Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, sesiunea a II-a varianta 04: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3(4−i)+3i(1+i)=9\displaystyle 3(4-i)+3i(1+i)=9, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem prima paranteză înmulțind pe 3\displaystyle 3 cu fiecare termen: 3(4−i)=12−3i\displaystyle 3(4-i)=12-3i.
    3(4−i)=12−3i\displaystyle 3(4-i)=12-3i
  2. Desfacem a doua paranteză: 3i(1+i)=3i+3i2\displaystyle 3i(1+i)=3i+3i^{2}.
    3i(1+i)=3i+3i2\displaystyle 3i(1+i)=3i+3i^{2}
  3. Adunăm cele două rezultate: 3(4−i)+3i(1+i)=12−3i+3i+3i2\displaystyle 3(4-i)+3i(1+i)=12-3i+3i+3i^{2}.
    12−3i+3i+3i2\displaystyle 12-3i+3i+3i^{2}
  4. Termenii cu i\displaystyle i se reduc, deoarece −3i+3i=0\displaystyle -3i+3i=0. Rămâne 12+3i2\displaystyle 12+3i^{2}.
    12+3i2\displaystyle 12+3i^{2}
  5. Înlocuim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1 și obținem 12+3⋅(−1)=12−3=9\displaystyle 12+3\cdot(-1)=12-3=9, deci egalitatea este demonstrată.
    12−3=9\displaystyle 12-3=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^2-4. Calculați (f∘f)(2)\displaystyle (f\circ f)(2).
Vezi rezolvarea
  1. Compunerea se calculează de la interior spre exterior: (f∘f)(2)=f(f(2))\displaystyle (f\circ f)(2)=f(f(2)). Întâi calculăm f(2)\displaystyle f(2).
    (f∘f)(2)=f(f(2))\displaystyle (f\circ f)(2)=f(f(2))
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^{2}-4: f(2)=22−4=4−4=0\displaystyle f(2)=2^{2}-4=4-4=0.
    f(2)=22−4=0\displaystyle f(2)=2^{2}-4=0
  3. Acum calculăm f\displaystyle f din rezultatul obținut, adică f(0)\displaystyle f(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0: f(0)=02−4=−4\displaystyle f(0)=0^{2}-4=-4.
    f(f(2))=f(0)=02−4=−4\displaystyle f(f(2))=f(0)=0^{2}-4=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x2−2x+4)=1\displaystyle \log_3\left(x^2-2x+4\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv. Discriminantul expresiei x2−2x+4\displaystyle x^{2}-2x+4 este Δ=4−16=−12<0\displaystyle \Delta=4-16=-12<0, iar coeficientul dominant este pozitiv, deci x2−2x+4>0\displaystyle x^{2}-2x+4>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Ecuația are sens pe toată mulțimea numerelor reale.
    x2−2x+4>0\displaystyle x^{2}-2x+4>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Din definiția logaritmului, log⁡3A=1\displaystyle \log_3 A=1 înseamnă A=31=3\displaystyle A=3^{1}=3. Deci x2−2x+4=3\displaystyle x^{2}-2x+4=3.
    x2−2x+4=3\displaystyle x^{2}-2x+4=3
  3. Mutăm pe 3\displaystyle 3 în membrul stâng și obținem ecuația de gradul al doilea x2−2x+1=0\displaystyle x^{2}-2x+1=0, adică (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^{2}=0.
    x2−2x+1=0\displaystyle x^{2}-2x+1=0
  4. Pătratul unui număr este zero doar dacă numărul este zero, deci x−1=0\displaystyle x-1=0, de unde x=1\displaystyle x=1. Verificăm: pentru x=1\displaystyle x=1, argumentul este 1−2+4=3\displaystyle 1-2+4=3, iar log⁡33=1\displaystyle \log_3 3=1. Valoarea convine.
    x=1, care convine\displaystyle x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 10\displaystyle 10.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}. Cazurile posibile sunt toate numerele naturale de două cifre, adică de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99.
    p=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}
  2. Numărăm cazurile posibile: de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99 sunt 99−10+1\displaystyle 99-10+1 numere.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  3. Cazurile favorabile sunt numerele de două cifre divizibile cu 10\displaystyle 10: 10,20,30,…,90\displaystyle 10, 20, 30, \ldots, 90. Ele au forma 10k\displaystyle 10k cu k∈{1,2,…,9}\displaystyle k\in\{1,2,\ldots,9\}, deci sunt 9\displaystyle 9 numere.
    9\displaystyle 9
  4. Calculăm probabilitatea ca raport dintre 9\displaystyle 9 și 90\displaystyle 90 și simplificăm fracția prin 9\displaystyle 9.
    p=990=110\displaystyle p=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,4)\displaystyle A(2,4) și B(3,a)\displaystyle B(3,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctele O\displaystyle O, A\displaystyle A și B\displaystyle B sunt coliniare.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele O\displaystyle O, A\displaystyle A și B\displaystyle B sunt coliniare dacă dreptele OA\displaystyle OA și OB\displaystyle OB au aceeași pantă. Originea este O(0,0)\displaystyle O(0,0). Folosim formula pantei dintre două puncte: m=y2−y1x2−x1\displaystyle m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
    O(0,0)\displaystyle O(0,0),m=y2−y1x2−x1\displaystyle \quad m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  2. Calculăm panta dreptei OA\displaystyle OA, cu O(0,0)\displaystyle O(0,0) și A(2,4)\displaystyle A(2,4): mOA=4−02−0=2\displaystyle m_{OA}=\dfrac{4-0}{2-0}=2. Apoi panta dreptei OB\displaystyle OB, cu B(3,a)\displaystyle B(3,a): mOB=a−03−0=a3\displaystyle m_{OB}=\dfrac{a-0}{3-0}=\dfrac{a}{3}.
    mOA=2\displaystyle m_{OA}=2,mOB=a3\displaystyle \quad m_{OB}=\dfrac{a}{3}
  3. Impunem egalitatea pantelor: mOA=mOB\displaystyle m_{OA}=m_{OB}, adică 2=a3\displaystyle 2=\dfrac{a}{3}. Înmulțim ambii membri cu 3\displaystyle 3 și obținem a=6\displaystyle a=6.
    2=a3⇔a=6\displaystyle 2=\dfrac{a}{3}\Leftrightarrow a=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră E(x)=cos⁡x+cos⁡2x+cos⁡3x\displaystyle E(x)=\cos x+\cos 2x+\cos 3x, unde x\displaystyle x este număr real. Arătați că E(π4)=0\displaystyle E\left(\frac{\pi}{4}\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu π4\displaystyle \dfrac{\pi}{4} în expresia lui E(x)\displaystyle E(x). Obținem cos⁡π4\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{4}, plus cos⁡(2⋅π4)=cos⁡π2\displaystyle \cos\left(2\cdot\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{\pi}{2}, plus cos⁡(3⋅π4)=cos⁡3π4\displaystyle \cos\left(3\cdot\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{3\pi}{4}.
    E(π4)=cos⁡π4+cos⁡π2+cos⁡3π4\displaystyle E\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{2}+\cos\frac{3\pi}{4}
  2. Din valorile cunoscute, cos⁡π4=22\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} și cos⁡π2=0\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{2}=0.
    cos⁡π4=22\displaystyle \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},cos⁡π2=0\displaystyle \quad \cos\frac{\pi}{2}=0
  3. Pentru cos⁡3π4\displaystyle \cos\dfrac{3\pi}{4} scriem 3π4=π−π4\displaystyle \dfrac{3\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4} și folosim formula cos⁡(π−a)=−cos⁡a\displaystyle \cos(\pi-a)=-\cos a. Rezultă cos⁡3π4=−cos⁡π4=−22\displaystyle \cos\dfrac{3\pi}{4}=-\cos\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    cos⁡3π4=cos⁡(π−π4)=−22\displaystyle \cos\frac{3\pi}{4}=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}
  4. Adunăm cele trei valori: 22+0+(−22)\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}+0+\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right). Termenii se reduc și obținem 0\displaystyle 0, deci E(π4)=0\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0.
    22+0+(−22)=0\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}+0+\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x,y)=(x+3y4y−2yx−3y)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x+3y&4y\\-2y&x-3y\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A(1,1))=0\displaystyle \det(A(1,1))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1 în expresia matricei A(x,y)\displaystyle A(x,y).
    A(1,1)=(1+3⋅14⋅1−2⋅11−3⋅1)\displaystyle A(1,1)=\begin{pmatrix}1+3\cdot 1&4\cdot 1\\-2\cdot 1&1-3\cdot 1\end{pmatrix}
  2. Efectuăm calculele din fiecare element al matricei și scriem determinantul ei: 1+3=4\displaystyle 1+3=4, 1−3=−2\displaystyle 1-3=-2.
    A(1,1)=(44−2−2)⇒det⁡(A(1,1))=∣44−2−2∣\displaystyle A(1,1)=\begin{pmatrix}4&4\\-2&-2\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(1,1))=\begin{vmatrix}4&4\\-2&-2\end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul de ordin 2 ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: 4⋅(−2)−4⋅(−2)\displaystyle 4\cdot(-2)-4\cdot(-2).
    det⁡(A(1,1))=4⋅(−2)−4⋅(−2)=−8−(−8)=0\displaystyle \det(A(1,1))=4\cdot(-2)-4\cdot(-2)=-8-(-8)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x,y)=(x+3y4y−2yx−3y)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x+3y&4y\\-2y&x-3y\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Demonstrați că, dacă matricea A(x,y)\displaystyle A(x,y) este inversabilă, atunci ∣x∣≠∣y∣\displaystyle |x|\neq|y|.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Scriem determinantul matricei A(x,y)\displaystyle A(x,y).
    det⁡(A(x,y))=∣x+3y4y−2yx−3y∣\displaystyle \det(A(x,y))=\begin{vmatrix}x+3y&4y\\-2y&x-3y\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(x,y))=(x+3y)(x−3y)−4y⋅(−2y)\displaystyle \det(A(x,y))=(x+3y)(x-3y)-4y\cdot(-2y).
    det⁡(A(x,y))=(x+3y)(x−3y)−4y⋅(−2y)\displaystyle \det(A(x,y))=(x+3y)(x-3y)-4y\cdot(-2y)
  3. Calculăm: (x+3y)(x−3y)=x2−9y2\displaystyle (x+3y)(x-3y)=x^{2}-9y^{2}, iar −4y⋅(−2y)=8y2\displaystyle -4y\cdot(-2y)=8y^{2}. Reducem termenii asemenea: x2−9y2+8y2=x2−y2\displaystyle x^{2}-9y^{2}+8y^{2}=x^{2}-y^{2}.
    det⁡(A(x,y))=x2−9y2+8y2=x2−y2\displaystyle \det(A(x,y))=x^{2}-9y^{2}+8y^{2}=x^{2}-y^{2}
  4. Presupunem că matricea A(x,y)\displaystyle A(x,y) este inversabilă. Atunci determinantul ei este nenul, adică x2−y2≠0\displaystyle x^{2}-y^{2}\neq0.
    x2−y2≠0\displaystyle x^{2}-y^{2}\neq0
  5. Relația x2≠y2\displaystyle x^{2}\neq y^{2} este echivalentă cu ∣x∣≠∣y∣\displaystyle |x|\neq|y|, deoarece x2=∣x∣\displaystyle \sqrt{x^{2}}=|x| și y2=∣y∣\displaystyle \sqrt{y^{2}}=|y|. Deci, dacă matricea A(x,y)\displaystyle A(x,y) este inversabilă, atunci ∣x∣≠∣y∣\displaystyle |x|\neq|y|.
    x2−y2≠0⇔x2≠y2, deci ∣x∣≠∣y∣\displaystyle x^{2}-y^{2}\neq0\Leftrightarrow x^{2}\neq y^{2}\text{, deci }|x|\neq|y|
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x,y)=(x+3y4y−2yx−3y)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x+3y&4y\\-2y&x-3y\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere întregi pentru care A(m,n)⋅A(−m,n)=I2\displaystyle A(m,n)\cdot A(-m,n)=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem cele două matrice: pentru prima luăm x=m\displaystyle x=m, y=n\displaystyle y=n, iar pentru a doua x=−m\displaystyle x=-m, y=n\displaystyle y=n.
    A(m,n)=(m+3n4n−2nm−3n)\displaystyle A(m,n)=\begin{pmatrix}m+3n&4n\\-2n&m-3n\end{pmatrix},A(−m,n)=(−m+3n4n−2n−m−3n)\displaystyle \quad A(-m,n)=\begin{pmatrix}-m+3n&4n\\-2n&-m-3n\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementul de pe linia 1, coloana 1 al produsului, folosind diferența de pătrate (3n+m)(3n−m)=9n2−m2\displaystyle (3n+m)(3n-m)=9n^2-m^2.
    (m+3n)(−m+3n)+4n⋅(−2n)=9n2−m2−8n2=n2−m2\displaystyle (m+3n)(-m+3n)+4n\cdot(-2n)=9n^2-m^2-8n^2=n^2-m^2
  3. Calculăm elementele din afara diagonalei principale. Termenii se reduc și rezultă 0\displaystyle 0 în ambele cazuri.
    (m+3n)⋅4n+4n(−m−3n)=4mn+12n2−4mn−12n2=0−2n(−m+3n)+(m−3n)(−2n)=2mn−6n2−2mn+6n2=0\displaystyle \begin{aligned}(m+3n)\cdot4n+4n(-m-3n)&=4mn+12n^2-4mn-12n^2=0\\-2n(-m+3n)+(m-3n)(-2n)&=2mn-6n^2-2mn+6n^2=0\end{aligned}
  4. Calculăm elementul de pe linia 2, coloana 2: −2n⋅4n+(m−3n)(−m−3n)=−8n2−(m2−9n2)=n2−m2\displaystyle -2n\cdot4n+(m-3n)(-m-3n)=-8n^2-(m^2-9n^2)=n^2-m^2. Așadar produsul are forma:
    A(m,n)⋅A(−m,n)=(n2−m200n2−m2)\displaystyle A(m,n)\cdot A(-m,n)=\begin{pmatrix}n^2-m^2&0\\0&n^2-m^2\end{pmatrix}
  5. Egalăm produsul cu I2\displaystyle I_2. Elementele nule coincid deja, deci rămâne condiția n2−m2=1\displaystyle n^2-m^2=1. Descompunem diferența de pătrate.
    n2−m2=1⇔(n−m)(n+m)=1\displaystyle n^2-m^2=1\Leftrightarrow(n-m)(n+m)=1
  6. Deoarece m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt întregi, n−m\displaystyle n-m și n+m\displaystyle n+m sunt întregi cu produsul 1\displaystyle 1, deci sunt ambele 1\displaystyle 1 sau ambele −1\displaystyle -1. Rezolvăm fiecare sistem.
    {n−m=1n+m=1⇒n=1\displaystyle \begin{cases}n-m=1\\n+m=1\end{cases}\Rightarrow n=1, m=0sau{n−m=−1n+m=−1⇒n=−1\displaystyle \ m=0\qquad\text{sau}\qquad\begin{cases}n-m=-1\\n+m=-1\end{cases}\Rightarrow n=-1, m=0\displaystyle \ m=0
  7. Scriem perechile (m,n)\displaystyle (m,n) obținute. Ele verifică n2−m2=1\displaystyle n^2-m^2=1.
    (m,n)∈{(0,1),(0,−1)}\displaystyle (m,n)\in\{(0,1),(0,-1)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea A=[0,+∞)\displaystyle A=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=4xy−(1−x−y)\displaystyle x\circ y=4^{xy}-(1-x-y).

Arătați că 2∘0=2\displaystyle 2\circ0=2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∘y=4xy−(1−x−y)\displaystyle x\circ y=4^{xy}-(1-x-y) și înlocuim x=2\displaystyle x=2, y=0\displaystyle y=0.
    2∘0=42⋅0−(1−2−0)\displaystyle 2\circ0=4^{2\cdot0}-(1-2-0)
  2. Exponentul este 2⋅0=0\displaystyle 2\cdot0=0, deci 40=1\displaystyle 4^{0}=1. În paranteză avem 1−2−0=−1\displaystyle 1-2-0=-1.
    40−(−1)=1−(−1)\displaystyle 4^{0}-(-1)=1-(-1)
  3. Desfacem paranteza: −(1−2−0)=−1+2+0\displaystyle -(1-2-0)=-1+2+0. Obținem 1−1+2=2\displaystyle 1-1+2=2, deci egalitatea este demonstrată.
    1−1+2=2\displaystyle 1-1+2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea A=[0,+∞)\displaystyle A=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=4xy−(1−x−y)\displaystyle x\circ y=4^{xy}-(1-x-y).

Arătați că x∘1x≥5\displaystyle x\circ\frac{1}{x}\geq5, pentru orice x∈A\displaystyle x\in A, x≠0\displaystyle x\neq0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=1x\displaystyle y=\dfrac{1}{x} în definiția x∘y=4xy−(1−x−y)\displaystyle x\circ y=4^{xy}-(1-x-y). Pentru x≠0\displaystyle x\neq0 avem x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1.
    x∘1x=4x⋅1x−(1−x−1x)=41−1+x+1x\displaystyle x\circ\frac{1}{x}=4^{x\cdot\frac{1}{x}}-\left(1-x-\frac{1}{x}\right)=4^{1}-1+x+\frac{1}{x}
  2. Calculăm: 41=4\displaystyle 4^{1}=4, deci 4−1=3\displaystyle 4-1=3. Scriem apoi 3=−2+5\displaystyle 3=-2+5, ca să apară ulterior un pătrat perfect.
    x∘1x=x+1x+3=x+1x−2+5\displaystyle x\circ\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}+3=x+\frac{1}{x}-2+5
  3. Aducem x\displaystyle x, 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} și −2\displaystyle -2 la numitorul comun x\displaystyle x.
    x+1x−2=x2+1−2xx\displaystyle x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^{2}+1-2x}{x}
  4. La numărător recunoaștem pătratul diferenței: x2−2x+1=(x−1)2\displaystyle x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
    x∘1x=(x−1)2x+5\displaystyle x\circ\frac{1}{x}=\frac{(x-1)^{2}}{x}+5
  5. Deoarece x>0\displaystyle x>0 (căci x∈A\displaystyle x\in A și x≠0\displaystyle x\neq0), iar (x−1)2≥0\displaystyle (x-1)^{2}\geq0, fracția (x−1)2x\displaystyle \dfrac{(x-1)^{2}}{x} este mai mare sau egală cu 0\displaystyle 0. Deci expresia este cel puțin 5\displaystyle 5, cu egalitate pentru x=1\displaystyle x=1.
    x∘1x=(x−1)2x+5≥5\displaystyle x\circ\frac{1}{x}=\frac{(x-1)^{2}}{x}+5\geq5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea A=[0,+∞)\displaystyle A=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=4xy−(1−x−y)\displaystyle x\circ y=4^{xy}-(1-x-y).

Demonstrați că, dacă m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere naturale impare, atunci m∘n\displaystyle m\circ n este număr natural impar.
Vezi rezolvarea
  1. Din definiție, m∘n=4mn−(1−m−n)\displaystyle m\circ n=4^{mn}-(1-m-n), deci, desfăcând parantezele, m∘n=4mn+m+n−1\displaystyle m\circ n=4^{mn}+m+n-1.
    m∘n=4mn+m+n−1\displaystyle m\circ n=4^{mn}+m+n-1
  2. Cum m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere naturale impare, avem m≥1\displaystyle m\geq1 și n≥1\displaystyle n\geq1, deci mn≥1\displaystyle mn\geq1. Astfel mn\displaystyle mn este număr natural nenul.
    m≥1 și n≥1⇒mn≥1\displaystyle m\geq1\text{ și }n\geq1\Rightarrow mn\geq1
  3. Pentru k=mn≥1\displaystyle k=mn\geq1 putem scrie 4k=4⋅4k−1\displaystyle 4^{k}=4\cdot4^{k-1}, cu 4k−1\displaystyle 4^{k-1} număr natural. Deci 4mn\displaystyle 4^{mn} este multiplu de 4, în particular număr natural par.
    4mn=4⋅4mn−1, deci 4mn este numa˘r natural par\displaystyle 4^{mn}=4\cdot4^{mn-1}\text{, deci }4^{mn}\text{ este număr natural par}
  4. Suma m+n\displaystyle m+n a două numere impare este pară, deci m+n−1\displaystyle m+n-1 este număr natural impar. Adunând numărul par 4mn\displaystyle 4^{mn} la un număr impar, obținem un număr impar. Deci m∘n=4mn+m+n−1\displaystyle m\circ n=4^{mn}+m+n-1 este număr natural impar.
    m∘n=4mn+m+n−1 este numa˘r natural impar\displaystyle m\circ n=4^{mn}+m+n-1\text{ este număr natural impar}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3ln⁡x\displaystyle f(x)=x^3-3\ln x.

Arătați că f′(x)=3(x−1)(x2+x+1)x\displaystyle f'(x)=\frac{3(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, iar (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, deci f′(x)=3x2−3⋅1x\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3\cdot\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=3x2−3⋅1x\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3\cdot\dfrac{1}{x}
  2. Aducem expresia la numitorul comun x\displaystyle x: 3x2−3x=3x3−3x\displaystyle 3x^{2}-\dfrac{3}{x}=\dfrac{3x^{3}-3}{x}. Scoatem factor comun 3\displaystyle 3 la numărător.
    f′(x)=3(x3−1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{3\left(x^{3}-1\right)}{x}
  3. Descompunem diferența de cuburi după formula a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right), cu a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1: x3−1=(x−1)(x2+x+1)\displaystyle x^{3}-1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right). Obținem forma cerută, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=3(x3−1)x=3(x−1)(x2+x+1)x, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{3\left(x^{3}-1\right)}{x}=\dfrac{3(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3ln⁡x\displaystyle f(x)=x^3-3\ln x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1): înlocuim x=1\displaystyle x=1 și folosim faptul că ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci f(1)=13−3ln⁡1=1−0\displaystyle f(1)=1^3-3\ln 1=1-0.
    f(1)=13−3ln⁡1=1\displaystyle f(1)=1^{3}-3\ln 1=1
  3. Derivăm funcția f\displaystyle f: (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2 și (3ln⁡x)′=3x\displaystyle (3\ln x)'=\dfrac{3}{x}, deci f′(x)=3x2−3x\displaystyle f'(x)=3x^2-\dfrac{3}{x}, pentru x>0\displaystyle x>0.
    f′(x)=3x2−3x\displaystyle f'(x)=3x^{2}-\dfrac{3}{x}
  4. Calculăm f′(1)=3⋅12−31=3−3=0\displaystyle f'(1)=3\cdot 1^2-\dfrac{3}{1}=3-3=0. Avem deci f(1)=1\displaystyle f(1)=1 și f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1, f′(1)=0\displaystyle \ f'(1)=0
  5. Înlocuim în formula tangentei: y−1=0⋅(x−1)\displaystyle y-1=0\cdot(x-1), adică y−1=0\displaystyle y-1=0. Tangenta este dreapta orizontală y=1\displaystyle y=1.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y=1\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3ln⁡x\displaystyle f(x)=x^3-3\ln x.

Demonstrați că x3≥3ln⁡x+1\displaystyle x^3\geq3\ln x+1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Inegalitatea x3≥3ln⁡x+1\displaystyle x^3\geq 3\ln x+1 este echivalentă cu x3−3ln⁡x≥1\displaystyle x^3-3\ln x\geq 1, adică f(x)≥1\displaystyle f(x)\geq 1. Vom arăta că valoarea minimă a lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) este 1\displaystyle 1.
    f(x)≥1\displaystyle f(x)\geq 1, ∀x∈(0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)
  2. Calculăm derivata lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2 și (3ln⁡x)′=3x\displaystyle (3\ln x)'=\dfrac{3}{x}.
    f′(x)=3x2−3x=3(x3−1)x\displaystyle f'(x)=3x^2-\dfrac{3}{x}=\dfrac{3\left(x^3-1\right)}{x}
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Cum x>0\displaystyle x>0, fracția este nulă când x3−1=0\displaystyle x^3-1=0, adică x3=1\displaystyle x^3=1.
    f′(x)=0⇔x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1
  4. Studiem semnul derivatei. Numitorul x\displaystyle x este pozitiv, deci semnul lui f′\displaystyle f' este semnul lui x3−1\displaystyle x^3-1. Pentru x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1) avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, deci f\displaystyle f este descrescătoare. Pentru x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty) avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, deci f\displaystyle f este crescătoare.
    f descresca˘toare pe (0,1] și cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(0,1]\text{ și crescătoare pe }[1,+\infty)
  5. Din monotonie rezultă că f\displaystyle f are minim global în x=1\displaystyle x=1. Calculăm f(1)=13−3ln⁡1=1−0=1\displaystyle f(1)=1^3-3\ln 1=1-0=1.
    f(1)=13−3ln⁡1=1\displaystyle f(1)=1^3-3\ln 1=1
  6. Deoarece 1\displaystyle 1 este valoarea minimă, f(x)≥f(1)=1\displaystyle f(x)\geq f(1)=1 pentru orice x>0\displaystyle x>0. Adică x3−3ln⁡x≥1\displaystyle x^3-3\ln x\geq 1, deci x3≥3ln⁡x+1\displaystyle x^3\geq 3\ln x+1, ceea ce trebuia demonstrat.
    f(x)≥f(1)=1, deci x3≥3ln⁡x+1\displaystyle f(x)\geq f(1)=1\text{, deci }x^3\geq 3\ln x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Arătați că ∫02f(x)exdx=2\displaystyle \int_0^2\frac{f(x)}{e^x}dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x în integrala cerută: ∫02f(x)exdx=∫02xexexdx\displaystyle \int_0^2\dfrac{f(x)}{e^x}dx=\int_0^2\dfrac{xe^x}{e^x}dx.
    ∫02xexex dx\displaystyle \int_0^2\frac{xe^x}{e^x}\,dx
  2. Deoarece ex≠0\displaystyle e^x\neq 0 pentru orice x\displaystyle x real, simplificăm fracția prin ex\displaystyle e^x și obținem xexex=x\displaystyle \dfrac{xe^x}{e^x}=x. Integrala devine ∫02x dx\displaystyle \int_0^2 x\,dx.
    ∫02x dx\displaystyle \int_0^2 x\,dx
  3. O primitivă a funcției x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫02x dx=x22∣02\displaystyle \int_0^2 x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\Big|_0^2.
    ∫02f(x)exdx=∫02x dx=x22∣02\displaystyle \int_0^2\frac{f(x)}{e^x}dx=\int_0^2x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_0^2
  4. Calculăm diferența valorilor primitivei în capetele intervalului: 222−022=2−0=2\displaystyle \dfrac{2^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}=2-0=2. Deci integrala este egală cu 2.
    222−022=2−0=2\displaystyle \frac{2^2}{2}-\frac{0^2}{2}=2-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Arătați că ∫−11(f(x)+ex)dx=e2+1e\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)+e^x\right)dx=\frac{e^2+1}{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x în integrală și obținem integrala de calculat.
    ∫−11(xex+ex)dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(xe^x+e^x\right)dx
  2. Calculăm derivata lui xex\displaystyle xe^x cu formula pentru derivata unui produs: (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x.
    (xex)′=1⋅ex+x⋅ex=xex+ex\displaystyle \left(xe^x\right)'=1\cdot e^x+x\cdot e^x=xe^x+e^x
  3. Deoarece xex+ex=(xex)′\displaystyle xe^x+e^x=\left(xe^x\right)', funcția xex\displaystyle xe^x este o primitivă a integrandului. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫−11(xex+ex)dx=∫−11(xex)′dx=xex∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(xe^x+e^x\right)dx=\int_{-1}^{1}\left(xe^x\right)'dx=xe^x\Big|_{-1}^{1}
  4. Calculăm primitiva în limitele de integrare: 1⋅e1=e\displaystyle 1\cdot e^{1}=e și (−1)⋅e−1=−e−1\displaystyle (-1)\cdot e^{-1}=-e^{-1}. Scădem valoarea de la limita inferioară din cea de la limita superioară.
    xex∣−11=1⋅e−(−1)⋅e−1=e+e−1\displaystyle xe^x\Big|_{-1}^{1}=1\cdot e-(-1)\cdot e^{-1}=e+e^{-1}
  5. Aducem la același numitor: e+1e=e2+1e\displaystyle e+\dfrac{1}{e}=\dfrac{e^2+1}{e}, ceea ce trebuia arătat.
    e+e−1=e2+1e\displaystyle e+e^{-1}=\frac{e^2+1}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Demonstrați că ∫−1−a−1+af(x)dx≥−2ae\displaystyle \int_{-1-a}^{-1+a}f(x)dx\geq-\frac{2a}{e}, pentru orice a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x cu regula produsului: (xex)′=1⋅ex+x⋅ex\displaystyle (xe^x)'=1\cdot e^x+x\cdot e^x.
    f′(x)=(x+1)ex\displaystyle f'(x)=(x+1)e^x
  2. Cum ex>0\displaystyle e^x>0, avem f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 doar dacă x+1=0\displaystyle x+1=0.
    f′(x)=0⇔x=−1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1
  3. Semnul lui f′\displaystyle f' este cel al lui x+1\displaystyle x+1: pentru x<−1\displaystyle x<-1 avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, deci f\displaystyle f este descrescătoare, iar pentru x>−1\displaystyle x>-1 avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, deci f\displaystyle f este crescătoare. Rezultă că x=−1\displaystyle x=-1 este punct de minim global.
    f(x)≥f(−1), pentru orice x∈R\displaystyle f(x)\geq f(-1)\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  4. Calculăm f(−1)=(−1)⋅e−1\displaystyle f(-1)=(-1)\cdot e^{-1}.
    f(−1)=−1e\displaystyle f(-1)=-\frac{1}{e}
  5. Pentru a>0\displaystyle a>0 avem −1−a<−1+a\displaystyle -1-a<-1+a, deci putem integra inegalitatea f(x)≥−1e\displaystyle f(x)\geq-\dfrac{1}{e} pe [−1−a,−1+a]\displaystyle [-1-a,-1+a].
    ∫−1−a−1+af(x)dx≥−1e∫−1−a−1+adx\displaystyle \int_{-1-a}^{-1+a}f(x)dx\geq-\frac{1}{e}\int_{-1-a}^{-1+a}dx
  6. Calculăm ∫−1−a−1+adx=x∣−1−a−1+a=(−1+a)−(−1−a)=2a\displaystyle \int_{-1-a}^{-1+a}dx=x\Big|_{-1-a}^{-1+a}=(-1+a)-(-1-a)=2a, deci inegalitatea devine cea cerută.
    ∫−1−a−1+af(x)dx≥−1e⋅x∣−1−a−1+a=−2ae\displaystyle \int_{-1-a}^{-1+a}f(x)dx\geq-\frac{1}{e}\cdot x\Big|_{-1-a}^{-1+a}=-\frac{2a}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.