Bac matematică M2 științe ale naturii 2017, sesiunea a II-a varianta 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați primul termen al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, știind că a3=10\displaystyle a_3=10 și rația r=3\displaystyle r=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula termenului general al progresiei aritmetice pentru n=3\displaystyle n=3: a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r.
    a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r
  2. Înlocuim valorile cunoscute, a3=10\displaystyle a_3=10 și r=3\displaystyle r=3, în formulă: 10=a1+2⋅3\displaystyle 10=a_1+2\cdot 3.
    10=a1+2⋅3\displaystyle 10=a_1+2\cdot 3
  3. Izolăm primul termen: a1=a3−2r=10−6\displaystyle a_1=a_3-2r=10-6.
    a1=a3−2r=10−6\displaystyle a_1=a_3-2r=10-6
  4. Efectuăm scăderea: 10−6=4\displaystyle 10-6=4. Deci primul termen este a1=4\displaystyle a_1=4.
    a1=4\displaystyle a_1=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul A(1,3)\displaystyle A(1,3) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−mx+2m\displaystyle f(x)=x^2-mx+2m.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(1,3)\displaystyle A(1,3) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(1)=3\displaystyle f(1)=3, adică ordonata punctului este valoarea funcției în abscisa 1\displaystyle 1.
    f(1)=3\displaystyle f(1)=3
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în f(x)=x2−mx+2m\displaystyle f(x)=x^2-mx+2m și obținem ecuația în m\displaystyle m.
    12−m⋅1+2m=3⇔1−m+2m=3\displaystyle 1^2-m\cdot 1+2m=3\Leftrightarrow 1-m+2m=3
  3. Reducem termenii asemenea: −m+2m=m\displaystyle -m+2m=m, deci ecuația devine 1+m=3\displaystyle 1+m=3.
    1+m=3\displaystyle 1+m=3
  4. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem valoarea lui m\displaystyle m.
    m=3−1=2\displaystyle m=3-1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x+14=12\displaystyle 4^x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Izolăm termenul cu exponențială: scădem 14\displaystyle \dfrac{1}{4} din ambii membri ai ecuației 4x+14=12\displaystyle 4^{x}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}.
    4x=12−14\displaystyle 4^{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}
  2. Calculăm diferența de fracții, aducându-le la numitor comun 4\displaystyle 4: 12=24\displaystyle \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}, deci 24−14=14\displaystyle \dfrac{2}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}.
    4x=14\displaystyle 4^{x}=\frac{1}{4}
  3. Scriem membrul drept ca putere a lui 4\displaystyle 4, folosind faptul că 14=4−1\displaystyle \dfrac{1}{4}=4^{-1}, astfel încât ambii membri au aceeași bază.
    4x=14⇔4x=4−1\displaystyle 4^{x}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow 4^{x}=4^{-1}
  4. Funcția exponențială cu baza 4\displaystyle 4 este injectivă, deci egalăm exponenții și obținem soluția ecuației: x=−1\displaystyle x=-1.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, au cifrele elemente ale mulțimii {1,2,3,4}\displaystyle \{1,2,3,4\}.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul este par, deci cifra unităților trebuie să fie pară. Din mulțimea {1,2,3,4}\displaystyle \{1,2,3,4\} cifrele pare sunt 2\displaystyle 2 și 4\displaystyle 4, deci cifra unităților se poate alege în 2\displaystyle 2 moduri.
    2\displaystyle 2
  2. Cifrele sunt distincte, deci cifra zecilor trebuie să fie diferită de cifra unităților deja aleasă. Din cele 4\displaystyle 4 cifre rămân 3\displaystyle 3 posibilități pentru cifra zecilor, indiferent de alegerea făcută la unități.
    3\displaystyle 3
  3. Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de alegeri pentru zeci cu numărul de alegeri pentru unități. Numerele sunt 12,32,42,14,24,34\displaystyle 12, 32, 42, 14, 24, 34, deci sunt 6\displaystyle 6 numere.
    3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,2)\displaystyle A(4,2) și B(2,4)\displaystyle B(2,4). Determinați ecuația mediatoarei segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Mediatoarea segmentului AB\displaystyle AB este dreapta perpendiculară pe AB\displaystyle AB care trece prin mijlocul M\displaystyle M al segmentului. Calculăm mai întâi coordonatele mijlocului, ca medie aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xA+xB2=4+22\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{4+2}{2} și yM=yA+yB2=2+42\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{2+4}{2}.
    xM=3\displaystyle x_M=3, yM=3\displaystyle \ y_M=3
  2. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula mAB=yB−yAxB−xA=4−22−4=2−2\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{4-2}{2-4}=\dfrac{2}{-2}.
    mAB=−1\displaystyle m_{AB}=-1
  3. Mediatoarea este perpendiculară pe AB\displaystyle AB, deci mAB⋅m=−1\displaystyle m_{AB}\cdot m=-1. Rezultă m=−1mAB=−1−1\displaystyle m=-\dfrac{1}{m_{AB}}=-\dfrac{1}{-1}.
    mmediatoare=1\displaystyle m_{\text{mediatoare}}=1
  4. Scriem ecuația dreptei de pantă 1\displaystyle 1 care trece prin M(3,3)\displaystyle M(3,3): y−yM=m(x−xM)\displaystyle y-y_M=m(x-x_M), adică y−3=1⋅(x−3)\displaystyle y-3=1\cdot(x-3). Deci y=x−3+3\displaystyle y=x-3+3.
    y=x\displaystyle y=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului dreptunghic ABC\displaystyle ABC care are catetele AB=8\displaystyle AB=8 și AC=6\displaystyle AC=6.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic, cu catetele AB=8\displaystyle AB=8 și AC=6\displaystyle AC=6, deci unghiul drept este în A\displaystyle A, iar ipotenuza este BC\displaystyle BC. Aplicăm teorema lui Pitagora: BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}.
    BC2=82+62\displaystyle BC^{2}=8^{2}+6^{2}
  2. Calculăm pătratele: 64+36=100\displaystyle 64+36=100, deci BC2=100\displaystyle BC^{2}=100. Cum BC\displaystyle BC este o lungime, deci pozitivă, obținem BC=10\displaystyle BC=10.
    BC=100=10\displaystyle BC=\sqrt{100}=10
  3. Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci raza este jumătate din ipotenuză: R=BC2\displaystyle R=\dfrac{BC}{2}. Înlocuim BC=10\displaystyle BC=10 și obținem R=5\displaystyle R=5.
    R=102=5\displaystyle R=\dfrac{10}{2}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(12x+551)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & 2x+5\\ 5 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(−2))=−4\displaystyle \det(A(-2))=-4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=−2\displaystyle x=-2 în elementul din dreapta sus: 2x+5=2⋅(−2)+5=−4+5=1\displaystyle 2x+5=2\cdot(-2)+5=-4+5=1.
    2⋅(−2)+5=1\displaystyle 2\cdot(-2)+5=1
  2. Obținem matricea A(−2)=(1151)\displaystyle A(-2)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 5 & 1\end{pmatrix}, deci det⁡(A(−2))=∣1151∣\displaystyle \det(A(-2))=\begin{vmatrix}1 & 1\\ 5 & 1\end{vmatrix}.
    A(−2)=(1151)⇒det⁡(A(−2))=∣1151∣\displaystyle A(-2)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 5 & 1\end{pmatrix}\Rightarrow \det(A(-2))=\begin{vmatrix}1 & 1\\ 5 & 1\end{vmatrix}
  3. Calculăm: produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară, adică det⁡(A(−2))=1⋅1−1⋅5=1−5=−4\displaystyle \det(A(-2))=1\cdot 1-1\cdot 5=1-5=-4. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    det⁡(A(−2))=1⋅1−1⋅5=1−5=−4\displaystyle \det(A(-2))=1\cdot 1-1\cdot 5=1-5=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(12x+551)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & 2x+5\\ 5 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că A(x)+A(−x)=A(2017)+A(−2017)\displaystyle A(x)+A(-x)=A(2017)+A(-2017), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(−x)\displaystyle A(-x), înlocuind x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în A(x)\displaystyle A(x). Elementul 2x+5\displaystyle 2x+5 devine 2⋅(−x)+5=−2x+5\displaystyle 2\cdot(-x)+5=-2x+5, iar celelalte elemente rămân neschimbate.
    A(−x)=(1−2x+551)\displaystyle A(-x)=\begin{pmatrix}1 & -2x+5\\ 5 & 1\end{pmatrix}
  2. Adunăm cele două matrice element cu element. Pe prima linie: 1+1=2\displaystyle 1+1=2 și (2x+5)+(−2x+5)=10\displaystyle (2x+5)+(-2x+5)=10. Pe a doua linie: 5+5=10\displaystyle 5+5=10 și 1+1=2\displaystyle 1+1=2. Termenii cu x\displaystyle x se reduc, deci suma nu depinde de x\displaystyle x.
    A(x)+A(−x)=(12x+551)+(1−2x+551)=(210102)\displaystyle A(x)+A(-x)=\begin{pmatrix}1 & 2x+5\\ 5 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & -2x+5\\ 5 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 10\\ 10 & 2\end{pmatrix}
  3. Relația obținută este valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x, deci și pentru x=2017\displaystyle x=2017. Înlocuind x\displaystyle x cu 2017\displaystyle 2017, obținem aceeași matrice.
    A(2017)+A(−2017)=(210102)\displaystyle A(2017)+A(-2017)=\begin{pmatrix}2 & 10\\ 10 & 2\end{pmatrix}
  4. Cele două sume sunt egale cu aceeași matrice, deci sunt egale între ele, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    A(2017)+A(−2017)=(210102)=A(x)+A(−x)\displaystyle A(2017)+A(-2017)=\begin{pmatrix}2 & 10\\ 10 & 2\end{pmatrix}=A(x)+A(-x)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(12x+551)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & 2x+5\\ 5 & 1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale p\displaystyle p și q\displaystyle q, pentru care A(0)(pq)=(66)\displaystyle A(0)\begin{pmatrix}p\\ q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\ 6\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în matricea A(x)\displaystyle A(x): elementul 2x+5\displaystyle 2x+5 devine 5\displaystyle 5, deci obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(1551)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1 & 5\\ 5 & 1\end{pmatrix}
  2. Înmulțim matricea A(0)\displaystyle A(0) cu coloana (pq)\displaystyle \begin{pmatrix}p\\ q\end{pmatrix}, linie cu coloană: prima linie dă 1⋅p+5⋅q\displaystyle 1\cdot p+5\cdot q, a doua linie dă 5⋅p+1⋅q\displaystyle 5\cdot p+1\cdot q.
    A(0)(pq)=(p+5q5p+q)\displaystyle A(0)\begin{pmatrix}p\\ q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p+5q\\ 5p+q\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele matricei obținute cu cele ale coloanei (66)\displaystyle \begin{pmatrix}6\\ 6\end{pmatrix} și obținem un sistem de două ecuații cu necunoscutele p\displaystyle p și q\displaystyle q.
    {p+5q=65p+q=6\displaystyle \begin{cases}p+5q=6\\ 5p+q=6\end{cases}
  4. Adunăm cele două ecuații: obținem 6p+6q=12\displaystyle 6p+6q=12, deci p+q=2\displaystyle p+q=2.
    p+q=2\displaystyle p+q=2
  5. Scădem a doua ecuație din prima: obținem −4p+4q=0\displaystyle -4p+4q=0, deci p=q\displaystyle p=q. Din p+q=2\displaystyle p+q=2 rezultă p=q=1\displaystyle p=q=1. Verificare: 1+5=6\displaystyle 1+5=6 și 5+1=6\displaystyle 5+1=6.
    p=q=1\displaystyle p=q=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+6x+6y+30\displaystyle x\circ y=xy+6x+6y+30.

Arătați că x∘y=(x+6)(y+6)−6\displaystyle x\circ y=(x+6)(y+6)-6, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=xy+6x+6y+30\displaystyle x\circ y=xy+6x+6y+30 și scriem 30=36−6\displaystyle 30=36-6, pentru a obține un termen care să permită factorul comun.
    x∘y=xy+6x+6y+36−6\displaystyle x\circ y=xy+6x+6y+36-6
  2. Grupăm termenii xy+6x\displaystyle xy+6x și 6y+36\displaystyle 6y+36, iar termenul −6\displaystyle -6 rămâne separat. Astfel, xy+6x=x(y+6)\displaystyle xy+6x=x(y+6) și 6y+36=6(y+6)\displaystyle 6y+36=6(y+6).
    x(y+6)+6(y+6)−6\displaystyle x(y+6)+6(y+6)-6
  3. Dăm factor comun pe y+6\displaystyle y+6 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(x+6)(y+6)−6\displaystyle x\circ y=(x+6)(y+6)-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+6x+6y+30\displaystyle x\circ y=xy+6x+6y+30.

Arătați că e=−5\displaystyle e=-5 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem legea la forma factorizată. Observăm că xy+6x+6y+36=(x+6)(y+6)\displaystyle xy+6x+6y+36=(x+6)(y+6), iar 30=36−6\displaystyle 30=36-6, deci x∘y=(x+6)(y+6)−6\displaystyle x\circ y=(x+6)(y+6)-6.
    x∘y=(x+6)(y+6)−6\displaystyle x\circ y=(x+6)(y+6)-6
  2. Pentru ca e=−5\displaystyle e=-5 să fie element neutru, trebuie verificate egalitățile x∘e=x\displaystyle x\circ e=x și e∘x=x\displaystyle e\circ x=x, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Începem cu prima, înlocuind y=−5\displaystyle y=-5 în forma factorizată: x∘(−5)=(x+6)(−5+6)−6\displaystyle x\circ(-5)=(x+6)(-5+6)-6.
    x∘(−5)=(x+6)⋅(−5+6)−6\displaystyle x\circ(-5)=(x+6)\cdot(-5+6)-6
  3. Deoarece −5+6=1\displaystyle -5+6=1, obținem (x+6)⋅1−6=x+6−6=x\displaystyle (x+6)\cdot 1-6=x+6-6=x. Deci x∘(−5)=x\displaystyle x\circ(-5)=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    x∘(−5)=(x+6)⋅(−5+6)−6=x\displaystyle x\circ(-5)=(x+6)\cdot(-5+6)-6=x
  4. Verificăm acum a doua egalitate, înlocuind primul termen cu −5\displaystyle -5: (−5)∘x=(−5+6)(x+6)−6=1⋅(x+6)−6=x\displaystyle (-5)\circ x=(-5+6)(x+6)-6=1\cdot(x+6)-6=x. Astfel (−5)∘x=x=x∘(−5)\displaystyle (-5)\circ x=x=x\circ(-5), pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Prin urmare, e=−5\displaystyle e=-5 este elementul neutru al legii „∘\displaystyle \circ”.
    (−5)∘x=(−5+6)⋅(x+6)−6=x=x∘(−5)\displaystyle (-5)\circ x=(-5+6)\cdot(x+6)-6=x=x\circ(-5)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+6x+6y+30\displaystyle x\circ y=xy+6x+6y+30.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∘(−2017)=2017∘(−6)\displaystyle x\circ(-2017)=2017\circ(-6).
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea de compoziție se poate scrie sub o formă factorizată: x∘y=(x+6)(y+6)−6\displaystyle x\circ y=(x+6)(y+6)-6. Verificăm: (x+6)(y+6)=xy+6x+6y+36\displaystyle (x+6)(y+6)=xy+6x+6y+36, iar scăzând 6\displaystyle 6 obținem xy+6x+6y+30\displaystyle xy+6x+6y+30.
    x∘y=(x+6)(y+6)−6\displaystyle x\circ y=(x+6)(y+6)-6
  2. Scriem ecuația folosind forma factorizată, atât în membrul stâng, cât și în membrul drept: x∘(−2017)=(x+6)(−2017+6)−6\displaystyle x\circ(-2017)=(x+6)(-2017+6)-6 și 2017∘(−6)=(2017+6)(−6+6)−6\displaystyle 2017\circ(-6)=(2017+6)(-6+6)-6.
    (x+6)(−2017+6)−6=(2017+6)(−6+6)−6\displaystyle (x+6)(-2017+6)-6=(2017+6)(-6+6)-6
  3. Membrul drept conține factorul −6+6=0\displaystyle -6+6=0, deci produsul este 0\displaystyle 0 și membrul drept devine −6\displaystyle -6. În membrul stâng, −2017+6=−2011\displaystyle -2017+6=-2011, deci ecuația devine −2011(x+6)−6=−6\displaystyle -2011(x+6)-6=-6.
    −2011(x+6)−6=−6\displaystyle -2011(x+6)-6=-6
  4. Adunăm 6\displaystyle 6 în ambii membri și obținem −2011(x+6)=0\displaystyle -2011(x+6)=0. Cum −2011≠0\displaystyle -2011\neq 0, rezultă x+6=0\displaystyle x+6=0, deci x=−6\displaystyle x=-6.
    x+6=0⇔x=−6\displaystyle x+6=0\Leftrightarrow x=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}+\ln x.

Arătați că f′(x)=x−2x2\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=2x+ln⁡x\displaystyle f(x)=\dfrac{2}{x}+\ln x este o sumă, deci derivăm termen cu termen: f′(x)=(2x)′+(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=\left(\dfrac{2}{x}\right)'+(\ln x)'.
    f′(x)=(2x)′+(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=\left(\frac{2}{x}\right)'+(\ln x)'
  2. Scriem 2x=2⋅1x\displaystyle \dfrac{2}{x}=2\cdot\dfrac{1}{x} și folosim (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}. Constanta rămâne factor, deci (2x)′=−2x2\displaystyle \left(\dfrac{2}{x}\right)'=-\dfrac{2}{x^{2}}.
    (2x)′=−2x2\displaystyle \left(\frac{2}{x}\right)'=-\frac{2}{x^{2}}
  3. Derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}. Înlocuim în f′(x)\displaystyle f'(x) și obținem f′(x)=−2x2+1x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=−2x2+1x\displaystyle f'(x)=-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x}
  4. Aducem fracțiile la numitorul comun x2\displaystyle x^{2}: amplificăm 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} cu x\displaystyle x, deci 1x=xx2\displaystyle \dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x^{2}}. Atunci f′(x)=−2+xx2=x−2x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-2+x}{x^{2}}=\dfrac{x-2}{x^{2}}, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), ceea ce trebuia arătat.
    −2x2+1x=x−2x2\displaystyle -\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x-2}{x^{2}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}+\ln x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1): înlocuim x=1\displaystyle x=1 în f(x)=2x+ln⁡x\displaystyle f(x)=\dfrac{2}{x}+\ln x și folosim ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    f(1)=21+ln⁡1=2+0=2\displaystyle f(1)=\dfrac{2}{1}+\ln 1=2+0=2
  3. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: derivata lui 2x\displaystyle \dfrac{2}{x} este −2x2\displaystyle -\dfrac{2}{x^{2}}, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    f′(x)=−2x2+1x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}
  4. Calculăm f′(1)\displaystyle f'(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în derivată. Obținem f(1)=2\displaystyle f(1)=2 și f′(1)=−1\displaystyle f'(1)=-1.
    f′(1)=−21+11=−1\displaystyle f'(1)=-\dfrac{2}{1}+\dfrac{1}{1}=-1,f(1)=2\displaystyle \quad f(1)=2
  5. Înlocuim valorile f(1)=2\displaystyle f(1)=2 și f′(1)=−1\displaystyle f'(1)=-1 în formula tangentei.
    y−2=−1⋅(x−1)\displaystyle y-2=-1\cdot(x-1)
  6. Desfacem parantezele și aducem ecuația la forma y=…\displaystyle y=\ldots Ecuația tangentei este y=−x+3\displaystyle y=-x+3.
    y=−x+1+2=−x+3\displaystyle y=-x+1+2=-x+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}+\ln x.

Demonstrați că 2x+ln⁡x≥1+ln⁡2\displaystyle \frac{2}{x}+\ln x\ge 1+\ln 2, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Derivata lui 2x\displaystyle \dfrac{2}{x} este −2x2\displaystyle -\dfrac{2}{x^{2}}, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    f′(x)=−2x2+1x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}
  2. Aducem derivata la același numitor, x2\displaystyle x^{2}.
    f′(x)=x−2x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-2}{x^{2}}
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Cum x2>0\displaystyle x^{2}>0 pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), fracția se anulează doar când numărătorul x−2\displaystyle x-2 este zero.
    f′(x)=0⇔x=2\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=2
  4. Studiem semnul derivatei pe (0,2]\displaystyle (0,2]. Aici x−2≤0\displaystyle x-2\le 0, iar numitorul x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 și f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,2]\displaystyle (0,2].
    x∈(0,2]⇒f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe (0,2]\displaystyle x\in(0,2]\Rightarrow f'(x)\le 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }(0,2]
  5. Studiem semnul derivatei pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty). Aici x−2≥0\displaystyle x-2\ge 0, iar numitorul x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0 și f\displaystyle f este crescătoare pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty).
    x∈[2,+∞)⇒f′(x)≥0, deci f este cresca˘toare pe [2,+∞)\displaystyle x\in[2,+\infty)\Rightarrow f'(x)\ge 0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[2,+\infty)
  6. Calculăm valoarea funcției în punctul de minim x=2\displaystyle x=2: f(2)=22+ln⁡2\displaystyle f(2)=\dfrac{2}{2}+\ln 2.
    f(2)=1+ln⁡2\displaystyle f(2)=1+\ln 2
  7. Funcția descrește până în x=2\displaystyle x=2 și crește după x=2\displaystyle x=2, deci în x=2\displaystyle x=2 are minimul global. Pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) avem f(x)≥f(2)\displaystyle f(x)\ge f(2), adică inegalitatea cerută.
    f(x)≥f(2)=1+ln⁡2⇒2x+ln⁡x≥1+ln⁡2\displaystyle f(x)\ge f(2)=1+\ln 2\Rightarrow \dfrac{2}{x}+\ln x\ge 1+\ln 2, ∀x∈(0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+22x\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{2x}.

Arătați că ∫122x f(x) dx=133\displaystyle \int_1^2 2x\,f(x)\,dx=\frac{13}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+22x\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}+2}{2x} în integrală și obținem ∫122x⋅x2+22x dx\displaystyle \int_1^2 2x\cdot\dfrac{x^{2}+2}{2x}\,dx.
    ∫122x⋅x2+22x dx\displaystyle \int_1^2 2x\cdot\frac{x^{2}+2}{2x}\,dx
  2. Simplificăm fracția prin 2x\displaystyle 2x, care este nenul pe [1,2]\displaystyle [1,2], deci integrandul devine x2+2\displaystyle x^{2}+2.
    ∫12(x2+2) dx\displaystyle \int_1^2 (x^{2}+2)\,dx
  3. O primitivă a lui x2+2\displaystyle x^{2}+2 este x33+2x\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}+2x, deoarece x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3} este primitiva lui x2\displaystyle x^{2} și 2x\displaystyle 2x este primitiva lui 2\displaystyle 2. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫12(x2+2) dx=(x33+2x)∣12\displaystyle \int_1^2 (x^{2}+2)\,dx=\left(\frac{x^{3}}{3}+2x\right)\Big|_1^2
  4. Pentru x=2\displaystyle x=2 obținem 83+4\displaystyle \dfrac{8}{3}+4, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 13+2\displaystyle \dfrac{1}{3}+2.
    (83+4)−(13+2)\displaystyle \left(\frac{8}{3}+4\right)-\left(\frac{1}{3}+2\right)
  5. Avem 83−13=73\displaystyle \dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3} și 4−2=2\displaystyle 4-2=2, deci 73+2=133\displaystyle \dfrac{7}{3}+2=\dfrac{13}{3}, ceea ce trebuia arătat.
    (83+4)−(13+2)=73+2=133\displaystyle \left(\frac{8}{3}+4\right)-\left(\frac{1}{3}+2\right)=\frac{7}{3}+2=\frac{13}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+22x\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{2x}.

Determinați primitiva F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f, pentru care F(1)=1\displaystyle F(1)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim fiecare termen de la numărător la numitor: f(x)=x2+22x=x22x+22x\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}+2}{2x}=\dfrac{x^{2}}{2x}+\dfrac{2}{2x}, pentru x>0\displaystyle x>0.
    f(x)=x2+1x\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}
  2. Integrăm termen cu termen: ∫x2 dx=x24\displaystyle \displaystyle\int \dfrac{x}{2}\,dx=\dfrac{x^{2}}{4}, iar pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) avem ∫1x dx=ln⁡x\displaystyle \displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln x. Adăugăm constanta c\displaystyle c.
    F(x)=x24+ln⁡x+c\displaystyle F(x)=\frac{x^{2}}{4}+\ln x+c, c∈R\displaystyle \ c\in\mathbb{R}
  3. Punem condiția F(1)=1\displaystyle F(1)=1. Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem 14+0+c=1\displaystyle \dfrac{1}{4}+0+c=1.
    14+c=1\displaystyle \frac{1}{4}+c=1
  4. Rezolvăm: c=1−14=34\displaystyle c=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}. Înlocuind în F\displaystyle F, primitiva cerută este F(x)=x24+ln⁡x+34\displaystyle F(x)=\dfrac{x^{2}}{4}+\ln x+\dfrac{3}{4}.
    c=34\displaystyle c=\frac{3}{4}, F(x)=x24+ln⁡x+34\displaystyle \ F(x)=\frac{x^{2}}{4}+\ln x+\frac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+22x\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{2x}.

Demonstrați că 2∫1n(f(x)+x f′(x))dx=n2−1\displaystyle 2\int_1^n\left(f(x)+x\,f'(x)\right)dx=n^2-1, pentru orice număr natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\ge 2.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că (x f(x))′=x′ f(x)+x f′(x)=f(x)+x f′(x)\displaystyle (x\,f(x))'=x'\,f(x)+x\,f'(x)=f(x)+x\,f'(x), deci expresia de sub integrală este derivata produsului x f(x)\displaystyle x\,f(x).
    f(x)+x f′(x)=(x f(x))′\displaystyle f(x)+x\,f'(x)=(x\,f(x))'
  2. Calculăm x f(x)=x⋅x2+22x\displaystyle x\,f(x)=x\cdot\dfrac{x^{2}+2}{2x} și simplificăm cu x\displaystyle x, deoarece x>0\displaystyle x>0.
    x f(x)=x2+22\displaystyle x\,f(x)=\dfrac{x^{2}+2}{2}
  3. Scriem 2∫1n(f(x)+x f′(x))dx=2∫1n(x f(x))′dx=2 (x f(x))∣1n\displaystyle 2\int_1^n\left(f(x)+x\,f'(x)\right)dx=2\int_1^n(x\,f(x))'dx=2\,(x\,f(x))\Big|_1^n. Cum x f(x)=x2+22\displaystyle x\,f(x)=\dfrac{x^{2}+2}{2}, înmulțirea cu 2\displaystyle 2 dă (x2+2)∣1n\displaystyle (x^{2}+2)\Big|_1^n.
    2∫1n(f(x)+x f′(x))dx=(x2+2)∣1n\displaystyle 2\int_1^n\left(f(x)+x\,f'(x)\right)dx=(x^{2}+2)\Big|_1^n
  4. Evaluăm la capete: (n2+2)−(12+2)=n2+2−3=n2−1\displaystyle (n^{2}+2)-(1^{2}+2)=n^{2}+2-3=n^{2}-1, pentru orice număr natural n≥2\displaystyle n\ge 2. Astfel egalitatea cerută este demonstrată.
    (n2+2)−(1+2)=n2−1\displaystyle (n^{2}+2)-(1+2)=n^{2}-1, ∀n∈N\displaystyle \ \forall n\in\mathbb{N}, n≥2\displaystyle \ n\ge 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.