Bac matematică M2 științe ale naturii 2012, sesiunea a II-a varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul a=log⁡32\displaystyle a=\log_3 2. Arătați că log⁡36=1+a\displaystyle \log_3 6=1+a.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem numărul 6\displaystyle 6 ca produs de factori: 6=3⋅2\displaystyle 6=3\cdot 2, iar 3\displaystyle 3 este chiar baza logaritmului. Deci log⁡36=log⁡3(3⋅2)\displaystyle \log_3 6=\log_3(3\cdot 2).
    log⁡36=log⁡3(3⋅2)\displaystyle \log_3 6=\log_3(3\cdot 2)
  2. Aplicăm formula logaritmului produsului, log⁡b(xy)=log⁡bx+log⁡by\displaystyle \log_b(xy)=\log_b x+\log_b y, pentru x,y>0\displaystyle x,y>0. Obținem o sumă de doi logaritmi în baza 3\displaystyle 3.
    log⁡36=log⁡33+log⁡32\displaystyle \log_3 6=\log_3 3+\log_3 2
  3. Calculăm primul termen: log⁡33=1\displaystyle \log_3 3=1, deoarece 31=3\displaystyle 3^1=3. Al doilea termen este chiar a\displaystyle a, deoarece a=log⁡32\displaystyle a=\log_3 2. Deci log⁡36=1+log⁡32=1+a\displaystyle \log_3 6=1+\log_3 2=1+a.
    log⁡36=1+log⁡32=1+a\displaystyle \log_3 6=1+\log_3 2=1+a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul A(0,1)\displaystyle A(0,1) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+m−3\displaystyle f(x)=x^2-2x+m-3.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct aparține graficului unei funcții dacă ordonata punctului este egală cu valoarea funcției în abscisa punctului. Pentru A(0,1)\displaystyle A(0,1) trebuie ca f(0)=1\displaystyle f(0)=1.
    A(0,1)∈Gf⇔f(0)=1\displaystyle A(0,1)\in G_f \Leftrightarrow f(0)=1
  2. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în expresia funcției: f(0)=02−2⋅0+m−3\displaystyle f(0)=0^2-2\cdot 0+m-3.
    f(0)=02−2⋅0+m−3=m−3\displaystyle f(0)=0^2-2\cdot 0+m-3=m-3
  3. Punem condiția f(0)=1\displaystyle f(0)=1, adică m−3=1\displaystyle m-3=1, și rezolvăm ecuația în m\displaystyle m: m=1+3\displaystyle m=1+3.
    m−3=1⇒m=1+3=4\displaystyle m-3=1\Rightarrow m=1+3=4
  4. Deci numărul real căutat este m=4\displaystyle m=4.
    m=4\displaystyle m=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x+1)−log⁡2(x+3)=−1\displaystyle \log_2(x+1)-\log_2(x+3)=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, deci x+1>0\displaystyle x+1>0 și x+3>0\displaystyle x+3>0. Rezultă x>−1\displaystyle x>-1.
    x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty)
  2. Folosim formula diferenței de logaritmi cu aceeași bază, log⁡2a−log⁡2b=log⁡2ab\displaystyle \log_2 a-\log_2 b=\log_2\dfrac{a}{b}, și scriem membrul stâng ca un singur logaritm.
    log⁡2x+1x+3=−1\displaystyle \log_2\frac{x+1}{x+3}=-1
  3. Trecem la forma exponențială: log⁡2A=−1\displaystyle \log_2 A=-1 este echivalent cu A=2−1\displaystyle A=2^{-1}, adică A=12\displaystyle A=\dfrac{1}{2}.
    x+1x+3=2−1=12\displaystyle \frac{x+1}{x+3}=2^{-1}=\frac{1}{2}
  4. Înmulțim pe diagonală (numitorul x+3\displaystyle x+3 este nenul, deoarece x>−1\displaystyle x>-1) și obținem 2(x+1)=x+3\displaystyle 2(x+1)=x+3.
    2x+2=x+3\displaystyle 2x+2=x+3
  5. Aducem termenii cu x\displaystyle x într-o parte și numerele în cealaltă: 2x−x=3−2\displaystyle 2x-x=3-2, deci x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
  6. Verificăm condiția de existență: 1>−1\displaystyle 1>-1, deci soluția convine. Verificare: log⁡22−log⁡24=1−2=−1\displaystyle \log_2 2-\log_2 4=1-2=-1.
    x=1∈(−1,+∞), deci soluția convine\displaystyle x=1\in(-1,+\infty)\text{, deci soluția convine}
  7. Răspuns final: ecuația are o singură soluție reală, x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea {1,2,3,…,30}\displaystyle \{1,2,3,\dots,30\}, acesta să fie divizibil cu 7\displaystyle 7.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Căutăm multiplii lui 7\displaystyle 7 din mulțime: 7⋅1=7\displaystyle 7\cdot 1=7, 7⋅2=14\displaystyle 7\cdot 2=14, 7⋅3=21\displaystyle 7\cdot 3=21, 7⋅4=28\displaystyle 7\cdot 4=28, iar 7⋅5=35>30\displaystyle 7\cdot 5=35>30.
    7⋅1=7\displaystyle 7\cdot 1=7, 7⋅2=14\displaystyle \ 7\cdot 2=14, 7⋅3=21\displaystyle \ 7\cdot 3=21, 7⋅4=28\displaystyle \ 7\cdot 4=28
  3. Numerele divizibile cu 7\displaystyle 7 din mulțime sunt 7,14,21,28\displaystyle 7, 14, 21, 28, deci avem 4\displaystyle 4 cazuri favorabile.
    7\displaystyle 7,14\displaystyle 14,21\displaystyle 21,28⇒4 cazuri favorabile\displaystyle 28\Rightarrow 4\text{ cazuri favorabile}
  4. Mulțimea {1,2,3,…,30}\displaystyle \{1,2,3,\dots,30\} are 30\displaystyle 30 de elemente, deci sunt 30\displaystyle 30 de cazuri posibile.
    30 cazuri posibile\displaystyle 30\text{ cazuri posibile}
  5. Înlocuim în formulă: p=430\displaystyle p=\dfrac{4}{30}, apoi simplificăm prin 2\displaystyle 2 și obținem p=215\displaystyle p=\dfrac{2}{15}.
    p=430=215\displaystyle p=\frac{4}{30}=\frac{2}{15}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctul A(4,−1)\displaystyle A(4,-1). Determinați coordonatele punctului B\displaystyle B, știind că O\displaystyle O este mijlocul segmentului (AB)\displaystyle (AB).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formulele coordonatelor mijlocului unui segment: dacă O\displaystyle O este mijlocul segmentului (AB)\displaystyle (AB), atunci xO=xA+xB2\displaystyle x_O=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yO=yA+yB2\displaystyle y_O=\dfrac{y_A+y_B}{2}. Cum O(0,0)\displaystyle O(0,0), obținem două ecuații.
    {0=4+xB20=−1+yB2\displaystyle \begin{cases}0=\dfrac{4+x_B}{2}\\0=\dfrac{-1+y_B}{2}\end{cases}
  2. Izolăm necunoscuta: xB=2xO−xA\displaystyle x_B=2x_O-x_A. Înlocuim xO=0\displaystyle x_O=0 și xA=4\displaystyle x_A=4 și aflăm abscisa lui B\displaystyle B.
    xB=2⋅0−4=−4\displaystyle x_B=2\cdot 0-4=-4
  3. La fel, yB=2yO−yA\displaystyle y_B=2y_O-y_A. Înlocuim yO=0\displaystyle y_O=0 și yA=−1\displaystyle y_A=-1, deci punctul B\displaystyle B are coordonatele (−4,1)\displaystyle (-4,1).
    yB=2⋅0−(−1)=1\displaystyle y_B=2\cdot 0-(-1)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați cosinusul unghiului A\displaystyle A al triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că AB=5\displaystyle AB=5, AC=6\displaystyle AC=6 și BC=7\displaystyle BC=7.
Vezi rezolvarea
  1. Unghiul A\displaystyle A este opus laturii BC\displaystyle BC, deci aplicăm teorema cosinusului în triunghiul ABC\displaystyle ABC pentru latura BC\displaystyle BC: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A.
    BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A
  2. Înlocuim valorile date AB=5\displaystyle AB=5, AC=6\displaystyle AC=6, BC=7\displaystyle BC=7 în formulă.
    72=52+62−2⋅5⋅6⋅cos⁡A\displaystyle 7^{2}=5^{2}+6^{2}-2\cdot 5\cdot 6\cdot\cos A
  3. Calculăm pătratele și produsul: 49=25+36−60cos⁡A\displaystyle 49=25+36-60\cos A, adică 49=61−60cos⁡A\displaystyle 49=61-60\cos A.
    49=61−60cos⁡A\displaystyle 49=61-60\cos A
  4. Izolăm termenul cu cosinus: 60cos⁡A=61−49=12\displaystyle 60\cos A=61-49=12.
    60cos⁡A=12\displaystyle 60\cos A=12
  5. Împărțim la 60\displaystyle 60 și simplificăm fracția prin 12\displaystyle 12. Obținem cos⁡A=1260=15\displaystyle \cos A=\dfrac{12}{60}=\dfrac{1}{5}.
    cos⁡A=15\displaystyle \cos A=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră sistemul {x+y+z=12x+ay+3z=14x+a2y+9z=1\displaystyle \begin{cases}x+y+z=1\\2x+ay+3z=1\\4x+a^2y+9z=1\end{cases}, unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R} și se notează cu A\displaystyle A matricea sistemului.

Arătați că det⁡A=−a2+5a−6\displaystyle \det A=-a^2+5a-6.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea sistemului are pe linii coeficienții lui x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z din fiecare ecuație, deci det⁡A\displaystyle \det A este determinantul de mai jos.
    det⁡A=∣1112a34a29∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&a&3\\4&a^{2}&9\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula triunghiului: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    det⁡A=1⋅a⋅9+1⋅3⋅4+1⋅2⋅a2−1⋅a⋅4−1⋅2⋅9−1⋅3⋅a2\displaystyle \det A=1\cdot a\cdot 9+1\cdot 3\cdot 4+1\cdot 2\cdot a^{2}-1\cdot a\cdot 4-1\cdot 2\cdot 9-1\cdot 3\cdot a^{2}
  3. Efectuăm înmulțirile din fiecare termen.
    det⁡A=9a+12+2a2−4a−18−3a2\displaystyle \det A=9a+12+2a^{2}-4a-18-3a^{2}
  4. Reducem termenii asemenea: 2a2−3a2=−a2\displaystyle 2a^{2}-3a^{2}=-a^{2}, 9a−4a=5a\displaystyle 9a-4a=5a și 12−18=−6\displaystyle 12-18=-6. Obținem rezultatul cerut.
    det⁡A=−a2+5a−6\displaystyle \det A=-a^{2}+5a-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră sistemul {x+y+z=12x+ay+3z=14x+a2y+9z=1\displaystyle \begin{cases}x+y+z=1\\2x+ay+3z=1\\4x+a^2y+9z=1\end{cases}, unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R} și se notează cu A\displaystyle A matricea sistemului.

Determinați valorile reale ale numărului a\displaystyle a pentru care matricea A\displaystyle A este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact atunci când determinantul ei este nenul. Deci trebuie să impunem condiția det⁡A≠0\displaystyle \det A\neq 0.
    A este inversabila˘⇔det⁡A≠0\displaystyle A\text{ este inversabilă}\Leftrightarrow\det A\neq 0
  2. Scriem matricea sistemului, formată din coeficienții necunoscutelor x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z din cele trei ecuații.
    A=(1112a34a29)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&a&3\\4&a^{2}&9\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul prin dezvoltare după prima linie: 1⋅(9a−3a2)−1⋅(18−12)+1⋅(2a2−4a)\displaystyle 1\cdot(9a-3a^{2})-1\cdot(18-12)+1\cdot(2a^{2}-4a). Apoi reducem termenii asemenea.
    det⁡A=9a−3a2−6+2a2−4a=−a2+5a−6\displaystyle \det A=9a-3a^{2}-6+2a^{2}-4a=-a^{2}+5a-6
  4. Aflăm valorile lui a\displaystyle a pentru care determinantul se anulează, adică rezolvăm ecuația de gradul II. Echivalent, a2−5a+6=0\displaystyle a^{2}-5a+6=0, cu discriminantul Δ=25−24=1\displaystyle \Delta=25-24=1, deci a=5±12\displaystyle a=\dfrac{5\pm 1}{2}.
    −a2+5a−6=0⇒a1=2\displaystyle -a^{2}+5a-6=0\Rightarrow a_1=2, a2=3\displaystyle \ a_2=3
  5. Matricea A\displaystyle A este inversabilă pentru toate valorile reale ale lui a\displaystyle a, cu excepția rădăcinilor 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3, pentru care determinantul este zero.
    a∈R∖{2,3}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{2,3\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră sistemul {x+y+z=12x+ay+3z=14x+a2y+9z=1\displaystyle \begin{cases}x+y+z=1\\2x+ay+3z=1\\4x+a^2y+9z=1\end{cases}, unde a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R} și se notează cu A\displaystyle A matricea sistemului.

Pentru a=1\displaystyle a=1, rezolvați sistemul.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în sistem. Cum a2=1\displaystyle a^{2}=1, a doua și a treia ecuație au coeficientul lui y\displaystyle y egal cu 1\displaystyle 1.
    {x+y+z=12x+y+3z=14x+y+9z=1\displaystyle \begin{cases}x+y+z=1\\2x+y+3z=1\\4x+y+9z=1\end{cases}
  2. Scădem prima ecuație din a doua, ca să eliminăm y\displaystyle y: (2x+y+3z)−(x+y+z)=1−1\displaystyle (2x+y+3z)-(x+y+z)=1-1.
    x+2z=0\displaystyle x+2z=0
  3. Scădem prima ecuație din a treia: (4x+y+9z)−(x+y+z)=1−1\displaystyle (4x+y+9z)-(x+y+z)=1-1.
    3x+8z=0\displaystyle 3x+8z=0
  4. Din x+2z=0\displaystyle x+2z=0 obținem x=−2z\displaystyle x=-2z. Înlocuim în 3x+8z=0\displaystyle 3x+8z=0: −6z+8z=0\displaystyle -6z+8z=0, deci 2z=0\displaystyle 2z=0. Rezultă z=0\displaystyle z=0 și apoi x=−2z=0\displaystyle x=-2z=0.
    z=0\displaystyle z=0, x=0\displaystyle \ x=0
  5. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 și z=0\displaystyle z=0 în x+y+z=1\displaystyle x+y+z=1 și obținem y=1\displaystyle y=1. Soluția sistemului este x=0, y=1, z=0\displaystyle x=0,\ y=1,\ z=0.
    x=0\displaystyle x=0, y=1\displaystyle \ y=1, z=0\displaystyle \ z=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
În Z5[X]\displaystyle \mathbb{Z}_5[X] se consideră polinomul f=mX5+nX\displaystyle f=mX^5+nX, cu m,n∈Z5\displaystyle m,n\in\mathbb{Z}_5.

Determinați n∈Z5\displaystyle n\in\mathbb{Z}_5 pentru care f(1^)=m\displaystyle f(\hat{1})=m.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 1^\displaystyle \hat{1} în f=mX5+nX\displaystyle f=mX^5+nX. Cum 1^5=1^\displaystyle \hat{1}^5=\hat{1}, obținem f(1^)=m⋅1^5+n⋅1^\displaystyle f(\hat{1})=m\cdot\hat{1}^5+n\cdot\hat{1}.
    f(1^)=m⋅1^5+n⋅1^\displaystyle f(\hat{1})=m\cdot\hat{1}^5+n\cdot\hat{1}
  2. Simplificăm: 1^5=1^\displaystyle \hat{1}^5=\hat{1} și m⋅1^=m\displaystyle m\cdot\hat{1}=m, n⋅1^=n\displaystyle n\cdot\hat{1}=n, deci f(1^)=m+n\displaystyle f(\hat{1})=m+n.
    f(1^)=m+n\displaystyle f(\hat{1})=m+n
  3. Impunem condiția f(1^)=m\displaystyle f(\hat{1})=m, deci m+n=m\displaystyle m+n=m.
    m+n=m\displaystyle m+n=m
  4. Adunăm opusul lui m\displaystyle m în ambii membri ai egalității, în Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5: n=m−m=0^\displaystyle n=m-m=\hat{0}.
    n=0^\displaystyle n=\hat{0}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
În Z5[X]\displaystyle \mathbb{Z}_5[X] se consideră polinomul f=mX5+nX\displaystyle f=mX^5+nX, cu m,n∈Z5\displaystyle m,n\in\mathbb{Z}_5.

Pentru m=1^\displaystyle m=\hat{1} și n=4^\displaystyle n=\hat{4}, determinați rădăcinile din Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5 ale polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=1^\displaystyle m=\hat{1} și n=4^\displaystyle n=\hat{4} în polinom și obținem f=X5+4^X\displaystyle f=X^5+\hat{4}X.
    f=X5+4^X\displaystyle f=X^5+\hat{4}X
  2. Observăm că în Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5 avem x5=x\displaystyle x^5=x pentru orice x\displaystyle x (mica teoremă a lui Fermat), deci f(x)=x+4^x=5^x=0^\displaystyle f(x)=x+\hat{4}x=\hat{5}x=\hat{0}. Verificăm totuși direct fiecare element, începând cu 0^\displaystyle \hat{0} și 1^\displaystyle \hat{1}.
    f(0^)=0^5+4^⋅0^=0^\displaystyle f(\hat{0})=\hat{0}^5+\hat{4}\cdot\hat{0}=\hat{0},f(1^)=1^+4^=5^=0^\displaystyle \quad f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{4}=\hat{5}=\hat{0}
  3. Calculăm f(2^)\displaystyle f(\hat{2}): 25=32\displaystyle 2^5=32 dă restul 2\displaystyle 2 la împărțirea cu 5\displaystyle 5, iar 4⋅2=8\displaystyle 4\cdot 2=8 dă restul 3\displaystyle 3. Suma 2+3=5\displaystyle 2+3=5 este 0^\displaystyle \hat{0} în Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5.
    f(2^)=32^+8^=2^+3^=0^\displaystyle f(\hat{2})=\hat{32}+\hat{8}=\hat{2}+\hat{3}=\hat{0}
  4. Calculăm f(3^)\displaystyle f(\hat{3}): 35=243\displaystyle 3^5=243 dă restul 3\displaystyle 3 la împărțirea cu 5\displaystyle 5, iar 4⋅3=12\displaystyle 4\cdot 3=12 dă restul 2\displaystyle 2. Suma 3+2=5\displaystyle 3+2=5 este 0^\displaystyle \hat{0}. Calculăm f(4^)\displaystyle f(\hat{4}): 45=1024\displaystyle 4^5=1024 dă restul 4\displaystyle 4, iar 4⋅4=16\displaystyle 4\cdot 4=16 dă restul 1\displaystyle 1. Suma 4+1=5\displaystyle 4+1=5 este 0^\displaystyle \hat{0}. Deci toate cele cinci elemente verifică f(x)=0^\displaystyle f(x)=\hat{0}.
    f(3^)=3^+2^=0^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{3}+\hat{2}=\hat{0},f(4^)=4^+1^=0^ ⇒ f(0^)=f(1^)=f(2^)=f(3^)=f(4^)=0^\displaystyle \quad f(\hat{4})=\hat{4}+\hat{1}=\hat{0}\ \Rightarrow\ f(\hat{0})=f(\hat{1})=f(\hat{2})=f(\hat{3})=f(\hat{4})=\hat{0}
  5. Deoarece f\displaystyle f se anulează în fiecare element al lui Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5, rădăcinile din Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5 ale lui f\displaystyle f sunt toate elementele: 0^,1^,2^,3^\displaystyle \hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3} și 4^\displaystyle \hat{4}.
    0^\displaystyle \hat{0}, 1^\displaystyle \ \hat{1}, 2^\displaystyle \ \hat{2}, 3^ și 4^\displaystyle \ \hat{3}\text{ și }\hat{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
În Z5[X]\displaystyle \mathbb{Z}_5[X] se consideră polinomul f=mX5+nX\displaystyle f=mX^5+nX, cu m,n∈Z5\displaystyle m,n\in\mathbb{Z}_5.

Arătați că, dacă f(1^)=f(2^)\displaystyle f(\hat{1})=f(\hat{2}), atunci f(3^)=f(4^)\displaystyle f(\hat{3})=f(\hat{4}).
Vezi rezolvarea
  1. În Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5, pentru orice element k\displaystyle k, din mica teoremă a lui Fermat avem k5=k\displaystyle k^{5}=k. Deci pentru orice k∈Z5\displaystyle k\in\mathbb{Z}_5 obținem f(k)=mk5+nk=mk+nk=k(m+n)\displaystyle f(k)=mk^{5}+nk=mk+nk=k(m+n).
    f(k)=k(m+n)\displaystyle f(k)=k(m+n), ∀k∈Z5\displaystyle \ \forall k\in\mathbb{Z}_5
  2. Calculăm f(1^)\displaystyle f(\hat{1}) și f(2^)\displaystyle f(\hat{2}) cu formula obținută: f(1^)=1^(m+n)\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}(m+n) și f(2^)=2^(m+n)\displaystyle f(\hat{2})=\hat{2}(m+n).
    f(1^)=m+n\displaystyle f(\hat{1})=m+n, f(2^)=2^(m+n)\displaystyle \ f(\hat{2})=\hat{2}(m+n)
  3. Din ipoteza f(1^)=f(2^)\displaystyle f(\hat{1})=f(\hat{2}) obținem m+n=2^(m+n)\displaystyle m+n=\hat{2}(m+n). Scăzând m+n\displaystyle m+n din ambii membri rezultă 0^=m+n\displaystyle \hat{0}=m+n, adică m+n=0^\displaystyle m+n=\hat{0}.
    m+n=0^\displaystyle m+n=\hat{0}
  4. Înlocuim m+n=0^\displaystyle m+n=\hat{0} în formula f(k)=k(m+n)\displaystyle f(k)=k(m+n): f(3^)=3^(m+n)=0^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{3}(m+n)=\hat{0} și f(4^)=4^(m+n)=0^\displaystyle f(\hat{4})=\hat{4}(m+n)=\hat{0}. Deci f(3^)=f(4^)\displaystyle f(\hat{3})=f(\hat{4}).
    f(3^)=3^(m+n)=0^\displaystyle f(\hat{3})=\hat{3}(m+n)=\hat{0}, f(4^)=4^(m+n)=0^⇒f(3^)=f(4^)\displaystyle \ f(\hat{4})=\hat{4}(m+n)=\hat{0}\Rightarrow f(\hat{3})=f(\hat{4})
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∖{−1}→R\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x−1x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-1}{x+1}.

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x), x∈R∖{−1}\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile pe R∖{−1}\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{-1\}, deci folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}. Alegem u(x)=x2−x−1\displaystyle u(x)=x^{2}-x-1 și v(x)=x+1\displaystyle v(x)=x+1.
    (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}
  2. Calculăm derivatele: u′(x)=2x−1\displaystyle u'(x)=2x-1 și v′(x)=1\displaystyle v'(x)=1.
    u′(x)=2x−1\displaystyle u'(x)=2x-1,v′(x)=1\displaystyle \quad v'(x)=1
  3. Înlocuim în formula câtului. Cum v′(x)=1\displaystyle v'(x)=1, al doilea termen de la numărător este chiar x2−x−1\displaystyle x^{2}-x-1.
    f′(x)=(2x−1)(x+1)−(x2−x−1)(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x+1)-(x^{2}-x-1)}{(x+1)^{2}}
  4. Desfacem parantezele de la numărător: (2x−1)(x+1)=2x2+2x−x−1=2x2+x−1\displaystyle (2x-1)(x+1)=2x^{2}+2x-x-1=2x^{2}+x-1.
    (2x−1)(x+1)=2x2+x−1\displaystyle (2x-1)(x+1)=2x^{2}+x-1
  5. Scădem x2−x−1\displaystyle x^{2}-x-1 din 2x2+x−1\displaystyle 2x^{2}+x-1, cu atenție la semne: 2x2+x−1−x2+x+1=x2+2x\displaystyle 2x^{2}+x-1-x^{2}+x+1=x^{2}+2x. Rezultatul este derivata căutată, pentru orice x∈R∖{−1}\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
    f′(x)=x2+2x(x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∖{−1}→R\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x−1x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-1}{x+1}.

Calculați lim⁡x→+∞f(x)⋅ln⁡xx2−x−1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)\cdot\ln x}{x^2-x-1}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia ei: f(x)⋅ln⁡xx2−x−1=x2−x−1x+1⋅ln⁡xx2−x−1\displaystyle \dfrac{f(x)\cdot\ln x}{x^2-x-1}=\dfrac{\dfrac{x^2-x-1}{x+1}\cdot\ln x}{x^2-x-1}.
    x2−x−1x+1⋅ln⁡xx2−x−1\displaystyle \dfrac{\dfrac{x^2-x-1}{x+1}\cdot\ln x}{x^2-x-1}
  2. Simplificăm factorul x2−x−1\displaystyle x^2-x-1 de la numărător cu cel de la numitor, ceea ce se poate pentru x\displaystyle x mare, deoarece atunci x2−x−1≠0\displaystyle x^2-x-1\neq 0. Rămâne lim⁡x→+∞ln⁡xx+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x+1}.
    lim⁡x→+∞f(x)⋅ln⁡xx2−x−1=lim⁡x→+∞ln⁡xx+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)\cdot\ln x}{x^2-x-1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x+1}
  3. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem ln⁡x→+∞\displaystyle \ln x\to+\infty și x+1→+∞\displaystyle x+1\to+\infty, deci este o nedeterminare de tipul ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Putem aplica regula lui l'Hospital.
    ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}
  4. Derivăm numărătorul și numitorul: (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} și (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1. Raportul derivatelor este 1x1=1x\displaystyle \dfrac{\frac{1}{x}}{1}=\dfrac{1}{x}.
    lim⁡x→+∞ln⁡xx+1=lim⁡x→+∞1x1=lim⁡x→+∞1x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}
  5. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0. Deci limita cerută este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞1x=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∖{−1}→R\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x−1x+1\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-1}{x+1}.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} și n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right). Începem cu m\displaystyle m.
    y=mx+n\displaystyle y=mx+n,m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle \quad m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}
  2. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) și împărțim la x\displaystyle x: numitorul devine x(x+1)=x2+x\displaystyle x(x+1)=x^{2}+x.
    f(x)x=x2−x−1x2+x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x^{2}-x-1}{x^{2}+x}
  3. Numărătorul și numitorul sunt polinoame de gradul doi, deci limita este raportul coeficienților dominanți: 11=1\displaystyle \dfrac{1}{1}=1.
    m=lim⁡x→+∞x2−x−1x2+x=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}-x-1}{x^{2}+x}=1
  4. Calculăm f(x)−x\displaystyle f(x)-x, aducând la același numitor x+1\displaystyle x+1.
    f(x)−x=x2−x−1−x(x+1)x+1\displaystyle f(x)-x=\dfrac{x^{2}-x-1-x(x+1)}{x+1}
  5. Desfacem parantezele la numărător: x2−x−1−x2−x=−2x−1\displaystyle x^{2}-x-1-x^{2}-x=-2x-1. Apoi calculăm limita, tot ca raport al coeficienților dominanți, −21=−2\displaystyle \dfrac{-2}{1}=-2.
    n=lim⁡x→+∞−2x−1x+1=−2\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-2x-1}{x+1}=-2
  6. Înlocuim m=1\displaystyle m=1 și n=−2\displaystyle n=-2 în ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n.
    y=x−2\displaystyle y=x-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ex⋅x+1\displaystyle f(x)=e^x\cdot\sqrt{x+1}.

Determinați primitivele funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)x+1\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ex⋅x+1\displaystyle f(x)=e^{x}\cdot\sqrt{x+1} în expresia lui g\displaystyle g.
    g(x)=ex⋅x+1x+1\displaystyle g(x)=\dfrac{e^{x}\cdot\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}
  2. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x+1>0\displaystyle \sqrt{x+1}>0, deci putem simplifica fracția prin x+1\displaystyle \sqrt{x+1}.
    g(x)=ex\displaystyle g(x)=e^{x}
  3. Deoarece (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}, primitivele lui g\displaystyle g sunt ex\displaystyle e^{x} plus o constantă reală C\displaystyle C.
    ∫g(x) dx=∫ex dx=ex+C\displaystyle \int g(x)\,dx=\int e^{x}\,dx=e^{x}+C, C∈R\displaystyle \ C\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ex⋅x+1\displaystyle f(x)=e^x\cdot\sqrt{x+1}.

Calculați ∫12x+1⋅f(x) dx\displaystyle \int_1^2\sqrt{x+1}\cdot f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ex⋅x+1\displaystyle f(x)=e^x\cdot\sqrt{x+1} în integrală și folosim x+1⋅x+1=x+1\displaystyle \sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x+1}=x+1, deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 pe [1,2]\displaystyle [1,2].
    ∫12x+1⋅f(x) dx=∫12(x+1) ex dx\displaystyle \int_1^2\sqrt{x+1}\cdot f(x)\,dx=\int_1^2(x+1)\,e^x\,dx
  2. Aplicăm integrarea prin părți cu u=x+1\displaystyle u=x+1 și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx. Atunci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=x+1\displaystyle u=x+1, dv=ex dx ⇒ du=dx\displaystyle \ dv=e^x\,dx\ \Rightarrow\ du=dx, v=ex\displaystyle \ v=e^x
  3. Aplicăm formula ∫abu dv=uv∣ab−∫abv du\displaystyle \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du.
    ∫12(x+1)ex dx=(x+1)ex∣12−∫12ex dx\displaystyle \int_1^2(x+1)e^x\,dx=(x+1)e^x\Big|_1^2-\int_1^2e^x\,dx
  4. Calculăm (x+1)ex∣12=3e2−2e\displaystyle (x+1)e^x\Big|_1^2=3e^2-2e.
    (x+1)ex∣12=3e2−2e\displaystyle (x+1)e^x\Big|_1^2=3e^2-2e
  5. Calculăm ∫12ex dx=ex∣12=e2−e\displaystyle \int_1^2e^x\,dx=e^x\Big|_1^2=e^2-e.
    ∫12ex dx=e2−e\displaystyle \int_1^2e^x\,dx=e^2-e
  6. Scădem: 3e2−2e−(e2−e)=2e2−e\displaystyle 3e^2-2e-(e^2-e)=2e^2-e.
    3e2−2e−(e2−e)=2e2−e\displaystyle 3e^2-2e-(e^2-e)=2e^2-e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ex⋅x+1\displaystyle f(x)=e^x\cdot\sqrt{x+1}.

Calculați aria suprafeței determinate de graficul funcției h:(0,+∞)→R\displaystyle h:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, h(x)=e−x⋅f(x)\displaystyle h(x)=e^{-x}\cdot f(x), axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=2\displaystyle x=2 și x=3\displaystyle x=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ex⋅x+1\displaystyle f(x)=e^{x}\cdot\sqrt{x+1} în h(x)=e−x⋅f(x)\displaystyle h(x)=e^{-x}\cdot f(x) și folosim e−x⋅ex=1\displaystyle e^{-x}\cdot e^{x}=1.
    h(x)=e−x⋅ex⋅x+1=x+1\displaystyle h(x)=e^{-x}\cdot e^{x}\cdot\sqrt{x+1}=\sqrt{x+1}
  2. Pentru x∈[2,3]\displaystyle x\in[2,3] avem x+1>0\displaystyle x+1>0, deci h(x)=x+1>0\displaystyle h(x)=\sqrt{x+1}>0. Atunci aria este integrala lui h\displaystyle h pe [2,3]\displaystyle [2,3].
    A=∫23∣h(x)∣ dx=∫23x+1 dx\displaystyle A=\int_2^3|h(x)|\,dx=\int_2^3\sqrt{x+1}\,dx
  3. Scriem x+1=(x+1)12\displaystyle \sqrt{x+1}=(x+1)^{\frac{1}{2}} și folosim formula ∫un du=un+1n+1\displaystyle \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}. Primitiva este (x+1)3232=23(x+1)x+1\displaystyle \dfrac{(x+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=\dfrac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}.
    ∫x+1 dx=23(x+1)x+1+C\displaystyle \int\sqrt{x+1}\,dx=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}+C
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [2,3]\displaystyle [2,3].
    A=23(x+1)x+1∣23\displaystyle A=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}\Big|_2^3
  5. Pentru x=3\displaystyle x=3: (3+1)3+1=4⋅2=8\displaystyle (3+1)\sqrt{3+1}=4\cdot 2=8. Pentru x=2\displaystyle x=2: (2+1)2+1=33\displaystyle (2+1)\sqrt{2+1}=3\sqrt{3}.
    A=23(44−33)=23(8−33)\displaystyle A=\frac{2}{3}\left(4\sqrt{4}-3\sqrt{3}\right)=\frac{2}{3}\left(8-3\sqrt{3}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.