Bac matematică M2 științe ale naturii 2014, sesiunea a II-a varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care numerele 2\displaystyle 2, x+2\displaystyle x+2 și 10\displaystyle 10 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea progresiei aritmetice: numerele a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c sunt termeni consecutivi dacă b=a+c2\displaystyle b=\dfrac{a+c}{2}. Aici a=2\displaystyle a=2, b=x+2\displaystyle b=x+2, c=10\displaystyle c=10.
    x+2=2+102\displaystyle x+2=\dfrac{2+10}{2}
  2. Calculăm membrul drept: 2+102=122=6\displaystyle \dfrac{2+10}{2}=\dfrac{12}{2}=6, deci ecuația devine x+2=6\displaystyle x+2=6.
    x+2=6\displaystyle x+2=6
  3. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri: x=6−2=4\displaystyle x=6-2=4. Verificare: termenii sunt 2\displaystyle 2, 6\displaystyle 6, 10\displaystyle 10, cu rația 4\displaystyle 4.
    x=4\displaystyle x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați valoarea minimă a funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x−10\displaystyle f(x)=x^2-2x-10.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții funcției de gradul al doilea: a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle b=-2, c=−10\displaystyle c=-10. Deoarece a>0\displaystyle a>0, parabola are ramurile în sus, deci funcția are o valoare minimă.
    a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle \ b=-2, c=−10\displaystyle \ c=-10, a>0\displaystyle \ a>0
  2. Calculăm discriminantul Δ=b2−4ac=(−2)2−4⋅1⋅(−10)=4+40\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-10)=4+40.
    Δ=44\displaystyle \Delta=44
  3. Valoarea minimă a funcției este −Δ4a\displaystyle -\dfrac{\Delta}{4a}. Înlocuim Δ=44\displaystyle \Delta=44 și a=1\displaystyle a=1: −444⋅1=−444\displaystyle -\dfrac{44}{4\cdot 1}=-\dfrac{44}{4}.
    −Δ4a=−444=−11\displaystyle -\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{44}{4}=-11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2−2x)=3\displaystyle \log_2\left(x^2-2x\right)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, adică x2−2x>0\displaystyle x^{2}-2x>0.
    x2−2x>0  ⟺  x∈(−∞,0)∪(2,∞)\displaystyle x^{2}-2x>0\iff x\in(-\infty,0)\cup(2,\infty)
  2. Folosim definiția logaritmului: log⁡2A=3\displaystyle \log_2 A=3 înseamnă A=23=8\displaystyle A=2^{3}=8. Deci x2−2x=8\displaystyle x^{2}-2x=8.
    x2−2x=8\displaystyle x^{2}-2x=8
  3. Mutăm totul în membrul stâng și obținem ecuația de gradul al doilea x2−2x−8=0\displaystyle x^{2}-2x-8=0.
    x2−2x−8=0\displaystyle x^{2}-2x-8=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−8)=4+32=36\displaystyle \Delta=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36, deci Δ=6\displaystyle \sqrt{\Delta}=6.
    Δ=36\displaystyle \Delta=36
  5. Aflăm rădăcinile: x1,2=2±62\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{2\pm 6}{2}, deci x1=−2\displaystyle x_1=-2 și x2=4\displaystyle x_2=4.
    x1=−2 și x2=4\displaystyle x_1=-2\text{ și }x_2=4
  6. Verificăm condiția de existență: pentru x=−2\displaystyle x=-2 avem (−2)2−2⋅(−2)=8>0\displaystyle (-2)^{2}-2\cdot(-2)=8>0, iar pentru x=4\displaystyle x=4 avem 42−2⋅4=8>0\displaystyle 4^{2}-2\cdot 4=8>0. Ambele soluții convin.
    x1=−2 și x2=4, care verifica˘ ecuația\displaystyle x_1=-2\text{ și }x_2=4\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie par.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}},{10,11,…,99}\displaystyle \quad \{10,11,\ldots,99\}
  2. Numerele pare de două cifre sunt 10,12,14,…,98\displaystyle 10, 12, 14, \ldots, 98. Le scriem sub forma 2k\displaystyle 2k, cu k\displaystyle k de la 5\displaystyle 5 până la 49\displaystyle 49, deci avem 49−5+1=45\displaystyle 49-5+1=45 cazuri favorabile.
    49−5+1=45\displaystyle 49-5+1=45
  3. Numărul cazurilor posibile este numărul numerelor de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99: 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  4. Aplicăm formula: probabilitatea este 4590\displaystyle \dfrac{45}{90}, iar prin simplificare cu 45\displaystyle 45 obținem 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=4590=12\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care vectorii u⃗=(a−2)i⃗−2j⃗\displaystyle \vec{u}=(a-2)\vec{i}-2\vec{j} și v⃗=3i⃗+2j⃗\displaystyle \vec{v}=3\vec{i}+2\vec{j} sunt opuși.
Vezi rezolvarea
  1. Doi vectori sunt opuși dacă u⃗=−v⃗\displaystyle \vec{u}=-\vec{v}. Opusul vectorului v⃗=3i⃗+2j⃗\displaystyle \vec{v}=3\vec{i}+2\vec{j} se obține schimbând semnul ambelor coordonate.
    −v⃗=−3i⃗−2j⃗\displaystyle -\vec{v}=-3\vec{i}-2\vec{j}
  2. Egalăm (a−2)i⃗−2j⃗=−3i⃗−2j⃗\displaystyle (a-2)\vec{i}-2\vec{j}=-3\vec{i}-2\vec{j} și comparăm coordonatele. Pentru j⃗\displaystyle \vec{j} avem −2=−2\displaystyle -2=-2, adevărat. Pentru i⃗\displaystyle \vec{i} obținem condiția pentru a\displaystyle a.
    u⃗=−v⃗⇔a−2=−3\displaystyle \vec{u}=-\vec{v}\Leftrightarrow a-2=-3
  3. Rezolvăm ecuația a−2=−3\displaystyle a-2=-3: adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri, deci a=−3+2\displaystyle a=-3+2.
    a=−1\displaystyle a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați cosinusul unghiului A\displaystyle A al triunghiului ABC\displaystyle ABC în care AB=4\displaystyle AB=4, AC=5\displaystyle AC=5 și BC=6\displaystyle BC=6.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema cosinusului pentru latura BC\displaystyle BC, opusă unghiului A\displaystyle A: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A.
    BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A
  2. Exprimăm cos⁡A\displaystyle \cos A din relația de mai sus: cos⁡A=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅AC\displaystyle \cos A=\dfrac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AB\cdot AC}.
    cos⁡A=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅AC\displaystyle \cos A=\dfrac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AB\cdot AC}
  3. Înlocuim AB=4\displaystyle AB=4, AC=5\displaystyle AC=5, BC=6\displaystyle BC=6, deci AB2=16\displaystyle AB^{2}=16, AC2=25\displaystyle AC^{2}=25, BC2=36\displaystyle BC^{2}=36.
    cos⁡A=16+25−362⋅4⋅5\displaystyle \cos A=\dfrac{16+25-36}{2\cdot 4\cdot 5}
  4. Calculăm numărătorul 16+25−36=5\displaystyle 16+25-36=5 și numitorul 2⋅4⋅5=40\displaystyle 2\cdot 4\cdot 5=40. Simplificăm fracția prin 5\displaystyle 5.
    cos⁡A=540=18\displaystyle \cos A=\dfrac{5}{40}=\dfrac{1}{8}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(010101010)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix} și B=(001010100)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}.

Calculați det⁡B\displaystyle \det B.
Vezi rezolvarea
  1. Avem B=(001010100)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}. Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea.
    det⁡B=∣001010100∣\displaystyle \det B=\begin{vmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{vmatrix}
  2. Termenii cu plus sunt 0⋅1⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1\cdot 0=0, 0⋅0⋅1=0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 1=0 și 1⋅0⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0\cdot 0=0. Termenii cu minus sunt 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1, 0⋅0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0=0 și 0⋅0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0=0. Obținem expresia din dezvoltare.
    det⁡B=0+0+0−1−0−0\displaystyle \det B=0+0+0-1-0-0
  3. Efectuăm calculul: 0+0+0−1−0−0=−1\displaystyle 0+0+0-1-0-0=-1. Deci determinantul matricei B\displaystyle B este −1\displaystyle -1.
    det⁡B=−1\displaystyle \det B=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(010101010)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix} și B=(001010100)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}.

Arătați că AB=BA\displaystyle AB=BA.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul AB\displaystyle AB: elementul de pe linia i\displaystyle i și coloana j\displaystyle j este suma produselor dintre elementele liniei i\displaystyle i din A\displaystyle A și elementele coloanei j\displaystyle j din B\displaystyle B. Coloanele lui B\displaystyle B sunt (001)\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}, (010)\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, (100)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}. Linia 1 din A\displaystyle A este (0,1,0)\displaystyle (0,1,0), deci dă 0, 1, 0\displaystyle 0,\ 1,\ 0. Linia 2 este (1,0,1)\displaystyle (1,0,1), deci dă 1, 0, 1\displaystyle 1,\ 0,\ 1. Linia 3 este (0,1,0)\displaystyle (0,1,0), deci dă 0, 1, 0\displaystyle 0,\ 1,\ 0.
    linia 1: (0,1,0)\displaystyle \text{linia 1: }(0,1,0), linia 2: (1,0,1)\displaystyle \ \text{linia 2: }(1,0,1), linia 3: (0,1,0)\displaystyle \ \text{linia 3: }(0,1,0)
  2. Așadar produsul AB\displaystyle AB este egal cu matricea A\displaystyle A.
    AB=(010101010)\displaystyle AB=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul BA\displaystyle BA. Liniile lui B\displaystyle B sunt (0,0,1)\displaystyle (0,0,1), (0,1,0)\displaystyle (0,1,0), (1,0,0)\displaystyle (1,0,0). Linia 1 din B\displaystyle B ia ultima linie a lui A\displaystyle A, adică (0,1,0)\displaystyle (0,1,0). Linia 2 din B\displaystyle B ia linia a doua a lui A\displaystyle A, adică (1,0,1)\displaystyle (1,0,1). Linia 3 din B\displaystyle B ia prima linie a lui A\displaystyle A, adică (0,1,0)\displaystyle (0,1,0).
    linia 1: (0,1,0)\displaystyle \text{linia 1: }(0,1,0), linia 2: (1,0,1)\displaystyle \ \text{linia 2: }(1,0,1), linia 3: (0,1,0)\displaystyle \ \text{linia 3: }(0,1,0)
  4. Obținem că BA=A\displaystyle BA=A. Cum și AB=A\displaystyle AB=A, rezultă că AB=BA\displaystyle AB=BA.
    BA=(010101010)⇒AB=BA\displaystyle BA=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\Rightarrow AB=BA
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(010101010)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix} și B=(001010100)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(B+xA)=1\displaystyle \det(B+xA)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea B+xA\displaystyle B+xA adunând element cu element matricea B\displaystyle B cu matricea xA=(0x0x0x0x0)\displaystyle xA=\begin{pmatrix}0&x&0\\x&0&x\\0&x&0\end{pmatrix}.
    B+xA=(0x1x1x1x0)\displaystyle B+xA=\begin{pmatrix}0&x&1\\x&1&x\\1&x&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus. Termenii pozitivi sunt 0⋅1⋅0+x⋅x⋅1+1⋅x⋅x=2x2\displaystyle 0\cdot 1\cdot 0+x\cdot x\cdot 1+1\cdot x\cdot x=2x^{2}, iar termenii negativi sunt 1⋅1⋅1+0⋅x⋅x+x⋅x⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1+0\cdot x\cdot x+x\cdot x\cdot 0=1.
    (0+x2+x2)−(1+0+0)\displaystyle (0+x^{2}+x^{2})-(1+0+0)
  3. Scădem cei doi termeni și obținem determinantul în funcție de x\displaystyle x.
    det⁡(B+xA)=2x2−1\displaystyle \det(B+xA)=2x^{2}-1
  4. Punem condiția det⁡(B+xA)=1\displaystyle \det(B+xA)=1, adică 2x2−1=1\displaystyle 2x^{2}-1=1. Mutăm termenul liber în dreapta și obținem 2x2=2\displaystyle 2x^{2}=2, deci x2=1\displaystyle x^{2}=1.
    x2=1\displaystyle x^{2}=1
  5. Ecuația x2=1\displaystyle x^{2}=1 are două soluții reale, x=−1\displaystyle x=-1 și x=1\displaystyle x=1.
    x1=−1 și x2=1\displaystyle x_1=-1\text{ și }x_2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y−5)\displaystyle x*y=xy-4(x+y-5).

Calculați 4∗5\displaystyle 4*5.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=xy−4(x+y−5)\displaystyle x*y=xy-4(x+y-5). Pentru a calcula 4∗5\displaystyle 4*5 înlocuim x=4\displaystyle x=4 și y=5\displaystyle y=5 în formulă.
    4∗5=4⋅5−4(4+5−5)\displaystyle 4*5=4\cdot 5-4(4+5-5)
  2. Calculăm separat produsul și paranteza: 4⋅5=20\displaystyle 4\cdot 5=20, iar 4+5−5=4\displaystyle 4+5-5=4.
    4∗5=20−4⋅4\displaystyle 4*5=20-4\cdot 4
  3. Efectuăm înmulțirea 4⋅4=16\displaystyle 4\cdot 4=16, apoi scădem: 20−16=4\displaystyle 20-16=4.
    4∗5=20−16=4\displaystyle 4*5=20-16=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y−5)\displaystyle x*y=xy-4(x+y-5).

Arătați că x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4 pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii x∗y=xy−4(x+y−5)\displaystyle x*y=xy-4(x+y-5) și desfacem paranteza, înmulțind cu −4\displaystyle -4 fiecare termen din paranteză.
    x∗y=xy−4x−4y+20\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20
  2. Scriem 20\displaystyle 20 ca 16+4\displaystyle 16+4, pentru a obține forma din barem, cu termenul 16\displaystyle 16 pregătit pentru factorizare.
    x∗y=xy−4x−4y+16+4\displaystyle x*y=xy-4x-4y+16+4
  3. Grupăm primii doi termeni, care conțin pe x\displaystyle x: xy−4x\displaystyle xy-4x, și următorii doi: −4y+16\displaystyle -4y+16. Scoatem factor comun x\displaystyle x din primul grup și −4\displaystyle -4 din al doilea.
    x∗y=x(y−4)−4(y−4)+4\displaystyle x*y=x(y-4)-4(y-4)+4
  4. Acum y−4\displaystyle y-4 este factor comun în primii doi termeni. Îl scoatem în față și obținem forma cerută, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y−5)\displaystyle x*y=xy-4(x+y-5).

Calculați 1∗2∗3∗⋯∗2014\displaystyle 1*2*3*\cdots*2014.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem legea de compoziție prin grupare: x∗y=xy−4x−4y+20\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20, adică x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4.
    x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4
  2. Calculăm x∗4=(x−4)(4−4)+4=0+4=4\displaystyle x*4=(x-4)(4-4)+4=0+4=4. Expresia (x−4)(y−4)+4\displaystyle (x-4)(y-4)+4 este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci legea este comutativă și 4∗x=4\displaystyle 4*x=4. Așadar 4\displaystyle 4 absoarbe orice element.
    x∗4=4∗x=4\displaystyle x*4=4*x=4
  3. Numărul 4\displaystyle 4 apare printre termenii 1,2,…,2014\displaystyle 1,2,\ldots,2014. Legea fiind asociativă, putem grupa termenii: 1∗2∗3∗⋯∗2014=(1∗2∗3)∗4∗(5∗⋯∗2014)\displaystyle 1*2*3*\cdots*2014=(1*2*3)*4*(5*\cdots*2014).
    (1∗2∗3)∗4∗(5∗⋯∗2014)\displaystyle (1*2*3)*4*(5*\cdots*2014)
  4. Notăm a=1∗2∗3∈R\displaystyle a=1*2*3\in\mathbb{R}. Atunci a∗4=4\displaystyle a*4=4, deci expresia devine 4∗(5∗⋯∗2014)\displaystyle 4*(5*\cdots*2014). Notăm b=5∗⋯∗2014\displaystyle b=5*\cdots*2014; cum 4∗b=4\displaystyle 4*b=4, obținem rezultatul 4\displaystyle 4.
    1∗2∗3∗⋯∗2014=4∗(5∗⋯∗2014)=4\displaystyle 1*2*3*\cdots*2014=4*(5*\cdots*2014)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3}{x^2+3}.

Calculați lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem limita cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia dată. Avem o fracție cu numărătorul și numitorul polinoame de gradul al doilea, iar pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty ambele tind la +∞\displaystyle +\infty: este un caz de nedeterminare ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2−3x2+3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-3}{x^2+3}
  2. Dăm factor comun forțat termenul de grad maxim, x2\displaystyle x^{2}, la numărător și la numitor.
    lim⁡x→+∞x2(1−3x2)x2(1+3x2)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(1-\frac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}
  3. Simplificăm prin x2\displaystyle x^{2}, care este nenul când x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Fracțiile 3x2\displaystyle \dfrac{3}{x^{2}} tind la 0\displaystyle 0, deci numărătorul tinde la 1\displaystyle 1, iar numitorul tinde la 1\displaystyle 1. Rezultatul coincide cu raportul coeficienților termenilor de grad maxim, 11\displaystyle \dfrac{1}{1}.
    lim⁡x→+∞1−3x21+3x2=1−01+0=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{3}{x^2}}{1+\frac{3}{x^2}}=\frac{1-0}{1+0}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3}{x^2+3}. Arătați că f′(x)=12x(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\frac{12x}{\left(x^2+3\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un raport de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar numitorul x2+3\displaystyle x^2+3 este mereu strict pozitiv. Folosim formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, cu u=x2−3\displaystyle u=x^2-3 și v=x2+3\displaystyle v=x^2+3.
    (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}
  2. Înlocuim u\displaystyle u, v\displaystyle v și derivatele lor în formulă.
    f′(x)=(x2−3)′⋅(x2+3)−(x2−3)⋅(x2+3)′(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\left(x^2-3\right)'\cdot\left(x^2+3\right)-\left(x^2-3\right)\cdot\left(x^2+3\right)'}{\left(x^2+3\right)^2}
  3. Calculăm derivatele: (x2−3)′=2x\displaystyle \left(x^2-3\right)'=2x și (x2+3)′=2x\displaystyle \left(x^2+3\right)'=2x, deoarece derivata unei constante este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=2x(x2+3)−2x(x2−3)(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x\left(x^2+3\right)-2x\left(x^2-3\right)}{\left(x^2+3\right)^2}
  4. Dăm factor comun pe 2x\displaystyle 2x la numărător: 2x(x2+3−x2+3)=2x⋅6=12x\displaystyle 2x\left(x^2+3-x^2+3\right)=2x\cdot 6=12x.
    f′(x)=12x(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{12x}{\left(x^2+3\right)^2}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x2+3\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3}{x^2+3}.

Arătați că funcția f\displaystyle f este convexă pe intervalul (−1,1)\displaystyle (-1,1).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a deriva mai ușor, scriem funcția sub o formă simplificată: separăm fracția adunând și scăzând 6\displaystyle 6 la numărător, adică x2−3=(x2+3)−6\displaystyle x^{2}-3=(x^{2}+3)-6. Obținem f(x)=1−6x2+3\displaystyle f(x)=1-\dfrac{6}{x^{2}+3}.
    f(x)=1−6x2+3\displaystyle f(x)=1-\dfrac{6}{x^{2}+3}
  2. Calculăm derivata întâi. Derivata lui 1x2+3\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}+3} este −2x(x2+3)2\displaystyle -\dfrac{2x}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}, deci f′(x)=−6⋅(−2x(x2+3)2)=12x(x2+3)2\displaystyle f'(x)=-6\cdot\left(-\dfrac{2x}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}\right)=\dfrac{12x}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}.
    f′(x)=12x(x2+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{12x}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}
  3. Derivăm încă o dată, cu formula derivatei unui cât. Numărătorul 12x\displaystyle 12x are derivata 12\displaystyle 12, iar numitorul (x2+3)2\displaystyle \left(x^{2}+3\right)^{2} are derivata 4x(x2+3)\displaystyle 4x\left(x^{2}+3\right). Avem f′′(x)=12(x2+3)2−12x⋅4x(x2+3)(x2+3)4\displaystyle f''(x)=\dfrac{12\left(x^{2}+3\right)^{2}-12x\cdot 4x\left(x^{2}+3\right)}{\left(x^{2}+3\right)^{4}}. Simplificăm cu x2+3\displaystyle x^{2}+3: f′′(x)=12(x2+3)−48x2(x2+3)3=36−36x2(x2+3)3\displaystyle f''(x)=\dfrac{12\left(x^{2}+3\right)-48x^{2}}{\left(x^{2}+3\right)^{3}}=\dfrac{36-36x^{2}}{\left(x^{2}+3\right)^{3}}. Dăm factor comun 36\displaystyle 36.
    f′′(x)=36(1−x2)(x2+3)3\displaystyle f''(x)=\dfrac{36\left(1-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+3\right)^{3}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  4. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f'' pe (−1,1)\displaystyle (-1,1). Pentru x∈(−1,1)\displaystyle x\in(-1,1) avem x2<1\displaystyle x^{2}<1, deci 1−x2>0\displaystyle 1-x^{2}>0. Numitorul (x2+3)3\displaystyle \left(x^{2}+3\right)^{3} este pozitiv pentru orice x\displaystyle x real. Rezultă f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0 pe (−1,1)\displaystyle (-1,1), deci f\displaystyle f este convexă pe (−1,1)\displaystyle (-1,1).
    f′′(x)>0 pentru orice x∈(−1,1)⇒f este convexa˘ pe \displaystyle f''(x)>0\text{ pentru orice }x\in(-1,1)\Rightarrow f\text{ este convexă pe }intervalul (−1,1)\displaystyle \text{intervalul }(-1,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x.

Arătați că ∫1ef(x)⋅f′(x) dx=12\displaystyle \int_1^e f(x)\cdot f'(x)\,dx=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x pentru x>0\displaystyle x>0: f′(x)=1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x}
  2. Folosim derivata unei compuneri: (12f2(x))′=12⋅2f(x)⋅f′(x)=f(x)⋅f′(x)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}f^{2}(x)\right)'=\dfrac{1}{2}\cdot 2f(x)\cdot f'(x)=f(x)\cdot f'(x). Deci o primitivă a integrandului este 12f2(x)\displaystyle \dfrac{1}{2}f^{2}(x).
    ∫f(x)⋅f′(x) dx=12f2(x)+C\displaystyle \int f(x)\cdot f'(x)\,dx=\dfrac{1}{2}f^{2}(x)+C
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫1ef(x)⋅f′(x) dx=12f2(x)∣1e\displaystyle \int_1^e f(x)\cdot f'(x)\,dx=\dfrac{1}{2}f^{2}(x)\Big|_1^e.
    ∫1ef(x)⋅f′(x) dx=12f2(x)∣1e\displaystyle \int_1^e f(x)\cdot f'(x)\,dx=\dfrac{1}{2}f^{2}(x)\Big|_1^e
  4. Scriem 12(f2(e)−f2(1))\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(f^{2}(e)-f^{2}(1)\right). Avem f(e)=ln⁡e=1\displaystyle f(e)=\ln e=1 și f(1)=ln⁡1=0\displaystyle f(1)=\ln 1=0.
    12(f2(e)−f2(1))=12(12−02)\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(f^{2}(e)-f^{2}(1)\right)=\dfrac{1}{2}\left(1^{2}-0^{2}\right)
  5. Efectuăm calculul: 12(1−0)=12\displaystyle \dfrac{1}{2}(1-0)=\dfrac{1}{2}, deci integrala este egală cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    12\displaystyle \dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x.

Arătați că ∫1ex3f(x) dx=3e4+116\displaystyle \int_1^e x^3f(x)\,dx=\frac{3e^4+1}{16}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x și observăm că x3=(x44)′\displaystyle x^{3}=\left(\dfrac{x^{4}}{4}\right)', pentru a pregăti integrarea prin părți.
    ∫1ex3f(x) dx=∫1e(x44)′ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e x^3 f(x)\,dx=\int_1^e\left(\frac{x^4}{4}\right)'\ln x\,dx
  2. Aplicăm formula ∫abu′v dx=uv∣ab−∫abuv′ dx\displaystyle \int_a^b u'v\,dx=uv\Big|_a^b-\int_a^b uv'\,dx cu u=x44\displaystyle u=\dfrac{x^{4}}{4} și v=ln⁡x\displaystyle v=\ln x, pentru care v′=1x\displaystyle v'=\dfrac{1}{x}.
    x44ln⁡x∣1e−∫1ex44⋅1x dx\displaystyle \frac{x^4}{4}\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\frac{x^4}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx
  3. Calculăm termenul integrat: ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    x44ln⁡x∣1e=e44⋅1−14⋅0=e44\displaystyle \frac{x^4}{4}\ln x\Big|_1^e=\frac{e^4}{4}\cdot 1-\frac{1}{4}\cdot 0=\frac{e^4}{4}
  4. Simplificăm integrandul: x44⋅1x=x34\displaystyle \dfrac{x^{4}}{4}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^{3}}{4}, iar o primitivă a lui este x416\displaystyle \dfrac{x^{4}}{16}.
    ∫1ex34 dx=x416∣1e=e416−116\displaystyle \int_1^e\frac{x^3}{4}\,dx=\frac{x^4}{16}\Big|_1^e=\frac{e^4}{16}-\frac{1}{16}
  5. Scădem rezultatul obținut din termenul integrat și aducem la același numitor: e44=4e416\displaystyle \dfrac{e^{4}}{4}=\dfrac{4e^{4}}{16}.
    e44−x416∣1e=4e416−e4−116=3e4+116\displaystyle \frac{e^4}{4}-\frac{x^4}{16}\Big|_1^e=\frac{4e^4}{16}-\frac{e^4-1}{16}=\frac{3e^4+1}{16}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x\displaystyle f(x)=\ln x.

Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=e\displaystyle x=e.
Vezi rezolvarea
  1. Aria suprafeței delimitate de grafic, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele x=1\displaystyle x=1, x=e\displaystyle x=e este integrala modulului funcției pe intervalul [1,e]\displaystyle [1,e]: A=∫1e∣f(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^e|f(x)|\,dx.
    A=∫1e∣ln⁡x∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^e|\ln x|\,dx
  2. Pentru x∈[1,e]\displaystyle x\in[1,e] avem x≥1\displaystyle x\ge 1, deci ln⁡x≥0\displaystyle \ln x\ge 0 și ∣ln⁡x∣=ln⁡x\displaystyle |\ln x|=\ln x.
    A=∫1eln⁡x dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^e\ln x\,dx
  3. O primitivă a funcției ln⁡x\displaystyle \ln x este xln⁡x−x\displaystyle x\ln x-x. Verificare: (xln⁡x−x)′=ln⁡x+x⋅1x−1=ln⁡x\displaystyle (x\ln x-x)'=\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}-1=\ln x.
    ∫1eln⁡x dx=(xln⁡x−x)∣1e\displaystyle \int_1^e\ln x\,dx=(x\ln x-x)\Big|_1^e
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: A=(eln⁡e−e)−(1⋅ln⁡1−1)\displaystyle \mathcal{A}=(e\ln e-e)-(1\cdot\ln 1-1).
    A=(eln⁡e−e)−(ln⁡1−1)\displaystyle \mathcal{A}=(e\ln e-e)-(\ln 1-1)
  5. Folosim ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. Prima paranteză devine e−e=0\displaystyle e-e=0, iar a doua devine 0−1=−1\displaystyle 0-1=-1. Deci A=0−(−1)=1\displaystyle \mathcal{A}=0-(-1)=1.
    A=1\displaystyle \mathcal{A}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.