle f(x)-f(y)\ge -3-(-1)=-2.
    −3≤f(x)≤−1\displaystyle -3\le f(x)\le -1, −3≤f(y)≤−1, deci −2≤f(x)−f(y)≤2\displaystyle \ -3\le f(y)\le -1\text{, deci }-2\le f(x)-f(y)\le 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=5x2−3+ln⁡x\displaystyle f(x)=5x^2-3+\ln x.

Arătați că ∫12(f(x)−ln⁡x) dx=263\displaystyle \int_1^2 (f(x)-\ln x)\,dx=\frac{26}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=5x2−3+ln⁡x\displaystyle f(x)=5x^2-3+\ln x în integrand: f(x)−ln⁡x=5x2−3+ln⁡x−ln⁡x=5x2−3\displaystyle f(x)-\ln x=5x^2-3+\ln x-\ln x=5x^2-3.
    f(x)−ln⁡x=5x2−3\displaystyle f(x)-\ln x=5x^{2}-3
  2. Integrala devine ∫12(5x2−3) dx\displaystyle \int_1^2 (5x^2-3)\,dx. O separăm în 5∫12x2 dx−3∫12dx\displaystyle 5\int_1^2 x^2\,dx-3\int_1^2 dx și folosim primitivele 5x33\displaystyle \dfrac{5x^3}{3} pentru 5x2\displaystyle 5x^2 și 3x\displaystyle 3x pentru 3\displaystyle 3, apoi aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫12(f(x)−ln⁡x) dx=∫12(5x2−3) dx=5x33∣12−3x∣12\displaystyle \int_1^2 (f(x)-\ln x)\,dx=\int_1^2 (5x^2-3)\,dx=\frac{5x^3}{3}\Big|_1^2-3x\Big|_1^2
  3. Pentru primul termen: 5x33∣12=5⋅83−5⋅13=403−53=353\displaystyle \dfrac{5x^3}{3}\Big|_1^2=\dfrac{5\cdot 8}{3}-\dfrac{5\cdot 1}{3}=\dfrac{40}{3}-\dfrac{5}{3}=\dfrac{35}{3}.
    5x33∣12=403−53=353\displaystyle \frac{5x^{3}}{3}\Big|_1^2=\frac{40}{3}-\frac{5}{3}=\frac{35}{3}
  4. Pentru al doilea termen: 3x∣12=3⋅2−3⋅1=6−3=3\displaystyle 3x\Big|_1^2=3\cdot 2-3\cdot 1=6-3=3.
    3x∣12=3\displaystyle 3x\Big|_1^2=3
  5. Scădem: 353−3=353−93=263\displaystyle \dfrac{35}{3}-3=\dfrac{35}{3}-\dfrac{9}{3}=\dfrac{26}{3}, deci ∫12(f(x)−ln⁡x) dx=263\displaystyle \int_1^2 (f(x)-\ln x)\,dx=\dfrac{26}{3}.
    353−3=263\displaystyle \frac{35}{3}-3=\frac{26}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=5x2−3+ln⁡x\displaystyle f(x)=5x^2-3+\ln x.

Arătați că ∫1e1x⋅(f(x)−5x2+3)dx=12\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x}\cdot\left(f(x)-5x^2+3\right)dx=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim expresia lui f(x)\displaystyle f(x) în paranteză: f(x)−5x2+3=5x2−3+ln⁡x−5x2+3\displaystyle f(x)-5x^2+3=5x^2-3+\ln x-5x^2+3. Termenii se reduc și rămâne ln⁡x\displaystyle \ln x.
    f(x)−5x2+3=ln⁡x\displaystyle f(x)-5x^2+3=\ln x
  2. Integrandul devine 1x⋅ln⁡x=ln⁡xx\displaystyle \dfrac{1}{x}\cdot\ln x=\dfrac{\ln x}{x}, deci avem de calculat ∫1eln⁡xx dx\displaystyle \int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\,dx.
    ∫1eln⁡xx dx\displaystyle \int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx
  3. Observăm că 1x=(ln⁡x)′\displaystyle \dfrac{1}{x}=(\ln x)', deci integrandul este ln⁡x⋅(ln⁡x)′\displaystyle \ln x\cdot(\ln x)'. O primitivă a lui u⋅u′\displaystyle u\cdot u' este u22\displaystyle \dfrac{u^2}{2}, cu u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x. Obținem ∫1eln⁡x⋅(ln⁡x)′ dx=ln⁡2x2∣1e\displaystyle \displaystyle\int_1^e \ln x\cdot(\ln x)'\,dx=\dfrac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e.
    ∫1eln⁡xx dx=∫1eln⁡x⋅(ln⁡x)′ dx=ln⁡2x2∣1e\displaystyle \int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx=\int_1^e \ln x\cdot(\ln x)'\,dx=\frac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton, înlocuind limitele e\displaystyle e și 1\displaystyle 1. Folosim ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci obținem 122−022=12\displaystyle \dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}=\dfrac{1}{2}, adică egalitatea cerută.
    ln⁡2e2−ln⁡212=12−0=12\displaystyle \frac{\ln^2 e}{2}-\frac{\ln^2 1}{2}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=5x2−3+ln⁡x\displaystyle f(x)=5x^2-3+\ln x.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)+3x\displaystyle g(x)=\frac{f(x)+3}{\sqrt{x}}, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=4\displaystyle x=4 este egală cu 58+mln⁡2\displaystyle 58+m\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Din f(x)+3=5x2+ln⁡x\displaystyle f(x)+3=5x^{2}+\ln x obținem g(x)=5x2+ln⁡xx\displaystyle g(x)=\dfrac{5x^{2}+\ln x}{\sqrt{x}}, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    g(x)=5x2+ln⁡xx\displaystyle g(x)=\frac{5x^{2}+\ln x}{\sqrt{x}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  2. Pentru x∈[1,4]\displaystyle x\in[1,4] avem ln⁡x≥0\displaystyle \ln x\ge 0 și 5x2>0\displaystyle 5x^{2}>0, deci g(x)>0\displaystyle g(x)>0 și ∣g(x)∣=g(x)\displaystyle |g(x)|=g(x). Aria este A=∫14g(x) dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^4 g(x)\,dx.
    A=∫14g(x) dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^4 g(x)\,dx
  3. Avem 5x2x=5xx\displaystyle \dfrac{5x^{2}}{\sqrt{x}}=5x\sqrt{x} și (2x)′=1x\displaystyle \left(2\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{x}}, deci ln⁡xx=(2x)′⋅ln⁡x\displaystyle \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}=\left(2\sqrt{x}\right)'\cdot\ln x.
    A=∫14(5xx+(2x)′⋅ln⁡x)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^4\left(5x\sqrt{x}+\left(2\sqrt{x}\right)'\cdot\ln x\right)dx
  4. Pentru primul termen, 5xx=5x32\displaystyle 5x\sqrt{x}=5x^{\frac{3}{2}} are primitiva 2x2x\displaystyle 2x^{2}\sqrt{x}. Atunci ∫145xx dx=2x2x∣14=2⋅16⋅2−2=62\displaystyle \int_1^4 5x\sqrt{x}\,dx=2x^{2}\sqrt{x}\Big|_1^4=2\cdot 16\cdot 2-2=62.
    ∫145xx dx=2x2x∣14=62\displaystyle \int_1^4 5x\sqrt{x}\,dx=2x^{2}\sqrt{x}\Big|_1^4=62
  5. Integrăm prin părți, cu u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și v=2x\displaystyle v=2\sqrt{x}: ∫14(2x)′ln⁡x dx=2xln⁡x∣14−∫142x⋅1x dx\displaystyle \int_1^4\left(2\sqrt{x}\right)'\ln x\,dx=2\sqrt{x}\ln x\Big|_1^4-\int_1^4 2\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx. Cum 2xx=2x\displaystyle \dfrac{2\sqrt{x}}{x}=\dfrac{2}{\sqrt{x}} are primitiva 4x\displaystyle 4\sqrt{x}, rezultă 2xln⁡x∣14−4x∣14\displaystyle 2\sqrt{x}\ln x\Big|_1^4-4\sqrt{x}\Big|_1^4.
    ∫14ln⁡xx dx=2xln⁡x∣14−4x∣14\displaystyle \int_1^4\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}\ln x\Big|_1^4-4\sqrt{x}\Big|_1^4
  6. Avem 2xln⁡x∣14=4ln⁡4−0=8ln⁡2\displaystyle 2\sqrt{x}\ln x\Big|_1^4=4\ln 4-0=8\ln 2 și 4x∣14=8−4=4\displaystyle 4\sqrt{x}\Big|_1^4=8-4=4. Deci ∫14ln⁡xx dx=8ln⁡2−4\displaystyle \int_1^4\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx=8\ln 2-4.
    ∫14ln⁡xx dx=8ln⁡2−4\displaystyle \int_1^4\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx=8\ln 2-4
  7. Aria este A=62+8ln⁡2−4=58+8ln⁡2\displaystyle \mathcal{A}=62+8\ln 2-4=58+8\ln 2. Din 58+mln⁡2=58+8ln⁡2\displaystyle 58+m\ln 2=58+8\ln 2 obținem m=8\displaystyle m=8.
    A=58+8ln⁡2, deci m=8\displaystyle \mathcal{A}=58+8\ln 2\text{, deci }m=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.