Bac matematică M2 științe ale naturii 2011, sesiunea a II-a rezervă varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Calculați

\displaystyle \log_6 3+\log_6 12

.

Vezi rezolvarea

Observăm că cei doi logaritmi au aceeași bază, $\displaystyle 6$ , deci putem folosi formula $\displaystyle \log_a x+\log_a y=\log_a (x\cdot y)$ , valabilă pentru $\displaystyle x>0$ și $\displaystyle y>0$ .
$\displaystyle \log_6 3+\log_6 12=\log_6 (3\cdot 12)$
Calculăm produsul $\displaystyle 3\cdot 12=36$ .
$\displaystyle \log_6 3+\log_6 12=\log_6 36$
Scriem $\displaystyle 36$ ca putere a bazei: $\displaystyle 36=6^{2}$ .
$\displaystyle \log_6 36=\log_6 6^{2}$
Folosim faptul că $\displaystyle \log_a a^{n}=n$ . Obținem rezultatul $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \log_6 6^{2}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x^2-x+3

.

Vezi rezolvarea

Identificăm coeficienții funcției $\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c$ : $\displaystyle a=2$ , $\displaystyle b=-1$ , $\displaystyle c=3$ .
$\displaystyle a=2$ , $\displaystyle \ b=-1$ , $\displaystyle \ c=3$
Vârful parabolei are abscisa $\displaystyle x_V=-\dfrac{b}{2a}$ . Înlocuim $\displaystyle a=2$ și $\displaystyle b=-1$ : $\displaystyle x_V=-\dfrac{-1}{2\cdot 2}$ .
$\displaystyle x_V=-\frac{-1}{4}=\frac{1}{4}$
Calculăm discriminantul $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\cdot 2\cdot 3=1-24$ .
$\displaystyle \Delta=-23$
Ordonata vârfului este $\displaystyle y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}$ . Înlocuim $\displaystyle \Delta=-23$ și $\displaystyle a=2$ : $\displaystyle y_V=-\dfrac{-23}{8}=\dfrac{23}{8}$ . Prin urmare, vârful parabolei este $\displaystyle V\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{23}{8}\right)$ .
$\displaystyle V\left(\frac{1}{4},\frac{23}{8}\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 7^x+7^{x+1}=392

.

Vezi rezolvarea

Folosim proprietatea puterilor: $\displaystyle 7^{x+1}=7^x\cdot 7$ . Rescriem ecuația astfel.
$\displaystyle 7^x+7^x\cdot 7=392$
Scoatem factor comun pe $\displaystyle 7^x$ și calculăm suma din paranteză: $\displaystyle 1+7=8$ .
$\displaystyle 7^x(1+7)=392\Leftrightarrow 7^x\cdot 8=392$
Împărțim ambii membri la $\displaystyle 8$ . Cum $\displaystyle 392:8=49$ , obținem $\displaystyle 7^x=49$ .
$\displaystyle 7^x=49$
Scriem $\displaystyle 49=7^2$ și egalăm exponenții, deoarece funcția exponențială cu baza $\displaystyle 7$ este injectivă: $\displaystyle 7^x=7^2$ .
$\displaystyle x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați

\displaystyle n\in\mathbb{N}

,

\displaystyle n\ge 2

, pentru care

\displaystyle C_n^2=4A_n^1

.

Vezi rezolvarea

Scriem combinările și aranjamentele cu formulele lor: $\displaystyle C_n^2=\dfrac{n!}{2!(n-2)!}$ și $\displaystyle A_n^1=\dfrac{n!}{(n-1)!}$ . Ecuația devine $\displaystyle \frac{n!}{2!(n-2)!}=4\cdot\frac{n!}{(n-1)!}$ .
$\displaystyle \frac{n!}{2!(n-2)!}=4\cdot\frac{n!}{(n-1)!}$
Simplificăm factorialele: $\displaystyle \dfrac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)$ și $\displaystyle \dfrac{n!}{(n-1)!}=n$ . Obținem $\displaystyle \dfrac{n(n-1)}{2}=4n$ .
$\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=4n$
Cum $\displaystyle n\ge 2$ , avem $\displaystyle n\neq 0$ , deci împărțim ecuația la $\displaystyle n$ :
$\displaystyle \frac{n-1}{2}=4$
Înmulțim cu $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle n-1=8$ , deci $\displaystyle n=9$ , valoare care îndeplinește condiția $\displaystyle n\ge 2$ .
$\displaystyle n=9$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(0,-2)

și

\displaystyle B(4,m)

, unde

\displaystyle m\in\mathbb{R}

. Determinați valorile lui

\displaystyle m

pentru care

\displaystyle AB=5

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula distanței dintre punctele $\displaystyle A(x_A,y_A)$ și $\displaystyle B(x_B,y_B)$ : $\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ .
$\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Înlocuim $\displaystyle A(0,-2)$ și $\displaystyle B(4,m)$ și impunem $\displaystyle AB=5$ . Avem $\displaystyle y_B-y_A=m-(-2)=m+2$ .
$\displaystyle \sqrt{(4-0)^2+(m+2)^2}=5$
Ridicăm la pătrat ambii membri (sunt pozitivi): $\displaystyle 16+(m+2)^2=25$ .
$\displaystyle 16+(m+2)^2=25$
Dezvoltăm: $\displaystyle 16+m^2+4m+4=25$ , deci $\displaystyle m^2+4m+20-25=0$ .
$\displaystyle m^2+4m-5=0$
Pentru $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=4$ , $\displaystyle c=-5$ avem $\displaystyle \Delta=b^2-4ac=16+20=36$ .
$\displaystyle \Delta=36$
Rădăcinile sunt $\displaystyle m=\dfrac{-4\pm 6}{2}$ , adică $\displaystyle m=-5$ sau $\displaystyle m=1$ . Ambele convin.
$\displaystyle m=-5\text{ sau }m=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați

\displaystyle \cos 40^\circ+\cos 140^\circ

.

Vezi rezolvarea

Observăm că unghiurile $\displaystyle 40^\circ$ și $\displaystyle 140^\circ$ sunt suplementare, deoarece $\displaystyle 40^\circ+140^\circ=180^\circ$ . Vom folosi formula $\displaystyle \cos(180^\circ-x)=-\cos x$ .
$\displaystyle 40^\circ+140^\circ=180^\circ$
Scriem $\displaystyle 140^\circ=180^\circ-40^\circ$ și aplicăm formula: $\displaystyle \cos 140^\circ=\cos(180^\circ-40^\circ)=-\cos 40^\circ$ .
$\displaystyle \cos 140^\circ=\cos(180^\circ-40^\circ)=-\cos 40^\circ$
Înlocuim în suma din enunț: $\displaystyle \cos 40^\circ+\cos 140^\circ=\cos 40^\circ+\left(-\cos 40^\circ\right)=0$ .
$\displaystyle \cos 40^\circ+\cos 140^\circ=\cos 40^\circ-\cos 40^\circ=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix} m & -1 & 1\\ 1 & m & -1\\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases} mx-y+z=0\\ x+my-z=0\\ x-2y+z=0\end{cases}

, unde

\displaystyle m

este parametru real.

Calculați determinantul matricei

\displaystyle A

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm produsele de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: $\displaystyle m\cdot m\cdot 1$ , apoi $\displaystyle (-1)\cdot(-1)\cdot 1$ , apoi $\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-2)$ .
$\displaystyle m^{2}+1-2$
Calculăm produsele de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea, care se scad: $\displaystyle 1\cdot m\cdot 1=m$ , apoi $\displaystyle m\cdot(-1)\cdot(-2)=2m$ , apoi $\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot 1=-1$ .
$\displaystyle m+2m-1$
Scădem suma produselor de pe diagonala secundară din suma produselor de pe diagonala principală și scriem determinantul: $\displaystyle \det A=(m^{2}+1-2)-(m+2m-1)$ , adică termenii se scriu pe rând, cu semnele schimbate pentru al doilea grup.
$\displaystyle \det A=m^{2}-2+1-m-2m+1$
Reducem termenii asemenea: constantele $\displaystyle -2+1+1=0$ , iar $\displaystyle -m-2m=-3m$ . Rezultă determinantul matricei $\displaystyle A$ .
$\displaystyle \det A=m^{2}-3m$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix} m & -1 & 1\\ 1 & m & -1\\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases} mx-y+z=0\\ x+my-z=0\\ x-2y+z=0\end{cases}

, unde

\displaystyle m

este parametru real.

Determinați valorile reale ale lui

\displaystyle m

pentru care tripletul

\displaystyle (-1,2,5)

este soluție a sistemului.

Vezi rezolvarea

Tripletul $\displaystyle (-1,2,5)$ este soluție dacă verifică toate cele trei ecuații. Înlocuim $\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle y=2$ , $\displaystyle z=5$ în prima ecuație: $\displaystyle mx-y+z=0$ .
$\displaystyle -m-2+5=0$
Înlocuim aceleași valori în a doua ecuație: $\displaystyle x+my-z=0$ .
$\displaystyle -1+2m-5=0$
Înlocuim în a treia ecuație, $\displaystyle x-2y+z=0$ , care nu depinde de $\displaystyle m$ : $\displaystyle -1-4+5=0$ , deci este adevărată pentru orice $\displaystyle m$ . Obținem sistemul de condiții de mai jos.
$\displaystyle \begin{cases}-m-2+5=0\\ -1+2m-5=0\\ -1-4+5=0\end{cases}$
Din prima ecuație, $\displaystyle -m+3=0$ , deci $\displaystyle m=3$ .
$\displaystyle m=3$
Verificăm a doua ecuație: $\displaystyle 2m-6=0$ conduce tot la $\displaystyle m=3$ . Cele două ecuații sunt compatibile, deci singura valoare este $\displaystyle m=3$ .
$\displaystyle m=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix} m & -1 & 1\\ 1 & m & -1\\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\displaystyle \begin{cases} mx-y+z=0\\ x+my-z=0\\ x-2y+z=0\end{cases}

, unde

\displaystyle m

este parametru real.

Determinați valorile reale ale lui

\displaystyle m

pentru care sistemul admite doar soluția

\displaystyle (0,0,0)

.

Vezi rezolvarea

Sistemul este omogen, deci are mereu soluția $\displaystyle (0,0,0)$ . Aceasta este singura soluție exact când determinantul matricei sistemului este nenul: $\displaystyle \det A\neq 0$ .
$\displaystyle \det A\neq 0$
Dezvoltăm determinantul după prima linie: $\displaystyle \det A=m\cdot\begin{vmatrix} m & -1\\ -2 & 1\end{vmatrix}-(-1)\cdot\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix} 1 & m\\ 1 & -2\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \det A=m(m-2)+2+(-2-m)$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle m^{2}-2m+2-2-m=m^{2}-3m$ , adică $\displaystyle m(m-3)$ .
$\displaystyle \det A=m^{2}-3m=m(m-3)$
Impunem $\displaystyle m(m-3)\neq 0$ . Produsul este nenul când niciun factor nu este zero, deci $\displaystyle m\neq 0$ și $\displaystyle m\neq 3$ . Pentru $\displaystyle m=0$ sau $\displaystyle m=3$ sistemul ar avea și soluții nenule.
$\displaystyle m\neq 0\text{ și }m\neq 3$
Sistemul admite doar soluția $\displaystyle (0,0,0)$ pentru $\displaystyle m\in\mathbb{R}\setminus\{0,3\}$ .
$\displaystyle m\in\mathbb{R}\setminus\{0,3\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle \mathbb{R}

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy+x+y

.

Arătați că legea „

\displaystyle *

” este asociativă.

Vezi rezolvarea

Legea este asociativă dacă pentru orice $\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}$ avem $\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)$ . Calculăm separat cele două părți. Începem cu $\displaystyle x*y=xy+x+y$ .
$\displaystyle x*y=xy+x+y$
Folosim definiția legii cu primul element $\displaystyle x*y$ și al doilea $\displaystyle z$ : $\displaystyle (x*y)*z=(x*y)\cdot z+(x*y)+z$ . Înlocuim $\displaystyle x*y$ cu $\displaystyle xy+x+y$ .
$\displaystyle (x*y)*z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z$
Desfacem parantezele și obținem forma dezvoltată a primei părți.
$\displaystyle (x*y)*z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z$
Calculăm acum partea a doua. Mai întâi $\displaystyle y*z=yz+y+z$ . Apoi folosim definiția cu primul element $\displaystyle x$ și al doilea $\displaystyle y*z$ : $\displaystyle x*(y*z)=x\cdot(y*z)+x+(y*z)$ .
$\displaystyle x*(y*z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)$
Desfacem parantezele și obținem forma dezvoltată a celei de-a doua părți.
$\displaystyle x*(y*z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+z$
Comparăm cele două expresii. Ambele conțin aceiași termeni: $\displaystyle xyz$ , $\displaystyle xy$ , $\displaystyle xz$ , $\displaystyle yz$ , $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ , $\displaystyle z$ , doar în altă ordine. Deci sunt egale pentru orice $\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}$ , adică legea „ $\displaystyle *$ ” este asociativă.
$\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)$ , $\displaystyle \ \forall x$ , $\displaystyle y$ , $\displaystyle z\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle \mathbb{R}

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy+x+y

.

Determinați elementul neutru al legii „

\displaystyle *

”.

Vezi rezolvarea

Elementul neutru $\displaystyle e$ trebuie să satisfacă $\displaystyle x*e=e*x=x$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Legea este comutativă, deoarece $\displaystyle xy+x+y$ este simetrică în $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ , deci $\displaystyle e*x=x*e$ . Calculăm $\displaystyle x*e$ conform definiției.
$\displaystyle x*e=e*x=xe+x+e$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Impunem condiția $\displaystyle x*e=x$ , adică $\displaystyle xe+x+e=x$ .
$\displaystyle xe+x+e=x$
Scădem $\displaystyle x$ din ambii membri și obținem $\displaystyle ex+e=0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle ex+e=0$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Dăm factor comun pe $\displaystyle e$ : $\displaystyle e(x+1)=0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Alegem o valoare particulară, de exemplu $\displaystyle x=0$ , și obținem $\displaystyle e=0$ .
$\displaystyle e(x+1)=0\Rightarrow e=0$
Verificare: $\displaystyle x*0=x\cdot 0+x+0=x$ și $\displaystyle 0*x=x$ , deci $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii.
$\displaystyle e=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle \mathbb{R}

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy+x+y

.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle x^2*2=x*4

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm legea $\displaystyle x*y=xy+x+y$ pentru membrul stâng, cu $\displaystyle x^{2}$ în locul lui $\displaystyle x$ și $\displaystyle 2$ în locul lui $\displaystyle y$ : $\displaystyle x^{2}*2=x^{2}\cdot 2+x^{2}+2$ , adică $\displaystyle 3x^{2}+2$ .
$\displaystyle x^{2}*2=2x^{2}+x^{2}+2=3x^{2}+2$
Aplicăm legea pentru membrul drept: $\displaystyle x*4=x\cdot 4+x+4$ , adică $\displaystyle 5x+4$ .
$\displaystyle x*4=4x+x+4=5x+4$
Egalăm cele două expresii: $\displaystyle 3x^{2}+2=5x+4$ . Mutăm toți termenii în membrul stâng și obținem ecuația de gradul al doilea $\displaystyle 3x^{2}-5x-2=0$ .
$\displaystyle 3x^{2}-5x-2=0$
Calculăm discriminantul, cu $\displaystyle a=3$ , $\displaystyle b=-5$ , $\displaystyle c=-2$ : $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=25+24=49$ , deci $\displaystyle \sqrt{\Delta}=7$ .
$\displaystyle \Delta=(-5)^{2}-4\cdot 3\cdot(-2)=49$
Aplicăm formula $\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5\pm 7}{6}$ . Obținem $\displaystyle x_1=\dfrac{5-7}{6}=-\dfrac{1}{3}$ și $\displaystyle x_2=\dfrac{5+7}{6}=2$ , ambele numere reale.
$\displaystyle x_1=-\frac{1}{3}\text{ și }x_2=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{(x-1)^2}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{-x-5}{(x-1)^3}

, oricare ar fi

\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un cât de două funcții derivabile pe $\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{1\}$ , deci aplicăm formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u(x)=x+2$ și $\displaystyle v(x)=(x-1)^{2}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+2)'(x-1)^{2}-(x+2)\left((x-1)^{2}\right)'}{\left((x-1)^{2}\right)^{2}}$
Calculăm derivatele: $\displaystyle u'(x)=1$ , iar $\displaystyle v'(x)=2(x-1)\cdot(x-1)'=2(x-1)$ .
$\displaystyle u'(x)=1$ , $\displaystyle \quad v'(x)=2(x-1)$
Înlocuim în formulă; numitorul devine $\displaystyle \left((x-1)^{2}\right)^{2}=(x-1)^{4}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)^{2}-2(x-1)(x+2)}{(x-1)^{4}}$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$
La numărător dăm factor comun pe $\displaystyle x-1$ : $\displaystyle (x-1)^{2}-2(x-1)(x+2)=(x-1)\left[(x-1)-2(x+2)\right]$ .
$\displaystyle (x-1)\left[(x-1)-2(x+2)\right]$
Calculăm paranteza dreaptă: $\displaystyle (x-1)-2(x+2)=x-1-2x-4=-x-5$ .
$\displaystyle (x-1)(-x-5)$
Simplificăm fracția prin $\displaystyle x-1$ , care este nenul pentru $\displaystyle x\neq 1$ : $\displaystyle \dfrac{(x-1)(-x-5)}{(x-1)^{4}}=\dfrac{-x-5}{(x-1)^{3}}$ , adică exact ce trebuia arătat.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x-5}{(x-1)^{3}}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{(x-1)^2}

.

Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Funcția nu este definită în $\displaystyle x=1$ , deoarece acolo se anulează numitorul $\displaystyle (x-1)^{2}$ . Aici putem avea asimptotă verticală, deci calculăm limitele laterale în acest punct.
$\displaystyle x=1\text{ este punct de verificat}$
Când $\displaystyle x\to 1$ , numărătorul $\displaystyle x+2$ tinde la $\displaystyle 3>0$ , iar numitorul $\displaystyle (x-1)^{2}$ tinde la $\displaystyle 0$ rămânând strict pozitiv, atât pentru $\displaystyle x<1$ , cât și pentru $\displaystyle x>1$ , deoarece este un pătrat.
$\displaystyle x+2\to 3$ , $\displaystyle \quad (x-1)^{2}\to 0^{+}$
Raportul dintre un număr care tinde la $\displaystyle 3$ și un număr pozitiv care tinde la $\displaystyle 0$ tinde la $\displaystyle +\infty$ . Limitele laterale sunt egale, deci limita în $\displaystyle 1$ este $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x+2}{(x-1)^{2}}=+\infty$
Deoarece limita în $\displaystyle x=1$ este infinită, dreapta de ecuație $\displaystyle x=1$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$ . Funcția este definită pe $\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{1\}$ , deci nu există alte puncte de acest fel.
$\displaystyle x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{(x-1)^2}

.

Arătați că

\displaystyle f(x)+\frac{1}{12}\ge 0

, oricare ar fi

\displaystyle x\in(-\infty,1)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției pe $\displaystyle (-\infty,1)$ cu formula derivatei unui cât: $\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+2)'(x-1)^{2}-(x+2)\left((x-1)^{2}\right)'}{(x-1)^{4}}=\dfrac{(x-1)^{2}-2(x+2)(x-1)}{(x-1)^{4}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)^{2}-2(x+2)(x-1)}{(x-1)^{4}}$
Simplificăm fracția prin $\displaystyle x-1$ : $\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)-2(x+2)}{(x-1)^{3}}=\dfrac{-x-5}{(x-1)^{3}}$ .
$\displaystyle f'(x)=-\dfrac{x+5}{(x-1)^{3}}$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ . Fracția este nulă doar când numărătorul este nul: $\displaystyle x+5=0$ , deci $\displaystyle x=-5$ , valoare care aparține intervalului $\displaystyle (-\infty,1)$ .
$\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=-5$
Studiem semnul derivatei pe $\displaystyle (-\infty,1)$ . Aici $\displaystyle x-1<0$ , deci $\displaystyle (x-1)^{3}<0$ și $\displaystyle f'(x)=\dfrac{x+5}{(1-x)^{3}}$ , cu $\displaystyle (1-x)^{3}>0$ . Semnul lui $\displaystyle f'(x)$ este același cu semnul lui $\displaystyle x+5$ : pentru $\displaystyle x<-5$ avem $\displaystyle f'(x)<0$ , iar pentru $\displaystyle -5<x<1$ avem $\displaystyle f'(x)>0$ .
$\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,-5]$ , $\displaystyle \quad f\text{ crescătoare pe }[-5,1)$
Deoarece $\displaystyle f$ scade pe $\displaystyle (-\infty,-5]$ și crește pe $\displaystyle [-5,1)$ , punctul $\displaystyle x=-5$ este punct de minim global pe $\displaystyle (-\infty,1)$ .
$\displaystyle x=-5\text{ punct de minim global pe }(-\infty,1)$
Calculăm valoarea minimă: $\displaystyle f(-5)=\dfrac{-5+2}{(-5-1)^{2}}=\dfrac{-3}{36}=-\dfrac{1}{12}$ .
$\displaystyle f(-5)=-\dfrac{1}{12}$
Cum $\displaystyle -5$ este punct de minim global, $\displaystyle f(x)\ge f(-5)=-\dfrac{1}{12}$ pentru orice $\displaystyle x\in(-\infty,1)$ . Adunând $\displaystyle \dfrac{1}{12}$ la ambii membri obținem inegalitatea cerută.
$\displaystyle f(x)\ge f(-5)\Rightarrow f(x)\ge-\dfrac{1}{12}\Rightarrow f(x)+\dfrac{1}{12}\ge 0$ , $\displaystyle \ \forall x\in(-\infty,1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{\ln x}{x}, & x>1\\ \frac{x-1}{x}, & 0<x\le 1\end{cases}

.

Calculați

\displaystyle \int_2^e\frac{f(x)}{\ln x}\,dx

.

Vezi rezolvarea

Pe intervalul $\displaystyle [2,e]$ avem $\displaystyle x>1$ , deci se folosește prima ramură a funcției: $\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ .
$\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ , $\displaystyle \ \forall x\in[2,e]$
Pe $\displaystyle [2,e]$ avem $\displaystyle \ln x>0$ , deci putem împărți: $\displaystyle \dfrac{f(x)}{\ln x}=\dfrac{\ln x}{x\cdot\ln x}=\dfrac{1}{x}$ . Integrala devine $\displaystyle \int_2^e\dfrac{1}{x}\,dx$ .
$\displaystyle \int_2^e\frac{f(x)}{\ln x}\,dx=\int_2^e\frac{1}{x}\,dx$
O primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ este $\displaystyle \ln x$ , deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \int_2^e\frac{1}{x}\,dx=\ln x\Big|_2^e$
Înlocuim limitele: $\displaystyle \ln x\Big|_2^e=\ln e-\ln 2$ , iar $\displaystyle \ln e=1$ . Rezultatul este $\displaystyle 1-\ln 2$ .
$\displaystyle 1-\ln 2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{\ln x}{x}, & x>1\\ \frac{x-1}{x}, & 0<x\le 1\end{cases}

.

Fie

\displaystyle g:(0,1]\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=f(x)

. Determinați primitiva funcției

\displaystyle g

, primitivă al cărei grafic conține punctul

\displaystyle A(1,5)

.

Vezi rezolvarea

Pe intervalul $\displaystyle (0,1]$ funcția $\displaystyle f$ are expresia $\displaystyle \dfrac{x-1}{x}$ , deci $\displaystyle g$ are aceeași expresie.
$\displaystyle g(x)=\dfrac{x-1}{x}$ , $\displaystyle \ x\in(0,1]$
Împărțim fracția termen cu termen: $\displaystyle \dfrac{x-1}{x}=\dfrac{x}{x}-\dfrac{1}{x}$ .
$\displaystyle g(x)=1-\dfrac{1}{x}$
Integrăm termen cu termen: primitiva lui $\displaystyle 1$ este $\displaystyle x$ , iar primitiva lui $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ pe $\displaystyle (0,1]$ este $\displaystyle \ln x$ , deoarece $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle \int g(x)\,dx=x-\ln x+C$
Primitivele lui $\displaystyle g$ sunt toate funcțiile de forma de mai sus, cu $\displaystyle c$ număr real oarecare.
$\displaystyle G(x)=x-\ln x+c$ , $\displaystyle \ c\in\mathbb{R}$
Graficul lui $\displaystyle G$ conține punctul $\displaystyle A(1,5)$ , deci $\displaystyle G(1)=5$ . Înlocuim $\displaystyle x=1$ , iar $\displaystyle \ln 1=0$ : $\displaystyle 1-0+c=5$ .
$\displaystyle 1-\ln 1+c=5\Rightarrow c=4$
Înlocuim $\displaystyle c=4$ în forma generală a primitivei și obținem primitiva cerută.
$\displaystyle G(x)=x-\ln x+4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{\ln x}{x}, & x>1\\ \frac{x-1}{x}, & 0<x\le 1\end{cases}

.

Calculați

\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{e}f(x)\,dx

.

Vezi rezolvarea

Funcția are expresii diferite pe $\displaystyle (0,1]$ și pe $\displaystyle (1,+\infty)$ , iar intervalul $\displaystyle \left[\dfrac{1}{2},e\right]$ conține punctul $\displaystyle 1$ . Împărțim integrala în punctul $\displaystyle 1$ : pe $\displaystyle \left[\dfrac{1}{2},1\right]$ folosim $\displaystyle \dfrac{x-1}{x}$ , iar pe $\displaystyle [1,e]$ folosim $\displaystyle \dfrac{\ln x}{x}$ .
$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{e}f(x)\,dx=\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{x-1}{x}\,dx+\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx$
Prima integrală: separăm fracția în diferență, $\displaystyle \dfrac{x-1}{x}=1-\dfrac{1}{x}$ .
$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1-\frac{1}{x}\right)dx$
Aflăm primitiva $\displaystyle x-\ln x$ și aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în $\displaystyle 1$ minus valoarea în $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ . Folosim $\displaystyle \ln\dfrac{1}{2}=-\ln 2$ .
$\displaystyle \left(x-\ln x\right)\Big|_{\frac{1}{2}}^{1}=1-0-\left(\frac{1}{2}+\ln 2\right)=\frac{1}{2}-\ln 2$
A doua integrală: observăm că $\displaystyle \dfrac{1}{x}=(\ln x)'$ , deci integrala are forma $\displaystyle u\cdot u'$ cu $\displaystyle u=\ln x$ . Primitiva este $\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln^{2}x$ .
$\displaystyle \int_{1}^{e}\ln x\cdot(\ln x)'\,dx=\frac{1}{2}\ln^{2}x\Big|_{1}^{e}$
Înlocuim limitele: $\displaystyle \ln e=1$ și $\displaystyle \ln 1=0$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\ln^{2}x\Big|_{1}^{e}=\frac{1}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 0=\frac{1}{2}$
Adunăm cele două rezultate: $\displaystyle \dfrac{1}{2}-\ln 2+\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{e}f(x)\,dx=1-\ln 2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2011, sesiunea a II-a rezervă varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani